为此，假设n>0，并考虑在有限水平[0，n]，Yρ，v，nt=Znt（H（Vvs，q（Zρ，v，ns））上具有小贴现因子s ayρ>0的已贴现BSDE- ρYρ，v，ns）ds-Znt（Zρ，v，ns）TdWs，（64），其中我们使用上标v来强调随机因子过程对其初始数据Vv=v的初始依赖性。从[7]的第3.1节，我们推断BSDE（64）允许唯一解（Yρ，v，nt，Zρ，v，nt）∈ L[0，n]与| Yρ，v，nt |≤Kρ，0≤ T≤ n、 其中l[0，n]=（Yt）t∈[0，n]：Y是F-逐步可测量的，EP（Zn | Yt | dt）<∞.另一方面，通过辅助视界n参数化（64），我们得到（参见[7]第3.1节）存在一个过程Yρ，vt，t≥ 0，就这样↑∞Yρ，v，nt=Yρ，vt，（65）对于a.e.（t，ω）∈ [0, ∞) × Ohm, 而且，对于每个ρ>0，{Yρ，v，nt}和{Zρ，v，nt}都是Lρ[0]中的柯西序列，∞], 式中，lρ[0，∞) =（Yt）t∈[0,∞): Y是F-逐步可测量（66）和EP（Z∞E-2ρt|Yt|dt）<∞.因此，存在极限过程（Yρ，vt，Zρ，vt），t≥ 0，属于Lρ[0，∞),这样的↑∞（Yρ，v，nt，Zρ，v，nt）=（Yρ，vt，Zρ，vt）（67）在Lρ[0，∞) 带| Yρ，vt |≤Kρ。因此，很容易证明这个过程（Yρ，vt，Zρ，vt），t≥ 0是有限视界BSDEdYρ的解，vt=(-H（Vvt，q（Zρ，vt））+ρYρ，vt）dt+（Zρ，vt）TdWt。

（68）此外，我们还记得，解是马尔可夫的，因为存在函数，比如yρ（·）和zρ（·），这样（yρ，vt，zρ，vt）=（yρ（Vvt），zρ（Vvt））。接下来，使用Girsanov变换并在引理4中调整参数。3在[16]中，我们声称Lipschitz c连续性属性| yρ（Vvt）- yρ（V′vt）|≤CvCη- Cv | Vvt- V“vt|（69）对任何V都有效∈ Rd，常数cv和Cη分别如（57）和（3）所示。事实上，对于t≥ 0,Yt:=Yρ，vt- Yρ，vtandZt:=Zρ，vt- Zρ，vt.Then，d(Yt）=-H（Vvt，q（Zρ，vt））- H（V’vt，q（Zρ，vt））dt+ρYtdt+(Zt）TdWt=-Htdt+ρYtdt+(Zt）T（dWt- mtdt），在哪里Ht:=H（Vvt，q（Zρ，vt））- H（V\'vt，q（Zρ，vt））和mt:=H（V\'vt，q（Zρ，vt））- H（V’vt，q（Zρ，vt））|Zt|Zt{Zt6=0}。进程MTSS是有界的，如下（63）所示。因此，我们可以定义过程“Wt:=Wt”-塔穆杜≥ 这是一个布朗运动，在某些度量qm下等价于P。因此，对于0≤ T≤ s<∞, 对FTQ进行条件检验Yt=βsβtEQm(Ys | Ft）+EQmZstβuβt(胡）杜英尺,其中βt=e-ρt。然而，请注意，第一个期望值以2k/ρ为界，因此，它会随着s收敛到零↑ ∞. 此外，通过（62），第二个期望值以eqm为界Zstβuβt(胡）杜英尺≤CηCvCη- CvEQmZste-ρ（u）-t） |Vvu- vu|du英尺≤CηCvCη- CveρtE-（ρ+Cη）t- E-（ρ+Cη）sρ+Cη| v- v |，其中我们使用了指数遍历性条件（4）。然后，不平等（69）之后是↑ ∞.接下来，假设yρ（·）∈ 丙(右)。应用It^o公式计算yρ（Vvt）产量yρ（Vvt）=Lyρ（Vvt）dt+κTyρ（Vvt）TdWt，（70），其中L如（26）所示。反过来，我们从（68）和（70）中得出κTyρ（Vvt）=Zρ，vt，（71）和（稍微滥用符号）ρyρ（v）=Lyρ（v）+Hv、 qκTyρ（v）, （72）对于v∈ 路。

上述方程（72）是一个标准的半线性椭圆型偏微分方程，经典的偏微分方程结果表明它允许一个唯一的有界解yρ（·）∈C（Rd），带| yρ（v）|≤Kρ。此外，回想一下（69）的收益率|yρ（v）|≤CvCη-Cv，因此，使用矩阵κ的（71）和假设2，我们得到，对于t≥ 0，| Zρ，vt |≤CvCη- 个人简历（73）接下来，我们确定一个参考点，比如v∈ Rd.确定过程Yρ，vt:=Yρ，vt-Yρ，v，并考虑有限层位BSDE（68）的扰动版本，即“Yρ，vt=”Yρ，vs+ZstH（Vvu，q（Zρ，vu））- ρYρ，vu- ρYρ，v杜-Zst（Zρ，vu）TdWu，对于0≤ T≤ s<∞. 然后是Yρ，vt=\'Yρ（Vvt）和Yρ（·）=Yρ（·）- yρ（v）。另一方面，由于yρ（·）是Lipschitz连续的，在ρ中是统一的，因此我们推导出| | yρ（v）|≤CvCη-Cv | v- v |。此外，|ρyρ（v）|≤ 因此，存在一个序列ρ0n↓ 0使得limρ0n↓对于某些常数λ，0ρ0nyρ0n（v）=λ。接下来，我们取一个稠密子集，比如S={v，···，vn，···}∈ 由于yρ0n（v）是有界的，所以存在一个{ρ0n}的子序列，表示为{ρ1n}，这样limρ1n↓对于某些y（v），0′yρ1n（v）=y（v）。这样，我们得到一个序列{ρ0n} {ρ1n} · · · .取其对角线序列{ρnn}，表示为{ρn}，我们推断，对于v∈ S、 limρn↓0ρnyρn（v）=λ和limρn↓0′yρn（v）=y（v）。（74）此外，由于函数yρ（·）在ρ中均匀地是Lipschitz连续的，因此可以将极限y（·）扩展到为所有V定义的Lipschitz连续函数∈ Rd，limρn↓0′yρn（v）=y（v）。（75）因此，我们有limρn↓0′Yρn，vt=Y（Vvt）和limρn↓0ρn′Yρnt= 0.接下来，定义过程Yvt=y（Vvt），t≥ 0

然后标准的做法是证明存在Zvu=z（Vvu），u∈ [t，s]，在L[t，s]中，使得limρn↓0Zρn，v=Zvin L[t，s]，而且，三重态（Yvt，Zvt，λ）=（y（Vvt），z（Vvt），λ）是截断遍历BSDE（61）的解。最后，使用后一个极限和| Zρ，vt |≤ Cv/（Cη）- Cv），如（73）所示，我们得到| Zvt |≤ Cv/（Cη）- Cv）。因此，q（Zvt）=Zvt，t≥ 反过来，三重态（Yv，Zv，λ）也是命题2和命题10中遍历BSDE（15）和（42）的解。从上述论点可以看出，作为副产品，有限视界BSDE（28）和（47）分别存在马尔可夫解。它还需要展示遍历BSDE（15）和（42）的马尔可夫解的唯一性。的确，自从Zt，t≥ 0，以Cv/（Cη）为界- Cv）对于方程（15）和（42），唯一性可以通过[16]中定理4.6和[10]中定理3.11中的类似论证来证明。有限视界BSDE（28）和（47）的Mar-kovian解的唯一性很容易从[7]中的第3.1节和[6]中的定理3.3得到。参考文献[1]Ankirchner，S.，P.Imkeller和G.dos Reis（2010）：基于不可交易基础的衍生产品定价和对冲，数学金融20（2），289-312。[2] Barrieu，P.和N.El-Karoui（2004）：dynamicrisk测度下的最优衍生品设计，金融数学，G.Yin和Q.Zhang主编，Contemp。数学艾默尔。数学Soc。，里约热内卢普罗维登斯351号，13-25号。[3] Becherer，D.（2006）：具有跳跃的向后SDE的有界解，用于效用优化和差异对冲，Ann。阿普尔。Probab。16, 2027–2054.[4] Berrier，F.，C.Rogers和M.Tehranchi（2009）：前向效用函数的特征，工作论文。[5] Bielecki，T.和S.Pliska（1999）：风险敏感的动态资产管理，应用数学和优化39（3），337–360。[6] 布莱德，P。

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