随机系统中同位旋前向性能过程的表示

nandehutu2022

770

收藏 2022-05-09

英文标题：
《Representation of homothetic forward performance processes in stochastic
factor models via ergodic and infinite horizon BSDE》
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作者：
Gechun Liang, Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In an incomplete market, with incompleteness stemming from stochastic factors imperfectly correlated with the underlying stocks, we derive representations of homothetic (power, exponential and logarithmic) forward performance processes in factor-form using ergodic BSDE. We also develop a connection between the forward processes and infinite horizon BSDE, and, moreover, with risk-sensitive optimization. In addition, we develop a connection, for large time horizons, with a family of classical homothetic value function processes with random endowments.
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中文摘要：
在不完全市场中，由于不完全性源于与标的股票不完全相关的随机因素，我们使用遍历BSDE导出了因子形式的同质（幂、指数和对数）正向性能过程的表示。我们还开发了远期过程与无限期BSDE之间的联系，以及与风险敏感优化之间的联系。此外，对于大的时间范围，我们建立了一个与一系列具有随机禀赋的经典同位旋值函数过程的联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Representation_of_homothetic_forward_performance_processes_in_stochastic_factor_.pdf
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mingdashike22

2022-5-9 12:13:58

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kedemingshi

2022-5-9 12:14:01

伦敦国王学院数学系和牛津大学牛津人学院；电邮：格春。liang@kcl.ac.uk部门。德克萨斯大学奥斯汀分校数学与IROM研究所和牛津大学牛津曼研究所；电子邮件：zariphop@math.utexas.edu.[30]（另见[29]、[31]和[32]）。它们补充了经典的预期效用范式，即效用是在单一时间点（终端视界）选择的确定性函数。按照动态规划原理，值函数过程反过来是在时间上向后构造的。因此，如果有人要求始终保持时间一致性，那么将风险偏好、滚动视野、学习和其他现实的“自然向前”特征的更新结合起来的灵活性是有限的。远期投资绩效标准克服了其中一些缺陷，并有助于建立一个真正的动态机制，随着市场在（任意）交易地点的演变，评估投资策略的绩效。在[33]中，提出了一种随机偏微分方程（参见本文（10））来描述具有It^o扩散价格过程的市场中的正向性能过程。它可以被视为有限维经典Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）方程的正向模拟，该方程出现在最优投资组合选择的马尔可夫模型中。与HJB方程式一样，前锋SPDE是完全非线性的，并且可能退化。然而，除此之外，它是不适定的，其波动系数是投资者选择的输入，而在经典情况下，相应的波动率是由价值函数过程的it^o分解唯一确定的。这些特点导致了重大的技术难题，因此，在一般It^o-DiffusionMarket动态中使用前向SPDE受到了限制。

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大多数88

2022-5-9 12:14:05

时间单调过程（零远期波动率）的结果可在[32]中找到，在[12]中探讨了远期绩效过程与最优投资组合之间的联系（另见[11]）。在半鞅市场中，可以在[40]中找到e指数参考的一个构造。如本文所述，当市场系数明确依赖于随机因素时，可以通过寻求表现为这些因素的确定性的性能标准来探索更多的结构。正如在[33]中首次指出的，SPDE将这些函数预期满足的有限维HJB方程（见其中的方程（51））简化为一个有限维HJB方程。然而，这个问题仍然没有得到解决，如何解决它是一个悬而未决的问题。对于单个随机因素，到目前为止已经分析了两种情况，特别是功率和指数情况。[35]中对功率情况进行了处理，其中同感将正向HJB降低为半线性PDE，该PDE使用失真变换进行线性化。然后一个人得到了一个模糊的答案。具有状态相关系数的不适定线性方程，利用Widder定理的推广求解。[29]（另见[28]和[23]）在远期指数差异价格的背景下研究了指数情况。[34]中考虑了远期绩效过程的多因素模型，其中详细分析了完整的市场环境。由于市场的完备性，Legendre-Fenchel变换将forwardSPDE线性化，并将其多维化。出现了与空间/时间相关的病态线性方程组。它的解决方案反过来又通过作者开发的Widder的theo-rem的扩展来描述。

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kedemingshi

2022-5-9 12:14:08

最近，在[37]中研究了不完全市场中不同（慢和快）标度的多因素，并导出了极限状态的渐近展开式。主序项表示为时间单调FORWAR性能，具有适当的随机时间重标度，由平均现象产生。第一顺序条款反映了投资者根据市场变化和过去表现而产生的偏好变化。在此，我们发起了一项研究，将考虑市场不完全性、多个股票和多个仓促因素的因子形式的远期过程的现有结果进行一般化。我们首先关注同感过程（幂、指数和对数），因为这些也是经典环境中风险偏好的常见选择。在这种情况下，同感性将前向SPDE降低为病态的多维半线性PDE（参见（13），（40）），然而，这是不可信的。据我们所知，迄今为止还没有关于此类不适定方程的结果。本文的主要贡献在于，我们通过直接从遍历BSDE族的马尔可夫解构造因子形式的前向过程，绕过了由病态性产生的困难。虽然它们的驱动形式是由算子提出的，出现在不适定偏微分方程中，但我们使用遍历方程的排他性结果来构造for ward解，而不是（正向）随机优化。作为副产品，我们利用这些发现构造病态d多维半线性偏微分方程的光滑解。据我们所知，这种方法是新的。

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大多数88

2022-5-9 12:14:11

这是一个很好的假设，需要对事实的动态性，本质上是遍历性条件（4）进行Milda假设。第二个贡献是，我们提供了风险敏感性优化和遍历BSDE解中出现的常数之间的联系。因此，我们在正向优化的背景下，对[5]、[14]和[15]关于长期效用最大化问题的最优增长率的经典结果提供了一种新的解释。在不同的方向上，我们发展了同感正向过程与有限视界BSDE之间的联系。我们的贡献是三倍的。首先，我们确定后者的解本身是同位旋过程，尽管不是马尔可夫过程。其次，我们证明了当这些BSDE中自然出现的参数ρ收敛到零时，相关解将收敛到它们的马尔可夫遍历对应解。第三，我们使用有限视界BSDE在我们构造的同位旋前向过程和经典类似物之间建立联系，特别是有限视界值函数过程与适当选择的最终禀赋之间。我们表明，随着交易中心趋于一致，这些价值函数趋于同质化过程。[22]首次研究了有限水平环境下的（二次）BSDE，随后许多作者对其进行了分析。它们是金融数学研究中最活跃的领域之一，因为它们直接应用于风险度量（[2]）、差异价格（[1,18,24]）和同质效用的价值函数（[19]）。后一系列应用的几个扩展包括[25]和[3]，其中[19]的结果分别被推广到连续鞅集和跳跃微分。

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mingdashike22

2022-5-9 12:14:14

我们注意到，在传统的框架中，价格、投资组合、风险度量和价值函数在时间上是一个内在的“向后”构造，因此，它提供了理想的分析工具。尽管（二次）BSDE在有限视界环境中很普遍，但它们的遍历或有限视界对应物至今都没有受到太多关注。在有限维环境中，为了解决遍历随机控制问题，在[16]中引入了遍历L ipschitz BSDE；参见[8,10,36]和mo-re最近的[9]和[20]了解各种扩展。在[6]中，通过结合[7]和[22]中使用的技术，首次解决了内部二次BSDE。据我们所知，这两种类型的rgodic和in-finite horizon方程的动机主要来自理论兴趣。然而，我们的结果表明，这两种类型的方程都是表征远期绩效过程及其相关最优投资组合和财富的自然候选方程。值得一提的是，遍历的和有限的ho rizon BSDEwe c考虑实际上都是Lipschitz，因为可以证明相关过程Z的部分是有界的。换句话说，二次增长，这是有限环境下的标准假设，并没有起到关键作用。实际上，正如我们在附录中所示，遍历Lipschitz BSDE[16]和有限视界Lipschitz BSDE[7]的现有结果可以很容易地适应于求解手头的正向方程。最后，我们提到，虽然我们以因子形式关注正向过程，但大多数结果也适用于非马尔可夫正向过程（例如，第3.1.3节中的结果）。

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kedemingshi

2022-5-9 12:14:17

此外，我们强调，度量转换（见3.1.3中的示例）可能表明，可以直接从具有ze-ro波动性的过程构造新的同位旋过程，从而使本文的结果冗余。然而，事实并非如此。一方面，改变措施对应于改变风险溢价，这本质上意味着改变原有的市场模式。因此，在原始市场中，不会产生任何真正新的远期流程。更重要的是，对于随机因素，零波动远期过程在时间上和路径依赖性上都在减少。不可能使用度量值变化变换从它们产生马尔可夫对应物。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了市场模型，并重新审视了远期绩效过程和远期SPDE的概念。在第3、4和5节中，我们以因子形式构建了相应的远期绩效过程，以及相关的最优投资组合和财富过程。在每一节中，我们还介绍了与不适定半线性偏微分方程的关系，以及与相关的有限域BSDE和有限域对应解的（非马尔可夫）解的关系。为方便读者阅读，我们在附录中给出了遍历和非完整BSDE的技术背景结果。2随机因素模型及其前瞻性表现过程市场由无风险股票和n只股票组成。债券被视为数字和个人（通过债券贴现）股票价格≥ 0，求解，对于i=1。。。，n、 dSitSit=bi（Vt）dt+dXj=1σij（Vt）dWjt，（1）Si>0。过程W=（W，·，Wd）是过滤概率空间上的标准d维布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P）满足通常条件。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:14:20

上标T表示matr ix转置。d维过程V=（V，···，Vd）对影响股价动态的随机因素进行建模，假设其分量为i=1。。。，d、 dVit=ηi（Vt）dt+dXj=1κijdWjt，（2）带Vi∈ R.我们引入以下模型假设。假设1 i）市场系数b（v）=（bi（v））和σ（v）=（σij（v）），1≤ 我≤ n、 1个≤ J≤ d、五∈ 风险向量θ（v）的市场价格∈ Rd，定义为方程σ（v）θ（v）=b（v）的解，由θ（v）=σ（v）T[σ（v）σ（v）T]给出-1b（v），一致有界且Lipschitz连续。假设2随机因素的漂移系数满足耗散条件（η（v）- η（v））T（v- “（v）≤ -Cη| v- |v |，（3）对于任何v，|v∈ Rd和一个足够大的常数Cη。波动性矩阵κ=（κij），1≤ i、 j≤ d、是一个常数矩阵，具有κ-κt正定义和规范化的To |κ|=1。当我们引入另一个与即将到来的BSDE驱动因素相关的辅助常数Cv（参见（57）和示例3.1.3）时，上述常数Cη的“足够大”特性将在后面重新定义。耗散条件（3）意味着

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nandehutu2022

2022-5-9 12:14:25

任何满足不等式（4）的扩散过程都可以作为一个随机因子向量。接下来，我们考虑一个投资者，他在时间t=0时开始初始捐赠，并在（n+1）资产之间进行交易。我们用△π=（△π，·π，·πn）t表示她在个人股票账户中总财富（债券贴现）的比例。假设标准的自我融资条件成立，并使用（1），我们推断她（通过Bond贴现）的财富过程解Xπt=nXi=1πitXπtdSitSit=XπtπTt（b（Vt）dt+σ（Vt）dWt），X=X∈ D、布景在哪里 R表示财富可接受域。为了方便起见，我们将始终使用波动性衡量的交易策略，即πTt=＠πTtσ（Vt）。（5）然后，财富过程解Xπt=XπtπTt（θ（Vt）dt+dWt）。（6）无论如何≥ 0，我们用A[0，t]表示交易区间[0，t]中的容许策略集，由A[0，t]={（πu）u给出∈[0，t]：π∈ LBMO[0，t]，πu∈ π和Xπu∈ D、 u∈ [0，t]}。（7）布景∏ RDI是封闭凸的，空间LBMO[0，t]定义为LBMO[0，t]=（πu）u∈[0，t]：π是F-逐步可测的，并且是supτEPZtτ|πu | duFτ< ∞, 对于任何F-停止时间τ∈ [0，t].上述可积条件也称为BMO条件，因为对于任何π∈ LBMO[0，t]，ess supτ∈[0，t]EPZtτπTudWuFτ= ess supτ∈[0，t]EZtτ|πu | duFτ< ∞,因此，随机积分πTudWu∈ [0，t]是一个BMO鞅。反过来，我们为所有t≥ 0作为一个：∪T≥0A[0，t]。接下来，我们回顾了[28]-[33]中介绍和发展的前瞻性绩效流程。

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大多数88

2022-5-9 12:14:29

原始定义的变化和放松也可以在[4]、[12]、[17]和[34]中找到。定义1过程U（x，t），（x，t）∈ D×[0，∞) 是针对每个x的正向性能流程（ifi）∈ D、 U（x，t）是F-逐步可测的；ii）对于每个t≥ 0，映射x 7→ U（x，t）严格递增且严格相关；iii）对于任何π∈ A和0≤ T≤ s、 EP（U（Xπs，s）|Ft）≤ U（Xπt，t），（8）存在一个最优投资组合π*∈ A这样，对于0≤ T≤ s、 EPUs（Xπ）*s、 s）|英尺= UXπ*t、 t. （9）如前所述，在[33]中表明，U（x，t）与一个全非线性SPDE有关，它在经典有限维环境中扮演着Hamilton-JacobiBellman方程的角色。形式上，这个正向SPDE是通过首先假设U（x，t）允许It^o分解du（x，t）=b（x，t）dt+a（x，t）TdWt，对于一些F-逐步可测过程a（x，t）和b（x，t），并且所有的不可分辨量都有足够的规律性，使得It^o-Ventzell公式可以应用于所有可容许的π。然后，要求（8）和（9）得出，对于选定的波动过程a（x，t），漂移b（x，t）必须具有特殊形式。在这里的设置中，前向性能SPDE采用形式du（x，t）=-xUxx（x，t）区Π, -θ（Vt）Ux（x，t）+ax（x，t）xux（x）+|θ（Vt）Ux（x，t）+ax（x，t）|Uxx（x，t）dt+a（x，t）TdWt，（10），其中dist（π，x）re表示与x的距离函数∈ Rdto∏。此外，如果（6）存在强解，比如Xπ*t、当反馈策略π*t=Proj∏-θ（Vt）Ux（Xπ）*t、 t）Xπ*tUxx（Xπ）*t、（t）-ax（Xπ）*t、 t）Xπ*tUxx（Xπ）*t、（t）, （11）然后控制过程π*这是最佳选择。

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mingdashike22

2022-5-9 12:14:32

我们注意到，这些论证是形式化的，仍然缺乏一个通用的验证定理。在此，我们绕过这些困难，直接使用相关遍历BSDE的马尔可夫解，以因子形式构造同位旋前向性能过程。SPDE只是用来猜测后者的适当形式。3.功率情况我们从构建δ度均匀的正向性能过程开始∈ （0，1），并具有因子公式u（x，t）=xδef（Vt，t），（12），其中f:Rd×[0，∞) → R是一个（确定性）函数。对于δ的这个范围，可容许财富域被认为是D=R+。利用形式（12）和SPDE（10），我们推导出f必须满足，对于（v，t）∈ Rd×[0，∞), 半线性PDEft+T竞赛κTF+ η（v）Tf+f（v，κT）f） =0，（13）带f（v，z）：=-δ(1 - δ）距离π，z+θ（v）1- δ+δ1 - δ| z+θ（v）|+| z |。（14）然而，上述方程是不适定的，迄今为止还没有已知的解。另一方面，正如我们在下文中所展示的，过程f（Vt，t）实际上可以直接从一个遍历BSDE的马尔可夫解构造而来，而该BSDE是上述形式的（参见（16））。3.1通过遍历BSDE构造首先引入了底层的遍历BSDE，并提供了马尔可夫解的主要存在性和唯一性结果。为了方便读者，我们在附录中预先寄出了证据。命题2假设风险向量θ（v）的市场价格满足假设1。设集合∏如（7）所示。然后，遍历BSDEdYt=(-F（Vt，Zt）+λ）dt+ZTtdWt，（15）与驱动器F（·，·）定义的asF（Vt，Zt）：=-δ(1 - δ）距离π，Zt+θ（Vt）1- δ+δ1 - δ| Zt+θ（Vt）|+|Zt |，（16）允许唯一的马尔可夫解（Yt，Zt，λ），t≥ 0.具体而言，存在唯一的λ∈ R和函数y:Rd→ R和z:Rd→使（Yt，Zt）=（y（Vt），z（Vt））。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:14:37

函数y（·）在常数之前是唯一的，并且最多具有线性增长，z（·）与| z（·）|有界≤CvCη-Cv，其中Cη和Cv分别如（3）和（57）所示。我们接下来介绍一个主要结果。定理3 Let（Yt，Zt，λ）=（y（Vt），z（Vt），λ），t≥ 0是（15）的唯一马氏解。然后，i）过程U（x，t），（x，t）∈ R+×[0，∞) , 给定byU（x，t）=xδy（Vt）-λt，（17）是一个功率前向性能过程，其挥发度为a（x，t）=xΔδey（Vt）-λtz（Vt）。（18） ii）最优投资组合权重π*tand相关的财富过程X*t（参见（5）和（6））分别由π给出*t=P roj∏z（Vt）+θ（Vt）1- δ还有X*t=XEZ·（π）*s） T（θ（Vs）ds+dWs）t、（19）证据。很快，过程U（x，t）是F-逐步可测的，严格递增且在x上是严格凹的，δ度是均匀的。为了表明它也满足定义1的（ii）和（iii）要求，我们将确定≤ T≤ s、如果π∈ A、 EP（Xπs）Δδ-λs | Ft≤（Xπt）ΔδeYt-λt，而π*由EP（19）给出（Xπ）*s） ΔδeYs-λs | Ft=（Xπ）*t） ΔδeYt-λt.为此，财富方程（6）和它的公式产生（Xπs）δ=（Xπt）δexpZstδπTuθ（Vu）-|πu|du+ZstΔπTudWu.另一方面，根据遍历BSDE（15），我们有- λs=Yt- λt-ZstF（Vu，z（Vu））du+Zstz（Vu）TdWu。（20）结合上述结果，得到（Xπs）δeYs-λs=（Xπt）δeYt-λtexpZstδπTuθ（Vu）-|πu|- F（Vu，z（Vu））du+ZstΔπTu+z（Vu）TdWu.因此，EP（Xπs）δeYs-λs | Ft= （Xπt）δeYt-λtEP经验ZstδπTuθ（Vu）-|πu|- F（Vu，z（Vu））du+ZstΔπTu+z（Vu）TdWu英尺.下一步，为s≥ 0和π∈ A、我们通过产生氡Nikodym密度过程Zu，u来定义一个概率测度，比如Qπ∈ [0，s]，Zu=dQπdPFu=E（N）uwhith Nu=ZuΔπTt+ZTtdWt。（21）我们称之为πu和z（Vu），u∈ [0，s]，满足BMO条件（直到时间s）。

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何人来此

2022-5-9 12:14:39

因此，过程Nu，u∈ [0，s]是一个BMOmartingale，反过来，E（N）在Doob的D类中，因此是一致可积的。反过来，EP经验Zst（Fπ（Vu，z（Vu））- F（Vu，z（Vu））duZsZt英尺= 等式π经验Zst（Fπ（Vu，z（Vu））- F（Vu，z（Vu））du英尺,式中fπ（Vt，z（Vt））：-δ(1 - δ） |πt |+ΔπTt（z（Vt）+θ（Vt））+|z（Vt）|=-δ(1 - δ)πt-z（Vt）+θ（Vt）1- δ+δ1 - δ| z（Vt）+θ（Vt）+z（Vt）|。用这个Fπ（Vt，z（Vt））≤ F（Vt，z（Vt）），我们很容易推断出（Xπs）δeYs-λs | Ft≤ （Xπt）δeYt-λt。此外，对于π=π*如（19）所示，Fπ*（Vt，z（Vt））=F（Vt，z（Vt）），因此，EP（Xπ）*s） δeYs-λs | Ft= （Xπ）*t） δeYt-λt.为了表示（18），我们回顾了SPDE（10），并观察到表示（17）yieldsdU（x，t）=U（x，t）(-F（Vt，z（Vt））+|z（Vt）| dt+U（x，t）z（Vt）TdWt。其余的证据都很容易理解。3.1.1与风险敏感优化的联系我们提供了对常数λ的解释，该常数出现在远期绩效过程（17）的表示中，作为风险敏感控制问题（23）的解决方案。事实证明，常数λ也是[5]、[14]和[15]中考虑的长期效用最大化问题的最佳增长率（见下文（24））。命题4设T>0和π∈ A、并使用氡-尼科德姆密度过程Zu，u确定概率测度Pπ∈ [0，T]，Zu=dPπdPFu=EZ·△πTudWuu、（22）和随机泛函（Vs，πs）：=-δ(1 - δ） |πs |+Δθ（Vs）Tπs，对于s∈ [0，T]。设（y（Vt），z（Vt），λ），t≥ 0是遍历方程（15）和财富方程（6）的Xπ的唯一马尔可夫解。那么，λ是风险敏感控制问题的长期增长率λ=supπ∈阿利姆·苏普特↑∞Tln-EPπeRTL（Vs，πs）ds, （23）或者，λ=supπ∈阿利姆·苏普特↑∞Tln EP（XπT）Δδ. （24）对于（23）和（24）两个问题，相关的最优控制过程π*t、 t≥ 0，如（19）所示。证据

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何人来此

2022-5-9 12:14:44

我们首先观察到，（16）中的驱动程序F（·，·）可以写成asF（Vt，Zt）=supπt∈ΠL（Vt，πt）+ZTtΔπt+|Zt |。因此，对于任意∧π∈ A、我们重写了概率测度PπasdYt下的遍历BSDE（15）=- supπt∈ΠL（Vt，πt）+ZTtΔπt+ ZTtδ∧πt+λ-|Zt|dt+ZTtdWPπt，其中过程WPπt:=Wt-Rtδ∧πudu，t≥ 0是一个布朗运动。反过来，eλT+Ye-YTEZ·ZTudWPπuT=expZTsupπt∈ΠL（Vt，πt）+ZTtΔπt-L（Vt，πt）+ZTtδπtdt！eRTL（Vt，~πt）dt。接下来，我们观察到，对于任何∧π∈ A、右手边的第一个指数项的下限为1。在Pπ下取期望值，然后使λT+YEPπE-YTEZ·ZTsdWPπsT≥ EPπeRTL（Vs，~πs）ds.使用（21）中定义的测量值Qπ，我们推断λ+YT+Tln EQπE-YT≥Tln-EPπeRTL（Vs，~πs）ds.然而，请注意，存在一个常数，比如说C，独立于T，例如C≤ 等式πE-YT≤ C.这源于函数y（·）的线性增长性质和遍历性条件（4）（例如，参见[13]）。发送T↑ ∞ 然后得出，对于任何∧π∈ A、 λ≥ 林监督↑∞Tln-EPπeRTL（Vs，~πs）ds,用等式选择∧πs=π*s、 π*sas（19）。为了证明λ也解（24），我们观察到对于π∈ A、我们有（XπT）Δδ=XδδEPeRTL（VS，πs）dsEZ·ΔπTsdWsT=XΔδEPπeRTL（Vs，πs）ds,其余的论点如下。3.1.2与不适定的多维半线性偏微分方程的联系——前面结果的副产品——是对（25）中给出的不适定半线性偏微分方程的光滑解的构造。回想一下，当我们寻求表单（12）的向前处理时，后者是从（10）中派生出来的一个必要条件。我们在下面建立，对于一个合适的初始数据，这个不适定偏微分方程有一个解，它在时间和空间上是可分离的。我们注意到，这个半线性方程的良好姿势d模拟，以及指数情况下的一个应用（参见。

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mingdashike22

2022-5-9 12:14:47

（40）），已被广泛分析，并用于表示差异价格、风险度量、幂函数和指数函数等。然而，据我们所知，除了[35]中研究的一维情况外，还没有研究过它们的不适定版本。另一方面，这种情况可以线性化，并使用Widder定理的一个扩展构造解。我们在3.1.3中详细介绍了该案例。然而，多维情况无法线性化，据我们所知，目前尚无关于这种情况的结果。命题5考虑病态半线性偏微分方程+Lf+F（v，κT）f） =0，（25）（v，t）∈ Rd×[0，∞), F（·，·）如（14）（或（16））所示，L是因子过程V的单位生成器，L=轨迹κT+ η（v）T. （26）对于初始条件f（v，0）=y（v），其中y（·）是遍历BSDE（15）的马尔可夫解（y（Vt），z（Vt），λ）中出现的函数，方程（25）允许f（v，t）=y（v）给出的光滑解- λt.证明。首先，假设命题2中出现的函数y（·）是inC（Rd）。它的公式给出了y（Vt）=Ly（Vt）dt+κTy（Vt）TdWt与（15）结合产生Zt=z（Vt）=κTy（Vt）和-λ+Ly（Vt）+F（Vt，κT）y（Vt））=0。因此，仍然需要证明y（·）∈ 丙(右)。实际上，对于任何ρ>0，考虑半线性椭圆偏微分方程ρyρ=Lyρ+Fv、 κTyρ. （27）经典偏微分方程结果表明，上述方程允许唯一有界解yρ（·）∈ 丙(右)。使用类似于附录中的参数，我们推断| yρ（v）|≤Kρ和|yρ（v）|≤CvCη-个人简历因此，对于任何参考点，比如v∈ Rd，我们得到ρyρ（v）是统一的，而且，差分yρ（v）-yρ（v）是等连续的。使用对角参数（参见。

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mingdashike22

2022-5-9 12:14:52

（74）在附录中），我们推断出有一个子序列ρn↓ 使得ρnyρn（v）→ λ和yρn（v）- yρn（v）→ y（v），在Rd的紧集上一致。然而，由于ρnyρn（v）和yρn（v）在ρn中一致有界，yρn（v）在紧集上也是有界的，因为它遵循上面的等式（27）。反过来，这会产生一个H？older估计值yρn（v），在紧集上一致。椭圆方程的标准参数给出了极限y（·）∈ C（Rd）（例如，se，文献[13]中的定理3.3]）3.1.3示例：单一股票和单一随机因素对于状态方程（1）和（2），设n=1和d=2。然后，股票和随机因素过程分别遵循dSt=b（Vt）Stdt+σ（Vt）StdWt，dVt=η（Vt）dt+κdWt+κdWt和dVt=0，min（κ，κ）>0，|κ|+κ| 1和σ（·）以正常数为界。设∏=R×{0}，使πt≡ 然后，财富等式（6）将todXπt=Xπtπt减少θ（Vt）dt+dWtθ（Vt）=b（Vt）/σ（Vt）。反过来，（15）的驱动程序采用形式f（Vt，Zt，Zt）=δ1- δ| Zt+θ（Vt）|+|Zt |+|Zt |。根据定理3，最优投资组合权重为π*,1t，π*,2t=Zt+θ（Vt）1-δ, 0.接下来，请注意，如果Cθ和Kθ分别是Lipschitiz常数和风险θ（v）的市场价格界限（参见假设1.ii），那么| F（v，z，z）- F（\'v，z，z）|≤δ1 - δ| z+θ（v）|θ（v）- θ（°v）|≤δ1 - δmax{1，Kθ}Cθ（1+| z |）v- v|。因此，我们可以在不等式（57）中取常数Cv，将其定义为Cv=δmax{1，Kθ}Cθ/（1）- δ).为了找到过程Zt和Zt，我们为一些待确定的过程Zt设置Zt=κiZt，i=1,2。然后，等式（15）进一步减少了todYt=-^δ| Zt|-δκ1 - Δθ（Vt）Zt-δ2(1 - δ） |θ（Vt）|+λ！dt+ZtκdWt+κdWt,^δ=1-δ+δ|κ|1-δ.下一步，让∧Yt:=e^δ（Yt-λt）和<<Zt:=^δ>>YtZt。

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能者818

2022-5-9 12:14:55

那么，dYt=-^δδ2(1 - δ） |θ（Vt）|Ytdt+|Ztd | Wt，其中| Wt:=κWt+κWt-Rtδκ1-Δθ（Vu）du，t≥ 0，是一个布朗运动在某些概率测度下等价于P。设βt:=expRt^Δδ2（1）-δ） |θ（Vu）|du. 将It^o公式应用于)Ytβtyields)Yt=βt)Y+Ztβuβt)Zud)Wu。功率前向性能过程可以写成asU（x，t）=xδδ（~Yt）1/δ=xδδβ-βtY+ZtβuβtZudWu1/^δ.上述结果给出了[35]中导出的解决方案的另一种表示形式，其中考虑了相同的市场模式l，绕过了简化线性化前向SPDE的各种长度步。事实上，我们可以很容易地推断出，通过编写Yt=y（Vt，t）并使用随机因子（2）的动力学，可以得出y（v，t）必须满足Yt（v，t）+yvv（v，t）+η（v）+Δκ1- Δθ（v）~yv（v，t）+Δδ2（1）- δ） θ（v）~y（v，t）=0，直接恢复[35]的结果。3.2在本节中，我们结合有限视界BSDE，建立了有限视界BSDE族的因子形式的功率推进过程与非马尔可夫解之间的联系。这种贡献有三重。首先，这些解决方案本身就是向前推进的支持者，尽管不是以一种积极的形式。其次，我们将它们的极限视为参数ρ（在有限视界BSDE中自然出现）收敛到零。我们建立了适当的折扣，它们提供了过程U（x，t）的近似值ρ↓ 第三，当视界较长（T）时，我们与有限视界中的一系列经典价值函数过程建立了联系，比如[0，T]↑ ∞).我们从BSDE上的有限水平仪的一些背景结果开始。在其他文献中，我们记得[7]是第一篇利用Girsanov变换用Lipschitz驱动程序求解有限视界BSDE的论文之一，而[6]中求解了二次驱动程序case。

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大多数88

2022-5-9 12:14:58

我们请读者参考[6]以获取更多参考资料。命题6假设ρ>0，并考虑最终视界BSDEdYρt=(-F（Vt，Zρt）+ρYρt）dt+（Zρt）TdWt，（28）其中驱动器F（·，·）在（15）中给出，θ（·）、π和V满足第1节中的假设。然后，等式（28）允许唯一的马尔可夫解（Yρt，Zρt），t≥ 0.具体而言，对于每个ρ>0，都存在唯一的函数s yρ：Rd→ R和zρ：Rd→ 使（Yρt，Zρt）=（Yρ（Vt），Zρ（Vt）），带有| Yρ（·）|≤Kρ和| zρ（·）|≤CvCη-Cv，其中Cη如（3）所示，Cv，K分别如（57）和（59）所示。（28）的可解性是求解（15）的中间步骤，包含在附录中命题2的证明中。定理7 Let（yρ（Vt），zρ（Vt）），t≥ 0，是有限层位BSDE（28）的唯一马尔科夫溶质。然后，i）过程Uρ（x，t），（x，t）∈ R+×[0，∞) , 给定byUρ（x，t）=xΔδeyρ（Vt）-Rtρyρ（Vs）ds（29）是一个具有挥发性的功率前向性能过程aρ（x，t）=xΔδeyρ（Vt）-Rtρyρ（Vs）dszρ（Vt）。ii）最优投资组合权重π*,ρtand相关的财富过程X*,ρt（cf.（5）、（6）），t≥ 0分别由π给出*,ρt=P roj∏zρ（Vt）+θ（Vt）1- δ还有X*,ρt=XEZ·（π）*,ρs）T（θ（Vs）ds+dWs）t、的pro类似于定理3的pro，因此省略了它。下一个结果涉及来自正向过程U（x，t）（参见定理3）和路径依赖过程Uρ（x，t）（参见定理7）的因子，以及它们相应的最优投资组合策略。我们使用supe rscript v来表示对初始条件的依赖。（x，t）的命题8∈ R+×[0，∞) , 设U（x，t）和Uρ（x，t）是（17）和（29）中给出的前向过程，y（Vt）是遍历BSDE（15）的马尔可夫解的分量。然后，对于任意的参考点V∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞) ,limρn↓0Uρn（x，t）e-yρn（v）U（x，t）=1。

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能者818

2022-5-9 12:15:01

（30）此外，对于每个t≥ 0，相关的最优投资组合权重π*,ρ与π*满意度ρn↓0EPZt |π*,ρns- π*s | ds=0。（31）证据。对于任意参考点v∈ 根据表示式（17）和（29），我们得到了uρ（x，t）e-yρ（v）U（x，t）=exp（yρ（Vvt）-Ztρyρ（Vvu）du）- （y（Vvt）- λt）- yρ（v）= 经验（yρ（Vvt）- yρ（v）- y（Vvt））-Ztρ（yρ（Vvu）- yρ（v））du- （ρyρ（v）- λ） t.另一方面，附录中确定的极限（74）和（75）表明存在子序列ρn↓ 0使得limρn↓0（yρn（Vvt）- yρn（v）- y（Vvt））=0，limρn↓0ρn（yρn（Vvt）- yρn（v））=0和limρn↓0（ρnyρn（v）- λ） =0，我们得出结论。为了证明断言（31），我们使用凸集∏上投影算子的Lipschitz连续性和收敛极限ρn↓0EPZt | zρn（Vvs）- z（Vvs）| ds=0，（32）表示t≥ 0.后者见附录。3.3与经典功率预期效用的联系我们研究了正向过程U（x，t）和Uρ（x，t）是否可以解释为经典值函数过程的长期极限。我们证明，对于一系列具有适当的Hosen终端随机（乘法）支付的预期效用模型来说，情况确实如此。为此，让[0，T]成为任意的交易区间，并在ρ>0时引入值函数processuρ（x，T；T）=es s supπ∈A[t，t]EP（XπTeξT）Δδ| Ft，XπT=X, （33）对于（x，t）∈ R+×[0，T]与财富过程Xπs，s∈ [t，t]解决（6）。收益ξ定义为ξT:=-δZTρYρ，Ttdt，（34），其中Yρ，tti是有限视界二次BSDEYρ的解，Tt=ZTtF（Vs，Zρ，Ts）- ρYρ，Tsds-ZTtZρ，TsTdWs，（35）以及（16）中给出的驱动器F（·，·）。

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能者818

2022-5-9 12:15:10

相关的最优投资组合权重用π表示*,ρ、 Ts，s∈ [t，t]。在[19]和[25]中，对于布朗运动设置和一般半鞅框架，我们分别使用二次BSDE方法解决了经典的具有电力效用的最优投资问题。命题9 i）让uρ（x，t；t）和uρ（x，t）分别在（33）和（29）中给出。然后，对于ρ>0和（x，t）∈ R+×[0，∞) ,极限↑∞uρ（x，t；t）uρ（x，t）=1，最优投资组合权重s满足∈ [t，t]，极限↑∞出口加工区π*,ρ、屠- π*,ρudu=0。ii）设U（x，t）为（17）中的前向过程。然后，对于每个任意参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞) ,limρn↓极限↑∞uρn（x，t；t）e-yρn（v）U（x，t）=1，对于s，最优投资组合权重s满足∈ [t，t]，limρn↓极限↑∞出口加工区π*,ρn，Tu- π*Udu=0。证据我们只展示第一部分）。根据[6]中的定理3.3，我们得到| Yρ，Tt |≤Kρ，因此，量ΔξT=-RTρYρ，Tudu是有界的。另一方面，驱动因素F（·，·）满足属性（58）和（59）。因此，使用与[19]第3节中使用的参数类似的参数，可以得出值函数过程由uρ（x，t；t）=xΔδeYt给出，YT是二次BSDEYt=Δξt+ZTtF（Vs，Zs）ds的唯一解-ZTt（Zs）TdWs（36）代表t∈ [0，T]。

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能者818

2022-5-9 12:15:13

此外，最优投资组合权重由π给出*,ρ、 Tt=proj∏（Zt+θ（Vt）1-δ).然而，请注意，这对过程（Yρ，Tt-RtρYρ，Tsds，Zρ，Tt），t∈ [0，T]，通过（Yρ，Tt，Zρ，Tt）求解（35），lso满足上述二次BSDE（36）。因此，我们必须有Yt=Yρ，Tt-RtρYρ，Tsds，t∈ [0，T]因此，uρ（x，T；T）=xδexpYρ，Tt-ZtρYρ，Tsds.反过来，uρ（x，t；t）uρ（x，t）=exp（Yρ，Tt）-ZtρYρ，Tsds）- （Yρt）-ZtρYρsds）.用（65）我们推断出极限↑∞Yρ，Tt=Yρt，我们很容易得出结论。最优投资组合权重的收敛性来源于凸se t∏上投影算子的Lipschitz连续性和Lρ[t]中Zρ，To Zρ的收敛性，∞). 空间Lρ[t，∞) 定义见附录（66）中的第（67）条。3.4一般（非马尔可夫）前向性能过程和er godic BSDE与因子形式的前向性能过程分离，我们仍然可以使用我们之前开发的遍历BSDE方法来构造一般形式的过程（x，t）=xδeKt，对于一些F-逐步可测过程Kt，t≥ 0，独立于x。实际上，考虑一个任意进程Z∈ LBMO，然后依次选择（Yt，λ），t≥ 0, λ ∈ R a和Y b使F逐步可测，这样三重态（Yt，Zt，λ）解出遍历BSDE（15）。利用与定理1证明中的类似论点，我们可以推导出过程u（x，t）=xδeYt-λt，（37）（x，t）∈ R+×[0，∞) 满意度定义1。然后，SPDE（10）将产生由过程a（x，t）=U（x，t）Zt，t给出的远期波动率≥ 0.一个人也可以与有限水平BSDE和带有终端（乘法）支付的价值函数过程建立类似的联系，如第3.2节和第3节所示。3.一般功率前向过程的分析属于本文的范围，将单独进行。

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可人4

2022-5-9 12:15:17

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能者818

2022-5-9 12:15:21

然后，我们可能会将此过程视为衡量与“基准”相关的投资策略绩效，以过程Mt为代表。有关上述过程和进一步解释的更多细节，以及相关近视和非近视投资组合组件的具体说明，以及相应的财富过程，我们请读者参考[33]。4指数情况我们以指数因子形式（x，t）=-E-γx+f（Vt，t），（38），其中f是一个（确定性）函数，需要指定。对于指数远期绩效过程，控制政策更方便地表示投资于个人股票账户的贴现金额（而不是贴现财富的比例）。因此，我们设置△t=△πtXπt。反过来，我们根据股票的波动性重新缩放△t，并推断财富过程解决了t≥ 0，dXαt=αTt（θ（Vt）dt+dWt），（39）与αTt=~αTtσ（Vt）。容许概率的集合是A，我们将容许财富域设为D=R。在幂的情况下，（38）和（10）f必须满足的收益率，对于（v，t）∈ R+×[0，∞) , 一个半线性偏微分方程，给定byft+T竞赛κTF+ η（v）Tf+G（v，κT）f） =0，（40）带g（v，z）=γ距离π，z+θ（v）γ-|z+θ（v）|+|z |，（41），它是不适定的，至今没有已知的解。另一方面，与前一种情况一样，我们将直接从遍历BSDE的马尔可夫解构造过程f（Vt，t），其驱动程序为上述形式（参见（43））。4.1通过遍历BSDE构造结果与前一节中导出的结果类似，因此，无需证明。命题10假设风险向量θ（v）的市场价格满足假设1。设集合∏如（7）所示。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:15:24

然后，遍历BSDEdYt=(-G（Vt，Zt）+λ）dt+ZTtdWt，（42）驱动器G（·，·）由G（Vt，Zt）=γ距离给出π，Zt+θ（Vt）γ-|Zt+θ（Vt）|+|Zt |，（43）允许唯一的马尔可夫解（Yt，Zt，λ），t≥ 0.具体而言，存在唯一的λ∈ R和函数y:Rd→ R和z:Rd→ 使（Yt，Zt）=（y（Vt），z（Vt））。函数y（·）在一个常数之前是唯一的，并且最多具有线性增长，z（·）与| z（·）|有界≤CvCη-Cv，其中Cη和Cv分别如（3）和（57）所示。定理11 Let（Yt，Zt，λ）=（y（Vt），z（Vt），λ），t≥ 0是遍历BSDE（42）的唯一马尔可夫解。然后，i）过程U（x，t），给定，对于（x，t）∈ R×[0，∞) , byU（x，t）=-E-γx+y（Vt）-λt（44）是一个指数型正向性能过程，其波动率为a（x，t）=- E-γx+y（Vt）-λtz（Vt）。ii）最优投资组合α*tand最优财富过程X*皮重分别由α给出*t=Proj∏z（Vt）+θ（Vt）γ, 十、*t=X+Zt（α*t） t（θ（Vt）dt+dWt）。（45）在[40]中，针对半鞅市场开发了指数性能过程的公理结构。这些过程被用于构建远期差异价格（见[27]、[28]、[30]和[17]等），以及[39]中所谓的成熟度独立熵风险度量的公理化构造和表征。正如在幂级数中一样，我们可以证明以下结果。命题12考虑病态半线性PDEft+Lf+G（v，κT）f） =0，（46）（v，t）∈ Rd×[0，∞), G（·，·）如（41）（或（43））所示，L如（26）所示。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:15:27

对于初始条件f（v，0）=y（v），其中y（·）是在遍历BSDE（42）的马尔可夫解（y（Vt），z（Vt），λ）中出现的函数，方程（46）允许f（v，t）=y（v）给出一个小解- λt.4.2通过有限视界BSDE表示与第3.2节的结果类似，我们使用有限视界BSDE推导出指数正向性能过程的替代表示。pro of遵循类似的论点，因此被省略。命题13假设风险向量θ（v）的市场价格满足假设1。设集合∏如（7）所示。设ρ>0。然后，单位原点BSDEdYρt=(-G（Vt，Zρt）+ρYρt）dt+（Zρt）TdWt，（47）t≥ 0和（42）中的驱动程序G（·，·）允许使用独特的马尔可夫解决方案。具体而言，对于每个ρ>0，都存在唯一的函数yρ：Rd→ R和zρ：Rd→ 使（Yρt，Zρt）=（Yρ（Vt），Zρ（Vt）），带有| Yρ（·）|≤Kρ和| zρ（·）|≤CvCη-Cv，其中Cη如（3）所示，Cv，K分别如（57）和（59）所示。定理14 Let（yρ（Vt），zρ（Vt）），t≥ 0，成为有限地平线BSDE（47）的独特马尔可夫解决方案。然后，i）过程Uρ（x，t），（x，t）∈ R×[0，∞) , 给定byUρ（x，t）=-E-γx+yρ（Vt）-Rtρyρ（Vu）du（48）是一个指数型的前向性能过程，其挥发度aρ（x，t）=-E-γx+yρ（Vt）-Rtρyρ（Vu）duzρ（Vt）。ii）最优投资组合α*,ρtand最优财富过程X*,ρt（cf（39）），t≥ 分别给出0，如（45）所示，z（Vt）替换为zρ（Vt）。根据命题8，我们在指数过程的遍历和有限视界表示之间有以下联系。命题15假设Uρ（x，t）和U（x，t）分别是指数型正向性能过程（44）和（48）。

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kedemingshi

2022-5-9 12:15:30

那么，对于任何参考点V∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R×[0，∞) ,limρn↓0Uρn（x，t）e-yρn（v）U（x，t）=1。此外，对于t≥ 0，相关的最优投资组合满足度ρn↓0EPZt |α*,ρnu- α*u | du=0.4.3与经典的长期指数预期效用相联系。在第3.3节中，我们讨论了指数正向性能过程u（x，t）与其传统的有限期预期效用模拟之间的关系，后者包含终端r和OM。为此，设ρ>0和[0，T]为任意交易水平。考虑一类最大期望效用问题suρ（x，t；t）=ess supα∈A[t，t]EP-E-γ（XαT+ξT）|Ft，XαT=X, （49）对于（x，t）∈ R×[0，T]与财富过程Xαs，s∈ [t，t]，求解（39）。公式ξ被定义为ξT=γRTρYρ，Ttdt，其中Yρ，tti是有限视界二次BSDEYρ，Tt=ZTt的解G（Vs，Zρ，Ts）- ρYρ，Tsds-ZTtZρ，TsTdWs，艾弗·G（·，·）博士在（43）中给出。最优投资组合用α表示*,ρ、 TSS∈ [t，t]。我们得到了以下收敛结果。命题16 i）让uρ（x，t；t）和uρ（x，t）分别在（49）和（48）中给出。然后，对于ρ>0和（x，t）∈ R×[0，∞) ,极限↑∞对于s，uρ（x，t；t）uρ（x，t）=1，且最优投资组合满足∈ [t，t]，极限↑∞出口加工区α*,ρ、屠- α*,ρudu=0。ii）设U（x，t）为（44）中的指数向前过程。那么，对于任何参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R×[0，∞) ,limρn↓极限↑∞uρn（x，t；t）e-yρn（v）U（x，t）=1，且s的最优投资组合满足∈ [t，t]，limρn↓极限↑∞出口加工区α*,ρn，Tu- α*Udu=0.5对数情况我们以因子形式的对数正向性能过程得出结论，即，对于要确定的函数f，公式u（x，t）=lnx+f（Vt，t），（50）。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:15:35

“加法”格式更适合于lo garithmic类，因为后者在经典alsetting中具有“近视”特征。然后，（50）和（10）得到f:（v，t）∈ Rd×[0，∞) 必须满足线性方程FT+T竞赛κTF+ η（v）Tf+~f（v）=0，（51）与~f（v）=-距离{∏，θ（v）}+|θ（v）|。以下结果与第3节中的结果相似，因此，它们以缩写的方式陈述。为此，DYT=(-带驱动器的<<F（Vt）+λ）dt+ZTtdWt（52）>>F（Vt）=-dist{∏，θ（Vt）}+|θ（Vt）|，因为上面等式（51）中出现的算子形式很容易猜到。与命题2的证明一样，我们推断（52）对于某些函数y（·）和z（·）有唯一的马尔可夫解，比如（Yt，Zt，λ）=（y（Vt），z（Vt），λ），其性质与其中的函数相似。我们验证了进程u（x，t）：=lnx+y（Vt）- λt（53）是因子形式的对数正向性能过程。然后，SPDE（10）产生波动率a（x，t）=z（Vt）。此外，最优政策及其产生的财富分别由π给出*t=P roj∏θ（Vt），和x*t=XEZ·（P roj∏θ（Vs））T（θ（Vs）ds+dWs）t、常数λ的解释为λ=supπ∈阿利姆·苏普特↑∞TEP（lnxπT）。这个结果的一个副产品是，不适定线性偏微分方程（51）对初始数据f（v，0）=y（v）有一个光滑解，由f（v，t）=y（v）给出- λt。这也与有限水平BSDE有关。

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mingdashike22

2022-5-9 12:15:38

事实上，我们可以很容易地推断出最终的视界是BSDEdYρt=-~F（Vt）+ρYρtdt+（Zρt）TdWt，（54）有一个唯一的马尔可夫解（yρ（Vt），Zρ（V）），反过来，过程ρ（x，t），（x，t）∈ R+×[0，∞), 定义的asUρ（x，t）：=lnx+yρ（Vt）-Ztρyρ（Vs）ds，（55）是一个路径依赖的对数正向性能过程。（53）和（55）中的过程U（x，t）和Uρ（x，t）的连接方式与命题8中的幂相似。也就是说，对于任意的参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞),limρn↓0（Uρn（x，t）- yρn（v）- U（x，t））=0。最后，为了将U（x，t）和Uρ（x，t）与其经典对应关系联系起来，我们引入了对数期望效用问题Uρ（x，t；t）=es s supπ∈A[t，t]EP（lnxπt+ξt | Ft，Xπt=X），（56），其中ξt=-RTρYρ，Tudu和Yρ，Tt，t∈ [0，T]是[0，T]上BSDE的唯一解，Yρ，Tt=ZTt~F（Vu）- ρYρ，Tu杜-ZTtZρ，TuTdWu。使用与命题N9中的参数类似的参数，我们推断出对于任何参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞),limρn↓极限↑∞（uρn（x，t；t）- yρn（v）- U（x，t））=0。附录九：求解遍历和有限视界BSDE我们给出了遍历BSDE（15）和（42）的马尔可夫解的背景结果。作为命题2和命题10证明的中间步骤，我们还获得了有限视界BSDE（28）和（47）的有界马尔可夫解的存在性和唯一性。

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大多数88

2022-5-9 12:15:41

对数情况下出现的等式（52）和（54）是（15）和（28）的简并版本，因此不讨论它们。我们从关键观察开始，使用假设1。ii根据风险过程的市场价格，以及容许集A的定义和距离函数dist（π，·）的Lipschitz连续性，我们推断（16）和（43）中出现的driversH=F，G满足|H（v，z）- H（\'v，z）|≤ Cv（1+| z |）| v- \'v |，（57）| H（v，z）- H（v，\'z）|≤ Cz（1+| z |+| z |）| z- |z |，（58）和|H（v，0）|≤ K、（59）对于任何v，\'v，z，\'z∈ Rd，Cv，Cz，K>0为正常数。建立解的存在唯一性的主要思想来自于[6]中的定理3.3、[7]中的定理3.3、[16]中的定理4.4和[22]中的定理2.3。为此，我们首先定义截断函数q:Rd→ Rd，q（z）：=min（|z |，Cv/（Cη）- Cv）|z | z1{z6=0}，（60），考虑截断遍历BSDE，dYt=(-H（Vt，q（Zt））+λ）dt+ZTtdWt，（61）t≥ 0，其中q如（60）所示，且驱动器H（·，·）满足条件（57）-（59）。我们很容易得到Lipschitz连续性条件|H（v，q（z））- H（\'v，q（z）|≤CηCvCη- Cv | v- \'v |，（62）和| H（v，q（z））- H（v，q（\'z）|≤ CzCη+CvCη- Cv|z- “z”。（63）因此，如果我们可以证明BSDE（61）允许一个用（Yt，Zt，λ）和|Zt|表示的马尔科夫解≤CvCη-Cv，t≥ 0，那么q（Zt）=Zt，t≥反过来，这个过程（Yt，Zt，λ）也将分别求解命题10中的遍历BSDE（15）在Proposition 2中和（42）。我们首先建立了f（61）的马尔可夫解的存在性。为此，我们在有限维环境中采用了[16]第4节中使用的微扰技术和Girsanov变换。

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