，ad）的非负成分，为终端资本金额设定安全边际。如果X（C）=C+I（C- a） ，thenR（X（·），C）={X:R（C+X+I（C+X- a） ）3 0}=a+{x:R（x（C+x））3 a}，因此通过反转a点的选择风险度量来获得群体风险，参见（4.3）。在比例安全裕度的情况下，I（C）被I（C）取代-λC+，其中λC+=（λC+，…，λdC+d）表示λ∈ [0,1]d.6.4可替代性成本迄今为止，我们假设资本可以全部转让，也可以完全不转让。由于可替代性约束，资本可能只能通过复杂的结构流动，这些结构涉及贷款，并导致未来严重的可替代性成本，尤其是过渡资金。这可以通过调整可达到的终端位置的集合X（C）包含在我们的框架中。为了简洁起见，我们用一个二元例子来说明这个结构。在单一货币环境下+X（C）是一条经过C=（C，C）并具有斜率的曲线-如果C，C>0，则此时为1。可替代性困难可以通过根据低资本代理人的可替代性成本增加而改变该线的斜率来建模。如果公司的资本金额较大，而转让金额较小（因此转让后的资本金额超过阈值c），那么从一家公司到另一家公司的可替代性成本很可能消失。然而，如果一家公司的资本很小，并且转让相对较大，那么这可能会导致严重的可替代性成本，在转让后公司越接近破产，成本就越大。然后，例如。

对于修改后的NTB设置边界{x=（x，x）：x∈ +X（C）}可以用两个微分方程来建模十、x=-“cxP十、x=-“cxp（6.3）取决于我们是否希望将资金从第二家公司转移到第一家公司（第一个等式，0<x<c，在考虑修改的NTB设置中，仅当c>0时相关），或从第一家公司转移到第二家公司（第二个等式，0<x<c，在考虑修改的NTB设置中，仅当c>0时相关）。濒临破产时，可替代性成本变得巨大，对于捐赠公司的所有非正值资本来说，再也不可能进行转让。参数p≥ 1可用于公司特定情况下的校准。这两个方程的解与初始条件（x，x）=（C，C）一起在平面上产生一条曲线，该曲线产生+X（C）。注意X（C）=+X（C）+R-满足条件（4.2）。6.5交易成本考虑了转让受交易成本影响的情况，但不受其他方面的限制。在按比例交易成本的情况下，每个接收者交出一部分由参与者π确定的金额∈ [0, 1]. 为简单起见，我们假设π是确定性的，对所有法律实体都是一样的。对于两个法人实体，比例交易成本的可容许IGT集isI={x=（x，x）：x+πx≤ 0，πx+x≤ 0}，这是一个凸锥，不依赖于资本头寸C。相应的风险已在[15,16]和[27]中进行了深入研究。这些关于确定性交换锥的论文的结果适用于我们的环境。

特别是，R（X（·），C）=R（C+I）是集值投资组合的选择风险度量。在固定交易成本的情况下，每位接收者每年都会提交一笔固定金额≥ 0，所以i=R-∪ {x=（x，x）：x+x≤ -a} 。这提供了一个不依赖于C的非凸IGT集的示例。交易成本的一个特别重要的案例与代理在不同货币中操作的情况有关。然后，货币之间的转账会受到交易成本的影响，还可能涉及随机汇率。在这种情况下，考虑总风险也是有问题的，因为存在非自然参考货币来表示所有代理人的风险。我们把这个环境留给以后的工作。7.不平等的代理人大多数金融集团表现出一些等级结构，即存在母公司和子公司代理人，甚至同一集团的不同成员之间也经常存在交叉持股。为简单起见，考虑两个代理的情况：第一个代理的资本为S，是子公司，第二个代理的资本为Cisa控股（或母公司）。母公司拥有子公司（全部）可用资本的期权，例如通过清算，即母公司在衍生工具中拥有多头头寸，且Payoff S+=最大（0，S）。假设母公司没有其他资产或负债，因此其资本为S+。在这种情况下，增加资本金额将导致S的正部分重复计算。在之前关于最佳风险分担的工作中，这种重复计算通常被排除在外，见[10]。

在我们的框架中，通过调整可达到位置的随机集，可以避免重复计数。鉴于母公司最终拥有从子公司获得（全部）资本的法律权利，母公司可以在不签订额外合同的情况下，将子公司资本的正部分添加到其资产中，从而添加到其资本中。因此，子公司获得相应的短期头寸，这必须在子公司的风险计算中加以考虑，以便其持续资本成为-s-≤ 0，S在哪里-= (-S） +是所谓的有限责任看跌期权。因此，子公司的净资本永远不会严格为正，例如，子公司永远不会被接受，除非子公司在考虑参与后的资本集中在零，如果子公司在完全由股权融资的情况下，资产“只做多”，这可能会发生。对于资本头寸C=（C，C）=(-s-, S+，在严格粒度设置中，可附着位置的随机集由y（C）给出=((-∞, 0] × (-∞, S] 如果是≥ 0,(-∞, S] ×(-∞, 0]否则+Y（C）=(-s-, S+。假设两个集团成员的风险使用相同的一致风险度量r进行评估。因此，在严格的粒度设置中，总风险量toR∑（Y（·），C）=r（S+）+r(-s-) ≥ r（S）+- s-) = r（S）。考虑到IGT，对于世界上任何一个州，都必须确定从母公司到子公司的转移，这是唯一可行的转移方向。为此，母公司获得以S+为抵押的贷款a，我们不考虑在这种关系中可能出现的任何可替代性困难。从该贷款中，一笔金额η将在到期时转让给子公司。

如果是≥ 0，则立即收回转让金额并偿还贷款，而如果S<0，则母公司收回（S+η）+。可达到位置的集合X（C）的特征是+X（C）由(-（S+η）-, （S+η）+- η） 对于所有可能的转移η，这是取[0，a]值的随机变量。相应的“总风险”为(-（S+η）-) + r（（S+η）+- η) ≥ 考虑到风险度量的次可加性。在无限信用额度的假设情况下，如果η=S，则实现了最佳转移-.如果母公司将子公司出售给第三方，母公司的保单持有人可以从对子公司的投资中受益，而不会直接影响子公司保单持有人的准备金。由于该策略需要潜在压力市场中的买家，因此从初始时间的角度来看，建议不要在审慎监管中充分考虑这种可能性。8多样性效应菲利波维奇和昆茨[10]提出了一种自底向上的方法，在给定分布和预先定义的IGT选择的非常具体的环境中分析集团内多样性。有关最近的类似分析，另请参见[25]。一致性风险度量的关键特性是其次可加性，这与分散降低风险的事实相符。IGTs的非线性特性为多样化效应带来了新的特性。例如，在许多情况下，例如在NTB情况下，I（C+C） I（C）+I（C），（8.1），其中两者都考虑资本价值的d维向量。然后，资产和负债的多元化缩小了可接受IGT的范围。另一方面，多元化效应也带来了经典的好处。

系统性风险的分散效应也出现了类似情况，见[9]。例8.1（单变量情况）为了理解群体环境中的差异效应，从群体的角度考虑一维情况。设Cand Cbe为两个p-可积随机变量，r为一元相干Lp风险测度。定义C=（C，C）为随机向量，并设r=（r，r）。考虑到r的次可加性，当I（C）=Hequals r（C+C）给出IGT时，C的总风险为-, 然后总风险变成r（C）+r（C）。因此，古典多样性的好处可以被表述为与从R-换言之，从改变严格的粒度方法到无约束方法。与此相关的是，应该强调的是，偿付能力测试绝不应该包括不现实的转移，因为偿付能力测试往往会低估一个集团面临的真正风险。此外，应该注意的是，经典的多元化将r（C）+r（C）与特定选择X（C）=C+H的风险进行比较，即（C+C，0）。多元化的经典概念是单一代理人固有的，他们可能有多个业务单位，彼此之间的资本流动不受限制。就群体而言，我们看到了两个基本的影响：——合并相当于增加可接受的IGT集合；——对应于限制可接受IGT家族的颗粒化。特别是，两个法人实体的合并消除了它们之间的所有可替代性障碍，就像在不受约束的情况下一样，合并也是一个简单的例子。相反，拆分可能会导致资本转移受到一些额外的限制，这些限制可以被视为粒化。例8.2考虑C=（C。

，Cd），并假设第一代理将其业务拆分为两个子公司，以便C=C+C。这种粒度化对总风险的影响取决于两个创建的子公司之间以及它们与集团其他成员之间的一组可接受转移。例如，如果在无约束的基础上考虑两家子公司，则保留总风险。例8.3考虑一个终端资本为C的单一代理，该代理被拆分为C=（C，C），因此，C=C+C。在一致的风险度量r下，这种颗粒化后的总风险介于无约束情况下的r（C+C）=r（C）和严格颗粒设置下的r（C）+r（C）之间。例8.4如果两个集团合并，一个典型的问题是，一些法律实体（如两家人寿或非人寿公司）是否也应该合并。考虑两组C=（C，…，Cd）和C=（C，…，Cd）。他们的合并创建了一个新的C组，其中包含d+dlegal实体，因此必须指定族I（C） Rd+dof容许IGT。假设I（C）是很自然的 I（C）×{0}andI（C） {0}×I（C），这意味着两个主要群中每个群的可容许IGT的族I（C）和I（C）在合并后是可容许的。然而，更大的集团可能被允许在CdC的组成部分之间转移资本。鉴于此，R∑（X（·），C）≤ R∑（X（·），C）+R∑（X（·），C）。注意，这不需要r分量的相干性。因此，如果两个集团在没有任何法人实体合并的情况下合并，我们可以预期（例如，如果满足上述假设），总风险为次加性。

然而，如果我们也开始合并法人实体，由于（8.1）的反向影响，情况就不那么清楚了。因此，在群体风险评估的背景下，多元化优势可以表述如下。颗粒化不会降低风险，而整合不会增加风险。这一事实是可容许IGT集的唯一单调性，不依赖于相关风险度量的次可加性。9计算集团风险集团风险的计算需要找到x，以便x（C+x）的选择风险度量包含来源。这是一个严重的计算问题，可以通过多准则优化算法来解决，例如[17]。然而，集团风险的界限可以如下所示，见定理3.2。命题9.1假设r=（r，…，r）是具有相同成分的一致Lp风险度量。设ξ（x）是x（C+x）对x的任意选择∈ 然后{x路∈ Rd:r（ξ（x））≤ 0}  R（X（·），C）\\U∈Rd+{x∈ Rd:r（hX（C+x）（u））≤ 0}. （9.1）在下文中，假设r具有所有相同的相干分量。对于两个代理，通常可以通过以下命题简化集团风险超集的计算。命题9.2假设X（C）在Rwith中几乎肯定是凸的+I（C） {x=（x，x）：x+x=0}。那么，如果交叉点减少到u，则（9.1）中的超集不会改变∈ {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}.证明它能证明如果r（hX（C+x）（u））≤ 0表示上述三个u，那么所有u的不等式都成立∈ R+。在不丧失一般性的情况下，假设x=0。条件意味着+I（C）是具有两个端点（ζ，-ζ） 及(-ζ、 ζ），其中ζ，ζ是两个可能依赖于C的非负随机变量。

然后hx（C）（u）=hC，ui+（ζ（u- u） 如果u>u，ζ（u- u） 如果你≥ u、 如果u>u，那么hx（C）（u）=（u- u） hX（C）（（1,0））+uhX（C）（（1,1））。如果hX（C）（（1，0））和hX（C）（（1，1））都是可接受的，则风险度量的一致性表明hX（C）（u）的风险是可接受的。u>uis的情况类似。在下文中，我们为两名代理人选择了NTB限制，可能有安全边际，提案9.2明确适用。在固定安全裕度（a，a）的情况下，集团风险是{x=（x，x）：r（C+x+（C+x+）的子集- a） +）≤ 0，r（C+x+（C+x- a） +）≤ 0，r（C+C）≤ x+x}。（9.2）注意，最后一个不等式定义了对应于无约束设置的半平面。在安全裕度为零的情况下，前两个不等式非常复杂，因此命题9.1的超集与无约束环境下的集团风险没有区别。的确，如果x+x≥ r（C+C），在不丧失一般性的情况下，我们可以假设等式，因此x=r（C+C）- x、 然后（9.2）中的第一个不等式要求R（C+（C+x）+）≤ r（C+C）- x、 或者，等价地，r（C+C+（C+x）+- （C+x）≤ r（C+C），它始终保持不变，因为（C+x）+≥ （C+x）。为了获得R（X（·），C）的子集，选择选择ξ（X）作为选择点+最靠近对角线{（X，X）：X=X}的X（C+X）。如果D=C+C，那么ξ（0）=（D，D）≥ 如果D<0，则在情况C中ξ（0）=（D，0）≥ 0，ξ（0）=（0，D）如果C≥ 如果C，C<0，则ξ（0）=（C，C）。因此，ξ（0）是可接受的ifr（D1D）≥0+D1D<0，C≥0+CC<0，C<0）≤ 0，r（D1D）≥0+D1D<0，C≥0+CC<0，C<0）≤ （9.1）中的内近似值是由所有x=（x，x）的集合得到的，这样，当C=（C，C）替换为（C+x）时，上述不等式成立- a、 C+x- a） ，其中（a，a）表示固定安全精氨酸。通过找出满足这些不等式的x+x的最小值，可以得到总风险的上界。（a） （b）图。

2均匀分布（a）和正态分布与指数分布组合（b）的群体风险界限。严格粒度的集团风险显示为黄色，内部近似显示为绿色，外部近似显示为红色（它与无约束的集团风险一致）。例9.1考虑无安全裕度且r=（ES0.01，ES0.01）作为潜在风险度量的NTB设置。图2（a）显示了i.i.d.C.集团风险的超集和子集，改变了[0,5]上的均匀分布。外界等于无约束环境下的群体风险。右上角显示了严格粒度情况下的集团风险。虽然命题9.1给出的R（X（·），C）的界限明显不同，但它们都产生了相同的总风险值。这意味着本例中NTB设置的总风险与不受约束的集团风险一致。虽然所有模拟例子中都出现了可交换（C，C）的相同点，但我们对这一观察结果没有理论上的证实。图2（b）显示了在标准正态分布独立于-改变平均值的指数分布。在这种情况下，集团风险的内部近似值与外部近似值没有联系，无论它们多么接近。例9.2取r=（ES0.01，ES0.01）并设（C，C）为正态分布，平均值为零，方差矩阵为零1.-0.5-零点五三.图3（a）显示了无安全裕度的集团风险的近似值。在这里，外部近似值与无约束环境下的集团风险一致，而内部近似值与之接触，因此表明NTB环境下的总风险与无约束总风险一致。图3（b）显示了两种药物的固定安全裕度设置为0.5的结果。

在这种情况下，外部近似值（9.1）与内部近似值一致，因此产生集团风险。外部设置对应于无约束设置。通过将严格颗粒化的群体风险（黄色显示）与其他风险进行比较，可以看出IGT对群体内多元化的高潜力。参考文献1。Acciaio，B.：非单调货币泛函的最优风险分担。《金融与随机》11267–289（2007）2。Acciaio，B.，Svindland，G.：不同参考概率下的最佳风险分担。保险数学。经济。44,426–433 (2009)3. Amini，H.，Filipovi\'c，D.，Minca，A.：cetral交易对手清算的系统性风险。研究论文系列13-34，瑞士金融研究所（2013）4。Asimit，A.V.，Badescu，A.M.，Tsanakas，A.：保险集团的最佳风险转移。欧元。精算师。J.3，159–190（2013）5。Aubin，J.P.，Frankowska，H.：集值分析，系统与控制，基础与应用，第2卷。波士顿伯赫奥瑟（1990）6。Barrieu，P.，El Karoui，N.：Inf风险度量的卷积和最佳风险转移。金融与随机9269–298（2005）（a）（b）图3无安全裕度（a）和固定安全裕度（b）的正态分布资产的集团风险界限。严格粒度的集团风险显示为黄色，内部近似显示为绿色，外部近似显示为红色，无约束集团风险显示为蓝色。7.Barrieu，P.，Scandolo，G.：多期风险的一般帕累托最优配置和应用。阿斯汀。公牛38,105–136 (2008)8. Delbaen，F.：货币效用函数。大阪大学出版社，大阪（2012）9。范斯坦，Z.，鲁德罗夫，B.，韦伯，S.：系统性风险的度量。技术代表，arXiv:1502.07961v2[q-fin.RM]（2015）10。菲利波维奇，D.，昆茨，A.：可实现的集团多元化效应。《生活与养老金》第33-40页（2008年5月）11。

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