不完全违约市场中的博弈期权

2022-5-9 14:17:07

违约Roxana Dumitr escu的不完美市场中的博弈选择*Marie Claire Quenez+Agn`es Sulem2018年8月6日摘要我们研究了在违约的不完善市场中，博弈期权的定价和超边际策略。我们将Kifer在[23]中在完美市场模型的情况下得到的结果推广到存在违约的不完美市场的情况，通过财富动态的非线性考虑了这些影响。我们将卖方的游戏期权价格作为初始财富的上限，允许卖方进行超级对冲。我们证明了这个价格与最近在[14]中引入的关联广义Dynkin对策的值函数一致，该对策由具有违约跳跃的非线性BSDE引起的非线性期望表示。此外，我们还研究了超边缘策略的存在性。然后，我们讨论了模型上的模糊情况，例如违约概率上的模糊性，并将博弈期权的鲁棒卖方价格描述为非混合广义Dynkin博弈的价值函数。我们研究了取消时间和交易策略的存在性，无论模型是什么，它都允许卖方进行超级套期保值。关键词：博弈期权，不完全市场，广义Dynkin博弈，非线性预测，倒向随机微分方程，非线性定价，超混合价格，双反射倒向随机微分方程。1 Kifer（2000）[23]引入的Int r Production Game options是一种衍生合同，双方可在到期日之前随时终止。更准确地说，一个游戏选项允许卖方取消它，买方在任何小于T的停止时间行使它。

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2022-5-9 14:17:10

如果买方在卖方取消前的时间τ行使，则*英国伦敦国王学院数学系，电子邮件：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk+LPMA，巴黎大学7号丹尼斯·狄德罗，博伊特快递7012，75251巴黎ce dex 05，法国，电子邮件：quenez@math.univ-巴黎狄德罗。fr法国巴黎塞德克斯12号西蒙尼大道3号巴黎因里亚，邮编：CS4211275589，电子邮件：agnes。sulem@inria.frThe作者感谢一位匿名评论员的富有洞察力的评论，这些评论导致了论文的显著改进。卖方向买方支付金额ξτ，但如果卖方在买方行使之前取消，则卖方支付金额ζσ≥ ξτ在取消时支付给买方σ。不同之处在于：-违约金被解释为卖方因解除合同而向买方支付的违约金。简言之，如果买方选择一个行使时间τa，卖方选择一个取消时间σ，则后者向前者支付付款ξτ≤σ+ζστ>τ时的σ∧ σ.在经典完美市场的情况下，基弗引入了游戏期权的“公平价格”，定义为卖方在取消时间之前支付给买方的债务所需的最低初始财富，无论买方选择什么行使时间。他在CCR离散时间模型和Black and Scholes模型中都表明，该价格等于以下Dynkin博弈的价值函数：supτinfσEQ[)ξττ≤σ+~ζστ>σ]=infσsupτEQ[~ζττ]≤σ+ζστ>σ]，（1.1）式中，其中ζtandζ皮重是ξtandζt的贴现值，等于e-rtξ和e-rtζt分别在Black和Scholes模型中，其中r是瞬时利率。这里，EQdenotes在市场模型的唯一鞅概率测度Q下的期望。

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2022-5-9 14:17:14

关于博弈期权定价和更复杂的博弈类型金融合同的进一步研究，包括Dolinsky和Kifer（20 07）[12]和Dolinsky和al.（2011）[11]在离散时间案例中的论文，以及Hamad`ene（2006）[18]在连续时间完美市场模型中的论文，该模型具有连续支付ζ和ζ。我们还提到了Bielecki和al.（2009）[3]的论文，该论文研究了违约市场模型中的博弈期权定价。注意，在[22]中，卡尔森和库恩（2004）研究了完全市场中的博弈选择。他们考虑另一种定价方式，称为效用最大化中性估值。本文的目的是研究在市场模型存在缺陷的情况下，博弈期权的定价和套期保值问题，该模型考虑了Wealt h动力学的非线性，通过非线性驱动g建模。此外，我们还考虑了违约的可能性。一大类不完善的市场模型可以适用于我们的框架，比如不同的借贷利率，或者对风险投资的收益征税。我们的模型还包括期权卖方是“大交易者”的情况，其选择策略可能会影响市场价格和违约概率。在这里，我们假设与g ame选项相关的支付ξ和ζ仅为右连续左有限（RCLL），并且它们满足Mokobodzki条件。我们称之为卖方的博弈期权价格，即初始财富的上限（用u表示），即存在一个取消时间σ和一个组合策略，如果买方在任何时间τ行权，卖方可以向买方支付ξτ（时间τ）≤ σ、和ζσ（时间σ），如果买方在时间σ仍未行使。请注意，不一定能达到这个上限。

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2022-5-9 14:17:19

我们将博弈期权的卖方价格描述为相应的广义Dynkin博弈（最近在[14]中引入）的（公共）值。更精确地说，我们证明了u=supτinfσEg[ξτττ≤σ+ζστ>σ]=infσsupτEg[ξττ≤σ+ζστ>σ]，（1.2），其中Egi是一个非线性预期/估值，由一个非线性BSDE引起，在原始概率测度P和驱动因素g下求解。注意，在完美市场的特定情况下，驱动因素g是线性的，可以通过使用一个实际化过程和（1.2）对应于（1.1）的概率测度变化来显示。我们证明了，在ζ（而不是ξ）上的一个额外的左正则性假设下，存在一个取消时间和一个允许卖方进行超级套期保值的交易策略。在这种情况下，卖方的价格定义达到了上限。当ζ仅为YRCLL时，不一定能达到最大值。然而，我们证明，对于每一个ε>0，t heamount ua允许卖方被超套期保值到ε，直到一个精心选择的取消时间。这些结果的证明依赖于一般的Dynkin对策和具有默认跳跃的非线性双反射BSDE之间的联系。我们研究的第二个主要问题是（不完美）市场模型不确定性情况下博弈期权的定价和超边际问题。据我们所知，除了Dolinsky（2014）在[10]中在离散时间框架下对这个问题进行了研究外，文献中没有对这个问题进行过研究。特别是，我们的模型可以考虑违约概率的模糊性，如第4.3节所示。我们证明了在不确定条件下，鲁棒卖方的博弈期权价格，定义为初始资产的上限，允许卖方被超边缘化，无论模型是什么，都与混合广义动态博弈的价值函数一致。

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2022-5-9 14:17:22

我们还研究了稳健性策略的存在性。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了我们的带有违约和非线性财富动态的不完全市场模型。在第三节中，我们研究了博弈期权的定价和超边际，以及它们与广义D ynk i博弈的联系。在第4节中，我们讨论了模型模糊的不完美市场的情况。第5节提供了一些关于买方观点和股息案例的补充结果。附录中给出了带默认跳变的双反射BSDE的一些结果和一个有用的分析引理。2.违约的不完美市场模型2。1带defaultLet的市场模型(Ohm, G、 P）是一个具有两个随机过程的完全概率空间：一维标准布朗运动W和由Nt=1θ定义的跳跃过程N≤t对于任何t∈ [0，T]，其中θ是一个随机变量，用于模拟默认时间。我们假设这个默认值可以在P（θ）的任何时间出现≥ t）任何t都大于0≥ 我们用byG={Gt，t表示≥ 0}由W和N生成的增强过滤（在[9，IV-48]的意义上）。我们假设W是G-布朗运动。我们用P表示G-可预测σ-代数。设（λt）为非减量过程（Nt）的可预测补偿器。注意（t）∧θ）则是（Nt）的可预测补偿器∧θ）=（Nt）。通过可预测补偿器∧t的唯一性∧θ=∧t，t≥ 我们假设t∧是绝对连续的。r、因此存在一个非负过程λ，称为强度过程，使得∧t=Rtλsds，t≥ 0.自∧t∧θ=∧t，λ随θ消失。我们用M表示补偿鞅，它满足t=Nt-Ztλsds。让T>0为有限的地平线。

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2022-5-9 14:17:25

我们介绍了以下几组：oSis是一组G适应的RCLL过程，使得E[sup0≤T≤T|||T]+∞.o Ais是A=0且E（AT）<∞.o 他给出了一组G-可预测过程Z，使得kZk:=EhRT | Zt | dti<∞.o Hλ：=L(Ohm×[0，T]，P，λtdt），配备标量积hU，viλ：=EhRTUtVtλtdti，用于Hλ中的所有U，V。每一个U∈ Hλ，我们设置kUkλ：=EhRT | Ut |λtdti<∞.请注意，对于每个U∈ Hλ，我们有kUkλ=EhRT∧θUt |λtdtib因为G-强度λ在θ之后消失。此外，我们可以假设，对于Hλ=L中的每个U(Ohm×[0，T]，P，λtdt），U（或其在L中的代表物）(Ohm ×[0，T]，P，λtdt）仍然由U）表示，在θ之后消失。此外，T表示停止时间τ的集合，使得τ∈ [0，T]a.s.对于每个s inT，Ts是停止时间τ的集合，使得s≤ τ ≤ 我们还记得鞅表示定理（见[19]）：引理2.1。任意G-loca l鞅m=（mt）0≤T≤作为代表MT=m+ZtzsdWs+ZtlsdMs，T∈ [0，T]a.s.（2.1），其中z=（zt）0≤T≤Tand l=（lt）0≤T≤皮重是可预测的，因此上述两个stoc h散光整数是明确的。如果m是平方可积鞅，那么z∈ 手l∈ Hλ。我们现在考虑三种资产的金融市场，其价格过程S=（S，S，S）’由以下等式控制：dSt=STRTDTDDST=St[utdt+σtdWt]dSt=St-[utdt+σtdWt- dMt]。进程S=（St）0≤T≤t与无风险资产的价格相关，利率r t e过程r=（rt）0≤T≤T、 S=（St）0≤T≤Tto为不可违约风险资产，S=（St）0≤T≤t完全违约的可违约资产。价格过程在θ之后发生变化。所有过程σ、σ、r、u、u都是可预测的（即P-可测量）。我们设置σ=（σ，σ）′。我们做出以下假设：假设2.2。

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2022-5-9 14:17:28

系数σ，σ>0，和r，σ，σ，u，u，λ，λ-1,(σ)-1, (σ)-1有界。我们考虑一个投资者，其初始财富等于x，可以将其财富h投资于市场的三项资产。每次t<θ时，他都会选择投资于第一（第二）风险资产的财富金额。然而，在时间θ之后，投资者不能将其财富投资于可违约资产，因为其价格等于0，他只选择投资于第一项风险资产的财富金额。请注意，可以通过为每个T设置φT=0来定义整个间隔[0，T]上的过程≥ θ. a过程=（ηt，ηt）′0≤T≤如果它属于H×Hλ，则称为风险资产策略。我们用Vx表示财富，或相当于投资组合的价值，在t时。在t时投资于无风险资产的金额由Vt给出-（ηt+ηt）。完美的市场模式。在完美市场模型的经典案例中，财富过程和战略满足自我融资条件：dVt=（rtVt+~nt（ut- rt）+ut（ut）- rt）dt+（ψtσt+νtσt）dWt- ~ntdMt。（2.2）设置Kt:=-νt和Zt:=аtσt+аtσt，这意味着аt=（Zt+σtKt）（σt）-1，wegetdVt=rtVt+（Zt+σtKt）（ut）- rt）（σt）-1.- Kt（ut）- rt）dt+ZtdWt+KtdMt=（rtVt+Ztθt+Ktθtλt）dt+ZtdWt+KtdMt，其中θt:=ut- rtσtandθt:=σtθt- ut+rtλt{t≤θ}.考虑一个到期日为T>0，支付金额为ξ的欧洲未定权益，属于L。问题是通过构建复制投资组合来定价和对冲该权益。根据[15，命题2.6]，存在一个独特的过程（X，Z，K）∈ 以下带默认跳转的BSDE的S×H×Hλ解：- dXt=-（rtXt+Ztθt+Ktθtλt）dt- ZtdWt- KtdMt；XT=ξ。（2.3）解决方案（X、Z、K）提供了复制组合。

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nandehutu2022

2022-5-9 14:17:33

更准确地说，过程X对应于其价值，以及对冲风险资产策略∈ Hλ由φ=Φ（Z，K）给出，其中Φ是由定义2.3在H×Hλ上定义的一对一映射。设Φ为Φ：H×Hλ定义的函数→ H×Hλ；（Z，K）7→ Φ（Z，K）：=φ，其中φ=（φ，φ）是由φt=-Kt；νt=Zt+σtKtσt，相当于Kt=-~nt；Zt=θtσt+θtσt=θt′σt。注意，属于Hλ的过程θ和K都在时间θ后消失。过程X与VX，~n一致，即与initialwealt h X=X和投资组合策略有关的投资组合a的价值。从卖家的角度来看，这个组合是一个前卫的组合。事实上，通过将初始金额Xin投资于参考资产，卖方可以在时间T（以及在每个初始时间T）向买方支付金额ξ。我们推导出，Xt是期权在t时刻的价格，称为套期保值价格，用Xt（ξ）表示。通过λ-线性带默认跳跃的BSDE（见[15，定理2.13]）的解的表示性质，我们可以将BSDE（2.3）的解X写成以下形式：Xt（ξ）=E[E]-RTtrsdsζt，tζ| Gt]，（2.4），其中ζt，·满足ζt，s=ζt，s-[-θsdWs- θsdMs]；ζt，t=1。（2.5）这定义了一个线性价格系统X:ξ7→ X（ξ）。假设θt<1，0≤ T≤ θdt 数据处理- a、 s.（2.6）然后ζt，·>0。设Q为允许ζ0的概率测度，在GT上为Tas密度。利用Girsanov定理，可以证明Q是唯一的鞅概率测度。在这种情况下，价格系统X是递增的，对应于经典的无套利价格系统（见[19,4,3]）。备注2.4。我们在上文中介绍了完全违约的可违约资产的情况。可以考虑不同的资产价格模型（参见[19，第7章，第9.3节]）：dSt=St-[utdt+σtdWt+βtdMt]，其中βt6=0且βt>-1，带βt，β-我很高兴。

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2022-5-9 14:17:36

在这种情况下，价格在默认时间θ后不会消失。我们认为- rtσt{t>θ}=ut- rtσt{t>θdt 数据处理- a、 s.（2.7）设ζ0，·由（2.5）定义，θt=ut- rtσt；θt=ut- σtθt- rtβtλt{t≤θ}. 假设θt<1，0≤ T≤ θdt dP-a.s.假设（2.7）确保概率以ζ0表示，GT上的Tas密度是唯一的鞅概率度量。未定权益的无套利价格ξ由（2.4）和satis BSDE（2.3）给出；此外，套期保值策略是通过以下公式得出的：φt=Ktβ和φt=Zt-νtσtσt.不完美市场模型Mg。从现在起，我们假设市场中存在缺陷，这些缺陷通过财富h动态的非线性来考虑。更准确地说，与策略φ=（φ，φ）相关的财富V动态可以通过一个非线性驱动来描述，定义如下：定义2.5（驱动，λ-可能的驱动）。一个函数g被称为dr-iver ifg:[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k）7→ g（ω，t，y，z，k）是PB（R）- 可测量的，并且使得g（，0，0，0）∈ H.如果存在常数C，则驱动器g称为λ-容许驱动器≥ 0个这样的dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k），（y，z，k），|g（ω，t，y，z，k）- g（ω，t，y，z，k）|≤ C（| y）- y |+| z- z|+√λt|k- k |）。（2.8）正实C被称为与驱动器g相关的λ-常数。注意，t条件（2.8）意味着对于每个t>θ，因为λt=0，g不依赖于k。换句话说，对于每个（y，z，k），我们有：g（t，y，z，k）=g（t，y，z，0），t>θd Pdt-a.s.让x∈ R为初始财富，设H×Hλ中的=（，）为投资组合策略。我们假设相关的财富过程Vx，~nt（或简称Vt）满足以下动态：- dVt=g（t，Vt，νt′σt，-νt）dt- ηt′σtdWt+ηtdMt，（2.9），V=x。由于g是关于y的lipschitz，这个公式是有意义的。

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2022-5-9 14:17:40

事实上，对于每个ω，设置ft:=Rt k t′σtdWs+k tdMs，确定性函数（VY，k t（ω））被定义为以下确定性微分方程的唯一解：Vx，k t（ω）=x-Ztg（ω，s，Vx，νs（ω），νs′σs（ω），-νs（ω））ds+ft（ω），0≤ T≤ T.（2.10）注意，同等地，设置Zt=int′σ和Kt=-ηt，Wealt h过程的动力学（2.9）可以写成如下：- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt- ZtdWt- KtdMt。（2.11）在下文中，我们的不完美市场模型用Mg表示。注意，在完美市场的情况下（见（2.3）），我们有：g（t，y，z，k）=-蒂蒂- θtz- θtkλt，（2.12）是假设2.2.2.2中的λ-容许驱动因素非线性定价系统在不完美市场中对欧式期权进行定价和套期保值会导致具有非线性驱动因素g和违约跳跃的BSDE。根据[15，命题2.6]，我们得到了命题2.6。设g是λ-容许的驱动，设ξ∈ L（GT）。在以下g BSDE的S×H×Hλ中存在唯一解（X（T，ξ），Z（T，ξ），K（T，ξ））（用（X，Z，K）表示）：- dXt=g（t，Xt，Zt，Kt）dt- ZtdWt- KtdMt；XT=ξ。（2.13）让我们考虑一个到期日为T且最终支付为ξ的欧式期权∈ L（GT）在这个市场模型中。设（X，Z，K）为BSDE（2.13）的解。过程X等于与初始值X=X，策略φ=Φ（Z，K）（其中Φ在定义2.3中定义）相关的财富过程，即X=VX，φ。因此，其初始值X=X（T，ξ）是卖方索赔ξ的合理价格（在时间0），因为该金额允许卖方制定交易策略∈ H×Hλ，称为对冲策略（针对卖方），使得相关投资组合的价值在时间T时等于ξ。此外，通过BSD E（2.13）解的唯一性，唯一价格（时间0）满足了这种享乐特性。类似地，Xt=Xt（T，ξ）满足时间T的一个类似性质，被称为时间T的套期保值价格。

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2022-5-9 14:17:43

这导致了一个非线性定价系统，首先由ElKaroui Quenez（[17]）在Br ownian fr amework（在[24]中称为g-评估）中引入，并用例如表示每个∈ [0，T]，每ξ∈ L（GS）相关的g-评估由egt，S（ξ）：=Xt（S，ξ）定义∈ [0，S]。为了确保无线性定价系统的（严格）单调性和无套利性，我们做出以下假设（见[15，第3.3节]）。假设2.7。假设存在一个有界映射γ：[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k，k）7→ γy，z，k，kt（ω）P B（R）-可测量且满足dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k，k）∈ R、 g（t，y，z，k）- g（t，y，z，k）≥ γy，z，k，kt（k- k） λt，（2.14）和P-a.s.，对于每个（y，z，k，k）∈ R、 γy，z，k，kt>-1.当g（t，·）相对于k不递减时，或者如果g是带有千克（吨，·）>-λt{t≤ θ}. 在完美市场的特殊情况下，g由（2.12）给出，这意味着千克（吨）-θtλt。在这种情况下，假设2.7相当于θt<1，这与文献中关于违约风险的通常假设（2.6）相对应。备注2.8。假设g（t，0，0，0）=0 dP dt-a。s那么，一个支付为空的期权的价格等于0，也就是说，对于每一个S∈ [0，T]，例如·，S（0）=0a.S。此外，通过比较BSDEs带故障跳跃的定理（见[15，定理2.17]），可以得出非线性定价系统是非负的，即对于每个∈ [0，T]，对于所有ξ∈ L（GS），如果ξ≥ 0 a.s.，然后Eg·，s（ξ）≥ 0 a.s.定义2.9。让我来∈ 如果Eσ，τ（Yτ），则过程（Yt）称为强E-超鞅（分别为鞅）≤ Yσ（resp.=Yσ）a.s.oσ≤ τ，对于所有σ，τ∈ T.提案2.10。对于每个人来说∈ [0，T]和每ξ∈ L（GS），关联价格（或估值）Egt，S（ξ）是一个Eg鞅。

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2022-5-9 14:17:46

更爱，每x∈ R和eac h投资组合策略∈ H×Hλ，相关的财富过程Vx，是一个Eg鞅。证据根据BSDE的流动性质，带驱动g的BSDE的解是EG鞅。第一个断言如下。第二个是通过注意到Vx，~n是BSDE的解决方案，带有驱动器g、终端时间T和终端条件Vx，~nT。示例2.11（市场缺陷示例）。o不同的借款和贷款利率rt和rt，以及rt≥ rt：驱动力是形式（t，Vt，ν′tσt，-νt）=-rtVt- ut（ut）- （右）- ut（ut）- rt）+（rt- Vt）Vt- ~nt- ~nt）-,其中θtvanishes在θ和之后（见例[7]）大型投资者卖方：假设期权卖方是一名大型交易员，其套期保值策略及其相关成本可能会影响市场价格（参见[6,2]）。考虑到市场模型中可能存在的反馈效应，largetrader卖家可能会假设系数的形式为σt（ω）=σ（ω，t，Vt，νt），其中σ：Ohm ×[0，T]×R；（ω，t，x，z，k）7→ \'σ（ω，t，x，z，k）是P B（R）-可测量emap，类似地，对于其他系数R，u，u。因此，d河的形式为：g（t，Vt，ν′t′σt（t，Vt，νt），-νt）=-\'r（t，Vt，~nt）Vt-ut（ut）-\'rt）（t，Vt，~nt）-ut（ut）-“rt”（t，Vt，аt）。这里，映射ψ：（ω，t，y，ν）7→ （z，k），其中z=ν′σt（ω，t，y，ν）和k=-ψ被假定为与ψ相关的一对一，并且其在ψ中-1是P B（R）可测量风险投资收益税：让ρ∈ ]0,1[代表一个固定的税收系数（见例[16]）。然后，驱动器i由以下公式给出：g（t，Vt，а′tσt，аtβt）=-rtVt- ut（ut）- （右）- ut（ut）- rt）+ρ（ηt+ηt）+3不完全市场管理中博弈期权的定价和套期保值t>0为终点时间。设ζ和ζ在ζT=ξTa的条件下适用于RCLL过程。s、 ξt≤ ζt，0≤ T≤ 一点也不。s

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2022-5-9 14:17:50

我们假设Mokobodzki的条件是满足的，即存在两个非负的RCLL超部分，分别是H和H′，其中：ξt≤ Ht- H\'t≤ ζt0≤ T≤ T a.s.游戏选项由卖方选择取消时间σ组成∈ T，供买方选择锻炼时间τ∈ T，以便卖方在时间τ向买方付款∧ σ——数量（τ，σ）：=ξττ≤σ+ ζσσ<τ.我们现在介绍卖方的博弈期权价格，用u表示，定义为初始财富范围内的价格，使卖方能够选择取消时间σ，并构建一个投资组合，该投资组合将涵盖其在买方选择的行使时间内向买方支付高达σ的报酬的责任。定义3.1。对于每个初始财富x，一个包含博弈选项的超级对冲基金都是一对（σ，ν）s时间σ∈ 投资组合策略∈ H×Hλ使得vx，νt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.和Vx，σ≥ ζσa.s.（3.1）我们用s（x）=sξ，ζ（x）表示与初始财富x相关的所有超级对冲的集合。我们确定卖方价格asu:=inf{x∈ R(σ, φ) ∈ S（x）}。（3.2）当达到（3.2）中的上限时，该金额允许卖方进行超级对冲，称为超级对冲价格。备注3.2。我们有（0，0）∈ S（ζ）自Vζ起，0=ζ和ζ≥ ξ. 通过（3.2），我们得到了≤ ζ.此外，当g（t，0，0，0）=0 dP dt-a.s.和ζ≥ 0，那么我们可以将我们自己的初始财富限制为非负的，也就是u=inf{x≥ 0, (σ, φ) ∈ S（x）}。事实上，让x∈ Rbe，因此存在（σ，ν）∈ S（x）。然后，Vx，Vx≥ ζσ≥ 现在，根据命题2.10，财富过程Vx，是一个Eg鞅。因此我们有x=Eg0，σ（Vx，σ）。如果定价系统EGI为非负（见备注2.8），则x=Eg0，σ（Vx，σ）≥ 0.我们现在提供卖方价格的双重公式，用非线性定价系统表示，例如，我们引入以下定义：定义3.3。

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2022-5-9 14:17:53

我们将博弈期权的g值定义为σ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（3.3）我们的目的是证明卖方的博弈期权价格Uo等于其g值。为此，我们首先给出g值的以下特征。提议3.4。（博弈期权g值的特征）假设支付的ξ和ζ为（仅）RCLL。ga me期权的g值满足：infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=Y，（3.4）注意，条件（3.1）相当于Vx，洎t∧σ≥ I（t，σ），0≤ T≤ 其中（Y，Z，K，a，a′）是与驱动器g和势垒ξ，ζ相关的双反射BSDE（DRBSDE）在s×H×Hλ×a×ao中的唯一解，即-dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt+dAt- 达特- ZtdWt- KtdMt；YT=ξT，（3.5）与（i）ξT≤ Yt≤ ζt，0≤ T≤ T a.s.，（ii）dAt⊥ dA′t（即测量数据和dA′tare相互单数）（iii）ZT（Yt）- ξt）dAct=0 a.s.和zt（ζt）- Yt）dA′ct=0 a.s。Adτ=Adτ{Yτ-=ξτ-}和A′dτ=A′dτ{Yτ-=ζτ-}a、美国。τ ∈ 可预测的。使用[1 4]中介绍的术语，（3.4）中的第一个等式意味着与标准Eg0，τ相关的g广义Dynkin对策∧σ[I（τ，σ）]是公平的。当g是线性的，而t不是默认值时，这对应于一个著名的结果——经典Dynkin对策和线性DRBSDE（参见[8,18]）。证据附录中给出了DRBSDE（3.5）解（Y，Z，K，a，a′）存在唯一性的证明。按照[14，定理4.9]在随机泊松测度框架中给出的证明，我们可以证明∈ T，YS=ess-infσ∈TSess supτ∈TSEgS，τ∧σ[I（τ，σ）]=ess supτ∈tsessinfσ∈TSEgS，τ∧σ[I（τ，σ）]a.s.命题的结果，然后取s=0。提案3.5。设（Y，Z，K，A，A′）为DRBSDE（3.5）的唯一解。当ξ（分别为。-ζ）沿停车时间向左-u.s.c.，则A（分别为A′）是连续的。证据

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2022-5-9 14:17:56

首先注意，对于每个可预测的停止时间τ，通过（3.5），我们得到(Yτ）+=A′τA.s.和(Yτ）-= 假设现在-ζ沿停车时间向左-u.s.c。设τ为可预测的停止时间。利用平等A′τ=(Yτ）+加上A′满足的korokhod条件，我们得到A′τ=1{Yτ-=ζτ-}（Yτ）- Yτ-)+= 1{Yτ-=ζτ-}（Yτ）- ζτ-)+. （3.6）现在，自从-ζ是左-u.s.c.沿着停止时间，我们有Yτ-ζτ-≤ Yτ-ζτ≤ 0 a.s.，其中最后一个等式从不等式Y开始≤ ζ. 利用（3.6），我们得出A′τ=0a.s.因此A′是连续的。通过类似的论证，我们可以证明，如果ξ沿停止时间向左-u.s.c.，那么A是连续的。利用上述命题，我们现在可以展示卖方价格的dua l公式。我们首先考虑ζ为下半连续（或等效）时的简单情况-ζisleft-u.s.c.）沿停车时间。在这种情况下，我们在下文中证明，卖方的价格等于g-V值，并且达到了（3.2）中的上限。这意味着卖方的价格是超级对冲价格。此外，通过相关DR BSDE的解决方案提供了超级对冲策略。定理3.6（卖方/超级对冲价格和博弈期权的超级对冲）。假设ζ沿停止时间左下半连续（ξ仅为RCLL）。博弈期权的seller\'sprice（3.2）与博弈期权的g值一致，即isu=infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（3.7）设（Y，Z，K，A，A′）是与驱动器g和屏障ξ，ζ相关的DRBSDE的解。卖方价格等于Y，即i su=Y。此外，达到了（3.2）中的最大值。

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2022-5-9 14:18:00

因此，卖方的价格是超级套期保值价格，存在一个超级套期保值策略（σ）*, φ*) 与初始数量u相关，给定σ*:= inf{t≥ 0，Yt=ζt}和*:= Φ（Z，K），（3.8），其中Φ在定义2.3中定义。备注3.7。在完美市场模式l的特殊情况下，我们的结果给出了一个经典Dynkin对策问题的值函数，这在文献[23,18]中给出，在ξ的附加正则性假设下，通过使用实现过程、概率测度的变化和i类calDynkin对策的一些结果。此外，在这种特殊情况下，通过使用线性DRBSDE和经典Dynkin博弈（首先在[8]中提供）之间的链接，在[18]中显示了通过线性双反射BSDE的解对超级套期保值的UAN和UAN的特征。为了解决不完全市场模型的问题，当g是非线性的时，我们需要使用其他参数，特别是非线性g-评估的一些性质，例如，向后SDE和向前微分方程的比较，以及非线性双反射BSDE和广义Dynkin对策之间的联系（首先在[14]中提供）。证据根据命题3.4，博弈期权的g值等于Y。注意，u=inf H，其中H是允许卖方被超分割的初始资本集，即isH={x∈ R:(σ, φ) ∈ S（x）}。让我们展示一下≥ u、证明存在（σ）是足够的*, φ*) ∈ S（Y）。根据提案3.5，自-ζ为左u.s.c.沿停止时间，过程A′是连续的。让σ*定义如（3.8）所示。我们有一个a.s.，每个t的Yt<ζt∈ [0, σ*[.由于Y是DRBSDE（3.5）的解，因此过程A′在[0，σ]上是常数*[a.s.甚至[0，σ]*] 通过连续性。因此，A′σ*= A′=0 A.s。

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nandehutu2022

2022-5-9 14:18:04

对于几乎每一个ω，我们就有Y（ω）=Y-Ztg（s，ω，Ys（ω），Zs（ω），Ks（ω））ds+ft（ω）- 在（ω）处，0≤ T≤ σ*(ω). （3.9）式中ft:=RtZsdWs+RtKsdMs。现在，财富VY，ν*., 与初始资本和财务战略有关*:= Φ（Z，K）满足几乎所有ω的正向确定性微分方程：VY，ν*t（ω）=Y-Ztg（s、VY、~n）*s（ω），Zs（ω），Ks（ω））ds+ft（ω），0≤ T≤ T.（3.10）因为A是非递减的，所以应用[0，σ]上的经典比较结果*（ω） ]（参见引理6.2）以获得两个正微分方程（3.9）和（3.10），具有相同的效率（s，x）7→ -g（s，ω，x，Zs（ω），Ks（ω）），我们得到vy，~n*T≥ Yt≥ ξt，0≤ T≤ σ*a、在美国，最后一个不等式来自于不等式Y≥ ξ. 我们也有vy，~n*σ*≥ Yσ*= ζσ*a、在美国，最后一个等式来自于停止时间σ的定义*以及Y和ζ的连续性。因此，（σ）*, φ*) ∈ S（Y），（3.11），这意味着∈ H.由此得到不等式Y≥ u、它仍在向你展示≥ Y.因为Y=infσ∈Tsupτ∈TEg0，T[I（τ，σ）]（根据命题3.4），它足以证明≥ infσ∈Tsupτ∈TEg0，T[I（τ，σ）]。（3.12）让x∈ H.存在（σ，ν）∈ S（x），即一对（σ，φ）停止时间σ∈ 坦达投资组合策略∈ H×Hλ使得Vx，νt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.和Vx，σ≥ ζσa.s.，这意味着对于所有τ∈ 我们不是有vx吗∧σ≥ I（τ，σ）a.s.取上述不等式中的Eg值，然后取τ的上确界∈ T，利用Eg评估的单调性和财富过程的Eg鞅性质vx，ν（见命题2.10），我们得到x=Eg0，τ∧σ[Vx，ντ∧σ] ≥ Eg0，τ∧σ[I（τ，σ）]，对于每个τ∈ T通过取τ的上确界∈ 当温度超过σ时∈ T，我们得到了≥ infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。这个不等式适用于任何x∈ H.以x为界∈ H、我们得到了它们的内在质量（3.12），这就产生了≥ Y.自从Y≥ u、我们得到Y=u。

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2022-5-9 14:18:07

此外，这个等式加上（3.11）意味着（σ*, φ*) ∈ S（u）。因此，证据是完整的。备注3.8。设^σ为停止时间，使a′^σ=0 a.s.和Y^σ=ζ^σa.s.通过上述证明，该对（^σ，^*) 是初始金额u的超级对冲，即（^σ，^）*) ∈ S（u）。例如，在定理3.6的假设下（即，左u.s.c.属性与-ζ），停止时间¨σ：=inf{t≥ 0:A′t>0}满足了这两个等式。注意“σ”≥ σ*. 一般来说，平等并不成立。备注3.9。注意，在Theo rem 3.6的假设下，广义Dynkin对策（3.4）不一定存在鞍点。然而，如果我们额外地支持ξ沿停止时间为左u.s.c.，则存在鞍点。更准确地说，在这种情况下，根据[14，定理4.7]，对（τ*, σ*), 带σ*定义在（3.8）和τ中*:= inf{t≥ 0:Yt=ξt}，是广义Dynkin对策（3.4）的鞍点，也就是所有（τ，σ）∈ Twe haveg0，τ∧σ*[I（τ，σ*)] ≤ Y=Eg0，τ*∧σ*[I（τ）*, σ*)] ≤ Eg0，τ*∧σ[I（τ）*, σ） ]，这意味着τ*对于最优停止问题supτ是最优的∈TEg[I（τ，σ）*)].s-ame属性也适用于双（\'τ，\'σ），其中\'τ：=inf{t≥ 0:At>0}。我们现在考虑当ζ仅为RCLL（asξ）时的一般情况。在这种情况下，卖方的价值仍然等于g值，但不一定允许卖方针对期权建立一个单独的对冲。我们介绍ε-supe r-对冲s的定义：定义3.10。对于每个初始财富x和每个ε>0，针对博弈期权的ε-超级对冲是一对（σ，）停止时间σ∈ T和a风险资产战略∈H×Hλ使得vx，νt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s。

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2022-5-9 14:18:11

Vx和Vx≥ ζσ- εa.s.换句话说，通过按照riskyassets策略Ⅸ在市场上投资初始资本金额x，卖方在σ之前完全对冲，在取消时间σ时，对冲金额高达ε。下面我们证明，当ζ和ξ仅为RCLL时，卖方的价格Ui等于G值，并且博弈期权存在ε-超套期保值。定理3.11（卖方价格和ε-博弈期权的超级对冲）。假设过程ssζ和ξ仅为RCLL。博弈期权的卖方价格（3.2）与game期权的g值一致，即isu=infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。设（Y，Z，K，A，A′）为与驱动rg和势垒ξ，ζ相关的DRBSDE的解。卖方价格等于Y，即i su=Y。（3.13）不一定能达到（3.2）中的最大值。让我们*:= Φ（Z，K）对于每个ε>0，设σε：=inf{t≥ 0:Yt≥ ζt- ε}. （3.14）一对（σε，ν）*) 是一个ε-super-h边，用于首字母u的证明。根据命题3.4，g值等于Y。设ε>0。我们有Y。≤ ζ.-ε在[0，σε[。由于A\'满足斯科罗霍德条件（iii），因此几乎可以肯定，A\'是康斯坦顿[0，σε[。同样，Y（σε）-≤ ζ(τε)-- εa.s.，这意味着A′σε=0a.s.因此，A′σε=0a。s、因此，对于几乎每个ω，确定性函数Y.（ω）是[0，σε（ω）]上正向确定性微分方程（3.9）的解。现在，对于一个lmo st，每ω，财富VY，ν*.（ω）是确定性微分方程（3.10）的解。通过将经典比较结果应用于微分方程（引理6.2），我们推导出VY，~n*T≥ Yt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.此外，我们还有VY，ν*σε≥ Yσε≥ ζσε- ε、其中，最后一个不等式来自于停止时间σε和Yan和ζ的右连续性的定义。

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mingdashike22

2022-5-9 14:18:15

因此，（σε，ν）*) 是初始资本额Y的ε-超级对冲。它仍然需要证明Y=u≥ Y、在定理3.6的证明的第二部分中已经使用了建议3.4，并且不需要A′的连续性。让我们展示一下逆不等式。设ε>0。设（Y′，Z′，K′）为与终点时间σε和终点条件ζσε相关的BSDE的解∨ VY，~n*σε. 现在（VY，ν）*, Z、 K）是与终端时间σε和终端条件VY有关的BSDE的解*σε. 通过对具有默认跳变的BSD Es的先验估计（见[15，命题2.4]），自VY以来*σε≥ ζσε∨ VY，~n*σε- εa.s.，我们推导出vy，ν*= Y≥ Y′- Kεa.s.，其中K是一个仅依赖于T和λ-常数C的常数。根据BSDE的比较定理，Y′T≥ VY，~n*T≥ ξt.我们推导出Y′量(≤ Y+Kε）允许卖方进行超级套期保值，相关的超级套期保值由σε和φ′：=Φ（Z′，K′）给出。通过对u的定义，我们得出u≤ Y′≤ Y+Kε，对于每个ε>0。因此，美国≤ Y.自从美国≥ Y、我们得到了u=Y.4模型不确定性博弈期权的定价和套期保值我们现在研究模型上的不确定性博弈期权，其中特别包括违约概率的不确定性情况（见下面的例子4.3）。4.1模糊市场模型在本节中，我们需要使用可测选择定理，这要求在适当的概率空间上工作。我们考虑一个Cox过程模型，这是违约模型的一个典型例子。我们研究的正则空间构造如下：OhmWbe定义的维纳空间OhmW:=C（R+），即从R+到R的连续函数ω的集合，ω（0）=0。还记得吗OhmWis是标准k·k的波兰空间∞. 空间OhmWis配备了由坐标过程（Wt）t生成的σ-代数FW≥0（相当于它的borerianσ-代数）。

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2022-5-9 14:18:18

设pw为（Wt）t≥0是标准的布朗运动。允许OhmΘ：=R，配备有它的Borelianσ-代数FΘ=B（R）和概率PΘ，使得恒等式映射Θ承认参数为1的指数定律。我们考虑产品空间Ohm := OhmW×OhmΘ，这是一个波兰空间。它配备了σ-代数FWFΘ，概率P:=PWPΘ。设G为σ-代数FWFΘ针对P完成。设F=（Ft，t）≥ 0）是关于G和P（在[20，P.3]或[9，IV]的意义上）的过滤。设（°λt）t≥0是一个有界的、积极的、可预测的过程。我们产生以下随机变量，它代表默认时间：θ：=inf{t≥ 0，Zt′λsds≥ Θ}.我们有P（θ>t|F∞) = P（θ>t | Ft）=exp(-Rt¨λsds），对应于所谓的条件（H）（参见例[19]）。我们现在定义默认流程：Nt:=1{θ≤t} ，t≥ 我们用G=（Gt，t）表示≥ 0）由W和N与G和P（在[9，IV-48]的意义上）增加产生的过滤。根据经典结果，由于条件（H）成立，我们证明W是G-布朗运动。此外，由MT定义的过程：=Nt-Zt∧θ′λsds，t≥ 0，a.s.是G-鞅。每个t≥ 0，设λt：=(R)λt{t≤θ}. 因此，过程λ（通常称为θ的G强度）在θ之后消失。设T为给定的终点时间。集合P、S、H、Hλ和Aare的定义与之前相同。设U是R的非空闭子集。设g:[0，T]×Ohm×R×U→ R（t，ω，y，z，k，α）7→g（t，ω，y，z，k，α），是给定的P B（R） B（U）-可测函数。假设g（·，α）关于（y，z，k）是一致λ-容许的，这就满足了不等式（2.8），常数不依赖于α。我们还假设g（·，α）相对于α是连续的，并且supα∈U | g（t，，，0，0，0，α）|∈ H

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mingdashike22

2022-5-9 14:18:26

假设g（t，y，z，k，α）-g（t，y，z，k，α）≥ θy，z，k，kt（k- k） λt，（4.1），其中θy，z，k，kt满足假设2.7的条件，特别是不等式θy，z，k，kt>-1.设U为U值可预测过程的集合。对于每个α∈ U、为了简化符号，我们引入了由gα（t，ω，y，z，k）定义的映射gα：=g（t，ω，y，z，k，αt（ω））。（4.2）注意这些映射gα，α∈ U、都是具有相同λ-常数的λ-容许BLE驱动程序。控制α表示模型的模糊度参数。对于每个模糊参数α，对应于一个市场模型Mα，其中财富过程Vα，x，ν与初始财富x和r isky资产状态关联∈ H×Hλ满足-dVα，x，νt=g（t，Vα，x，k t，k tσt，-νt，αt）dt- ηtσtdWt+ηtdMt；Vα，x，~n=x.（4.3）在市场模型Mα中，非线性定价系统由Egα：={Egαt，S，S给出∈[0，T]，T∈ [0，S]}，也称为gα评估。4.2博弈期权的稳健超边际在我们的模糊框架中，卖方博弈期权的稳健价格由uis表示，定义为初始财富的上限，使卖方能够对任何模糊参数α进行超边际∈ 美国定义4.1。对于最初的财富x∈ R、对抗博弈选择的强大超级对冲是一对停止时间σ（σ，ν）∈ T和投资组合策略∈ H×Hλ使得vα，x，φt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.和Vα，x，σ≥ ζσa.s，α ∈ U.（4.4）我们用Sr（x）表示与初始财富x相关的所有稳健超级对冲的集合。卖方稳健的价格定义为asu:=inf{x∈ R(σ, φ) ∈ Sr（x）}。（4.5）当达到上限时，uis称之为r obust Superwedgeting price。让α∈ 根据定理3.11，市场Mα中博弈期权的卖方价格被刻画为其gα值。此外，它等于Yα，其中（Yα，Zα，Kα，Aα，A′α）是与驱动器gα、势垒ξ和ζ相关的DRBSDE A在S×H×Hλ×A×ao中的唯一解。

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2022-5-9 14:18:32

现在我们介绍一个相关的对偶问题。定义4.2。与卖方超级套期保值问题相关的对偶问题是v:=supα∈UYα。（4.6）根据定理3.11，市场Mα中博弈期权的卖方价格Yα等于与驱动因素gα相关的广义Dynkin博弈的公共值函数，即Yα=infσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。因此，对偶问题的值函数VO等于混合广义Dynkin对策的值函数，即isv=supα∈UYα=supα∈Uinfσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supα∈Usupτ∈Tinfσ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.7）备注4.3。下面我们将看到（见命题4.8），vis也等于：infσ∈Tsupα∈Usupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。条件（4.4）相当于Vα，x，~nt∧σ≥ I（t，σ），0≤ T≤ T a.s.for allα∈ U.备注3.2也适用于卖方强劲的价格，即U≤ ζ. 此外，当g（t，0，0，0）=0和ζ≥ 0，那么u=inf{x≥ 0, (σ, φ) ∈ Sr（x）}。为了证明u=v，我们将首先证明vc可以分解为双反射BSDE的解。现在，通过定义，我们得到了v=supαYα，其中Yα是与势垒ξ和ζ相关的双反射BSDE的解，以及与驱动器g（·αt）相关的解。我们将展示vcoincides与与样本载体ξ和ζ相关的双反射BSDE溶液，以及与dr-iver supαg（·α）相关的溶液。更准确地说，假设G是由G（t，ω，y，z，k）：=supα为每个（t，ω，z，k）定义的映射∈Ug（t，ω，y，z，k，α）。（4.8）引理4.4。图G是λ-容许驱动，满足假设2.7。证据由于U是波兰空间的一个闭子集，因此存在U的一个可数子集D，在U中稠密。由于g相对于U是连续的，所以（4.8）中的上确界可以取为inD。因此g是P B（R）- 可测量的让我们证明G满足假设（2.7）。

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2022-5-9 14:18:36

通过定义G（t，y，z，k）和假设（4.1），我们得到了所有α∈ U:G（t，y，z，k）- g（t，y，z，k，α）≥ g（t，y，z，k，α）-g（t，y，z，k，α）≥ θy，z，k，kt（k- k） λt.取α的上限∈ 在这个不等式中，利用G（t，y，z，k）的定义，我们推导出G（t，y，z，k）-G（t，y，z，k）≥ θy，z，k，kt（k-k） λt，给出所需的结果。条件证明（2.8）依赖于类似的论点，并留给读者。因此，Gis是λ-容许的驱动程序。现在，我们证明了对偶函数vis被描述为与驱动器G和势垒ξ和ζ相关的双反射BSDE的解。定理4.5。（双值函数v的特征）让vbe定义为（4.6）。这里v=Y，w（Y，Z，K，A，A′）是与驱动器G和势垒ξ和dζ相关的DRBSDE的解。如果U是紧的，则存在‘α∈ v=Y′α，这意味着双值函数vis等于市场模型M′α中博弈期权的g′α值。证据通过定义G（见（4.8）），对于每个（t，ω，y，z，k）∈ [0，T]×Ohm x R×U，我们有g（t，ω，y，z，k）≥ g（t，ω，y，z，k，αt（ω））。根据DRBSDE的比较定理（参见[14]中的定理5.1），我们得到了Y≥ 每个α的Yαa.s∈ U.因此Y≥ supαYα。设ε>0。通过将G定义为上确界，对于每个（t，ω，y，z，l）∈ Ohm ×[0，T]×R×R，存在αε∈ 使得G（t，ω，y，z，k）- ε ≤ g（t，ω，y，z，k，αε）。现在，集合{（t，ω，α）∈ [0，T]×Ohm×U:G（t，ω，Yt）-（ω），Zt（ω），Kt（ω））-ε ≤ g（t，ω，Yt）-（ω），Zt（ω），Kt（ω），α）}属于P B（U）。因此，由于正则空间Ohm 是一个波兰空间，通过应用可测量选择定理（参见[9]第81节，附录Ch。

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2022-5-9 14:18:39

三] 和[5，L，1.2]（或[13，引理26]），存在一个U值可预测过程（αεt），例如g（t，Yt，Zt，Kt）- ε ≤ g（t，ω，Yt，Zt，Kt，αεt），0≤ T≤ T、 dt数据处理- a、 s.通过使用带有默认跳跃的DRBSDE上的估计值（6.1），η=c，β=3C+2C，我们得出存在常数K≥ 0，这只取决于C和T，因此，对于每个ε>0，Y- Kε≤ Yαε。自从≥ supαYα，因此我们得到Y=supαYα=v。让我们展示第二个断言。如果U是紧的，对于每个（t，ω，y，z，l）∈ [0，T]×Ohm×R×Lλ，存在‘α∈ U使得（4.8）中的最高值在α处达到。根据[9]和[5，引理1.2]的可测选择定理，存在一个U值可预测过程（\'αt），使得g（t，Yt，Zt，Kt）=g（t，Yt，Zt，Kt，\'αt），0≤ T≤ T、 dt数据处理- a、因此，Y和Y′α都是与驾驶员g′α相关的DRBSDE的解决方案。因此，根据DRBSDE解的唯一性，Y=Y′α。利用这个结果，我们现在提供以下定理：定理4.6。（卖方强劲的价格和超级对冲）支持ζ沿停止时间保持较低的半连续性（且ξ仅为RCLL）。由（4.5）定义的博弈选项d的卖方稳健价格等于由（4.6）定义的双值函数VD，即isu=v。让（Y，Z，K，A，A′）为与由（4.8）定义的驱动程序G以及障碍ζ和ζ相关的DRBSDE的解。卖方的稳健市盈率等于Y，即i su=Y。此外，（4.6）中的最大值是一个t。因此，稳健卖方价格就是博弈期权的稳健超边际价格。让σ*:= inf{t≥ 0，Yt=ζt}和*:= Φ（Z，K）。空气（σ）*, φ*) 是初始资本u的强大超级对冲。如果u是紧凑的，则存在“α”∈ U使得博弈期权的稳健超边际价格等于市场模式l M′α下的超边际价格，即U=Y′α。

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2022-5-9 14:18:42

歧义参数α对应于所有可能的歧义参数α中的最坏情况∈ 美国证据。根据定理4.5，v=Y。设Hr为允许卖方超h边的初始大写字母集，即Hr={x∈ R:(σ, φ) ∈ Sr（x）}。注意，u=inf Hr。让我们展示一下≥ u、证明存在（σ）是足够的*, φ*) ∈ Sr（Y）。根据提案3.5，自-ζ为左-u.s.c.沿停止时间，过程A′是连续的。σ的定义*, 过程A′在[0，σ]上是常数*[a.s.甚至[0，σ]*] 通过连续性。因此，A′σ*= A′=0a.s.因此我们有Y=Y-ZtG（s，Ys，Zs，Ks）ds+ZtZsdWs+ZtKsdMs- 在，0≤ T≤ σ*a、让我们来看看∈ U.在市场模型Mα中，财富过程Vα，Y，~n*.与初始资本和财务战略有关*:= Φ（Z，K）满足α，Y，φ*t=Y-Ztg（s，Vα，Y，~n）*s、 Zs，Ks，αs）ds+ZtZsdWs+ZtKsdMs。通过定义G（见（4.8）），我们得到-g（t，ω，y，z，k，αt（ω））≥ -G（t，ω，y，z，k）。因此，由于A是一个非递减过程，通过将确定性微分方程（见引理6.2）的比较性质应用于上述两个正向方程，我们得出vα，Y，ν*T≥ Yt≥ ξt，0≤ T≤ σ*a、在美国，最后一个不等式来自于不等式Y≥ ξ.此外，我们有Vα，Y，ν*σ*≥ Yσ*= ζσ*a、这适用于任何α∈ U.因此（σ）*, φ*) ∈Sr（Y），这意味着Y∈ 人力资源部。因此，Y≥ u、现在让我们展示一下≥ Y.让x∈ 人力资源部。存在（σ，ν）∈ Sr（x），即一对（σ，φ）停止时间σ∈ T和p组合策略∈ H×Hλ使得对于每个α∈ U、我们有Vα，x，νt∧σ≥ I（t，σ），0≤ T≤ T.a.s。

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