市场模型Mα中的非线性价格系统，用EfαQα表示，是在先验概率测度Qα下的fα评估，定义在Lp′。稳健超级对冲定义见定义4.1，卖方稳健价格定义见（4.5）。因为Mαt=Mt-Rtλsν（s，αs）ds，t hemarket模型Mα中财富过程Vα，x，ν的动力学（4.13）可以写成如下：-dVα，x，νt=-λtν（t，αt）~ntdt+f（t，Vα，x，аt，аtσt，-νt，αt）dt- ~ntσtdWt+~ntdMt。因此，该示例对应于第4.1节中定义的模糊度模型，其中g（·α）由g（t，ω，y，z，k，α）定义：=λt（ω）ν（t，ω，α）k+f（t，ω，y，z，k，α）。通过对f的假设，图g满足所需条件，尤其是不等式（4.1）。定理4.6和4.7以及命题4.8都成立。特别是，卖方博弈期权的robustprice UO允许以下双重表示：u=supα∈Uinfσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=infσ∈Tsupα∈Usupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.15）我们现在证明，对于每个α∈ U、 相对于市场模型Mα，Egα等于非线性价格系统EfαQα。首先，我们有（ZαT）-1.∈ Lqfor all q≥ 1.实际上，过程（Zαt）-1统计以下Qα-SDE:d（Zαt）-1= -（Zαt）-)-1ν（t，αt）dMαt，带（Zα）-1= 1.由[15，命题2.11]，（ZαT）-1所有Q′的Lq′Qα≥ 1，这意味着（ZαT）-1.∈Lqfor all q≥ 1.由于p′>2，通过H¨older不等式，我们推导出（Xα，Zα，Kα）（4.14的解）属于s×H×Hλ，因此是p-BSDE在s×H×Hλ中的唯一解：-dXαt=gα（t，Xαt，Zαt，Kαt）dt- ZαtdWt- KαtdMt；XαT=ξ。因此，对于每个到期日S和每个支付η∈ Lp（GS），我们有EfαQα，S（η）=Egα，S（η），这使得Egα等于相对于市场模型mα的非线性价格系统EfαQα。利用这个性质，结合等式（4.15）和定理4.7，我们得到了以下结果。提案4.9。

（卖方稳健价格）该模型中博弈期权的卖方稳健价格允许以下双重表示：u=supα∈Uinfσ∈Tsupτ∈TEfαQα，0，τ∧σ[I（τ，σ）]=infσ∈Tsupα∈Usupτ∈TEfαQα，0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.16）设G为每个（t，ω，z，k）由G（t，ω，y，z，k）定义的映射：=supα∈U（λt（ω）ν（t，ω，α）k+f（t，ω，y，z，k，α））。（4.17）我们有u=Y，其中Y是与驱动程序G相关的P-DRBSDE的解，以及ζ和ζ。5互补结果5。1.从买方的角度来看欧式期权的定价让我们考虑一个到期日为T且付息为ξ的欧式期权的定价和套期保值问题∈ L（GT）从买方的角度来看。假设期权的初始价格是z，他从金额开始-z在时间t=0时，希望找到一种风险资产策略，这样，他在时间t时收到的回报允许他通过购买期权来收回他在时间t=0时产生的债务，也就是说-z、 ~nT+ξ=0 a.s.或等效值，V-z、 ~nT=-ξa.s.因此，买方的期权价格等于卖方的期权价格的对立面，并支付-ξ、 就是-Eg0，T(-ξ) = -~X，其中（~X，~Z，~K）是与驱动器g和终端条件相关的BSDE的解决方案-ξ. 让我们为买家详细说明一下享乐策略。假设期权的初始价格为z:=-~X.过程~X等于与初始价值相关的投资组合的价值-z=~X和策略~n：=Φ（~z，~K）（其中Φ在定义2.3中定义），即X=VX，~~n=V-z、 ：/~n。因此，V-z、 ~nT=~XT=-ξa.s。

这就产生了买方的对冲风险资产策略。同样地，-Egt，T(-ξ) = -■在时间t时满足一个类似的属性，称为买方在时间t时的套期保值价格。这会导致非线性定价系统，与买方在市场中的定价不同（S，ξ）∈ [0，T]×L（GS）by ~Eg·，S（ξ）：=-例如，S(-ξ). （5.1）备注5.1。当g（t，0，0，0）=0时，则Eg·，S（0）=0。此外，通过定义故障的BSDEs的比较理论，如果ξ≥ 0，然后是＠Eg·，S（ξ）≥ 0.请注意，S（ξ）等于带驱动器的BSDE的解-g（t，-Y-Z-k） 和终端条件ξ。因此，如果我们假设-g（t，-Y-Z-（k）≤ g（t，y，z，k）（例如，如果g i相对于（y，z，k）是凸的，则其满足），然后，根据BSDE的比较理论，w e有Eg，s（ξ）=-例如，S(-ξ) ≤ 例如，每个（S，ξ）的S（ξ）∈ [0，T]×L（GS）。此外，当-g（t，-Y-Z-k） =g（t，y，z，k）（例如，如果g与（y，z，k）是线性的，这是令人满意的，就像在完美marke t的情况下一样），我们有Eg=Eg.5.2从买家的角度对游戏期权进行定价。在本节中，我们考虑了游戏期权买家的角度。假设游戏选项的初始价格是z，他从数量开始-z在时间t=0时，他希望找到一个超级对冲，即一个行使时间τ和一个风险资产策略П，这样他收到的回报允许他通过购买游戏来收回他在时间t=0时产生的债务，无论卖家选择的取消时间是什么。买方的超级对冲概念可以更精确地定义如下。定义5.2。买方对初始价格为z的博弈期权的超级对冲∈ R是停止时间eτ的一对（τ，φ）∈ 和风险资产策略∈ H×Hλ使得v-z、 ~nt≥ -ζt，0≤ t<τa.s.和V-z、 ψτ≥ -ξτa.s。

（5.2）我们用Bξ，ζ（z）表示所有买方针对博弈期权的超级套期保值集合，其报酬s（ξ，ζ）与初始价格z相关∈ R.市场模型Mg中博弈期权的买方价格，用u表示，定义为允许买方进行超级套期保值的初始价格的上限，即u:=sup{z∈ R(τ, φ) ∈ Bξ，ζ（z）}。（5.3）（5.2）的第一个不等式在时间t=τ时也成立，因为ξ≤ ζ. 因此bξ，ζ（z）=S-ζ,-ξ(-z） ，在哪里-ζ,-ξ(-z） 是卖家的super-h边集合，与带payoff的gameoption相对(-ζ, -ξ） 与初始资本有关-z、 因此，-~u=inf{x∈ R(τ, φ) ∈ s-ζ,-ξ（x）}。因此，我们有：注意，价格函数p通常是-p(-ξ) ≤ p（ξ）（参见例[21]第2节）。我们有（0，0）∈ Bξ，ζ（ξ）。因此，~u≥ ξ. 此外，与备注3.2类似，如果g（t，0，0，0）=0和ξ≥ 0，那么u=sup{z≥ 0, (τ, φ) ∈ Bξ，ζ（z）}。定理5.3。买方支付的博弈期权价格（ξ，ζ）等于卖方支付的博弈期权价格的对立面(-ζ, -ξ).因此，可以应用之前的结果（定理3.6和定理3.11）。特别是，我们有以下买方价格的双重公式：＠u=supτ∈Tinfσ∈T~Eg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=infσ∈Tsupτ∈T~Eg0，τ∧σ[I（τ，σ）]，（5.4）式中Eg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=-Eg0，τ∧σ[-I（τ，σ）]。这个量≈Eg0，τ∧σ[I（τ，σ）]对应于支付I（τ，σ）和终止时间τ的欧式期权的买方价格∧σ（见（5.1））。备注5.4。在绩效市场的特殊情况下，财富过程X的动态s与（X，а）呈线性关系，这意味着买方的价格Ui等于卖方的价格u（和Eg=Eg，如备注5.1所示）。假设（~Y，~Z，~K，~A，~A′）是与驱动器g和安全栅相关的DRBSDE的解决方案(-ζ, -ξ).

根据定理3.11，买方的价格等于解的反方向，即≈u=-~Y.此外，根据定理3.6，当ξ沿停车时间左-u.s.c.（但不一定-ζ） ，即pa-ir（△τ，△η），其中△τ：=inf{t≥ 0 : -~Yt=ξt}a和：=Φ（~Z，~K），是买方的套期保值。在具有模糊性的情况下，买方对博弈期权的稳健价格。在本段中，我们考虑第4.1节中描述的具有模糊性的市场模型。定义5.5。买方对初始价格为Z的博弈期权的强大超级对冲∈ R i是停止时间τ的一对（τ，φ）∈ T和a策略∈ H×Hλ使得vα，z，φt≥ -ζt，0≤ t<τa.s.和Vα，z，ητ≥ -ξτa.s，α ∈ U.（5.5）我们用Brξ，ζ（z）表示所有买方针对博弈期权的稳健超级套期保值集合，其支付（ξ，ζ）与初始价格z相关∈ R.买方对gam e期权的稳健价格被定义为允许买方构建稳健超优势的最高价格，即u:=sup{z∈ R(τ, φ) ∈ Brξ，ζ（z）}。（5.6）自ξ起≤ ζ、 条件n（5.5）相当于v-z、 ~nt≥ -ζt，0≤ T≤ τa.s.和V-z、 ψτ≥ -ξτa.s，α ∈ U.它允许Brξ，ζ（z）=Sr-ζ,-ξ(-z） ，Sr在哪里-ζ,-ξ(-z） 是卖方对带有支付的博弈期权的稳健超边集(-ζ, -ξ） 与初始资本有关-z、 韦瑟斯定理5.6。买方具有支付（ξ，ζ）的博弈期权的稳健价格等于卖方具有支付（ξ，ζ）的博弈期权的稳健价格的对立面(-ζ, -ξ).因此，可以应用之前的结果（定理4.6和4.7）。特别是，我们对买方的稳健价格有以下双重公式：~u=infα∈Usupτ∈Tinfσ∈T~Egα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=infα∈Uinfσ∈Tsupτ∈T~Egα0，τ∧σ[I（τ，σ）]，（5.7）式中Egα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=-Egα0，τ∧σ[-I（τ，σ）]。

使用（5.4），我们得出买方的稳健价格u等于α上的最小值∈ 买方价格的U，单位为Mα。备注5.7。根据命题4.8，我们推导出∧u=supτ∈Tinfα∈Uinfσ∈T~Egα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。注意，对于每个α∈ U、 这个量∧Egα0，τ∧σ[I（τ，σ）]是带支付I（τ，σ）和终止时间τ的欧式期权市场模型Mα中的买方价格∧ σ（见（5.1））。设（~Y，~Z，~K，~A，~A′）为与（4.8）和障碍物（-ζ, -ξ). 根据定理4.7，买方对博弈期权的稳健价格等于-~Y，也就是说，~u=-~Y.此外，根据定理4.6，当ξ在停止时间内（但不一定）是左u.s.c-ζ） ，即pa-ir（△τ，△η），其中△τ：=inf{t≥ 0 : -~Yt=ξt}和~~n：=Φ（~Z，~K），是买方对博弈期权的强大超级对冲。5.3游戏期权的卖方价格和买方价格过程我们可以在每个停止时间确定游戏期权的卖方价格∈ T更准确地说，对于每一笔财富X∈ L（FS）（在初始时间S时），S-超级对冲期权是停止时间σ的一对（σ，ν）∈ t和投资组合策略∈ H×Hλ，如VS，X，~nt≥ ξt，S≤ T≤ σa.s.和VS，X，Дσ≥ ζσa.s.，其中VS，X，~n表示与初始时间s和初始条件X相关的富裕过程。卖方在该时间的价格由u（s）确定：=ess inf{X∈ L（FS），(σ, φ) ∈ SS（X）}，其中SS（X）是与初始财富X相关的所有超级对冲的集合。

使用与定理3.11证明中使用的参数类似的参数，我们得到：u（S）=ess infσ∈TSess supτ∈TSEgS，τ∧σ（I（τ，σ））=ess supτ∈tsessinfσ∈TSEgS，τ∧σ（I（τ，σ））=YSa。s、 其中（Y，Z，K，A，A′）是DRBSDE（3.5）的解。同样，我们可以确定s.5.4时的买方价格，中间分割的博弈期权，前提是欧式期权在s时支付终端报酬ξ和中间股息，由D=0的非减损RCLL调整过程（Dt）建模。在下列BSDE的S×H×Hλ中存在唯一解（X，Z，K）：- dXt=g（t，Xt，Zt，Kt）dt+dDt- ZtdWt- KtdMt；XS=ξ。（5.8）过程X是与初始值X=X和策略φ=Φ（Z，K）相关的财富过程。在这里，Ddtre表示从t和t+dt之间的投资组合中提取的金额，以便向买方支付股息。因此，该金额允许卖方对期权进行完美对冲，即允许卖方通过将该金额投资于市场，向买方支付中间股息和最终支付。该期权的卖方价格（在时间0时）由X决定，且相关的对冲策略等于Ф。注意，BSDE（5.8）的驱动程序由λ-可容许的“广义”驱动程序g（t，Xt，Zt，Kt）dt+dDt给出。这导致了以下诺尔i近定价系统：每个∈ [0，T]，每ξ∈ L（GS）a和每个D∈ A、 关联的g值由每t的Eg，Dt，S（ξ）：=XDt（S，ξ）确定∈ [0，S]。注意，可通过设置Eg，Dt，S（ξ）：=EgS，DSt，T（ξ）来定义整个区间[0，T]≥ S、 其中gS（t）：=g（t，）1t≤砂DSt:=Dt∧s

[15]中给出了这种非线性定价系统的一些性质。关于博弈期权的定价，方法是相同的，用“广义”驱动程序g（·）dt+dDt替换驱动程序GBT，并用Egby Eg，D.6附录我们在我们的框架中用通用常数展示了DRBSDE的以下估计。命题6.1（DRBSDE的先验估计）。设fbe为λ-常数C的λ-可容许驱动器，le t fbe为驱动器。设ζ和ζ为ζT=ξTa的两个自适应RCLL过程。s、 ，ξ∈ S、 ζ∈ S、 ξt≤ ζt，0≤ T≤ 并满足Mokobodzki的条件。对于i=1，2，设（Yi，Zi，Ki，Ai，A′i）为与终端时间T，驱动器fi和屏障ξ和ζ相关的DRBSDE的解。设η，β>0等于β≥η+2C和η≤C.让f（s）：=f（s，Ys，Zs，Ks）- f（s，Ys，Zs，Ks）。每个t∈ [0，T]，然后我们得到βT（Ys- Y）≤ ηE[ZTteβs\'f（s）ds|Gt]a。s、 （6.1）此外≤ Tηk′fkβ，如果η<C，我们就有k′Zkβ+k′Kkλ，β≤η1-ηCk′fkβ。证据对于[0，T]中的s，表示“Ys:=Ys”- Ys，`Zs:=Zs- Zs，`Ks:=Ks- Ks。通过对t和t之间的半鞅eβs′Ysds应用o’s公式，我们得到了eβt′Yt+βZTteβs′Ysds+ZTteβs′Zsds+ZTteβs′Ksλsds+X0<s≤Teβs(像- 像- A\'s+A′s）=2ZTteβs′Ys（f（s，Ys，Zs，Ks）- f（s，Ys，Zs，Ks））ds- 2ZTteβs’Ys’ZsdWs-ZTteβs（2’Ys）-\'Ks+\'Ks）dMt+2ZTteβ系统-达斯- 2ZTteβ系统-达斯- 2ZTeβ系统-达斯-中兴β系统-爸爸。（6.2）现在，我们有了ysda1，cs=（Ys- ξs）dA1，cs- （Y）- ξs）dA1，cs=-（Y）- ξs）dA1，cs≤ 0和bysymmetry，YsdA2，cs≥ 通过类似的论证，我们得到了y-A1，ds≤ 0，Y-A2，ds≥ 0，YsdA′1，cs≥ 0，Y-A\'1，ds≥ 0安迪斯-A\'2，ds≤ 因此，（6.2）的r.h.s.的最后四项是非正的。根据给定的条件期望Gt，我们得到了βt′Yt+EβZTteβs\'Ysds+ZTteβs（\'Zs+\'Ksλs）ds|Gt≤ 2EZTteβs′Ys（f（s，Ys，Zs，Ks）- f（s，Ys，Zs，Ks））ds |Gt.

（6.3）此外，|f（s、Ys、Zs、Ks）- f（s，Ys，Zs，Ks）|≤ |f（s，Ys，Zs，Ks）- f（s，Ys，Zs，Ks）|+|fs |。利用f的λ-容许性，我们导出| f（s，Ys，Zs，Ks）- f（s，Ys，Zs，Ks）|≤ C|Ys|+C|Zs|+C|Ks|√λs+| fs |。现在请注意，对于所有非负数λ、y、z、k、f和ε>0，我们有2y（Cz+Ck√λ+f）≤yε+ε（Cz+Ck）√λ+f）≤yε+3ε（Cy+Ckλ+f）。因此，eβt′Yt+eβZTteβs\'Ysds+ZTteβs（\'Zs+\'Ksλs）ds|Gt≤ E（2C+ε）ZTteβs\'Ysds+3CεZTteβs（\'Zs+\'Ksλs）ds+3εZTteβs\'fsds|Gt. （6.4）让我们改变变量η=3。然后，对于每一个β，η>0，选择为在这个位置，这些不等式导致（6.1）。通过积分（6.1），我们得到了k′ykβ≤ Tηk′fkβ。使用不等式（6.4），命题的最后一个断言如下。根据这些估计，我们得到了DRBSDEs的n个存在唯一性结果。DRBSDE（3.5）解的存在性和唯一性的证明：让我们首先考虑驱动g（t）不依赖于解的情况。通过使用G-鞅的表示性质（引理2.1）和Dynkingames理论的一些结果，我们可以证明，如[14]所述，关联的DRBSDE（3.5）存在唯一解。一般情况下的证明与具有默认跳转的无反射BSDE的证明相同（参见[15]中命题2.6的证明）。它基于一个执行点参数，使用之前的估计。我们陈述了微分方程（确定性）分析的比较结果。LetL=L（[0，T]，dt）是[0，T]上平方可积Bor-elian实值映射的空间。引理6.2（微分方程的比较）。对于i=1，2，设bi:[0，T]×R→R（t，y）7→ bi（t，y）是一个带有bi（，0）的Boreli-an映射∈ 五十、 假设是关于y的一致lipschitz。Let f，fbe rig ht连续映射在Land Let x，x中∈ R

对于i=1，2，假设yibe是满足微分方程的唯一右连续映射：yit:=xi+Ztbi（s，yis）ds+fi（t）。假设x≥ X和b（t，yt）≥ b（t，yt）0≤ T≤ T ds-a.e.还假设f=f+a，其中a是[0，T]上a=0的非递减右连续映射。我们现在有了≥ YTT∈ [0，T]。此外，如果x>x，那么每个t的yt>yt∈ [0，T]。证据证据是经典的。我们有d\'yt=λt\'ytdt+（b（t，yt）-b（t，yt））dt+dAt，其中y:=y-yandλt:=（b（t，yt）-b（t，yt））（\'yt）-1yt6=yt。因此，`yt=x-x+Rte-Rtsλudu（b（s，ys）-b（s，ys））ds+Rte-Rtsλudas≥ 此外，如果x>x，则不等式是严格的。参考文献[1]Alario Nazaret，M.Lepeltier，J.P.和Marchal，B.（1982）。丁金游戏，课堂讲稿incontrol智能驭享和信息科学43，柏林斯普林格·维拉格。[2] Bank，P.和Kramkov D.（2015）：一个大型投资者在不同市场进行交易的模型。II：连续时间案例，《应用概率年鉴》第5期，2708-2742[3]Bielecki，T.，Crepey，S.，Jeanblanc，M.，和Rutkowski，M.，ahazard过程模型中的可违约期权，Stoch astic Analysis国际期刊，2009年。[4] T.比莱基。，M.Jeanblanc和M.Rutkowski著，《可违约债权的对冲》，巴黎数学金融普林斯顿大学，数学讲座，1847年，第1-132页，斯普林格。2004年，ISBN:3-540-22266-9 DOI:10.1007/b98353[5]科恩，D.（2013）。《测量理论》，第二版，伯卡豪斯。MR3098996[6]Cr\'epey，S.和马图西，A.，用跳跃反射和双重反射BSDE，APP年鉴。P罗布。18(5), 2041-2069 (2008).[7] Cvitani\'c J.和Karatzas，I.，用受限投资组合对冲或有权益，Annalsof Applied Prob。1993年[8]Cvitani\'c J.和Karatzas，I.，带反射和Dynkin对策的倒向随机微分方程，Prob年鉴。1996.24，n.4 2024-2056。[9] Dellacherie，C.和Meyer，P.-A.（1975年）。

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