在物理模型下，债券市场的不完全性

2022-5-9 16:09:59

莱比锡大学数学与计算机科学学院、德国数学学院、波兰米查尔华沙卡迪纳·L·斯特凡·Wyszy’nski大学。Barski@math.uni-莱比锡。deNovember 5，2018Abstracts研究了在物理度量下由L’evy过程驱动的基于远期利率的债券市场模型的完备性问题。给出了当L’evy测度具有密度函数时市场的不完全性。给出了鞅测度下补偿跳测度上随机积分理论的必要元素，并证明了相应的局部鞅的积分重表示。关键词：债券市场，完备性，局部鞅的表示，物理测度下的模型。AMS科目分类：91B28、91B70。1简介到期日为T的债券≥ 0是一份财务合同，在T日支付给其所有者1。键的价格P（t，t），t∈ [0，T]是一个满足P（T，T）=1和族P（·T）的随机过程；T∈ [0，T*] 形成一个有固定时间范围的债券市场*< +∞. 构建债券市场模型的一种可能方法是基于随机场f（t，t）；t、 t∈ [0，T*]称为前进率。然后通过指数公式P（t，t）=e确定价格-RTtf（t，u）du，t∈ [0，T]，T∈ [0，T*]. （1.1）模型中的随机行为是由定义在概率空间上的L’evy过程强迫的(Ohm, F、 P）过滤（Ft），t∈ [0，T*]. 无论如何∈ [0，T*] 远期利率过程f（·，T）由形式df（T，T）=α（T，T）dt+σ（T，T）dZ（T，T）的动力学定义∈ [0，T]。（1.2）构建模型所依据的度量P将被称为物理度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:03

如果Z是一个维纳过程，那么（1.1）-（1.2）提供了Heath、J arrow和Morton在[6]中介绍的模型的最早形式，该模型后来在文献中得到了广泛研究。涉及列维过程的修正更好地反映了债券价格的真实行为，例如，它们的重尾分布。另一方面，它也带来了与债券投资组合的定义、期权定价和期权定价有关的新问题，而这些问题在无跳跃环境中是不存在的。设X为FT*-可测量的随机变量，代表时间T的支付*一份财务合同。如果相应的财富过程X k满足，则精确定义的bon d投资组合а会复制X*= 十、 P- a、 s。。（1.3）如果每个有界支付都可以复制，那么市场被称为完全市场，反之则称为不完全市场。对问题（1.3）的分析，即存在的问题，需要对所谓的鞅测度族所控制的风险中性设置进行分析。回想一下，如果Q等于P，那么Q是一个鞅测度，并且贴现债券价格是Q局部鞅。应用Girsanov定理See[9]得到了Q下的正向速率的动力学，即isdf（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dZ（t），t，t∈ [0，T*], （1.4）式中，α（·，·）是一个修正的漂移，Z代表Z在Q下的变换。如果Z=Wis是P下的维纳过程，那么在Q下是Z=W，鞅表示理论提供了积分分解mt=M+ZtφM（s）d~W（s），t∈ [0，T*],马丁·盖尔的Mt=EQ[X | Ft]，t∈ [0，T*]. 在φMis以上是一个特定的过程，它可以确定φ的哪个解（1.3）。如果Z是一个一般的L’evy过程，那么上面的论证失败有两个原因。第一个是L’evy过程在测度变化下不稳定，也就是说，Z不再是Q下的L’evy过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-9 16:10:06

它的增量可能不是固定的，也不是独立的。因此，远期利率动态（1.4）具有非L’evy结构。第二个原因，实际上源于第一个原因，是我们需要Q下的鞅表示定理的相关版本。文献中常用的一个模型框架，允许克服这两个困难，就是假设P同时是一个鞅测度。然后，Z=~Z和任何局部m artin gale可以用形式mt=m+Ztφm（s）dW（s）+ZtZRψm（s，y）~π（ds，dy），t来表示∈ [0，T*]. （1.5）对于一些φM，ψM，参见[9]。上面的∧π代表P下Z的补偿跳跃测量。如[2]所示，φM，ψMfor Mt:=E[X | Ft]的存在并不意味着存在φ解（1.3），即存在一个不可复制的财务契约X。问题（1.3），在物理测度P不是鞅测度的情况下，文献中没有研究h。本文在不假设P是鞅测度的情况下研究了问题（1.3）。我们系统地讨论了鞅1 Q的物理测度的通过问题，并证明了鞅表示定理的一个必要版本，它允许将任意Q-局部鞅M写成mt=M+ZtφM（s）dW（s）+ZtZRψM（s，y）~πQ（ds，dy），t形式∈ [0，T*], （1.6）式中∧πQ是Q下Z的补偿跳跃测度。特别是，我们在（1.6）中精确地给出了第二个积分的构造。我们的主要结果是第4节中的定理4.4。3表明存在一个有界随机变量X，其（1.3）没有解，前提是Z的L’evy测度具有密度函数。这意味着债券市场模型是不完整的，无论鞅测度是否唯一。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:09

结果表明，在债券市场中，鞅测度的唯一性和完备性之间的经典关系已经停止。本文由三部分组成。在第二节中，我们讨论了L′evy过程的性质，它需要建立鞅分解公式（1.5）并进一步描述等价测度。第3节介绍了在等价测度下补偿测度上随机积分的构造，以及相关的鞅表示公式（1.6）。第4节讨论了债券市场的不完全性，我们精确地介绍了债券市场模型、债券投资组合的概念，并最终证明了定理4.4.2 L’evy过程和相关的鞅表示。我们从总结本文所需的L’evy过程的性质开始。例如，可以在[1]中找到它们的proof。设Z是概率空间上的实值L′evy过程(Ohm, F、 P）过滤（Ft），t∈[0，T*] 以至于英国《金融时报》*= F.众所周知，Z有一个带有c`adl`ag轨迹的修改，在续集中只考虑该修改。对于任何ε>0的情况，[0，T]上的跳跃次数*] 这样|△Zs |：：=|Zs- Zs-|> ε几乎肯定是有限的。因此，对于任何 R与零分开，也就是0/∈其中A代表A的闭包，随机变量π（t，A）：={s∈ [0，t]：△Zs∈ A} ，t∈ [0，T*],它计算了setA中间隔[0，t]上Z的跳跃次数。函数π（·，·）可以被视为[0，T]上的σ-有限测度*] x R.它被称为Z的一个ump度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:13

从Z的增量的独立性和平稳性出发，我们得到了跳跃测度的两个重要性质，即对于与零保持π（t，A），t分离的任何A，B∈ [0，T*] 是强度为λa:=E[π（1，a）]，（2.1）的泊松过程∈ [0，T*] r.v.π（t，A），π（t，B）是独立的，如果A∩B=. （2.2）由ν（A）定义的R上的σ-有限测度ν：=E[π（1，A）]，0/∈\'A，（2.3）被称为强度测度或Z的L\'evy测度。它满足可积性条件Zr（|y）|∧ 1） ν（dy）<+∞. （2.4）由于（2.1）-（2.2）和（2.3），度量π被称为具有强度度量ν的泊松随机度量。另一方面，任何满足（2.4）的测度都是某种泊松随机测度的强度测度。此外，对于从零开始分离的集合a，过程∧π（t，a）：=π（t，a）-tν（A），t∈ [0，T*],是一个鞅，这意味着dtν（dy）是π（dt，dy）的一个补偿度量。测量∧π（dt，dy）被称为Z的补偿跳跃测量-→ R、从零到任意t的集合a∈ [0，T*] 随机变量ztzaf（y）π（ds，dy）=Xs∈[0，t]f(△Zs）1A(△Zs），可与expectationE积分ZtZAf（y）π（ds，dy）= tZAf（y）ν（dy）。此外，过程rRaf（y）~π（ds，dy）是平方可积鞅andEZtZAf（y）π（ds，dy）= tZAf（y）ν（dy），t∈ [0，T*]. （2.5）对于f（y）=y和集合序列An:={n<|y|≤ 1} 我们可以用（2.5）和（2.4）证明序列ztzanyπ（ds，dy），t∈ [0，T*], n=1，2。。。，几乎肯定一致收敛于[0，T]*]. 极限用ztz{| y表示|≤1} yπ（ds，dy）：=limn→+∞ZtZAnyπ（ds，dy），t∈ [0，T*].现在，我们已经准备好用L’evy It^o分解公式。它告诉我们，任何L’evy进程都会使用以下表示形式zt=at+W（t）+ZtZ{y|≤1} yπ（ds，dy）+ZtZ{y |>1}yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], （2.6）如果∈ R、 W是方差q>0的维纳过程，即V ar（Wt）=qt。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

kedemingshi

2022-5-9 16:10:16

此外，（2.6）中的所有成分都是独立的。L’evy It^o分解是分析L’evy过程的重要工具。其结果之一是，它可以定义stocastic积分ztf（s）dZ（s），t∈ [0，T*], （2.7）对于被积函数f∈ Φ，其中Φ是一系列可预测的平方可积过程，即zt*| f（s）|ds<+∞.如果Z是维纳过程，则Φ类的定义是众所周知的。通到一般情况的基础是，（2.6）右边的第一个积分是平方可积鞅。在Z是鞅的情况下，也就是当nz{y |>1}|y |ν（dy）<+∞, a=-Z{| y |>1}yν（dy），Z isZt=W（t）+ZtZRyπ（ds，dy），t的形式∈ [0，T*],然后积分（2.7）是局部鞅。结果表明，Φ类是将任何局部鞅表示为带有f的随机积分（2.7）∈ Φ. 然而，局部鞅的整体表示在积分类zttf（s）dW（s），ZtZRg（s，y）~π（ds，dy）中是可能的。在下一节中，我们将介绍上面第二个积分的构造。然后，在第2.2节中，我们给出了局部鞅的表示定理f。2.1补偿跳变测量上的积分在这里我们给出了积分ztzug（s，y）~π（ds，dy），t的构造∈ [0，T*],其中g:[0，T*] ×R→ R和π代表L’evy过程z的补偿跳跃度量。我们从简单被积函数积分的直观定义开始，进一步扩展到满足某些可积条件的被积函数。p过程提供了一类积分，允许获得第2.2节讨论的任何局部鞅的积分表示。[9]中概述了以下结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 16:10:20

我们的演示包含更多细节，因为它将作为第3.1节中在同等措施下扩展集成概念的参考点。如果过程g=g（t，y）的形式为g（s，y）=g（0，y）1{s=0}+n，则过程g=g（t，y）是简单的-1Xi=0miXj=1gij（ti，ti+1）（s）1Aij, s∈ [0，T*], Y∈ R、（2.8）式中0=t<t<tn=T*是[0，T]的一个分区*] Aijis是一系列从零开始分离的R集，即0/∈“哎呀。对于给定的子区间（ti，ti+1），过程g是术语gij（ti，ti+1]（s）1Aij的线性组合，其中gijare有界Fti-可测随机变量和Aij，j=1，2。。。，它们是不相交的。注意，我们并没有假设I6=k的集合Aijand-Aklare不相交。用S表示g的所有简单过程的类∈ 随机积分I（g）定义为I（g）t=ZtZUg（S，y）~π（ds，dy）：=nXi=0miXj=1gij~π（（ti∧ t、 ti+1∧ t] ×Aij），t∈ [0，T*].我们将证明I（g）是一个平方可积鞅，并找到它的二阶矩。从（2.1）-（2.2）可以看出，过程∧π（t，Aij）=π（t，Aij）- tν（Aij），t∈ [0，T*],是增量相依的平方可积鞅，如果是相依增量，~π（t，Aij），~π（t，Akl）是独立的∩ Akl=. 因此，我们得到以下结果。命题2.1关于集合A、B 与零和s<t，s，t分离∈ [0，T*] holdE[)π（（s，t]×A）|Fs]=（t）-s）如果A∩B=,对于t，E[!π（（s，t]×A）·!π（（u，v]×B）| Fu]=0≤ u<v≤ T*.命题2.1是证明以下等距公式的关键。g的命题2.2∈ 积分I（g）是一个squ可积鞅和| I（g）t|= EZtZR | g（s，y）| dsν（dy））, T∈ [0，T*]. （2.9）证明：很明显，I（g）是马丁·盖尔。为了简单起见，我们证明（2.9）为t=t*只有

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:24

从积分followsEh | I（g）T的定义*|] = EhnXi=0miXj=1nXk=0mlXl=1gijgkl·π（（ti，ti+1]×Aij）·π（（tk，tk+1]×Akl）i.使用命题2.1，让我们计算上述总和中出现的术语的期望值。我们需要考虑以下三种情况：a）如果i=k和j=l，则ne[gijgij·!π（（ti，ti+1]×Aij）]=Eh | gij | E[|π（（ti，ti+1]×Aij）|Fti]i=E| gij |（ti+1）- ti）ν（Aij）,b）如果i=k和j 6=j 6=i=k和j 6=j，如果i=k和j 6=k和j 6=j，如果i[ti，TiTi+1+1）和j 6=6=j（如果i=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j 6=k和j（ti，ti，ti+1+1）以及j）和j（如果i，ti，ti，ti+1+1+1+1[[[[[ti+1]和1]和1]和1]×尾[[[[[1]尾]尾]）和（AI[[[[[[[[[1]和（ti，ti，ti，ti，ti，ti，ti，ti，ti+1]1]和1]和1]和1[1]和1]和1[1]和[1[1]和1]tk+1]×Akl）| Ftk∨ti]i=0。从以上几点来看ZT*ZRg（s，y）~π（ds，dy）i=nXi=0miXj=1E[|gij |（ti+1- ti）ν（Aij）]=EhZT*ZR | g（s，y）| dsν（dy）i，即（2.9）。积分的定义可以推广到满足Ehzt的所有可预测过程*ZR|g（s，y）|dsν（dy）i<+∞.如果是这种情况，则存在序列gn∈ S、 n=1，2。。。就这样*ZR | g（s，y）-gn（s，y）|dsν（dy）i-→ 0，这意味着e[|I（gn）T*- I（gm）T*|] -→n、 m0。上述条件表明{I（gn）}是平方可积鞅空间中的完全Cauchy序列。因此存在一个极限I（g），它定义了积分因子g的积分f，即ztg（s，y）~π（ds，dy）=I（g）t:=limn→+∞I（gn）t，等轴测公式（2.9）仍然成立。让我们介绍一类所有可预测过程的ψ，满足ψ：ZT*ZR|g（s，y）|dsν（dy）<+∞, P- a、 s。。通过使用局部化参数，我们可以证明对于g∈ ψ积分ztzrg（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*],是一个定义良好的局部平方可积鞅。第二类过程是π-可积的，它由所有可预测的过程组成，例如e“ZT”*ZR|g（s，y）|dsν（dy）#+∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-9 16:10:27

（2.10）然后根据补偿测量的定义得出ZtZRg（s，y）~π（ds，dy）：=ZtZRg（s，y）π（dy，ds）-ZtZRg（s，y）dsν（dy），t∈ [0，T*], （2.11）是一个鞅。在满足ψ：ZT的可预测过程的ψ类中*ZR|g（s，y）|dsν（dy）<+∞, P- a、条件（2.10）局部成立，thusZtZRg（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*],是一个局部鞅。在表示局部鞅中起关键作用的过程类是ψ1,2，定义如下∈ Ψ1,2<==> g1{|g|≤1}∈ ψ和g1{| g |>1}∈ Ψ.每克∈ ψ1,2积分由分解ztzrg（s，y）~π（ds，dy）：=ZtZRg1{g|≤1} π（ds，dy）+ZtZRg1{g |>1}π（ds，dy），是局部鞅。ψ1,2类可以用条件ψ1,2:ZT来描述*ZR（|g（s，y）|∧ | g（s，y）|）dsν（dy）<+∞, P- a、 s..2.2等价测度的鞅表示和特征设Φ代表关于维纳过程可积的过程类，即φ∈ Φ如果φ可预测且满足*| φ（s）|ds<+∞, P- a、 s。。对任何人来说∈ Φ积分ztφ（s）dW（s），t∈ [0，T*],是一个局部平方可积鞅。第3.1节引入的被积函数Φ和ψ1,2类足够大，可以将局部鞅表示为随机积分。以下结果已在[9]中得到证实。定理2.3设M是[0，T]上的R值P-局部鞅*]. 然后存在stφM∈ Φ和ψM∈ ψ1,2satisfyingMt=M+ZtφM（s）dW（s）+ZtZUψM（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*]. （2.12）此外，对（φM，ψM）是唯一的，即如果（φ′M，ψ′M）满足（2.12），那么φM=φ′M，dP×dt- a、和ψM=ψ′M，dP×dt×dν- a、 s。。让我们来考虑一项措施(Ohm, F）这相当于P。等价性意味着正密度过程的存在，其形式为ρt:=dQdPFt=eYt，t∈ [0，T*], （2.13）对于Y，ρ是P下的鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-9 16:10:31

下面对经典Girsanov定理的推广提供了ρ的积分表示的一种显式形式，并在测度Q下刻画了过程Z，其证明见[9]。定理2.4（Girsanov）设Q~ P和Z是P下具有特征三重态（a，q，ν）的L′evy过程。a）存在一对过程（φ，ψ），使得φ∈ Φ和eψ-1.∈ ψ1,2密度过程（2.13）的形式为dρ（t）=ρ（t-)φ（t）dW（t）+ZR（eψ（t，y）- 1） ~π（dt，dy）, ρ（0）=1，t∈ [0，T*], （2.14）E[ρt]=1，t∈ [0，T*].b）在测量值Q下，过程W（t）：=W（t）-Ztφ（s）ds，t∈ [0，T*], （2.15）是一个具有方差q和随机测度νq（dt，dy）：=eψ（t，y）dtν（dy），t的维纳过程∈ [0，T*], Y∈ R、（2.16）是Z.c）的跳跃测度π（dt，dy）的补偿测度。在测度Q下，过程Z允许表示Z（t）=at+-W（t）+ZtZ{y|≤1} yπQ（ds，dy）+ZtZ{y |>1}yπ（ds，dy），（2.17）带~~at:=at+Ztφ（s）ds+ZtZ{y|≤1} y（eψ（s，y）- 1） dsν（dy）。定理中出现的一对（φ，ψ）将被称为测量Q的生成对。可以显式地求解多尔-戴德方程（2.14），以看到密度过程ρ实际上类似于（2.13），y（t）=Ztφ（s）dW（s）-Zt|√qφ（s）|ds+ZtZR（eψ（s，y）- 1） ~π（ds，dy）-ZtZR（eψ（s，y）- 1.- ψ（s，y））π（ds，dy）。（2.18）为了评论这个定理，让我们引入两个集合A=A（t）和^A=A（t）byA:={（s，y）∈ [0，t]×R:| eψ（s，y）- 1 |≤ 1} ，^A:={（s，y）∈ [0，t]×R:| eψ（s，y）- 1 |> 1}.首先，让我们解释一下（2.17）的定义。实际上，从类ψ1,2的定义来看，ztzb | y（eψ（s，y）-1） |dsν（dy）=Z[0，t]×B∩A | y（eψ（s，y）- 1） |dsν（dy）+Z[0，t]×B∩^A | y（eψ（s，y）- 1） |dsν（dy）≤ZtZB | y | dsν（dy）ZA | eψ（s，y）- 1 | dsν（dy）+Z^A | eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞,其中B:={y:|y|≤ 1} 因此，atis实际上定义得很好。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:34

补偿度量νQ（ds，dy）满足ztZr（|y|∧ 1） νQ（ds，dy）<+∞ , （2.19）因为|∧ 1） eψ（s，y）dsν（dy）<+∞ <==>ZtZR（| y）|∧ 1） |eψ（s，y）-1|dsν（dy）<+∞,使用与上述集合a和^a类似的分解，我们得到了ZTZR（|y）|∧ 1） |eψ（s，y）- 1 | dsν（dy）≤ZtZR（| y）|∧ 1） dsν（dy）+Z^A | eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞,因此，（2.17）中的所有术语都有明确的定义。实际上（2.17）通过加上和减去术语srφds和rrbyeψdsν（dy），紧接着从t^evy It^o分解（2.6）开始。因此，在Q下，只有当φ是定常常数且ψ是独立于时间的确定函数时，过程Z才是L′evy过程，即φ（ω，t）=φ，ψ（ω，t，y）=ψ（y）。这是一个非常特殊的情况，因此，一般来说，Z不再是Q下的L’evy过程。特别是，由于新的补偿测度νQis随机且与时间相关，测度Q改变了zb跳跃的随机性质。因此π不是Q下的longera Poisson随机测度。很明显，在Q下，小跳跃是平方和的，在[0，T]上只有几个大跳跃*] 因为Q~ P然而，条件（2.19）并不意味着相应的期望值是有限的，就像在物理测量P中一样。由于（2.19）中的积分在t中是连续的，因此从（2.19）可以看出，存在一个局部停止时间序列{τn，n=1，2，…}使得eqhzτnZR（|y|∧ 1） νQ（ds，dy）i<+∞, n=1，2。。。，这意味着eqhxs∈[0，τn]|△Zs|{|△Zs|≤1} i<+∞, EQhXs∈[0，τn]{|△Zs|>1}i<+∞, n=1，2。此外，对于任何一组∈ R加0/∈\'A保持νQ（[0，t]，A）=ZtZAeψ（s，y）dsν（dy）<+∞, （2.20）并且使用与上述类似的参数，我们可以证明过程∧πQ（t，A），t≥ 0是一个Q-局部m-鞅，而不是一般的Q-鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:38

性质（2.20）来自于ztza | eψ（s，y）的估计- 1 | dsν（dy）≤ tν（A）+Z^A | eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞.3等价测度下的鞅表示如第2.2节所述，过程Z是P下的L’evy过程，不再是等价测度Q下的L’evy过程。它的跳跃测度不是泊松测度，henceTheorem 2.3不能应用于Q-局部鞅。我们的目的是建立定理2.3的类比结果，并以此为目的，在Q下构造Z的补偿跳跃测度上的积分。文献中缺少对这部分理论的全面阐述。3.1 QLet（φ，ψ）下补偿跳跃测度的积分是测度Q的生成对~ P根据定理2.4，Z的跳跃测度π（dt，dy）在Q下有一个新的补偿测度e，形式为νQ（dt，dy）=eψ（t，y）dtν（dy）。因此，πQ（ds，dy）=π（ds，dy）-eψ（s，y）dsν（dy）是q下Z的一个补偿跳跃测度。我们现在的目标是构造随机积分ztzrg（s，y）~πQ（ds，dy），t∈ [0，T*], （3.1）对于g:[0，T*] ×R-→ R.我们将从简单过程开始，然后将构造扩展到更广泛的被积函数类。首先注意EQ[π（t，A）]=EQ[νQ（t，A）]=EQhZtZAeψ（s，y）dsν（dy）i，t≥ 0，即使集合A与0分离，也可能是有限的。由于这个原因，我们在R的从零开始的子集上引入了一个附加限制，即isEQ[νQ（[0，T*] ×A）]+∞. （3.2）如果（3.2）保持不变，则p进程∧πQ（t，A）=π（t，A）- νQ（t，A）是一个Q-鞅，尽管它的增量不是独立的。实际上，πQ（t，A）是一个Q-平方可积鞅，其p性质如下所示。引理3.1设A，B R两个（3.2）保持不变。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-9 16:10:47

那么∧πQ（t，A）和∧πQ（t，B）过程是[0，t]上Q下的平方可积鞅*] 它们的二次协变量是由hπQ（t，A），~πQ（t，B）i=νQ（[0，t]×A）给出的∩B），t∈ [0，T*]. （3.3）特别是，过程（∧πQ（t，A））- νQ（[0，t]×A）；πQ（t，A）·πQ（t，B）- νQ（[0，t]，A）∩ B），t∈ [0，T*]是Q-鞅，如果A∩B= 那么eq[!πQ（t，A）·!πQ（t，B）]=0，t∈ [0，T*].证明：首先，让我们注意到，~πQ（t，A），~πQ（t，B）是Q-局部平方可积鞅。实际上，过程π（t，A）有大小为1的跳跃，而νQ（[0，t]×A）是连续的，因此两者都是局部有界的，因此∧πQ（t，A）是局部有界的，因此Q是局部平方可积的。因此，p过程hπQ（t，A），~πQ（t，B）i得到了很好的定义。It^o乘积公式的应用，参见[1]中的定理4.4.13，y ields∧πQ（t，A）·πQ（t，B）=Zt∧πQ（s-, A） dπQ（s，B）+ZtπQ（s-, B） dπQ（s，A）+Xs∈[0，t]△~πQ（s，A）·△πQ（s，B），t∈ [0，T*].右边的前两个积分是Q-局部鞅，是关于鞅的局部有界过程的随机积分。因为这两个过程∧πQ（t，A），∧πQ（t，B）都有大小为1的跳跃，所以我们有x∈[0，t]△πQ（t，A）·△πQ（t，B）=π（[0，t]×A∩B），t∈ [0，T*].补偿我们得到的最后一项∈[0，t]△πQ（t，A）·△~πQ（t，B）=~πQ（[0，t]×A）∩ B） +νQ（[0，t]×A）∩ B），t∈ [0，T*].最后，是过程∧πQ（t，A）·πQ（t，B）-νQ（[0，t]×A）∩ B），t∈ [0，T*],是一个Q-局部鞅，它给出（3.3）。进一步地，它来自于估计Q[~πQ（T*, A） ]=EQ[νQ（[0，T*] ×A）]+∞,πQ（t，A）实际上是一个Q-平方可积鞅。在第一步中，我们为一个简单过程构造积分（3.1），该过程的表示形式为g（s，y）=g（0，y）1{s=0}+n-1Xi=0miXj=1gij（ti，ti+1）（s）1Aij, s∈ [0，T*], Y∈ U、（3.4）式中0=t<t<。。。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:51

<tn=T*是[0，T]的一个分区*] Ai，jis是从零分离出来的R的子集族，使得eq[νQ（[0，T*] ×Ai，j）]+∞. （3.5）用SQ表示的简单过程集与第3.1节中定义的类似。条件（3.5）对集合Aijan施加的差异，这一要求与Q下补偿措施的不同形式有关。实际上，在P下，如果只有{Aij}与零分离，则（3.5）的模拟自动保持。事实证明，对于g∈ sq随机性t=ZtZUg（s，y）~πQ（ds，dy）：=nXi=0miXj=1gij ~πQ（（ti）∧ t、 ti+1∧t] ×Aij），t∈ [0，T*].是一个Q-平方可积鞅。这可以证明，下面的命题3.2与命题2.1相对应，描述了Q补偿跳跃测度的性质。它的证明直接基于引理3.1，留给读者。命题3.2关于集合A、B∈ U（3.2）和0≤ s<t≤ T*] 如果A的话，保持EQ[~πQ（（s，t]×A）|Fs]=EQ[νQ（（s，t]×A）|Fs]，EQ[~πQ（（s，t]×A）·πQ（（s，t]×B）|Fs]=0∩ B=,对于t，等式[!πQ（（s，t]×A）·!πQ（（u，v]×B）| Fu]=0≤ u<v≤ T*.然后模仿P位置2.2的优点，我们可以证明以下几点。命题3.3针对过程g∈ 积分IQ（g）是一个Q-square可积鞅ZtZRg（s，y）~πQ（ds，dy）= 情商ZtZR | g（s，y）|νQ（ds，dy）, T∈ [0，T*]. （3.6）为了将积分的定义扩展到更大类别的被积函数上，我们使用了与测度P相同的论证。如果一个可预测的过程满足*ZR | g（s，y）|νQ（ds，dy）i<+∞.然后，IQ（g）由近似参数确定。它是一个Q-平方可积鞅，且（3.6）成立。通过ψQwe表示满足ψQ:ZT的所有可预测过程的类别*ZR|g（s，y）|νQ（ds，dy）<+∞, Q- a、 s代表g∈ ψqq积分IQ（g）是Q-局部平方可积鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:10:59

如果g满足条件“ZT*ZR | g（s，y）|νQ（ds，dy）#+∞. （3.7）然后一个定义ZtZRg（s，y）~πQ（ds，dy）：=ZtZRg（s，y）π（ds，dy）-ZtZRg（s，y）νQ（ds，dy），t∈ [0，T*],（3.8）这是一个Q-鞅。如果g∈ ψQ，其中ψQ:ZT*ZR|g（s，y）|νQ（ds，dy）<+∞ , Q-a、然后（3.7）局部保持，因此进程ztzrg（s，y）~πQ（ds，dy），t∈ [0，T*],是一个Q-局部鞅。最后，对于Q-局部鞅的表示，我们需要一个由g定义的类ψQ1,2∈ ψQ1,2<==> g1{|g|≤1}∈ ψQand g1{| g |>1}∈ 每g的ψQ∈ ψQ1,2积分由分解ztzrg（s，y）~πQ（ds，dy）：=ZtZRg1{g|≤1} πQ（ds，dy）+ZtZRg1{g |>1}πQ（ds，dy），是一个Q-局部鞅。很明显，g∈ ψQ1,2if且仅ifZT*ZU（|g（s，y）|∧ | g（s，y）|）νQ（ds，dy）<+∞ , Q- a、 s..3.2鞅表示在使用第3.1节中描述的被积函数类的情况下，我们可以将任何Q-局部鞅分解为积分形式。定理3.4设Q是一个等价于P的度量，其生成对（φ，ψ），φ∈ Φandeψ-1.∈ Ψ. （3.9）任意Q-局部鞅Mt，t∈ [0，T*], 允许表示形式mt=M+Zt＠φM（s）d＠W（s）+ZtZR＠ψM（s，y）＠πQ（ds，dy），t∈ [0，T*] （3.10）带φM∈ Φ和|ψM∈ ψQ1,2。此外，该对（～φM，～ψM）是唯一的，即如果（～φ′M，～ψ′M）满足（3.10），则～φM=～φ′MdQ×dt- a、 s.和△ψM=△ψ′MdQ×dνQ- a、 s。。在证明中，我们将使用经典结果，因为它的证明参见，例如，命题3。8英寸[7]。引理3.5设Q等价于P，密度过程ρt:=dQdP | Ft，t∈ [0，T*].那么过程M（t）是Q-局部鞅当且仅当M（t）ρ（t）是P-局部鞅。证明：[定理3.4]我们考虑了没有维纳部分的情况，即密度过程的形式为ρ（t）=ρ（t）-)ZR（eψ（t，y）- 1） π（dt，dy），ρ（0）=1，t∈ [0，T*]. （3.11）通过一般案例不会造成严重困难。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-9 16:11:02

鉴于引理3.5，过程ρtMt，t∈ [0，T*] 是一个P-局部鞅，根据定理2.3，可以表示为ρtMt=ρM+ZtZRψM（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*], （3.12）对于某些ψM∈ Ψ1,2. 根据It^o公式，和（3.11）遵循ρt=1-Ztρs-dρs+Xs∈[0，t]ρs-ρs-+ρs-△ρs= 1.-ZtZRρs-（eψ（s，y）- 1） π（ds，dy）+ZtZRρs-E-ψ（s，y）+eψ（s，y）- 2.π（ds，dy），t∈ [0，T*]. （3.13）将It^o生产公式与（3.12）和（3.13）产量SMT=（Mtρt）·ρt=M+Zt（Mρ）s一起应用-Dρs+Ztρs-d（Mρ）s+Mρ，ρs=M+ZtZRMs-（e）-ψ+eψ- 2） π（ds，dy）-（eψ）- 1） ~π（ds，dy）+ZtZRρs-ψM（e）-ψ- 1） π（ds，dy）+ψMπ（ds，dy）, T∈ [0，T*].现在，我们使用f-act-th，eψ（t，y）dtν（dy）是π（dt，dy）在Q下的一个补偿度量，并排列上述项。这意味着SMT=M+ZtZRMs-E-ψ（s，y）（1）- eψ（s，y））～πQ（ds，dy）+ZtZRρs-ψM（s，y）e-ψ（s，y）~πQ（ds，dy）。证明是通过证明上述积分实际上定义得很好来完成的，也就是过程△ψM（s，y）：=Ms-E-ψ（s，y）（1）- eψ（s，y））+ρs-E-ψ（s，y）ψM（s，y），t∈ [0，T*], Y∈ U、属于ψQ1,2。由于过程M和ρ是局部有界的，我们将证明-ψ(1 - eψ）∈ ψQ1,2，（3.14）和-ψψM∈ ψQ1,2。（3.15）根据估算得出的条件（3.14）| E-ψ(1 - eψ）|∧ | E-ψ(1 - eψ）|eψ=e-ψ| eψ- 1 |∧ | eψ- 1 |≤| eψ- 1 |和（3.9）。条件（3.15）的形式为zt*ZRH（s，y）dsν（dy）<+∞, 带H（s，y）：=|ψM（s，y）|e-ψ（s，y）∧ | ψM（s，y）|，（3.16）鉴于（3.9），我们需要在ψ为≤ 只有0。让我们考虑[0，T]的下列子集*] ×RA:={ψ≤ 0}，B:={|ψM | e-ψ≤| ψM |}，C:={eψ≤}.从（3.9）中可以看出*ZRA∩B（1）- eψ（s，y））dsν（dy）<+∞,因此∩C是一组有限的dtν（dy）度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:11:06

以下是四个估计值（a）ZT*ZRA∩B∩CH（s，y）dsν（dy）=ZT*ZRA∩B∩C |ψM（s，y）|e-ψ（s，y）dsν（dy），≤ZT*ZRA∩B∩C|ψM（s，y）|dsν（dy）≤ZT*ZRA∩B∩Cdsν（dy）<+∞,因为∩ B∩ C是有限测度，b）ZT*ZRA∩B∩CcH（s，y）dsν（dy）≤ZT*ZRA∩B∩复写的副本2 |ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）≤ 2ZT*ZRA∩B∩复写的副本| ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）<+∞,因为ψM∈ ψ1,2，c）ZT*ZRA∩公元前∩CcH（s，y）dsν（dy）≤ZT*ZRA∩公元前∩复写的副本2 |ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）≤ 2ZT*ZRA∩公元前∩复写的副本| ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）<+∞,d） ZT*ZRA∩公元前∩CH（s，y）dsν（dy）=ZT*ZRA∩公元前∩C∩{ψM|≤1} ψM（s，y）|dsν（dy）+ZT*ZRA∩公元前∩C∩{|ψM |>1}|ψM（s，y）| dsν（dy）≤ZT*ZRA∩公元前∩C∩{ψM|≤1} dsν（dy）+ZT*ZRA∩公元前∩C∩{|ψM |>1}| ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）<+∞,暗示（3.16）。唯一性等价于关联mt:=0=ZtZR∧ψM（s，y）~πQ（dy，ds），t∈ [0，T*],ψM∈ ψQ1,2==>ψM≡ 根据It^o公式，以下为0=Mtρt=ZtZRMs-ρs-（eψ（s，y）- 1） dπ（ds，dy）+ZtZUρs-△ψM（s，y）~πQ（dy，ds）+ZtZRρs-ψM（s，y）（eψ（s，y）- 1） π（ds，dy）=ZtZRρs-ψM（s，y）eψ（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*],P下积分表示的唯一性意味着th在|ψM处≡ 0分解（3.10）已在[9]中表述，没有唯一性属性，见第2.3节。[9]中的证明是基于另一个论点的，然而，它是粗略的。特别是，在[9]中还不清楚哪些过程可以在Q.4债券市场的不完全性下的衡量标准上进行整合。我们将研究债券市场的完整性问题。我们的主要结果是定理4。4当L’evy测度具有密度函数时，显示市场不完全性。这个结果推广了文献[2]中的定理4.12，其中模型是在鞅测度下指定的，即P是一个鞅测度。4.1模型考虑中的市场由期限为[0，T]的债券组成*] 威特*< +∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:11:11

无论如何∈ [0，T*] 债券的价格由p（T，T）：=e确定-RTtf（t，u）du，t∈ [0，T*], （4.1）其中f（·，·）代表远期汇率。远期利率的时间演变为每个∈ [0，T*] 分别是byf（t，t）=f（0，t）+Ztα（s，t）ds+Ztσ（s，t）dZ（s，t）∈ [0，T*], （4.2）其中Z是一个L’evy过程(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T*], P）。我们采用[5]中的模型假设，即（4.2）中的系数满足α（t，t）=0，σ（t，t）=0表示t∈ [T，T]*], （4.3）（ω，t，t）-→ α（ω，t，t），σ（ω，t，t）是P B（[0，T*]) - 可测量的，（4.4）支持∈[0，T*]| α（t，t）|<+∞, 监督∈[0，T*]| σ（t，t）|<+∞ . （4.5）在（4.4）中，P代表Ohm ×[0，T*] 和B（[0，T*]) 对于Borelσ-feldon[0，T*]. 鉴于（4.5）领域（t，t）-→ 假设α（t，t），σ（t，t）是有界的，但边界可能依赖于ω。在（4.5）中，（4.2）中的两个积分都得到了很好的定义。最后，（4.3）允许确定超过到期日的时间点的债券价格。要通过r（t）来了解这个短期利率过程：=f（t，t），t∈ [0，T*]. 然后，通过（4.3）和（4.2），我们得到了f（t，t）=f（0，t）+ZTα（s，t）ds+ZTσ（s，t）dZ（s）=f（t，t），t∈ [T，T]*],因此，lyp（t，t）=e-RTtf（t，s）ds=e-RTtf（s，s）ds=eRtTr（s）ds=eRtTr（s）ds，t∈ [T，T]*].后一种情况意味着债券的票面价值在到期时自动转移到储蓄账户上，并一直保持到T*. 此外，从（4.3）可以看出，贴现债券价格^P（t，t）：=e-Rtr（s）dsP（t，t），t，t∈ [0，T*],可以用形式^P（t，t）：=e表示-RTf（t，s）ds，t，t∈ [0，T*]. （4.6）最重要的问题是（4.1）-（4.2）定义的模型中没有套利。套利的概念，在[3]和[4]的意义上，相当于存在一个测度qp，它等价于P，因此贴现债券价格是Q-局部鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:11:14

每一种度量都被称为鞅度量。以下结果是[5]中定理3.1和[8]中定理3.1的结果，具体说明了鞅测度的生成对（φ，ψ）和模型系数之间的关系。定理4.1假设（4.3）-（4.5）满足~ P是一个具有生成对（φ，ψ）的度量，使得φ∈ Φ，eψ- 1.∈ Ψ1,2. 表示a（t，t）：=ZTtα（t，v）dv，∑（t，t）：=ZTtσ（t，v）dv，t，t∈ [0，T*].a）如果过程^P（·，T），T∈ [0，T*] 由（4.6）给出的是Q-局部鞅*Z{|y|≤1} |eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞, a、（4.7）和ZT*Z{y}>1}e-∑（s，T）y·eψ（s，y）dsν（dy）<+∞, （4.8）对于每个T几乎ω-肯定。b）如果满足（4.7）和（4.8），则^P（·T），T∈ [0，T*] Q-局部鞅当且仅当ifA（s，T）=-∑（s，T）a+q∑（s，T）- qφ（s）∑（s，T）+ZReψ（s，y）（e）-∑（s，T）y-1） +1{|y|≤1} ∑（s，T）y每T的ν（dy），（4.9）∈ [0，T*] 几乎所有的s几乎都是ω-当然。让我们来评论一下上面的定理。条件（4.7）和（4.8）缩小了鞅测度生成对的类别。实际上它来自（4.7）和eψ的事实- 1.∈ ψ1,2状态ψ-1.∈ Ψ. （4.10）条件（4.8）是[8]中针对φ=0，ψ=0的情况得到的指数矩条件的推广，即当模型直接在鞅测度下指定时。请注意，（4.9）的右侧涉及远期利率的波动性、Z的特征和Q的生成对，而左侧仅取决于远期利率的漂移。T中（4.9）的微分给出了α（T，T）的直接公式，它推广了著名的希思-杰罗-莫顿漂移条件α（T，T）=σ（T，T）ZTtσ（T，v）dv，T，T∈ [0，T*],在[6]中引入，当Z是维纳过程时。设Q是所有鞅测度和Q的集合∈ Q有一个生成对（φ，ψ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-9 16:11:19

回想一下，在Q下，（2.15）给出的p过程W是一个Wiener过程，在Q下，（2.16）给出的νQ（dt，dy）是π（dt，dy）的一个补偿量度，并且∧πQ（dt，dy）=π（dt，dy）-νQ（dt，dy）是Z的一个补偿跳跃度量。使用（4.6）、（4.2）和It^o公式提供了^P（·T），T的动力∈ [0，T*] 在Q下，其形式为^P（t，t）=^P（t，0）-Zt^P（s）-, T∑（s，T）dW（s）+ZtZR^P（s）-, 他-∑（s，T）y- 1i~πQ（ds，dy），t，t∈ [0，T*]. （4.11）4.2投资组合债券投资组合的概念概括了股票市场描述中涉及的有限维度设置。从（4.1）中得出，对于任何t∈ [0，T*] 函数→ P（t，t），t∈ [0，T*],是连续的，因此Pt:=P（t，·）可以被视为[0，t]上边界函数的Banach空间B的一个元素*] 范数为| h | B:=supz∈[0，T*]| h（z）|。A交易策略~n将是B*-有值过程，这里是B*代表B的双重性。相应的g财富过程由x k t=h k t，PtiB，t定义∈ [0，T*],式中，h k，Pа是功能а的值∈ B*关于元素P∈ B.因此，计算的财富过程由^X k t=h k t，^PtiB，t给出∈ [0，T*].在s elf-融资策略类别中，投资组合价值的变化是由债券价格过程的影响引起的，这意味着在^X k允许以下代表性，然后^X k t=^X k+Zthаs，d^PsiB，t∈ [0，T*], （4.12）精确定义后一个积分。考虑到（4.11），我们认为-Zth^s，^Ps-∑siBdWs+ZtZRh^s，^Ps-（e）-∑sy- 1） iB∧πQ（ds，dy），t∈ [0，T*],（4.13）式中，∑s:=∑（s，·）∈ B.这导致对可接受策略的以下定义。让Q∈ Q是一个生成对（φ，ψ）为φ的鞅测度∈ Φ，eψ- 1.∈ Ψ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 16:11:24

AB*-有价值的策略是可接受的（ifa）h^s，^Ps-∑同胞∈ Φ和h^s，^Ps-（e）-∑sy- 1） iB∈ ψQ1,2，也就是zt*| h^s，^Ps-∑siB|ds<+∞, （4.14）和ZT*锆| h^s，^Ps-（e）-∑sy-1） iB|∧ | h^s，^Ps-（e）-∑sy- 1） iB|eψ（s，y）dsν（dy）<+∞,（4.15）b）财富过程，由（4.13）给出，是一个Q-鞅，所有可容许的交易策略的类别将由a（Q）表示。允许策略的定义取决于鞅测度的选择。模型的这一特征是由跳跃的存在引起的。事实上，虽然（4.14）不依赖于度量，但（4.15）是。由于无套利模型可能承认许多鞅测度，上述定义可能会令人困惑，因为它只涉及一个固定测度。然而，定义的相关性可以通过使用承认模型框架的经济论据来证明，其中金融合同的价格由从所有鞅测度集中选择的所谓定价测度下的预期给出。这里不讨论定价方法的选择，我们只提到在实践中以及纯理论考虑中经常使用具有独特定价方法的模型框架。或者，我们也可以考虑setA的交易策略：=\\Q∈QAQ。然而，问题是，A可能比A（Q）小得多，因此投资的可能性会变差。同样出于这个原因，我们只确定一个鞅测度，并考虑与该测度相关的可容许策略。4.3不完整性让我们从定义市场完整性开始。定义4.2如果存在每个有界随机变量X，则（4.1）-（4.2）定义的债券市场是完整的∈ A（Q）使X=^X k T*. （4.16）满足（4.16）的策略称为X的重复策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-9 16:11:27

如果市场不完整，它就是不完整的。设X为有界随机变量。根据定理3.4，关联鞅Mt:=EQ[X | Ft]，t∈ [0，T*] 允许积分表示X=EQ[X]+ZT*fX（s）dW（s）+ZT*gX（s，y）~πQ（ds，dy），对于某些fX∈ Φ和gX∈ ψQ1,2。根据（4.13）T的可接受策略的贴现财富过程*由^X k T给出*=^X^-ZT*h^s，^Ps-∑siBdWs+ZT*ZRh^s，^Ps-（e）-∑sy-1） iB∧πQ（ds，dy）。由于^X k是一个Q-鞅，当且仅当满足以下条件^X k=等式[X]，（4.17）时，策略k复制X-h^s，^Ps-∑siB=fX（s），dt- a、 s.，（4.18）h^s，^Ps-（e）-∑sy-1） iB=gX（s，y），dQ×dνQ- a、 s。。（4.19）如果~n复制X，则（4.17）确定复制成本。（4.18）的解决方案可以在属于点评估的函数类中搜索，即针对任何成熟度T∈ [0，T*]考虑hδT，hiB:=h（T），h∈ B.在平凡的非简并条件下，存在方程的解c=c（s）-c（s）^P（s）-, T∑（s，T）=fX（s），s∈ [0，T*]因此ψ（s）：=c（s）δTsolves（4.18）。需要进行更深入的分析的是涉及驱动过程Z跳跃的条件（4.19）。尽管（4.19）必须保持dQ×dνQ-a、在美国，我们将在续集中使用原始L’evy度量的浓度点的概念。[2]中介绍的精确定义如下。定义4.3 A点y∈ 如果存在一个序列{εn}，则R是L′evy度量的一个集中点∞n=1s。t、 εn0满足νnB（y，εn）\\B（y，εn+1）o>0 n=1，2。。。，（4.20）式中B（y，ε）={y∈ R:| y- y|≤ ε}.上述定义涵盖了财务建模中使用的绝大多数利维流程。事实上，每一个L’evy过程，其L’evy测度有一个密度函数，也有一个集中点。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:11:31

我们现在的目标是证明，如果列维测度有一个集中点，那么（4.19）对于某些Gx没有解，因此债券市场模型是不完整的。定理4.4考虑债券市场模型（4.1）-（4.2），其系数满足（4.3）（4.5）。如果Z的L′evy测度ν有一个集中点y6=0，那么市场是不完整的。在证明中，我们将使用以下两个辅助结果。第一个是矩问题解的扩展，参见Yosida[10]第5节中的定理2或[2]中的引理4.5。引理4.5设E是赋范线性空间和任意集。g:A-→ R和H:A-→ 然后就有了*∈ E*例如g（a）=<e*, h（a）>E，A.∈ A、（4.21）当且仅当 γ > 0 N∈ N {βi}ni=1，βi∈ R {ai}ni=1，ai∈ A保持nXi=1βig（ai）≤ γnXi=1βih（ai）E.（4.22）第二个结果源自富比尼定理，并将简化条件（4.19）的检查。命题4.6将（E，E，u），（E，E，u）设为可测量空间，并使用西格玛有限度量u，u和（E×E，E×E，u×u）设为其产品空间。如果两个可测函数f:E×E-→ R、 f:E×E-→ R满足条件f=f，du×du-a、（4.23）然后存在一个集合^E∈ 这是全u测量值（4.24）十、∈^集合{y:f（x，y）=f（x，y）}是全度量的。（4.25）证明：[定理4.4]我们将用dom变量X构造一个有界r，这样就不存在可容许的策略求解（4.19）。设{εn}∞n=1表示满足（4.20）的序列，并通过公式（y）定义辅助确定性函数GBG=|y|∧ 1给y∈ {B（y，ε2k+1）\\B（y，ε2k+2）}k=0，1。。。，-（|y |∧ 1）为了你∈ {B（x，ε2k）\\B（x，ε2k+1）}k=1，2|y|∧ 1给y∈ (-∞, Y- ε) ∪ （y+ε）∪ {y} 。假设有一段时间∈ A（Q）holdsh^t，^Pt-（e）-∑ty- 1） iB=g（y），（4.26）dQ×dνQ-a、 s。。由于度量dQ×νQ（dt，dy）和dP×dt×dν是等价的，等式（4.26）保持dP×dt×dνa.s。。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 16:11:34

Fix（ω，t）∈ Ohm ×[0，T*] 并假设（4.26）持有ν-a.s。。从命题4.6可以看出，存在一个完整的ν-测度s.t（4.26）的集合aν（ω，t）对每个y都是满意的∈ Aν（ω，t）。由于引理4.5，存在γ=γ（ω，t）>0，这样 N∈ N {βi}ni=1，βi∈ R {yi}ni=1，yi∈ Aν（ω，t）nXi=1βig（yi）≤ γnXi=1βi^Pt-（e）-∑tyi- 1)B.（4.27）让我们注意到，由于（4.20），我们得到了νnAν（ω，t）∩B（x，εn）\\B（x，εn+1）o> 所以我们可以选择一个序列{ak}∞k=1s。t、 ak∈ Aν（ω，t）∩B（y，εk）\\B（y，εk+1） k=1，2。。。。让我们检查条件（4.27），其中n=2，β=1，β=- 1和y=a2k+1，y=a2k+2工作=0，1。。。。那么（4.27）的左边有一个形式γβg（a2k+1）+βg（a2k+2）=γ（| a2k+1 |∧ 1） +（| a2k+2 | |∧ 1)因此令人满意-→∞γβg（a2k+1）+βg（a2k+2）=2（|y |∧ 1)γ6= 0.现在让我们估算一下（4.27）的右边。^Pt-（e）-∑ta2k+1- 1) -^Pt-（e）-∑ta2k+2- 1)B=支持∈[0，T*]^P（t）-, T）（e）-∑（t，t）a2k+1- 1) -^P（t）-, T）（e）-∑（t，t）a2k+1- 1)≤ 监督∈[0，T*]|^P（t）-, T）| su pT∈[0，T*]e∑（t，t）a2k+1- E-∑（t，t）a2k+2.第一次升级显然是确定的。为了处理第二个上确界，让我们注意到，对于足够大的k，点a2k+1，a2k+2lie在B（y，δ）中；δ>0，因此我们有SUPT∈[0，T*]E-∑（t，t）a2k+1-E-∑（t，t）a2k+2≤ 监督∈[0，T*]supy∈B（y，δ）扩散系数-∑（t，t）y· |a2k+1- a2k+2|≤ 监督∈[0，T*]苏比∈B（y，δ）ne |∑（t，t）| | y | |∑（t，t）| o | a2k+1- a2k+2 |，（4.28），明显趋向于零。因此，条件（4.27）不满足任何（ω，t）∈ Ohm ×[0，T*] Andhus（4.26）不包含ν- a、对于任意（ω，t）∈ Ohm ×[0，T*]. 由于P位置4。6方程式（4.26）没有解。现在，利用函数g，我们构造了一个有界的随机变量X，它是不可复制的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 16:11:40

首先让我们注意到，对于具有生成对（φ，ψ）的鞅测度Q，我们有zt*ZR（|g（y）|∧ | g（y）|）eψ（s，y）ν（dy）ds≤ZT*ZR（| y）|∧1） eψ（s，y）ν（dy）ds<+∞,参见（2.19），这意味着∈ ψQ1,2。设τkbe为τk=inf{t定义的停止时间：ZtZRg（y）~πQ（ds，dy）≥ k}∧ T*,然后选择一个数字。t、集合{（ω，τk（ω））；ω∈ Ohm} Ohm ×[0，T*] 为正dP×dt测量值。那么过程gX（s，y）：=g（y）1（0，τk]（s）是可预测的，有界的，并且属于ψQ1,2。进程r·RRgX（s，y）~πQ（ds，dy）是有界的，因为|R·RRgX（x，y）~πQ（ds，dy）|≤ 1成立，因此是作为有界Q-局部鞅的Q-鞅。最后让我们定义一下：=ZT*ZRgX（s，y）~πQ（ds，dy）。（4.29）那么（4.19）在可容许策略类中没有解，因此X不能被复制。让我们注意到，鞅测度的唯一性问题并不影响定理4.4，即即使鞅测度是唯一的，市场也是完全的。这表明，与资产数量有限的股票市场相比，鞅测度的唯一性和市场的完备性之间的等价性是一个基本属性，这两者之间存在显著差异。参考文献[1]D.Applebaum，《列维过程与随机微积分》，剑桥大学出版社（2009）。[2] M.Barski，J.Zabczyk，《利维过程驱动的债券市场的完整性》，国际理论与应用金融杂志（2010），13635-656。[3] F.Delbaen，W.S chachermayer，《资产定价基本定理的一般版本》，Mathematische Annalen，（1994），300463–520。[4] F.Delbaen，W.Schachermayer，《无界随机过程的资产定价基本定理》，Mathematische Annalen，（1998），312215–250。[5] E.Eberlein，J.Jacod，S。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝