由于r在H1，γ+中被调整，c`adl`ag，因此（a）f（·T）被调整，d`adl`ag在每个T中被调整∈ [0，T*],（b） f（t，·）是连续的。利用引理4.4和r在[0，T]上有界的事实*], 作为H1，γ+中的c`adl`ag过程，我们获得了支持∈[0，T*],十、≥0 | r（t，x）|=支持∈[0，T*]好的≥0 | r（t，x）|≤ 2.γ监督∈[0，T*]krkH1，γ+<+∞,这显然意味着（c）sup0≤T≤T≤T*f（t，t）<+∞.然而，根据[1]中的定理3.4，在（B3）下，对于足够大的k>0，在满足（a）的随机场类中，不存在（7.1）的解- （c） 。因此产生了矛盾。8整体解和强解存在性的证明根据定理5.10，我们可以直接检查方程（5.5），而不是（4.8）。首先，让我们澄清一下研究方程（5.5）解的存在性问题的总体思路。定义算子K，作用于两个变量的函数，byK（h）（t，x）=a（t，x）eRtJ′（Rt-s+xλ（v）h（s，v）dv）λ（s，t）-s+x）ds，x≥ 0，t∈ [0，T*], （8.1）其中a（t，x）由（5.6）给出。然后方程（5.5）可以紧凑地写成形式r（t，x）=K（r）（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 0 .解的存在性问题将通过随机鱼群迭代序列的性质来检验≡ 0，hn+1:=Khn，n=1，2。（8.2）让我们用a（t，x）=r（t+x）b（t，x）的形式写出a。根据命题6.2和命题6.3，在∧2下，场b是有界的，即supt∈[0，T*],十、≥0b（t，x）<\'b，（8.3），其中\'b=\'b（ω）>0。归纳法表明，如果r∈ L2，γ+然后hn（t）是L2中的一个边界过程，γ+对于每个n。实际上，假设hn和show对于hn+。鉴于附录中的（8.3）和估计（10.4），我们有Hn+1（t，x）≤ r（t+x）\'be\'λRt|J′（Rt-s+xλ（v）hn（s，v）dv）|ds≤ r（t+x）\'be\'λt*J′（？λ）√γsup-tkhn（t）kL2，γ）,因此hn+1（t）被束缚在L2，γ+中。

根据λ>0的假设和J′增加的事实，序列{hn}单调增加，因此存在`h:[0，T*] × [0, +∞) -→ R+这样的limn→+∞hn（t，x）=h（t，x），0≤ T≤ T*, 十、≥ 0.（8.4）经过（8.2）中的极限，通过单调收敛，我们得到¨h（t，x）=Kh（t，x），0≤ T≤ T*, 十、≥ 结果表明，场h的性质严格依赖于函数J′的增长。在这个问题中，我们讨论了如果（B4）成立，那么h（t）是L2，γ+中的有界过程，即h（t），t∈ [0，T*] 是（5.5）在L2，γ+中的非爆炸溶液。额外的假设可以保证h（t）在H1，γ+中有界，并且解是唯一的。在给出证据之前，我们先建立一个辅助结果。命题8.1假设J′saties（B4）。如果r∈ L2，γ+则存在一个正常数，如ifsupt∈[0，T*]kh（t）kL2，γ+≤ cthensupt∈[0，T*]kKh（t）kL2，γ+≤ c、 证明：根据附录（10.4）和（8.3）中的规定，对于任何t∈ [0，T*], 我们有kkh（t，·）kL2，γ+=Z+∞|r（t+x）b（t，x）| eRtJ′（Rt-s+xλ（v）h（s，v）dv）λ（t）-s+x）dseγxdx≤“bZ+∞|r（t+x）|e2J′λ√γ·suptkh（t）kL2，γ+Rtλ（t）-s+x）dseγxdx≤\'b·krkL2，γ+·sups∈[0，t]，x≥0e2J′λ√γ·suptkh（t）kL2，γ+Rtλ（t）-s+x）ds。这意味着suptkkh（t）kL2，γ+≤\'b·krkL2，γ+·supt∈[0，T*],s∈[0，t]，x≥0eJ′的λ√γ·suptkh（t）kL2，γ+Rtλ（t-s+x）ds，因此找到常数Cs就足够了\'b·krkL2，γ++ 监督∈[0，T*],s∈[0，t]，x≥0J′\'\'λc√γZtλ（t）- s+x）ds≤ lnc.（8.5）如果J′（z）≤ 每z为0≥ 第0步，我们把c=\'b·krkL2，γ+。如果J′取正值，那么就不足以找到大的Cs，比如\'b·krkL2，γ+≤ ln c-λT*J′\'\'λc√γ.此类CI的存在是（B4）的结果。定理5.5的证明：因为h（·，x）适用于每个x≥ 作为一个逐点极限，我们只需要证明h（t）是L2，γ+中的一个有界过程。H1，γ+。然后，h解出了定理5.10中的（4.8）。（a） 设cbe为命题8.1给出的常数。

通过法图引理，我们得到了支持∈[0，T*]Z+∞|\'h（t，x）| eγxdx≤ 监督∈[0，T*]林恩芬→+∞Z+∞| hn（t，x）| eγxdx≤ c、 因此，h（t）被束缚在L2，γ+中。（b） 鉴于（a），我们需要证明h′x（t）在L2，γ中有界。微分方程“h=K”得到“h′（t，x）=r′（t+x）b（t，x）F（t，x）+r（t+x）b′x（t，x）F（t，x）+r（t+x）b（t，x）F（t，x）F（t，x），其中F（t，x）：=eRtJ′（Rt）-s+xλ（v）`h（s，v）dv）λ（t）-s+x）ds，F（t，x）：=ZtJ′Zt-s+xλ（v）`h（s，v）dvλ（t）- s+x）–h（s，t- s+x）ds+ZtJ′Zt-s+xλ（v）h（s，v）dvλ′x（t）- s+x）ds。假设∧3意味着b（·，·）和b′x（·，·）在（t，x）上有界∈ [0，T*] × [0, +∞). 罪恶的∈ H1γ+，足以显示atsupt∈[0，T*],十、≥0F（t，x）<+∞, 监督∈[0，T*],十、≥0F（t，x）<+∞.我们有SUPT∈[0，T*],十、≥0F（t，x）≤ EJ′λ√γsuptk′h（t）kL2，γ+λT*< +∞.从位置2.3可以看出，（B4）排除了噪声的维纳部分以及负跳跃。因此，J′降低为形式J′（z）=R+∞耶-zyν（dy）和0≤ J′′（0）<+∞ 由于假设（B2）。由于J′在减小，下面的估计是正确的∈[0，T*],十、≥0F（t，x）≤J′′（0）T*\'\'λsupt∈[0，T*],十、≥0Zt\'h（s，t- s+x）ds+T*J′λ√γsuptk′h（t）kL2，γ+· 好的≥0λ′（x），这就足以证明h在{（t，x），t上有界∈ [0，T*], 十、≥ 0}. 鉴于“h=K”这一事实，我们得到了支持∈[0，T*],十、≥0英寸（t，x）≤ 好的≥0r（x）·支持∈[0，T*],十、≥0b（t，x）·eJ′√γsuptk′h（t）kL2，γ+λT*< +∞.定理5.7的证明：设r为定理5.5（b）给出的解。然后，通过T heorem 5.9，r解出（5.5）。我们将证明，假设λ（·）=λimp是方程（1.1）的解。差异化（5.5）产量xr（t，x）=eλLt-qλY（1+λ）△Ls）e-λ△Ls··r′（t+x）eλRtJ′（λRt-s+xr（s，v）dv）ds+r（t+x）eλRtJ′（λRt-s+xr（s，v）dv）ds··λZtJ′λZt-s+xr（s，v）dv· r（s，t）- s+x）ds= r（t，x）r′（t+x）r（t+x）+r（t，x）λZtJ′λZt-s+xr（s，v）dv· r（s，t）- s+x）ds=r（t，x）r′（t+x）r（t+x）+λZtJ′λZt-s+xr（s，v）dv· r（s，t）- s+x）ds.

（8.6）对于Z，由Z（t）定义的Zde:=eλLt-qλY（1+λ）△Ls）e-λ△Ls，Z（t，x）：=r（t+x）eλRtJ′（λRt-s+xr（s，v）dv）ds，我们有形式为dz（t）=Z（t）的sde-)λdL（t）dZ（t，x）=r′（t+x）eλRtJ′（λRt-s+xr（s，v）dv）ds+r（t+x）eλRtJ′（λRt-s+xr（s，v）dv）ds··hλJ′λZxr（t，v）dv+ λZtJ′\'λZt-s+xr（s，v）dvr（s，t）- s+x）dsidt=r′（t+x）r（t+x）Z（t，x）+Z（t，x）hλJ′λZxr（t，v）dv++ λZtJ′\'λZt-s+xr（s，v）dvr（s，t）- s+x）dsidt=Z（t，x）r′（t+x）r（t+x）+λJ′λZxr（t，v）dv++ λZtJ′\'λZt-s+xr（s，v）dvr（s，t）- s+x）dsdt。利用上述公式，我们得到了r（t，x）：dr（t，x）=d的SDEZ（t）Z（t，x）= Z（t）dZ（t，x）+Z（t，x）dZ（t）=Z（t）Z（t，x）r′（t+x）r（t+x）+λJ′λZxr（t，v）dv++ λZtJ′\'λZt-s+xr（s，v）dvr（s，t）- s+x）dsdt+Z（t，x）Z（t-)λdL（t）=r（t，x）r′（t+x）r（t+x）+λZtJ′λZt-s+xr（s，v）dvr（s，t）- s+x）dsdt+λr（t，x）J′λZxr（t，v）dvdt+λr（t）-, x） dL（t）by（8.6）=xr（t，x）dt+λJ′λZxr（t，v）dvr（t，x）dt+λr（t）-, x） dL（t），也就是（1.1）。9证明H1，γ+中解的唯一性在给出定理5.8的证明之前，我们建立了一个辅助结果。命题9.1设d:[0，T]*] × [0, +∞) -→ R+是满足D（t，x）的有界函数≤ CZtZt-s+xd（s，v）DVD（9.1），其中C>0是固定常数。然后d（t，x）=0表示所有（t，x）∈ [0，T*] × [0, +∞).证明：设d在[0，T]上有M>0的界*] × [0, +∞). 让我们定义一个新的函数“d（u，w）：=d（u，w- u） )；U∈ [0，T*], W≥ u、 很明显，d≡ [0，T]上的0*] ×[0, +∞) 当且仅当≡ 集合{（u，w）：u上的0∈ [0，T*], W≥u} 。让我们注意到（9.1）意味着“d（u，w）=d（u，w- u）≤ 祖兹-sd（s，y）dyds=CZuZwsd（s，z）- s） dzds=CZuZws\'d（s，z）dzds。利用这个不等式，我们将通过归纳证明‘d（u，w）≤ MCn（uw）n（n！），n=0，1，2。（9.2）然后让n→ 我们有d（t，x）=0。公式（9.2）对n=0有效。

假设n为真，n+1为显式：\'d（u，w）≤ CZuZwsMCn（sz）n（n！）dzds=mcn+1（n！）Zusn（Zwszndz）ds=MCn+1（n！）祖恩wn+1- sn+1n+1ds≤ MCn+1（n！）Zusnwn+1n+1ds=MCn+1（n！）un+1（n+1）wn+1（n+1）=MCn+1（uw）n+1（（n+1）！）。定理5.8的证明：假设方程（4.8）在H1，γ+中有两个罕见的解。然后它们是H1，γ中的有界过程，根据定理5.9，满足（5.5）。定义（t，x）：=|r（t，x）- r（t，x）|，0≤ T≤ T*, 十、≥ 0.表示B:=supt∈[0，T*],十、≥0b（t，x）。下面的估计是d（t，x）≤ r（t+x）b（t，x）heRtJ′（Rt-s+xλ（s，v）r（s，v）dv）λ（s，t）-s+x）ds+eRtJ′（Rt-s+xλ（s，v）r（s，v）dv）λ（s，t）-s+x）dsi≤ 好的≥0r（x）·B·“e”λT*J′（？λ）√γsuptkr（t）kL2，γ+）+ e′λT*J′（？λ）√γsuptkr（t）kL2，γ+）#< +∞,因此d在[0，T]上有界*] × [0, +∞). 鉴于不平等|ex- 嗯|≤ 前任∨y | x- y |；x、 y≥ 0和J′随0递减的事实≤ J′′（0）<+∞ 由于假设（B2），我们得到了（t，x）≤ 好的≥0r（x）·BemaxnRtJ′Rt-s+xλ（s，v）r（s，v）dvλ（s，t）-s+x）ds；RtJ′的Rt-s+xλ（s，v）r（s，v）dvλ（s，t）-s+x）dso··ZtJ′Zt-s+xλ（s，v）r（s，v）dvλ（s，t）- s+x）ds-ZtJ′Zt-s+xλ（s，v）r（s，v）dvλ（s，t）- s+x）ds≤ 好的≥0r（x）·Be′λT*马克斯J′λ√γsuptkr（t）kL2，γ+;J′λ√γsuptkr（t）kL2，γ+o··J′′（0）λzt-s+x | r（s，v）- r（s，v）| DVD=CZtZt-s+xd（s，v）DVD（t，x）∈ [0，T*] ×[0, +∞).根据命题9.1，r=ron[0，T*] × [0, +∞). 10附录10。1债券市场的HJM方法P（t，t）表示时间t的价格≥ 一种债券的0，该债券在timeT向其持有人支付1单位的金额≥ T

价格P（·，T）是在固定的过滤概率空间上定义的过程(Ohm, Ft，t≥0，P）。远期利率f是一个由公式P（t，t）=e定义的随机场-RTtf（t，u）du，0≤ T≤ T≤ T*.因此，在市场上交易的所有债券的价格由远期利率f（t，t）0决定≤T≤ T<+∞ 因此，债券市场描述的出发点是说明f的动态。在本文中，我们考虑以下随机微分df（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dL（t），0≤ T≤ T、 （10.1）其中L是一个L’evy过程。上述方程可以被视为一个由许多方程组成的系统，这些方程的参数为0≤ T<+∞. 贴现债券价格^P（t，t）定义为^P（t，t）：=e-Rtv（s）ds·P（t，t），0≤ T≤ T<+∞,式中v（t）：=f（t，t），t≥ 0是短期利率。如果我们通过把f（t，t）=f（t，t）作为t来扩展f的域≥ 我们得到公式^P（T，T）=e-RTf（t，u）du，0≤ T≤ T<+∞.市场应该是无套利的，即我们假设过程^P（·T）是局部鞅。这意味着（10.1）中的系数α，σ满足Heath-Jarrow-Morton条件，即对于每个T≥ 0ZTtα（t，u）du=JZTtσ（t，u）du, （10.2）对于几乎所有的t≥ 0，参见[3]、[4]、[9]。上面的函数J是由（2.1）定义的拉普拉斯指数。由于J是可微分的，（10.2）可以写成α（t，t）=J′ZTtσ（t，u）duσ（t，t），0≤ T≤ T<+∞,这意味着漂移完全由波动过程决定。因此（10.1）读作asf（t，t）=f（0，t）+ZtJ′ZTsσ（s，u）duσ（s，T）ds+Ztσ（s，T）dL（s），0≤ T≤ T<+∞.（10.3）如果我们把x=T- 然后从上面我们得到了r（t，x）动力学的（2.7），这是（1.1）的一种形式。假设过程r（t，·），t≥ 0，取L2，γ或H1中的值，γ有财务解释。

例如，如果r∈ L2，γ-thenZ+∞| r（x）| dx=Z+∞| r（x）| eγx·e-γxdx≤Z+∞| r（x）| eγxdxZ+∞E-γxdx≤√γkrkL2，γ<+∞. （10.4）因此，对于固定t和所有t≥ t、 P（t，t）≥ E-√γkr（t）kL2，γ，因此债券价格，作为到期日t的函数，从下方以正数为界。要求+∞| r′x（t，x）| eγxdx<+∞对应于观察到的远期利率对大型到期日T的影响。10.2拉普拉斯指数检验拉普拉斯指数J（z）的性质-az+qz+Z+∞-∞（e）-zy- 1+zy1(-1,1）（y））ν（dy），z∈ R、 让我们用形式j（z）来表示它-z+qz+J（z）+J（z）+J（z）+J（z），其中J（z）：=z-1.-∞（e）-zy- 1） ν（dy），J（z）：=z-1（e）-zy- 1+zy）ν（dy），J（z）：=z（e）-zy- 1+zy）ν（dy），J（z）：=z+∞（e）-zy- 1） ν（dy）。如果存在下面的积分，那么我们就有下面的导数公式，例如参见[17]J′（z）中的引理8.1和8.2:=-Z-1.-∞耶-zyν（dy），J′（z）：=z-1y（1）- E-zy）ν（dy），J′（z）：=zy（1）- E-zy）ν（dy），J′（z）：=-Z+∞耶-zyν（dy）；J′（z）：=z-1.-∞耶-zyν（dy），J′（z）：=z-1耶-zyν（dy），J′（z）：=Zye-zyν（dy），J′（z）：=z+∞耶-zyν（dy）；J′（z）：=-Z-1.-∞耶-zyν（dy），J′（z）：=-Z-1耶-zyν（dy），J′（z）：=-齐伊-zyν（dy），J′（z）：=-Z+∞耶-zyν（dy）。下面我们收集了本文所需的J的性质。J的域被限制在半直线[0+∞) 由于这个事实，我们只对（1.1）的正解感兴趣。当z>0时，|J′（z）|<+∞ 如果J′（z）定义得很好，那就是ifZ-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞.此外，o|J′（0）|<+∞ i ff（B0）Z | y |>1 |y |ν（dy）<+∞, （10.5）和oJ′在增加。此外，它遵循以下公式→+∞| J′（z）|=+∞, 林茨→+∞| J′（z）|=+∞,| J′|是有界的<==>Zyν（dy）<+∞, | J′（z）|是有界的<==>Z+∞yν（dy）<+∞,在（10.5）下，J′在[0]上有界+∞) 一楼（B1）o 我没有维纳那部分，也就是。

q=0，o支持{ν} [0, +∞),oR+∞yν（dy）<+∞.通过类似的分析，Limz→+∞| J′（z）|=+∞, 林茨→+∞| J′（z）|=+∞,| J′是有界的，|J′（z）是有界的<==>Z+∞yν（dy）<+∞,我们的结论是oJ′在[0]上有界+∞) i off（B2）o 补充{ν} [0, +∞),oR+∞yν（dy）<+∞.J′在[0，z]上有界，z>0R | y |>1ye-zyν（dy）< +∞ 最后是0。因此，J′是局部有界的，f（10.5）保持andRy<-1 | y | ez | y |ν（dy）<+∞.类似地，oJ′是局部Lipschitz i ff（L1）oR-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞,oR|y|>1|y|ν（dy）<+∞,而oJ′是局部Lipschitz i ff（L2）oR-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞,oR|y|>1|y|ν（dy）<+∞.对于线性情况，我们假设L'evy测度的支持包含在[-λ, +∞),哪里-∞ <λ < +∞. 因此，上述结果可以用更简单的形式书写。假设（10.5）简化为形式o|J′（0）|<+∞ <==>Zy>1yν（dy）<+∞, （10.6）和oJ′是局部有界的<==> （10.6）持有，oJ′是当地的Lipschitz<==>R+∞yν（dy）<+∞,o J′是局部Lipschitz<==>R+∞yν（dy）<+∞.参考文献[1]Barski M.，Zabczyk J.：“具有线性波动性的远期利率模型”，（2012），金融与随机，16,3537-560，[2]Barski M.，Zabczyk J.：“具有线性波动性的Heath Jarrow Morton-Musiela方程”，（2011）http://arxiv.org/abs/1010.5808[3]比约克，Th。，Di Masi，G.，Kabanov，Y.，Runggaldier，W.：“走向良性市场的一般理论”，（1997），金融与随机1，141-174，[4]Eberlein，E.，Raible，S.：“一般L’evy过程驱动的期限结构模型”，（1999），数学。《金融》，9,31-53，[5]菲利波维c D.，塔普S.：“列维期限结构模型的存在性”，（2008），《金融与随机》，12,83-115，[6]菲利波维c，D.：“希思·贾罗·莫顿利率模型的一致性问题”，（2001），《数学讲稿》，第1760卷，[7]菲利波维c，D.：“期限结构模型：研究生课程”，（2009），斯普林格·弗拉格，[8]菲利波维c，D.，塔普，S.，Teichman，J。

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