带Lāevy摄动的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程

2022-5-9 16:19:43

希思·贾罗·莫顿——带L’ev插值的Musiela方程*华沙红衣主教斯特凡·怀兹斯基大学数学学院、德国莱比锡大学波兰德数学与计算机科学学院。Barski@math.uni-莱比锡。波兰科学院数学研究所，华沙，Polandzabczyk@impan.plJune本文研究了债券市场的希思·贾罗·莫顿·穆塞拉方程。方程在[0]定义的函数加权空间中进行分析+∞). 得到了局部和全局存在的充分条件。对于具有线性扩散项的方程，全局存在的条件接近于必要条件。内容1导言22预备知识4I HJMM方程和一般微分83主要结果的公式84结果的证明114.1定理3.1的证明。124.2定理3.2、定理3.7和定理3.4、定理3.9的证明。134.2.1 L2、γ…..中的局部脂裂性和系数线性增长。134.2.2 H1、γ…..中的局部脂裂性和系数线性增长。144.3定理4.1的证明。164.4定理4.2的证明。17*由波兰MNiSW基金NN201419039资助。II带线性微分的HJMM方程195主要结果的公式206自然和移动框架中等效结果s 246.1方程的证明。246.2定理5.9的证明。256.3定理5.10的证明。266.3.1第1步。（5.5）的

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2022-5-9 16:19:46

. . . . . . . . . . 266.3.2第2步。解的先验正则性。297证明H1，γ+8存在整体解和强解的必要条件319证明H1，γ+10中解的唯一性附录3710.1 HJM债券市场方法。3710.2拉普拉斯指数。381简介Heath Jarrow Morton-Musiela方程由一个真实的过程L驱动，是f ormdr（t，x）的一个随机偏微分方程=ddxr（t，x）+F（r（t））（x）dt+G（r（t）-))（x） dL（t），r（0，x）=r（x），x≥ 0，t∈ （0，T*], （1.1）其中扩散算子G和漂移F的形式为：G（r）（x）：=G（x，r（x））；F（r）（x）：=J′Zxg（v，r（v））dvg（x，r（x））。（1.2）函数J′允许代表J′（z）=-a+qz+ZRy（1(-1,1）（y）- E-zy）ν（dy），z∈ R、带着∈ R、 q≥ 0和测度ν满足以下可积条件Zr（y∧ 1） ν（dy）<∞.度量ν是过程L的L′evy度量。函数g具有财务意义，有时被称为债券市场的波动性。（1.1）的解是所谓的正向曲线，参见[7]、[6]、[14]和quantityP（t，t）=e-RT-tr（t，v）dv，t≤ T、可以解释为在T时刻到期的债券在T时刻的价格（然后支付1）。方程式（1.1）描述了移动框架中正向曲线的动力学，由Musiela在[13]中介绍。原始版本，在自然框架中，出现在莫顿的博士论文[12]中。有关等式财务背景的更多信息，请参见附录10.1。如果方程中不存在过程L，也就是说，如果L等于零，那么J′=0，F=0，G=0，方程h为平凡解r（t，x）=r（t+x）。

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2022-5-9 16:19:51

因此，只有托卡斯蒂克案才是真正令人感兴趣的。当Lis为维纳过程时，对方程进行了深入研究，参见[6]、[14]和其中的参考文献。函数J′是线性的：J′（z）=qz，z∈ R、 q≥ 0.对于一般的有限维过程，也有一些结果，例如[14]、[5]、[17]、[18]、[19]、[10]、[8]、[15]。特别是在[10]中，我们研究了（1.1）对于具有指数矩的L’evy过程的局部可解性，我们发现这个假设非常严格。事实上，本文中给出的大多数结果都可以推广到有限维噪声。我们的目的是在一维过程L最重要的情况下获得最佳结果，看看在一般情况下可以预期什么样的结果。本文的目的是建立（1.1）弱解的存在唯一性。我们只关注与应用相关的积极解决方案。在[0]上的平方可和函数H的希尔伯特空间H=L2，γ中研究该方程+∞) 对于n或MKHKL2，γ：=Z+∞| h（x）| eγxdx< +∞, （1.3）或在[0]上绝对连续函数H的Hilbert s空间H=H1，γ中+∞) 例如KH1，γ：=Z+∞| h（x）|+|h′（x）|eγxdx< +∞, （1.4）γ>0。对于具有不同重量变化的空间，也可以得到类似的结果。本文分为第一部分和第二部分。第一部分研究了方程（1.1）的通用性g，并使用了收缩m ap ping定理的一些版本。

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2022-5-9 16:19:54

第二部分讨论了g是第二个变量的线性函数的情况：g（x，y）=λ（x）y，x，y≥ 在后一种情况下，更特殊但更重要的是，利用方程的一些单调性可以得到更好的结果。第一部分首先阐述了L2，γ和H1，γ中正函数集L2，γ+和H1，γ+的局部和全局存在性结果，见定理3.2，定理3.7和定理3。4，定理3.9。这里的主要工具是对随机发展方程正解存在性标准结果的局部Lipschitz系数的一些扩展。证明从建立第一个抽象存在性结果开始，然后证明局部Lipschitz性质和系数的线性增长，以及检查正性条件。结果表明，只有对于限制类的乐趣J′，扩散G和漂移F可以是局部的lipschitz或线性增长。第二部分专门讨论方程dr（t，x）=ddxr（t，x）+J′Zxλ（v）r（t，v）dvλ（x）r（t，x）dt+λ（x）r（t-, x） dL（t），r（0，x）=r（x），x≥ 0，t∈ （0，T*]. （1.5）其中λ（·）是一个连续、正且有界的f函数。根据第一部分的结果，我们推导出（1.5）局部正解存在的充分条件。它们被公式化为定理5.1和定理5.2。关于整体解存在性的主要结果见EoREM 5.3和T heorem 5.5。定理5.8证明了唯一性。此外，定理5.7给出了全局解强的条件。

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2022-5-9 16:19:59

这些结果的证明利用了方程（1.5）的弱形式等价于方程r（t，x）=a（t，x）eRtJ′（Rt）的事实-s+xλ（v）r（s，v）dv）λ（t）-s+x）ds，x≥ 0，t∈ （0，T*], （1.6）式中（t，x）：=r（t+x）eRtλ（t）-s+x）dL（s）-qRtλ（t）-s+x）ds·Y0≤s≤t（1+λ（t- s+x）△L（s））e-λ（t）-s+x）△L（s）。（1.6）和（1.5）的弱形式的等价性在第5节定理5.9和定理5.10中建立，在证明主要结果之前。这些证明相当复杂，并且需要关于独立利益领域的正则性的一些新结果，见命题6.2命题6.3。例如，在[8]、[10]中应用的利用系数的标准方法要求更严格的条件。正如我们已经说过的，林耳HJMM方程的研究是由Morton在他的博士论文[12]中发起的。他证明了自然框架中的方程（1.5），即L beinga-Wiener过程，在有限域上的两个参数的有界函数类中没有解。当L是一个一般的L’evy过程时，情况发生了实质性的变化，并得到了方程（1.5）的存在性和爆炸性，但得到了自然框架[1]。本论文是arxiv中注释[2]的详细版本。致谢。作者要感谢S.Peszat和A.Rusinek对本文主题的启发性讨论。2.初步研究我们收集了关于过程L及其导数的拉普拉斯指数J的p性质的初步结果，这将在本文的以下部分中经常使用。第一个导数J′明确出现在基本方程（1.1）-（1.2）中。

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2022-5-9 16:20:02

由于我们的首要问题是（1.1）-（1.2）在非负函数集合中的可解性，我们集中讨论了非负参数的J及其导数的性质。函数J由（e）定义-zL（t））=etJ（z），t∈ [0，T*], Z∈ R、（2.1）并承认明确的合法代表J（z）=-az+qz+ZR（e）-zy- 1+zy1(-1,1）（y））ν（dy），z∈ R、（2.2）带有∈ R、 q≥ 0和测度ν满足以下可积条件Zr（y∧ 1） ν（dy）<∞. （2.3）很容易看出，对于所有正数z，当且仅当z-1.-∞ez|y|ν（dy）<+∞, Z≥ 0.其导数J′的形式为J′（z）=-a+qz+ZRy（1(-1,1）（y）- E-zy）ν（dy），z∈ R.（2.4）很明显，|J′（0）|<+∞ 当d仅当（B0）Z | y |>1 |y |ν（dy）<+∞,和| J′（z）|<+∞, z>0 i ff z-1.-∞|y|ez|y|ν（dy）<+∞.特别是，如果L’evy测度的支持度从下方有界，则J’在[0]上是明确且连续的+∞) 如果（B0）满足，则J′在其域上自动增加，其导数等于：J′（z）=q+ZRye-zyν（dy），z∈ R.（2.5）附录第10.2节详细解释了以下公式J′的结果。

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能者818

2022-5-9 16:20:07

注：原点附近J′的行为取决于νon的行为[-命题2.1函数J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0当且仅当（L1）z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.函数J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0当且仅当（L2）z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.命题2.2函数J′在[0]上有界+∞) i ff（B1）q=0，supp{ν} [0, +∞) 安兹+∞yν（dy）<+∞.函数J′在[0]上有界+∞) i ff（B2）supp{ν} [0, +∞) 安兹∞yν（dy）<∞.在本文的第二部分中，我们将需要更多关于函数J′增长的假设。（B3）对于a>0的部分，b∈ R、 J′（z）≥ a（lnz）+b，所有z>0。（B4）lim supz→∞ln z-λT*J′（z）= +∞, 0<T*< +∞;如果J′是有界函数，那么（B4）显然成立。因此，特别是，（B4）对于可能存在漂移的从属变量（增加L’evy过程）是满意的，见[1]中的命题4.1。然而，（B4）并不意味着J′是有界的，参见[1]中的示例4.2。此外，我们得到了以下结果，见[1]。命题2.3如果q>0或ν{(-b、表示法（2.2）中的b>0，然后是J′saties（B3）。这意味着具有非退化维纳部分或负跳跃的每个L`evy过程自动满足（B3）。此外，如果L既没有维纳部分也没有负跳跃，那么（B4）只受接近于零的ν的行为的影响。要了解这一点，请注意≥0Z+∞耶-zyν（dy）<+∞,这意味着J′对应于大于1的跳跃的部分是有界的。因此（B4）实际上取决于函数z的增长→齐伊-zyν（dy）<+∞.下面，我们明确地根据测度ν来表示条件（B3）和（B4），对于我们所指的屋顶[1]。

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2022-5-9 16:20:10

让我们回忆一下，如果任何函数dx>0M（tx）M（t），则正函数M在0处缓慢变化-→ 1，作为t-→ 0.Iff（x）g（x）-→ 1，作为x-→ 0，我们写f（x）~ g（x）。命题2.4假设对于某些ρ∈ (0, +∞),（B5）Rxyν（dy）~ xρ·M（x），作为x→ 0，其中M是0处缓慢变化的函数。i）如果ρ>1，则（B4）成立。ii）如果ρ<1，则（B3）成立。iii）如果ρ=1，则测量值ν具有密度和m（x）-→ 0作为x→ 0，andZM（x）xdx=+∞, （2.6）然后（B4）成立。根据经典结果，参见[14]，具有一般微分的IHJMM方程的一部分，（1.1）弱解的存在性等价于（1.1）积分形式的解的存在性：r（t，x）=St（r）（x）+ZtSt-sF（r（s））（x） ds+ZtSt-sG（r（s）-))（x） dL（s），x≥ 0，t∈ （0，T*], （2.7）称为温和溶液。在（2.7）中，{St，t≥ 0}，表示移位半群st（h）（x）：=h（t+x），t≥ 0，x≥ 0，h∈ H、作用于希尔伯特空间H。方程（2.7）将在这里的标准SPDEframework中处理，对于该方程，转换F和G的Lipschitz性质起着至关重要的作用。正解的存在性是从第4节中给出的抽象结果中推导出来的。定理4.1将关于存在性的标准结果（见[14]）推广到系数具有线性增长且局部为Lipschitz的情况。为了获得解的正性，我们使用定理4。2是Milian结果的广义版本，参见[11]，并在局部Lipschitz系数的框架内提供了正性的当且仅当条件。作为推论，在OREM 3.1中，我们在我们的模型中获得了正性的直接条件。关于L2，γ+和H1，γ+中局部解的存在性的结果分别表示为定理3.2和定理3.4。

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mingdashike22

2022-5-9 16:20:15

它们需要函数g的一些正则性性质，以及J′和J′的局部Lipschitz性质，这反过来又归结为函数补上的L′evy测度的可积条件（L1）、（L2）[-1, 1]. 定理3.3和定理3.5是上述结果的重新表述，它们表明，特别是对于只有小跳跃的噪声和维纳过程，存在局部解。对于关于整体解的结果，我们需要更多的假设，如定理3.7和定理3.9。对于空间L2，J′在[0]上的γ+有界性+∞) 对于H1，需要J′和J′的γ+有界性。这些条件相当严格，排除了所有具有维纳部分或负跳跃的L’evy过程，见Theorem 3.8和Theorem 3.10。证明被推迟到第4.3节主要结果的表述。我们从方程（2.7）的解的正性的一般结果开始，通过对后继中施加的条件的一些说明。这是我们对米利安关于正性的抽象结果的推广，见定理4.2。定理3.1假设（2.7）中的G和F是H中的局部Lipschitz，那么（2.7）是正的保留当且仅当ifr+G（x，r）u≥ 0代表所有人≥ 0，x≥ 0，u∈ 对于所有x，suppν，（3.1）g（x，0）=0≥ 0.HJM方程在L2，γ+中的可解性的局部存在性我们需要g上的以下条件：（G1）（i）函数g在R+上是连续的，且g（x，0）=0，g（x，y）≥ 0，x，y≥ 0.（ii）所有x，y≥ 0和u∈ 补充：x+g（x，y）u≥ 存在一个常数C>0 s uch，即| g（x，u）- g（x，v）|≤ C|u- v |，x，u，v≥ 定理3.2假设J′满足某区间[0，z]，z>0且（G1）成立的Lipschitz条件。

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2022-5-9 16:20:20

然后对于任意初始条件r∈ L2，γ+在L2，γ+中存在唯一的（2.7）局部解。根据命题2.1，我们得到了更明确的结果。定理3.3假设（G1）成立，并且L是维纳过程，或者对于某些z>0:z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.然后对于任意初始条件r∈ L2，γ+在L2，γ+中存在唯一的（2.7）局部解。对于H1，γ+中的局部存在，我们需要对g：（G2）有更严格的条件（i）函数g′x，g′y在R+和g′x（x，0）=0，x上是连续的≥ 0.（ii）supx，y≥0|g′y（x，y）|+∞,（iii）存在一个常数C>0s uch，即| g′x（x，u）- g′x（x，v）|+|g′y（x，u）- g′y（x，v）|≤ C|u- v |，x，u，v≥ 定理3.4假设J′和J′在某个区间[0，z]内满足Lipschitz条件，z>0且（G1）和（G2）保持不变。然后对于任意初始条件r∈ H1，γ+在H1，γ+中存在（2.7）的唯一局部解。从e上的命题2.1和命题2.2可以推导出更明确的结果。定理3.5假设（G1）和（G2）保持不变，对于某些z>0Z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.然后对于任意初始条件r∈ H1，γ+（2.7）inH1，γ+存在唯一的局部溶液。现在，一些关于所施加条件的评论已经到位。如果支持{ν} [0, +∞), 也就是说，当L只有正跳跃s，且（G1）（i）保持时，则满足临界正态条件（G1）（ii）。更一般的结果为真。命题3.6如果某个m≥ 0，supp{ν} [-m+∞) （G1）（i）成立，则条件（G1）（ii）成立，当且仅当≤ g（x，y）≤ym，x，y≥ 0.如果g（y）：=supx≥0g（x，y）<+∞, 那么（G1）（ii）成立的充要条件是ifsupp{ν}- 英菲≥0y’g（y）+∞.证明：的确，我们有x+g（x，y）≥ 十、- g（x，y）m≥ 0.此外（G1）（ii）对所有美国∈ supp{ν}u≥ - infx，y≥0yg（x，y）=- 英菲≥0y’g（y）。

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2022-5-9 16:20:23

(3.2)全局存在我们现在传递到L2，γ+中的全局存在结果，然后是H1，γ+中的全局存在结果。定理3.7假设J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0且在[0]上有界+∞) （G1）保持不变。那么对于任意的r∈ 方程（2.7）有唯一的整体解inL2，γ+。根据命题2.1和命题2.2，我们得到了更明确的结果。定理3.8假设（G1）成立且为加法：q=0，supp{ν} [0, +∞),Z+∞max{y，y}ν（dy）<+∞.那么对于任意的r∈ 方程（2.7）在L2，γ+中有唯一的整体解。对于H1，γ+中的整体存在性，我们需要g：（G3）上的附加条件（i）偏导数g′y，g′xy，g′y有界于R+。（ii）0≤ g（x，y）≤ C√y、 x，y≥ 0，（iii）|g′x（x，y）|≤ h（x），x，y≥ 0，对于一些h∈ L2，γ+。定理3.9设J′，J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0且在[0]上有界+∞). 假设条件（G1）、（G2）和（G3）满足，则对于任意的r∈ H1，γ+在H1，γ+中存在（2.7）的唯一整体解。根据命题2.1和命题2.2，我们得到了更明确的结果。定理3.10假设条件（G1）、（G2）和（G3）满足且Q=0，supp{ν} [0, +∞),Z+∞max{y，y}ν（dy）<+∞.那么对于任意的r∈ H1，γ+在H1，γ+中存在（2.7）的唯一整体解。4结果的证明PROOF将基于演化方程的一般存在性和正性结果：dX=（AX+F（X））dt+G（X）dL，（4.1）具有一维L’evy过程L和作用于希尔伯特状态空间H的一般变换F，G。它们是对经典结果的一些改进。

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2022-5-9 16:20:27

他们的证据在本节末尾给出。定理4.1假设kf（x）kH+kG（x）kH≤ c（1+| x |）对于一些c>0，对于每个R>0，存在cR>0，这样对于所有x，y∈ H | x |≤ R、 |y|≤ R、 kF（x）- F（y）k+kG（x）- G（y）kH≤ cR | x- y |。然后方程（4.1）存在唯一的c`adl`ag弱解。以下定理是Milian[11]的一个结果对具有局部Lipschitz系数的方程的推广。定理4.2假设具有维纳过程L的方程（4.1）允许解X。另外，假设A生成一个强连续半群St，t≥ H=L（E，u）中的0，其中u是E上的σ-有限度量，并且半群保持正性。假设f或每个R都存在一个常数crs，比如kf（x）- F（y）kH+kG（x）- G（y）kH≤ CRkx- ykH，x，y∈ BR，（4.2）式中BR:={z∈ HkzkH≤ R} 。如果每个f∈ H+∩ C∞c（E）和∈ H+∩ C（E）使hа，fi=0以下保持shf（а），fi≥ 0（4.3）hG（~n），fi=0，（4.4）然后X≥ 0.相反，如果（4.1）的所有解从非负初始条件开始保持非负，则（4.3）和（4.4）保持不变。4.1定理3.1的证明我们将以与[14]类似的方式使用定理4.2。让我们考虑LL（t）=at+qW（t）+L（t）+L（t）的L′evy It^o分解，其中L（t）：=ZtZ | y|≤1y^π（ds，dy），L（t）：=ZtZ | y |>1yπ（ds，dy），以及其形式ln（t）=at+qW（t）的近似序列- tmn+（Ln（t）+L（t）），其中Ln（t）：=RtR{n<|y|≤1} yπ（dy）和mn:=E[Ln（1）]。这里π代表L的随机泊松测度，^π代表其补偿测度。方程（2.7）保持正性当且仅当方程（t，x）对每个n=ddxrn（t，x）+J′Zxg（y，rn（t，y））dy+ A.- 锰g（x，rn（t，x））dt+g（x，rn（t-, x）（dLn（t）+dL（t）+qdW（t）），（4.5）没有。

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2022-5-9 16:20:30

由于Ln（t）+L（t）之和是一个跳跃大于n的复合泊松过程，因此在两个jum-ps之间的（4.5）中提取noise只是维纳过程。因此，我们可以使用米利安的结果。条件+∞J′Zxg（v，ν（v））dv+ A.- 锰g（x，ν（x））f（x）eγxdx≥ 0，Z+∞g（x，ν（x））f（x）eγxdx=0，满足任何洎，f∈ L2，γ，使得当且仅当g（x，0）=0时，<φ，f>=0。在Lnif跳跃的瞬间，解仍然为正，只有ifr+g（x，r）u≥ 0，r≥ 0，u∈ su pp{ν}∪嗯+∞达到极限→ +∞ 我们得到（3.1）。4.2定理3.2、定理3.7和定理3.4、定理3.9的证明对于第3节中存在结果的证明，建立L2、γ和H1、γ中F、G的局部Lip-Schitz性质和线性增长就足够了，分别表述为命题4.3和命题4.5。然后，定理3.2和定理3.4源自定理3.1和局部L-ipschitz系数严重影响局部解的存在这一事实，参见[14]。

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2022-5-9 16:20:35

根据定理4.1和定理3.1.4.2.1，可以推导出L2，γ中系数的局部Lipschitz性和线性增长，如空间L2，γ中g的Lipschitz条件意味着g的线性增长和Lipschitz性质，下面我们仅给出F的结果。命题4.3假设（G1）满足。a）如果J′在[0]上有界+∞) 那么F是线性增长的。b）如果J′是局部Lipschitz，那么F是局部Lipschitz。命题4.3的证明：设C:=supz≥0J′（z）<+∞.a）下面的估计保持k F（r）kL2，γ=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））eγxdx≤ CZ+∞[g（x，r（x））]eγxdx≤ CZ+∞[g（x，r（x））- g（x，0）]eγxdx≤ CCZ+∞r（x）eγxdx≤ CCk-r-kL2，γ。b）对于任何r，\'r∈ L2，γ我们有F（r）- F（`r）kL2，γ=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））- J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））eγxdx≤ 2I+2I，其中i:=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dy- J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，r（x））eγxdx，I:=Z+∞J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））- g（y，r（x））dxeγxdx。让我们注意到，鉴于附录中的（10.4），我们有zxg（y，r（y））dy=Zxg（y，r（y））- g（y，0）dy≤ CZxr（y）dy≤C√γkrkl2，γ。用D=D（k r kL2，γ，k’r kL2，γ）表示J′的局部Lipschitz常数，由此得到≤ DZ+∞Zxg（y，r（y））- g（y，r（y））dyg（x，r（x））eγxdx≤ D k g（·，r（·））- g（·，`r（·））kL2，γZ+∞g（x，r（x））eγxdx≤ D k g（·，r（·））- g（·，`r（·））kL2，γ·Z+∞g（x，r（x））- g（x，0）eγxdx≤ DCZ+∞（r（x）- \'-r（x））eγxdx·CZ+∞r（x）eγxdx≤ DCk r- \'r kL2，γk r kL2，γ。类似地，对于J′的局部边界B，我们得到了i≤ BCk r- \'r kL2，γ，因此，局部唇形希茨性质如下。

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能者818

2022-5-9 16:20:38

4.2.2 H1，γ系数的局部Lipschitz性和线性增长让我们从辅助结果开始。引理4.4如果r∈ H1，γ-supx≥0 | r（x）|≤ 2.γ1/2krkH1，γ。引理4.4的证明：通过给定的部分进行积分xydr（y）dydy=yr（y）十、-Zxr（y）dy，因此| xr（x）|≤Zxydr（y）dydy+Zxr（y）dy≤Z+∞E-γyydy1/2Z+∞eγy（y）dy博士dy1/2+Z+∞E-γydy1/2Z+∞eγyr（y）dy1/2≤γ1/2KKH1，γ+γ1/2krkL2，γ。特别是Rlimx→+∞r（x）=0。此外，| r（x）- r（0）|=Zxdrdy（y）dy≤Zxe-γy/2eγy/2drdy（y）dy≤Z+∞E-γydy1/2Z+∞eγydrdy（y）dy1/2≤γ1/2krkH1，γ。因此，| r（0）|≤γ1/2krkH1，γ，和≥0 | r（x）|≤ 2.γ1/2krkH1，γ。命题4.5假设（G1）满足。a）如果J′和J′在[0]上有界+∞) （G3）则G和F呈线性增长。b）如果J′和J′是局部Lipschitz且（G2）成立，则F和G是局部Lipschitz。命题4.5的证明：（a）G的线性增长来自于估计z+∞|ddxg（x，r（x））| eγxdx=Z+∞g′x（x，r（x））+g′y（x，r（x））r′（x）eγxdx≤ 2Z+∞[h（x）]eγxdx+2 supx，r≥0 | g′y（x，r）| Z+∞| r′（x）| eγxdx≤ 2khkl2，γ+2su-px，r≥0 | g′y（x，r）|·kr kH1，γ。（4.6）为了显示F的线性增长，让我们从不等式Z开始+∞ddxJ′Zxg（v，r（v））dvg（x，r（x））≤ 2Z+∞J′\'Zxg（v，r（v））dvg（x，r（x））eγxdx+Z+∞J′Z+∞g（v，r（v））dv[g′x（x，r（x））+g′y（x，r（x））r′（x）]eγxdx。第二个积分的估算方法与（4.6）相同。

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2022-5-9 16:20:42

First积分的线性增长来自于等式Z中的+∞| g（x，r（x））| eγxdx≤ 好的，r≥0g（x，r）√RZ+∞| r（x）| eγxdx。（b）为了得到G的所需估计，我们需要估计i:=Z+∞g′y（x，r（x））r′（x）- g′y（x，\'r（x））\'r′（x）eγxdx。利用引理4.4，我们得到以下不等式≤ 2Z+∞g′y（x，r（x））r′（x）- \'r′（x））eγxdx+Z+∞g′y（x，r（x））- g′y（x，\'r（x））\'r′（x））eγxdx≤ 2苏佩，r≥0 | g′y（x，r）| Z+∞| r′（x）- \'r′（x）| eγxdx+2supx，u，v≥0 | g′y（x，u）- g′y（x，u）| |u- v |！Z+∞| r（x）- \'r（x）|（\'r′（x））eγxdx≤ 2苏佩，r≥0 | g′y（x，r）|·kr- r kH1，γ+2supx，u，v≥0 | g′y（x，u）- g′y（x，u）| |u- v |！γkr- r kH1，γ·k r kH1，γ，因此G的局部唇希茨性质如下。为了显示F的相同情况，有必要显示公式i:=Z的Lipschitz估计+∞ddxJ′Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））- J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））eγxdx。通过显式计算，我们得到≤ 3I+3I+3I，其中i:=Z+∞J′\'Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））- J′\'Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））eγxdx，I:=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg′x（x，r（x））- J′Zxg（y，`r（y））dyg′x（x，\'r（x））eγxdx，I:=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg′y（x，r（x））·r′（x）- J′Zxg（y，`r（y））dyg′y（x，\'r（x））·r′（x）eγxdx。我们可以用与命题4.3相同的方法来估计IIP。通过使用（i）和（ii）可以得到i的估计值。i也可以用与L2相同的方法进行估计，前提是我们对z有额外的不等式+∞g′y（x，r（x））r′（x）- g′y（x，\'r（x））\'r′（x）eγxDx正好是上面估计的i，dI:=Z+∞g′y（x，\'r（x））\'r′（x）eγxdx。从g′y上的界估计Ifollows。4.3定理4.1集Fn，Gn，n=1，2。

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mingdashike22

2022-5-9 16:20:45

使（i）Fn（x）=F（x）和Gn（x）=G（x）如果| x |≤ n、（ii）对于所有t>0和x∈ H、 kFn（x）k+kGn（x）k≤ c（1+|x |），iii）存在一个常数，使得对于所有x，y∈ H、 kFn（x）- Fn（y）k+k（Gn（x）- Gn（y））k≤ cn | x- y |。根据[14]的定理9.29，由（4.1）通过Fn和Gn替换F和G得到的方程，有一个唯一的c`adl`ag解Xn，从任意x开始∈ H和满足估计值≤TEkXn（t）k≤ C1+kxk, （4.7）对于某些C>0。设τn:=inf{t≤ t:kXn（t）k>n}。在时间间隔[0，τn]上，球B（0，n）在H中的轨迹以0为中心，半径为n，因此Xnsatis fies（4.1）。特别是，对于所有m>n，xM和Xn，都包含在[0，τn]上。如果t<τn，则定义X（t）=Xn（t）。请注意，X定义得很好。为了完成eproof，它足以显示→∞P小吃≤txn（t）k>n= 设n为kX（0）k≤ t为n/3≤ T塞恩斯普特≤txn（t）k>n！≤ Psupt≤TZtS（t- s） Fn（Xn（s））ds>n！+Psupt≤TZtS（t- s） Gn（Xn（s）-))dM（s）>n！：=然而，对于一个独立于n的常数^c，supt≤TZtS（t- s） Fn（Xn（s））ds≤ ^c1+ZTkXn（s）kds,因此，根据切比雪夫不等式和d（4.7），这里有一个常数≤3^cn1+ZTEkXn（s）kds≤3^cn1+ZTEkXn（s）k1/2秒≤^^cn1+kxk1/2.因此我→ 0作为n→ ∞. 根据Kotelenez不等式（见[14]）和（4.7），有一个常数c，使得≤N~c EZTkGn（Xn（s））kds≤ 2cN~cZT1+EkXn（s）kds≤~cN1+kxk.因此我→ 0作为n→ ∞ 断言如下。4.4定理4.2的证明定理4.2的证明：我们使用米利安[11]的原始结果。让我们考虑一个转换序列sfn（x）：=F（x）hn（kxk）；Gn（x）：=F（x）hn（k x k），其中hn（z）=1代表z∈ [0，n]，2-znz∈ [n，2n]，0代表z≥ 2n。可以检查hnis Lipschitz f或每个n，因此Fn，Gnare Lips chitz在H上。

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2022-5-9 16:20:48

以下为HOLDHFN（ν），fi=hF（~n），fi≥ 如果kаk<n，hn（kаk）hF（а），fi≥ 0如果n≤k~nk<2n，0表示z≥ 2n，和hGn（φ），fi=0。因此，方程（4.1）的解Xnof，由Fn代替，gni为非负。但是xn=X1Bn（kxk），这意味着X在每个球上都是非负的。通过半径的极限，利用X有界的事实，我们得到X的正性。利用相反方向的参数，我们得到（4.3），（4.4）的必要性。第三部分线性微分的HJMM方程在这一部分中，我们假设g（x，y）=λ（x）y，x，y≥ 其中λ（·）是一个连续函数。那么（1.5）的弱版本的形式是：r（t，x）=St（r）（x）+ZtSt-sJ′Zxλ（v）r（s，v）dvλ（x）r（s，x）ds+ZtSt-sλ（x）r（s）-, 十）dL（s），x≥ 0，t∈ （0，T*]. （4.8）以下两个条件（B3）和（B4）已在序言中介绍，它们在分析方程（4.8）整体解的存在性时起着至关重要的作用。如果（B3）对于某些a>0，b，粗糙峰值溶液爆炸∈ R、 J′（z）≥ a（lnz）+b，对于allz>0，如果（B4）lim-supz，则存在全局解→∞ln z-λT*J′（z）= +∞, 0<T*< +∞.关于局部存在性的结果被公式化为定理5.1和定理5.2，并遵循第一部分的一般结果。定理5.3规定了全局解不存在的条件，并受[1]中一个类似结果的启发。随后的结果涉及整体解，见定理5.5，强解，见定理5.7，以及它们的唯一性，见定理5。8.从第一部分的结果，如定理3.7或定理3.9，可以推导出（4.8）整体解的一些存在性结果，但条件对J′非常严格。事实上，我们有以下初步观察。命题4.6如果（1.2）定义的漂移变换在L2，γ中是线性增长的，则j′在[0]上有界+∞).

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2022-5-9 16:20:52

特别是rq=0，supp{ν} [0, +∞) 安兹+∞yν（dy）<+∞.证明：相反，假设J′是无界的，且定义（x）=n1[1,3]（x），n=1,2。至于足够大的z≥ 函数（J′（z））在增加，我们有，f或大的nkF（rn）kkrnk=RJ′Rxλ（y）ndyλ（x）neγxdxnReγxdx≥λRJ′λn（x）- 1)eγxdxReγxdx。自从，ZJ′λn（x）- 1)eγxdx≥ZJ′λn（x）- 1)eγxdx≥J′（λn）Zeγxdx-→n+∞,主要主张成立。其余部分来自命题2.2。5主要结果的表述局部解的存在下面的定理是定理3.2的直接结果。定理5.1假设：（λ0）λ是连续的且infx≥0λ（x）=λ>0，supx≥0λ（x）=λ<+∞,（1）支持 [-λ, +∞)（L1）R+∞yν（dy）<+∞,持有然后方程（4.8）存在一个唯一的局部弱解，取空间L2，γ+中的值。在定理的表述中，简化了，但在（λ0）、（λ1）下，使用了序言中条件（L1）的等效版本。事实上，正性假设（G1）（I）、（G1）（ii）从∧0）、（1）开始，假设（G1）（iii）从∧0开始。局部李氏性是（L1）的结果，见命题2.1和命题4.3。同样地，作为定理3.4的一个结果，我们得到了H1，γ+的以下局部存在性结果。定理5.2假设条件（λ0）、（λ1）、（λ2）λ，λ′在R+和（L2）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,都很满意。

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2022-5-9 16:20:55

然后方程（4.8）存在一个唯一的局部弱解，取H1，γ+的值。H1，γ+中不存在全局解离子。我们对全局解的研究结果为负类型。定理5.3假设条件（λ0）、（λ1）、（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B3）J′（z）≥ a（lnz）+b，对于某些a>0，b∈ R、所有z>0都是满意的。然后，对于一些k>0和所有R（·）∈ H1，γ+使得r（x）≥ K十、∈ [0，T*], 在[0，T]区间内不存在（4.8）的g-叶溶质H1，γ+的存在*].根据定理5.2和定理5.3，如果条件（λ0）、（λ1）、（λ2）、（λ3）、（B0）、（B3）和（L2）成立，则H1中的任何局部解，γ+爆炸。如果将条件（B3）替换为ger上的str，则该定理仍然成立，但关于度量ν的更明确的条件，请参见命题2.4。定理5.4假设条件（λ0）、（λ1）、（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B5）Rxyν（dy）~ xρ·M（x），作为x→ 0，其中满足一个缓慢变化的函数，在0和ρ<1处。然后，对于一些k>0和所有r（·）∈ H1，γ+使得r（x）≥ K十、∈ [0，T*], （4.8）的H1，γ+的整体解在区间[0，T]上不存在*].整体解的存在性我们有以下的存在性结果，其中对数增长条件（B4）起着关键作用。

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何人来此

2022-5-9 16:20:58

条件（B2）出现在其公式中，是在命题2中引入的。2.定理5.5假设（λ0）、（λ1）和条件（λ2）λ，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B4）lim supz→∞ln z-λT*J′（z）= +∞, 0<T*< +∞, 持有（a）如果r∈ L2，γ+（4.8）在空间L2，γ+中取值存在一个解。（b）另外，假设（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B2）supp{ν}上是有界且连续的 [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞.如果r∈ H1，γ+（4.8）存在一个解，取空间H1，γ+中的值。条件（B4）意味着，就像一般的扩散情况一样，过程L应该没有维纳部分，没有负跳跃。另一方面，定理5.3表明，在（B3）下，在H1，γ+的线性情况下，不存在Wiener部分和l分解中的负跳跃也是必要的。如果条件（B4）被一个更强大但具体的度量ν条件所取代，则该定理仍然成立，见命题2.4。定理5.6假设（0）、（1）和条件（2）λ，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B5）Rxyν（dy）~ xρ·M（x），作为x→ 0，其中满足0和ρ>1的慢变函数。（a）如果r∈ L2，γ+（4.8）在空间L2，γ+中取值存在一个解。（b）另外，假设（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B2）supp{ν}上是有界且连续的 [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞.如果r∈ H1，γ+（4.8）存在一个解，取空间H1，γ+中的值。我们对全球存在的假设并不十分严格。条件（B4）弱于J′有界的要求，这是标准收缩原理方法所必需的，见命题4.6。此外，这些假设并不意味着系数的局部Lipschitz性质。

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能者818

2022-5-9 16:21:02

在定理5.5中，我们需要（B4）和单位球的可积性，也就是z+∞yν（dy）<+∞, （5.1）对于空间L2，γ+和supp{ν} [0, +∞) 安兹+∞yν（dy）<+∞, （5.2）对于H1，γ+。很明显（5.1）；Z+∞yν（dy）<+∞, （5.3）和（5.2）；Z+∞yν（dy）<+∞. （5.4）在sup p{ν}条件下 [-λ, +∞), （5.3），（5.4）的右手侧sid es相当于条件（L1），（L2），而条件（L1），（L2）又分别对应于L2，γ中F和G的局部Lipschitz性质。H1，γ。另一方面，正如序言中所解释的，（B4）与v接近零的行为有关。因此，对于满足（B4）和（5.1）（或（5.2））的每个L’evy过程，在L2，γ+，（分别为H1，γ+）中存在全局溶液，但F，G不是局部Lipschitz。H1，γ+强解的存在性在附加条件下，我们可以证明（1.5）的强解的存在性。定理5.7假设λ（x）≡ λ为常数，且满足定理5.5（b）的所有假设。那么，定理5.5（b）给出的弱非爆炸解是（1.5）的强解。定理5.5的H1，γ+假设中整体解的唯一性一般不意味着解的唯一性。此外，这个性质并不是因为局部解的唯一性。因此，下列定理不能从收缩原理推导出来。定理5.8假设（B2）supp{ν} [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞.如果在区间[0，T]上存在方程（4.8）的解*] 取H1，γ+的值，则解是唯一的。等价方程式我们现在讨论引言中所示的等价结果的公式。

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2022-5-9 16:21:05

它具有独立的兴趣，并将在大多数证明中作为主要的技术工具。随机场r（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 0表示积分方程的解，分别为L2，γ，H1，γ：r（t，x）=a（t，x）eRtJ′（Rt-s+xλ（v）r（s，v）dv）λ（t）-s+x）ds，x≥ 0，t∈ [0，T*], （5.5）其中，对于x≥ 0，t∈ （0，T*],a（t，x）：=r（t+x）eRtλ（t）-s+x）dL（s）-qRtλ（t）-s+x）ds·Y0≤s≤t（1+λ（t- s+x）（L（s）- L（s）- ))) E-λ（t）-s+x）（L（s）-L（s）-)), （5.6）如果r（t，·），t∈ [0，T*], 是L2，γ，分别是H1，γ值的，有界的和适应的p过程，对于每个t∈ [0，T*], 方程式（5.5）适用于几乎所有x>0的情况，对于L2、γ和allx≥ 0，对于H1，γ。随机场a将被称为方程（5.5）的随机因子。定理5.9设r是状态空间H1，γ+中（4.8）的解。那么r（·，·）是（5.5）在H1，γ+中的溶液。在其他假设下，相反的结果是正确的。定理5.10假设条件（λ0）、（λ1）和（B0）R+∞yν（dy）<+∞,a）如果（λ2）λ，λ′在R+上有界且连续，且R（·）是L2中的有界解，γ+为（5.5），则R（·）是L2中的c`adl`ag过程，γ+为（4.8）。b）如果（λ3）λ，λ′，λ′在R+上有界且连续，（B2）supp{ν} [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞ ,r（·）是H1中的有界解，γ+为（5.5），r（·）是H1中的c`adl`ag，γ+为（4.8）。因此，方程（4.8）和（5.5）在H1，γ+中是等价的，而（5.5）在L2，γ+中的每个解也解（4.8）。6等价结果的证明这些证明要求以自然和移动的形式表示该解，如第6.1节所述。定理5.10的p屋顶在技术上相当复杂。

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2022-5-9 16:21:09

特别是，它需要与方程（5.5）的

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mingdashike22

2022-5-9 16:21:13

（6.3）因此，f（·，T）解出Dol’s-Dade方程df（T，T）=f（T）-, （T）J′ZTtλ（v）- t） f（t，v）dvλ（T）- t） dt+λ（t）- t） dL（t）,并允许以下表示，参见[16]，f（t，t）=^a（t，t）eRtJ′（RTsλ（v-s） f（s，v）dv）λ（T）-s） ds，（6.4）与^a（t，t）：=f（t）eRtλ（t）-s） dL（s）-qRtλ（T）-s） dsY0≤s≤T1+λ（T）- （s）△L（s）E-λ（T）- （s）△L（s），在哪里△L（s）=L（s）- L（s）-), s≥ 0.放置T=T+x，x≥ 0转化为（6.4），并检查^a（t，t+x）=a（t，x）一方获得rsatis fies（5.5）。6.3定理5.10的证明分为两个主要步骤，分别确定随机因子a的正则性和（5.5）非线性部分的正则性。6.3.1步骤1。（5.5）随机因子的正则性这里我们讨论的是随机场的正则性si（t，x）：=Ztλ（t- s+x）dL（s），t∈ [0，T*], 十、≥ 0，（6.5）I（t，x）：=Y0≤s≤t（1+λ（t- s+x）△L（s））e-λ（t）-s+x）△L（s），t∈ [0，T*], 十、≥ 0，（6.6）出现在（5.6）命题6.2中，让Ibe由（6.5）给出。假设（λ0），（λ1）满足。i）如果（λ2）满足，则存在随机字段i（t，x）的一个版本，其边界为[0，t*] × [0, +∞) 每x≥ 0，随机积分I（·，x）是一个c`adl`ag过程。ii）如果满足∧3，则上述断言适用于随机场xI（t，x），t∈[0，T*], 十、≥ 0.证据：我们将展示（i）。（ii）的证明是相似的。根据[14]中的第9.16项，部分积分公式holdsI（t，x）=Ztλ（t- s+x）dL（s）=λ（x）L（t）+Ztλ′（t）- s+x）L（s）ds，t，x≥ （6.7）在（6.7）右边的积分在t中是连续的，是两个局部有界f函数的卷积。有界性遵循∧2的假设。

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2022-5-9 16:21:17

命题6.3假设满足（6.6）和（λ0），（λ1）给出的Ibe。i）然后是[0，T]上的有界域*] × [0, +∞) 每x≥ 0进程I（·，x）hasc`adl`ag版本。ii）如果（λ2）成立，则上述断言适用于该油田xI（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 证明：在（λ0），（λ1）下，我们可以用（t，x）=ZtZ的形式来写+∞-λln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0，其中π（ds，dx）代表过程L的跳跃度量。让我们将两个数字a固定≤ 0和b>0使得|λ（z）y|≤, Z≥ 0，y∈ [a，b]。（6.8）在集合之外[0，T*] ×[a，b]度量π仅由有限个原子组成，因此-λln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），ZtZ+∞Bln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0显然是有界的，而c`adl`ag在t中。因此，I（t，x）所需的性质相当于f（t，x）：=ZtZbaln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0.首先我们展示有界性。由（6.8）得到| ln（1+λ（z）y）- λ（z）y|≤ λ（z）y，z≥ 0，y∈ [a，b]，因此| J（t，x）|≤ZtZbaλ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 由于∧0，J的∧1有界性如下。SinceJ′x（t，x）=ZtZbaλ′（t- s+x）yh1+λ（t）- s+x）y- 1iπ（ds，dx）=-ZtZbaλ′（t- s+x）λ（t）- s+x）1+λ（t）- s+x）yyπ（ds，dx），鉴于（6.8），以下估计保持| J′x（t，x）|=ZtZba |λ′（t- s+x）λ（t）- s+x）| yπ（ds，dx）。因此，通过∧2，J′x（t，x）的有界性xI（t，x）如下。下面我们展示了I（·，x）的c`adl`ag属性。证明xI（t，x）是相同的。我们将使用下面的引理。引理6.4假设φ（t，x，s，y），（t，x）∈ [0，T*] × [0, +∞), （s，y）∈ [0，T*] ×[a，b]，a<b，是一个连续且有界的函数，因此对于s，φ（t，x，s，y）=0≥ t、 x≥ 0，y∈ [a，b]和γ是[0，T]上的有限度量*] ×[a，b]。

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2022-5-9 16:21:20

那么函数Φ（t，x）：=ZtZba~n（t，x，s，y）γ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0是连续的。引理6.4的证明：假设Φ（t，x）：=ZT*Zba~n（t，x，s，y）γ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0.如果（tn，xn）→ （t，x）然后φ（tn，xn，s，y）→ ~n（t，x，s，y）。因为ψ在[0，T]上有界*] × [0, +∞) ×[0，T*]×[a，b]和γfine，其结果来自勒贝格支配的收敛定理。现在定义一个有界连续函数j（t，x，s，y）：=yln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）y,对于（t，x）∈ [0，T*] × [0, +∞), （s，y）∈ [0，T*] ×[a，b]。然后j（t，x）=ZtZbaj（t，x，s，y）yπ（ds，dy）。要使用引理6.4，让我们定义а（t，x，s，y）：=（j（t，x，s，y）- j（t，x，t，y），s<t，x≥ 0，y∈ [a，b]，0，s≥ t、 x≥ 0，y∈ [a，b]和γ（ds，dy）：=yπ（ds，dy）。Th enJ（t，x）=ZtZbaа（t，x，s，y）yπ（ds，dy）+ZtZbaj（t，x，t，y）yπ（ds，dy）=Φ（t，x）+Zbaj（t，x，t，y）yπ（[0，t]，dy）。函数Φ由引理6.4连续，因此J（·，x）是任意x的c`ad l`ag≥ 0我们还需要一个关于随机场规律性的结果。命题6.5设h=h（x）∈ L2，γ和H=H（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 0是一个函数，比如t，x∈[0，T*]×[0,+∞)| H（t，x）|<+∞ ,H（·，x）是每个x的c`adl`ag≥ 然后f函数h:[0，T*] -→ 由h定义的L2，γ：=h（t+x）h（t，x）是L2，γ中的c`adl`ag。证明：我们有以下估计kh（t）-~h（s）kL2，γ=Z+∞| h（t+x）h（t，x）- h（s+x）h（s，x）| eγxdx=Z+∞| h（s+x）[h（t，x）- H（s，x）]+[H（t+x）- h（s+x）]h（t，x）| eγxdx≤ 2e-γsZ+∞eγ（x+s）|h（s+x）|h（t，x）- H（s，x）| dx+2CkSt（H）- Ss（h）kL2，γ，其中C=sup（t，x）∈[0，T*]×[0,+∞)| H（t，x）|。利用支配收敛定理，我们发现当s→ t存在并且当s时等于零↓ t、当s时，二次积分消失→ 因为半群在L2，γ上是str连续的。因此，h是L2，γ中的c`adl`ag函数。6.3.2第2步。

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