结构上的Heath Jarrow Morton框架，可实现全天一致，

2022-6-9 20:40:26

一个结构化的Heath Jarrow Morton框架，用于一致的日内、现货和期货电价。J、 Hidderks公司* 1,2，A.Wagner和R.Korn1,2 Fraunhofer ITWM，Fraunhofer Platz 1，67663 Kaiserslautern，GermanyTU Kaiserslautern，Erwin Schr¨odinger Strasse 1，67663 Kaiserslautern，Germany2019年1月21日摘要本文介绍了一个灵活的HJM型框架，该框架允许对日内、现货、期货和期权价格进行一致的建模。该框架基于具有经济解释的随机过程，与以价格远期曲线形式给出的初始期限结构一致。此外，该框架允许在HJM设置中使用现有的日aheadsp ot价格模型。我们包括几个经典现货价格模型的明确示例，但也展示了如何在框架内制定结构模型和因子模型。关键词：Heath Jarrow Morton框架、电力市场、日内价格、日前现货价格、期货价格、期权价格、struct uralmod el、factor model1简介近年来，电力日内市场越来越受欢迎：2016年5月至2018年5月，德国/奥地利日内市场的交易量增长了30.3%（EPEX，2017，2018）。由于不同的电信市场合约表现出不同的价格行为，如日前现货价格出现峰值，但期货价格没有出现峰值，因此，能源金融面临的挑战越来越大，如何定义一个单一的模型，允许对交易日、现货和期货市场的电价进行联合模拟。在本文中，我们提出了一个Heath-Jarrow-Morton电价模型框架。fra mework与当前远期期限结构（即价格远期曲线）一致，我们通过经济解释激励每个数学组成部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-9 20:40:29

此外，我们在此框架内讨论了日内、现货和期货价格的计算，并展示了如何对期货合约的期权定价。一种新的方法是使用*通讯作者：威格。hinderks@itwm.fraunhofer.destructuralHeath Jarrowmoton框架内的日前现货价格建模模型。Heath Jarrow Morton（HJM）电价方法的起点是实际远期价格或远期核心。前向核ft（τ），t≤ τ、是指在时间τ即时交付电力的远期合同在时间t的价格。因此，从τ到τ的期货合约的t价格是交割期间的平均远期内核，即Ft（τ，τ）=τ- τZτft（u）du，t≤ τ. （1.1）在HJM利率框架中，远期利率被建模，而不是短期利率（参见Brigo和Mercurio（20 06））。因此，对正向内核进行建模而不是对日前现货价格进行建模，使其成为电价的HJ M方法。此外，就像HJM利率框架一样，远期内核本身不是市场上的交易产品，但其（集成）衍生产品是。Benthand Koekebakker（2008）介绍了几种前向核ft（τ）模型；Clewlow和Strickland（1999）；Hinz、von Grafenstein、Verschuere和Wilhelm（2005）；Kiesel、Schindlmayr和B¨orger（2009年）；Koekebakker和Ollmar（2005年）。他们定义了由布朗运动驱动的前向核动力学。然而，由于前一天现货价格出现飙升，这些模型存在缺陷。因此，需要一种forwardkernel模型，该模型允许在相对较短的交付期（提前一天的现货合同）内出现峰值，但可以在较长的交付期（未来的合同）内消除峰值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-9 20:40:33

Benth、P iccirilli和Vargiolu（2017）的HJM理论框架引入了由布朗运动和纯跳跃L'evy过程驱动的s向前核动力学。然而，Benth et al.（2017）假设ahea dspot和期货合约在两种不同的衡量标准下定价。在经济论证的推动下，我们的方法避免了这种模糊性。在文献中，使用多个概率度量也受到了质疑：Caldana et al.（2017）；例如，Ly le和Elliott（2009）假设了一个单一的概率度量。这一点得到了一个事实的支持，即不清楚哪一个等效度量应该是定价度量Q。由于电力是一种不可存储的商品，买入并持有策略的论点是无效的，因此不清楚电力合同价格与货币市场账户之间的关系（Bessembinder&Lemmon，2002）。这也意味着市场是不完整的，并且（可能）存在完全等效的鞅测度。同样，这使得定价措施的选择变得不明确。我们遵循Caldana et al.（2017）的观点，即日前现货和期货合约的价格均应通过方程式（1.1）计算。这实际上很直观，因为例如在德国市场，日前现货合约至少在交割前12小时进行交易。在美国等其他国家，术语有所不同：日前现货价格通常被称为远期价格（Longstaff&Wang，2004）。即使在欧洲，也可以参见Heath、Jarrow和Mor ton（1992）的原始论文，该论文介绍了利率建模的框架。Forward kernel是Caldana、Fusai和Roncoroni（2017）使用的名称。日前现货价格建模是一种常见的方法，为此已开发了几种不同的方法，参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-9 20:40:37

Weron（2014）。d- 1dd+1EPEX day aheadEPEX intrayτtEEX futuresObservation结构ft（τ）图1：德国电力市场的ft（τ）观测结构和固定交付时间τ。红色标记线和时间点是（间接）观测时刻。带d的线条- 1和d代表d天的开始- 1和d.随着日内市场的日益流行，我们观察到了一种转变间歇：Weron（2014）指出，现货一词在实时或日内市场中的使用越来越频繁。我们将始终明确说明我们所指的现货市场。在本文中，我们甚至建议将方程（1.1）扩展到日内市场。图1给出了远期核心ft（τ）的发展示例，以及它如何在德国/奥地利市场上变得可见。通过EEX期货合约，只能（部分）观察到Fir前移核ft（τ）。然后，举行了奥地利EXAA和两次德国EPEX日前的pot拍卖，之后E PEX日内现货市场开放。此外，我们还展示了Lucia和Schwartz（200 2）所描述的经典模型；Schwartz和Smith（2000）将其纳入我们的框架。我们还展示了如何使用其他更通用的日前现货价格模型来构建我们的模型。我们在本文中介绍的一个新示例是在HJM框架的上下文中使用结构模型。我们还将我们的框架应用于多因素模型的设置。本文的结构如下：第2节介绍了一个基于经济直觉的向前核模型，即向前核背后有两个驱动因素。第一个因素是交货时的供需平衡，第二个因素是来自部分知情交易者或交易时流动性不足的一般噪音。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:40:40

随后，在第2.2节和第2.3节中，分别计算了期货和期权价格。第3节包含上述明确提到的市场均衡过程的例子，而第4节则得出结论。2 Heath Jarrow Morton框架在第2.1节中，我们将定义一个由经济解释驱动的远期核心模型。在第2.2节和第2.3节中，我们使用该模型分别推导了期货合约和期货合约期权的价格。第2.4节以德国市场为例，概述了不同电力合同的价格。当然，在宣布市场划分后，EXAA和EPEX将各自扮演什么角色尚不清楚。新闻稿：https://www.bundesnetzagentur.de/SharedDocs/Pressemitteilungen/EN/2017/15052017DE澳大利亚。html（2018年3月26日访问）。2.1远期内核远期内核ft（τ）是指在时间τ即时交付1 MW的远期合同在时间t的价格。在本文中，我们将t解释为交易时间，τ解释为交货时间。对于τ≥ 0设Xτ={Xτt；t≥ 0}和Y={Yt；t≥ 0}是完全概率空间上两个独立的a.s.c` adl` ag随机过程(Ohm, F、 P）分别以R和Rn为单位取数值。此外，假设e achτ的过程Xτ≥ 0和Y适用于过滤{Ft；t≥ 0}，满足通常条件，即{Ft；t≥ 0}是右连续的，Fcontains allP-null集。Y和Xτ加上所有P-null集生成的过滤自动满足这些条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-9 20:40:43

最后，让g:Rn→ R是一个函数，使得g（Yt）是真值随机过程。对于这两个随机过程，我们有两个强有力的经济解释：我们将n维过程YT解释为随机性或市场状态，其中YT的每个组成部分代表市场的一个（随机）方面，例如需求、负荷或天气预测。函数g将市场状态yt映射到相应的价格。结合我们的灵感来自于日前现货价格建模的结构化模式ls类，以及它为远期内核提供了基本结构的事实，我们将这对（g，Yt）称为结构组件。通常，我们也只将YT称为结构构件。这个过程被称为市场噪音，因为它反映了所有市场参与者的市场信息不完整和市场流动性不足。不完全市场信息的一个例子是天气预测的不确定性：没有人能够完全确定未来的天气温度。通过这些解释，我们定义了正向内核：定义2.1（正向内核）。我们定义了交易时间和交割时间的远期内核τasft（τ）：=XτtE[g（Yτ）| Ft]，其中Xτ是交割时间τ在交易时间t的市场噪声，而（g，Yτ）是交割时间τ的结构分量。我们使用符号Xτ强调市场噪声在交易时间t内是一个随机过程，但可以（决定性地）取决于交付时间τ，而结构分量Yτ仅取决于交付时间。从经济上讲，这是有道理的，因为交付时间τ的供需不平衡决定了价格，而与我们预测这种不平衡的交易时间t无关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:40:47

然而，市场噪音是这种预测的干扰，来自市场信息不完整的市场参与者，这直接取决于他们试图预测的交易时间t和交付时间τ。虽然我们将Xτt称为市场噪声，但它也可以解释为一种计量变换（或Radon-Nikodym导数，见备注2.7）或在建模过程中引入附加自由度的一般附加组件。假设2.2（市场噪音）。过程Xτ={Xτt；t≥ 0}其解释为交付时间的市场噪音τ被定义为乘法，这也是市场噪音中季节性波动的所有低点。随机噪声。我们假设它是一个a.s.正c\'adl\'ag marting ale，期望值为1，即所有τ的EXτt=1≥ t型≥ 特别是，我们假设所有τ的初始值Xτ=1 a.s≥ 假设2.3（结构组件）。我们假设t Y={Yt；t≥ 0}是一个随机过程。特别地，我们假设初始值等于Y=Y∈ Rna。s、因此，g（y）=f（0），其中f（τ）是交货时间τ的价格远期曲线（PFC），我们假设这是已知的（参见备注2.4）。此外，作为技术假设，我们需要E | g（Yt）|<∞ 对于所有t≥ 最后，虽然我们假设g（Yt）可以得到R中的所有值，包括负值，但我们假设它的期望Eg（Yt）>0是严格正的。这一假设背后的经济解释是，我们并不预期会出现负远期价格。在这些假设下，正向核的符号由结构组件Y唯一确定，过程Xτ不能影响它。此外，预期Eft（τ）完全由结构成分τ决定，与交易时间t无关（参见L e mma 2.6）。备注2.4（价格远期曲线f（τ））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:40:50

在该框架中，以f（τ）表示的价格前向曲线（PFC）起着重要作用：它决定了对前向核ft（τ）的预期。有许多研究描述了如何从市场价格构建PFC，如Caldana et al.（2017）；例如，Kiesel、Paraschiv和Saethero（2018）。在实践中，每个energyutility都有一个内部PFC。因此，在下文中，我们将假设PFC是已知的。定理2.5。对于固定τ≥ 0前向核过程f（τ）：={ft（τ）；t≥ 0}是一个自适应随机过程。此外，f（τ）是a.s.c\'adl\'ag。证据根据定义，f（τ）是一个随机过程。此外，由于我们假设dxτt是Ft可测的，并且由于条件期望Zτt：=E[g（Yτ）| Ft]始终是Ft可测的，因此Ft（τ）的Ft可测性紧随其后。由于过滤满足通常的条件，Zτthas是一个c\'adl\'ag修正（Karatzas&Shreve，1998，第1章，定理3.13）。由于条件预期Zτ唯一定义为零集，我们可以选择此修改，并且其结果遵循以下假设：Xτtis c\'adl\'ag。由于我们假设Xτ和Y都是从一个确定的值开始的，因此我们可以在不损失一般性的情况下使用FisOhm 和所有P-null集。这尤其意味着Eg（Yτ）=E[g（Yτ）| F]，这是我们将在下一篇文章中探讨的事实。引理2.6。对于固定τ≥ 0前向核过程f（τ）：={ft（τ）；t≥ 0}是一个mart-ingale。此外，对于所有0，其期望值由eft（τ）=Eg（Yτ）=f（τ）给出≤ t型≤ τ.证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:40:53

两个独立鞅的乘积显然是一个鞅。此外，它紧随假设2.2和2。3通过Xτ和Yt的独立性，得出eft（τ）=E[Xτt]E[E[g（Yτ）| Ft]]=Eg（Yτ）=XτE[g（Yτ）| F]=F（τ）。引理2.6还为结构构件的膨胀Eg（Yτ）设定了一个条件，该条件可用于在确定PFC f（τ）后校准结构构件和函数g。如果要获得与n个现有PFC f（τ）一致的模型，需要选择并校准g和Y，使Eg（Yτ）=f（τ）。备注2.7（措施变更）。在前面的讨论中，我们考虑了测量空间(Ohm, F、 P）配备了真实测量值P。然而，在免税市场上，有一种定价方法，根据该方法对衍生品进行估价。τ-由其Radon-Nikodym导数Pdqτ定义的前向测度QτFt=Xτt（2.1）可用于此目的。使用条件经验的τ-正向测度和Bayes理论，我们可以重写定义2.1ft（τ）=XτtEP[g（Yτ）| Ft]=等式τ[Xτg（Yτ）| Ft]。后一个术语可以定义为st：=Xttg（Yt），这产生了一个通用的现货价格模型。根据方程（2.1），随机过程Xτt的选择可视为定价度量Qτ的选择。如果噪声Xt：=Xτ被选择为独立于传递时间τ，则向前测量Q：=Qτ。2.2期货合约如第1节所述，远期内核可用于计算期货合约的价格。在下文中，为了便于注释，我们假设利率等于r=0。当然，当我们假设r 6=0时，需要考虑折扣。在备注2.13中，我们有一些关于如何更改我们的框架以包括disco unting的注释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-9 20:40:56

此外，我们假设所有价格都是标准化的，这意味着我们假设所有价格都是欧元/兆瓦/美元。定义2.8（期货合同价格）。对于0≤ t型≤ τ<τwe callFt（τ，τ）：=τ- τZτft（u）dut从τ到τ连续交付1兆瓦的期货合约在t时的价格。由于我们以欧元/兆瓦时表示所有价格，当购买从τ到τ交付1兆瓦的期货合同时，在时间t支付的价格由（τ）给出- τ） Ft（τ，τ），其中我们假设τ- τ以小时为单位。示例2.9（日前现货价格）。我们将前一天的现货价格计算为期货合约。在d天拍卖- 在a小时1，在d天从h:00到（h+1）：00点交付，即S（d，h）：=Ftad-1.thd，th+1d.这里thdde记录了d天和h小时的时间。下一个定理表明该框架与级联一致。它还表明，在某种意义上，不存在套利机会，例如，一份期货合约交付一年的成本与交付四个季度的成本相同。提议2.10（cas编码的一致性）。让0≤ τ<τ<τ<···<τnbe交货时间，那么我们有（τn- τ） Ft（τ，τn）=nXi=1（τi- τi-1） Ft（τi-1，τi）对于所有t≥ 0.证明。这直接源自定义2.8和勒贝格积分的可数可加性。引理2。11、修复0≤ t<τ。如果u 7→ ft（u）几乎肯定在（τ）上连续- ，τ]对于某些>0，则我们有lims→τ-Ft（s，τ）=Ft（τ）几乎可以肯定。证据我们计算→τ-Ft（s，τ）=lims→τ-Rτsft（u）dulims→τ-τ - s=lims→τ--英尺（s）-1=ft（τ），其中我们使用L\'H^opital规则表示第二个等式。前面的引理表明，仅为一个分期付款交割的期货合约的价格等于远期内核。这支持将数量ft（τ）命名为向前核。引理2.12。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:00

假设价格远期曲线τ7→ f（τ）是连续的。期货价格过程F（τ，τ）：={Ft（τ，τ）；t≥ 0}是鞅。它的预测由eft（τ，τ）=F（τ，τ）=τ给出- 所有0的τZτf（u）du≤ t型≤ τ< τ.证据由于价格远期曲线是连续的，因此它在任何紧集上都有界，特别是在[τ，τ]形式的区间上，因此它是可积的。用Fubini定理直接计算表明，对于0≤ t<sE[Fs（τ，τ）| Ft]=Eτ- τZτfs（u）du | Ft=τ- τZτE[fs（u）| Ft]du，通过级联，我们指的是交割期较长的期货的结算方式。例如，日历年期货合约在开始交割时会级联（或拆分）为三个月期货（1月、2月和3月）和三个季度期货（第二季度、第三季度和第四季度）。这样，这些可以再次独立交易。在德国市场，月度期货不会层叠。然而，交割结束时的结算价格恰好是交割期间前一天现货价格的平均值。这可以解释为，月度期货也会与每小时（前一天）的现货合约级联，因为它们的价格会收敛到这个平均值。后者存在，因此所有积分都存在。与引理2.6的结合现在证明了这个定理。备注2.13（r 6=0）。如果我们假设r 6=0，期货价格取决于结算日期。有两种可能性：在交货期内通过连续付款或在交货期结束时立即进行结算。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-9 20:41:03

如果dt（τ）表示时间τ到较早时间t的未来付款的贴现系数，则期货合约的价格由ft（τ，τ）=Rτdt（u）duZτdt（u）ft（u）du表示连续结算，由ft（τ，τ）=（τ- τ） dt（τ）Zτdt（u）ft（u）du，用于在交付结束时进行结算。2.3期货合约期权在本节中，我们假设市场噪声由无漂移的几何布朗运动（GBM）给出，即dXτt=Xτt∑（t，τ）TDWT，其中∑（t，τ）是确定性的m维波动向量，WT是nm维布朗运动。Xτt=exp给出的Xτtis的强解Zt∑（u，τ）TdWu-Zt∑（u，τ）T∑（u，τ）du.在此情况下，如果∑（u，τ）在u中是平方整数，则Xτt是假设2.2。但这已经是定义随机积分的必要条件。示例2.1 4（船体白噪声市场动力学）。∑的一个可能选择是类似于Kiesel et al.（2009）的双因素远期动态，Fanelli和Schmeck（2018）也在几何环境中讨论了期货期权定价。Latini、Piccirilli和Vargiolu（2018）在加性环境中扩展了这种波动性结构。他们讨论了与利率建模的双因素赫尔-怀特模型（Brigo&Mercur io，2006，第4.2.5节）相比较的2-fa-c-tor挥发性结构。由∑（t，τ）t得出：=（e-κ(τ -t） σ，σ（τ）），其中σ>0是额外的短期波动率，κ>0是短期波动率的衰减率，σ（τ）>0是交付时间τ的长期波动率。σ的一个方便选择是分段常数函数，它在可交易期货合约的交割期上是常数。这种选择的一个优点是，我们可以使用Fanelliand Schmeck（2018）讨论的Xτtas校准方法；Kiesel等人（2009年）；Latini等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-9 20:41:06

(2018).期货合约的持续结算使其更像是一个在前进内核上的掉期合约。在本小节的其余部分，我们假设结构组件的条件预期分解为一个完整的结构：定义2.15（完整的结构组件分解）。我们说，如果存在确定性函数（t，τ）7，结构成分（g，Yt）允许有效的结构成分分解→ Aτt∈ Rn×nand（t，τ）7→Bτt∈ Rn这样，对于所有τ，以下分解保持se【g（Yτ）| Ft】=g（AτtYt+Bτt）（2.2）A.s≥ t型≥ 0、我们在时间t对市场状态Yτ在时间τ的最佳猜测是市场当前状态Yt的一个有效转换，这一事实可以推动这种分解。例如，这也是卡尔曼滤波背后的主要思想。如果这种分解成立，那么这只是说明在将市场状态转换为价格的转换下，这种最佳猜测应该成立。因此，当满足有效的结构成分构成假设时，前向核由ft（τ）=Xτtg（AτtYt+Bτt），（2.3）决定。此外，定义2.8的期货价格可以重写为ft（τ，τ）=τ- τZτXutg（AutYt+But）du，所有0≤ t型≤ τ< τ. 作为直接结果，我们得到：引理2.16。如果（g，Yt）允许有效的结构成分分解，则E[g（Yτ）| Ft]=E[g（Yτ）| Yt]。引理2.17。在定义2.15分解的假设下，以Ytis对数正态分布为条件的正向核，即（ft（τ）| Yt=y）~ 液态氮ln[g（Aτty+Bτt）]，Zt∑（u，τ）t∑（u，τ）du.证据利用方程（2.3），我们计算tep（ft（τ）≤ x | Yt=y）=P（xτtg（Aτty+Bτt）≤ x），显示xτt之后的结果~ 液态氮0，Rt∑（u，τ）T∑（u，τ）du.定理2.18。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-9 20:41:09

如果（g，Yt）允许一个有效的结构成分分解，则期货价格Ft（τ，τ）的前两个矩存在，并由[Ft（τ，τ）| Yt=y]=τ给出- τZτg（Auty+But）duandE[英尺（τ，τ）| Yt=y]=（τ- τ） ZττZττwXt（u，s）wYt（u，s，y）du ds，其中wXt（u，s）：=expZt公司∑（v，u）T∑（v，s）+∑（v，s）T∑（v，u）dv（2.4）andwYt（u、s、y）：=g（Auty+But）g（Asty+Bst）。（2.5）证明。我们看到，期望值紧接着一个富比尼论证，结合所有τ的EXτt=1这一事实≥ 0、两次使用Fubini，我们的指数【Ft（τ，τ）| Yt=y】=RττRτE【XutXst】E【YuYs | Yt=y】du ds（τ- τ），其中很容易通过等式（2.2）验证期望值是否等于E[XutXst]=wXt（u，s）和E[YuYs | Yt=y]=wYt（u，s，y）。推论2.19。如果（g，Yt）允许进行有效的结构成分分解，则给出期货价格的条件方差Ft（τ，τ）【Ft（τ，τ）| Yt=y】=（τ- τ） ZττZττwXt（美国）- 1.wYt（u，s，y）du ds，其中Wx和Wy分别由方程（2.4）和方程（2.5）给出。证据我们直接计算Var[Ft（τ，τ）| Yt=y]=E[Ft（τ，τ）| Yt=y]- E【Ft（τ，τ）| Yt=y】。使用定理2.18，第一项立即给出，第二项可以使用Fubini的定理[Ft（τ，τ）| Yt=y]=τ- τZτg（Auty+But）du=(τ- τ） ZττZτg（Auty+But）g（Asty+Bst）du ds，结果如下。备注2.20（对数正态近似）。与Kiesel等人（2009）使用的离散方法类似，我们发现期货价格是对数正态分布变量的积分，可以用具有相同平均值和标准偏差的对数正态随机变量来近似。由于对数正态分布的卷积没有简单的表达式，对数正态随机变量的积分（或和）的这种近似在金融中被广泛使用，例如在Brigo和Mercurio（200 6）的L I BOR市场模型中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-9 20:41:12

例如，Dufresne（2004）对这一近似值进行了分析，也对亚洲期权进行了分析（这可能与有交割期的期货期权相比较）。假设2.21（对数正态近似）。假设期货价格Ft（τ，τ）的前两个时刻存在。根据备注2.20，我们假设（Ft（τ，τ）| Yt=y）≈ （￠Ft（τ，τ）| Yt=y）~ 液态氮uF（y），σF（y）,i、 e.期货价格近似对数正态分布。如Remar k 2.20所述，我们需要F和Fmatch的前两个矩，这由以下le-mma解决：引理2.22。如果（g，Yt）考虑到一个有效的结构成分分解，假设2.21成立，则对数正态分布的平均值和标准偏差由uF（y）给出：=lnZττg（Auty+But）du- ln（τ- τ) -σF（y）和σF（y）：=ln1+RττRτwXt（美国）- 1.wYt（u，s，y）du dsRττRττwYt（u，s，y）du ds！，式中，Wx和Wy分别由方程式（2.4）和方程式（2.5）给出。证据对数正态随机变量Z~ LN（m，s），由EZ=exp（m+s/2）和Var Z=（EZ）（exp（s）给出的期望和方差- 1).利用定理2.18和协罗拉方程2.19，通过对这些方程进行反演得到结果。利用这个引理，我们可以通过Black-Scholes公式计算期货合约上买入（和卖出）期权的价格（以Yt为条件）。履约价格为K且到期日为T<τ的看涨期权的支付效果等于（τ- τ）（FT（τ，τ）- K） +。（2.6）回想一下，如第2.2节所述，未来合同在同等时间（τ）必须支付的价格- τ） FT（τ，τ），因为我们考虑标准化价格。建议2.23（有条件看涨期权价格）。假设（g，Yt）允许进行一个有效的结构组件分解，并让假设2.21保持不变。用F表示到期日y的期货价格：=FT（τ，τ）。设uFandσFbe givenby引理2.22。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:16

在t=0且（2.6）给出了支付函数的条件下，买入期权的价格为y=y等式c（t，K，τ，τ；y）=Φ（δ（y））Zττg（AuTy+BuT）du- (τ- τ） KΦ（δ（y）），其中Φ是标准正态分布的累积分布函数，δ（y）：=uF（y）- ln KσF（y）和δ（y）：=δ（y）+σF（y）。证据使用（2.6）yieldsC（T，K，τ，τ；y）τ中给出的贴现条件预期- τ=E（F）- K） +| YT=y= E[F 1{F≥K} | YT=y]- K P（F≥ K | YT=y），其中注意到我们有（F | YT=y）~ LN（uF（y），σF（y））通过直接计算得出结果。作为直接结果，我们有：推论2.24（看涨期权价格）。假设（g，Yt）允许a ffinestructural component分解，假设2.21成立。设uFandσFbe由引理2.22给出。t=0时的看涨期权价格，由（2.6）等式C（t，K，τ，τ）=EC（t，K，τ，τ；YT），（2.7）给出，其中有条件看涨期权价格C（t，K，τ，τ；y）在命题2.23中给出。当YTis的分布规定时，方程（2.7）给出的认购期权的价格可以通过分析、数值或模拟方法（如蒙特卡罗估计）进行评估。或者，通过对YT分布的进一步假设，也可以对该期望值进行不同的近似。2.4交易所交易产品的模型表示在本节中，我们概述了HJM框架中几种不同电力合同的价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:19

虽然没有一个唯一的报价连续电价，但我们认为Ft（τ，τ）是任何交易时间t从τ到τ的交付期的真实公平价格。期货价格t从τ到τ连续交付1兆瓦的期货合同的价格由定义2.8给出，并由Ft（τ，τ）表示。期货期权在第2.3节的设定中，期货合约的看涨期权和看跌期权的价格可以通过命题2.23或推论2.24给出的Black-Scholes公式计算。日前现货价格日前现货价格等于此框架内的期货价格，如示例2所述。9.IDand IDprice德国日内市场的IDand IDprice指数为交割前allintraday交易的1小时和3小时交易量加权平均值。因此，我们建议交付周期的IDnprice从τ到τ等于DN（τ，τ）：=2n- 1Zτ-0.5τ-nFu（τ，τ）du，其中n=1或n=3，τ的减法以小时为单位。结构组件的3个示例首先，我们展示了两个经典的日前现货价格模型如何在该HJM框架中使用。然后，我们还介绍了一种结构模型方法以及一种多因素模型方法。为了在该框架中更容易定义模型，我们引入了相对结构组件，该组件可用于将初始价格前向曲线（PFC）设置为现有的价格前向曲线：定义3.1（相对结构组件）。g（Yτ）Iaτ的加性平均归一化版本：=g（Yτ）- Eg（Yτ）称为加性相对结构分量，其乘法平均归一化版本mτ：=g（Yτ）Eg（Yτ）称为乘法相对结构分量。我们直接从这些定义中获得：推论3.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:24

对于所有τ，相对结构分量Ia和Imare随机过程具有常数期望EIaτ=0和EImτ=1≥ 推论3.3（算术PFC分解）。对于给定的初始价格远期曲线f（τ），远期核方程Ft（τ）=Xτt（f（τ）+E[Iaτ| Ft]），其中Iaτ是定义3.1中给出的算术相对结构分量。证据定义一个扩展的结构组件Yτ=（Yτ，f（τ））∈ Rn+1，其中f（τ）是构造的PFC，另一个函数▄g（y，x）=x+g（y）-Eg（y）。很明显，Y和g满足假设2.3。紧接着是▄g（▄Y（τ））=f（τ）+Iaτ，这证明了结果。推论3.4（几何PFC分解）。对于给定的初始价格远期曲线f（τ），远期核方程Ft（τ）=f（τ）XτtE[Imτ| Ft]，其中Imτ是定义3.1中给出的几何相对结构分量。证据结果与推论3.3的证明一致。对这些分解的解释是，今天的价格远期曲线是远期内核的预期，它受到市场噪声Xτtin交易时间t和交付时间τ的结构成分的干扰。根据结构成分（g，Yτ）的选择，在几何PFC分解的情况下，该扰动可以选择为乘法扰动，在算术PFC分解的情况下，可以选择为加法扰动。3.1经典现货模型我们可以通过选择g（Yt）=St，在我们的框架中使用经典的日前s现货价格模型ls，其中St表示时间t的现货价格。我们在本节中明确计算的两个现货价格模型示例是s现货价格模型，分别是Schwartz和Smith（2000）以及Lucia和Schwartz（2002）。对于这两个示例，我们需要相同的结构组件，因此我们在本小节中假设它由Yt=（Yt，Yt）给出∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:27

第一个过程是Ornstein-Uhlenbeck过程，即dyt=-κytdt+σdWt，y=0，（3.1），第二个yt=ut+σρWt+σp1- ρWt（3.2）是一个具有漂移的（相关）布朗运动。假定标准一维布朗运动是独立的。参数κ>0，σ，σ>0，-1.≤ ρ ≤ 1，以及∈ 假设R为真值。示例3.5（Schwartz和Smith）。Schwartz和Smith（2000）使用函数g（y，y）=ey+y确定了日前现货价格，即他们选择的价格等于St：=g（Yt）=exp（yτ+yτ）。在HJM框架中，这将转换为以下正向kernelft（τ）=XτtE[eyτ+yτ| Ft]，其中除了假设2.2外，我们不会对Xτ附加任何额外条件。在此设置中，我们可以显式计算条件期望ong（Yτ），并确定E[eyτ+Yτ| Ft]=E-κ(τ -t） yt+yt+u+σ(τ - t） +σ4κ1.- e-2κ(τ -t）+ρ σσκ1.- e-κ(τ -t）.这意味着该g和Yτ模型满足定义2.15的精细结构成分分解。分解系数Aτtof由Aτt给出=e-κ(τ -t） 0 1（3.3）和Bτt可以选择为Rsuch thatln g（Bτt）中的任何向量=u+σ(τ - t） +σ4κ1.- e-2κ(τ -t）+ρ σσκ1.- e-κ(τ -t）持有。由于函数g本质上是乘法的，因此g几何PFC分解（推论3.4）特别适用于该模型。乘法相对结构分量的条件期望值由n E【Imτ| Ft】=lng（AτtYt+Bτt）Eg（Yτ）=E给出-κ(τ -t） yt+yt-u+σt+σe-2κτ4κ1.- e2κt+ρσe-κτκ1.- eκt,前向核分解toft（τ）=f（τ）Xτtee-κ(τ-t） yt+yt-u+σ!t+σe-2κτ4κ(1-e2κt）+ρσe-κτκ(1-eκt），其中可以使用沃德曲线f（τ）的任何初始价格。示例3.6（Lucia和Schwartz）。Lucia和Schwartz（2002）讨论了四种不同的模型。这里，我们重点介绍了现货价格的算术双因素模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:30

该模型由函数g（y，y）=y+和向前的核方程Ft（τ）=XτtE[yτ+yτ| Ft]定义。此外，除了假设2.2，过程Xτ可以自由选择。条件期望可以在[yτ+yτ| Ft]=e时计算-κ（τt）yt+yt+u（τ- t）定义2.15的结构成分分解紧随其后，系数aτt由方程（3.3）给出，Bτt可以是任意向量，如g（Bτt）=u（τ- t）。g的可加性使得算术PFC分解（推论3.3）适合此模型。由此得出ft（τ）=Xτtf（τ）+e-κ（τt）yt+yt- ut对于任何初始价格远期曲线f（τ）。在第3.3节中，我们使用因子模型方法继续研究这种类型的正向核。在本节的讨论中，我们将给出两个结构组件的进一步示例。第一种方法基于日前现货价格的结构模型方法，另一种方法使用多因素模型，这是Ornstein-Uhlenbeck型过程的总和，参见Benth、Benth和Koekebakker（2008）。3.2结构模型方法我们将使用HJM框架，通过结构模型方法对结构组成部分进行建模：Barlow（2002）提出的现货价格建模技术，该技术利用供需平衡的思想来确定现货价格。与需要实现跳跃组件以模拟尖峰的简化模型相比，结构模型使用（高斯）扩散过程的非线性转换来实现这一目标。许多作者进一步发展了这种方法，例如Aid、Campi、Huu和Touzi（2009）；瓦格纳（2014）。对于实值需求过程D，我们使用高斯Ornstein-Uhlenbeck过程，即dDt=-λDtdt+σdWt，D=0。我们选择的结构组件等于：=β（t）Dt,其中β（t）是实值确定性函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:33

此外，我们将函数g定义为以下g（y，y）=γ+ysinh（αy）=γ+yeαy- e-αy对于α>0和γ>0。通过Yt的第一个坐标，即β（t），我们将Y与时间的演化联系起来，通过Yt的第二个坐标，即Dt，我们将Y与需求联系起来。因此，g（Yt）表示通过优序曲线的dt负载的价格a t时间t。备注3.7（模型的扩展）。可以方便地使用更真实的模型，如Wagner（2014）所述。这是EOU模型的扩展，其中风力和太阳能馈入的随机过程是从需求过程D中派生出来的。这种差异被视为更准确地建模电价。很容易看出，结构成分Y和函数g可以扩展到这些过程中。使用辅助函数ν（s）：=σ2λ（1- e-2λs）定义2.15的精细结构成分分解可从以下定理中推导得出：定理3.8。结构构件的条件期望值为[g（Yτ）| Ft]=γ+β（τ）eαν（τ-t） sinh（αe-λ(τ -t） Dt）对于所有τ≥ t型≥ 0.证明。对于高斯OU过程，我们有以下分解dτd=e-λ(τ -t） Dt+ν（τ- t） ε，ε~ N（0，1）。现在，利用分解并将其插入定义中，我们得到[g（Yτ）| Ft]=γ+β（τ）E[sinh（αDτ）| Ft]=γ+β（τ）s inh（αE-λ(τ -t） Dt）Eheαν（τ-t） εi=γ+β（τ）eαν（τ-t） sinh（αe-λ(τ -t） Dt）通过正态分布的对称性。推论3.9（结构成分分解）。系数由aτt=β（τ）β（t）eαν（τ）给出-t） 0αe-λ(τ -t）哦！Bτt=0∈ 定义2.15的结构组件分解适用。根据定理3.8，取t=0后，所有τ的期望值Eg（Yτ）=γ>0≥ 因此，我们可以使用加法和几何PFC分解，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-9 20:41:36

花冠分别为3.3和3.4。在加法情况下，前向核方程ualsft（τ）=Xτt（f（τ）+g（AτtYt）- γ） =Xτtf（τ）+β（τ）eαν（τ-t） sinh（αe-λ(τ -t） Dt）,而在乘法情况下，它等于ft（τ）=f（τ）Xτtg（AτtYt）γ=f（τ）Xτt1+β（τ）γeαν（τ-t） sinh（αe-λ(τ -t） Dt）.对于这两种分解，都可以使用任何初始价格远期内核。3.3算术因子模型方法本节我们对HJM框架中的结构化组件使用算术因子模型方法。更准确地说，结构组件由n维L'evy驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程Dyt=-∧Ytdt+dLt，Y=Y，其中∧=diag（λ，λ，…，λn）∈ Rn×nw带λ，λ，λn>0，L是一个n维L'evy过程。有关此类移动平均过程的更多信息，请参阅Applebaum（2009）；巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2001）；Jure k和Vervaat（1983）；Sato（2013）；Wolfe（1982）。关于以能源价格多因素模型形式应用OU过程，我们参考Benth et al.（200 8）。函数g由所有系数之和给出，即假设g（y）=Pni=1yi。如果Y满足假设2.3，我们可以明确计算条件期望：定理3.10。结构构件的条件期望值为[g（Yτ）| Ft]=ge-Λ(τ -t） Yt+EZτte-Λ(τ -u） dLu对于所有τ≥ t型≥ 0.证明。对于一般OU过程，与定理3.8的证明中使用的分解相同，即Yτ=e-Λ(τ -t） Yt+Zτte-Λ(τ -u） dLu。注意，第一项是Ft可测量的，第二项独立于Ft产生结果，因为g和E之和可以换算。作为直接结果，我们得到：推论3.11（一种有效的结构成分分解）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-9 20:41:40

系数由Aτt=e给出-Λ(τ -t） Bτt=ERτte-Λ(τ -u）定义2.15的Dluth a ffine structuralcomponent分解适用。由于g的加法结构，在此设置中选择的逻辑PFC分解是算术分解，即推论3.3。根据定理3.10，我们发现期望值由eg（Yτ）=g给出e-∧τy+EZτe-Λ(τ -u） dLu.它允许前向核由ft（τ）=Xτt给出f（τ）+ge-Λ(τ -t）年初至今- e-∧τy- 埃兹特-Λ(τ -u） dLu,式中，f（τ）可以是正向曲线的任何初始价格。4结论在本文中，我们开发了一个统一的Heath Jarrow Morton（HJM）框架，该框架o对日内、现货和期货价格进行建模，o基于两个受经济解释驱动的随机过程，o分离交易和交付时间的随机动态，o与初始期限结构（即价格远期曲线）一致，o能够通过Black-Scholes for mula对期货期权进行定价，o允许使用经典的日前现货价格模型，如Luciaand Schwartz（2002）；Schwartz和Smith（2000），o包括许多模型类，如结构模型和因子模式ls。为了进一步发展这一框架，需要进行实证研究：需要讨论统计评估和校准方法。第3节的理论应用需要根据日内、现货、期货和期权价格的真实数据进行具体说明和校准。这是FutureResearch ch的主题。感谢Fraunhofer ITWM（Fraunhofer Institute for Industrial Mathematics ITWM，www.ITWM.Fraunhofer.de）的财政支持。参考文献Aid，R.，Campi，L.，Huu，A.N.，和Touzi，N.（2009年11月）。结构风险中性电价模型。《国际理论与应用金融杂志》，12（07），925–947。内政部：10.1142/s021902490900552xApplebaum，D.（2009）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:43

列维过程和随机微积分（第二版，第116卷）。剑桥：剑桥大学出版社。内政部：10.1017/cbo9780511809781Barlow，M.T.（2002年10月）。电力价格的差异模型。数学金融，12（4），287–298。内政部：10.1111/j.1467-9965.2002。tb00125.xBarndor Off-Niels en，O.E.&Shephard，N.（2001年5月）。基于非高斯或nsteinuhlenbeck的模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），63（2），167–241。内政部：10.1111/1467-9868.00282Benth，F.E.，Benth，J.ˇS.，&Koekebakker，S.（2008）。电力和相关市场的随机建模。《世界科学》内政部：10.1142/6811Benth，F.E.&Koekebakker，S.（2008年5月）。金融电力合同的随机建模。能源经济学，30（3），1116–1157。内政部：10.1016/j.eneco。2007年6月05日，法国。，Piccirilli，M.，&Vargiolu，T.（2017）。heath-jarrow-morton框架中的附加能量前进曲线。恢复fromhttp://arxiv.org/abs/1709.03310（预印本）Bessembinder，H.，&Lemmon，M.L.（2002年6月）。电力远期市场的均衡定价和最优套期保值。《金融杂志》，57（3），1347-1382。内政部：10.1111/1540-6261.00463 Brigo，D.，&Mercurio，F.（2006）。利率模型-理论与实践（第二版）。施普林格柏林海德堡。内政部：10。1007/978-3-540-34604-3Caldana，R.，Fusai，G.，和Roncoroni，A.（2017年9月）。细粒度电力正向曲线：hourlyEPEXspot市场的理论和经验证据。《欧洲运筹学杂志》，261（2），715–734。内政部：10.1016/j.ejor。20 17.02.016Clewlow，L.，&Strickland，C.（1999年4月）。在符合远期价格的单因素模型中评估能源期权。（SSRN提供）内政部：10.2139/SSRN。160608Dufresne，D.（2004年）。对数正态分布近似于财务和其他计算。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:41:47

应用概率的进展，36（3），747-773。检索自http://www.jstor.org/stable/4140406EPEX.（2017年6月）。2017年5月Epex现货电力交易结果：5月日内交易同比增长。恢复fromhttp://www.epexspot.com/de/presse/press-archive/details/Press/showdetail/37581（2018年6月27日访问）EPEX。（2018年6月）。2018年5月Epex现货电力交易结果：自2015年以来，每月电量首次超过50太瓦时。恢复fromhttps://www.epexspot.com/en/press-media/press/details/press/Monthlyvolumes自2015年以来首次超过50 TWh（2018年6月27日访问），Fanelli，V.，&Schmeck，M.D.（2018年5月）。关于电力期权隐含效用的季节性。（SSRN提供）内政部：10.2139/SSRN。3176590 Heath，D.，Jarrow，R.，和Morton，A.（1992年1月）。债券定价和利率期限结构：或有索赔评估的新方法。《计量经济学》，60（1），77-105。内政部：10.2307/2951677Hinz，J.、von Grafenstein，L.、Ve rschuere，M.、Wilhelm，M.（2005年2月）。采用利率法对电力风险进行定价。定量金融，5（1），49–60。内政部：10.1080/14697680500040876Jurek，Z.J.，&Vervaat，W.（1 983）。自分解banach空间值随机变量的积分表示。Zeitschrift f¨urwahrscheinlichkeitsforerie und Verwandte Gebiete，62（2），24 7–262。内政部：10.1007/bf00538800Karatzas，I.，&Shreve，S.E.（1998）。布朗运动与随机微积分（第二版）。纽约：斯普林格纽约。内政部：10.1007/978-1-4612-0949-2Kiesel，R.，Paraschiv，F.，&Saethero，A.（2018年2月）。关于构建电价的小时电价远期曲线。计算管理科学。内政部：10.1007/s10287-018-0300-6Kiesel，R.，Schindlmayr，G.，&B¨orger，R.H.（2009年4月）。电力远期市场的双因素模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝