预平均估计的Edgeworth展开

2022-5-9 16:23:46

前平均估计器Mark Podolskij的Edgeworth扩展：Bezirgen Veliyev；§Nakahiro Yoshida 2018年8月20日摘要在本文中，我们研究了在噪声观测的连续微分模型框架下，二次变化的预平均估计量的Edgeworth展开。更具体地说，我们得到了二次变量及其渐近方差估计量的联合密度的二阶展开式。我们的方法基于鞅嵌入、Malliavin演算和连续微分的稳定中心极限定理。此外，我们还推导了studentizedstatistic的密度展开式，它可以用于构造渐近置信区域。关键词：扩散过程、Edgeworth展开、高频观测、比例变化、预平均。AMS 2000学科分类。初级62M09、60F05、62H12；中学62G20，60G44。1引言在过去的十年里，许多研究人员研究了它的二次变差的估计。通常，马克·波多尔斯基（Mark Podolskij）和贝齐尔根·维利耶夫（Bezirgen Veliyev）感谢丹麦国家研究基金会（DNRF78）资助的CREATES提供的财政支持。吉田明弘的研究得到了日本科学促进会的支持，该协会的科学研究资助号为24340015（科学研究），编号为。

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2022-5-9 16:23:49

24650148和26540011（具有挑战性的探索性研究）；佳洁士日本科学技术厅；NS解决方案公司；并通过统计数学研究所的合作研究项目：奥胡斯大学数学系，纽约蒙克加德1188000奥胡斯C，丹麦，电子邮件：mpodolskij@math.au.dk;丹麦奥胡斯五世福格莱桑斯大学经济与商业经济系，邮编8210，电子邮箱：bveliyev@econ.au.dk§通讯作者¨东京大学数学科学研究生院，地址：3-8-1，日本东京153号，美谷市，Komaba，Meguro ku，电子邮件：nakahiro@ms.u-东京。ac.jp}CREST日本科学技术机构在完全渐近设置中考虑，即基础观测是从连续/不连续It^o半鞅、受噪声或相关模型破坏的扩散过程的高频数据中恢复的。最近的一本综合性专著[6]在各种框架下对二次变量和相关对象的估计量进行了详细的渐近分析。在金融数学中，人们普遍认为，当以超高频观察时，金融数据会受到微观结构噪声的污染，如舍入误差、买卖边界和打印错误。这一事实阻止我们在这样的频率下使用经典的已实现波动率估计器。在这项工作中，我们考虑了一个被加性i.i.d.噪声破坏的连续SDE模型，即观测值为y“Xti`εti，其中X是一个连续的扩散过程，ε是一个独立于X和ti”i的i.i.d过程nwithn~n0。众所周知，已实现的波动具有爆炸性，需要更精细的方法来估计潜在扩散过程X的二次变化。

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可人4

2022-5-9 16:23:53

该框架中最著名的估计方法是[14]中的多尺度方法、[2]中提出的简化核方法以及[9]中最初提出的预平均概念。所有这些估计都是一致的、渐近混合正态的，并且具有收敛速度'1{4n，已知是最优的。由于这种相对缓慢的收敛速度，即使在高频情况下，混合正态近似的质量也是相当可疑的。本文的目的是推导预平均估计的二阶Edgeworth展开式，以改进未知密度的混合正态近似。我们注意到我们的工作与最近的一篇论文有关[10] ，研究了无噪声环境下连续扩散过程功率变化的Edgeworth展开。然而，在被加性i.i.d.噪声破坏的连续微分的框架中，预平均统计的随机二次或二次扩展更为复杂。我们的方法依赖于鞅方法、预平均统计量的随机展开和[13]中研究的与混合正态极限相关的Edgeworth展开的一般理论。后一种方法大量使用Maliavincalculus的不同方面，如分部积分公式和概率定律平滑的条件。在第二步中，我们将展示学生化统计数据密度的Edgeworth展开式，该展开式可用于为差异过程X的二次变化构建更精确的置信域。pape r的组织如下。我们描述了主要设置，并回顾了第2节中的预平均方法。第3节给出了二次方差预平均估计的二阶随机分解。

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2022-5-9 16:23:56

在第4节中，我们证明了Edgeworth展开的一般理论，并讨论了混合正规极限。在第5节中，我们将渐近理论应用于预平均估计，并给出了统计学研究版本的Edgeworth展开式。在第6节中，我们分别讨论了不满足非简并条件的常数波动情况。第7节演示了一个示例，第8节收集了一些预防步骤。2.设置在本文中，我们处理的是完全渐近性，即数据是在等距网格i上观察到的n、在有限的地平线上n~n0。我们还需要1{是一个正整数。假设终端时间T是固定的，我们假设T“1而不丧失一般性。为简单起见，我们使用符号ti:“in、关于过滤概率空间pOhm, F、pFtqtPr0、1s、Pq（具体见第5.2节），我们考虑一个满足随机微分方程dxt“br1spXtqdWt`br2spXtqdt（2.1）的微分模型以有界随机变量xa为起始值，标准布朗运动W和连续函数br1s，br2s:R~nR。我们有意选择符号br1s，br2s，以强调在本文的渐近展开中，扩散项br1s主导迁移项br2s。我们对估算综合波动率感兴趣，我们用v“zpbr1spxtqdt”（2.2）表示。然而，由于微观结构噪声的影响，我们无法直接观察过程X，只能通过扭曲来观察。更具体地说，我们假设基本观察值pYtiqiě0由yti“Xti`εti（2.3）给出其中，pεtiqiě0是一系列i.i.d.随机变量，它们分别是εtis“0和Erεtis”ωa0，（2.4）和εtii。此外，我们假设过程ε和x是独立的。这种加性噪声模型广泛应用于金融数学中，参见。

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mingdashike22

2022-5-9 16:24:00

[2,5,9,15]等等。我们需要一些符号来描述预平均估计量，这与文献[5,9]中的结果是一致的。我们选取一个正整数序列pknqn“1和一个正实数θ，这样kn1{2n“θ`op1{2nq和dn:“Zknn^P n.（2.5）此外，我们在r0上考虑了一个连续的非负函数g，2.6）此外，我们还介绍了以下与g相关的符号：此外，我们介绍了以下与g相关的符号：hpj{KNNQ“KNNQ”gppj{KNNQ“knq”gppj“knq”gppj“1PJ{KNNQ”GPPPJ {knq{knq 元Q \\元Q \\\\\\元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元“1pgpj{knqqpj\'1{2q.此外，我们需要下面写的符号。前四个是术语ψni，1did4.ψ“zrgpsqds，ψ”zgpsqds，ψ“zgpsqds，ψ”zsgpsqds，ψ“zzugpsqdsgpqdu，ψ”z“zugpsqdsqdpuqzupgpsq qdszupgpsq qdsdu”gpqduz我们在预处理阶段平均了gpqdu gpu的增量nviasUti“kn\'1"yj”1gpj{knqni\'jU“kn\'1"yj”0\'hpj{knkti\'j，其中最后，我们准备介绍二次变量V:Vn“ψndn\'1"yi”0psYtiknq'ψndn的预平均估计量n2ψnkn1{n"yi“1pniY q.（2.7）我们指出，Vn本质上是[5]中提出的估计量，不同之处在于我们在本文中只使用非重叠窗口。这使得更容易确定估计量的主导鞅mn，这在第3节和第4节中是必需的，而在[5]中研究的原始估计量的鞅ale部分的计算远不明显。正如我们将在下文中看到的，我们需要一个与Vn相关的渐近条件变量的一致估计，它被定义为Fn“2”\'1{2n3pψnqdn\'1"yi“0psYtiknq。

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2022-5-9 16:24:04

（2.8）我们回顾了一系列随机变量pYnqně1，其定义为pOhm, 度量空间E中的F、Pq和take值称为稳定收敛于极限Y，极限Y定义在扩展p上Ohm, F、 p的PqOhm, F、 Pq，如果对于任何有界连续函数F和任何有界F-可测随机变量Z，它认为erfpynqzs~nErf pY qZs，n~n8。（2.9）在s-Short中，我们使用符号Yndst'Y~nY。我们说Y是正态和随机方差Z的混合，并写出Y“M Np0，Zq，如果Y”ZU，其中U Np0，1q，Za0和U，Z是独立的。表示“锌”1{4npVn\'V q，我们开始第一个简单的结果，证明基本上遵循了[5,9]的工作。我们在第8节中提供了一个证明的草图。定理2.1。在条件Erpεtqsa8下，我们推导出zndst'YM ·MNp0，Cq与C“2θzpbr1spXtqq`ωψθψ˙dt。此外，我们得到了FnP'YC。我们注意到，由于zndst'YM和FnP'YC，以及稳定收敛的性质，研究统计满足zn？Fnd'YN p0，1q。在本文中，我们将首先推导出对pZn，fnq的渐近展开式，然后继续计算研究统计的相关Edgeworth展开式。示例2.2。g的主要例子是函数gpxq“x^p1\'xq。在这种情况下，我们得到了ψn”1，ψn“kn`212kn，ψn”，ψn“kn`224knwhen knis evens和ψn”kn`1kn，ψn“kn\'112kn，ψn”kn\'14kn，ψn“kn`224knwhen knis knis奇。此外，我们还得到了ψ“1，ψ”，ψ，“ψ”，ψ，“ψ”，ψ”，ψ，“ψ”，ψ”，ψ，ψ，ψ”，ψ，ψ，ψ，ψ，ψ，ψ，ψ“.3 Zn的随机分解在本节中，我们为前一节中定义的随机变量Zn的偏差修正版本提供了随机分解。这种二阶随机展开对于获得第4节和第5节中讨论的Edgeworth展开式至关重要。

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2022-5-9 16:24:07

由于估值器Vndein（2.7）的第一项使用0diddnkn来计算观测值，因此我们有效地估计了区间r0，dnkn上X的二次变化纳什。出于这个原因，我们考虑了经过偏差校正的统计数据Zn“Zn”\'1{4nzdnknNPBR1SPXTQDT。（3.1）很明显，统计学也满足定理2.1，因为修正在概率上收敛到0。然而，偏差可能会影响高阶渐近性。在下一步中，我们继续估计偏差，以构造一个可行的统计量。我们基本上遵循[4，第4节]中提出的程序。设pn为满足pn~n8，pn的整数序列n~n0和pn？n~n8，并设置Jn:“t1{n\'pn\'1，1{努。对于每个t P RDKNn、我们定义为：“ψnkn”npn"yi`knPJnpsYtiq'ψn2θψnpn"yiPJnpniY q，在t中是常数。在[4]中已经证明了这个局部估计对于pbr1spXtqq是一致的。因此，通过zèn“Zn”获得了统计数据的一个可能版本\'1{4nzdnknNPPBr1spxtqdt。（3.2）我们标记为1\'dnknn“Op1{2nq，这意味着zèn\'Zn“oPp1{4nq.（3.3）在下一步中，我们将展示zèn“Mn`1{4nnn这里有一些紧的随机变量序列。在详细讨论之前，我们需要更多的注释。我们再次考虑SDE定义（2.1）。然而，在本节中，我们假设br1s，br2sP CpRq。在这个光滑性假设下，我们应用伊藤引理，并在随机微分形式asdbrkspXtq中写入brkspXtq，k“1，2“brk.1spXtqdWt`brk.2spXtqdt。同样，我们定义了过程brk.k.kspxtqk，k，k”1，2。在本文中，我们还将使用shor thand符号sbrk，…，kdst“brk，…，kdspXtq，d“1，2，3，k，…，kd”1，2。（3.4）以下过程，即sytikn的一阶近似，将在整个证明过程中发挥重要作用：αtikn“br1stikn”Dεtikn。

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2022-5-9 16:24:12

（3.5）注意，从Sytiknv获得的αTikni量是在Tikna时刻冻结挥发过程，忽略漂移过程br2s。我们还需要定义函数gna和一个过程W pi，tq:gnpsq“kn\'1"yj”1gpj{knq1ppj\'1qn、 jnspsq，（3.6）W pi，tq“ztpi`1qkn^ttikn^tgnpu\'tiknqdWu.（3.7）我们注意到，对于sd0和sapkn\'1q，gnpsq消失n、此外，我们得到了恒等式DWtikn“W pi，tpi`1qknq。下一个命题，给出了Zèn的展开式，是本节的中心结果。命题3.1.我们得到了Zèn“Mn”1{4nNn，其中mn“\'1{4nψndn\'1"yi“0”αtikn\'Erαtikn | Ftikns\'和Nn“"yk”1Nn，k`RnwithNn，1“2”\'1{2nψndn\'1"yi“0br1stiknztpi`1qkntiknνnipuqdWuNn，2”2\'1{2nψndn\'1"yi“0br1stiknb2.1stiknztpi\'1qkntiknzutikndWsW pi，uqgnpu\'tiknqdu，Nn，3”3{2nknpψnqψndn\'1"yi“0pbr2stiknq，Nn，4”3{2nknp2ψn′ψnq2ψndn′1"yi“02br1stiknbr1.2stikn`pbr1.1stiknqNn，5”2\'\'1{2nψndn\'\'1"yi“0sεtikn"yψnknnbr2stikn`br1。1.北卡罗来纳州\'1{2nψndnψnkn>>–ω\'n1{n"yi“1pεniq fif，Rn“opp1qq”其中νnipuq“br1.1stiknzutikn”2pWs\'Wtiknqgnps\'tikn\'W pi，sq‰dWs,gnpu\'tiknq\'br1.1stiknzutiknnps\'tiknqdsgnpu\'tikn\'tpi\'1qnupgnps\'tiknq\'ψnqds,ngnpu’tiknqbr2stikn。证据见第8节。第5.4节关于混合正态极限的渐近展开理论将解释数量pMn，Nnq的含义和渐近行为。在本节中，我们简要总结了[13]中提出的混合正态极限的鞅展开的主要元素。在一个过滤概率空间p上Ohm, F、 pFtqtPr0,1s，Pq，我们有一个辅助随机变量zn，满足zn“Mn`rnNn，其中nni是随机变量s的紧序列，prnq是满足rn~n0的正数序列（在我们的框架rn中）1{4n）。注意，我们在上一节中进行了这种类型的分解。

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大多数88

2022-5-9 16:24:17

此外，我们假设Mn是某些连续pFtq鞅pMntqtPr0，1swith Mn“0的一个终值。我们假设Mn（以及因此而来的Zn）在法律上稳定地收敛到一个混合法向极限M:Mndst'Y~nM“MNp0，Cq。这里，M定义在一个扩展p上Ohm, F、 p的PqOhm, F、 Pq。设fn为参考范围变量，此处为一般变量，但将在第5节中为Fnof（2.8）。我们对pZn，Fnq的渐近展开感兴趣。让pCntqtPr0,1表示MN和pMtqtPr0,1s的二次变化过程，定义在一个表达式p上Ohm, F，p的PqOhm, F、 Pq，对于Cn:“Cn”和Fn，我们分别表示Pn“r\'1npCn\'Cq和Pfn”r\'1npFn\'fq，其中C和F是一些随机变量。我们在[B1]（i）涉及函数稳定收敛的情况下施加以下关键假设。[B1]（i）pMn¨，Nn，pCn，pFnqdst'Y~npM¨，N，pC，pF q，（ii）每台TPR0、1s的MTN p0、Ctq。关于pZn，Fnq的Edgeworth展开式的所有信息都包含在两个随机符号σ和σ中，这两个符号将在下一小节中介绍。4.1随机符号σ和σ我们从随机符号σ开始。LetrF“F|σpM q。我们假设存在随机变量srcpzq，rNpzq，rF pzq，使得rcpmq”ErpC | rFs，rNpM q”ErN | rFs，rF pM q”ErpF | rFs。然后，我们通过σpz，iu，ivq“piuqrCpzq`iurNpzq`ivrF pzq.”来定义自适应（经典）随机符号σ。（4.1）预期随机符号σ更多地被涉及，并且只被隐含地给出。为此，我们定义了Φnpu，ixpereq“vuc”{2`ivF qpenpuq`1qψns（4.2），其中entpuq`uCnt{2q和ψ是一个截断泛函，它在r0中取值，满足至少（i）Prψn“1s”1\'opr1`κnq为n~n8的某些正常数κ，以及（ii）每当ψn“1”时Cn\'C有界。我们观察到，pentpuqqtPr0,1是一个指数鞅，在ψn截断下可积。

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2022-5-9 16:24:20

Φnpu的计算，vq可以像ψn“1一样进行，因为截断的影响是渐近可忽略的。对于α“pα，αq p n，让|α|”α`α。对于两个变量的函数，我们使用以下微分算子符号：dα“dαxdαx”和Bα“i'|α| dα。设置Φαnpu，vq”BαΦnpu，vq。我们假设“limn~n8r\'1nΦαnpu，vqe存在并具有形式Φαpu，vq”BαErexpp\'uC{2`ivF qσpiu，ivq（4.3）对于每个αpz`，其中σ由σ“jcjpiuqmivqnj（有限和）（4.4）给出，其中nj、mjP N和cj是随机变量。有关随机符号的详细信息，请参见[13]。N“Z`”t0，1，2，….注释4.1。我们注意，随机符号σ可追溯到[11]它处理与正常极限相关的马尔代尔扩张。另一方面，随机符号σ首次出现在[13]中，是由于极限的混合正态性。事实上，如果C是确定性的，由于ntpuq的鞅性质，我们可以通过一个合适的停止参数来假装ψn“1，并得到ψnpu，vq”0。这意味着σ“0.4.2 pZn，fnq的渐近展开式。我们通过σ“σ`σ”定义完整的随机符号σ。我们回顾fr om（4.1）和（4.4）Tσ和σ是具有随机系数的piu，ivq中的有限多项式。因此，σ允许分解σpz，iu，ivq“jcjpzqpiuqmivqnj（有限和）对于一些nj，mjP N.我们设置pZn，Fnq aspnpz，xq”Erφpz；0，Cq | F”xspFpxq（4.5）`rn"yjp | dzqmjp | dxqnj`Ercjpzqφpz；0，Cq | F | xspFpxq，其中φp¨；0，bq和pfpq分别表示p0n，bq和F的密度。我们注意到，由于条件的存在，将在稍后施加γ，pq“h:R|R|h是可测量的，|hpz，xq | Kp1 | z | | | x | qγ（.hpepk，γq，我们表示nphq“ErhpZn，Fnqszhpz，xqpnpz，xqdzdxˇˇˇˇ。我们现在正处于回顾基本结果的阶段。我们需要Malliavincalculus的元素来陈述它；主要概念参见例如书[8]。

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2022-5-9 16:24:24

接下来，为了简单起见，我们将只处理一维泛函mn和Fn，并将二维高斯过程作为输入过程。然而，就本文而言，这是足够的。对于H“Lpr\'1，1s^t1，2u，dt^νq，ν作为计数度量，让w”pwphqhphbe是一个与hilbe-rt-spa-ce H相关的高斯过程。也就是说，w是一个中心高斯随机变量族，使得H的erwphqwpgq“r\'1，1s^t1，2uhgdxdν。Malliavin导数用D表示，而它的对偶，也称为散度算子，用δ表示“D。对于可分离的bleHilbert空间E，定义了E值随机变量的Sobolev空间Ds，ppEq，其中s是可微性指数，p是可积性指数。我们只需写出Ds，pfor Ds，ppRq。设Ds，8pEq“pa1Ds，ppEq。对于多元函数U”pU，…，Udq，U的Malliavin协方差矩阵由σU给出：“pxDUi，DUjyHq1di，jdd.我们还设置了U：“detσU.除[B1]外，我们还将考虑以下条件。我们不认为下面的右值函数ξn是用来构造截断函数ψn.[B2]l（i） F P Dl,8和C P Dl,8.（ii）MnP Dl`1,8，FnP Dl`1,8，CnP Dl,8，NnP Dl`1,8和ξnP Dl,8.此外，对于每一个pa1，supnPN“}Mn}l`1，p`}Cn}l`1，p`}Fn}l`1，p`}Nn}l`1，p`}ξn}l,p*8[B3]（i）limn~n8Pr|n|1{2s“1.（ii）Cn|C|r1|n|1，其中p p0，1{3q是常数。（iii）对于任何pa1，lim supn~n8E“t|n|1”\'ppMn，fqa8和C\'1PSpa1Lp。[B4]l,m、 n（i）σ是形式为σpz，iu，ivq“"yjbjzkjpiuqmjpivqnjpbjP D4,8，mjd2，njd1q的随机符号（ii）存在一个随机符号σ，它有一个重新表示σpiu，ivq“"yjcpiuqmjpivqnjpcjpd”l,8，mjdm，njdnqand（4.3）对每一个αpz′保持不变。在假设[B5]中，术语Φn（见（4.2））涉及截断泛函ψn，如下所述。

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可人4

2022-5-9 16:24:28

假设ψ：R~nr0，在CpRq中，CpRq（CpRq）满足了CpRq（CpRq）的要求。在CpRq（CpRq）中，CpRq（CpRq）满足了《CpRq（CpRq）中，中国人民党（CpRq）中，中国人民党（CpRq）满足了中国人民党（CpRq）和中国人民党（pxq）的要求。让Qn“pMn，F q和RNN，F q和RNN”pNn，FQ和RNN“pNn”pNn，FN，FQ和RNN，Fnq和RNN，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，并定义了一个随机矩阵和一个随机的随机矩阵的随机矩阵的随机矩阵。一个随机矩阵。一个随机矩阵。一个随机矩阵是由一个随机的随机矩阵的ByRNBRNBRNNByn的4.6）函数ξn将在第8.5节中为我们的应用进行更详细的设置。[B5]对于每个αpz`和一些ε“ε”εPαqp p0，1q，lim supn~n8suppu，vqP∧np2，qqqr\'1n | pu，vq | 3 |ε|Φαnpu，vq | 8，其中∧np2，qq“tpu，vq；| pu，vq | r | qnu和q”p1 aq{2l maxp5，2rpn`3q{2sq.设K，γpp0，8qandκpp0，1q为任意数.假设条件rB1s，rB2sl, Rb3s，rB4sl,m、 nand Rb5是满意的。然后对于一些常数K“KpK，γ，κq，suphPE pK，γqnphqdKP“|ξn|a1{2‰κ`oprnq.（4.7）换句话说，如果事件被ξ截短，Pnq是pZn，Fnq对分布的二阶Edgeworth展开。参见[13]有关上述定理和其他信息的详细信息，以及AlSorXIV 12 10.3680v3的更新。利用Malliavin微积分推导了辛展开式pn。此外，我们需要Malliavin协方差的非简并性，因为渐近e展开的有效性问题与基础泛函的分布规律性有着密切的关系。即使在经典扩展中，如果[B3]（iii）不满足，也有一个反例。条件[B5]也是对同一类型的不确定性的要求，但考虑与预期随机符号对应的校正项。备注4.3。在Pr|ξn|271; 1{2s“1”Oprκnqf代替[B3]（i）的Stronger假设下，我们可以简单地使用ψn“ψpξnq而不使用ξ，并删除（4.7）右侧的第一项。

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mingdashike22

2022-5-9 16:24:31

虽然在证明中重新构造了更深的截断（4.6），但这使得结果的表示稍微简单一些。在这种情况下，由于截断减少，条件[B5]可能会变得更强。5主要结果：预平均估计的渐近展开在本节中，我们利用了混合正态极限的一般理论的结果，得到了预平均估计的Edgeworth展开式。5.1假设我们将（2.8）中定义的Fn视为C的一致估计量。我们用Cb表示R上的光滑函数集，其所有正序导数都有界。Letapxq“2θ^pbr1spxqq`ωψθψ˙。我们假设suppLtXu是紧的，ω是正的。我们对过程br1s和br2s施加以下条件。[V]（i）br1s，br2sP cb和br1spxq“0表示x P支持。（ii）rk”1 | dkxapXq | 0.备注5.1.如果BR1为非负，条件[V]（ii）可替换为（ii）rk“1 | dkxbr1spXq | 0.备注5.2.通过假设，supp LtXu是紧的。我们不假设在Br1的整个域上的差异具有一致的椭圆度。微观结构可以作为Mn分布的一个更平滑的部分。另一方面，我们需要定理2.1中定义的C分布规律。实际上，这将满足C是随机的。如果C是确定性的，则交感膨胀问题成为经典问题，可由[11]处理。我们参考第6节来阐述这种设置。5.2稳定极限理论我们在前一节中看到n，σ的随机系数完全取决于条件[B1]中发现的稳定收敛极限。因此，我们需要计算M，N，pC，pF。在本节中，我们假设εti“ω其中对于高斯过程w“pwphqhph，Bt”wpr\'1，ts^t2uq表示tpr\'1，1s，以及Wt“wpr0，ts^t1uq表示tpr0，1s。我们假设w与X无关。

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可人4

2022-5-9 16:24:34

W和B方向上的Malliavin导数分别用dp1qa和Dp2q表示。该模型（5.1）的特定高斯框架是为了能够使用Malliavin演算。我们的结果可以直接推广到更一般的设置εti“在对随机过程pωtqtě0（cf.[5]）的温和假设下，ω适应于过滤Gt“σpX，pWsqsdtq。然而，我们省去了这种情况的详细阐述。与gnpsq和W pi，tq类似，我们定义了HNPSQ“kn\'1"yj”0hpj{knq1ptj\'1，tqsjsq，εpi，tqΩ”我们把εtikn“εpi，tpi\'1qkn\'1q”标记为εpi，tpi\'1qkn\'1q。让αpi，uq“br1stiknW pi，uq\'εpi，uq，uq，并注意到αpi，uq，有条件地在Ftikn上，按n0，zutikn\'1rgnpu\'1stinq\'分布\'1nhnpu\'tiknqsdu,。我们将对F“pFtqtPr0,1s进行过滤，每个fts由X，twsusr0，tsa和tbsusr\'1，ts生成。它的引理意味着mn是F-连续鞅mnt”2的终值根据表达式（5.2），我们观察到NSatis fiescn“xMny”4的二次变化\'1{2npψnqdn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknαpi，uqrdαpi，uqs，其中αpi，uqs”rpbr1stiknqgnpu\'tiknq`ω\'1nhnpu\'tiknqsdu。（5.3）在讨论s表极限定理之前，我们观察到NN中包含的一些项以概率收敛。我们想把它们和别人分开吃。引理5.3。我们得到了概率Nn，kP'YNk，k“2，3，4的收敛性，其中，在3.1命题和N“θpψqψbr1subr2.1sudu，N”θpψqψpbr2suqdu，N“θp2ψ'ψq2ψ2br1subr1.2su'pbr1.1suqdu”中定义的量，在回顾了前面章节pcn中使用的以下符号后\'1{4npCn\'Cq，pFn“\'1{4npFn\'Cq，我们准备好陈述我们的稳定收敛结果。定理5.4。

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nandehutu2022

2022-5-9 16:24:38

我们得到了稳定收敛的Mn，Nn，pCn，pFn\'dst'Y~npM，N，pC，pF q\'Mn^u，z∑sds˙，其中u“u”u∑s∑s∑s“0，u”u“z”pbr1ss，br2ss，br1.1ssqdWs`k“2nd∑s”2θ^pbr1ssq`ωθψψψ˙，br2ss，br1.1ssq，br2ss1。“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的PBR1SSSSQQQQQQQ商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商p4ψ′ψqψyz′ψy‰`4ωψψ“ψy`ψz‰`3ωψθ.证明.见第8.5.3节σ和σ的计算.现在计算σ是很简单的.实际上，定理5.4和（4.1）中的极限混合范数意味着σpz，iu，ivq”piuqHpzq`iuH`ivHpzq（5.4），其中Hpzq“zs∑sdss∑sds，H”u，Hpzq“zs∑sdss∑sdss∑sds”。现在，我们将σ的计算传递到σpz的计算中.期望随机符号∑3以αpu为特征，vq“BαErexppp`u{2`ivqCqσpiu，ivqs（5.5）在目前的情况下。使用Malliavin演算的技术，我们得到了以下结果。命题5.5。我们得到了恒等式σpiu，ivq“iu^'u`iv˙H`iu 710'u`iv˙H，（5.6）其中cpxq”“pbr1sqpqq`ωψθψθφ305和H”“4θψpbr1sqr1pxqdqdqdr 380t，pbr9t'qdrcpXrqpDp1qtXrq`cpXrqDp1qtDp1qtXridr˙dt。证据参见第8.5.4节预平均估值器的渐近展开式，考虑到f（5.4）和（5.6），我们观察到全随机符号σ“σ`σ”由σpz，iu，ivq“"yj”1cjpzqpiuqmivqnj（5.7）给出，其中m“1，n”0，cpzq“H，m”0，n“1，cpzq”Hpzq，m“0，cpzq”Hpzq，m“1，n”0，cpzq“H，m”1，n“2，cpzq”H，m“3，n”1，cpzq“H”，cpzq“n”0“H.我们继续按照第4.2节的规定，确定密度pnpz，xq bypnpz，xq”φpz；0，xqpCpxq（5.8）`1{4n"yj“1p\'dzqmjp\'dxqnj`φpz；0，xqpCpxqErcjpzq | C”xs，根据（4.5）。对于hpepk，γq，我们还记得符号nphq“ˇˇErhpZèn，Fnqszhpz，xqpnpz，xqdzdxˇˇˇ。以下定理是本文的主要结果。定理5.6。

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nandehutu2022

2022-5-9 16:24:42

假设条件rV s满足。设Ka0，γa0。然后是suphpe pK，γqnphq“op1{4nqProof.参见第8节。这个定理并不是故事的结尾。从统计学应用的角度来看，与学生化统计学有关的Edgeworth展开更有趣。因为（5.7）中σ的表示与[10，第6节]中的相同，我们很容易得到Zèn的二阶Edgeworth展开{Fn.推论5.7.假设条件rV s已满。我们通过恒等式Hkpzq“zrHk，k”1，3定义随机变量r。然后Zèn{Fn的二阶Edgeworth展开式由pzèn{Fnpyq”φpy；0，1q`给出1{4nφpy；0，1 q“y\'ErHC\'1{2s\'ErHC\'3{2s\'ErHC\'5{2s\'ErrHC\'1{2s\'y\'ErrHC\'1{2s\'ErrHC\'1{2s\'ErrHC\'1{2si注意，二阶项中涉及的多项式是3阶奇数。然而，在一般情况下，它与三阶Hermite多项式无关，后者出现在i.i.d观测框架下的经典Edgeworth展开中，参见[2.3]中的e.5].6恒定波动的情况本文的主要重点是研究当估计对象C为随机m时的渐近展开，如前几节所示。然而，我们注意到，当br1spxq“b对所有x都适用时，rV s（ii）的条件并不满足。特别是，推论5.7的渐近展开不能直接应用于常数波动的情况。为了完整性，我们在设置br1spxq”b时同样地给出了二阶边正交展开，这依赖于之前的工作[11]本文研究的是与经典中心极限定理有关的符号表示，它不需要条件rV s（ii）。我们注意到，在恒定波动的情况下，符号密度pZèn{fn的表达式相当简单。

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2022-5-9 16:24:47

特别是，在注释4.1的v ie w中，我们得到了σ“0”。因此，H“H”0。推论5.7的以下版本是[11，定理1]的一个结果。定理6.1。假设br1spxq“b与条件rV s（i）相同。然后Zèn{？fn的二阶Edgeworth展开式由pzèn{？Fnpyq“φpy；0，1q`1{4nφpy；0，1qc\'1{2“y\'ErHs`rH\'3rH\'y\'rH\'rHi证明。首先，我们注意到，条件nrv s（i）暗示了[11，定理1]的假设。对于pZèn，Fnq对[11，定理1]还没有得到渐近展开式，因此我们需要对studentizedstatistic Zèn{fnn直接进行随机展开在这里，我们回顾了“r\'1npFn”的注记，回顾了“r\'1npFn”的注记，我们回顾了“r\'1npFn”的注记，回顾了我们的注记，我们已经有了MnC1{2和NnC1，我们有了MnC1{2和NnC1和NnC1.2和NnC1和NnC1和NnC1.2.2.2.2.2.2\'MNPF2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.pCC,“：pM，η，ξq，其中ξa和η遵循[11]定理1中的符号。回顾方程（4.1）和（5.4），我们观察到恒等式η| M“zs”ErHsC1{2\'zrH2C1{2和Erξ| M“zs”2zrHC1{2。[11，定理1]的二阶Edgeworth展开意味着公式pzèn{Fnpyq“φpy；0，1q`rnBypErξM”y |“ys.一个简单的计算意味着期望的渐近展开。7例例7.1.设Aa0和σa0。

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2022-5-9 16:24:51

我们考虑Black-Scholes模型来净化前面几节的计算：dxtt“aXtdt`σXtdWt。在这个框架中，我们有br1st”σXt，br1.1st“σXt，br1.2st”aσXt，br2st“aXt，br2.1st”aσXt，br2.2st“aσXt，br2.2st”aXt。然后，我们立即得到c“2θz^σXt`ωψθθψψ˙dt，rH”2θsψψsψXt` dtsρsrH 6;我们观察到，DP1Q1QQP是令人满意的，对于t（283）ψ，Dp1qsXt“AD1QSXXTDT”是“AD1QSXTDT”是“AD1QSXXXXXTDT”是，对于t（283）是，DP1QSX”AD1QXXXXXXXXXXTDT”是“AD1QXXXXXXTDT”是“D1QXXXXXXTDT”是”的，DP1QSXXXDWDWT，DP1QSDWDWDWT是，DP1QSX是，是“XXXXX是”是”是。这是很容易容易容易地简化的“DP1QSX”是“XX”是“公司”是“公司”的意思。这很容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易地地是”的。这是在”的“公司的“公司”是”的“公司的“tcpXrqXrdr˙dt，H“2θψσψzXt^t“cpXrqXr`cpXrqXr‰dr˙dt.使用上述量，我们可以得到Zèn{？fn的二阶Edgeworth展开式。使用推论5.7.8证明8.1定理2.1的证明草图，在不丧失一般性的情况下，我们假设过程br1和br2是有界的。这是按照标准的局部化过程完成的，请参见[1]详细信息。由αtikn“br1stiknDWtikn’sεtikn”过程给出的syticonis的三阶近似（另见命题3.1的陈述）。因此，我们得出ZnisMn中的支配项\'1{4nψndn\'1"yi“0”αtikn\'Erαtikn | Ftikns*。使用符号βtikn“1{4nψn'αtikn'Erαtikn | Ftikns'，我们观察到βtikns Ftpi`1qkn可测量且Erβtikn | Ftikns“0成立。此外，我们还得到了dn\'1"yi“0Er`βtiknFtikns”2\'1{2npψnqdn\'1"yi“0^pbr1stiknqψnknn`ψnωkn˙P'Y~nC.因此，第一个主张来自[7]的定理IX.7.28。至于第二种说法，我们再次观察到，αtikn过程给出了Syticonis的一阶近似值。此外，我们还发现FNSTATIES中的主要术语2\'1{2n3pψnqdn\'1"yi“0Er`αtikn| Ftikns”2\'1{2ndn\'1"yi“0^pbr1stiknqknn′ψnωψnkn˙P'Y~nC.8.2命题3.1的证明和定理5.4命题3.1的证明。

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2022-5-9 16:24:55

如前一节所述，我们应用一个局部化过程，并假设所有形式的过程brk。。。kms，ki“1，2，是bo unded。我们将多次应用以下版本的Burkholder’s sinequality s。对于（2.1）中具有有界漂移和扩散项的任何过程U和任何pě0，我们有| Ut | Us | psdCp | t | s{2.（8.1）。因此，我们可以将此结果应用于以下项：br1s、br2s、br1.1s、br1.2s、br1.2s、br2.1s和br2.2s\'1{4nVn“\'1{4nψndn\'1"yi“0`sXtikn`2\'1{4nψndn\'1"yi“0sXtiknsεtikn`\'1{4nψndn\'1"yi“0”sεtikn\'ψnωkn`\'1{4nψndnψnkn>>–ω\'n1{n"yi“1pYniq文件：Rp1qn`Rp2qn`Rp3qn`1{4nNn，6`oPp1{4nq.（8.2）让我们先来看看术语Rr2sn。由于“br1stiknDWtiknztpi\'1qkntikn”pbr1su\'br1stiknqdW pi，uq\'gnpu\'tiknqbr2sudui，我们得到了rP2qn”2\'1{4nψndn\'1"yi“0#br1stiknDWtiknsεtikn`ztpi`1qkntiknpbr1su`br1stiknqdW pi，uq^sεtikn+`2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi\'1qkntikntingnpu\'tiknqbr2sudu^sεtikn”2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknsDWtiknsεtikn`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1.1stiknztpi`1qkntiknzutikndWsdW pi，uq`br2stiknψnknn,sεtikn`oPp1{4nq”：Rp2.1qn`1{4nNn，5`oPp1{4nq.（8.3）在上述计算中，oPp1{4nq误差项是通过将（8.1）应用于过程br1.1和br2s获得的。让我们提供一些细节。（8.1）应用于过程BR2simpleser | br2su | br2stikn | psdCpp{4n.对于每一个0diddn\'1和tikndudtpi`1qkn.然后，我们得到ztpi`1qkntiknpu`tiknqpbr2su`br2stiknqdu^sεtikn“OPpnq和2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi\'1qkntikningnpu\'tiknqpbr2su\'br2stiknqdu^sεtikn”OPp1{2nq，其中我们使用了X和ε的独立性，以及上面第二个结果中ε的i.i.d假设。现在，我们转到Rp1qn的展开式。

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nandehutu2022

2022-5-9 16:24:59

根据（3.6）中定义的pi，我们定义了一个新的流程Xpi，即“TTIKNPU”tiknqbr1sudWu‘TTIKNPU’tiknqbr2sudu。我们标记为“Xpi，tpi’1qknq。现在，伊藤的引理YIELDSPSTIKNQ“2ztpi’1QNTIKNPPI，uqpbr1sudW pi，uq‘gnpu’TIKNQ2SUDUQ‘tpi’。因此\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknXpi，uqbr1sudW pi，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknXpi，uqgnpu\'tiknqbr2sudu`\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknpgnpu\'iknNqpbr1suqdu”：Rp1.1qn`Rp1.2qn`Rp1.3qn。这里，Rp1.1qn分解为Rp1.1qn“2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknzutiknbr1ssdW pi，sqbr1ssudw pi，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi\'1qkntiknzutiknps\'tiknqbr2sds br1sudW pi，uq”2\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr1stiknqztpi`1qkntiknWπ，uqdWπ，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr1.1stiknztpi\'1qkntiknzutiknpWs\'WtiknqdW pi，sqdW pi，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknztpi\'1qkntiknzutiknps\'tiknqdsdW pi，uq\'2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr1.1stiknztpi`1qkntiknzutikndWsW pi，uqdW pi，uq`oPp1{4nq”：Rp1.1.1qn`Rp1.1.2qn`Rp1.1.3qn`Rp1.1.4qn`oPp1{4nq.（8.4）使用（8.2），（8.3）和（8.4），我们立即观察到RP1.1.1qn“\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr1stiknDWtiknqDErpbr1stiknDWtiknq | Ftikns和mn”Rp1.1.1qn`Rp2.1qn`Rp3qn。关于Rp1.2qn，我们进行类似的操作，得到了Rp1.2qn“2”\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknztpi\'1qkntiknW pi，uqgnpu\'tiknqbr2sudu\'2\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr2stiknqztpi\'1qkntiknzutiknps\'tiknqds gnpu\'tiknqdu\'oPp1{4nq“2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknztpi\'1qkntiknW pi，uqgnpu\'tiknqdu`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2.1stiknztpi\'1qkntiknzutikndWsW pi，uqgnpu\'tiknqdu`\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr2stiknqztpi\'1qkntiknqdu\'tiknqdu,\'oPp1{4nq”：Rp1.2.1qn`1{4nNn，2`1{4nNn，3 ` oPp鉴于（8.4）和（8.5），我们注意到Ito的产品规则yieldsRp1.1.3qn`Rp1.2.1qn“2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknDWtiknztpi\'1qkntiknpu\'tiknqdu”2ψnkn3{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknDWtikn”：1{4nNp1qn，1。

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大多数88

2022-5-9 16:25:03

（8.6）最后，我们来看一下Rp1。3qn和V.对于这两个术语，我们都使用pbr1suq“pbr1stiknq`2zutiknbr1s`br1.1ssdWs`br1.2ssds\'`utiknpbr1.1ssqds。然后，回顾Zènin（3.2）的定义和估计值（3.3），我们得到了rP1.3qn\'\'1{4nzdnknnpbr1。1“苏QDU”2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr1.1stiknztpi\'1qkntiknpgnpu\'tiknq'ψnqpWu\'Wtiknqdu`\'1{4nψndn\'1"yi“0”2br1stiknbr1.2stikn`pbr1.1stiknqiztpi`1qkntiknppgnpu`tiknqq`ψnqdu”：1{4npNp2qn，1`Nn，4q.（8.7）使用（8.4），（8.6），（8.7）和伊藤公式，我们得到了Rp1.1.2qn`Rp1.1.4qn`1{4n\'Np1qn，1\'Np2qn，1\'\'1{4nNn，1.这完成了命题3.1.定理5.4.的证明。我们写了“dn\'1"yi”0χni，1，Nn“"yk”2Nn，k\'dn\'1"yi”0χni，2，pCn“Kn\'dn\'1"yi”0χni，3，pFn“Ln dn\'1"yi”0χni，4，其中χni，1”\'1{4nψn\'αtikn\'Erαtikn | Ftikns\'，χni，2“2\'1{2nψnbr1stiknztpi`1qkntiknνnipuqdWu`2\'\'1{2nψnsεtiknψnknnbr2stikn`br1。1斯蒂克尼克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努`\'\'1{2nψn2ψnpknqkn"yj“1”2ω\'\'pεnikn`jq‰，χni，3“4\'3{4npψnqztpi`1qkn\'1tikn`1`αpi，uq\'Erαpi，uq | Ftiknsrdαpi，uqs，χni，4“2\'3{4n3pψnq\'αtikn\'Erαtikn | Ftikns\'，Kn\'\'1{4n)4\'1{2npψnqdn\'1"yi“0ztpi`1qkn\'1tikn\'1Erαpi，uq | Ftiknsrdαpi，uqs\'C,，Ln”2\'3{4n3pψnqdn\'1"yi“0\'psYtiknq\'αtikn\'\'\'1{4n)2在（5.3）中引入了1{2n3pψnqdn\'1"yi“erαtikn | Ftikns\'C,，以及数量rdαpi，uqs。我们观察到knp'Y~n0和LnP'Y~n0。我们记录了αtikn，有条件地在Ftikn上，以n^0，ψnkn的形式分布npbr1stiknq`ψnωkn˙。然后对于“pχni”pχni，1，1，2，2，3，χni，4 Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了0.5Q我的pχni，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4 Q我们获得了1，4 Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了1.1.5I，1.5Q我们获得了1.5我的1.5I，0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0个更我的人，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2 5.4.对于任何δa0和1dkd4，我们观察到“0Er |χni，k | t |χni，k |δu | Ftiknsdδ2dn\'1"yi”0Er |χni，k | FtiknsdCknn~n0。现在，假设Q是一个有界连续鞅，xW，Qy“xB，Qy”为0。

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mingdashike22

2022-5-9 16:25:08

[5] ）表明，呃χni，kpQtpi`1qkn\'Qtiknq | Ftikns“0。这意味着dn\'1"yi”erχni，kpQtpi`1qkn\'Qtiknq | Ftikns~n0。然后，我们使用[7]的定理IX.7.28来完成。8.3 CForC的非简并性“2θz^pbr1suq`ωψθθψ˙du，我们得到dp1qrc”8θrzr^pbr1suq`ωψψ˙˙br1suqdruand，我们为dpr0编写了dpqdrqdrqdr 0“zt^8θr^pbr1suq`ωψθψ˙br1supbr1suqDp1qrXudu˙dr.Then C的Malliavin协方差σC”σp1q，即}DC}H”σp1q。我们将处理由随机积分方程“Xt”\'X ` tVp ` tVpzXsq"dWs ` tVp xsqdt}qd，由给定的系数表示“·br1spxp1qq, Vpxq“br2spxp1qqapxp1qq对于x“pxp1q，xp2qq，~br2s”br2s\'2\'1br1spbr1sqqandapxp1qq“2θ^pbr1spxp1qqq`ωψθψ˙已定义。条件[V]表示H¨ormander conditionierv；Vspxp1q，0q”Rp@xp1qPSuppltXuqlierv；Vand V生成的李代数Vs定义如下。V和W的Lie括号由V，W spxq“DV pxqW pxq\'DW pxqV pxq给出，其中DV pxq是V在x处的导数。然后，我们用LierV定义Lie代数；Vs“spanTj”0∑j\'，其中∑“tVu和∑j”trV，Vis；vp∑j\'1，i“0，1u（jě1）。然后可以为每t P，1s推导出tσptq 1p261p（8）。

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2022-5-9 16:25:11

有关详细信息，我们请读者参考[10,12,13]。8.4设置SNA和pMnt的局部非退化，Cq pMnt的Malliavin协方差矩阵，Cq由σpMnt表示，Cq“·σpn，tqσpn，tqσpn，tqσp1q.回想一下αpi，tq“br1stiknW pi，tq`εpi，tq，W pi，tq”ztpi`1qkn^ttikn^tgnpu` tiknqdWu，εpi，tq“ω1{2nztpi\'1qkn\'1^ttikn\'1^t\'hnpu\'tiknqdu。用xUy表示U的二次变化过程，我们得出xαpi，¨qyt“pbr1stiknqztpi\'1qkn^ttikn^tgnpu\'tiknqdu`ωnztpi\'1qkn\'1^ttikn\'1^thnpu\'tiknqdu。和dp1qrw pi，tq“gnpr|tikn|tikn^t，tpi`1qkn^tsprq”gnpr|tikndtikn，tpi`1qknsprqtrdtu。显然，Erαtikn|Ftikns”pbr1stiknqψnknn`ωnztpi\'1qkn\'1tikn\'1hnpu\'tiknqdu。从“2”开始\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkn^ttikn^tαpi，uqdαpi，uq。”\'1{4nψndn\'1"yi“0αpi，tq\'\'xαpi，¨qyt（，后面是dp1qrmnt”\'1{4nψn^dn\'1"yi“0#2απ，tq\'pbr1sqtiknDp1qrXtiknWπ，tqp0，tiknsprq`br1stiknDp1qrWπ，tq\'\'2br1stiknpr1sqtikndp1qrxtiknztpi`1qkn^ttikn^tgnpu`tikqdup0，tiknsprq+\'\'1{4nψndn\'1"yi“0<<dn\'1"yl“i\'12pbr1sqtlknDp1qrXtlkn”αpl，tqW pl，tq\'br1stlknztpl\'1qkn^ttlkn^tgnpu\'tlknqdu*`2αpi，tqbr1stiknGiprqtrdeff Iiprq.和dp2qrmnt\'\'\'1{4nψndn\'1"yi“02αpi，tqω\'1{2nhnpr\'tiknqptikn\'1^t，tpi\'1qkn\'1^tsprq\'\'1{4nψndn\'1"yi“02αpi，tqω其中Ii“ptikn，tpi\'1qkns，Ii，j”ptikn\'j\'1，tikn\'js，我们使用符号giprq“rkn\'1j”1gpj{knqIi，jprq和Hiprq“rkn\'1j”0\'hpj{knqIi，jprq。

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2022-5-9 16:25:15

因此，由σMnt“σpn，tq”pψnqdn\'1"yi“0ztpi`1qkntikn<<2表示的Mntis的马列文协方差矩阵\'1{4nαpi，tqbr1stiknGiprqtrdtu`1{4ndn\'1"yl“i`12pbr1stlknq^DrXtlkn\'1{2n\'αpl，tqW pl，tq\'br1stlknztpl\'1qkn^ttlkn^tgnpu\'tlknqduEUR\'\'1{4nαpi，tqω交叉Malliavin协方差xMnt，CyHof pMnt，Cq由σptq“ψndn\'1"yi”0ztpi`1qkntikn#~2给出\'1{4nαpi，tqbr1stiknGiprqtrdtu\'21{4n^p"yl“i`1pbr1sqtlknDp1qrXtlkn\'1{2n“αpl，tqW pl，tq\'br1stlknztpl\'1qkn^ttlkn^tgnpu\'tlknqdu^8θr^pbr1suq`ωψθψ˙br1ssupr1suqdp1qrxudu ff+dr。现在，让σpn，tq“∑pn，tqσpn，tqσpn，tqσptq.然后，我们将σpn，tq修改为“tpp`1qknby¨σpn，tq”¨σpn，tq¨σpn，tq¨σpn，tq¨σpn，tq¨σpn，tqσptq”pt“tpp`1qknqwith∧σpn，tq”pψnqp"yi“0ztpi`1qkntikn”2\'1{4nαtiknbr1stiknGiprqidr`pψnqp"yi“0ztpi`1qkn\'1tikn`1r2\'\'1{4nαtiknω\'1{2nHiprqsdr`pψnqp"yi“0ztpi`1qkntikn^<<1{4np"yl“i`12pbr1sqtlknDp1qrXtlkn\'1{2n“αtlknWtlkn\'br1stlknψnknn|ff dr.和|σpn，tq“ψnp"yi”0ztpi`1qkntikn#<<1{4np"yl“i`12pbr1sqtlknDp1qrXtlkn^\'1{2n“αtlknWtlkn\'br1stlknztpl`1qkn^ttlkn^tgnpu`tlknqdu^8θr^pbr1suq`ωψθψ˙br1ssupr1suqdp1qrxudu ff+dr，分别在t”tpp`1qkn进行评估。

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2022-5-9 16:25:19

LetJp1qn，l“\'1{4nWtlkn“\'1{4nztpl\'1qkntlkngnps\'lknNQDWS和JP2QN，l“\'\'1{4nεtlkn\'\'ω\'3{4nztpl\'1qkntlknhnnps\'lknnqdBs。定义为“αtlkn”1{4n`br1stlknJp1qn，l`Jp2qn，l和αtlknWtlkn`br1stlknψnknn“br1stlkn`Wtlkn`ψnknn`εtlknWtlkn“1{2nJp3qn，l`1{2nJp4qn，l`1{2nJp5qn，lwhereJp3qn，l“\'1{2nbr1stlknztpl\'1QKNTLKDWS2GNPS\'lknnqzstlkndWugnpu\'lknnqdWuJp4qn，l“\'1{2nztpl\'1qkntlkndWsgnps\'lknnqzstlkndBup'ωq\'1{2nhnpu\'tlknqJp5qn，l\'\'\'1{2nztpl`1qkntlkndBsp\'\'ωq\"1{2nhnps\"tlknqzstlkndWugnpu\"lknnqWe声称，对于每一个qa1，支持>>>1{2np"yi“0Cpi，pq>>>>q”Op1{4nq（8.9）作为CPI的n~n8，pq“\'\'1{4nαTikNb1StIkn1{4n^p"yl“i`1pbr1stlknq^\'1{2nzIiDp1qrXtlkndr˙\'1{2nrαtlknDWtlkn\'br1stlknψnknnqs。我们有CPI，pq“^pbr1stiknqJp1qn，l`br1stiknJp2qn，l˙^1{4np"yl“i`1pbr1stlknq^然后根据[13]中的引理5得出估计值（8.9）。通过使用（8.9），我们使用eσMntpp`1qkn“pψnqp"yi”0ztpi`1qkn#\'\'1{4nαtiknbr1stiknGiprqi`<<1{4np"yl“i`1pbr1stlknqDp1qrXtlkn\'1{2nr2αtlknDWtlkn\'2br1stlknψnknnqs off`“2\'\'1{4nαtiknω\'1{2nHiprqi+dr`OLqp1{4nq^σpn，tpp`1qknq`OLqp1{4nqas n~n8均匀地分布在p中，对于每一个qa1。也就是说，支持，pq:t“tpp`1qkn，p”0，…，dn\'1>>σpn，tq<<σpn，tq>>q”Op1{4nqf对于每一个qa1.以类似的方式，我们还获得了支持，pq:t“tpp`1qkn，p”0，…，dn\'1>>σpn，tq>σpn，tq>>q”Op1{4nqas n~n8对于每一个qa1。这样，我们得到以下结果。引理8.1.支持，pq:t“tpp`1qkn，p”0，…，dn\'1>>σpn，tq'>σpn，tq>q”Op1{4nqas n~n8代表每一个qa1。通过mnppq“pψnqp"yi”0ztpi`1qkntikn”定义mnppq\'1{4nαtiknbr1stiknGiprqidr`pψnqp"yi“0ztpi`1qkn\'1tikn`1r2\'\'1{4nαtiknω通过柯西-施瓦兹不等式，我们定义了∧σ`n，tpp`1qkn“∧σpn，tpp`1qknqσptpp`1qknq''1qknq'σpn，tpp`1qknqěmnppqσptpp`1qknq.（8.10）让un“tdn”{2uknnand让pn“tdn{2u\'1.Set^mn”mnppnq。

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2022-5-9 16:25:24

定义snbysn“mnσpunq`ψ^mn2c”,其中，CpRq中的ψ：R~nr0，1s满足ψpxq“1 if | x | 1{2和ψpxq”0if | x | 1。然后，我们观察到sně1{2 if^mn 271; c和sně2\'1^mnσpunqotherwise.Lemma 8.2。对于每个qa1，lim supn~n8Ers\'qnsa8\'1{2n`rbr1stiknsDWtikns`rsεtikns^pbr1stiknqψnknn`ωψnkn˙。然后，对于每一个qa1，nan和εtikngives>>>^mn\'m:n>>>q“Op之间的正交性1{4nqLet∏n“ttikn；i“0，…，dn\'1u.引理8.3.对于足够小的正数c，支持1{2P“detσpMnt，Cqasn‰”Opξnq，其中ξ为任意正数。证据在（8.10）、引理8.1和8.2的帮助下，我们得到了suptě1{2P”detσpMnt，Cqasn‰suptě1{2P”detσpn，tqasn‰suptP∏n；tě1{2P”detσpn，tqa1.5sn‰`sups，tnP“|detσpn，tq|detσpn，sq|a0.5sndsuptP∏n；tě1{2P”detσpn，tqa2sn‰`suptP∏n；tě1{2P |σpn，tq|0.5sn Op”ξnqdsuppěpnP“mnppqσptpp`1qknqa2sn‰`suptP∏n；tě1{2P”|σpn，tq'σpn，tq | 0.5sn‰`OpξnqdP“mnppnqσpunqa2sn‰`OpξnqdP“^mndc‰`OpξnqdP“m:ndc‰`Opξnq“Opξnq其中ξ可以是任何正数，如果我们选择一个足够小的正数c.8.5ξ的组成，我们再次考虑满足ψpxq“1 if | x |d1{2”和ψpxq“0 if | x |ě1.对于rn”1{4n，设ξn“r\'c{2npn\'Cq`2r1`4我们的研究人员，Cqs\'1ns\'1ns\'1\'rc{2NCC，其中ca0，c 0，P P p2q，1q为q“p1”q{2为一个固定的P P P P P 0，1{3q，1{3q。让{3q.3 q.Let 3.Let \\\\\"3.3.3.q.Let \\\"n\"n\"n\"n”n \\\"n\"n\"n\"n\"n\"n 34; n \\34; n\"n \"n 34; n\"nl因武断而搁置l P N.通过估计P“2r1`4来验证[B3]（i）是很容易的pMn，Cqs\'1ns\'1a2{5‰，借助于EMMA 8.3。条件[B3]（ii）通过定义立即出现。

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2022-5-9 16:25:27

条件[B3]（iii）来自引理8.2.8.6Φα的估计。nWe应验证条件[B5]以证明渐近展开的有效性。我们知道Φαnpu，vq“i |α| dαpu，vqEzentpuqdpiuMntqψpu，vqψn对于ψpu，vq“exppp\'uq`ivqCq。将使用FGH分解（[13]）：entpu，vqψpu，vq“Fntpu，vqGntpuqHntpuqwithFntpu，vq”exp piuMnt`ivCq，Gntpuq“exp^upC\'Ctq˙，Hntpuq”exp^upCnt\'Ctq˙。两次应用对偶性，我们得到了表示\'1{4nΦnpu，vq“21{2nψndn\'1"yi“0zdtds Enipu，vqt，swhereEnipu，vqt，s“E”Fntpu，vqGntpuqHntpuqΞnipu，vqt，s‰。函数nt，spu，vq由nipu，vqt，s“iu`entpuqψpu pu pu pu，vq1^”gnpΞtikqnpuΞ\'1{2nhnpt\'tiknqbr1stiknp'ωqDp1qs^entpuqψpu，vqDp2qtψn˙\'\'1{2nhnps\'tiknqgnpt\'tiknqbr1stiknp\'ωqDp2qs^entpuqbr1stiknDp1qtpψpu，vqψnq˙\'\'1{2nhnps\'tiknq\'\'1{2nhnpt\'tiknqp\'\'ωqDp2qs^entpuqψpu，vqDp2qtψn˙*毕竟，nipu，vqt，是Op1q密度的多项式，在lp意义上是稳定的。我们注意到函数tTh~n\'1{2nhnpt\'tiknq稳定为n~n8。通过应用最多8次的分部积分公式，遵循（a）-（h）程序（第911-912页[13]），我们可以得到估计值lim supn~n8supi“0，…，dn\'1supp，sPr0,1suppu，vqP∧np2，qq|Enipu，vqt，s|259; 8。事实上，对于ta1{2，我们利用了gntpu和gntpu的衰变，对于nC，v1{2，我们可以利用pu，vq，即引理8.3和8.2的pMNT，Cq的非退化性。对Φαnpu，vq的估计也是类似的。

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