这个过程模拟了过去交易对价格的影响，其动力学的最后一个术语是弹性效应。然后，连续时间动力学变成X=X+Z·∑（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYs+Z·（u（Xs）+as（σf）（Xs）- ρRs）dsR=R+Z·f（Xs）dYs+Z·（as（σf）（Xs）- ρRs）dsV=V+Z·YsdXs+Z·asf（Xs）ds。这是[4，命题1.1]的直接扩展。将vR′γ（t，x）定义为超级套期保值价格v′γ（t，x），但对于这些新的动态和Rt=0。以下说明vR\'γ=v\'γ，即增加弹性效应不会影响超级套期保值价格。提议3.1。在[0，T]×R.证明上v′γ=vR′γ。1.证明v′γ≥ vR′γ，它必须重现定理2.8的极限的论点，其中X的动力学的漂移部分不起任何作用。更准确地说，这些论点表明“v”γ≥ vR′γ。然后，我们使用v\'γ=\'v\'γ乘以（2.32）。对于相反的不等式，我们使用第2.2节的弱公式和简单的Girsanov变换。为了便于注释，我们限制为t=0。修正v>vR′γ（0，x），对于某些x∈ R.然后，我们可以找到k≥ 1，（c，y）∈ R×[-k、 k]满足v=c+yx和（a，b）∈ Ak，\'-γ（0，x）使VT≥ g（XT），其中（V，X，Y，R）由相应的初始数据和控制定义。我们假设a=a+Z·βsds+Z·αsdWsbe是a分解为It^o过程，见第1.1节。让QR~ P是概率度量，在该度量下，WR:=W-R·（ρRs/σ（Xs））ds是QR布朗运动，回忆（1.1）。然后，X=X+Z······（Xs）dWRs+Z·f（Xs）dYs+Z·（u（Xs）+as（σf）（Xs））dsY=Y+Z·（bs+asρRs/σ（Xs））ds+Z·asdWRsa=a+Z·（βs+αsρRs/σ（Xs））ds+Z·αsdWRsV=V+Z·YsdXs）ds。当将（a，b+aρR/σ（X），α，β+αρR/σ（X），WR）视为第2.2节中引入的规范空间C（[0，T]）的一个通用元素时，则qr就属于Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y），因此v>vγ（0，x）。因此，vR′γ（0，x）≥ v′γ（0，x）和thusvR′γ（0，x）≥ v′γ（0，x）乘以（2.32）。

4数值近似和示例在本节中，我们提供了一个数值格式的示例，该格式收敛于（1.17）的唯一连续粘性解，并具有线性增长。然后，在恒定市场影响和伽马约束的情况下，使用两个数值应用程序对该模式进行了示例。4.1有限差分模式图φ和h:=（ht，hx）∈ （0,1），定义（t，x，y，φ）：=-φ（t+ht，x）- yht-σ（x）Gh（t，x，y，φ）2（1- f（x）Gh（t，x，y，φ）Lh（t，x，y，φ）：=\'γ（x）- 其中Gh（t，x，y，φ）：=φ（t+ht，x+hx）+φ（t+ht，x- hx）- 2yhx。数值格式设置在网格πh:={（ti，xj）=（iht，x+jhx）：i上≤新界，j≤ nx}，对于某些nt，ntht=T∈ N、 nxhx=x- x、 对于某些实数x<x。换句话说，vh′γ定义在π上，对于i<nt，1，其解为（h，ti，xj，vh′γ（ti，xj），vh′γ）=0≤ J≤ nx- 1（4.1）πh上的vh′γ=^g∩ {（{T}×R）∪ （[0，T]∩ {x，x}式中（h，t，x，y，φ）：=（\'w- y）∨ （y）-w）∧ minl=1,2nLhl（t，x，y，φ）w，w和w如备注2.6所示。定理4.1。方程（4.1）允许一个唯一的解vh′γ，对于所有h:=（ht，hx）∈ (0, 1). 此外，如果ht/hx→ 0和hx→ 0，则vh′γ局部均匀收敛到（1.17）具有线性增长的唯一连续粘性解。证据一个解的存在性是显而易见的，它由线性生长| | w |+w |的映射所限定。我们现在证明了它的独特性。首先，我们观察到LH的y分量急剧增加Lhy（t，x，y，φ）=ht+σ（x）hx（1）- 域{y:Lh（ti，xj，y，φ）上的f（x）Gh（t，x，y，φ））>0≥ 0}. 解决方案的唯一性如下。很容易看出φ7→ S（·，φ）是非递减的，所以我们的方案是单调的。一致性是显而易见的。

此外，不难检查定理2.11的比较结果是否扩展到这个方程（函数类中的上解和下解的概念是等价的，因此≤ W≤ w）。然后，从[3，定理2.1]可以看出，vh′γ局部一致收敛到唯一的连续粘性解，且h（\'w）呈线性增长- φ) ∨ (φ - w）∧ F[~n]i[0，T）+（~n- ^g）1{T}=0。根据（2.32）、注释2.6和定理1.4，v′γ是上述方程的唯一粘度解。4.2数值例子：固定冲击情况为了说明上述数值方案，我们将自己置于更简单的情况下，其中f≡ λ>0和γ>0是常数。股票的动态由Bachelier模型dxt=σdWt给出，其中σ：=0.2。在下文中，T=2。首先，我们考虑一个三击K=-1<K=0<K=1，其中K+1/（2′γ）≤ K≤ K- 1/(2γ). 它的报酬是g（x）=（x- （K）+- 2（x）- K） ++（x）- K） +，并且可以显式计算相应的面部提升函数^g：^g（x）=γ（x- 十、-)[x]-,x++（x- K） 1[x+，K）+（x- K- 2（x）- K） ）1[K，x-)+γ（x）- x++2K- （K+K）[x]-,x++（2K）- （K+K））1[x++∞),其中x±=K±1/（2’γ）和x±=K±1/（2’γ）。在图1中，我们分别展示了伽马约束和市场影响的影响。如备注1.9所示，价格相对于影响参数λ不递减，且从下方受模型中获得的无影响或伽马约束的套期保值价格的限制。在曲线的左右尾部，我们观察伽马约束的影响。当伽马值为非正时，它在x=0时不工作。

市场冲击的影响仅在高凸度区域（约x=-1.5和x=1.5）或高凹度（约x=0）-2-1 0 1 20.0 0.2 0.4 0.6 0.8X价值函数-2-1 0 1 20.00 0.05 0.10 0.15 X价格差异图1：左：黄油期货期权的超级套期保值价格。虚线：λ=0.5，\'-γ=1.75；实线：λ=0，\'-γ=1.75；虚线：λ=0，’γ=+∞.右图：与λ=0、？γ=+∞. 虚线：λ=0.5，\'-γ=1.75；实线：λ=0，\'-γ=1.75。在图2中，我们进行了类似的计算，但对于看涨期权，其中g（x）=（x- （K）+- （十）- K） +，带K=-1<K=1，使得K+1/（2′γ）≤ K.整容函数^gis由^g（x）=γ（x）给出- 十、-)[x]-,x++（x- K） 1[x+，K）+（K- K） 1[K+∞)x±=K±1/（2’γ）-2-1 0 1 20.0 0.5 1.0 1.5 2.0xValue Function-2-1 0 1 20.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07X价格差异图2：左侧：看涨差价期权的超级对冲价格。虚线：λ=0.5，\'-γ=1.75；实线：λ=0，\'-γ=1.75；虚线：λ=0，\'-γ=+∞.右图：与λ=0、？γ=+∞. 虚线：λ=0.5，\'-γ=1.75；实线：λ=0，\'-γ=1.75。附录5以下是非常标准的，我们证明其完整性。引理5.1。上半连续（或下半连续）映射是粘性子解（或上解）κ[~n]1[0，T）+（~n- ^gK） 1{T}=0当且仅当它是F的粘性次解（分别为上解）,Kκ，-[~n]=0（分别为F,Kκ，+[~n]=0）。证据[0，T）上的等价性很明显，我们只考虑抛物线边界{T}×R,Kκ+≥ Fκ和F,Kκ，-≤ Fκ、 只有一个含义并非完全微不足道。a、 设v是F的粘性上解,Kκ，+[~n]=0，和∈ Cbe是一种测试功能，使（严格的）min[0，T]×R（v-ν）=（v）-对于某些x，则（T，x）=0∈ R

我们定义了一个新的测试函数φ∈ C、 φ（t，x）：=φ（t，x）- C（T）- t） ，所以tφ=t~n+C.对于足够大的C>0，minx∈Dκmin-tφ-σ（x）xxφ2（1）- f（x）xxφ），γ（x）- xxφ< 0at（T，x）。自，（严格）min[0，T]×R（v）-φ） =（v）-φ） （T，x）=0，它必须保持F,Kκ，+[φ]（T，x）≥ 0，因此（T，x）- ^gK（x）=~n（T，x）- ^gK（x）=φ（T，x）- ^gK（x）≥ 0.b.设v为F的粘性次解,Kκ，-[~n]=0，且∈ Cbe一个测试函数，使得（严格的）max[0，T]×R（v-ν）=（u）- ν）（T，x），对于某些x∈ R.然后是F,Kκ，-[~n]（T，x）≤ 0.通过用φ代替φ，定义为α>0asφ（t，x）：=φ（t，x+α（x- x） ）+C（T-t） ，我们在（t，x）处得到了一个新的测试函数。由于inf′γ>0，回忆（1.1），我们可以取足够小的α，使minx∈Dκ{γ（x）- xxφ（T，x）}>0。与上一步一样，我们现在可以选择C>0，例如Minx∈Dκ-tφ-σ（x）xxφ2（1）- f（x）xxφ）> 0at（T，x）。自从F,Kκ，-[φ] （T，x）≤ 0，我们得出结论：v（T，x）=φ（T，x）≤^gK（x）。参考文献[1]F.Abergel和G.Loeper。具有流动性成本和市场影响的或有权益定价和对冲。SSRN。[2] 巴勒斯。哈密尔顿-雅可比方程的粘度解，数学与应用第17卷。斯普林格·维拉格，1994年。[3] G.巴勒斯和P.E.苏加尼迪斯。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。在1990年的《决策与控制》中。，第29届IEEE会议记录，第2347-2349页。IEEE，1990年。[4] B.Bouchard、G.Loeper和Y.Zou。几乎可以肯定的是，对冲会带来永久性的价格影响。将出现在2015年的《金融与随机》杂志上。[5] B.布查德和M.纳茨。随机目标博弈和通过正则粘性解的动态规划。发表在2013年《运筹学数学》上。[6] U·切丁、R·A·贾罗和P·普罗特。流动性风险和套利原则。金融斯托赫。，8(3):311–341, 2004.[7] U·切丁、H·M·索纳和N·图兹。

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