具有线性市场影响和伽马效应的备兑期权套期保值

nandehutu2022

999

收藏 2022-05-09

英文标题：
《Hedging of covered options with linear market impact and gamma
constraint》
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作者：
B Bouchard (CEREMADE), G Loeper (FiQuant), Y Zou (CEREMADE)
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
Within a financial model with linear price impact, we study the problem of hedging a covered European option under gamma constraint. Using stochastic target and partial differential equation smoothing techniques, we prove that the super-replication price is the viscosity solution of a fully non-linear parabolic equation. As a by-product, we show how $\\epsilon$-optimal strategies can be constructed. Finally, a numerical resolution scheme is proposed.
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中文摘要：
在一个具有线性价格影响的金融模型中，我们研究了gamma约束下覆盖欧式期权的套期保值问题。利用随机目标和偏微分方程平滑技术，我们证明了超复制价格是一个完全非线性抛物方程的粘性解。作为副产品，我们展示了如何构建$\\epsilon$最优策略。最后，提出了一种数值求解方法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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Hedging_of_covered_options_with_linear_market_impact_and_gamma_constraint.pdf
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能者818

2022-5-9 17:40:56

具有线性市场影响和伽马约束的备兑期权套期保值。布查德*+, G.Loeper和Y.Zou*2015年12月23日摘要在一个具有线性价格影响的金融模型中，我们研究了伽马约束下覆盖欧洲期权的套期保值问题。利用随机目标和偏微分方程平滑技术，我们证明了超复制价格是一个完全非线性抛物方程的粘性解。作为副产品，我们展示了如何构造ε-最优策略。最后，提出了一种数值求解方案。关键词：套期保值，价格影响，随机目标。AMS 2010学科分类：91G20；93E20；49L20简介受[1,18]的启发，[4]中的作者考虑了一个具有永久价格影响的金融市场，其中影响函数表现为购买股票数量的线性函数（围绕原点）。这类模型致力于在被套期产品的名义价值与标的资产的日均交易量相比，delta套期保值不可忽略的情况下，衍生工具的定价和套期保值。因此，delta对冲策略将*巴黎多芬大学、PSL研究型大学、塞雷梅德、UMR 7534、75775Paris cedex 16、法国+澳大利亚维多利亚州莫纳什大学数学科学学院ANR Liquirisk资助的研究。会对价格动态产生影响，也会产生流动性成本。[1,4,18]中研究的线性冲击模型将这两种影响纳入衍生工具的定价和对冲中，同时保持市场的完整性（在一定程度上），并最终导致精确的复制策略。

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何人来此

2022-5-9 17:40:59

作为不完善的市场模型，这种方法可以提供真实市场条件的近似值，从业者可以使用它来帮助他们以系统的方式设计合适的对冲，而不必依赖特殊的风险标准。在[4]中，作者考虑了以现金结算的欧洲期权的套期保值：在开始时，期权卖方必须建立初始的增量套期保值，反之，在到期时，套期保值必须清算，以现金结算最终索赔。结果表明，最优超复制策略的价格函数不再像经典情形那样解线性抛物方程，而是拟线性方程。此外，套期保值策略包括遵循修改后的delta套期保值规则，其中delta按标的资产的“未受干扰”价值计算，即，如果交易员的头寸被立即清算，标的资产将有一个。因此，在[4]中获得的方法和结果与[1,18]有很大不同。事实上，虽然[1,18]中考虑的影响模型是相同的，但控制问题在适用于覆盖期权对冲的意义上是不同的。这指的是期权的买方在接受时交付所需的初始delta头寸，并接受股票（以其当前市场价格）和现金的组合作为最终索赔的支付，这消除了初始和最终对冲产生的成本。令人惊讶的是，这并不是[4]中所研究问题的真正近似值。初始套期保值和最终套期保值是一个基本问题，定价问题的结构完全不同：在[4]中，等式是准线性的，而在[1,18]中是完全非线性的。与[4]相反，[1,18]中的作者使用验证参数来构建准确的复制策略。

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mingdashike22

2022-5-9 17:41:03

由于非线性的特殊形式，当解不满足伽马型约束时，方程是不适定的。本文的目的是通过随机目标技术提供一个直接的特征，并从一开始就在套期保值策略中加入伽马约束。超解性质可以通过（本质上）遵循[8]的论点来证明。子溶液的表征更难获得。实际上，与[8]不同，我们无法证明所需的几何动态规划原理，因为由于市场影响，套期保值策略和基础价格过程之间存在强烈的相互作用。相反，我们使用[5]中开发的平滑技术。我们构造了一个光滑超解序列，通过一个验证参数，它提供了超混合价格的上界。当它们收敛到目标定价方程的解时，一个比较原则的论点意味着它们的极限是超级套期保值价格。作为aby产品，这种结构提供了明确的ε-最优套期保值策略。我们还提供了一个比较原理和一个数值分辨率方案。为了简单起见，我们首先考虑一个只有永久价格影响的模型，我们在第3节中解释了为什么增加弹性效应不会影响我们的分析。请注意，这是因为我们在这里考虑的弹性效应没有二次变化，这与[1]相反，在[1]中，弹性会破坏方程的抛物线性，并使精确复制变得非最优。我们通过指出一些相关参考文献来结束本文的介绍。[6] 考虑到流动性成本，但没有价格影响，价格曲线不受交易策略的影响。如[7]和[24]所述，可以通过增加对可接受策略的限制进行修改。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:41:06

这导致了一个修正的定价方程，该方程在解的二阶导数中显示二次项，并使定价方程完全非线性，甚至不是无条件抛物线。其他文章侧重于通过清算条件推导价格动态，参见[12]、[22]、[21]，其中供需曲线来自“参考”和“计划”交易者（即期权套期保值者）；导致价格变动，但不考虑流动性成本，另见[17]。最后，一系列文献[23]、[8]、[24]通过对可接受交易策略的“伽马”施加边界，间接地解决了流动性问题，没有明确建模流动性成本或价格影响。一般符号。纵观本文，Ohm 是R+上从0开始的连续函数的正则空间，P是维纳测度，W是正则过程，F=（Ft）t≥0是其原始过滤F的增加o= （F）ot） t≥0.所有随机变量均定义在(Ohm, F∞, P）。我们用| x |表示x的欧几里德范数∈ Rn，整数n≥ 1由上下文给出。除非另有规定，否则涉及随机变量的不等式采用P-a、美国的感觉。我们使用约定x/0=符号（x）×的形式∞ 符号（0）=+.1模型和对冲问题本节致力于推导动力学和描述伽马约束。我们还详细解释了如何获得定价方程，并陈述了我们的主要结果。1.1影响规则和离散时间交易动态我们考虑[4]中研究的框架。也就是说，策略对价格过程的影响是通过影响函数f建模的：购买一个（最小）数δ引起的价格变化∈ 考虑到交易前资产的价格为x，股票的R为δf（x）。

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mingdashike22

2022-5-9 17:41:09

购买额外δ单元的成本为δx+δf（x）=δZδδ（x+ιf（x））dι，其中Zδδ（x+ιf（x））dι可以解释为每个额外单元的平均成本。在两个交易实例τ之间，τ与τ≤ τ、股票的动力学由随机微分方程dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt的强解给出。在本文中，我们假设∈ Cb和inf f>0，（u，σ）是Lipschitz和有界的，infσ>0。（1.1）如[4]中所述，交易员希望持有的股份数量由一个连续的信息技术流程Y给出，该流程Y=Y+Z·bsds+Z·asdWs。（1.2）我们说（a，b）属于aokif（a，b）是连续的，F-适应的，a=a+Z·βsds+Z·αsdw其中（α，β）是连续的，F-适应的，ζ：=（a，b，α，β）基本上由k限定，因此esup公司|ζs- ζs |，t≤ s≤ s≤ s+δ≤ T|FoT≤ 所有0的kδ≤ δ ≤ 1和t∈ [0，T- δ].在[4]中，（a，b）只要求是渐进可测量的，并且基本上是有界的。这里施加的额外限制对于我们在第2.2节中的结果是必要的。然后我们呼吸困难o:= ∪灵魂ok、为了推导连续时间动力学，我们首先考虑离散时间设置，然后传递到极限。在离散时间设置中，位置在时间tni:=iT/n，i=0，n、 n≥ 1.换句话说，交易者在每个时间间隔[tni，tni+1]内保持股票头寸。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:41:12

因此，他在t isYnt股票中的位置：=n-1Xi=0Ytni{tni≤t<tni+1}+YT{t=t}，（1.3）以及在tni+1购买的股份数量δntni+1:=Ytni+1- 伊特尼。根据我们的影响规则，股票价格过程的相应动力学为xn=X+Z·|u（Xns）ds+Z·∑（Xns）dWs+nXi=1[tni，T]δntnif（Xntni-), （1.4）其中Xis是常数。投资组合过程被描述为持有的现金量与股票头寸相关的潜在财富YnXn之和：Vn=现金头寸+YnXn。它与投资组合的清算价值不一致，除非Yn=0。这是因为，由于价格影响，Ynstocks的清算不会产生与YnXn相等的收益。然而，人们可以从这对夫妇（Vn，Yn）的知识中推断出投资组合中现金和股票的准确组成。在本文中，我们假设无风险利率为零（以符号表示）。那么，Vn=V+Z·Yns-dXns+nXi=1[tni，T]（δntni）f（Xntni）-). （1.5）这个财富方程是根据[4]中的基本计算得出的。右边的最后一个术语来自这样一个事实：在tni时，δNtnishare是以平均执行价格Xntni购买的-+δntnif（Xntni-), 股票价格以Xntni收盘-+ δntnif（Xntni-), 额外的专业术语从何而来。然而，我们可以检查一下，不能建立一个有利的往返贸易，见[4，备注3]。备注1.1。请注意，在这项工作中，我们将自己局限于永久性的价格影响，没有建模弹性影响。我们将在下面的第3节中解释为什么考虑灵活性不会影响我们的分析。具体见命题3。1.1.2连续时间交易动态连续时间交易动态通过传递到极限n来获得→ ∞,i、例如，通过考虑越来越频繁的再平衡策略。提议1.2。

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mingdashike22

2022-5-9 17:41:16

[4，命题1]设Z:=（X，Y，V），其中Y定义为（1.2）中的某些（a，b）∈ A.o, （X，V）解算X=X+Z·σ（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYs+Z·（u（Xs）+as（σf）（Xs））ds=X+Z·σasX（Xs）dWs+Z·uas，bsX（Xs）ds（1.6）与σasX:=（σ+asf），uas，bsX:=（u+bsf+asσf），V=V+Z·YsdXs s+Z·asf（Xs）ds。（1.7）将Zn:=（Xn，Yn，Vn）定义为（1.4）-（1.3）-（1.5）。然后，存在一个常数C>0，这样的常数sup[0，T]E|锌- Z|≤ Cn-1对于所有n≥ 1.因此，在本文的其余部分，我们将考虑（1.7）-（1.6）投资组合和价格过程的动态。备注1.3。正如[4]中所解释的，前面的分析可以扩展到订单大小的非线性影响规则。为此，我们注意到，对于更一般的影响规则δ7，上述持续时间交易动力学是相同的→ 当满足F（x，0）=ΔδF（x，0）=0和δF（x，0）=F（x）。对于我们的分析，我们只需要考虑原点处影响函数的值和斜率。1.3套期保值方程和伽马约束激励φ=（y，a，b）∈ R×Ao和（t，x，v）∈ [0，T]×R×R，我们现在写出（Xt，x，φ，Yt，φ，Vt，x，v，φ）解（1.6）-（1.2）-（1.7）与时间T初始条件（x，y，v）相关的控制（a，b）。在本文中，我们考虑了覆盖期权，即在初始时间t，交易者被赋予启动其享乐策略所需的股票数量Yt=y，并且可以在t以现金和股票支付期权的报酬（按其即时价值评估）。因此，他不会在时间t或t对其股票头寸的初始构建或最终清算产生任何直接影响。如果V代表现金头寸和所持股份数量之和乘以其价格，则在t时带支付g（Xt，x，φt）的期权的超级套期保值价格定义为V（t，x）：=inf{V=c+yx:（c，y）∈ Rs.t。

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大多数88

2022-5-9 17:41:20

G（t，x，v，y）6=},其中G（t，x，v，y）是元素集（a，b）∈ A.o使得φ：=（y，a，b）满足vt，x，v，φT≥ g（Xt，x，φT）。为了理解相关的偏微分方程是什么，让我们首先用X:dYt，φt=γatY（Xt，X，φt）dXt，X，φt+uat，btY（Xt，X，φt）dt改写Y的动力学，其中γaY:=aσ+fa，μa，bY:=b- γaYua，bX。（1.8）假设套期保值策略包括跟踪超级套期保值价格，就像在经典完整市场模型中一样，那么应该有Vt，x，v，φ=v（·Xt，x，φ）。如果v是光滑的，回忆（1.6）-（1.7）并应用它的引理两次，意味着y，φ=xv（·，Xt，x，φ），γaY（Xt，x，φ）=xxv（·，Xt，x，φ），（1.9）andaf（Xt，x，φ）=tv（·，Xt，x，φ）+（σaX）（Xt，x，φ）xxv（·，Xt，x，φ）。（1.10）然后，将（1.9）的右侧与γAy的定义结合起来，得出toa=σxxv（·，Xt，x，φ）1- Fxxv（·，Xt，x，φ），σaX=σ1- Fxxv（·，Xt，x，φ）和（1.10）简化为-电视-σ(1 - F二十五）二十五（1.11）这正是[1,18]中得到的定价方程。由于f处的奇异性，需要考虑方程式（1.11）并采取一些预防措施xxv=1。因此，我们需要执行这一点1-Fxxv不会改变符号。我们选择将解限制为满足1-Fxxv>0，因为具有相反的不等式意味着a与a没有相同的符号xxv，所以，在卖出凸型股票后，人们会在股票上涨时卖出，下跌时买入，这是一个非常违反直觉的事实。在下面，我们将约束-K≤γaY（Xt，x，φ）≤ γ（Xt，x，φ），在[t，t]P上- a、 e.，（1.12）应该保持一些k≥ 0，其中γ是满足ι的有界连续映射≤ γ ≤ 一楼- ι、对一些人来说ι>0。

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何人来此

2022-5-9 17:41:23

（1.13）我们用Ak，\'-γ（t，x）表示元素（a，b）的集合∈ A.ok如（1.12）保持并消除γ（t，x）：=∪K≥0Ak，γ（t，x）。然后，必须对方程（1.11）进行修改，以考虑该伽马约束，自然导致toF[v′γ]：=min-电视γ-σ1 - Fxxv′γxxvγ，γ- xxv′γ= [0，T）×R（1.14）上的0，其中v′γ定义为v，但与G′γ（T，x，v，y）：=G（T，x，v，y）∩ A′γ（t，x）代替G（t，x，v，y）。更精确地说，v′γ（t，x）：=inf{v=c+yx:（c，y）∈ Rs.t.G′γ（t，x，v，y）6=}. （1.15）对于T-边界条件，我们通过定义知道v′γ（T，·）=g。然而，通常情况下，（1.14）中对伽马的约束应传播到边界，并且g必须被其表面提升版本^g所取代，定义为g上方的最小函数，即方程式γ的粘度超解- xx~n≥ 0.通过考虑任意两次连续可微分函数“Γ”得到xx′Γ=’γ，然后设置^g:=（g-“Γ）conc+”Γ，其中上标conc表示凹面包络，参见[23，引理3.1]。因此，我们期望v′γ（T-, ·) = R上的^g。从现在开始，我们假设^g是一致连续的，g是下半连续的，g-是有界的，g+是线性增长的。（1.16）我们现在可以陈述我们的主要结果。从现在起，v′γ（T，x）代表lim（T，x）→ （T，x）T<Tv′γ（T，x），只要定义清楚。定理1.4。值函数v′γ是线性增长的连续函数。此外，v′γ是唯一的粘度溶液，其线性增长为[~n]1[0，T）+（ν- ^g）1{T}=0在[0，T]×R.（1.17）我们用额外的注释来结束这一节。备注1.5。注意，^g可以是均匀连续的，而g不是连续的。以g（x）=1{x为例≥K} 和K∈ R、考虑一下‘γ>0是常数的情况。那么，^g（x）=[1{x≥xo}γ（x- xo）]∧ 1，其中xo:=K- (2/γ).备注1.6。图^g继承了g的线性增长。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:41:27

的确，让c，c≥ 0因为| g（x）|≤ w（x）：=c+c | x |。自从^g≥ 通过构造，我们有-≤ w、另一方面，因为≥ ι>0，由（1.13）可知，根据[23，引理3.1]中的论证，^g≤ （w）-Γconc+Γ，其中Γ（x）=ιx/2。现在，我们可以很容易地通过直接计算来检验（w-Γ）conc=（w）-Γ（xo）1[-xo，xo]+（w-~Γ)1[-xo，xo]cwhith xo:=c/ι。因此-Γconc+Γ与w具有相同的线性增长。显然，在Γ中添加一个新的映射不会改变^g的定义。备注1.7。正如我们接下来的分析所显示的，我们很可能会在冲击函数f和γ中引入时间依赖性。第二作者在[18]和[19]中研究的另一个有趣的问题涉及解的光滑性，以及约束对解的影响xxv自然地由1产生的快速差异强制执行- Fxxv接近于0。备注1.8（原始部分微分方程存在光滑解）。当定价方程（1.17）允许使用验证定理的平滑解（参见[18]和[19]）时，可以从经典解构造精确的复制策略。根据定理2的比较原理。11，这表明价值函数是定价方程的经典解，最优策略存在，并且是带有支付函数^g的期权的精确复制策略。我们将在下面的备注2.18中解释，即使不存在光滑解，也可以显式构造几乎最优的超套期保值策略。备注1.9（冲击函数的单调性）。注意，映射λ∈ R7→σ（x）M1-λMis在{λ：λM<1}上不递减，对于所有（t，x，M）∈ [0，T]×R×R。现在我们把v′γ写成vf′γ，以强调它对f的依赖性，并考虑另一个冲击函数f满足与f相同的要求。我们用v′f′γ表示相应的超级套期保值价格。

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mingdashike22

2022-5-9 17:41:30

然后，上述考虑因素结合定理1.4和下面定理2.11的比较原理，意味着v/f¨γ≥vf′γf≥ f在R上。这同样意味着vf′γ≥ 式中，解热型方程-t~n-σ[0，T）×R上的xxа=0，终端条件а（T，·）=g（回想一下^g≥ g）。有关这一事实的数字说明，请参见第4.2节。2粘度解特征在这一节中，我们提供定理1.4的证明。我们的策略如下。1.首先，我们采用[5]中使用的偏微分方程平滑技术来提供平滑的上解,K、 [δ，T]×R上（1.17）的δ′γ > 0，可以通过标准化参数构建超级对冲策略。尤其是“v”,K、 δ′γ≥ [δ，T]×R上的v′γ。此外，该序列具有均匀的线性增长，并收敛到粘度为（1.17）asδ的溶液v′γ， → 0和K→ ∞. 见第2.1.2节。第二，我们构造了一个v′γ的下界v′γ，它是（1.17）的上解。它是通过考虑超级混合问题的弱公式，并遵循[8，第5节]中基于几何动态规划原理（见第2.2节）的一个方面的参数获得的。结果表明，该函数也具有线性增长性。3.然后，我们可以通过使用上述和下面定理2.11（1.17）的比较原理得出结论：v′γ≥ “v”γ，但vγ≤ v′γ≤ 所以vγ=，vγ=vγ，vγ是粘度为（1.17）的溶液，并且具有线性增长。4.我们的比较原理，即下面的定理2.11，允许我们得出结论，v′γ是线性增长的（1.17）的唯一解。正如引言中已经提到的，与[8]不同，我们无法证明所需的几何动态规划原理，该原理应直接导致解的性质（从而避免使用上述1.中提到的平滑技术）。

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能者818

2022-5-9 17:41:34

这是由于套期保值策略和通过市场影响的基础价格过程之间的强烈互动。[8]中没有这种反馈效应。2.1光滑上解序列我们首先构造一个光滑上解序列,K、 δ′γ为（1.17），通过简单的验证论证，它似乎是超级套期保值价格v′γ的上限。为此，我们采用了[5]中介绍的方法：首先构造一个（1.17）版本的粘度解决方案，其中包含振动系数（用[15]的术语），然后用一个内核将其平滑。这里的主要困难在于我们的终端条件^g是无界的，不像[5]。这需要额外的重要技术开发。2.1.1构造具有振动系数的算子的解我们从构造具有振动系数的算子开始。鉴于 > 0和线性增长的（一致）严格正连续映射κ，这将在后面定义，让我们介绍（1.17）：F中出现的算子的一系列扰动κ（t，x，q，M）：=minx∈Dκ（x）min-Q-σ（x）M2（1）- f（x）M），γ（x）- M,在哪里κ（x）：={x∈ R:（x）- x） /κ（x）∈ [-, ]}. （2.1）为了便于记法，我们设置κ[~n]（t，x）：=Fκ（t，x，t~n（t，x），xxа（t，x）），只要а是光滑的。备注2.1。为了以后使用，请注意地图∈ (-∞, γ（x）]7→σ（x）M2（1）-对于每个x，f（x）M）是非递减的和凸的∈ R、回忆（1.13）。因此，（q，M）∈R×(-∞, γ（x）]7→ Fκ（·，q，M）在M中是凹形的且不增加 ≥ 0.这是我们平滑方法的基础。我们还通过使用近似序列来修改原始终端条件^g，该序列的元素对于|x |的大值是有效的。引理2.2。

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能者818

2022-5-9 17:41:37

对于所有的K>0，存在一个一致连续的映射^gKandxK≥ K使得o^gk在[xK]上有效，∞) 等等(-∞, -xK]o^gK=^g on[-K、 K]o^gK≥ ^go^gK-“Γ对于任何C函数都是凹的”xxΓ=Γγ。此外，（^gK）K>0一致有界于线性增长映射，并在紧集上一致收敛于^g。证据修复一个CfunctionΓo令人满意的xxΓo= γ. 根据定义，^g-Γo它是凹的。让我们考虑一个因素+（分别为。-) 在K（分别为。-K）。集^goK（x）：=^g（x）1[-K、 K]（x）+^g（K）+(++ xΓo（K））（十- （K）（K），∞)（十）+^g(-K） +(-+ xΓo(-K））（x+K）(-∞,-K）（十）。现在考虑另一个C函数“Γ”xxΓ=Γγ。自Γo和“不同的是，通过一张平面图，可以看出^g的凹度oK-Γ相当于^goK-Γo.后者的凹度源自^g的定义oK、作为超差oK-Γo不因建筑而增加。尤其是^goK-Γo≥ ^g-Γo因此^goK≥ ^g.我们最终确定^gKby^gK=min{^goK、（2c+c |·|-\'Γo)浓度+\'Γo}, （2.2）c>0和c≥ 0以至于-C≤ ^g（x）≤ c+c | x |，x∈ R、回想备注1.6。通过与备注1.6中相同的推理，函数^gk具有与2c+c |·|相同的线性增长。因为2c>c，^gK=^goK=^g on[-K、 K]。此外，由于两个凹函数的最小值是凹的，所以^gK也是凹的-“对于任何C功能”xxΓ=Γγ。其他断言是直接的。我们现在设置^gK:=^gK+ （2.3）并考虑方程式Fκ[~n]1[0，T）+（~n- ^gK） 1{T}=0。（2.4）然后我们选择κ和o∈ （0，1）使得κ∈ C∞对于所有阶的有界导数，infκ>0且κ=|^gK |+1(-∞, -[xK]∪ [xK，∞),-1/o< xκ<1/o,（2.5）其中xK≥ K在引理2.2中定义。我们忽略了κ对K的依赖性。备注2.3。为了以后使用，请注意|xκ|<1/o确保地图x 7→ x+κ（x）和x7→ 十、- κ（x）在所有0≤ ≤ o.

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kedemingshi

2022-5-9 17:41:40

还要注意xn→ x和xn∈ Dκ（xn），对于所有n，意味着xn收敛于元素x∈ Dκ（x），在可能传递到子序列之后。特别是Fκ是连续的。当κ≡ 1和^gK≡ ^g+, （2.4）对应于（1.17）中的运算符，用[15]的传统术语表示，具有沙肯系数。下面将使用函数κ来处理^g单位的潜在线性增长。引入附加近似值^gKis的动机是，以下建议2.7的证明要求在实体中表现出色。如前所述，这些额外的复杂情况没有出现在[5]中，因为它们的终端条件是有界的。我们现在证明（2.4）允许粘度溶液在小时间间隔[T]内保持在终端条件^g以上- cK, [T]。如前所述，我们稍后将使用常规内核平滑此解决方案，以便提供（1.17）的ooth上解。提议2.4。总之 ∈ [0, o] 当K>0时，存在一个唯一的连续粘性溶液\'v,（2.4）的K′γ具有线性增长。它满足了,K′γ≥ ^gK+/2，在[T]上- cK, T]×R，（2.6）对于某些cK∈ （0，T）。此外，{v},K′γ]+， ∈ [0, o], K>0}由一个线性增长的映射和{v}限定,K′γ]-, ∈ [0, o], K>0}以sup g为界-.证据该证明主要是对通常的Perron方法的修正，见[10，第4节]。a、我们首先证明了存在两个线性增长的连续函数w和w，对于任何一个函数，它们分别是（2.4）的上解和下解 ∈ [0, o].自从^gK=^gK+ ≥ 根据引理2.2，它必须满足setw:=inf g>-∞,见（1.16）。为了构造一个上解，让我们定义η∈ (0, ι ∧inf f-1）使用ιasin（1.13），设置Γ（x）=ηx/2，定义ιg=（^g）oK-Γconc+Γ。然后，~g≥ ^goK、而与备注1.6中相同的推理意味着g与^g具有相同的线性增长oK、参见（2.3）和引理2.2。

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kedemingshi

2022-5-9 17:41:44

然后我们用w（t，x）=g（x）+1+（t）来定义w- t） Ain whichA:=supσ′γ2（1）- f′γ）。常数A是有限的，而“w”与“g”具有相同的线性增长，见（1.1）-（1.13）。因为凹函数是-xx~n≥ 0，我们推导出∧g是η的粘度上解-xx~n≥ 0.那么，`w是粘度上解Fmin-t~n- A，η- xx~n≥ 0.自γ≥ ι ≥ η、仍需使用备注2.1得出结论，即“w”是（2.4）的上解。b、现在，我们将（2.4）表示为整个域[0，T]×上的单个方程，使用以下定义f,Kκ，+（t，x，r，q，M）：=Fκ（t，x，q，M）1[0，t）+maxFκ（t，x，q，M），r- ^gK（x）{T}F,Kκ，-（t，x，r，q，M）：=Fκ（t，x，q，M）1[0，t）+minFκ（t，x，q，M），r- ^gK（x）{T}。和往常一样F,Kκ，±[~n]（t，x）：=F,Kκ，±（t，x，~n（t，x），t~n（t，x），xx~n（t，x））。回想一下，用F表示的公式,Kκ，±产生与（2.4）相同的粘度溶液（见附录中的引理5.1）。这是我们应用佩龙方法的公式。从a的角度来看，函数w和w是F的上下解,Kκ，-= 0和F,Kκ+=0。定义：v,K′γ：=sup{v∈ 南加州大学：w≤ 五、≤ w和v是F的一个子解,Kκ，-= 0}，其中USC表示上半连续映射类。然后，上（下）半连续包络线（\'v,K′γ）*（分别）,K′γ）*) “v”的,K′γ是F的粘性子解,Kκ，-[~n]=0（分别为F的上解）,Kκ，+[~n]=0）线性增长时，回想备注2.3的连续性属性，参见示例[10，第4节]。下面所述定理2.11的比较结果表明：,K′γ）*= （\'v,K′γ）*, 在[0，T]×R上，因此，\'v,K′γ是（2.4）的连续粘度溶液，回想引理5.1。通过构造，它具有线性增长。这个类的唯一性同样来自定理2.11。c、还有待证明（2.6）。为此，我们需要对“v”的行为进行控制,K′γas t→ T

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可人4

2022-5-9 17:41:49

对于下界v，这就足够了,我们首先建造的。设φ为测试函数，使（严格）min[0，T）×R（`v,K′γ- ν）=（°v）,K′γ- 对于某些（t，x），则为（t，x）∈ [0，T）×R.由上解性质minx∈Dκ（x）{γ（x）- xx~n（t，x）}≥ 回顾（1.1）和（1.13），这意味着∈ Dκ（x），1- f（x）xx~n（t，x）≥ ιf（x）≥ ιinf=：ι>0。利用上解性质和上述不等式yields0≤ 貂皮∈Dκ（x）-t~n（t，x）-σ（x）xx~n（t，x）2（1）- f（x）xx~n（t，x））≤ 貂皮∈Dκ（x）(-t~n（t，x）-σ（x）xx~n（t，x）- γ（x）2(1 - f（x）xx~n（t，x）））≤ -t~n（t，x）-~σxxι（t，x）2ι+ισιγ（x）2ι式中ισ：=supσ。用v表示,K的独特粘度溶液-t~n-~σxx~n2ι+σ′γ2ι[0，T）+（ν）- ^gK） 1{T}=0。（2.7）的比较原则（2.7）和费曼-卡克公式意味着,K′γ（t，x）≥ 五、,K（t，x）=E-ZT-tσγ（Sxr）2ιdr+gK（SxT）-（t）式中，sx=x+~σ√ιW.仍需证明（2.6）适用于v,“v”的亲属住所,K′γ。这个论点是标准的。由于^gk是一致连续的，见引理2.2，我们可以找到BKε>0，这样^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{| SxT-T-x|≤BKε}≤ ε表示所有ε>0。我们现在考虑| SxT的情况-T- x |>BKε。设C>0表示不依赖于（t，x）但可以从一行到另一行变化的ageneric常数。因为，^gk是[xK]上的一个函数，∞) 等等(-∞, -参见引理2.2，嗯^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{SxT-T≥xK}i≤ C（T）-t）如果x≥ 安第斯^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{SxT-T≤-xK}i≤ C（T）-t）如果x≤ -xK。另一方面，通过^g的线性增长K、如果x<xK，那么呢^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{SxT-T≥xK}{| SxT-T-x|≥BKε}i≤ 嗯^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）知识产权|SxT-T- x|≥ |xK- x|∨ BKε≤ C（1+| x |）（T）- t） |xK- x|∨ BKε≤CBKε（T）- t）。剩下的（四）个病例也进行了类似的治疗，我们发现^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）≤CBKε（T）- t） +ε。由于γ是有界的，这表明| v,K（t，x）- ^gK（x）|≤CBKε（T）- t） +ε表示t∈ [T]- 1，T]。

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kedemingshi

2022-5-9 17:41:52

因此v的结果是必需的,K.自‘v,K′γ≥ 五、,K、这就是（2.6）的证明。在以后使用时，请注意，通过稳定性,当 → 0和K→ ∞.提议2.5。像 → 0和K→ ∞, \'v,K′γ收敛到函数v′γ，它是（1.17）的唯一粘度溶液，具有线性增长。证据函数族{v,K′γ， ∈ (0, o], K>0}由一个线性增长的映射一致限定，见命题2.4。鉴于下面定理2.11的比较结果，有必要应用[2，定理4.1]。备注2.6。“v”γ的界限可以明确，这对设计数值格式很有用，见下文第4.1节。首先，作为命题2.4证明的副产品,K′γ≥ inf g.传递到极限 → 0和K→ ∞ 导致“v”γ≥ inf g=：w.我们还得到了,K′γ≤ （^g）oK-Γ）conc+Γ+1+Ain哪个x 7→Γ（x）=对于某些η，ηx/2∈ (0, ι ∧ inf f-1）与（1.13）中的ι一样，andA:=T sup（σ′γ/[2（1- f′γ）]）。另一方面，（2.2）意味着^goK≤ 1+（2c+c |·|-\'Γo)浓度+\'Γo为了“Γ”o以至于xxΓo= γ. 然后，“v”,K′γ≤1+（2c+c |·|-\'Γo)浓度+\'Γo-~Γ浓度+Γ+1+A≤1+（2c+c |·|-Γ）conc+Γ-~Γ浓度+Γ+1+A=1+2c+c |·|-~Γconc+~Γ+1+A=：\'wand\'v\'γ≤ “w.上述函数”w可通过如Remark1中所述的论证进行明确计算。6.还要注意（2.2）和备注1.6中的参数意味着存在常数C>0，使得lim sup | x|→∞|\'v,K′γ（x）|/（1+|^gK（x）|）≤ C、总之 ∈ [0, o] K>0。（2.8）2.1.2正则化和验证在应用我们的验证参数之前，仍然需要平滑函数“v”,K′γ。这与[5，第3节]类似，但在这里，^g可能没有边界这一事实再次引发了额外的困难。

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kedemingshi

2022-5-9 17:41:56

特别是，我们需要使用具有空间相关窗口的内核。我们首先得到一个光滑核ψδ：=δ-2ψ（·/δ），其中δ>0和ψ∈ C∞bis是一个非负函数，它的支持函数是封闭的[-1, 0] × [-1，1]积分为1，使得zyψ（·，y）dy=0。（2.9）让我们设定“v”,K、 δ′γ（t，x）：=ZR×R′v,K′γ（[t]+，x）κ（x）ψδT- t、 x- xκ（x）dtdx。（2.10）我们记得κ参与了F的定义κ和满意度（2.5）。以下内容显示了“v”,K、 δ′γ是（1.17）的光滑上解，具有允许有界导数的空间梯度。这是由于窗口的空间依赖性按κ缩放，这对我们的验证参数至关重要。提议2.7。对于所有0< < o当K>0足够大时，存在δo> 以至于,K、 δ′γ是C∞所有0<δ<δ的（1.17）的上解o. 它有线性生长和x-v,K、 δ′γ具有任意阶的有界导数。证据a、它来自（2.5）和（2.8）thatlim sup|x|→∞|\'v,K′γ（x）|/（1+|κ（x）|）∞.直接计算和（2.5）表明,K、 δ′γ具有线性增长，并且x-v,K、 δ′γ一致有界。b、现在我们证明了抛物线区域内的上解性质。由于证明与[5，定理3.3]非常接近，我们只提供需要修改的论证，并参考他们的证明了解其他基本细节。修正`>0和setv`（t，x）：=\'v,K、 δ′γ（t(-`) ∨ 十、∧ `).在这个证明中，我们省略了超级丰富的上标。给定k≥ 1，setv`，k（z）：=infz∈[0，T]×Rv`（z）+k|z- z|.由于v`是有界且连续的，因此上述的最大值是由k中的点^z`，k（z）=（^t`，k（z），^x`，k（z）），以及v`，kis有界来实现的≥ 1.这意味着我们可以找到C`>0，与k无关，因此| z- ^z`，k（z）|≤ C`/k=：（ρ`，k）。

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可人4

2022-5-9 17:41:59

（2.11）此外，变量参数的简单变化表明，如果φ是一个光滑函数，那么v`，k- 在z处达到最小值∈ [0，T）×(-`, `), 然后(t，x k，xx~n）（z）∈\'P-v`（^z`，k（z）），其中`P-v`（^z`，k（z））表示v`at^z`，k（z）的封闭抛物线子集；有关定义，请参见示例[10]。然后，命题2.4暗示v`，kis是minx的上解∈Dκ（^x`，k）min-t~n-σ（x）xx~n2（1）- f（x）xx~n），γ（x）- xx~n≥ 0on[ρ\'，k，T-ρ`，k）×(-`+ρ`，k`-ρ`，k）。接下来，我们从（2.11）推导出x∈ D/2κ（x）意味着-κ（x）- C`/k≤ ^x`，k（t，x）- 十、≤κ（x）+C`/k。由于infκ>0，这表明x∈ Dκ（^x`，k（t，x））表示k足够大，与`。所以，v`，kis是minx的上解∈D/2κmin-t~n-σ（x）xx~n2（1）- f（x）xx~n），γ（x）- xx~n≥ 0on[ρ\'，k，T- ρ`，k）×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k）。我们现在的争论如[13]所述。由于v`，kis半凹，存在2，absxxv`，k∈ Land一个Lebesgue奇异负Radon测度2，singxxv`，K就这样xxv`，k（dz）=2，absxxv`，k（z）dz+2.分布意义上的singxxv`，k（dz）(电视`，k，xv`，k，2，absxxv`，k）∈\'P-v`，卡。e、关于[ρk，T]- ρk]×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k），见[14，第3节]。因此，上面的意思是Minx∈D/2κmin(-电视`，k-σ（x）2，absxxv`，k2（1- f（x）2，absxxv`，k，\'\'γ（x）- 2，absxxv`，k）≥ 0a。e、关于[ρ\'，k，T- ρ`，k）×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k），或相当于（2.1），min(-电视`，k-σ（x）2，absxxv`，k2（1- f（x）2，absxxv`，k，\'\'γ（x）- 2，absxxv`，k）（t，x）≥ 0表示所有x和a.e.（t，x）∈ [ρ\'，k，T- ρ`，k）×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k）使得2 | x- x|≤ κ（x）。取0<δ<ε/2。

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能者818

2022-5-9 17:42:03

利用备注2.1中的凹性和单调性，将之前关于（t，x）的不等式与核函数ψδ（·，·/κ）/κ进行积分2，singxxv`，kis为非阳性，我们得到最小值(-电视δ`，k-σxxvδ`，k2（1- Fxxvδ\'，k），\'γ- xxvδ`，k）≥ [ρ\'，k+δ，T上的0（2.12）- ρ`，k）×(-十、-`,k、 x+`，k），其中vδ`，k（t，x）：=ZR×Rv`，k（[t]+，x）κ（x）ψδT- ·,十、- ·κ（x）dtdxandx+`，k+Δκ（x+`，k）=`- ρ`，kand- 十、-`,K-δκ(-十、-`,k） =-` + ρ`，k.上述内容已明确定义，见备注2.3。通过备注2.3和（2.11），±x±，k→±∞ ρ`，k→ 0作为k→ ∞ 然后呢→ ∞. 此外，vδ`，k→ \'v,K、 δ′γ为K→ ∞然后呢→ ∞, 导数也会收敛。因此，（2.12）意味着,K、 δ′γ是[δ，T）×R.c上（1.17）的上解。我们通过讨论T处的边界条件得出结论。我们从命题2.4中知道,K′γ≥ ^gK+/2，在[T]上- cK, T]×R.由于^g是一致连续的，见（1.16），因此^gK也是一致连续的，因此v,K、 δ′γ（T，·）≥ ^gKon紧集[-2xK，2xK]对于δ>0，相对于, 有关xK的定义，请参见引理2.2≥ 现在观察x≥ 2xKand | x-x|≤Δκ（x）意味着x≥ 2xK（1）-δcK）-δck，其中ck和ck是常数。这实际上源于κ在[xK]上的有效行为，∞), 参见（2.5）和引理2.2。对于足够小的δ，我们得到x≥ xK。由于^gk是[xK]上的一个函数，∞), 由于ψ在其第二个参数中是对称的，请参见（2.9），因此它遵循‘v,K、 δ′γ（T，x）≥ZR×R^gK（x）κ（x）ψδT- T、 x- xκ（x）对于所有x，dtdx=^gK（x）≥ 2xK。这也适用于x≤ -2xK，用同样的论点。我们现在可以使用验证参数，并提供本节的主要结果。定理2.8。将“v”γ定义为命题2.5。它有线性增长。此外，“v”γ≥ [0，T]×R.证明上的v′γ。线性增长性质已在命题2.5中陈述。我们现在展示了vγ≥ vγ通过对v应用验证参数,K、 δ′γ。

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大多数88

2022-5-9 17:42:06

从现在起0< ≤ o在哪儿o如（2.5）所示。在命题2.7中选择了参数K，δ>0。固定（t，x）∈ （0，T）×R和δ∈ （0，t∧ ). 将（X，Y，V）定义为（1.6）（1.2）-（1.7）中的（X，x-v,K、 δ′γ（t，x），\'v,K、 δ′γ（t，x）- x-v,K、 δ′γ（t，x）x）作为t的初始条件，对于马尔可夫控制，α=σxx’v,K、 δ′γ1- Fxx’v,K、 δ′γ！（·，X）^b=tx-v,K、 δ′γ+xx’v,K、 δ′γ（u+^aσf）+xxx’v,K、 δ′γ（σ+^af）1- Fxx’v,K、 δ′γ！（·，X）。通过定义F，（1.13）和（1.1），上述定义是明确的，因为分母总是大于inf Fι>0。所有涉及的函数都有界，见命题2.7，很容易检查相应随机微分方程的解是否存在，以及（^a，^b）∈ A.o. 直接计算表明Y=x-v,K、 δ′γ（·X）。此外，事实上,K、 δ′γ是在[t，t]×R上F[~n]=0的上解，确保伽马约束（1.12）在某些K中保持不变≥ 1，还有-电视,K、 δ′γ（·X）-σ（X）^a≥ [t，t]上的0。最后一个不等式加上^a的定义意味着f（X）^a≥ 电视,K、 δ′γ（·X）+（σ（X）+f（X）^a）^a=电视,K、 δ′γ（·X）+（σ^aX（X））xx’v,K、 [t，t]上的δ′γ（·X）。因此，VT=\'v,K、 δ′γ（t，x）+ZTtf（Xu）^audu+ZTtx-v,K、 δ′γ（u，Xu）dXu≥ \'v,K、 δ′γ（t，x）+ZTtd′v,K、 δ′γ（u，Xu）=v,K、 δ′γ（T，XT）≥ g（XT），其中最后一个不等式再次来自命题2.7。它仍需达到极限δ， → 0.根据命题2.4，“v”,K′γ是连续的，所以,K、 δ′γ逐点收敛到‘v,K′γasδ→ 0.根据命题2.5，“v”,K′γ在点方向上收敛到v′γas → 0和K→ ∞. 鉴于上述情况，这意味着所需的结果：\'v\'γ≥ v′γ。备注2.9。

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kedemingshi

2022-5-9 17:42:10

注意，在上面的证明中，我们已经在Ak，γ（t，x）中构造了一个超级混合策略，并从| Yt|开始≤ k、为了一些k≥ 1可以以统一的方式表示（t，x），而,K、 δ′γ呈线性增长。2.1.3比较原则我们在这里提供了在上述情况下多次使用的比较原则。在陈述之前，让我们根据直接计算得出以下结论。召回（1.1）和（1.13）。提议2.10。修正ρ>0。考虑一下地图（t，x，M）∈ [0，T]×R×r7→ ψ（t，x，M）=σ（x）M2（eρt）- f（x）M）。然后，我7岁了→ ψ（t，x，M）是连续的，在（t，x）中是一致的，onO:={（t，x，M）∈ [0，T]×R×R:M≤ eρt′γ（x）}。此外，存在L>0，因此x7→ ψ（t，x，M）是O上的L-Lipschitz定理2.11。修理 ∈ [0, o]. 设U（分别为V）是F的上半连续粘性子解（分别为下半连续上解）[0，T）×R上的κ=0。假设U和V呈线性增长，而U≤ V在{T}×R上，然后U≤ Von[0，T]×R.证明。集合^U（t，x）：=eρtU（t，x），^V（t，x）：=eρtV（t，x）。然后，^U和^V分别是minx的次解和上解∈Dκminρφ - t~n-σ（x）xx~n2（eρt- f（x）xx~n），eρt′γ（x）- xx~n= [0，T）×R上的0（2.13）。为便于以后使用，请注意，在Dκ是通过上述相关功能的连续性实现的。如果sup[0，T]×R（^U）-^V）>0，那么我们可以找到λ∈ （0，1）使得sup[0，T]×R（^U）-^Vλ）>0且^Vλ：=λ^V+（1）- λ） w，其中w（t，x）：=（t- t） A+（cU+cU |·|-ι| | |）conc（x）+ι| x |与cU，两个常数，使得eρT | U |≤ cU+cU |·| andA:=supσ1-ιfι，其中ι>0如（1.13）所示。注意，^Vλ（T，·）≥^U（T，·），（2.14），thatw是（2.13）的粘性上解^Vλ是λ′γ+（1）的粘性上解- λ)ι- xx~n≥ 0.（2.15）此外，通过注释2.1，^Vλ是（2.13）的上解。

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何人来此

2022-5-9 17:42:14

定义ε>0和n≥ εn:=sup（t，x，y）∈[0，T]×Rh^U（T，x）-^Vλ（t，y）-ε| x |+n | x- y|i=：η>0，（2.16），其中最后一个不等式适用于足够大的n>0和足够小的ε>0。用（tεn，xεn，yεn）表示达到该上确界的点。根据（2.14），它必须认为tεn<t，根据标准参数，参见[10，命题3.7]，limn→∞n | xεn- yεn |=0。（2.17）此外，Ishii引理暗示（aεn，Mεn，nεn）的存在∈ 例如（aεn，εxε+n（xεn- yεn），Mεn）∈\'P2，+U（tεn，xεn）（aεn，-n（xεn）- yεn），nεn）∈\'P2，-^Vλ（tεn，yεn），其中\'P2，+和\'P2，-像往常一样表示封闭抛物线超命题和子命题，参见[10]，和Mεn0-NεN≤ Rεn+n（Rεn）=3n1.-1.-1 1+3ε+εn-ε-ε 0带rεn:=n1+εn-1.-1 1.特别是Mεn- NεN≤ Δεn，其中Δεn:=ε+εn.（2.18），然后，通过（2.15）和（1.13），0<（1- λ)ι≤ eρtεn′γ（^yεn）- NεN≤ eρtεn′γ（^yεn）- Mεn+Δεn，（2.19），其中^yεn∈ Dκ（yεn）。鉴于备注2.3，这表明eρtεn′γ（^xεn）-对于某些^xεn，Mεn>0∈ Dκ（xεn），对于足够大的n和足够小的ε，回忆（2.17）。因此，^Vλ和^U的上下解性质意味着我们可以找到Uεn∈[-, ] 再加上^yε和^xεn求出^yεn+uεnκ（^yεn）=yεn，^xεn+uεnκ（^xεn）=xεn（2.20）和ρ（^u（tεn，xεn）-^Vλ（tεn，yεn））≤σ（^xεn）Mεn2（eρtεn）- f（^xεn）Mεn）-σ（^yεn）nεn2（eρtεn- f（^yεn）nεn）。通过注释2.1和（2.18），这表明ρ（^U（tεn，xεn）-^Vλ（tεn，yεn））≤σ（^xεn）（nεn+Δεn）2（eρtεn）- f（^xεn）（nεn+Δεn））-σ（^yεn）nεn2（eρtεn- f（^yεn）nεn）。对于足够大的n和足够小的ε，仍然需要应用命题2.10和（2.19）来获得ρ（^U（tεn，xεn）-^Vλ（tεn，yεn））≤σ（^xεn）nεn2（eρtεn- f（^xεn）nεn）-σ（^yεn）nεn2（eρtεn- f（^yεn）nεn）+Oεn（1）≤ L|^xεn- ^yεn |+Oεn（1）对于某些L>0，其中Oεn（1）→ 0作为n→ ∞ 然后ε→ 0.通过连续性和（2.17）结合备注2.3和（2.20），这与n largeenough的（2.16）相矛盾。

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kedemingshi

2022-5-9 17:42:18

2.2弱公式的上解性质在这一部分中，我们提供了vγ的下界vγ，它是（1.17）的上解。它是根据[8，第5节]的精神，通过考虑随机目标问题（1.15）的弱公式构建的。由于我们的方法略有不同，我们提供了主要论点。在C（R+）上，现在让我们用（~ζ：=（~a，~b，~α，~β），~W）表示坐标过程，并用~F表示o= （~F）os） s≤通过它的原始过滤。我们说一个概率测度Pbelongs to Akif W是一个P-布朗运动，如果全部为0≤ δ ≤ 1和r≥ 0.对于某些a，我认为a=a+Z·βsds+Z·αsd·wss∈ R、（2.21）supR+|||ζ|≤ k，（2.22）和~Phsupn |ζs-ζs |，r≤ s≤ s≤ s+δo |Fo里≤ kδ。（2.23）对于φ：=（y，~a，~b），y∈ R、我们在（1.6）-（1.2）-（1.7）中定义了与时间为0的初始条件（x，Y，v）相关的（~Xx，~Y，~Y，~φ，~Vx，v，~φ），并用~W代替W。对于t≤ T和k≥ 1，我们说∈~Gk，γ（t，x，v，y）ifh~Vx，v，φt-T≥ g（~Xx，~φT）-t）及- K≤ γ~aY（~Xx，~φ）≤ R+i~P上的γ（~Xx，~φ）- a、 s.（2.24）我们最终定义了k′γ（t，x）：=inf{v=c+yx:（c，y）∈ R×[-k、 k]s.t.~Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y）6=},andv′γ（t，x）：=lim-inf（k，t，x）→ (∞, t、 x）（t，x）∈ [0，T）×Rvk′γ（T，x），（T，x）∈ [0，T]×R.（2.25）以下是我们定义的直接结果。提案2.12。v′γ≥ [0，T）×R上的v′γ。在本节的其余部分，我们证明v′γ是（1.17）的粘度上解。我们从一个简单的注释开始。注释2.13。注意（2.24）中的伽马约束意味着我们可以找到ε>0，使得ε1+kε-1.≤ σ~aX（~Xx，~φ）≤ ε-1+ ε-2和|a |≤ ε-1~P- a、美国，对所有人来说∈~Ak∩~Gk、~γ（t，x，v，y）和k≥ 1.事实上，如果a≥ -σ/f-K≤ γ~aY≤ γ意味着(-kσ1+kf）∨ (-σf）≤ ~a≤γσ1 - γ-fand-af+σ≥ σ/（1+kf）。那么我们的索赔如下（1.1）-（1.13）。

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能者818

2022-5-9 17:42:21

另一方面，如果σ+~af<0，则γ~aY≤ “γ”意味着“a”≥ γσ/(1 - f′γ）≥ 0，见（1.13），而a<-f/σ<0，a矛盾。然后我们证明，当k足够大时，vk′γ具有线性增长。提议2.14。这里有柯≥ 1使得{vk\'γ|，k≥ ko}由一个线性增长的连续映射从上面统一包围。证据a、首先请注意，备注2.9意味着{（vk′γ）+，k≥ ko}是由一个线性增长的映射从上面统一包围起来的，对于一些kolarge来说已经足够了。b、现在让我们来看看∈~Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y）。使用备注2.13结合（1.1）和（~a，~b，~α，~β）是~P-本质有界的条件，我们可以找到Gp~在P下，Yφsd是[0，T]上的鞅- t] 。然后，条件＠Vx，v，＠φT-T≥ g（~Xx，~φT）-t） §P-a.s.意味着v+EˇP[RT-t~asf（~Xx，~φs）ds]≥ inf g>-∞,回忆（1.16）。在备注2.13和（1.1）中，v≥ inf g- C>-∞, 对于一些独立于P的常数∈ ∪k（~Ak）∩~Gk，γ（t，x，v，y））。因此{（vk′γ）-, K≥ ko}由一个常数限定。我们现在证明了定义vk′γ的问题的存在性，并且它是低半连续的。提案2.15。适用于所有人（t，x）∈ [0，T]×R和k≥ 1足够大，存在（c，y）∈ R×[-k、 k]使得vk′γ（t，x）=c+yx和∧Ak∩~Gk，~γ（t，c+xy，y）6=.此外，对于每个k，vk′γ都是较低的半连续的≥ 1个足够大。证据根据[20，命题XIII.1.5]和r=0的条件（2.23），这个集合是弱相对紧的。此外，[16，定理7.10和定理8.1]暗示任何极限点（P*, T*, 十、*, C*, Y*) 序列（Pn，tn，xn，cn，yn）n≥1这样的Pn∈~Ak∩对于每一个n，Gk，γ（tn，xn，cn+xnyn，yn）≥ 1.满足感P*∈~Ak∩~Gk，γ（t）*, 十、*, C*+ 十、*Y*, Y*). 由于vk′γ是局部有界的，当k≥ ko，宣布的存在和下半连续性很快就出现了。我们最终可以证明本节的主要结果。定理2.16。

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大多数88

2022-5-9 17:42:25

函数v′γ是（1.17）的粘度上解。它有直线生长。证据线性生长特性是{vk\'γ|，k的均匀线性生长的直接结果≥ ko}在提案2.14中陈述。为了证明上解的性质，必须证明它适用于每一个vk′γ，其中k≥ ko，然后应用标准稳定性结果，参见例[2]。a、我们首先证明了[0，T）×R上的上解性质。我们将[8]中的论点与我们的上下文相适应。让我们考虑一个C∞b测试功能φ和（t，x）∈ [0，T）×Rsuch（严格）min[0，T）×R（vk′γ- ν）=（vk′γ- ν）（t，x）=0。回想一下，根据命题2.15，vk′γ是下半连续的。由于在定义vkγ时达到了最大值，根据上述命题，存在| y |≤ k和P∈~Ak∩~Gk（t，x，v，y），使得对于某些c，v:=c+yx=vk′γ（t，x）∈ R.让我们设置（~X，~Y，~V）：=（~Xx，~φ，~Y ~φ，~Vx，V，~φ），其中~~φ=（Y，~a，~b）。设θobe为增加原始过滤F的停止时间o, 定义θ：=θo∧ θ随θ：=inf{s:|Xs- x|≥ 1} 。然后，根据下面的命题2.17，它得出≈Vθo≥ vk′γ（t+θo，~Xθo）≥ ψ（t+θo，~Xθo），其中此处和之后的不等式取＠P-a.s.意义。两次应用It^o的公式后，上述不等式为：Zθ`sds+ZθY- x~n（t，x）+Zsmrdr+Zsnrd-XrdXs≥ 0.（2.26）式中`:=~af（~X）- Laа（t+·X·），m:=ua，аX- 洛杉矶xа（t+·，~x·）n:=γy（~x）- xxа（t+·X·），带Lаa:=t+（σ≈aX）关于剩下的证据，我们回忆（2.22）。连同（1.1）和备注2.13，这意味着-1和ua，~bX（~X）是~P-本质有界的。在对测量值进行等效更改后，我们可以找到P~P和aˇPBrownian运动ˇW，使得：X=Z·∑asX（Xs）dˇWs。（2.27）很明显，P和W都依赖于（~a，~b，y）。1。我们首先证明y=x k（t，x），因此θ\'sds+ZθZsmrdrdXs+ZθZsnrdXrdXs≥ 0

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可人4

2022-5-9 17:42:29

（2.28）设ˇPλ~ˋP是ˋWλ：=ˋW+Z·λ[σasX（Xs）]-1（y）- x~n（t，x））是一个71pλ-布朗运动。考虑θo:=η>0的情况。因为所有的系数都是有界的，所以在71pλ下取期望值，并使用（2.26）implyCη≥ λ（y）- xˋ（t，x））EˋPλ[θ]+EˋPλZθZsmrdr+Zsnrd-Xrλ（y）- x~n（t，x））ds对于一些C>0的人来说。现在我们用η除以两边，并使用（η∧θ)/η → 1ˇPλ-a.s.asη→ 0到Actainc≥ λ（y）- x~n（t，x））。然后，我们发送λ→ ∞ 推断y=xа（t，x）。我们现在证明这一点xx~n（t，x）≤ γ~aY（x）≤ γ（x）。（2.29）我们首先考虑时间变化h（t）=inf{r≥ 0:Zrh（σasX（~Xs））[0，θ]（s）+1[0，θ]c（s）id≥ t} 。同样，σ＠aX（＠X）和σ＠aX（＠X）-1基本上受备注2.13的限制，因此h是绝对连续的，其密度h满足0<ht≤ h（t）：=h（σaX（~X））[0，θ]（t）+1[0，θ]c（t）i-1.≤对于某些常数h和所有t，ht（2.30）≥ 0.此外，^W:=~xh是时变过滤中的布朗运动。现在我们取θo:=h-1（η）表示一些0<η<1。然后，（2.28）读0≤Zη∧H-1（θ）`h（s）h（s）ds+Zη∧H-1（θ）Zsmh（r）h（r）drd^Ws+Zη∧H-1（θ）Zsnh（r）d^Wrd^Ws。（2.31）因为所有涉及的过程都是连续且有界的，并且因为（η）∧H-1(θ))/η →1 a.s.asη→ 0，上述结合[8，定理A.1b.和命题A.3]意味着γy（x）- xx~n（t，x）=limr↓0nh（r）=limr↓0nr≥ 0.自γ~aY（~X）≤ γ（~X），这证明了（2.29）。还有待证明的是，定义F[~n]（t，x）的第一项也是非负的，回忆（1.14）。再次，让我们取θo:=h-1（η）并从2中召回。thatlimη→0(η ∧ H-1（θ））/η=1ˇP-a.s.注意，a的形式（2.21）和条件（2.22），它满足[8，条件（a.2）]，n也满足[8，定理2和命题a.3]和（2.31），然后我们推导出`h（0）-N≥ 0

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大多数88

2022-5-9 17:42:33

因此，（2.30）和基于（1.8）imply0的直接计算≤~af（x）- La（t，x）-γ~aY（x）- xx~n（t，x）（σ~aX（x））=af（x）- t~n（t，x）-γ~aY（x）（σ~aX（x））=-t~n（t，x）-σ（x）1- f（x）γaY（x）γaY（x）≤ -t~n（t，x）-σ（x）1- f（x）xx~n（t，x）xx~n（t，x），其中我们使用xx~n（t，x）≤ γ~aY（x）≤ γ（x）和z 7→ z/（1）-f（x）z）在非递减on(-∞, γ（x）] (-∞, 1/f（x）），最后一个不等式。b、现在我们考虑T处的边界条件。因为vkγ是γ的上解- xx~n≥ [0，T）×R上的0，与[11，引理5.1]中相同的参数意味着vk′γ-“对于任何二次可微函数而言，Γ是凹的”，因此xxΓ=Γγ。函数vk′γ是下半连续的，mapx 7→ G（x）：=lim inft→ T，x→ xt<Tvk′γ（t，x）等于G≥ g和g-Γ是凹的。因此，G=（G-“Γ）浓度+”≥ （g）-“Γ）浓度+”Γ=^g。以上证明中使用的动态规划原理仍有待阐明。提议2.17。固定（t，x，v，y）∈ [0，T]×R×[-k、 k]并设θ为F的∧P-增广的停止时间o取[0，T]中的P-a.s.值- t] 。假设∈~Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y）。然后，Vx，v，φθ≥ vk′γ（t+θ，~Xx，~φθ）~P- a、其中φ：=（y，~a，~b）。证据由于vk′γ是下半连续的，所有涉及的过程都有连续的路径，直到用有限时间网格中的一系列停止时间近似θ，因此有必要证明我们在θ情况下的说法≡ R∈ [0，T-t] 。设Pω为给定F的正则条件概率orforP.它与P[·F]重合or] （ω）在一组N~P-测度零之外。

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mingdashike22

2022-5-9 17:42:36

那么，总的来说ω/∈ N、 0≤ δ ≤ 1和r≥ 0条件（2.21）-（2.22）-（2.23）在C（R+）上由 Prω[ω]定义的Prω保持∈ A] =~Pω[ωr+·∈ A] 。此外，[9，定理3.3]确保在可能修改N之后，~Prωh~Vξr（ω），θr（ω），^φ（ω）T-（t+r）≥ g（~Xξr（ω），^φ（ω）T-（t+r））i=1和~Prωhγ~aY（~Xξr（ω），^φ（ω））≤ r+i=1上的γ（~Xξr（ω），φ（ω）），对于ω/∈ N、式中（ξr，θr，^φ）：=（Xx，~φr，~Vx，v，~φr，（~Yx，~φr，~a，~b））。这表明θr（ω）≥ vk'γ（t+r，ξr（ω））位于空集N之外，这是所需的结果。2.3关于证明的结论和几乎最优策略的构造我们首先总结定理1.4的证明。定理1.4的证明。命题2.5和定理2.8暗示“v”γ≥ 其中vγ呈线性增长，是（1.17）的连续粘度溶液。另一方面，命题2.12和定理2.16暗示v′γ≤ [0，T）×Rin上的v′γ，其中v′γ是线性增长的，是（1.17）的粘性上解 = 0，v′γ≥ vγ。因此，[0，T）×R上的v′γ=v′γ=\'v′γ和[0，T]×R（2.32）上的v′γ=\'v′γ，因为v′γ是连续的，这表明lim（T，x）→ （T，x）T<Tv′γ（T，x）=v′γ（T，x）=v′γ（T，x）。因此，v′γ是（1.17）的粘度溶液，具有线性增长。备注2.18（几乎最优控制）。在定理2.8的证明中，我们构造了一个从“v”开始的超级对冲策略,K、 δ′γ（t，x）。自“v”,K、 δ′γ（t，x）→\'v\'γ（t，x）=v\'γ（t，x）作为δ， → 0和K→ ∞, 这提供了一种构建与任何初始财富v>v′γ（t，x）相关的超级对冲策略的方法。3增加弹性效应在本节中，我们解释了如何将弹性效应添加到我们的模型中。在离散再平衡设置中，我们将动力学（1.4）替换为xn=X+Z·u（Xns）ds+Z·σ（Xns）dWs+Rn，其中rnn定义为R+nXi=1[tni，T]δntnif（Xntni-) -Z·ρRnsds，对于某些ρ>0和R∈ R

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