多货币信用违约掉期对货币效应和外汇贬值的影响

2022-5-9 17:46:14

（n。pede13@imperial.ac.uk)瑞士信贷，英国伦敦（andrea。petrelli@credit-瑞士。com）。我们的结果表明，这种机制提供了一种更进一步、更有效的方法来模拟信贷/外汇依赖性，而不是在驱动违约强度和外汇汇率的布朗运动之间施加的瞬时相关性，因为单独使用后一种机制无法解释欧债危机期间观察到的基差。AMS分类代码：60H10、60J60、91B70；JEL分类代码：C51、G12、G13关键字：信用违约掉期、流动性价差、流动性定价、强度模型、简化模型、资本资产定价模型、信用危机、流动性危机、贬值跳跃、外汇贬值、全对信用影响、全对CDS、多币种CDS。内容1。导言41.1。建模问题概述。41.2. 以前的文献。61.3. Quanto CD。71.4. 主要贡献。92.型号说明102.1。货币的作用。112.2. 两个市场措施。122.3. Quanto CDS校正的建模框架。152.4. 一个不同的相关模型：指数OU/GBM。162.5. 跳转到默认框架。203.结果253.1。数值方法。253.2. Quanto CDS Par–利差参数相关性。263.3. 测试期限和信用价值对Quanto修正293.4的影响。

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2022-5-9 17:46:17

相关性对短期和长期的影响。293.5. 2011-2013年市场数据的模型校准。304.结论和进一步工作36附录36附录A.命题2的证明36附录B.命题3的证明371。引言1。1.建模问题概述在对提供多种货币保护的信用衍生产品进行定价时，自然需要进行量化违约建模。以不同货币进行信用违约互换（CDS）的原因可能来自财务、经济甚至立法方面的考虑：从必须对冲的投资组合的构成，到投资者所在国现行的会计规则。如果参考实体是主权实体，经济原因将发挥主要作用，因为对于投资者来说，购买保护可能更具吸引力，例如意大利共和国以美元而非欧元违约。事实上，在后一种情况下，货币价值本身与参考实体的默认值密切相关。图1显示了2011年初至2013年底意大利共和国美元计价和欧元计价CDS的面值差时间序列。时间范围的选择是为了包括2011年的欧元债务危机。2011年5月2011年9月2012年1月2012年5月2012年9月2013年1月2013年9月20130100200300400500600利差（bps）s5yeurs5yusd2011年5月2011年9月2012年5月2012年9月2012年1月2013年5月201302040680100-利差（bps）图1：在顶部图表中，意大利美元计价CDS、S5YUSD、安第尔计价CDS、S5YEUR的5Y par利差时间序列。下图显示了两种标准杆间距之间的差异。底部图表显示了美元计价和欧元计价CDS的面值差之间的差异。

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2022-5-9 17:46:21

为了建立一个模型来解释违约信息并产生两种货币的利差，必须对债务人风险率和两种货币之间的汇率的联合演变进行建模。在本文中，我们展示了两种方法来模拟信贷和FXR的联合动态。在第一种方法中，信贷和外汇成分之间的相互作用完全由驱动随机风险率的布朗运动和外汇率之间的瞬时相关性来解释。在第二种更复杂的建模方法中，这两个组成部分之间的依赖性的另一个来源是在参考汇率违约时，以有条件的汇率贬值跳跃的形式引入的。区别方法强调了将信贷/市场互动与风险率和市场风险因素之间的瞬时相关性联系起来的局限性。通过比较模型（图5中的隐含quanto价差与图1中的观测quanto价差），可以看出，单凭瞬时相关性无法解释观测到的quanto价差。这种现象类似于信用相关性工具的定价，在这种情况下，已观察到风险率之间的瞬时相关性无法产生足够程度的依赖性，从而影响指数交易的市场利差（例如，见Brigo等人[2013]，Brigo and Mercurio[2006]，Cherubini等人[2004]）。使用后一种建模方法，我们将展示跳跃到违约效应的引入如何实现比相关布朗运动更强的外汇/信贷依赖性。特别是，增加外汇跳跃可以恢复欧元和美元的利差（见第3.5节中的结果）。

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2022-5-9 17:46:24

此外，我们展示了从CDS市场数据中提取违约时货币贬值幅度的一种强大而简单的方法（见第3.5.2节）。除了多货币CDS，信贷建模中的quanto效应在信贷估值调整（CVA）领域找到了一个自然的应用。CVA是对衍生品合同的公允价值进行的调整，该合同考虑了因缔约方违约而产生的预期损失。我们请感兴趣的读者参考Brigo等人[2013]对CVA建模的全面概述，以及Cherubini[2005]对振荡器建模的具体讨论。对信贷和市场风险因素之间的依赖性进行建模对于准确计算CVA费用至关重要。计算CVA的主要挑战之一是缺乏液体CDS市场数据来校准模型参数。本文所展示的将货币贬值与多币种CDS平价利差联系起来的校准和近似技术也可以应用于CVA建模，例如，更好地反映正确或错误的风险。由此产生的外汇/信贷交叉建模改进至关重要，尤其是在交易对手信贷和外汇组成部分之间的互动很强的情况下，即与新兴市场信贷和系统相关的交易对手。在第2.5节中，我们展示了违约驱动的外汇跳跃的引入如何在衡量标准改变后改变随机风险率的动态。之所以会出现这种情况，是因为从数学角度来看，汇率是氡-Nikodym导数的一个组成部分，它将与两种不同货币相关的风险中性概率度量联系起来。根据Girsanov定理（例如，见Jeanblanc等人[2009]），不同风险下补偿违约过程的动态——中性措施在其组成部分中有所不同。

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2022-5-9 17:46:28

这种漂移取决于外汇汇率和默认过程之间的二次协变量（当这种协变量为零时为零），可以解释为参考实体的仓促风险率。上述结果与汇率建模的另一个方面密切相关，我们将在本文件中称之为外汇对称（见第2.2节的讨论）。在对汇率过程的动态做出的所有可能的分配假设下，并不能保证汇率过程与其倒数之间的一致性。例如，在随机波动性外汇建模的情况下，鉴于互惠外汇利率也是aRadon–Nikodym衍生品，互惠外汇利率不一定具有预期的相同动态。然而，对于几何布朗运动，这种一致性是有保证的。由于外汇汇率/Radon-Nikodym衍生过程的跳转违约特征导致第二个定价指标的风险率发生变化，我们在第2.5.4节中证明，我们的特定外汇模型也保持了对称性。1.2. 之前的文献我们参考了Bielecki等人[2005]对推断PDEto价格违约索赔的一般问题的概述，并参考了Bielecki等人[2008]对简化形式框架中CDShedging的具体问题的概述。有关在简化格式框架中对信贷和外汇进行联合建模并应用于Quanto-CDS定价的介绍，请参阅Ehlers和Sch"onbucher[2006]，ELMohammadi[2009]。Ehlers和Sch"onbucher[2006]提出了将外汇和风险率联系起来的想法，考虑了外汇汇率过程的跳差模型，其中跳差发生在默认时间。与目前的工作不同的是，由于重点是一个有效的过程建模，因此没有给出PDE的明确推导。EL Mohammadi[2009]提出并发展了同样的想法。

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2022-5-9 17:46:31

在这项工作中，我们展示了如何使用基于PDE的方法计算量子校正生存概率。为了做到这一点，作者推导了外汇和风险率联合分布的福克-普朗克方程。我们在下面第2节中介绍的方法基于与上述参考文献中使用的相同的跳转到默认框架。然而，在我们的例子中，量子校正生存概率的计算取决于求解费曼-卡克方程，该方程的解是一个价格，而在EL Mohammadi[2009]中，计算了概率密度分布。在实施层面，这两种方法之间的差异在于，在后一种情况下，需要额外的集成步骤来计算价格。此外，我们制定主要定价公式的方式清楚地表明，要有效实施增量对冲策略，需要哪些工具和金额。最近提出了一种使用定点方法计算CVAin Kim和Leung[2016]的算法。本文展示的技术似乎与长期交易特别相关，在长期交易中，违约成分的特殊跳变对交易对手风险的影响可能更为显著，因此，它们可能对错误的风险估计产生重大影响。关于与长期交易相关的CVA计算的相关示例，我们参考Bi ffis等人[2016]，其中计算了长期性掉期的CVA和抵押成本。Lorig等人[2015]最近探讨了利用具有局部波动性的Lévy过程对可违约资产的期权进行定价的问题，其中导出了标的资产转移密度的一系列渐近展开式。与本文提出的方法不同，在这种情况下，一个单一的随机过程会驱动违约强度和期权的潜在风险。

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能者818

2022-5-9 17:46:34

另一方面，能够解释隐含的波动性，这是第2节所述框架目前缺少的特征，将在未来的工作中探讨。关于结果第3节中介绍的意大利共和国的测试案例，我们注意到欧元区的情况提出了一些有趣的问题，这些问题超出了当前工作的重点——信贷-外汇互动。在这种情况下，不同货币的信用风险之间的相互关联提供了另一层复杂性。从经验上看，德国的quanto CDS基础往往比Greeceone更加显著（见Pykthtin和Sokol[2013]），反映出欧元/美元与德国违约风险率之间的更高相关性，以及德国违约时欧元/美元的更高贬值。1.3. Quanto CDSQuanto CDS旨在以agiven货币为特定实体提供违约保护。有些情况下，比如主权实体或具有系统重要性的公司，投资者可能更愿意购买参考实体资产计价货币以外的货币的保护。

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kedemingshi

2022-5-9 17:46:38

选择此类交易的一个典型原因是为了避免与参考实体违约相关的贬值效应相关的外汇风险。或者，可能需要以不同于参考实体资产计价货币的货币进行保护，因为它是对以该特定货币计价的证券的对冲。溢价部分的贴现现金流∏溢价由∏溢价=ScNXi=0τ>TiDccy（Ti）（1）AB BSccy 1（ccy1）LGD（ccy1）Sccy 2（ccy2）LGD（ccy2）图2：A可以从B以不同货币购买对给定参考实体的保护。等式（1）中的付款流由实心箭头表示，而虚线箭头用于等式（2）中的或有付款。LGD付款虽然以不同的货币结算，但在两份合同中占名义金额的百分比相同。式中，o（T，…，TN）是一组按季度间隔的付款时间；oDccyt（T）是到期日T时货币ccy的随机贴现系数SCI指的是合同价差τ是参考实体的默认时间。保护段由单一现金流∏保护组成，在参考实体违反参考义务时支付∏保护=LGDτ≤TNDccy（τ），（2），其中oLGD是与合同相关的违约损失。使等式（1）中现金流量的预期值等于等式（2）中现金流量的预期值的息差称为面值息差，我们通常使用S来表示。同一参考实体的信用违约掉期的存在，其溢价保护现金流以不同货币支付，在这些合同的面值差价之间形成了基差。图2提供了以两种不同货币结算的两种可能的合同的示意图。我们指的是Elizalde等人。

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2022-5-9 17:46:41

[2010]以及其中的参考资料，以了解quanto CDS市场概况，并全面阐述这些合同的管理规则。我们注意到o主权CDS的标准合同以美元计价。这特别意味着，对于欧元区国家，如意大利、希腊或德国，在包含贬值方法时使用的模型是第2.5.5条中详述的模型参考实体违约时，普通拍卖会设定违约损失（LGD）。如此定义的LGD适用于所有CDS，不考虑其计价货币。1.4. 主要贡献在本文中，我们在简化形式的框架内推导了不同模型下量子CD的定价方程。在这样做的过程中，我们展示了两种主要的机制来模拟信贷和汇率组成部分之间的依赖关系。我们将参考实体上的CDS更具流动性的货币称为“流动货币”，这也将定义用于定价的风险中性度量。我们将假设存在与流动货币不同的货币，并将第二种货币称为“合同货币”。特别是，我们讨论了在合同货币和流动性货币之间的即期汇率上引入贬值跳跃的数学含义，包括定价方程和主要风险因素。更多细节：1。

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2022-5-9 17:46:44

在命题1中，我们表明，如果我们假设汇率定义了流动货币中一单位合同货币的价值，则动态ZTzt=uZZtdt+σZtdWt+γZZt-dDt，Z=Z，（3）其中Dt=τ<是默认过程，则两种电流中的危险率由^λt=（1+γZ）λt联系起来；（4）式中，^λ是与合同货币相关联的度量中的风险率，λ是与流动货币相关联的货币中的风险率。这一结果的一个重要推论是，在CDS par–利差可以通过关系S=（1）近似的情况下- R） λ，par–利差也有类似的结果：^S=（1+γZ）S。（5）我们在第3节中展示了这种近似如何适用于2011年至2013年期间意大利共和国的spar–利差；2.在第2.5.4节中，我们表明，如果我们假设汇率为inEq（3）中给出的动态，那么i）在无套利考虑下，（Zt，t）的漂移≥ 0）由uZ=r给出- ^r- γZλt（1）- Dt）；式中，r是与流动货币相关的定价措施中的无风险利率，^r是合同措施中的无风险利率。或者，考虑到对称性，我们可以使用相同类型的跳跃-扩散过程DXT=uXXtdt对外汇汇率的倒数X=/Z进行建模- σXtdWt+γXXt-dDt，X=z，在第二种情况下，我们将得到由uX=^r给出的漂移- R- γX^λt（1）- Dt），其中γX=-γZ1+γZ；ii）在命题2中，我们证明了（Xt，t）隐含的无套利动态≥ 0）与（Zt，t）的无套利动态类型相同≥ 0). 这是一个通常可能不成立的结果，例如，当随机波动率也包含在内时，或者使用价格不均匀的局部波动率模型，如CEV；3.

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大多数88

2022-5-9 17:46:47

在命题3中，我们给出了一个对短期CDS有效的估计贬值率参数γ的近似公式，并在第3节给出了相应的数值结果。我们详细研究了2011年至2013年期间意大利CDS的货币基差情况，为该时间范围内的每一天提供了一个模型的校准结果，该模型包括对汇率的跳转至违约影响。我们展示了校准后的参数，以及校准后的模型参数如何产生与等式（5）中的近似公式一致的估计值。模型描述我们的信用风险建模框架属于简化形式的方法，因此，不仅描述生存概率的演变，还描述违约事件。在第2.1节中，我们介绍了有关不同货币在quanto CD定价中所起作用的一些定义。在第2.2节中，我们将介绍与两个金融市场合作的一般框架。在第2.3节中，我们将介绍一些有用的公式和定义，以为多货币信用违约掉期定价。在第2.4节中，我们将把随机风险率建模为指数奥恩斯坦-乌伦贝克过程，把外汇率建模为几何布朗运动（GBM），我们将考虑两种驱动差异的相关性。在第2.5节中，我们提出了将因子贬值方法嵌入到离岸汇率动态中的建议。这提供了一种扩展第2.4节所示模型的方法。我们首先考虑一个概率空间(Ohm, F、 Q，（Ft，t）≥ 满足通常的假设。特别是（Ft，t≥ 0）是一种过滤，在这种过滤下，风险因素的动态被调整，参考实体的默认时间是停止时间。

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2022-5-9 17:46:54

根据具体示例，我们还将考虑具有不同等效度量的空间，例如与流动货币市场相关的风险中性度量或与合同货币市场相关的风险中性度量。我们将使用Cox过程模型作为违约成分，我们将把违约事件的随机强度简单地称为风险率或强度，并交替使用这两个术语。与信贷风险建模的所谓“简化形式”框架（见Lando[2004]、Brigo和Mercurio[2006]）中遵循的通常方法不同，我们不引入只有驱动市场风险的随机过程才可测量的二次过滤。2.1. 货币的作用在本节中，我们对建模方法中使用的货币的作用进行了一些定义。对于任何quanto CDS定价，我们将考虑以下两种相关货币：o合同货币——这种货币是合同的属性：它是支付溢价和保护条款的货币。在考虑quanto CDS的应用时，对于给定的参考实体，CDS至少有两种不同的合同货币流动货币——这是给定实体中流动性最强的CDS的合约货币。它用于定义用于定价和校准模型的风险中性度量。我们在此列举两个例子来说明合同货币和流动货币的使用。1.美元定价——以欧元结算的意大利共和国CDS的计量单位；总过滤量（Ft，t≥ 0），包括市场和违约风险，是我们将考虑的唯一过滤（在Brigo and Mercurio[2006]中称为（Gt））。

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2022-5-9 17:46:57

我们注意到，考虑第二次过滤的实际原因是，这允许将利率衍生产品定价的理论结果应用于信用风险衍生产品定价。然而，由于我们在下面所做的具体模型选择，这不会带来任何真正的优势，如第2.4.2和2节所示。5.5，通过使用单一过滤，我们可以使用PDE方法计算quanto调整。测试用例1测试用例2合同货币EUR USD流动货币USD表1：第2.1.2节详述的测试用例定价中涉及的货币。以美元计价——以美元结算的意大利共和国CDS。我们在表1中为每个测试用例指定了两种货币的值。我们选择了测试用例，因此对于所有的测试用例来说，美元都是流动货币，但对于以多种货币提供的所有CD来说，这并不一定是正确的。值得注意的是，测试用例2可以使用常用的单一货币方法定价。测试案例1和2将在第3.5节中使用，以说明第2.5.5节中规定的模型解释市场中观察到的货币基础的能力。2.2. 两个市场衡量在本节中，我们总结了在存在FX效应的情况下，有关衡量变化的已知结果。这样做主要是为了建立符号，并为以下原始开发设置场景。让我们分别考虑与流动货币和合同货币相关的两个经济体。让我们也将相应的货币市场账户视为这两个经济体的基准。

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2022-5-9 17:47:02

我们将使用一个帽^来表示控制货币经济中的变量，例如，两个数字是（Bt，t）≥ 0）对于流动货币经济和（^Bt，t）≥ 0）对于合同货币经济。货币市场账户的动态由dbt=rtBtdt，B=1，（6）d^Bt=^rt^Btdt，^B=1，（7）式中（rt，t≥ 0）和（^rt，t≥ 0）是描述两个经济体短期利率的随机过程。让我们也考虑一下汇率（Xt，t≥ 0）在两个经济体的货币之间。XT定义为t时即期交易所中以外币单位表示的一单位流动货币的价格。我们有兴趣找到Radon–Nikodym导数的表达式，该表达式将概率度量从^Q更改为Q。这可以通过使用数字转换技术和以合同货币计价的通用支付来计算，由函数^φT表示。为此，如上所述，我们考虑合同货币市场账户（^Bt，T）≥ 0），作为计量单位^Q的计分法，而对于计量单位Q，我们仍然使用流动货币货币市场账户，但其价值以合同货币（（XB）t，t表示≥ 0). 合同货币支付的价格可以用两种方法表示：Et“Bt”Bt^Bt^φT#=Et“BtXtBTXT^φT”。（8）另一方面，左侧的^Et[·]期望可以写成^Et“^Bt^Bt^φT#Et”^BtBTXT^btbtbtxtbtxt^φT#（9），上面的两个表达式可以用来获得氡-尼科德姆导数，该导数定义了从^Q到Q的度量变化：LT:=dQd^Q | FT=btxtbtbtxt^Bt Bt Bt≥ 0）我们从以ft为条件的预期值开始。

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2022-5-9 17:47:09

然而，在整个工作过程中，我们主要关注的是在Fso条件下的预期值，即对于以下章节中的所有应用，我们将使用上面的公式t=0和t=t，即lt=Bt^BtXtX，L=1。（11）假设1。在下文中，我们将考虑流动货币和合同货币经济的确定性利率。这意味着货币市场账户将由DBT=r（t）Btdt，B=1，（12）d^Bt=r（t）^Btdt，^B=1，（13）代替（6）和（7）来描述。为了简化符号，在大多数情况下，我们将在下面的等式中去掉r（t）和^r（t）的t-依赖关系。等式（11）中定义的过程必须是外测中的鞅。该条件可与假设1一起用于确定（Xt，t）的漂移≥ 0).根据伊藤的公式，（Lt，t）的动力学≥ 0）可以写为dlt=dBt^BtXtX=Bt^BtX（dXt+rXtdt）- ^rXtdt），L=1。（14）例如，如果我们假设外汇汇率Dxt=uXXtdt+σXtd^Wt，X=X，（15）的对数正态动力学，然后询问（Lt，t≥ 0）在等式14中是一个鞅，它带来了熟悉的条件uX=^r- r、（16）备注1。更一般地说，在a（Xt，t）的情况下，同样的结果成立≥ 0）类型dxt=uXXtdt+νd^It，X=X，（17）其中（^It，t）≥ 0）是一般的^Q-鞅。一个类似的论点将导致，从合同货币度量开始，到流动货币度量，为过程设置一个漂移条件（Zt，t）≥ 0）定义为Zt=Xt。我们可以用（Xt，t）的相同方法来定义它≥ 0），作为年龄计量布朗运动，其漂移通过套利考虑确定dzt=uZZtdt+σZZtdWt，Z=Z。在这种情况下，Radon–Nikodym度量将由byLl给出→ct=Zt^BtZBt，Ll→c=1。（18）要求（Ll）→ct，t≥ 0）必须是流动货币度量下的鞅，将漂移项设置为uZ=r- ^r。

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2022-5-9 17:47:13

（19）备注2（对称性）。或者，我们可以推导出（Zt，t）的动力学≥ 0）从（Xt，t）开始≥ 通过将伊藤公式应用于Zt=f（Xt）给出的过程，其中f（x）=/x，可以推导出（Zt，t）的动力学≥ 0）在^Q中。一旦知道其动力学性质，就可以使用Girsanov定理计算Q下驱动鞅的形式。在为汇率选择对数正态动力学的情况下，后一种方法和从Radon-Nikodym导数Eq（18）开始的方法得出了相同的结果。下文第2.5.4节给出了FXrate动态也受到跳转至违约影响时的详细计算。在某些情况下，例如随机波动率外汇汇率模型，从外汇汇率的不同规格开始，可能会产生差异，因为无法保证在两种不同规格下获得的无套利动态之间的一致性。在这些模型中，如果从X开始作为原始建模量，然后根据Xt定律暗示Z在某个时间t的分布，那么将得到的分布可能与从Zas开始的基于与X相同动力学特性的原始建模量的分布不同。在量子CDS定价的应用中，如果在公式（8）中使用了汇率，并且根据具体情况，我们可能有兴趣在流动货币度量或合同货币度量下对其进行定价或校准，则使用一种或另一种规格存在一定程度的随意性。两种规格之间的一致性是避免结果取决于上述选择的理想特性。2.3.

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2022-5-9 17:47:16

Quanto CDS修正的建模框架在本节中，我们推导了模型——合同货币不同于用于确定定价指标的流动货币的或有权益定价的独立公式。在接下来的章节中，我们将展示这些公式在主要风险因素的不同动力学假设下的应用。让我们从计算可违约零息债券的价值开始；然后，它将被用作计算CDS值的构建块。为此，我们选择一个payoff函数^φT=τ>Tin等式（9），并写出^Vt（T）=^Et“^Bt^Btτ>T#=Et^Bt^Btτ>Td^QdQ. （20）使用（10）中的Radon–Nikodym导数，可以通过在流动货币经济中取期望值来计算控制货币经济中的未定权益价格：^Vt（T）=btznet“ZTBTτ>T#。在假设1下，上述可重写为^Vt（T）=B（T，T）znet[ZTτ>T]，（21）其中B（T，T）=Bt Bt Bt Bt是从时间T到时间T的贴现系数≤ T将外币生存概率定义为^pt（T）：=^Vt（T）^B（T，T）可能有用。（22）主要是出于计算方面的原因，因为这种定义很容易让为单一货币计算而定义的CDS定价者重新用于quanto CDS定价。现在让我们考虑一下以合同货币U结算的可违约零息债券的流动货币价格。该价格由以下公式得出：Ut（T）=^Vt（T）Zt=B（T，T）Et[Ztτ>T]。（23）作为可交易资产的Q-价格，过程的漂移（Ut，t≥ 0）必须由r（t）Utdt给定。因此，我们可以写一个费曼-卡克方程来计算Ut（T）。一旦被测物（T）已知，可将^pt（T）计算为^pt（T）=Ut（T）Zt^B（T，T）。(24)2.4. 一个不同的相关模型：指数OU/GBMIn本节我们提供一个特定的模型来计算U。

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2022-5-9 17:47:19

我们将使用在liquidmeasure中定义和校准的ahazard汇率流程和外汇汇率流程。让我们用（λt，t）表示≥ 0）由λt=eYtwhere（Yt，t）给出的随机过程≥ 0）isan Ornstein–Uhlenbeck过程定义为YT=a（b）的溶液- Yt）dt+σYdW（1）t，Y=Y，（25）其中参数（a，b，σY，Y）∈ R+×R+×R+×R+×R+。让我们也考虑一个GBM过程，即外汇汇率DZT=uZZtdt+σZZtdW（2）tZ=z，（26），其中uz由无套利考虑因素设置，在本例中由等式（19）给出，其中（σz，z）∈ R×R+。在这个模型中，外汇和信贷之间的依赖关系可以通过两个驱动布朗运动ρ之间的内在相关性（二次协变量）来确定∈ [-1,1]，d hW（1），W（2）it=ρdt。从第2.2节的结果来看，与Z方向相反的外汇汇率，即X=/Z遵循DXT=uXXtdt+σXXtd^W（2）t，X=X，（27），其中uX由等式（16）和σX=-σZ.Let最终（Dt，t≥ 0）为默认过程Dt=τ<t。备注3。由于注释2中描述的外汇汇率的几何布朗运动的对称关系成立，因此我们选择tomodel（Zt，t）并不重要≥ 0），或（Xt，t）≥ 0），因为这两种动态是一致的。备注4。选择（指数OU和GBM）动态主要是因为风险率过程需要保持非负。然而，可能存在局部波动的不同塔扎德速率动态，可以使用下面给出的相同框架轻松解释，因为它们仅由维纳过程和无跳跃过程驱动。

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2022-5-9 17:47:23

关于违约强度平方根过程的使用，已经产生了大量文献，主要是因为它们在获得债券、CDS和CDS期权的封闭形式解决方案方面的可操作性，参见Brigo and El Bachir[2010]和Brigo and Alfonsi[2005]，其中还讨论了CDS曲线的精确和封闭形式校准。相反，对于汇率动态而言，没有选择的自由，因为无套利条件给出了漂移，引入局部或随机波动性可能会打破汇率与其倒数之间的对称关系。2.4.1. ^Q度量中的风险率动力学我们假设风险率过程动力学在Q中已知。知道度量Q和度量^Q之间的拉东-尼科德姆导数将允许我们将风险率的动力学写在^Q中。这可以通过使用Girsanov定理获得，根据该定理，d^W（1）t=dW（1）t-d hW（1），ZitZt=dW（1）t- ρσZdt（28）使dyt=a（b- Yt）dt- σYρσZdt+σYd^W（1）t.（29）2.4.2。定价方程在这一节中，我们推导出一个定价方程来计算U的价值。我们遵循Bielecki等人[2005]中使用的方法。考虑到迄今为止定义的所有过程的强马尔可夫性，Ut（T）可以表示为T、Zt、yt和Dt的函数。让我们用f（t，z，y，d）表示Zt=z，Yt=y和Dt=d在t处的值。f是一个依赖于连续过程和跳跃过程的函数，其Ito差异可以写为（例如，见Jeanblanc等人[2009]）dft=rf dt+tf dt+采埃孚uZz dt+σZz dW（2）t+ yfa（b）- Yt）dt+σYdW（1）t+σZzzzf dt+σYyyf dt+ρσZσYzzyf dt+f dDt，（30），其中，由于一些符号的滥用，我们将跳转至默认术语定义为f:=f（t，Zt）-+ Zt，Yt，Dt-+ Dt）- f（t，Zt）-, Yt，Dt-).

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2022-5-9 17:47:26

（31）用于（Dt，t）的补偿器≥ 0）在测量中，Q被定义为过程（At，t≥ 0）如此-Atis a Q–关于（Ft，t）的鞅≥ 0). （Dt，t）的补偿器≥ 0）由（见Jeanblanc等人[2009]中的引理7.4.1.3）dAt=τ>tλtdt给出。（32）我们将由此产生的鞅定义为（Mt，t）≥ 0). 它由mt=Dt给出- 在（33）因此，等式（30）中最后一项的补偿器可以写成τ>teYtf、（34）以Ft为条件，Dt=d，Zt=z，Yt=y等于（1- d）嗯f（t，z（1+γz），y，1）- f（t，z，y，0）dt。（35）可以编写Feynman–Kac型PDE来计算Ut（T）的值。的确（Ut，t）≥ 0）是一个Q-价格，因此，它必须以r的速率局部增长。因此，它的漂移必须满足以下等式tf+uZzzf+a（b）- Yt）yf+σZzzzf+σYyyf+ρσZσYzzyf+ey（1）- d）f=0，其中，为便于阅读，省略了f对状态变量（x，y，t，d）的显式依赖关系。如果不是上一个术语，这将是无违约支付的典型PDE。顺便说一句，这个跳转到违约术语也是方程中f（t，z，y，0）和f（t，z，y，1）同时出现的唯一术语。事实上，通过调节Firston d=1，然后在d=0时，我们可以解耦两个函数su（t，z，y）：=f（t，（1+γz）z，y，1），（36）v（t，z，y）：=f（t，z，y）（37），并通过迭代求解两个独立的PDE问题来计算它们。我们首先求解u，对于d=1，最后一项不会出现在方程中，一旦计算出u，我们就用它来求解v。两个函数的最终条件分别由v（T，z，y）=f（T，z，y，0）=z；（38）u（T，z，y）=f（T，z，y，1）=0。（39）为了获得u，必须解决的偏微分方程问题如下所示：屠=-uZz祖- a（b）- y）于-σZxzzu-σYyyu- ρσZσYzzyu（40）u（T，z，y）=0。

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2022-5-9 17:47:30

（41）这个问题的解决办法是≡ 因此，在这种情况下，我们可以直接求解v的微分方程，然后由电视=-uZzzv- a（b）- y）伊夫-σZxzzv-σYyyv- ρσZσYzzyv+eyv（42a）v（T，z，y）=z.（42b）备注5（u和v的解释）。函数u和v表示带payoffφ（x，y，d）的衍生工具的违约前和违约后价值。该衍生产品的价格可以写成vt=τ>t-Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=d, （43）其中，由于过程（Xt，t）的强马尔可夫性≥ 0），（Yt，t≥ 0）和（Dt，t≥ 0），右侧的预期值可以写成asf（t，x，y，d）=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=d. （44）这可以分解为f（t，x，y，d）=d=1u（t，x，y）+d=0v（t，x，y），其中v（t，x，y）：=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=0, （45）u（t，x，y）：=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=1, （46）事实上f（t，x，y，d）=Etφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=d=τ>tEtφ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=0+τ ≤春节φ（XT，YT，DT）|XT=x，YT=y，DT=1=τ>tv（t，x，y）+τ≤tu（t，x，y）（47）作为τ>和τ≤皮重可在Ft过滤中测量。衍生产品的价格可以写成vt=τ>tv（t，Xt，Yt）+Dtu（t，Xt，Yt），（48）我们定义的Dt:=τ>t-τ>t-. (49)2.5. 跳转到默认框架第2.4节中描述的基于指数OU的模型可以通过在汇率动态中加入贬值机制来扩展。通过将贬值与违约事件联系起来，有可能在（λt，t）之间引入另一种依赖来源≥ 0）和（Xt，t）≥ 0).

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2022-5-9 17:47:34

第3节将表明，这将被证明是一种更适合模拟quanto–CDS基差的机制。本节组织如下：在第一小节中，从第2.5.1节到第2节。5.4，我们将总体讨论风险因素的动态如何受到外汇组成部分的跳转违约效应的影响。鉴于Radon–Nikodym导数取决于外汇汇率，预计这一变化将对所有风险因素产生影响，这些风险因素的动态必须以不同于最初校准它们的方式记录，并可能在外汇对称性上进行讨论，见备注2。在这个新的、更一般的框架中，这一点也被证明是正确的（见命题2）。在第2.5.5节中，我们将第一小节的一般结果应用于quanto CD的定价。2.5.1. 风险因素动态让我们考虑外汇汇率的跳跃-扩散过程，而不是（26），同时我们将对风险率λt=eYt:dYt=a（b）保持相同的模型选择- Yt）dt+σYdW（1）t，Y=Y，（50）dZt=\'uZtdt+σZZtdW（2）t+γZZt-dDt，Z=Z，（51）d hW（1），W（2）it=ρdt（52），其中，与之前一样，参数（a，b，σY，Y）∈ R+×R+×R+×R+×R+，（σZ，Z）∈ R×R+，ρ∈ [-1,1]，其中γZ∈ [-1.∞) 是外汇流程的贬值/重估率。使用该贬值系数的典型情况是，参考实体的违约可能会对其本国货币的价值产生负面影响。例如，如果意大利违约，我们预计以美元表示的欧元价值会下降。我们没有具体说明（Zt，t）的漂移项≥ 0）我们只是使用¨u来区分它和uZ。第2.5.4节将显示，如果我们希望等式（18）中定义的过程仍然是鞅，引入跳跃项将导致不同于等式（19）的结果。备注6（跳跃）。

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2022-5-9 17:47:37

SDE中关于跳跃扩散过程的跳跃项可以用（Dt，t）等价描述≥ 0）或补偿过程（Mt，t≥ 0），使用一项或另一项的影响只是漂移项的变化。我们更喜欢在引入外汇流程时使用非补偿项，以突出跳跃结构，从而增加外汇和信贷成分之间的依赖性。另一方面，利用补偿鞅（Mt，t≥ 每次使用资产定价的基本定理来推导无套利漂移条件时，都会自然而然地产生0），例如，当使用等式（14）来推导下面的等式（61），如第2.5.5节所示，来推导主要的定价方程。2.5.2. 考虑到（Ll）的依赖性，风险率和汇率在^q中的动态→ct，t≥ 0）on（Dt，t）≥ 0）通过（Zt，t）≥ 0），在这种情况下，测量值的变化不仅改变了（Wt，t）的预期值≥ 0），以及（Mt，t）的预期值≥ 0）最初由dMt=滴滴涕给出- (1 - 然而，Girsanov定理提供了获得新测度中鞅所需的每个过程的调整。d^Wt=dWt-d hW，ZitZt=dWt- σZdt，（53a）d^Mt=dMt- (1 - Dt）γZλtdt。（53b）^Q中的维纳过程分解由第2.4节中使用的相同公式给出，而我们推导了（Dt，t）的鞅分解≥ 0）由于以下提议1。让（Mt，t）≥ 0）是与默认过程（Dt，t）相关联的鞅≥0）以本国货币计量Mt=滴滴涕- (1 - Dt）λtdt，然后应用Girsanov定理，可以在外测度（^Mt，t）中写出相应的鞅≥ 0）asd^Mt=dMt-迪恩→城市→ct=dMt- d hD，γZDit=dMt- (1 - Dt）γZλtdt（54）=dDt- (1 - Dt）（1+γZ）λtdt（55），其中（Ll）的动力学→ct，t≥ 0）由公式（18）和公式（51）定义。

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2022-5-9 17:47:41

等式（55）表明，推动外币违约事件的泊松过程的强度由^λt:=（1+γZ）λt（56）证明给出。按零件进行集成d（^MtLl→ct=Ll→ctd^Mt+^MtdLl→ct+d[^M，Ll→c] t=Ll→ctd^Mt+^MtdLl→ct+γZLl→ctdDt=Ll→ct（dMt）- (1 - Dt）γZλtdt）+^Mtd^Lt+γZLl→ctdDt=Ll→ctdMt+^MtdLl→ct+γZLl→ctdMtso程序（（Ll→c^M）t，t≥ 0）在国内测度中是鞅，因为它可以写成局部鞅上的随机积分之和。因此，该过程（^Mt，t≥ 0）是外来测度中的局部鞅。备注7（CDS par–价差近似值）。在所有已知的情况下≈S1- R（57）在风险率、CDS par–利差S和恢复率R之间，可以用CDS par–利差而不是风险率来表示inEq（56）的关系，例如，当风险率在时间上是恒定的，且premiumleg的现金流可通过连续复合付款流近似计算时（见Brigo and Mercurio[2006]）。2.5.3。如命题1所示，在这两种度量中，风险率的大小取决于我们是用^Q还是Q来定价未定权益。如果我们仍然考虑风险率演化的指数OU模型，则命题1中得到的关系，^λt=（1+γZ）λtca可以用提取过程（Yt，t）来转换≥ 0）和（^Yt，t≥ 0）asYt=loge^Yt1+γZ从中我们可以看出。（59）在编写定价PDE时，该结果可能很有用，因为价格可以在国内度量中作为预期进行计算，而在国外度量中可以定义随机过程集。2.5.4. 这两个指标中的汇率动态和对称性该模型中的汇率是一个跳跃-扩散过程，其跳跃由（见等式（51））给出Zt=γZZt-Dt。

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2022-5-9 17:47:46

（60）请注意，外汇汇率的这种规定也受到套利约束，例如等式（18）定义的Radon Nikodym导数是鞅。在方程式（51）给出FX动态的情况下，方程式（19）的等效条件由¨u=uZ提供- λtγZτ>t=r- ^r- λtγZτ>t.（61）尽管在汇率动态中引入了跳跃，注释2中强调了（Xt，t）之间的一致性≥ 0）和（Zt，t≥ 0）进行维护。从实践的角度来看，这意味着我们不需要担心使用哪种汇率，可以将其作为第一种汇率的转换，并保证满足相关Radon–Nikodym衍生品的无套利关系。这一点在下一个建议2中得到了证明（贬值下的外汇汇率对称性跳变为违约）。让我们考虑一个外汇汇率过程，其国内测度Q的动态由公式（51）规定，其漂移由公式（61）给出。然后是过程的动力学（Xt，t≥ 0）其中，在foregin度量^Q中，xt=/zt由dxt=（^r）给出- r） Xtdt- σZXtd^W（2）t+Xt-γXd^Mt，X=z，（62），其中（Xt，t）的贬值率≥ 0）由γX=-γZ1+γZ.（63）尤其是（62）使得等式（11）定义的Radon–Nikodym导数是^Q-鞅。证据另见附录a，突出显示跳跃的表示可用于（Xt，t）的^Q动力学≥ 0）dXt=^r- R- (1 - Dt）γXλtXtdt- σZXtdW（2）t+Xt-γXdDt，X=z.（64）2.5.5。定价等式在本节中，我们考虑流动货币和定价货币重合且不同于合同货币的情况。如第1.3节所述，这是以美元计价的典型设置——欧洲货币联盟国家的市场衡量CDS，因为这些国家的标准货币是美元。

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2022-5-9 17:47:49

如果想要在美元计量中为此类参考实体的欧元计价合同定价，必须首先将风险率校准为美元计价合同，然后使用本节推导的方程式进行定价。这也是产生下文第3.5节所示结果的程序。在不丧失一般性的情况下，我们将研究与国内度量Q.dYt=a（b）相关的流动货币和定价货币的情况- Yt）dt+σYdW（1）t，（65）dZt=？uZZtdt+σZZtdW（2）t+γZZtdDt（66）d hW（1），W（2）it=ρdt（67），其中dmt=dDt- (1 - Dt）λtdt（68），因此无套利漂移由（见等式（61））μZ=r给出- ^r- γZ（1）- Dt）λt.（69）广义伊藤公式的应用（例如，见Jeanblanc等人[2009]）允许我们写出（Ut，t）的Q–动力学≥ 0). 使用Ut=f（t，Zt，Yt，Dt）：df=rf-Dt+tf dt+采埃孚\'-uZz-dt+σZz-dW（2）t+γZz-dDt+yfa（b）- Yt）dt+σYdW（1）t+σZzzzf dt+σYyyf dt+ρσZσYzzyf dt+滴滴涕- 采埃孚Zt。f dynamics可以用第2.4.2节讨论的相同方式推导定价方程：电视=-（r）- ^r）zzv- a（b）- y）伊夫-σZzzzv-σYyyv- ρσZσYzzyv+ey（v）- γZzzv）（70a）v（T，z，y）=z.（70b）2.5.6。从汇率贬值因子推断违约概率贬值因子可以将（51）中引入的汇率贬值因子与概率调整因子联系起来。这是在下面的命题3（违约概率贬值）中完成的。在小男高音的假设下：→ 0，（71）ii）驱动外汇和风险率过程的布朗运动之间的独立性：ρ=0，（72）可通过1来近似计算修正后的定量违约概率和单一货币违约概率的比率- ^p（T）1- p（T）≈ 1+γZ.（73）证明。见附录B.3。结果3。1.

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kedemingshi

2022-5-9 17:47:52

数值方法为了产生本节中给出的结果，对PDE–系统（70）进行了数值解算，既用于量子调整生存概率的直接计算，也用于第3.5.1节中稍后描述的校准问题。zuσZa b yσYT0。8 0.0 0.1 0.0001-210.0-4.089 0.2 5.0表2：图3中用于产生par-价差影响的参数为此，我们采用了一种属于交替方向隐式（ADI）方案家族的有限差分方法。已使用的方案描述见During等人[2013]。必须注意的是，PDE系统（70）由定价PDE和终端条件组成。为了将所选方案应用于此类PDE系统，我们还必须指定边界条件。为此，我们既不使用Neumann条件，也不使用Dirichlet条件，而是在边界上将解的二阶导数设为零。3.2. Quanto CDS Par–利差参数依赖性在本节中，我们展示了通过更改某些参数的值如何影响Quanto校正的CDS Par–利差。具体而言，我们在图3中显示了CDS par的依赖性-扩散对ρ和γZ值的依赖性。我们在图4中显示了CDS par的依赖性-扩散对σZ值的依赖性或σY的不同值。对于所选的值范围，σYthan对σF X的依赖性更强我们在图5中显示了CDS par–利差对ρ值的依赖性，σY的不同值。特别是，我们显示了相关性的影响如何随着σY的增加而增加。正如人们所预期的那样，在本分析中，对利差值影响最大的参数是贬值率γZ（见图3）。

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