基于随机回收率的信用违约掉期溢价建模

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Modeling credit default swap premiums with stochastic recovery rate》
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作者：
Zahra Sokoot, Navideh Modarresi, Farzaneh Niknejad
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
There are many studies on development of models for analyzing some derivatives such as credit default swaps .
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中文摘要：
有许多研究都是针对信用违约掉期等衍生工具的分析模型开发的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Modeling_credit_default_swap_premiums_with_stochastic_recovery_rate.pdf
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大多数88

2022-5-31 23:39:37

用托卡斯蒂克回收率建模信用违约掉期溢价。索科特*, N、 Modarresi+，F.NiknejadAbstracts有许多关于开发模型的研究，用于分析一些衍生工具，如信用违约掉期（CDS）。采用L'evy过程驱动的连续时间自回归移动平均（CARMA）对CDS溢价进行建模。它基于在成熟期时变的随机回收率，使模型适合于评估保费分期。我们证明了该模型是一类单期限结构模型。通过模拟CARMA（2,1）过程，说明了该模型在确定最合适参数方面的有效性。此外，本文还给出了一些公司的每日CDS数据集，并对模型之间的贝叶斯信息准则进行了比较。关键词CD传播。随机恢复率。CARMA modelJEL分类C15。C32.G131在金融市场中，衍生品使各方能够交易特定金融风险，并有助于提高市场效率。衍生工具是衍生现货价格时间序列（如远期、期货、期权和掉期）价值的金融合约。信用违约掉期（CDS）是最重要和最适用的衍生工具之一。关于信用风险的评估、对冲和建模有很多研究[4]。与任何掉期一样，对CDS进行估值需要计算交易的两个分支（溢价分支和默认分支）的现值。Wemmenhove描述了CD的模型*阿拉梅·塔巴塔巴伊大学，德黑兰，伊朗，电子邮件：sokoot921@atu.ac.ir+伊朗德黑兰阿拉梅塔巴塔拜伊大学数学和计算机科学学院。电子邮件：n.modarresi@atu.ac.ir.阿拉梅·塔巴塔伊大学，德黑兰，伊朗，电子邮件：f。niknejad@atu.ac.ir。并为其提出了一个预测模型[20]。

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mingdashike22

2022-5-31 23:39:40

此外，还重新分析了欧洲信用衍生品atCDS利差的决定因素[12]。提供了一个在信用风险中破产过程遵循离散状态空间马尔可夫链的马尔可夫模型，并使用可观测数据估计该过程的参数[14]。恢复率和违约概率在债券价格中起着重要作用，有许多研究试图对恢复进行建模，并理解其对深度值的影响[3]。此外，本文还对违约风险各组成部分与违约概率和回收率之间的关系进行了建模和实证研究[1]。Jaskowaki等人提出了一种简化的连续时间模型，用于估计预期的回收率，并使用Bayesian MCMC算法估计参数[13]。一类已被证明是显著灵活的结构或检查违约风险债券动态的模型是一种有效期限结构（ATS）模型。该模型表明，一小组共同事实的时间区域时不变线性函数中的任意点的利率。ATS模型从金融市场中不存在套利机会的假设出发，并隐含着资产定价的正随机过程的存在【9】。这些模型在近似真实产量动态方面表现良好。给出了基于不同参考实体CDS保费的连续时间动态统计模型【10】。L'evy drivencontinuous time ARMA（CARMA）过程的采样混响被用作CDS premium航段建模的合适模型。Brockwell等人。

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大多数88

2022-5-31 23:39:43

介绍了CARMA过程，并基于离散形式估计了模型的参数，特别是在等空间样本中[8]、[7]、[6]。提出了一种新的计算拟似然t的表示方法，用于计算具有不规则间隔数据的时间序列参数的最大高斯似然度[19]。对于L'evy驱动的CARMA过程，考虑到测度的一般非高斯性质的估计程序还不太成熟。恢复率在信用风险衍生工具的估计和定价中起着关键作用，通常假设恢复率是恒定的，与违约无关，但它不现实且不公平。结果表明，恢复率可以是可变的，而且与违约强度有关。为了区分公司的风险并确定违约期限，我们考虑了随机回收率模型并比较了结果。本文提出了期限结构时间序列模型下的新模型，并考虑了公平违约支付在风险公司合同中的应用。我们研究了一类特定的背景L’evy CARMA过程，用以模拟具有随机回收率的CDS溢价（CDSP-SRR）。该过程是一个随机微分方程的平稳解，因此在实际数据分析的第一步中，我们使用平稳性测试，然后应用一种方法找到CDSP-SRR的最佳模型。在CDSP-SR R模型中，为CARMA（p，q）过程选择合适的顺序与用恒定回收率（CDSP-CRR）建模CDS溢价的相同【10】。此外，一些公司的数据分析结果表明，jumpscan的分布是复合泊松分布、正态逆高斯分布（NIG）和其他L'evy过程。论文的其余部分组织如下。

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kedemingshi

2022-5-31 23:39:47

第2节介绍了由列维过程、ATS模型和CDS合同的基本定义驱动的前期工作和CARMA模型。在第3节中，我们证明了列维驱动的CARMA模型是ATS。第四节介绍了CDSP-SRR的动态特性。此外，在第5节中，我们模拟了CDSP-SRR模型和特定的CARMA过程。对开发的模型进行了说明，并与CDSP-CRR进行了比较。为了比较估计模型，我们使用贝叶斯信息准则（BIC），并选择在整个候选集上给出最小BIC的模型。我们使用了来自欧洲和北美市场的242家公司的每日CDS溢价数据集。2准备工作在本节中，我们介绍了由L'evyprocess驱动的线性平稳CARMA模型。然后，我们对ATS模型和CDS等概念进行了描述。2.1列维驱动的CARMA模型我们讨论列维驱动的CARMA过程，并审查其定义和性质[7]。定义2.1根据以下形式方程的状态空间表示，定义了二阶L'evy驱动的连续时间ARMA（p，q）过程。Fort>0a（D）Yt=b（D）DLt（2.1），其中D den otes与t的差值{Lt，t>0}是一个具有有限秒矩的L'evy过程，anda（z）：=zp+azp-1+ ... + ap，（2.2）b（z）：=b+bz+…+英国石油公司-1zp-1（2.3）如果系数a。。。，ap，b。。。，英国石油公司-1对于q<j<p，是复杂值系数，因此Bq=1，bj=0。为了避免琐碎且容易消除的并发症，我们假设a（z）和b（z）没有共同因素。状态空间表示由观测方程和状态方程组成，Yt=b′Xt（2.4）dXt- AXtdt=edLt，（2.5），其中{Xt，t>0}是一个状态过程，是方程andA的解：=0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...............0 0 0 . . . 1.-ap公司-ap公司-1.-ap公司-2.

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nandehutu2022

2022-5-31 23:39:49

-一, e:=..., b：=bb。。。英国石油公司-2个基点-1.（2.6）对于p=1，矩阵A等于-a、命题2.1如果{Xt，t>0}独立于L'evy过程{Lt，t>0}，其中e[L]<∞ 那么{Xt，t>0}是一个二阶平稳过程，当且仅当IGENVALUESλi，i=1，2，矩阵A的p都有负实部。备注2.2矩阵A的特征值为自回归多项式A（z）的零点。在特定条件下，特征值{Yt，t>0}是{Lt，t>0}的因果函数。因此，Yt=b′x具有以下移动平均值表示nYt=Zt-∞b′eA（t-u） e dLu。（2.7）和等效Yt=-R∞b’eAue dL（t-u）。同样，在这个条件下，通过CARMA过程{Yt，t≥ 0}可以写成一阶连续时间自动集成过程的线性组合，由L'evy驱动，后台驱动L'evy过程是可恢复的，内核可以写成b′eAue=pXi=1b（λi）a′（λi）eλiuI（0，∞)（u）其中a′（·）是多项式a（·）的一阶导数。因此，上述等式从征税过程的角度为CARMA过程提供了更一般的定义。我们使用等间距采样过程来估计底层连续时间过程的参数。驱动L'evy过程的非递减特性和相应离散时间增量的无n负性允许和效率估计过程。2.2单一期限结构在ATS模型中，任何时间点的利率和一些衍生品都是时不变的。该模型具有灵活的结构，可以控制无违约风险债券的动态【5】。

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kedemingshi

2022-5-31 23:39:52

ATS模型基于金融市场中不存在套利机会的假设，并暗示存在一个严格的正随机过程。定义2.2如果期限结构F的形式为p（t，t）=F（t，rt，t）（2.8），其中F（t，X，t）=eA（t，t）-B（t，t）X（2.9）和A，B是终端函数，则该模型被称为具有ATS。函数A和B是t和t的两个实数变量函数，但从概念上讲，i t更容易将A和B视为t的函数，而t充当s A参数。事实证明，从分析和计算的角度来看，ATS的存在是非常令人满意的。因此，我们有兴趣了解这种结构何时出现。2.3信用违约掉期是一种衍生工具，文件确定了参考实体或参考义务。参考实体是债务工具的发行人，可以是公司、主权ZF或银行。当存在参考实体时，CDS一方有权根据特定约束条件交付发行人的一项义务【2】。在单名CD中，如果出现违约，B同意向a支付违约金。如果在默认掉期到期之前参考证券没有违约，则对方B不支付任何费用。A为违约保护支付费用，该费用可以是定期费用，直到违约为止。如果在两个费用支付日期之间发生违约，a仍需支付在违约时间之前发生的下一次费用支付的分数。CDS合同的溢价段（PL）是一种固定溢价（CDS价差），必须在合同到期时由保护买方支付。保护卖方必须减少到期前发生的信用事件，即对方违约期限（DL），否则无应付款项。

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可人4

2022-5-31 23:39:56

f航空费按以下公式计算。P VDL：=等式[DL（CTs）| Gs]=等式[P L（CTs）| Gs]=：P VP L，（2.10）其中P V是现值，eqt关于测量GST的条件预期值，GST是截至s时可用的市场信息≥ 0，以及在时间s开始的高级过程∈ [0，T]的概率为T。有几种处理信用违约掉期的模型来探索其强度和生存概率，例如结构模型和简化模型，它们都用于信用风险建模。定义2.3（默认时间）。默认时间τ：Ohm → [0.∞] 是一个随机计时器，表示引用方的信用事件的时间。这是对应的默认过程，由H所定义：={Ht，t>0}：={I{τ6t}，t>0}。我们假设每t>0，Gt：=Ft∨ Ht=σ（Ft∪ 其中，F：={Ft}t>0表示表示无违约信息的过滤，{Ht}t>0表示默认过程F的自然过滤，表示可违约的债务人特定信息。因此，GTI经济地向市场参与者传递截至时间t的所有无违约和可违约信息。通常，我们假设{Gt}t>0满足权利连续性和完整性的条件。注意，τ是相对于{Ht}t>0的停止时间，因此是相对于{Gt}t>0的停止时间，但不是相对于F.definition 2.4 Let(Ohm, F、 P，F）是一个过滤概率空间。

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何人来此

2022-5-31 23:39:59

R＋×上的σ-代数Ohm由{0}×A，A形式的所有集合生成∈ F、和（a，b）×a，a<b被认为是可预测的σ-代数F或过滤F.definition 2.5一个实值过程{Xt，t∈ 如果a从R+×映射到g，则R+}被称为可预测的过滤F或Ft预测表Ohm → R可根据可预测σ进行测量-此过滤生成的代数。命题2.3每个可预测的过程都是渐进可测量的。定义2.6如果过程γ={γt，t>0}是一个F-渐进过程，每t>0（i）γt具有以下性质，则称为违约率τ的强度过程≥ 0（ii）Rtγsds<∞ a、 s（iii）表示0≤ s≤ t、条件生存概率Q（τ>t | Gs）由Q（τ>t | Gs）=E[I{τ>t}| Gs]=I{τ>t}表达式给出-Ztsγuduo | Fsi。（2.11）在CDS的内容中，我们应用[4]中的关键引理来满足PL和DL。引理2.4（关键引理）。设X为Ft-measurab l e rand om变量，z={Zt，t>0}为F-可预测（有界）过程。然后（i）对于所有0 6 s 6 t，我们有e[X i{τ>t}| Gs]=i{τ>t}EhX expn-Ztsγuduo | Fsi，（2.12）（ii）对于所有s>0，我们有e[Zτ| Gs]=I{τ6t}Zτ+I{τ>t}EhZ∞sZtγtexpn-Ztsγuduodt | Fsi。（2.13）命题2.5 CDS是公平违约ifP L（CTs）=Zs+TsCTsDtsI{τ>t}dt（2.14）和DL（Rt）=（1- Rt）DτsI{τ<s+T}（2.15），其中CTsis是保费，Dtsdiscount因子，τ是默认时间，Rtis是随机恢复率函数。3 CARMA模型的有效期限结构模型通常用于说明任何无套利模型，其中债券收益率是某些状态向量x的有效函数。有效期限模型是一类特殊的期限结构模型，其产生t期债券的y（t）为y（t）=A（t）+B（t）x，系数A（t）A和B（t）t取决于到期时间t。函数A（T）A和B（T）使这些屈服方程在T和状态动力学的不同值下彼此一致。

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nandehutu2022

2022-5-31 23:40:02

a ffine模型的主要优点是，对于债券收益率有易于处理的解决方案，因为否则计算成本会很高。债券收益率的函数形式是通过计算未来短期利率的风险调整预期得到的。现在，通过下面的命题，我们证明了Levy驱动的CARMAprocess是ATS。命题3.1由动态Xt=AXtdt+e dLtisP（t，t）=eA（t，t）驱动的L'evy CARMA过程{Xt，t>0}的ATS-B（t，t）r（t）（3.1），其中（t，t）=（A-1e）AB（t，t）- 2 B（t，t）+2（t- t）（3.2）和B（t，t）=A-1[eA（T-t）- 1]. （3.3）第2.1小节中引入了矩阵A和向量e。证明：CARMA模型的ATS方程组为BT（t，t）+AB（t，t）=-1（3.4）andAt（t，t）=-eB（t，t）（3.5），初始值A（t，t）=0，B（t，t）=0。对于固定T，系统（3.4）是一个简单的线性一阶微分方程，因此我们得到（3.3）中的方程B（T，T）。为了验证正确性，我们观察到Bt（t，t）=-eA（T-t）通过在（3.4）中替换它，我们得到了bt（t，t）+AB（t，t）=-eA（T-t） +AA.-1[eA（T-t）- 1]= -eA（T-t） +eA（t-t）- 1 = -现在我们找到A（t，t），为此，我们从（3.5）asA（t，t）中得到整数- A（t，t）=ZTt-eB（s，T）ds。因此（t，t）=（A-1e）ZTt[eA（T-s）- 1] ds=（A-1e）ZTt[e2A（T- s）- 2eA（T-s） +1]ds=（A-1e）A.-1e2A（T- t）- 2A级-1eA（T-t） +A-1+（T- t）=（A）-1e）公顷-1[e2A（T- t）- 2eA（T-t） +1]+（T- t）- A.-1[eA（T-t）- 1]i、通过替换方程B（t，t），我们得到方程（3.2）。因此，我们可以将CHAMA模型编写为ATS模型。4随机回收率下的溢价段许多公司试图降低他们每天遇到的风险。因此，重要的是要降低巨额亏损的风险，提高金融机构的弹性。决定损失程度的一个因素是违约贷款和债券的回收率。

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何人来此

2022-5-31 23:40:05

金融公司和研究人员通常认为回收率是恒定的，但实际上实际回收率随时间而变化。这一假设很重要，因为当回收率不恒定时，会引入额外的风险。我们通过考虑随机回收率来建立信用风险模型，以便对CDS溢价段进行合理定价。在研究CDSP SRR模型之前，我们对CD SP-CRR模型进行了描述。参考实体的固定回收率是参考实体未偿名义债务的一部分，在违约事件发生后可收回。常数参数由介于0和1之间的R表示。在CD S合同中，可以根据合同金额确定此参数。金额的损失赔偿金为1- R、通过表示信贷事件的随机时间τ和掉期分支的随机现金流，提供了CDS价格【10】。由于现实市场中的参数是随机的，它们相互影响，并通过各种条件进行估计。了解这些参数的特点并以正确的方式选择它们是至关重要的。现在，我们假设回收率是随机的，并在违约强度γ上下降，然后为其建立模型。这应该满足三个必要的属性。首先，随机恢复率的do-ma-in在R+上。第二个关键条件是，为了确保违约概率与回收率的负相关性，我们需要使用一个具有负或非正第一导数的函数。众所周知，实际回收率与总违约率呈负相关。因此，我们对隐含回收率施加相同的条件。所以我们有rt=β+βeβγt，它在0和1之间。

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能者818

2022-5-31 23:40:08

一种方便的可能性是指数函数，考虑到上述性质，我们得到β，β∈ (0, 1), β≤ 现在，根据这些假设，我们提出了CDSP SRRmodel的基于强度的表示，然后找到了CDS违约期限的创新模型。命题4.1设r为短期利率及其相应的贴现因子DtsbeF预测表，则公平CDS违约具有以下基于强度的表达式CTS=EhRs+Ts（1- Rt）Dtsγtexp{-Rtsγudu}dt | FsiEhRs+TsDtsexp{-Rtsγudu}dt | Fsi，s<t.（4.1）证明：通过应用引理2.4并使用Bielecki et al.[4]的结果，我们得到p VP L（CTs）=EhZs+TsDtsI{τ>t}CTsdt | Gsi=CTsI{τ>s}EhZs+TsDtsexp{-Ztsγudu}dt | FsiP VDL（Rt）=Eh（1- Rt）DτsI{τ<s+T}| Gsi=I{τ>s}EhZs+Ts（1- Rt）Dtsγtexp{-Ztsγudu}dt | Fsi。因此，将上述方程中的两个现值相等，我们得到了结果。命题4.2（Credi t triangle）我们假设连续支付的保费CTS在s开始日期未确定≥ 0，并且在合同期限【s，s+T】，na中期流动溢价期间是时变的。那么，所有期限的违约损失率γ都相等≡ C和CTS=（1- Rs）γs，（4.2）其中，stoc-hastic恢复率Rsisβ+βeβγs。每天进行观察，但我们的数据中可能会出现准时差距，因此对于0<s<t，s：=t- 1，我们通过以下sCTt=（1）将CDS premia的日志返回等效为默认速率过程的日志返回- Rt）γt=（1- β- βeβγt）γt，（4.3）因此- 对数=低g1.- Rt1- 卢比+ 日志γtγs=ZtsYudu（4.4），其中{Yt，t>0}是L'evy驱动的CARMA过程，如第2.5节模拟研究和实际数据所述，本节模拟了不同阶数的CARMA（p，q）过程。我们展示了如何模拟CARMA（p，q）。

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大多数88

2022-5-31 23:40:11

在第5.1小节中，我们用带正态分布跳跃的复合泊松过程来解释模型的示意图。在第5.2小节中，我们使用实体公司（242家公司）的真实数据来比较CDSP-CRR模型和引入的CDSP-SRR模型。在这种情况下，我们使用lo g-似然和BIC来比较这些模型。5.1模拟我们使用CAR（1）、CAR（2）和CARMA（2,1）过程评估CDSP-SRR的性能。我们根据所提供的模型修改了Yuima软件包[16]，并将所需步骤描述如下。1、作为模拟函数中的默认值，连续过程在等间距的时间点0、h、2h、…、，N h，其中N是观察次数，h是步长。在这种情况下，h=1，N=3000，需要每天的时间。我们为CARMA模型过程的参数设置了一个初始值。此外，我们使用长度为5的movingaverages来处理丢失的数据。图1:CDSP-CRR模型下CARMA（2,1）的模拟。2、在引入的模型中，我们将在此步骤中估计控制隐含回收率RTI的参数。对于具有随机恢复率的模型，我们估计了参数β、β和β，而对于具有常数恢复率的模型，我们仅将β=r设为常数参数。马尔可夫链蒙特卡罗方法允许对95%置信区间进行精确计算，以确定β参数的可信区间。3、我们使用拟极大似然估计方法来估计CARMA模型的参数。qmle函数中的参数提供了newYuima函数Carma。估计L'evy增量的噪声。最后，我们比较了CDSP-CRR和CDSP-SRR模型的BIC，以选择适合CDS溢价的模型。

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能者818

2022-5-31 23:40:14

我们通过下面的仿真示例实现了仿真技术，并在表1和表2中显示了结果。按照模拟步骤，我们在图1和图2中展示了CDSPCRR和CDSP-SRR模型下的CARMA（2,1）过程。结果表明，由于回收率随时间变化，CDSP SRRmodel比其他模型具有更大的波动性。示例5.1我们模拟了系数a=6的CAR（1）的样本路径，即（D+a1=6）Yt=DLt。我们选择β=0.378，β=-0.0095，β=0.637。CDSP-CRR和CDSP-SRR模型的模拟如图1和图2所示，比较结果如表1所示。例5.2根据模拟，我们生成了一组参数为a=1.39631、a=0.050 29、b=1和b=2的ARMA（2,1）样本路径。该过程的相应随机微分方程为（D+1.39631D+图2:CDSP-SRR模型下的CARMA（2,1）模拟。模型BIC log likeliho odCDSP SRR 2123.2826-1033.6413CDSP-CRR 4562.5487-2269.2648表1：具有CDSP-CRR和CDSP-SRR模型的CAR（1）的BIC和log可能性。0.05029）Yt=（2+D）DLt。我们选择合适的β=0.0378，β=-0.0095和β=0.6 37。然后，我们根据（4.4）中定义的CDSP-CRR和CDSP-SRR模型生成数据。BIC和对数似然值的结果记录在表2中。BIC log likeliho odCDSP SRR 4801.2438-2380.6068CDSP-CRR 8740.4511-4350.2096表2:CDSP-SRR和CDSP-CRR模型的CARMA（2,1）BIC和log likeliho od。这些差异会影响实际市场中CDS溢价的价格，所有公司都会受到随机ic回收率的影响。5.2真实数据为了比较拟议模型的性能，我们考虑了2002年1月至2012年11月（2829个交易日）期间每日观察到的N=2 42家公司的5年期CDS利差（T=5）。

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kedemingshi

2022-5-31 23:40:17

参考实体来自欧洲和北美的公司，包括不同的行业，如银行、电力和其他金融公司。对于任何公司，我们有不同的起始日期和终止日期，到期时间T=tmin，tmin+h，tmin+2h。。。，具有统一步长h的Tmax。图3：ING银行数据的实现。图4：使用CAR（1）流程安装ING银行数据。我们的模型基于观察到的（一个周期）日志返回，表示（4.4）定义的离散时间观察。图1和图2显示，ING真实数据银行明确了CDSP-SRR模型的影响。通过将CDSP-CRR a ndCDSP SRR模型应用于CDS的每个信贷实体，我们将CARMA模型应用于数据，然后估计参数。此外，我们还比较了表3中一些公司的BIC。在该表中，我们显示CDSP-SRR模型的BICITOR小于CDSP-CRR模型。结论为了对CDS利差等金融时间序列数据进行建模，我们回顾了引入的模型并对其进行了推广。考虑到CDSis的恢复率不是常数，我们通过考虑随机恢复率对该模型进行了改进。这一假设使得模型比前一个更好、更灵活。由L'evy驱动的连续时间ARMA过程是平稳的，用于拟合CDS的Premium。根据对数似然值和BIC，我们得出CDS-SRR模型对跳跃的NIG分布具有更好的性能。本文的实证研究基于一些公司useCAR（1）、CAR（2）和CARMA（2,1）的CDS利差。

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kedemingshi

2022-5-31 23:40:20

然而，除了对CARMA模型的估计外，该模型还有一些局限性，结果更好，可以与CDSP-SRR车型CDSP-CRR车型AmericanExpress-10137.9672-9228.8668 BMW-11448.7974-10104.0573SANO-12684.5042-11175.8189KPN-12889.6028-11596.5878戴姆勒-11892.0160-10742.6483ING-8114.2239-7088.9918德意志-11218.7720-9945.8812康菲-11113.9200-9626.3721沃尔玛-10856.7632-9825进行比较.9177麦当劳-11676.4504-10211.3201康卡斯特-5211.7253-4661.1184表3：如果我们在模型中设置实际可行的恢复率，则将模型性能与BICbetter进行比较。此外，通过改变随机回收率的结构，我们可以提高模型的效率。参考文献[1]E.Altman（2006）《违约恢复率和登录信贷风险模型与实践：对文献和经验证据的更新，信贷衍生的牛津手册》。[2] M.J.P.Anson、F.J.Fabozzi、M.Choudhry和Ren Raw Chen（2004）《信贷衍生品：工具、应用和定价》，WILEY。[3] G.Bakshi，D.Madan，F.Zhang（2001），《了解可恢复的独立风险模型的作用：经验比较和改进的恢复率》，SSRNElectronic Journal，DOI:10.2139/ssrn。28594 0.[4] T.R.Bielechi，M.Rutkowski（2002）《信用风险：建模、评估和对冲》，柏林斯普林格。[5] T.Bjo rk（2009）《连续时间套利理论》，牛津大学出版社。[6] P.J.Brockwell，R.A.Davis（2000）《时间序列与预测导论》，斯普林格出版社。[7] P.J.Brockwell，R。A、 Davis，Y.Yang（2011）《非负L’evydriven CARMA过程的估计》，商业与经济统计杂志，29250-259。[8] P.J.Brockwell，V.Ferrazzano，C。

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能者818

2022-5-31 23:40:24

Kluppelberg（2013）《连续时间移动平均过程的高频采样与核估计》，时间序列分析杂志，34，DOI:10.1111/j t sa。1 2022.[9] D.Duffee（2005）《信贷风险模型与流程》，银行与金融杂志，2 9，2751-2802。[10] M.Eifert（2015）《信贷违约掉期溢价的时间序列模型》，信贷风险杂志，3，21-44。[11] J.Hull和A.White（2003）《信用违约掉期期权的估价》，衍生杂志，10，40-50。[12] M.Jakovelev（2007）《信用违约掉期利差的确定：来自欧洲信贷驱动市场的证据》，拉彭兰塔科技大学，论文。[13] M.Jaskowaki，M.McAleer（2011）《隐含再变化率的估计》。维也纳经济与商业大学CDS传播市场案例研究。[14] R.A.Jarrow，D.Lando，S.Turnbull（1997）《信用风险价差期限结构的Markove链模型》，修订版。财务部。螺柱。，10,2 , 481-523.[15] CH.Kitwiwattanachai（2012）《CDS中的随机恢复率：经验测试和模式l》，沃金论文。[16] S.M.Iacus，L.Mercuri（2015）《在YuimaPackage中实现Levy C ARMA模型》，计算统计，30,41111-1141。[17] E.Schlemm，R.Stelzer（2012），《强混合状态空间模型和多元l'evy驱动的CARMA过程的拟极大似然估计》，Electron J stat，62185-22 34。[18] H.Tomasson（2015）《高斯CARMA建模的所有方面的一些计算》，随机比较杂志，25375-387。[19] Tuan博士（1997）《有理谱密度函数连续时间高斯平稳过程的参数估计》。，Biometrika，64385-399。[20] D.Wemanhove（2009）《信用违约掉期标准普尔阅读模型：描述性，关于CDS利差的决定因素》，特温特大学，论文。【21】S.M Iacus，N。

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能者818

2022-5-31 23:40:27

Yoshida（2017）与YUIMA，Springer，https://cran.rproject.org/web/packages/yuima/index.html.

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