在接近极限时出售资产的极小极大完美停止规则

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收藏 2022-05-10

英文标题：
《Minimax perfect stopping rules for selling an asset near its ultimate
maximum》
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作者：
Dmitry B. Rokhlin
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
We study the problem of selling an asset near its ultimate maximum in the minimax setting. The regret-based notion of a perfect stopping time is introduced. A perfect stopping time is uniquely characterized by its optimality properties and has the following form: one should sell the asset if its price deviates from the running maximum by a certain time-dependent quantity. The related selling rule improves any earlier one and cannot be improved by further delay. The results, which are applicable to a quite general price model, are illustrated by several examples.
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中文摘要：
我们研究了在极小极大条件下，在接近其最终最大值时出售资产的问题。引入了基于后悔的完美停车时间概念。完美停止时间的唯一特征是其最优性，并具有以下形式：如果资产的价格偏离运行最大值一定的时间依赖量，则应出售资产。相关的销售规则改进了之前的规则，不能再延迟了。这些结果适用于一个相当普遍的价格模型，并通过几个例子加以说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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Minimax_perfect_stopping_rules_for_selling_an_asset_near_its_ultimate_maximum.pdf
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nandehutu2022

2022-5-10 13:08:56

MINIMAX完美停止出售资产的规则，包括其最终最大IMUMDMITRY B.摘要。我们研究了在极小极大条件下，在接近其极限最大值的情况下出售n个资产的问题。引入了基于regre t的完美停止时间概念。完美停止时间的唯一特征是其最优性，并具有以下形式：如果资产价格偏离运行最大值一定的时间依赖量，则应出售资产。相关的销售规则比之前的任何规则都要完善，不能再拖延下去了。这些结果适用于一个相当普遍的价格模型，并通过几个例子加以说明。1.介绍假设代理人希望在到期日T之前以Xτ的价格出售资产，该价格尽可能接近最终最大值X*T=max0≤T≤TXt。资产价格是一个连续函数t7→ Xt（ω），取决于未知结果ω∈ Ohm.销售规则τ（ω）可能取决于价格历史{Xs:s≤ τ (ω)}. 对于这样的规则τ，差X*T（ω）- Xτ（ω）可以被认为是销售价格Xτ低于最高价格的因素。如果代理非常悲观，他可以尝试最小化值supω∈Ohm（十）*T（ω）- 所有停止规则τ上的Xτ（ω））（1.1）。然而，这种方法有些粗糙。这样的最优销售规则τ*绝对不是唯一的，从这个意义上说，即使是确定性的（即ω的独立性）也可以是最优的。更重要的是，τ*无需满足贝尔曼的最优原则，如下所述。我们将过去的遗憾、未来的遗憾和整体的遗憾与每一条销售规则联系起来。基于后一个量，我们引入了非完全停止规则的概念。

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kedemingshi

2022-5-10 13:08:59

考虑到具有不同价格历史的优化问题族，我们证明了在一般条件下存在唯一（完美）停止规则σ*, 它对于任何问题都是最优的，并且是帕累托最优的，在这里它是可容许的（定理1）。此外，σ*可以通过以下特性来描述：它改善了任何早期的停止规则，并且不能通过进一步延迟来改善（定理2）。2010年数学学科分类。90B50，60G40。关键词和短语。后悔，最优停止，最大过程，极小极大，完美停止规则。这项研究得到了南方联邦大学项目213.01-07-2014/07.2 D.B.的支持。我们使用两种方法将对未来的遗憾纳入优化问题中。第一个是考虑未来价格增量的最大值。示例2和3说明了这种方法，它非常保守。仅当价格增量一致有界时才适用。第二种方法是在概率信息存在的情况下，用δ-分位数代替未来价格增量的最大值。在例4中，我们在aBrownian运动（Bachelier模型）的情况下遵循了这条路线。这两种方法都被函数ψ捕获，该函数可以解释为最大价格增量的预测。完美的止损规则有以下简单形式：如果资产价格X偏离运行最大值X，则应出售资产*t取决于一定的时间和质量。[2]对离散时间模型证明了这种销售规则的最优性（“让利润运行但减少损失”）。这一结果受到了研究可分割资产的论文[11]的启发。[11,2]的方法基于具体时间的递归动态规划公式。

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kedemingshi

2022-5-10 13:09:03

此外，对于[2]中考虑的问题，除了提到的最优销售规则外，还存在一个确定性（“非顺序”）销售规则，同时最小化（1.1）。下面介绍的“完全停止时间”的定义为区分这些销售规则和放弃非顺序规则提供了依据。在连续时间概率设置中，在激励论文[7]和前面的演讲[13]之后，在最后最大值附近停止的问题变得流行起来。例如，文献[5,12,6,3]深入研究了带漂移的布朗运动和几何布朗运动。在后一种情况下，比值Xτ/X*T、 X*考虑的是T/Xτ，而不是（1.1）。典型的最佳停止规则由进程X决定*T-Xt，Xt/X*t、或规定立即出售资产，或将其持有至到期日。在第二节中，我们在一般模型中引入了一个完美停止时间，并给出了它的显式描述。第3.2节给出了几个示例。完美停止规则虽然在本节中我们不使用任何概率度量，但基本术语来自概率论。可能的结果（pr ice轨迹）由一个子集描述Ohm 关于连续函数ω的正则空间C[0，T]。让我们来看一看：Ohm 7.→ Rbe坐标映射：Xt（ω）=ωt∈ [0，T]，ω∈ Ohm 我们计算a（t，ω）={ω′∈ Ohm : Xs（ω′）=Xs（ω），s∈ [0，t]}。集合A（t，ω）包含所有与ω到时间t的历史相同的结果。让我们介绍过去的遗憾：X*t（ω）- Xt（ω），X*t（ω）=sups∈[0，t]Xs（ω）。该数量对应于代理人的反映，即他可以以X价出售资产*t（ω），现在价格只有Xt（ω）。极大极小完美停止规则3同样，对未来的遗憾定义如下：最大≤s≤TXs（ω′）- Xt（ω），ω′∈ A（t，ω）。

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可人4

2022-5-10 13:09:06

（2.2）由于这个量是未知的，除非t=t，我们将使用它的上限估计值或这种估计值的替代值。考虑一个函数ψ：[0，T]×Ohm 7.→ [0, ∞) 具有以下性质：（i）ψ（T，ω）=0，（ii）函数t7→ ψ（t，ω）是连续且严格递减的，（iii）ψ（t，ω）=ψ（t，ω′），ω′∈ A（t，ω）。在具体例子中，如果考虑概率模型，ψ将被视为ω′（类似于[2]）上（2.2）的上确界，或（2.2）的δ分位数。人们还可以将ψ（t，ω）视为最大价格增量（2.2）的预测。本解释澄清了条件（i）-（iii）。尤其是，（iii）意味着该预测只能取决于可用的价格历史。假设资产在时间u出售≥ t、考虑到价格历史（ωs）0≤s≤t、总的遗憾可以用数量来描述：ρ（t，ω；u，ω′）=max十、*u（ω′）- 许（ω′），马素≤s≤TXs（ω′）- Xu（ω′）= 十、*T（ω′）- 许（ω′），ω′∈ A（t，ω）。R（t，ω；u，ω′）=max{X*u（ω′）- Xu（ω′），ψ（u，ω′）}，ω′∈ A（t，ω）。我们称ρ（resp.，R）为已实现的遗憾（resp.，估计的遗憾）。在终端时间T之前，已实现的重新建模未知。此时已知估计的r egr et，并可将其纳入优化问题中。在本节中，我们只讨论估计的遗憾。第3节（例3）将考虑已实现的后悔。为了使代理的目标正式化，我们需要一个停止时间的概念。定义1。函数τ：Ohm 7.→ [0，T]称为停止时间，如果条件τ（ω）≤ t、 Xs（ω′）=Xs（ω），s≤ t表示τ（ω′）=τ（ω）。备注1。考虑过滤Ft=σ（Xs，s∈ [0，t]），由坐标映射生成。从[4]（定理IV.100（a））我们知道一个FT可测函数τ：C[0，T]7→ [0，T]是定义1意义上的停止时间当且仅当{ω：τ（ω）≤ s}∈ 财政司司长∈ [0，T]。

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kedemingshi

2022-5-10 13:09:09

因此，我们对停止时间的定义与通常的定义一致，但我们不需要额外的可测量性属性。备注2。对于ny停止时间τ和ω∈ Ohm 我们有τ（ω′）=τ（ω），ω′∈ A（τ（ω），ω），因为Xs（ω′）=Xs（ω），s≤ τ(ω). 此外，对于任何停止时间τ，τ，例如τ（ω）<τ（ω），我们有τ（ω）=τ（ω′）<τ（ω′），ω′∈ A（τ（ω），ω）。实际上，否则，τ（ω′）≤ τ（ω′）=τ（ω）f或某个ω′∈ A（τ（ω），ω）。但是Xs（ω′）=Xs（ω），s≤ 定义1给出了一个矛盾：τ（ω′）=τ（ω）≤ τ（ω）。4d.B.用Tt（ω）表示停止时间τ的集合，满足不等式τ（ω）≥ t、条件τ∈ Tt（ω）表示τ对A（t，ω）是容许的：τ（ω′）≥ t、 ω′∈ A（t，ω）。考虑到价格历史（ωs）0≤s≤t、最坏情况下的估计后悔，与τ有关∈ Tt（ω）定义如下：R（t，ω；τ）=supω′∈A（t，ω）R（t，ω；τ，ω′），R（t，ω；τ，ω′）=max{X*τ(ω′) - Xτ（ω′），ψ（τ（ω′），ω′），Xτ（ω）=ωτ（ω）。定义2。停车时间σ∈ 对于A（t，ω）ifR（t，ω；σ），Tt（ω）被称为最优的≤ R（t，ω；τ），τ∈ Tt（ω）。最优停车时间集用opt（t，ω）表示。定义3。停车时间σ∈ 如果不存在τ，就称Tt（ω）为关于toA（t，ω）的帕累托最优∈ Tt（ω）使得r（t，ω；τ，ω′）≤ R（t，ω；σ，ω′），ω′∈ 对于某些ω′，A（t，ω），R（t，ω；τ，ω′）<R（t，ω；σ，ω′）∈ A（t，ω）。帕累托最优解集用P（t，ω）表示。定义4。如果停车时间满足以下优化原则，我们称之为σ完美：σ∈ opt（t，ω）∩ P（t，ω）表示所有（ω，t），使得σ∈ Tt（ω）。也就是说，σ是完美的，如果它是关于A（t，ω）的最优和帕累托最优的，只要它对A（t，ω）是容许的。定理1。假设对于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 存在bω∈ A（t，ω）使得xu（bω）<Xt（ω），u>t。

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mingdashike22

2022-5-10 13:09:14

然后通过公式σ给出了唯一的完美停止时间*（ω） =inf{s≥ 0：（X）*s- Xs）（ω）≥ ψ（s，ω）}。证据自（X）*- 十）（ω）<ψ（0，ω）和（X）*T-XT）（ω）≥ ψ（T，ω），值σ*（ω）是唯一定义并满足等式的*σ*- Xσ*= ψ(σ*, ω), ω ∈ Ohm. （2.3）假设tσ*(ω) ≥ t取τ∈ Tt（ω）。如果τ（ω′）小于σ*（ω′）对于某些ω′∈ A（t，ω），然后r（t，ω；τ）≥ R（t，ω；τ，ω′）≥ ψ(τ(ω′), ω′)> ψ(σ*（ω′，ω′）=R（t，ω；σ）*, ω′，（2.4），其中严格不等式来自ψ的性质（ii），最后一个等式由（2.3）表示。此外，如果τ（ω′）>σ*（ω′），然后取bω∈ A（σ）*（ω′），ω′）如此之多（bω）<Xσ*（ω′），u>σ*(ω′). （2.5）极小极大完美停止规则5We haveR（t，ω；τ）≥ R（t，ω；τ，bω）≥ （十）*τ- Xτ）（bω）=X*σ*(ω′) - Xτ（bω）>X*σ*(ω′) -Xσ*（ω′）=R（t，ω；σ）*, bω），（2.6），其中严格不等式和最后一个等式分别来自（2.5）和（2.3）。最后，如果τ（ω′）=σ*（ω′），thenR（t，ω；τ）≥ R（t，ω；τ，ω′）=R（t，ω；σ）*, ω′). （2.7）关系式（2.4）、（2.6）、（2.7）表示R（t，ω；τ）≥ R（t，ω；σ）*), 如果τ6=σ*,然后存在一个点ω′∈ A（t，ω）使得R（t，ω；τ，ω′）>R（t，ω；σ）*, ω′′).因此，σ*∈ opt（t，ω）∩ P（t，ω）。现在让τ为任何停止时间。如果τ（ω）<σ*（ω）对于某些ω∈ Ohm, 然后τ（ω′）=τ（ω）<σ*（ω′）对于所有ω′而言∈ A（t，ω），其中t=τ（ω）。因此，不等式（2.4）：R（τ（ω），ω；τ、 ω′）>R（τ（ω），ω；σ*, ω′), ω′∈ A（τ（ω），ω）意味着对于A（τ（ω），ω），τ不是帕累托最优的。此外，如果τ（ω）>σ*（ω）当τ（ω′）>σ*(ω′) = σ*（ω）对于llω′∈ A（t，ω），其中t=σ*(ω) . 因此，不等式（2.6）意味着τ与A（σ）无关*（ω） ω）：R（σ）*(ω) , ω; τ）>R（σ）*(ω) , ω; σ*),我们用σ*（ω′）和R（t，ω；σ）*, ω′）与ω′无关∈ A（σ）*(ω) , ω).下面的断言给出了关于完美停车时间的更多直觉。定理2。

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能者818

2022-5-10 13:09:18

在定理1的假设下，停止时间σ*对于任何停止时间τ和任何ω都是完美的当且仅当∈ Ohm 以下是正确的：（A）如果τ（ω）>σ*（ω） thenR（σ）*(ω) , ω; τ、 ω′）>R（σ）*(ω) , ω; σ*, ω′）对于某些ω′∈ A（σ）*（ω），ω），（B）如果τ（ω）<σ*（ω） thenR（τ（ω），ω；τ、 ω′）>R（τ（ω），ω；σ*, ω′）对于所有ω′而言∈ A（τ（ω），ω）。条件（A）（“之后”）意味着如果资产在时间σ不出售，估计的后悔可能会变得更大*. 条件（B）（“之前”）意味着在完美停止时间σ之前出售资产是不合理的*, 因为估计的遗憾可以通过等待来减少*.定理2的证明。停车时间σ*, 满足条件（A）、（B）是唯一的。的确，让σ，σ成为这样的停止时间。如果σ（ω）<σ（ω），那么r（σ（ω），ω；σ、 ω′）>R（σ（ω），ω；σ, ω′), ω′∈ A（σ（ω），ω），因为σ满足（B），andR（σ（ω），ω；σ、 ω′）>R（σ（ω），ω；σ、 ω′）对于某些ω′\'∈ A（σ（ω），ω），6d.B.σ满足度（A）。这种矛盾表明σ≥ σ. 根据对称性，σ=σ。此外，完美的停止时间σ*满足（A）、（B），如定理1证明课程所示：应用（2.6），t=σ*（ω）和（2.4），其中t=τ（ω）。3.示例在本节中，我们给出几个示例，说明上述概念和结果。例1表明，停车时间可以是最优的，但不是帕累托最优的，反之亦然。例2考虑了[2]模型的连续时间模拟。在例子3中，我们考虑了一个具有分段线性轨迹的价格过程，它可以在泊松过程的跳跃时间改变其运动方向。这里我们比较了理想和确定性停车时间的预期实现egr et。最后，在例4中，我们分析了经典的Bachelier模型，使用量化函数来估计未来的后悔。例1。允许Ohm = C[0，T]，并假设ψ不依赖于ω。

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kedemingshi

2022-5-10 13:09:22

我们认为，对于A（0，ω），τ=0是最优的，但不是帕累托最优的；对于任何T<T的情况，τT=T是帕累托最优的，但不是最优的。显然，R（0，ω；τ）=ψ（0）。取ωn=ω- 纳什。通过（2.3）获得完美的停止时间σ*我们有r（0，ω；σ）*) ≥ R（0，ω；σ）*, ωn）=ψ（σ）*（ωn））。但是，σ*（ωn）=inf{s≥ 0:X*s（ωn）- X（ωn）≥ ψ（s）}=inf{s≥ 0:ns≥ ψ（s）}→ 0，作为n→ ∞. 因此，R（0，ω；σ）*) = R（0，ω；τ）=ψ（0）和τ∈ opt（0，ω）和σ*.然而，对于A（0，ω），τ不是帕累托最优的，从定理2的性质（B）可以看出，其中τ变为τ。至于τT，它与A（T，ω），T<T，sinceR（T，ω；τT）=supω′无关∈A（t，ω）（X）*T- XT）（ω′）=+∞.对于任何确定的停止时间τ=u和t<u，相同的断言都成立。为了证明τ是帕累托最优的，假设t≤ τ（ω）=u<T，putω′s=（ωs，s）≤ uωu+s- u、 s≥ u、如果X*u（ω′）>Xu（ω′），thenR（t，ω；τt，ω′）=（X*T- XT）（ω′）<max{（X）*U- Xu）（ω′），ψ（u）}=max{（X）*τ- Xτ（ω′），ψ（τ（ω′）}=R（t，ω；τ，ω′）。（3.8）如果X*u（ω′）=Xu（ω′），然后X*T（ω′）=XT（ω′）和0=R（T，ω；τT，ω′）<ψ（u）=R（T，ω；τ，ω′）。（3.9）不等式（3.8）、（3.9）表明τT∈ P（t，ω）。极小极大完美停止规则7例2。以布景为例Ohm ω的∈ C[0，T]这样- L·（t）- （s）≤ Xt（ω）- Xs（ω）≤ L·（t）- s），0≤ s<t≤ T（3.10），其中一些常数L，L>0。特别是ω∈ Ohm 假设它们是单圆柱壳连续的。注意，任何分段线性函数ωt=ωti+t- 提提+1- ti（ωti+1）- ωti），t∈ [ti，ti+1]，其中0=t<t<·tn=t和-L≤ （ωti+1）- ωti）/（ti+1- （ti）≤ 五十、属于Ohm.假设预测的最大价格增量ψ与最大值本身一致：ψ（t，ω）=supω′∈A（t，ω）sups∈[t，t]Xs（ω′）- Xt（ω）。显然，ψ≤ L·（T）- t）。

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kedemingshi

2022-5-10 13:09:27

此外，asω′s=（ωs，s≤ tωt+L·（s）- t），s≥ t根据A（t，ω），ψ=L·（t- t）。最佳停车时间由σ定义*（ω） =inf{s≥ 0：（X）*s- Xs）（ω）≥ L·（T）- s）哦。（3.11）请注意，它仅取决于一个参数L，它显示了价格上涨的速度。假设σ*(ω) ≥ t、设eτ：Ohm 7.→ [t，σ*] 是一个随机m变量，使得Xeτ=maxt≤s≤σ*Xs。注意，eτ不必是停止时间。根据σ的定义*我们得到左不等式（3.10）- σ*) = ψ(σ*) = 十、*σ*- Xσ*= max{X*t、马克斯特≤s≤σ*Xs}-Xσ*= max{X*T- Xσ*, Xeτ- Xσ*}= max{X*T- Xt- （Xσ）*- Xt），-（Xσ）*- Xeτ）}≤ max{X*T- Xt+L（σ）*- t），L（σ）*- eτ）}≤ 十、*T- Xt+L（σ）*- t）。因此，σ*≥LL+Lt+LL+Lt-十、*T- XtL+L.（3.12）此外，forωs=ωt- L（s）- t），s≥ 我们没有（X*σ*- Xσ*)（ω） =X*t（ω）- Xt（ω）+L（σ）*(ω) - t） =L·（t）- σ*（ω））.8 D.B.因此，σ*（ω）与下限（3.1 2）一致。它遵循最优最短情况估计后悔R（t，ω；σ）*) 与过去X的遗憾的凸组合一致*T- Xt和对未来的估计遗憾L（T- t）：infτ∈TtR（t，ω；τ）=R（t，ω；σ）*) = supω′∈A（t，ω）L（t）- σ*（ω′）=L（T- σ*（ω））=LL+L（X）*T- Xt）+LL+LL（T）- t）。（3.13）设t=0。注意，除了σ*, 关于A（0，ω），确定性停止时间bτ=LTL+Lis是最优的。事实上，自从bτ≤ σ*（见（3.12）），我们有*bτ- Xbτ≤ ψ（bτ）=L（T- bτ）=LLL+LT。因此r（0，ω；bτ）=supω′∈A（0，ω）max{（X）*bτ- Xbτ）（ω′），ψ（bτ）}≤LLL+LT=R（0，ω；σ）*).但严格的不平等是不可能的，因为*这是最优的。最佳停车时间与σ非常相似*, bτ出现在[2]中。让我们提到完美停车时间σ的以下明显优势*超过bτ。比较表达式r（bτ，ω；bτ）=max{X*bτ- Xbτ，L（T）- 通过（3.13）我们得出结论，对于A（bτ，ω），bτ不是最优的*bτ- Xbτ=L（T- bτ）。

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大多数88

2022-5-10 13:09:30

（3.14）因此，尽管在时间t=0时，σ*（ω），bτ是最优的，观察价格动态的代理人x（ω），0≤ s≤ t、在时间bτ意识到，除了（3.14）中描述的非常特殊的情况外，出售资产不是最佳选择。同样地，在任何时刻∈ （0，bτ）通常bτ相对于A（t，ω）不再是最优的。这种违反“贝尔曼最优性原则”的行为意味着bτ将被理性主体广泛使用。还记得，如果bτ<σ，bτ相对于A（bτ，ω）不是帕累托最优的*（ω）：参见定理2的条件（B）。例3。假设Ohm 和ψ与例2中相同，且L=L=1。考虑一个带有泊松过程（Nt）t的概率空间≥0具有强度λ和i.i.d.随机变量序列（αi）∞i=1:P（αi=1）=P∈ （0,1），P（αi=-1） =q=1- p、资产价格由连续的分段线性过程xt=Xτi+αi+1（t）建模- τi），t∈ [τi，τi+1），i≥ 0，其中τ=0，X=X和τi，i≥ 1是N.MINIMAX完美停止规则9的跳跃时间，对于任何停止时间τ，用be（τ）=Eρ（0，ω；τ，·）=E（X）表示*T- Xτ，E（τ）=ER（0，ω；τ，·）=E max{X*τ- Xτ，ψ（τ）}分别为预期已实现后悔和预期估计后悔。为了获得一些关于完美停止时间（3.11）概率性质的信息，让我们比较一下（σ）*), E（σ*) 具有相同的值，与确定性停止时间τu=u有关。让强度λ非常小，这样[0，t]上就没有高概率的跳跃。当概率接近1时，集合A（0，ω）只包含两条轨迹：ωs=ω+s，ωs=ω- s、 s∈ [0，T]。注意，通过观察一段短时间的轨迹，可以得出价格是否会永久上涨或下跌的结论。

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可人4

2022-5-10 13:09:33

因此，通过在这段时间后停止或等待，可以获得一个小遗憾。然而，我们的目的只是比较理想停车时间和确定性停车时间的期望值。我们有（τu）≈ p max{0，T- u} +q max{u，T- u} =max{pT+（q- p） u，T- u}≥（qT，p≥ 1/2T/2，p<1/2，（3.15），其中p的下界达到atu=T≥ 1/2和u=T/2时，p<1/2。此外，E（σ*) = Eψ（σ）*) = T- Eσ*≈ qT/2。（3.16）自*（ω） =T，σ*（ω） =T/2。在（3.15）、（3.16）的基础上，E（σ）是合理的*) < 如果强度λ足够小，则任何u的E（τu）。对于预期实现的后悔，应重新定义该结论。我们有*T（ω）- Xu（ω）=T- u、 X*T（ω）-Xu（ω）=u。因此，bE（σ）*) = E（X）*T- Xσ*) ≈ p（T）- σ*（ω））+qσ*（ω） =qT/2，bE（τu）≈ p（T）- u） +qu=pT+（q）- p） u≥（qT，p≥ 1/2pT，p<1/2，其中p的下限为tu=t≥ 1/2和u=0表示p<1/2。因此，我们期望不等式为（σ）*) <当q/2<p，即p>1/3时，bE（τu）对于小λ为真。数值实验证实了这些预期。用蒙特卡罗方法（和R软件）估算Be（τ）Ee。注意，X的方差*τ-Xτ，10 D.B.见表1。p=1/2，T=1的预期实现后悔。λEσ*bE（σ）*)bE（u）0.10.75 0.25 0.491 0.75 0.25 0.4510 0.8 0.2 0.2750 0.88 0.12 0.14100 0.9 0.09 0.11000.97 0.03 0.03表2。λ=10，T=1的预期实现后悔。peσ*bE（σ）*)bE（0）bE（T/2）bE（T）0.2 0.61 0.39 0.06 0.36 0.660.4 0.74 0.26 0.18 0.28 0.380.6 0.86 0.14 0.38 0.28 0.180.8 0.95 0.05 0.66 0.36 0.06σ*不超过T。

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可人4

2022-5-10 13:09:36

对于T=1，我们使用这些随机变量的N=10个样本。基于正态近似的标准渐近分析（例如，参见[14，第4章]）可以得出结论，0.99置信区间的长度不超过0.006。表1收集了p=1/2和不同λ的结果。在这种情况下，值se（τu）不依赖于u。我们看到，对于λ的小值，理想停止时间的预期实现后悔基本上低于确定性停止时间的预期实现后悔。这种优势随着λ的增大而减小。Eσ的值*对于大的λisclose to T。在表2中，λ=10的值是固定的。对于大p，σ的预期实现后悔*比任何确定的停车时间都要短。对于小p，立即抛售（τ=0）的预期实现后悔比σ小得多*. 注意，σ*不能小于T/2（参见示例2）。直觉上，这是由于f作用，即未来后悔的估计ψ非常保守。例4。设P是（C[0，T]，FT）上的一个概率测度，这样的坐标过程X遵循P:Xt=X+σWt下的Bachelier模型。这里W是标准布朗运动，从0开始，σ>0是一个波动常数。对于这个模型，对未来的遗憾（2.2）是无限的。所以我们使用分位数函数ψ（t，ω）=infz:Pω′：最大值≤s≤TXs（ω′）- Xt（ω）≤ Z≥ δ.极小极大完美停止规则11在估计的后悔中利用这一函数，代理人承认已实现的未来后悔，即最终最大值与售价的偏差，可以超过ψ，概率为1- δ.利用运行最大值定律*布朗运动W（参见[9，命题3.1.3.1]）：P（W*U≤ z） =P（|Wu |≤ z） =2P（Wu）∈ [0，z]）=2ΦZ√U- 1，Φ（y）=r2πZy-∞经验-十、我们推断ψ解方程2Φψσ√T- T- 1 = δ.因此，ψ=σΦ-1((1 + δ)/2)√T- T

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可人4

2022-5-10 13:09:39

根据定理1，完美停止时间由公式σ确定*（ω） =inf{s≥ 0:W*s- Ws≥ cδ√T- s} P-a.s.，（3.17）cδ=σΦ-1((δ + 1)/2).注意，如果有一个价格历史记录，当市场波动较大时，代理将保留资产更长的时间。这是因为他估计未来的遗憾会更大。与例3相比，在这里看预期的实际后悔啤酒（τ）是没有意义的，因为W是一种马丁酒，而啤酒（τ）不依赖于τby the doob可选抽样定理。然而，似乎∑*与其他标准相比是最优的。[10]证明了τ形式的停止时间*= inf{s≥ 0:W*s- Ws≥ zq√T- s} 对于q-均值目标函数E（W）是最优的*T- Wτ）q→ 最小τ，q>1，（3.18），其中在所有停止时间τ上执行最小化。数zq是方程H′（z）H（z）+z=（1+q）zM（3+q，，z）M（1+q，，z），（3.19）的唯一正根，其中H（z）=zq+2R∞zq（1）- Φ（u1/q）du，z≥ 0和m（a，b，z）=1+abz+2！a（a+1）b（b+1）z+·是库默反几何函数（见[1，第13章]）。[7]中曾考虑过q=2的情况。12 D.B.表3。q，zq的值以及δ=2Φ（zq）的对应值- σ=1时为1。q zq=cδδδ1.11.03 0.72 1.12 0.744 1.35 0.826 1.57 0.888 1.77 0.9210 1.96 0.95Putσ=1。假设q>1，我们推断对于δ的特殊值，完美停止时间（3.17）在（3.18）意义上是q-均值最优的。q a和δ的一些值之间的对应关系如表3所示（方程式（3.19）通过R软件求解）。例如，如果选择ψ为最大价格增量的0.95分位数，则完美停止时间σ*是q=10的q-均值。前3行的zqin值与[10]的值一致。

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kedemingshi

2022-5-10 13:09:43

结论性意见示例3、4中提到的极小极大值和停止时间的概率最优性之间的关系可能值得进一步研究。我们还提到，对于严格正的价格过程X，上述理论可以转化为比率性能标准X*T/Xτ，仅取决于资产价格的相对值。参考文献[1]M.Abramowicz和I.A.Stegun，编辑。《数学函数与公式、图表和数学表格手册》，NBS Appl第55卷。数学系列华盛顿，1972年。[2] V.S.巴瓦。出售不可分割资产的极小极大策略。管理。S ci。，19(7):760–762, 1973.[3] 戴先生、金先生、钟先生和周先生。低买高卖。《当代定量金融》第317-333页。斯普林格，2010年。[4] C.Dellacherie和P.-A.Me yer。概率和潜力。阿姆斯特丹，北荷兰，1978年。[5] 杜托伊特和佩斯基尔。在预测最大值时自满的陷阱。安。Probab。，35(1):340–365 , 2007.[6] 杜托伊特和佩斯基尔。以最高价格出售股票。安。阿普尔。Probab。，19(3):983–1014, 2009.[7] S.E.Graversen、G.Peskir和A.N.Shir yaev。在没有预期的情况下停止布朗运动，使其尽可能接近极限。Probab理论。应用程序。，45(1):125–136, 2001.[8] 埃文斯·J·V·亨德森和D·霍布森。不可分割资产出售的最佳时机。数学《金融》，18（4）：545-5672008。[9] 詹布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。伦敦斯普林格，2009年。[10] J.L.佩德森。布朗运动极限极大值的最优预测。斯托克。斯托克。众议员，75（4）：205-2192003。极小极大完美停止规则13[11]G.Pye。出售资产和美元平均值的极小极大策略。管理Sci。，17(7):379–393,1971.[12] A.Shiryaev、Z.Xu和X.Y.Zhou。你应该购买并持有。定量。

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mingdashike22

2022-5-10 13:09:46

《金融》，8（8）：765-7762008。[13] 谢里亚耶夫。财务数据技术分析中最快的检测问题。InProc。数学金融学士大会（巴黎，2000年），第487-52页。斯普林格，2002年。[14] H.王。蒙特卡罗模拟及其在金融领域的应用。华润出版社，博卡拉顿，2012年。南部联邦大学数学、力学和计算机科学研究所，Mil’chakova str.8a，344090，罗斯托夫on Don，俄罗斯电子邮件地址：rokhlin@math.rsu.ru

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