金融、地震和金融领域的相互发生时间和普遍规律

2022-5-10 15:14:54

金融、地震和基因组中的相互发生时间和普遍规律*Constantino Tsalliscontro Brasileiro de Pesquisas Fisicas和国家科学技术研究所（复杂系统研究所）——Rua Xavier Sigaud 150，22290-180里约热内卢RJ，巴西圣达菲研究所——1399海德公园路，美国新墨西哥州圣达菲，邮编87501——存在大量不属于玻尔兹曼-吉布斯（Boltzmann-Gibbs）统计机械世界的自然、艺术和社会系统，基于标准加性熵Sb及其相关指数BG因子。基于非加性熵Sq（S=SBG）及其相关的q指数因子，这种复杂系统中的频繁行为已被证明与q统计量密切相关，而q指数因子是通常BGG的推广。事实上，存在着一系列性质迥异的现象，这些现象可以通过分析（明确）函数和概率分布来描述，在最简单的情况下，也可以通过这些函数和概率分布来理解，这些函数和分布具有一些普适性特征。同时观察到的普遍性类别可以通过q等指数来表征。我们将在这里展示一些这样的情况，即关于金融、地震和基因组领域的事件间（或事件间）时间分布。关键词：复杂系统，非扩展统计力学，非加性熵，金融，地震，基因组学1。历史和物理动机1865年，克劳修斯在《热力学》中引入了熵的概念，并命名为熵（注S，可能是为了纪念萨迪·卡诺，克劳修斯梅尔称其为：tsallis@cbpf.br（康斯坦丁诺·萨利斯）*邀请评论出现在《混沌、孤子和分形》中。预印本提交给混沌、孤子和分形2018年10月1日[1]。

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能者818

2022-5-10 15:14:57

它是在完全宏观的条件下引入的，根本没有提及微观世界，在他那个时代，微观世界的存在一直处于激烈的争论之中，几十年后仍然如此。这个概念的中心属性之一是热力学上的广泛性，即与系统的大小成比例（例如，以其总质量为特征）。在19世纪70年代，玻尔兹曼[2,3]将热力学熵与微观世界巧妙地联系起来。几年后，吉布斯再次证实了这种联系[4]。从这个观点来看，热力学的可拓性成为了当今众所周知的性质，即系统的总熵应与N成正比，即其微观元素的总数（或者，等效地，与微观自由度的总数成正比）。更准确地说，在N→ ∞ 极限，它应该是渐近的beS（N）∝ N，（1）hence0<limN→∞S（N）N<∞. （2）对于d维系统，N∝ Ld，其中L是一个特征线性尺寸，或者是一个正整数（基本上是标准维数），或者是一个正实数（分形维数，这一概念实际上由Hausdor ff仔细引入，Mandelbrot进行了卓有成效的探索）。因此，Eqs。（1）和（2）可以重写如下：S（L）∝ Ld，（3）hence0<limL→∞S（L）Ld<∞. （4） Boltzmann和Gibbs引入的熵泛函（后来分别适用于von Neumann和Shannon提出的量子和信息理论场景）由bg（N）=-千瓦（N）Xi=1皮磅W（N）Xi=1pi=1, （5）其中k是常规的正常数（在物理学中通常被认为是玻尔兹曼常数kb，在其他几种情况下k=1），i表示N-尺寸系统的所有非消失概率微观结构，{pi}是相应的概率。

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2022-5-10 15:15:00

在概率相等的特殊情况下，即pi=1/W（N）(i）我们恢复了著名的玻尔兹曼公式sbg（N）=k ln W（N）。（6）很明显，如果微观随机变量是概率（严格或接近）独立的，我们有（N）∝ uN（u>1；N→ ∞) , （7）因此，等式（6）意味着SBG（N）∝ N、因此，满足（克劳修斯）对延展性的热力学预期，这里用公式（1）表示。如果我们有N枚硬币（骰子），那么u=2（u=6）；如果我们有一个d维的第一近邻，在热平衡状态下，伊辛铁磁体与恒温恒温器相互作用，那么μ本质上是一个与温度有关的实数。然而，W（N）可能具有与（7）截然不同的功能依赖性。例如，它可以是（参见[5,6,7,8]和[9]的第66-68页；也可以参见[10,11]）W（N）∝ Nρ（ρ>0；N→ ∞) , （8）或（见[9]第69页）W（N）∝ νNγ（ν>1；0<γ<1；N→ ∞) . （9）然而，这样的情况可能与不同性质的强相关性相对应。我们很容易验证这一点→ ∞,1<<Nρ<<νNγ<<uN.（10）这与强限制直接相关，强限制要求整个相空间的占用率大大低于完全（或接近完全）占用率（这反过来对应于等式（7），对于非线性动力系统，则对应于遍历性）。我们也可以说，公式（7）通常与W与N的增加相关联，但并不禁止它与N的逐渐减少相关联（例如，参见[12]）。因此，原则上，它也可能出现在公式（7）中的u<1，公式（8）中的ρ<0，以及公式（9）中γ>0的ν<1。当然，在这种病态情况下，为了不违反W，渐近行为中必须包含一个单位阶的加性常数≥ 1.相空间的占有率采用有限的勒贝格测度，而方程。

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大多数88

2022-5-10 15:15:03

（8）（9）通常对应于Lebesgue测度为零的入住率。如果我们假设——并且我们确实假设，出于下文将要介绍的原因——熵可拓性（即，等式（1））在所有情况下都必须保持不变，那么每当系统中普遍存在概率强相关性时，我们就被迫放弃BG泛函（5）。这是[5]中引入的非加性熵的主要物理和数学来源，目的是推广BG熵Sb，并同时推广BG统计力学。这与玻尔兹曼、吉布斯、费米、马约拉纳、蒂萨、兰茨伯格和其他一些人（例如，参见[9]的第1章）指出的BG基本假设的有效性极限的重要观点完全一致。在下一节中，我们将展示如何强制使用非加性熵函数（例如[5]中引入的SQ，以推广BG理论），以便在克服常见BG框架及其加性函数SBG的情况下满足这一要求。2.热力学熵延展性强相关系统通常包含非加性熵函数。在下文中，每当出现等式（7）时，我们将指不相关或弱相关的N体系统，当Lebesgue度量行为为零时，如等式中的行为，我们将指强相关的N体系统。（8）（9）发生。让我们进一步分析这个案例。如果我们有N个可分辨的粒子，每个粒子都生活在一个连续的D维空间中（如果系统是由D维系统的正则共轭动力学变量定义的，则D=2d；例如，吉布斯Γ相空间是一个2dN维空间），然后，整个可能性空间是n维超立方体，其超体积等于DN（假设几乎所有这些可能性都有非零概率发生）。

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大多数88

2022-5-10 15:15:07

在这种情况下，itslebsgue测量的标度精确为W（N）~ DN，符合等式（7），u=D。在这样的系统中，强相关性不能增加其勒贝格度量，但当然可以减少它，甚至使其为零，就像对应于toEqs的情况一样。（8）和（9）。然而，与式（7）所表示的标准情况形成显著对比的是，系统确实存在，其可能性总数的增加速度甚至超过uN。N级元素的情况就是这样。事实上，所有可能的数量都会产生W（N）=N！[13]. 因此，由式（5）yieldsSBG（N）给出的BG熵~ kN ln，不符合热力学。在这种情况下，什么样的精确熵能恢复扩展性，目前是一个有趣的开放问题。现在我们来介绍一下熵泛函（q∈ R）：Sq=k1-PWi=1pqiq- 1（S=SBG）。（11）这个表达式可以等价地重写如下：Sq=kWXi=1pilnqpi=-kWXi=1pqilnqpi=-kWXi=1匹2-qpi，（12）wherelnqz≡z1-Q- 11- q（lnz=lnz）。（13）对于等概率的特殊情况（即pi=1/W），我们有sq=k lnqW=kW1-Q- 11- q、（14）因此，在与式（8）相对应的情况下，我们不希望使用BG熵。实际上，它产生了SBG（N）∝ ln，这违反了热力学广度。如果我们使用等式（14），我们得到1-1/ρ（N）∝ N，（15）这是热力学容许的！我们可以直接验证熵函数SQ是非加性的（与加性函数SBG[14]相比）。事实上，如果pA+Bij=pAipBj，我们有Sq（A+B）k=Sq（A）k+Sq（B）k+（1）- q） Sq（A）kSq（B）k.（16）现在让我们考虑与等式（9）相对应的情况，q的值不会使Sq（N）变得广泛。因此，我们不得不研究另一个熵泛函。让我们定义（δ∈ R） [9,15]Sδ=kWXi=1pihlnpiiδ（S=SBG）。

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2022-5-10 15:15:11

（17）如果我们有相等的概率，我们验证sδ=khln Wiδ。（18）因此，我们可以检查，对于等式（9），S1/γ（N）∝ N，（19），这也是热力学容许的。因此，为了获得热力学的延展性，我们再次使用了非加性熵。实际上，如果概率系统A和B是独立的（即pA+Bij=pAipBj），我们验证了一般的Sδ（A+B）6=Sδ（A）+Sδ（B）。事实上，SBG、Sq和Sδ可以通过[16]Sq、δ=kWXi=1pihlnqpiiδ来统一。（20）我们验证了S1,1=SBG，Sq，1=Sq和S1，δ=Sδ。与Sδ和Sq，δ相关的统计机制，以及相应的非线性福克布兰克，已在[17,18]中计算出来。此外，对于等概率酶，一般热力学讨论见[19,20,21]。许多其他熵泛函可以在[22,23]中找到；特别是[22]中展示了SQ和黎曼-泽塔函数之间的一种触发性联系。熵可加性和熵延度之间的关键区别如表1所示。表1中的所有示例都假设W非异概率事件的概率相等。那更一般的情况呢？总的来说，这样的反第一原理计算在数学上很难处理。但也有一些例外。其中一个最简洁的例子涉及（1+1）维哈密顿量类的量子临界点，其连续极限的特征是具有中心电荷c的共形场（c=1/2对应于伊辛铁磁体以及轴向各向同性海森堡铁磁体模型[24]；c=1对应于各向异性XY铁磁体）。事实证明，有限量子链中子系统的广义熵与[25]相同（另见[26]）。q=√9+c- 3c。（21）见图1。

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2022-5-10 15:15:14

在继续之前，让我们评论一个值得进一步澄清的点。表1中的上述简单说明集中于W（N）的函数形式如何确定满足热力学延展性的熵函数S（{pi}），如前所述，是基于单熵（N）SBGSqSδ（N→ ∞) （q6=1）（δ6=1）（加法）（非加法）（非加法）例如，uN（u>1）广泛的非扩展的非扩展的。g、 Nρ（ρ>0）非扩张的非扩张的（q=1）- 1/ρ）例如，νNγ（ν>1；非扩展非扩展0<γ<1）（δ=1/γ）表1：熵是广泛的系统的加性和非加性熵泛函和说明类。W（N）是具有N个元素的系统的可容许等概率微观构型的数量；只有发生概率不存在差异的配置才被认为是可接受的。概率相等的假设。换句话说，我们使用了特定熵泛函可以假设的最大值。在许多情况下，这个程序是正确的。然而，在某些特定情况下，它可能是错误的。为了澄清这个问题，让我们详细分析一下[25]中讨论的案例。公式（21）给出了满足熵延展性的指数q1的正确公式。然而，分析证明（见[30]）对于尺寸为L的一维强纠缠量子子系统，我们有SBG（L）k=cln L+ln b+，（22）其中b是常数。这个表达式，连同假设SBG/k=ln W，意味着W（L）~ bLρ和ρ=c/3，这将决定，如果我们有相等的概率（我们没有！），q=1-c、然而，正确的结果是等式（21）中给出的结果。错误值q=1-卡里维德比错误地假设了相同的概率。在第三节中，我们给出了为什么我们总是要求热力学熵是广泛的三个基本原因。

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2022-5-10 15:15:17

第一个原因是关于什么是与通常热力学的勒让德变换结构相容的最普遍的经典热力学形式。We00。20.40.60.81.00 0.51.01.52.0q1/cBGXYIsingZ(∞)M→∞SU（4）图1：指数q是根据第一原理确定的[25]，即哈密顿量的普适性类。值c=1/2和c=1分别对应于在T=0临界时存在横向磁场的伊辛和XY铁磁链。其他型号见[27,28]。在c→ ∞ 限制我们恢复玻尔兹曼吉布斯（BG）值，即q=1。对于c的任意值，子系统非加性entropySqis在热力学上可扩展，且仅适用于q=√9+c-3c（因此c=6q1-Q一些特殊值：对于c=4，我们有q=1/2，对于c=6，我们有q=√5+1=Φ，其中Φ为黄金平均值）。让我们强调，q的这个反常值只发生在零温度二阶量子临界点；在任何其他地方，通常的短程相互作用BG行为（即q=1）都是有效的。从[29]开始。不要假设熵有任何特定的函数形式。它自然地（从勒让德结构中）表现出来，然而，它是广泛的，即S（N）∝ N或相当于S（L）∝ 劳埃德。沿着这些思路，我们扩展了量子热力学（其有效性仅限于短程相互作用多体系统），以便也涵盖长程相互作用多体系统，以及（3+1）维和（2+1）维黑洞等非标准情况，以及量子强纠缠系统中的所谓面积定律。第二个原因涉及另一个强有力的观点——大偏差理论。一个经过详细数值讨论的非平凡例子再次表明，对于所有系统，物理容许熵在热力学意义上是广泛的。

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2022-5-10 15:15:21

作为可能的第三个原因，我们在本节结束时回顾并说明了当系统接近其稳态时，熵的时间依赖性与达到该稳态时熵的大小依赖性之间的强相似性。在第4节中，我们简要回顾了金融、地震、基因组以及其他一些应用的现有结果。最后，我们在第5.3节中得出结论。为什么热力学熵总是大的？在接下来的内容中，我们重点讨论了最终结果，即任何系统的热力学熵都必须是广泛的。这些论点遵循三条不同的路线，即热力学数学结构、大偏差理论和非线性动力系统熵向其稳态的时间演化。3.1. 广义热力学热力学是基于一些非常普遍的经验事实（这些事实在历史上导致了第零、第一和第二原理等）。它的数学结构基于勒让德变换。微观上讲，它依赖于最大熵原理，即熵泛函的极值化，对概率集有适当的约束（例如，参见[31,32]）。为了在一般情况下讨论热力学，我们遵循[9,16]和其中的参考文献。让我们回顾一下一般d维系统[33]热力学能的一种典型形式：G（V，T，p，u，H，…）=U（V，T，p，u，H，…）- ts（V，T，p，u，H，…）（23）+pV- uN（V，T，p，u，H，…）- HM（V，T，p，u，H。

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2022-5-10 15:15:25

) - ··· , （24）式中，T、p、u、H分别为温度、压力、化学势、外磁场，U、S、V、N、M分别为内能、熵、体积、粒子数（反过来与自由度成正比）、磁化强度。从勒让德结构中，我们确定了三类变量，即（i）那些期望总是像N本身一样扩展的变量（S，V，N，M，…），i、例如，用（d维）体积V=Ld进行缩放∝ N、式中，L是系统的特征线性尺寸（显然，V∝ Ad/（d）-1），其中A是d维面积），（ii）表征系统放置时的外部条件（T、p、u、H，…），用Lθ标度，以及（iii）那些代表能量的（G，U），用L标度.接下来就是琐事 = θ+d。（25）如果我们将式（24）除以Lθ+并考虑大L极限（即热力学极限），我们得到TLθ，pLθ，uLθ，HLθ。= UTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。-TLθsTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。+pLθ-uLθnTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。-HLθmTLθ，pLθ，uLθ，HLθ。- ··· ,（26）其中g≡ 极限→∞G/Lθ+d，u≡ 极限→∞U/Lθ+d，s≡ 极限→∞S/Ld，n≡极限→∞N/Ld，m≡ 极限→∞男/女。对于短程和长程相互作用的经典热[34,35,36,37,38,39,40,41]、扩散[42]和几何（渗流）系统[43,44]，该方程中出现的标度的正确性在文献中得到了大量验证。短程相互作用的情况对应于标准热力学系统（例如，真实气体，简单金属），我们得到θ=0（即，我们恢复通常的密集变量，如T，p，u，H），和 = d（也就是说，我们恢复了通常广泛的能量变量，如G、U等）。这是在热力学教科书中发现的情况（例如参见[33]）。远程互动的情况更为微妙。

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2022-5-10 15:15:28

通过引入一个变量来方便地讨论这种情况，比如下面的一个[34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44]：≡N1-α/d- α/d1- α/d（α≥ 0），（27），其中α表示经典维系统中两体相互作用的范围（假设电势在原点可积，在长距离r处渐近衰减为1/rα）。当然，在热力学勒让德变换结构中，s，V，N，M属于同一类是很自然的。变量N的定义是广泛的。因此，很明显，熵S，以及V，M，和类似的熵也是如此。如我们所见，如果α/d>1（短程相互作用），我们在N→ ∞极限，一个常数N，从而再次恢复标准热力学。但是对于0≤ α/d≤ 1（短程相互作用），我们有，在N→ ∞极限，N以一种非平凡的方式缩放，即如果α/d=1，则N=ln，和~ N1-α/d/（1）- α/d）如果0≤ α/d<1（对于特殊情况，α=0为通常的平均场标度N=N）。为了0≤ α/d≤ 1，我们有θ=d- α，（28）和 = 二维- α，（29）意味着（T，p，u，H）是非密集型，而（G，U）是超广泛型。我们验证了，（N，S，V，M）在所有病例中仍然广泛存在，即。，α/d。见图2。这些特殊的标度是由于这样的势是不可积的，也就是说，由于积分∞康斯坦德路-1r-α发散，因此BG正则配分函数本身也发散。吉布斯本人在1902年出版的《基本原理不稳定力学》[4]一书中强调指出，每当配分函数发散时，就不能使用BG理论（用他的话说，“分布定律变得虚幻”）。

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2022-5-10 15:15:31

为了说明他的观点，他特别提到牛顿引力的情况（即d=3和α=1）。除了上述长程相互作用的经典系统外，还有其他一些在热力学方面也有有趣的方面。黑洞就是这样，几十年来人们一直在讨论黑洞的熵。事实上，自从Bekenstein[48,49]和Hawking[50,51]的开创性工作以来，文献中经常（明确或默认）接受黑洞熵量子d维系统略有不同。对于它们，我们预计通常的热力学标度适用于α>αc（d），其中通常αc（d）>d（例如，参见[45,46]），而反常标度适用于0≤ α ≤ αc（d）。从微观（经典）动力学的角度来看，这种反常现象与整个李雅普诺夫谱在N中消失的事实直接相关→ ∞ 极限，它可以引发遍历性（参见[38,47]和其中的参考文献）。在各种量子系统中，这种困难也存在，有时甚至以更微妙的方式存在（单氢原子，以及许多其他原子，构成了这样一个基本的例子；实际上，它的BG配分函数由于电子能级的积累而发散，刚好低于电离能）。0 1α/d（长-距离（短）-范围相互作用）密集，例如T、p、u、H∝ l0广泛的，例如，g，U，S，N，V，M∝ Ld（θ）≠ 0）（θ=0）伪-密集型，例如T、p、u、H∝ Lθ，例如，S，N，V，M∝ 西多-广泛的，广泛的，广泛的∝ Ld+θ图2：表示经典维度系统的等式（26）的不同比例制度。

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2022-5-10 15:15:34

有吸引力的远程互动（即0≤ α/d≤ 1，α以1/rα的形式表征势场中的相互作用范围）我们可以区分三类热力学变量，即用Lθ标度的热力学变量，称为伪强化变量（L是特征线性长度，θ是系统相关参数），用Ld+θ标度的热力学变量，伪扩展变量（能量），以及用Ld标度的热力学变量（总是扩展的）。对于短程相互作用（即α>d），我们有θ=0，能量恢复其标准的扩展标度，属于S、N、V等的同一类，而之前的伪密集变量变成了真正的密集变量（与L无关）；这是一个区域，有两类变量，被传统的热力学教科书所涵盖。从[9]开始。是反常的，因为它可以破坏热力学延展性[52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67]。我们经常听说黑洞的熵与其边界面积成正比，而不是与黑洞体积成正比。对于一个Schwarzschild（3+1）维黑洞，能量标度类似于质量Mbh（其中bh代表黑洞），而质量Mbh又与L[68,69,70]成比例，因此 = 因此，使用公式（25），θ=1- D（30）如果黑洞在物理上与它的视界表面一致，那么它被认为是一个真正的d=2系统，那么θ=-1，准确地再现了通常的贝肯斯坦·霍金（Bekenstein Hawking，BH）缩放T∝ 1/L∝ 1/Mbh。然而，如果黑洞被认为是一个真正的d=3系统（考虑到相应的时空是（3+1）维的，这是有意义的），那么θ=-2，即1/L的T刻度∝ 1/Mbh，与伯克希尔哈撒韦比例不一致。

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2022-5-10 15:15:38

这是一种理解为什么这样一个谜题自几十年来一直存在的方式，与黑洞的熵有关。让我们更具体一点。广泛且有物理意义的证据（例如全息原理）表明存在BG熵（对于量子系统，也称为冯·诺依曼熵）SBG≡ kBln W∝ 五十、更一般地说，是SBG≡ -kBT rρlnρ∝ 五十、 W是内部配置的总数，ρ是密度矩阵。对于强量子纠缠的二维系统，我们同样拥有目前被称为区域定律[71]，即SBG≡ -kBT rρlnρ经常与ld成比例-1对于d>1，用ln L表示d=1，而不是按比例表示d≥ 1.withLd。这一事实也产生了一个密切相关的有趣问题。上述言论可能被认为是正在进行的黑洞熵讨论的核心。事实上，如果要从物理角度考虑该系统- 1） -维1，那么（加性）熵sbg必然被确定为其热力学熵。但是，如果系统在物理上被认为是一个d维系统，那么SBG就不能被识别为它的热力学熵，正如我们所见，需要一个非加性熵函数来发挥这个作用[16]。[16]表明，在等概率假设下，要使用的非加性熵泛函是所谓的δ-熵Sδ，δ指数有一个特殊值，即δ=d/（d）- 1）（d>1）。然而，如果这些异常系统的等概率假设没有得到验证，那么要使用的非加性泛函可以是（据我们目前所知）具有其他δ值的Sδ，也可以是其他的，例如，再次是具有特定指数q值的泛函sqitself。让我们强调上述内容。

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2022-5-10 15:15:42

如果我们把Schwarzschild（3+1）黑洞看作一个真正的d=2系统，那么SBG=kBln W∝ L确实与（广泛的）热力学熵S，BHT有关∝ 1/这是意料之中的，没有争议或有趣的事实需要进一步分析。然而，如果这个黑洞被认为是一个真正的d=3系统，那么SBG就不能是热力学熵S，因为后者必须像L一样标度。从这个角度来看，一个关键的问题就出现了，即，这个三维系统的热力学熵的微观数学表达式是什么？我们在[16]中为这个重要问题提供了热力学上可接受的答案。还讨论了（2+1）维“黑洞”[72,73,74]。已经证明，能量标度类似于L，因此 = 2和usingEq。（25）再一次，θ=2- D（31）这种情况提供了一个一维的事件视界。如果由于这个事实，这个黑洞被认为是一个真正的d=1系统，那么θ=1，它对应于BH标度的（2+1）版本，即T∝ L∝ M1/2bh。事实上，这正是这个简化系统所获得的比例[72,73,74]。然而，如果这个黑洞被认为是一个d=2系统，我们有θ=0，在这种情况下，T被认为是一个强度变量。一致地，如果我们假设系统是一个d=1的系统，那么显然SBG发挥了热力学熵的作用，因为SBG∝ L（参见[72,73,74]）。

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2022-5-10 15:15:46

但是，类似于上面讨论的（3+1）情况，如果我们认为它是d=2，那么再次需要一个非加性熵函数来扮演热力学角色。从历史的角度来看，我们观察到，奇怪的是，吉布斯关于配分函数在某些反常情况下发散的谨慎警告，以及与之相关的戏剧性理论特征，在大多数教科书中都被忽略了。类似地，与面积定律有关的热力学违规行为，在某种程度上，往往没有被重视。事实上，似乎有不少作者倾向于认为，对于这样的复杂系统，熵不应满足热力学延展性。然而，相比之下，存在着各种各样的物理和数学事实，这些事实的观点似乎有些奇怪。[16]的主要目标之一是解决这一重要问题，并找到克服困难的途径。玻尔兹曼-吉布斯-沃努曼（加法）熵与体积不成正比，这一事实（对于强纠缠系统、黑洞，以及一般来说，对于满足上述面积定律的系统，以各种方式反复说明）精确地表明，对于此类强关联系统（因此相空间中的容许态总数明显减少），热力学熵无法与通常的（加性）BG熵泛函相区分，但与实质上不同的（非加性）BG熵泛函相区分。Hanel和Thurner[19,20,21]通过专注于Khinchine公理和具有表面优势统计的复杂系统所获得的结果中，可以找到一个论点，证明使用非加性熵形式来重新建立系统的熵可拓性的正确性。另见[23]。3.2。

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2022-5-10 15:15:54

对于广义大偏差理论[75,76,77]，最近的结果存在[75,76,77]，与概率论中的所谓大偏差理论（LDT）有关，它也与熵的广度一致，即使在系统元素之间存在强相关性的情况下也是如此。q指数函数ezq≡ [1 + (1 - q） z]1-q（ez=ez）（及其相关的q-高斯[78]）已经出现在相当多的非扩展和类似系统中（参见[6,38,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104]等），作为指数方程（及其相关高斯方程）的适当推广（关于[103]中产生的非线性量子方程，另见[105、106、107、108、109、110、111、112、113、114115]）。因此，推测LDT表达式e在某种意义上仍有待精确定义似乎很自然-n被泛化为接近e的东西-rqNq（q∈ R），其中广义速率函数rq应该是每个粒子的广义熵。让我们强调一个关键点：我们不建议远程交互和其他非标准系统，比如e-rqNη，η6=1，但我们期望η=1，也就是说，总q-广义各向同性的延展性仍然成立。正如我们在无花果中看到的。3和4，这个重要的假设确实在模型中得到了验证，其特征是（Q，γ，δ）和Q≥ 1，我们在[75,77]中进行了数值研究。指数q≥ 1满足度γ（q- 1） =Q- 1.- 1.（32）该结果强烈表明，与文献中的其他结果一致（例如，参见[6,9,34,42,43]），即使在BG熵不广泛的非标准情况下，总熵也可能保持广泛（即热力学容许）。

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2022-5-10 15:15:59

任何沿着这些或类似路线的分析结果显然都是非常有趣和受欢迎的。3.3. 非线性动力系统熵的时间演化我们可以参考的另一个迹象是与简单非线性动力系统熵的时间t依赖性的类比，例如logisticmap xt+1=1-阿克斯特。的确对于逻辑映射具有正Lyapunov指数λ的a的参数值（即，强混沌和遍历性；10010110210310410-610-510-410-310-210-1100B（x=0.10）=4.57660794B（x=0.35）=173.038573p（N；N/N<x）Q=3/2=1/2=1 nx=0.350.564647e-0.033n5/3 0.266410e-0.020 N5/3 x=0.10 0.828455-0.480n0/3）与图117n98的数值点比较（N=0.093）a（x）e-rqNq。这里说明了x的两个值，即x=0.10和x=0.35。来自[77]。例如，对于a=2），我们验证（在适当的数学限制下）K≡ 极限→∞SBG（t）t=λ。相反，对于Lyapunov指数消失的参数值（即弱混沌和遍历性崩溃；例如，在Feigenbaum点a=1.40115518909…），它是一种非加性熵（Sq，下文讨论），即随t线性增长的熵（参见[116、117、118、119、120、121、122、123、124、125、126]及其引用），并始终提供一个广义的类佩辛恒等式。更准确地说，Kq≡ 极限→∞Sq（t）t=λq，其中λq=1/（1）- q），和q=0.244487701341282。。。（实际已知1018个精确数字）。如果我们考虑到，在许多（如果不是全部）这样的动力系统中，t在热力学系统中扮演着类似于N的角色（参见[127，128]和图5），我们这里有一个更具启发性的指示，它与简单和复杂系统的熵的广度一致。

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2022-5-10 15:16:07

更具体地说，如果我们有一个具有正Lyapunov05的非线性动力系统。0x1031。0x1041。5x1042。0x104-6x103-4x103-2x10300 10203050-40-30-20-100Q=3/2=1/2=1ln5/3P（N；N/N<x）x=0.35 x=0.10 N图4：图3在（q-log）-线性表示中的相同数据。让我们强调，在（q-log）-线性表示的所有尺度下提供直线的唯一渐近幂律函数是q指数函数。插图显示了与N对应的结果，最大为50。来自[77]。指数{λ（k）}，Pesin等式基本如下：≡ 极限→∞SBG（t）t=\'NXk=1λ（k）。（33）如果所有这些李雅普诺夫函数都消失了，我们希望，对于一大类弱混沌系统，有如下q-推广：Kqent≡ 极限→∞Sqent（t）t=\'NXk=1λ（k）qk，（34）图5：sq作为（N，t）函数的猜想依赖性。Q的一个特殊值（在本文中注释了qent，在本文[127]的原始图中注释了qsenin）一般存在，因此Sqent（N，t）∝ N t表示N>>1和t>>1如果 → 0，在哪里是细粒化的程度。极限 → 0对应于一个（连续的）经典空间相位的完整组合。这个猜想是，因为 > 0，与limt一致→∞Sqent（N，t）∝ Sqent（N，0<t<t饱和）∝ N、式中，饱和是Sqent（N，t）大致达到的特征时间，对于递增的t，值Sqent（N，∞). 有关更多详细信息，请参见[127]。式中，可通过（见[129]中的等式（26））1确定qentt- qent=`NXk=11- qk，（35）其中，集合{qk}是通过非线性动力展开的各个方向对初始条件的灵敏度{ξk}来定义的，ξk\'eλ（k）qktqk∝ t1-qk（t）→ ∞). 如果{λ（k）}中至少有一个是正的，{qk}中至少有一个等于一，因此qent=1。

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2022-5-10 15:16:12

另一个有趣的例子是，如果所有N个方向都退化（即相应的随机变量是可交换的，因此qk=q，k）然后-qent=\'N1-Q这种关系意味着极限N中的qent=1→ ∞, 即使q<1。最后，另一个最有趣的特殊情况也是可能的，即（35）中的和收敛到一个确定的正值；然后我们有qent<1。因此，如果我们考虑一个由非强关联粒子构成的时间演化系统，在许多情况下，对于大t和大N，我们将有一个比率q（N，t）Nt，该比率对于一和相同的特殊值q是有限的，即qent<1.4，这似乎是合理的。金融、地震和基因组中的相互发生时间让我们现在关注一个有趣的普遍属性，由强相关元素构成的许多自然、艺术和社会系统共享，即特定相互发生时间的分布。我们将特别回顾金融[130131]、地震[132]和生物学[133]等领域的一些可用结果[80、81、134]。在本报告中，我们将不讨论长程相互作用的哈密顿经典系统[82、135、136、137、138、139、140、141、142、143]，这些系统肯定值得自己进行详细研究（在目前的上下文中，我们不指元素短程相互作用的系统，而只指元素长程相互作用的系统）。金融时间序列中的相互发生时间让我们考虑金融价格{Pt}的时间序列。收益定义如下：rt≡ lnPtPt-1分- Pt-1吨。（36）返回变量很方便，因此很受欢迎。事实上，它们抵消了价格可能出现的波动；此外，它们非常简单地反映了相对价格的上下波动。

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2022-5-10 15:16:16

众所周知，收益率的分布通常由q-高斯分布很好地拟合，即P（r）∝ E-βrrqr，qr>1的有效值随着连续价格之间的时间间隔越来越大而单调地向统一方向递减。事实上，对于非常大的时间步长，所有相关性都会丢失，收益分布会被高斯函数很好地拟合。在本综述中，我们遵循[130]的内容。在图6中，我们看到了价格回报的典型时间序列。红线atQ\'-0.037表示我们选择检查互现时间。该Q值的平均互现时间为RQ=70。rqmonotonic值随|增加而增加- Q |：见图7。图8显示了与RQA典型值对应的互现时间分布。对应于16种不同财务数据的数据如图9所示。他们都通过PQ（r）得到了很好的满足∝ E-βrq，其中q=1+qln（rq/2），q’0.168。PQ（r）的解析表达式的简单性使得风险函数的计算变得简单，其可以显示为（详见[130]）WQ（t；t） =1-E-（β/q）（t+t）量化宽松-（β/~q）tq（37），其中q=2- q、（38）4.2。地震时间序列中的事件间时间地震事件间时间可分析如下。我们为地震震级选择一个阈值（例如，1976-2009年期间希腊地震活动研究中的4.1：详见[132]），然后测量地震之间的间隔时间T，该时间大于所选阈值。图示如图10.4.3所示。基因组间发生距离的分析可以类似于金融和地震间发生时间，其中相等核苷酸之间的距离（如连续腺嘌呤之间的距离，或连续胞嘧啶之间的距离）起着“时间”的作用。下面我们来看看[133]。

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nandehutu2022

2022-5-10 15:16:20

图11中描述了出现间隔距离显示出现间隔时间的作用的过程。在图12中，我们报告了一个非常惊人的结果：智人和各种细菌的分布不仅具有相同的功能（q指数）形式，而且具有相同的q和β值！对于智人来说，它也是第二个q指数，仍然具有相同的q值。确定这种双q指数形式是否也出现在其他生物体中，例如在其他哺乳动物中，或者它是否排除智人，肯定是最有趣的。200020012002 2003 2004200520062007 2008 20092010年-0.2-0.100.10.2价格回报率XiIBMFigure 6:IBM股票在（a）2000年至2010年，以及（b）2002年8月29日至10月23日期间的相对每日价格回报率图示。红线显示阈值Q\'-0.037，对应于RQ=70的平均互占用时间。在（b）中，间隔时间用箭头表示。来自[130].4。其他系统中的相互发生时间本质上，在自然、艺术和社会复杂系统的许多分析、计算、实验和观测结果中，出现了与上述金融、地震和基因组现象相同的规律。一个这样的例子是相干噪声模型（参见[134]及其参考文献），其中观察到了qGaussian类型e的回波r的分布-βrrqr（qr>1），以及雪崩大小的分布，其行为渐近为s-τ与τ≡ 1/（qs）- 1）（qs>1）。图7：平均发生间隔时间Rqv与损失阈值的绝对值-Q、美元兑英镑的汇率从左到右依次为标准普尔500指数、国际大宗商品价格指数和原油指数。可以证实，大约RQ’eκ|-Q | qR<1，κ>0。

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2022-5-10 15:16:25

从[130]开始。通过分析确定并通过数值验证了以下标度定律[134]：qr=τ+2τ，（39），即qr- 1=qs- 1.（40）图8：（a）1962-2010年期间IBM每日价格回报的发生间隔时间分布函数。整行显示了拟合的q指数。对于RQ=2、5、10、30和RQ=70（以天为单位），从下到上。整行显示了拟合的指数。参数β（正方形，下曲线）和q（圆形，上曲线）对q指数的依赖性如图（b）所示。面板（c）证实，对于RQ=2，分布函数是一个简单的指数。直线是2-r、从[130]开始。基本上相同的结果适用于分到月的价格回报[131]。[80,81]中的不同模型（受限扩散）也得到了类似的结果。最后一点我们在这里讨论了金融理论中典型存在的各种现象，但也出现在许多其他复杂系统中，如地震和遗传学。更准确地说，内部发生时间（或距离）的分布一次又一次地呈现为图9：从不同资产类别（股票、指数、货币、商品）中获取的16个金融数据示例的每日价格回报的内部发生时间（如图8所示）的分布函数。这些资产包括i）IBM、波音（BA）、通用电气（GE）、可口可乐（KO）的股票；ii）道琼斯指数（DJI）、金融时报证券交易所100指数（FTSE）、纳斯达克、标准普尔500指数；iii）商品布伦特原油、西德克萨斯中间油（WTI）、阿姆斯特丹鹿特丹安特卫普汽油（ARA）、新加坡汽油（SING），和iv）以下货币对美元的汇率：丹麦克朗（DKK）、英镑（GBP）、日元、瑞士法郎（SWF）。

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mingdashike22

2022-5-10 15:16:28

整条线显示了拟合的q指数，与图8相同。从[130]开始。q指数形式。这个普遍规律，虽然（q，β）的值取决于我们关注的特定普遍性类别，但起着简单而相关的作用。这些参数的特定值的计算原则上可以从第一原理（即系统的微观动力学）进行。然而，最常见的情况是，这种动态要么未知，要么在数学上难以解决。这就是为什么在许多（但并非所有）实际情况下，（q，β）的值是通过拟合确定的。事实上，这种情况在认识论上与我们对行星的认识没有区别。事实上，它们的椭圆形式很容易用牛顿力学建立，然而，精确确定大小和起源图10：（a）地震震级M的事件间时间分布PM（T）与事件间时间T（以天为单位）的曲线图≥ 4.1对于所考虑的整个数据集（即，包括余震）。虚线是数据（在填充的圆圈中）到HPM（t）的t∝ E-βTqT 1，qT 1=1.24±0.054。（b）与（a）中相同，但适用于相应的非聚集数据集（即，不包括余震）。在这种情况下，qT 2=1.14±0.057。摘自[132]。图11：从DNA一级序列评估四个核苷酸间隔序列的程序。摘自[133]。椭圆的内倾需要了解太阳系所有质量的初始条件，这当然是不可能的！因此，天文学家使用开普勒椭圆近似，通过拟合确定具体参数。在本综述中，我们主要关注非加性熵Sq及其标度律。

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2022-5-10 15:16:32

还有很多（当然是超富了！）反常熵泛函目前已在文献中出现，但它们的描述，即使简短，也不在目前的范围之内。此外，我们还利用广义中心极限定理[144、145、146、147]研究了各种非常有趣的孪生现象。最后，对于复杂系统显示互发时间的q指数分布的必要和有效条件的了解将是非常有帮助的，但目前仍是一个非常具有挑战性的开放问题。图12：核苷酸间隔A-A、T-T的PDF（开放符号）；智人和细菌全基因组DNA序列中的G-G，CC（完整符号）。虚线通过q指数分布a/[1+（q- 1） β（l/l）]q-1.在细菌中，用q\'1.1和β\'1.5的单个q指数进行近似是可能的，而在智人中，用q\'1.11和β\'1.5和0.1的两个q指数的总和是最好的。为了避免重叠，细菌的PDF向下移动了20年。为了进行比较，虚线显示了相应的指数PDF。摘自[133]。致谢。C.阿尔卡雷斯、C.贝克、E.P.博尔赫斯、T.邦德、L.J.L.西托、A.科尼格利奥、E.M.F.库拉多、M.盖尔·曼、P.格里戈里尼、G.鲁伊斯、H.J.赫尔曼、M.贾雷盖、H.J.詹森、J.路德舍、F.D.诺布雷、A.普鲁奇诺、S.M.D.奎罗斯、A.拉皮萨达、P.拉普坎、P.坦佩斯塔、U.蒂尔纳克利、S.乌马罗夫，以及其他许多古老而富有成果的讨论都得到了热烈的认可。我还感谢巴西CNPq和法佩尔以及美国约翰·邓普尔顿基金会提供的部分财政支持。参考文献[1]R.克劳修斯，《世界卫生组织年鉴》125353（1865年）。[2] L。

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2022-5-10 15:16:35

Boltzmann，Weitere Studien–uber das W–armegleichgewicht unterGas molek–ulen[气体分子间热平衡的进一步研究]，维恩，伯尔。66, 275 (1872).[3] L.Boltzmann，K.Akademie der Wissenschaften，Wien，Math-Naturwisenschaften 75,67-73（1877）；S.Brush，动力学理论，第2卷：不可逆过程，188-193（Pergamon出版社，牛津，1966），英文译本（关于一般力学定理与热力学第二定律的关系）。[4] J.W.Gibbs，《统计力学的基本原理——特别参考热力学的理性基础》（C.Scribner\'s Sons，纽约，1902年；耶鲁大学出版社，纽黑文，1948年）；奥克斯弓出版社，康涅狄格州伍德布里奇，1981年（第35页）。[5] C.Tsallis，J.Stat.Phys。52479（1988）[1987年首次作为预印本出现：CBPF-NF-062/87，ISSN 0029-3865，巴西里约热内卢财政部中心]。[6] M.Gell Mann和C.Tsallis主编，《非扩展熵——跨学科应用》（牛津大学出版社，纽约，2004年）。出版后不久，这种疏忽变得显而易见，即非扩展熵是一个误称：它应该是非加性熵。事实上，非加性熵泛函的引入正是为了使系统在热力学上具有广泛的熵，这些系统涉及其元素之间的某些强关联。这一点在[7]和[8,9]中进行了适当的讨论，但不幸的是，这本书的标题没有及时更正。[7] C.Tsallis，第1-53页，《非扩展熵——跨学科应用》，M.Gell Mann和C.Tsallis（牛津大学出版社，纽约，2004年）。[8] C.Tsallis，M.Gell Mann和Y.Sato，Proc。纳特。阿卡德。Sci。102, 15377(2005).[9] C。

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2022-5-10 15:16:39

Tsallis，《非扩展统计力学导论——接近一个复杂的世界》（斯普林格，纽约，2009）。[10] C.Tsallis，Physica A 340，1（2004）。[11] C.Tsallis，欧元。菲斯。J.A 40257（2009年）。[12] E.M.F.库拉多，P.坦佩斯塔和C.查利斯，编年史物理。（2016），inpress。[13] H.J.Herrmann，《私人通信》（2013）。[14] O.Penrose，《统计力学基础：演绎处理》（牛津佩加蒙，1970年），第167页。[15] M.R.乌布里亚科，物理系。莱特。A 3732516（2009年）。[16] C.Tsallis和L.J.L.Cirto，欧洲。菲斯。J.C 732487（2013年）。[17] M.S.里贝罗，C.塔利斯和F.D.诺布雷，物理系。牧师。E 88052107（2013年）。[18] M.S.Ribeiro，F.D.Nobre和C.Tsallis，Phys。牧师。E 89052135（2014年）。[19] 欧罗普希斯的R.汉奈尔和S.瑟纳。莱特。93, 20006 (2011).[20] R.Hanel和S.Thurner，EPL 9650003（2011）。[21]R.Hanel，S.Thurner和M.Gell Mann，Proc。纳特。阿卡德。Sci。111,6905 (2014).[22]P.坦佩斯塔，物理系。牧师。E 84021211（2011年）。[23]P.坦佩斯塔，Proc。R.Soc。A 47120150165（2015）。[24]A.O.Caride，C.Tsallis和S.I.Zanette，Phys。牧师。莱特。51, 145(1983); 51, 616 (1983).[25]F.Caruso和C.Tsallis，Phys。牧师。E 78021101（2008）。[26]A.Saguia和M.S.Sarandy，Phys。莱特。A 3743384（2010年）。[27]F.C.Alcaraz，J.Phys。A:数学。Gen.202511（1987年）。[28]F.C.Alcaraz和M.J.Martins，J.Phys。A:数学。Gen.23，L1079（1990年）。[29]C.Tsallis和H.J.Haubold，EPL 11030005（2015）。[30]P.Calabrese和J.Cardy，J.Stat.Mech.：理论实验（2004）P06002；另见C.Holzhey，F.Larsen和F.Wilczek，Nucl。菲斯。B 42443（1994年）。[31]R.S.门德斯，Physica A 242，299（1997）。[32]A.普拉斯蒂诺和A.R.普拉斯蒂诺，物理系。莱特。A 226257（1997年）。[33]H.B.Callen，《热力学与热力学导论》，第二版（John Wiley，1985）。[34]P.Jund，S.G.Kim和C.Tsallis，Phys。牧师。B 52,50（1995年）。[35]J.R.格里格拉，物理系。莱特。

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