LetVP（X）：=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]+α（Q）, 十、∈ L∞P、 andV（X）：=u-1.infQ∈Pu（式[X]）+α（Q）, 十、∈ L∞P.那么，π（v，X）=v+U（X）- U-1.infQ∈PEQ[u（v+X）]+α（Q）= v+U（X）- VP（v+X）。通过u的连续性和单调性-1.我们有所有的X∈ L∞Pwith ess infPX∈ dom uthatVP（X）=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]+α（Q）= infQ∈聚氨基甲酸酯-1（式[u（X）]+α（Q）），and v（X）=u-1.infQ∈Pu（式[X]）+α（Q）= infQ∈聚氨基甲酸酯-1（u（EQ[X]）+α（Q））。同样在变分偏好下的稳健风险溢价情况下，引理3.2和3.3的对应项仍然成立：引理4.6考虑具有相同变分标准的n个代理（4.4）。让我们∈ L∞P如：W/n∈ int dom u P-a.s.和ess infPW/n∈ 此外，假设c（W/n）=minQ∈P（EQ[u（W/n）]+α（Q））。（4.5）那么将W/n的份额分配给每个代理的分配是帕累托最优的。引理4.7假设P由上的概率测度P控制(Ohm, F） 。此外，假设P是弱紧的，α是弱下半连续的。为了所有的X∈ L∞Pwith ess infPX∈ 我们有c（X）=minQ∈PEQ[u（X）]+α（Q），and v（X）=u-1.明克∈Pu（式[X]）+α（Q）= 明克∈聚氨基甲酸酯-1（u（EQ[X]）+α（Q））。为了节省空间，我们省略了引理4.6和4.7的证明，因为它们遵循与引理3.2和3.3的p屋顶类似的论证。此外，作为命题3.4和定理3.5的一个结果，当要求α是我们稍后将放弃的平凡假设时，我们立即得到以下收敛结果作为起点：推论4.8假设α（Q）=0对于所有Q∈ P、 然后Vp（X）=UP（X）和V（X）=U（X），对于所有X∈ L∞Pwith ess infPX∈ 多姆大学。

因此，在命题3.4的条件下，我们得到了thatlimn→∞πv、 Snn= 在定理3.5所述的附加条件下，我们得到thatlim supn→∞nπv、 Snn≤supQ∈PR（v+EQ[X]）σQ（X），此外，lim infn→∞nπv、 Snn≥R（等式[v+X]）σQ（X），当Q∈ P满足V（X）=等式[X]（见引理4.7）。然而，对于非平凡α，变偏好下的稳健风险溢价，虽然在众多风险中会减少，但不会在极限内消失：命题4.9 Let（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、 假设ess infPX∈int dom u。也让Sn:=Pni=1Xi。然后VP（Sn/n）随limn在n中增加→∞VP（序列号/n）=V（X）。（4.6）因此，limn→∞πv、 Snn= U（v+X）- V（V+X）。证据C（Sn/n）和VP（Sn/n）在n中增加的事实遵循（2.6）。詹森不等式暗示C（Sn/n）≤ infQ∈Pu（等式[X]）+α（Q），因此也是VP（Sn/n）≤ V（X）。此外，对于适当的Qn∈ P、 我们有∈P{u（EQ[X]）+α（Q）}- CSnn≤ u（EQn[X]）- EQnUSnn+N≤ EQnu′（ξQn）Snn- EQn[X]+N≤ LσQn（X）√n+n≤2LkXk∞√n+n，其中ξqn是一个随机变量，取值于EQn[X]和Sn/n之间，L是紧集[ess infPX，ess supPX]上u′的上界d。因此，林→∞VP（Sn/n）=V（X）遵循u的连续性-1.我们还可以证明（4.6）中关于收敛速度的一个结果，类似于命题3.4和定理3.5。然而，如果α是非平凡的，因此我们不是在推论4.8的情况下，结果将不像在定理3.5中那样简单。要了解这一点，请考虑任何问题∈ P.那么，u-1（u（等式[X]）+α（Q））- U-1.情商USnn+ α（Q）= （u）-1)′(ξ)u（等式[X]）- 情商USnn=u′（u-1（ξ）EQ“-u′′（η）Snn- 等式[X]#, （4.7）式中ξ∈ [u（EQ[X]）+α（Q），EQ[u（Sn/n）]+α（Q）]和η是一个随机变量，取EQ[X]和Sn/n之间的值作为n→ ∞, 我们看到n（4.7）→-u′（式[X]）u′（式）-1（u（EQ[X]）+α（Q）））σQ（X）。

（4.8）因此，在ly上，如果α（Q）=0，（4.8）右侧的第一个因子等于R（等式[X]）。定理4.10 Let（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、 假设ess infPX∈int dom u。也让Sn:=Pni=1Xi。此外，假设su pQ∈Pα（Q）<∞. 然后存在一个常数K依赖于X，u和α，使得lim supn→∞NV（X）- 副总裁Snn≤ K.此外，如果Q∈ P满意度V（X）=u-1（u（EQ[X]+α（Q））（见引理4.6），thenlim infn→∞NV（X）- 副总裁Snn≥-u′（式[X]）u′（式）-1（u（EQ[X]）+α（Q）））σQ（X）。证据让n足够大，Q足够大∈ P（取决于n）应确保vp（序号/n）≥ U-1.等式[u（Sn/n）]+α（Q）- 1/n.如（4.7）所示，存在ξ∈ [u（EQ[X]）+α（Q），EQ[u（Sn/n）]+α（Q）-1/n]和一个随机变量η，取等式[X]和Sn/n之间的值，使得v（X）- 副总裁Snn≤u′（u-1（ξ）EQ“-u′′（η）Snn- 等式[X]#≤吕′（u）-1（u（ess sup X）+^L）σQ（X）n≤吕′（u）-1（u（ess sup X）+^L）4kXk∞n、 式中^L=supQ∈Pα（Q）和当el是-[ess infPX，ess supPX]上的u′。最后的断言来自（4.8）。注意，如果P是弱紧的，α是弱连续的，那么supQ∈Pα（Q）<∞ I自动满足。示例4.11考虑C（X）=infQ的变化偏好下的稳健风险溢价∈佩克1.- E-γX,i、 e.，α≡ 0和u是指数效用函数。那么我们就处在推论4.8的情况下。因此，n的稳健风险溢价消失→ ∞ 以给定的收敛速度。注意，在这种情况下，VP（X）=UP（X）=-ρP，γ（X）和V（X）=U（X）=infQ∈PEQ[X]适用于所有X∈ L∞P、 所以我们基本上回到了例子3.9中考虑的熵相干情况。现在考虑在C（X）=infQ的变优先级下的稳健风险溢价∈佩克1.- E-γX+ α（Q），其中α是非平凡的。在这种情况下，命题4.9意味着Limn→∞πv、 Snn= v+infQ∈P（EQ[X]+α（Q））+γ对数infQ∈体育课-γ（EQ[X]+v）+α（Q）, （4.9）收敛速度见定理4.10。

注意例子3.9.5结论中熵对流的不同之处。在本文中，我们推导出了与帕累托最优风险分担合同相关的确定性等式和风险溢价的渐近行为，在一个不断扩大的承担越来越多风险的合作代理池中。我们首先研究了经典预期效用偏好下的问题，然后考虑了模糊厌恶偏好的更微妙情况，以开发一种明确考虑概率模型不确定性的rob-ust方法。我们的结果表明，在一个允许规避风险和模糊性的一般设置中，当帕累托最优汇集和重新定位风险的关键原则以何种速率被充分利用时，我们的结果是明确的。本文的结果要求合作代理具有相同的偏好。在未来的工作中，人们可能会在异质偏好下分析相同的问题，在这种情况下，比例风险分担规则的帕累托最优将不再有效。致谢我们非常感谢汉斯·福尔默激发的讨论。这项研究部分由荷兰科学研究组织（LAEEN）在NWOVIDI-2009资助。参考文献[1]A nscombe、F.J.和R.J.Aumann（1963年）。对主观概率的定义。《数理统计年鉴》34199-205。[2] A罗，K.J.（1963年）。不确定性与医疗保健的福利经济学。《美国经济评论》5941-973。[3] A rtzner，Ph.，F.Delbaen，J.-M.Eber和D.H eath（1999年）。一致的风险度量。数学金融9203-228。[4] Barrieu，P.和N.El Karoui（2005年）。风险度量和风险转移的Inf卷积。金融与随机9，269-298。[5] Barrieu，P.和N.El Karoui（2009年）。

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