扩展池中的稳健最优风险分担和风险溢价

2022-5-10 16:25:57

它是指通过在参与池的合作个体之间交换和重新定位风险，对池中的总风险进行细分。风险分担为个人降低风险提供了一种手段，在潜在的最佳意义上。自Borch[9]的最后一部作品以来，许多作者在各种各样的环境中对其进行了研究；例如，见Arrow[2]、Wilson[67]、DuMouchel[22]、Gerber[33,34]、B¨uhlmann and Jewell[10]、Landsberger and Meiligson[49]，以及最近的Carlier and Dana[11]、Heath and Ku[43]、Barrieu and El Karoui[4,5]、Dana and Scarsini[17]、Jouini、Schachermayer and Touzi[45]、Kiesel and R¨uschend orf[46]、Ludkovski and R¨uschendorf[50]、Filipovi]和Svind land[25]、Dana[18,18]，Ravanelli和Sv indland[55]，以及其中的参考文献。本文探讨了当帕累托最优风险分担与扩大风险池相结合时会发生什么。在不断扩大的独立同分布（i.i.d.）风险池中，总风险的分布会扩大，但平均风险遵循拉根姆伯定律，并收敛于其预期（有关详细讨论，请参见Samuelson[59]、Diamond[20]和Ross[56]）。我们分析了帕累托最优风险分担所导致的个人风险降低何时可以被充分利用：当根据帕累托最优风险分担规则在i.i.d.风险的扩展池中，与具有相同偏好的合作个体细分和分配总风险时，风险分担最终会导致超越预期的风险消失吗？在一般情况下，我们通过分析帕累托最优风险分担下不断扩大的风险池中确定性等价物和风险溢价的渐近行为来回答这个问题。

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2022-5-10 16:26:00

普拉特[54]采用冯·诺依曼（Von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）[65]的经典预期效用模型，研究了风险溢价（定义为agiven r isk的预期价值减去其确定性等价物（使一个代理人不受风险影响的货币金额）与效用函数之间的关系。他表明，在所有财富水平上，更大的局部风险厌恶（小风险厌恶）意味着更大的全球风险厌恶（大风险厌恶），反之亦然，因为风险溢价随局部风险厌恶强度而变化。此外，Pratt[54]还为一个较小且精算公平的风险提供了风险溢价的扩展，由局部风险规避乘以风险方差的一半得出。因此，随着大数定律所暗示的i.i.d.风险扩大池中平均风险方差的消失，与帕累托最优风险分担规则相关的风险溢价也可以被视为消失。我们正式地分析了这种收敛性，并得到了关于风险溢价收敛速度的结果。我们首先考虑了与Pratt[54]中类似但结果明确的预期效用模型的相关例子，然后转向更先进的决策模型，对于这些模型，问题被证明更加微妙。近年来，风险（已知概率）和模糊性（未知概率）之间的区别受到了广泛关注。根据萨维奇[60]的主观预期效用模型，由于主观概率的分配，这种区分是不存在的。明确承认特定概率模型可能存在误判的建模方法被称为稳健（参见Hansen和Sargent[41,42]）。多先验模型（Gilboa和Schm-eidler[36]；另见Schmeidler[61,62]）提供了一类在风险和模糊性下决策的流行模型。

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2022-5-10 16:26:06

它是丰富的变量和同位旋p参考模型的特例（Maccheroni、Marinacci和R ustichini[51]、Cer reia Vioglioet al[13]和Chateauneuf and Faro[14]）。当在classicalAnscombe和Au mann[1]设置中解决了歧义时，这些模型都简化为冯·诺依曼和摩根斯坦[65]的预期效用模型。金融数学中的一个相关文献是由F¨ollmer和Sch ied[26]、Frittelli和RosazzaGianin[32]以及Heath和Ku[43]引入的风险凸度量，概括了Artzner等人[3]；另见早期的瓦尔德[66]、胡伯[44]、德佩兹和格伯[19]、本塔尔和特布勒[6,7]，以及最近的卡尔、杰曼和马丹[12]、鲁兹茨基和夏皮罗[58]以及本塔尔和特布勒[8]。F¨ollmerand Schied[29,30]和Laeven and Stadje[47,48]在文学的两股线之间提供了精确的联系。我们探讨了在真实概率模型存在不确定性的情况下，最优风险分担和不断扩大的风险池的组合。更具体地说，我们在本文中首先考虑了经典的预期效用，因此风险X的确定性等价物U由U（X）=U给出-1（E[u（X）]，（1.1）带有u效用函数和E[·]客观或主观给定概率模型下的期望。

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2022-5-10 16:26:09

在这种情况下，我们分析了与平均风险Sn/n相关的风险溢价的精确限制行为和收敛性，其中Sn=Pni=1XI对于i.i.d.risks Xi，n∈ N、由π（v，Sn/N）=E[v+Sn/N]给出- U（v+Sn/n），（1.2）对应于n个具有相同效用函数U和初始财富v的合作个体之间总风险的比例（相等，1/n）风险分担，我们证明在温和条件下，在这种情况下是帕累托最优的。接下来，我们明确地考虑了概率模型的不确定性，并采用了robus t方法。事实证明，这种设置在elicate中更有趣。它最好是以概率模型为特征，即产品概率测度族的Kolmogorov扩展。我们首先考虑在一类概率模型P:UP（X）=infQ上“可靠”的确定性等价物∈PUQ（X）+α（Q），（1.3）与UQ（X）=u-1（式[u（X）]），其中α：P→ R∪{∞} 是一个度量概率模型Q可编性的开放函数∈ P.我们证明了在这种情况下，比例风险分担规则仍然是帕累托最优的。此外，我们证明，在不断扩大的风险池中，与平均风险相当的稳健确定性收敛于稳健预期，并且我们提供了相应收敛速度的明确界限。

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mingdashike22

2022-5-10 16:26:13

我们特别发现，收敛速度取决于个体的绝对风险厌恶系数和前两个时刻的稳健性，即预期和方差。最后，通过考虑π（v，X）=W（v+X），我们自然地将Pratt[54]的风险溢价扩展到我们的风险和歧义设置中- WP（v+X）和π（v，X）=U（v+X）- VP（v+X），分别在同位语偏好和变分偏好的情况下，w（X）=infQ∈PEQ[X]β（Q）和WP（X）=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]β（Q）,式中β：P→ [1, ∞] 是一个惩罚函数，andU（X）=infQ∈PEQ[X]+α（Q）和VP（X）=u-1.infQ∈PEQ[u（X）]+α（Q）.稳健的确定性等价物和风险溢价复合了风险和模糊厌恶（Ghirardato和Marinacci[37]）。我们证明了在扩大风险池的帕累托最优风险分担下，稳健风险溢价在同位旋情况下收敛于零，但对于非平凡α，在变分情况下不会在极限处消失，在这种情况下收敛于U（v+X）- V（V+X），其中V（X）=u-1.infQ∈Pu（式[X]）+α（Q）,并分析了相应的收敛速度。我们的收敛结果可以与F¨ollmerand Knispel[27,28]得到的收敛结果进行比较。这些作者在计算大型和不断扩大的投资组合的资本要求时，分析了每个财务状况的风险资本的限制行为。i、 d.在缺乏最佳风险分担的情况下（以及在更严格的凸风险度量设置中，而不是如本文所考虑的，由同质和可变偏好提供的一般设置中），财务状况。这个看似相关的问题需要许多不同的技术，并导致完全不同的结果。例如，在没有最优风险分担的情况下，NID扩张投资组合中每个头寸的确定性等价物。

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2022-5-10 16:26:16

r isk sunder expected utility with expected utility（指数效用）的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder expected utility与指数效用的r isk sunder（指数效用）的r isk sunder sunder expected utility（指数效用），在不断扩大的NID风险池中，平均风险的确定性等价于低于预期效用的指数效用（以及所有n个人的绝对风险厌恶系数相同）收敛于普通预期，因为n趋于一致。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们分析了在预期效用模型下，在扩张池中具有最优风险分担的确定性等价物和风险溢价的渐近行为。在第3节中，我们研究了模糊度下的最优风险分担，并研究了鲁棒确定性等价物的渐近行为。在第4节中，我们考虑稳健风险溢价，并分析其极限和收敛率。结论见第5.2节“最佳风险分担：确定性等价物和风险溢价u:R”→ [-∞, ∞) 这是一个效用函数。除非另有明确说明，否则我们假定本文中考虑的效用函数在其域domu:={x上严格递增∈ R|u（x）>-∞ }, 凹面的，两次连续可微的，在其主域u的内部。我们用u表示-1 u的倒数。u的倒数在图像上有很好的定义∩ 因为u在domu上严格递增，所以我们扩展了u-1通过设置向您发送即时消息-1(-∞) := -∞ . 此外，我们假设-1在int dom u上持续变化-1.让我们(Ohm, F、 P）表示一些固定的概率空间，E[·]关于P的期望。此外，让X∈ L:=L(Ohm, F、 P）。考虑一个代理人，其偏好由预期效用标准E[u（X）]描述，主观效用函数为u。

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2022-5-10 16:26:19

对应于u的确定等价物由u（X）：=u给出-1（E[u（X）]），X∈ 五十、（2.1）其中包含了[-∞, ∞) （詹森的不平等）。假设代理拥有最初的财富≥ 0，并考虑承担额外的风险X。然后获得相关的风险溢价π（v，X），作为等效效用方程u（v+E[X]的解- π（v，X））=E[u（v+X）]，即π（v，X）=v+E[X]- U（v+X）。（2.2）风险溢价使代理人在一方面承担风险，另一方面在确定风险溢价的基础上了解风险预期之间有所不同。我们允许你接受价值-∞ 为了将效用函数与边界域（如幂效用或对数效用等）结合起来。在本文中，为了简洁起见，我们将坚持不区分随机变量和它们诱导的P-几乎确定等价类的惯例。如果我们考虑指数效用u（x）=1，就会出现一种特殊情况- 经验(-γx），γ>0，表现出恒定的绝对风险规避（CARA），因为-u′（x）/u′（x）=γ。然后确定性等价物由u（X）=-γ对数E[exp(-γX）]，（2.3），当γ↓ 0和U（X）=当γ↑ ∞, 这在γ中是不增加的。它对应于减去风险的熵度量（F¨ollmer and S chied[29]），或减去损失的指数溢价-X（Gerber[34]、Goovaerts、de Vylder和Haizendonck[39]以及Goovaerts等人[40]）。它在决策理论（参见Gollier[38]）和数学（参见Rouge and El Karou i[57]、Mania and Schweizer[52]和参考文献）中尤其流行。

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2022-5-10 16:26:23

相应的风险溢价由π（v，X）=E[X]+γloge[exp]给出(-γX）]，它独立于v.在预期效用模型下的最优风险分担是由Borch[9]、Wilson[67]、DuMouchel[22]、Gerber[33,34]、B¨uhlmann and Jewell[10]和Gerber and Pafumi[35]研究的。我们考虑了一个市场或池的n个期望效用最大化者，它们具有相同的效用函数，且总r和W。我们感兴趣的问题是在n个代理中找到W的“最有效”细分。我们让A（W）：{（Y，…，Yn）∈L | PiYi=W}是W的所有可能（完整）分配的集合。下面的引理和命题证明了比例（相等，1/n）风险分担规则在温和条件下的帕累托最优性和唯一性：引理2.1假设所有n个代理应用相同的预期效用准则E[u（X）]，X∈ 五十、且总随机捐赠满足W/n∈ int dom u P-a.s.安第斯[u（W/n）]∈ R.然后，将W/n的份额分配给每个代理的分配是最优的。事实上，我们已经做到了UWn= 麦克斯（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1E[u（Yi）]。（2.4）此外，如果u在domu上是严格凹的，那么分配（W/n，…，W/n）是（2.4）的唯一解。证据设（Y，…，Yn）是W的一个分配，使得pni=1E[u（Yi）]∈ R（显然，（2.4）在Pni=1E[u（Yi）]=-∞). 那我们一定要有易建联∈ dom u P-a.s.对于alli=1，n、现在应用詹森不等式得到：nnXi=1E[u（Yi）]≤ E“unnXi=1Yi！#=EUWn.关于唯一性的最终断言是美国严格凹性的直接结果。命题2.2假设所有n个代理应用（2.1）中相同的确定性等价标准Uas。此外，假设总随机捐赠满足W/n∈ int d om uP-a.s.和E[u（W/n）]∈ R

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2022-5-10 16:26:27

然后，从确定性等价物的角度来看，将W/n的份额分配给每个人的分配是帕累托最优的。此外，如果n≥ 3，domu=R，E[u（W）]∈ R、然后Wn= 麦克斯（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1U（Yi），（2.5），任何帕累托最优W分配都必须最大化（2.5）的右侧。在这种情况下，如果U是严格凹的，也就是说，如果P（x6=Y）>0意味着U（λX+（1）- λ） Y）>λU（X）+（1- λ）所有λ的U（Y）∈ （0，1），则W/n是W的唯一帕累托最优分配。如果U是确定性等价物givenby（2.3），那么W/n是唯一的帕累托最优分配W直到现金再分配，也就是说，所有帕累托最优分配都是{（W/n+m，…，W/n+mn）|Pni=1mi=0}的元素。证据从确定性等价的角度来看，W/n是帕累托最优的，这一事实来源于引理2.1和u-1在dom u上严格增加-1=我是你∩ R、接下来，对于任何Par eto最优分配（X，…，Xn），都有权重λ，λn≥ 0，不等于0，因此nxi=1λiU（Xi）=sup（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1λiU（Yi）；参见例如Gerber[34]。假设n≥ 3，domu=R，E[u（W）]∈ R.那么，特别是ru（m）=m代表所有m∈ R.假设λ>λ，thennXi=1λiU（Xi）=sup（Y，…，Yn）∈A（W）nXi=1λiU（Yi）≥ supm>0（λ）- λ） m+λU（3W/n）+（n）- 3） U（W/n），其中U（3W/n）>-∞ 由u和E[u（W）]∈ R.让我→ ∞ yieldsa矛盾。因此，λ=λ，同样地，也可以得出λ=λ=…=λn。因此，我们可以假设λi=1表示所有i。这证明了（2.5）。现在假设U是严格凹的，并且存在另一个不同于（W/n，…，W/n）的帕累托最优分配（X，…，Xn）。然后至少有一个j∈ {1，…，n}这样p（Xi6=W/n）>0。通过U的严格凹度，我们得到了nxi=1U（Xi+W/n）>nXi=1（U（Xi）+U（W/n））=nU（W/n），这与（2.5）相矛盾。

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2022-5-10 16:26:31

如果U是（2.3）给出的确定性等价物，那么U严格地凹到常数，如果X-Y 6∈ R、然后U（λX+（1-λ） Y）>λU（X）+（1-λ）所有λ的U（Y）∈ (0, 1). 这证明了最后一个断言。在本节剩余部分中，我们让Xi∈ 五十、 i=1，2。，是一个风险的i.i.d.序列，由Sn=Pni=1Xi，n给出∈ N、是池中的总风险。那么，Sn/n→ E[X]P-a.s.作为n→ ∞ 根据强大的大数定律。考虑到这个ben chmark结果，并使用引理2.1和命题2.2，我们分析了确定性等价物和风险溢价的行为，这是由具有相同预期效用偏好的n个合作代理之间的总风险帕累托最优风险分担引起的，随着池的扩大。引理2.3考虑确定性等价于（2.1）中的U。然后U（序列号/序号）≤ E[X]和u（Sn/n）在n中增加，因此π（v，Snn）在n中减少。由Jensen不等式可知，总是U（Sn/n）≤ E[X]。接下来，我们证明u（Sn/n）在n中增加。实际上，我们可以重写Sn+1=nn+1Xi=1Sin，其中Sin:=n+1Xj=1，j6=iXj，因此通过u，E的凹度USn+1n+1= E“un+1n+1Xi=1Sinn#≥n+1n+1Xi=1EU辛恩= EUSnn, （2.6）因为Sinand snar在P下分布相同。因此，U（序号/n）≤ U（Sn+1/（n+1））自U-1正在增加。最终声明如下：将Lemma的第一个声明应用于i.i.d.序列v+Xi，并回顾了（2.2）中对风险溢价的定义。引理2.3表明，最优地汇集和重新定位总风险可以降低风险溢价。

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2022-5-10 16:26:36

此外，以下结果表明，通常为U（Sn/n）→ E[X]as n→ ∞,i、例如，风险溢价π（v，Snn）在极限内消失（收敛到0）：命题2.4假设X∈ 五十、 X∈ int dom u P-a.s.，E[u（X）]∈ R、 u′（Sn/n）是由一个独立于n的平方可积随机变量从上面限定的。然后，林爽→∞√nπv、 Snn= 林尚→∞√Nv+E[X]- Uv+Snn≤ σP（X），（2.7），其中σP（X）：=pE[（X- E[X]）]表示X的标准偏差。特别是，如果u只有一次连续可微分（而不是两次），则（2.7）已经成立。然而，在一些额外的假设下，我们可以对收敛速度说得更多：定理2.5假设X∈ 五十、 X∈ int dom u P-a.s.，E[u（X）]∈ R、 u′可以被下面的人控制∈ 按以下方式确定Sn/n的范围：eY≤ ess infu′（v+Y）|Y是一个随机变量s.t.Y（ω）∈E[X]，Sn（ω）nP-a.s。, （2.8）按照约定，对于a<b，我们设置[b，a]：=[a，b]。那么，林→∞nπv、 Snn= 画→∞Nv+E[X]- Uv+Snn=R（v+E[X]）σP（X），（2.9），其中R（X）：=-u′（x）/u′（x）是绝对风险规避的Arrow-Pratt系数。请注意，（2.7）右侧的边界不取决于效用函数u，与（2.9）的最右侧相反。此外，请注意，如果（2.8）总是满足，例如，如果X带有ess inf X∈ int dom u是有界的，因为u′是连续的，因此在紧致集{v}+[ess inf X，ess sup X]上有界。证据【关于命题2.4和定理2.5】在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设v=0，因为如果X满足命题2.4或定理2.5的要求，那么X+v和σP（X+v）=σP（X）。

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2022-5-10 16:26:41

我们计算了u在E[X]附近的泰勒展开式，即第一阶或第二阶的泰勒展开式Snn= u（E[X]）+u′（Yn）Snn- E[X], （2.10）安度Snn= u（E[X]）+u′（E[X]）Snn- E[X]+u′′（Zn）Snn- E[X], （2.11）其中yn和zn是取值于E[X]和snn之间的随机变量。（请注意序号/n∈ int dom u as X∈ 带着（2.10）和（2.11）中的期望，我们到达了atEUSnn= u（E[X]）+Eu′（Yn）Snn- E[X],安第斯山脉USnn= u（E[X]）+0+E“u′（Zn）Snn- E[X]#.调用u的泰勒展开式-1围绕点u（E[X]）验证Snn= U-1.EUSnn= U-1.u（E[X]）+Eu′（Yn）Snn- E[X]= U-1.o u（E[X]）+（u-1） ′（yn）Eu′（Yn）Snn- E[X]= E[X]+（u）-1） ′（yn）Eu′（Yn）Snn- E[X], （2.12）对于u（E[X]）和u（E[X]）+E之间的一些实数ynu′（Yn）（Snn）- E[X]）, 安度Snn= U-1.EUSnn= U-1u（E[X]）+E“u′（Zn）Snn- E[X]#!= U-1.o u（E[X]）+（u-1） ′（zn）E“u′（zn）Snn- E[X]#= E[X]+（u）-1） ′（zn）u′（E[X]）σP（X）2n+（u-1） ′（zn）E“（u′（zn）- u′（E[X]））Snn- E[X]#, （2.13）其中：∈ [u（E[X]）+Eu′（Zn）（Snn）- E[X]）, u（E[X]）。通过对（2.12）中的误差项应用H？older的正弦性质，我们得到|（u）-1） ′（yn）|E|u′（Yn）Snn- E[X]|≤ |（u）-1） ′（yn）|pE[u′（yn）]σP（X）√n、（2.14）支配收敛定理意味着pe[u′（Yn）]→ u′（E[X]），因为→E[X]P-a.s.和d.0≤ u′（Yn）≤ u′（E[X]）∨ u′（Sn/n），其中u′（Sn/n）由与n无关的平方可积随机变量通过假设来限定。还有艾琳→ u（E[X]），因此（u-1） ′（yn）=u′（u）-1（yn））→u′（E[X]），证明了（2.7）。如果Xhas定义了四阶矩，那么将H¨older不等式应用于（2.13）yieldsE“|u′（Zn）中的误差项- u′（E[X]）|Snn- E[X]#≤rEh（u′）（Zn）- u′（E[X]）iqnMP（X）+3n（n- 1） σP（X）n≤nrEh（u′）（Zn）- u′（E[X]）iqMP（X）+σP（X），（2.15），其中MP（X）：=E（十）- E[X]）.

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2022-5-10 16:26:45

我们有Eh（u′）（Zn）- u′（E[X]）i→ 0由主导收敛sin ce|u′（Zn）- u′（E[X]）|≤ |eY |+|u′（E[X]）|对于某些平方可积eY by（2.8）。还有锌→ n的u（E[X]）→ ∞, 使用（u-1） ′（zn）=1/u′（u）-1（zn）），我们从（2.13）得出USnn- E[X]→u′（E[X]）u′（E[X]）σP（X）。备注2.6（与普拉特[54]相关）在他的开创性论文中，普拉特[54]表明风险溢价满足π（v，X）=R（v+E[X]）σP（X）+o（σP（X））。（2.16）然而，请注意（2.9）并不是从（2.16）开始的，因为（2.16）意味着πv、 Snn=2nR（v+E[X]）σP（X）+onσP（X）,而o（nσP（X））的估计太粗略了。例2.7考虑指数效用u（x）=1- E-γx对于某些γ>0。然后（2.9）变瘦了→∞nπv、 Snn=γσP（X）。对于电力设施u（x）=x1-χ-11-χ、 x>0，其中χ>0，χ6=1，（u（x）=-∞, 十、≤ 0），（2.9）变瘦→∞nπv、 Snn=χ2（v+E[X]）σP（X）。对于对数效用u（x）=logx，x>0，（且u（x）=-∞, 十、≤ 0），（2.9）变瘦→∞nπv、 Snn=2（v+E[X]）σP（X）。备注2.8假设随机变量序列（施加在引理2.3上方）的i.i.d.假设不满足。例如，假设X为标准正态随机变量，并考虑序列Xi=(- 1）九、我∈ 然后，所有的人都分布相同，但显然不是独立的。显然，Sn=Pni=1Xi=-当n为奇数且Sn=0时为X，否则为。因此，Sn/n→ 0=E[X]表示n→ ∞. 取u（x）=1- E-γx.那么对于奇数nwe，计算nU（Sn/n）=-γ/（2n），而对于偶数n，我们有nU（Sn/n）=0。因此，在这种情况下，（2.9）的左边等于limn→∞-nU（Sn/n）=0。然而，（2.9）的右边是γ/2；参见示例2.7。因此，要求序列的独立性在定理2.5中至关重要。

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2022-5-10 16:26:49

（这个反例也推广到下一节中考虑的健壮情况。）示例2.9（熵风险度量的最佳风险分担）考虑n个代理之间的最优风险分担，这些代理应用相同的确定性等价标准U，具有指数效用和总风险Sn。那么，ρP，γ（X）：=-U（X）=γ对数EE-γX,就是所谓的熵风险度量。根据命题2.2，最优安置，Y*i、是由Y驱动的吗*i=Sn/n，i=1，n、因此，在风险的最优交换和重新定位之后，所有使用相同风险熵度量的合作代理池也可以在聚合级别上使用风险熵度量，参数γn:=γ/n，即nρP，γ（Y*i） =n（1/γ）对数E[exp(-γY*i） ]=n（1/γ）对数E[exp(-γ（1/n）Sn）＝（1/γn）loge[exp(-γnSn）]=ρP，γn（Sn）。因此，P-position 2.4意味着，在帕累托最优风险分担下，不同于F¨ollmer和Knispel[27,28]，风险的汇集、交换和重新定位的效果是，每个头寸的总熵风险度量降低到负预期，如下所示：→∞nρP，γn（Sn）=limn→∞ρP，γ（Sn/n）=E[- 十] 。相比之下，在F¨ollmer和Knispel[27,28]中，他们认为nρP，γ（Sn），nρP，γ（Sn）=n（1/γ）log E[exp(-γSn）＝（1/γ）对数E[exp(-γX）]=ρP，γ（X）和hencelimn→∞nρP，γ（Sn）=ρP，γ（X）。3模糊条件下的最优风险分担：稳健的确定等价性到目前为止，我们已经确定了一个参考概率模型P，该模型被假定为（客观或主观）kn。现在让我们考虑模型不确定性的情况，其中P被可测空间上的一类概率模型P取代(Ohm, F）。这种情况自然会发生，如下所示。效用函数u仅由constantsR上的偏好决定，因此我们假设它（主观上）是给定的。

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大多数88

2022-5-10 16:26:52

假设风险序列（Xi）i∈Nis i.i.d.是典型且普遍采用的，当然取决于数据的收集，并与上一节的设置相对应。然而，选择“正确”的概率模型/分布可能是一个非常微妙的问题。因此，我们可以考虑所有的概率模型，使得（Xi）i的i.i.d.假设∈如果不满意，可能会由于一些额外的概率信息而进一步减少此类，但最终得到一类P概率模型，被认为是观察到的（Xi）i的可能生成器∈N、它不仅仅包含一个元素。在概率模型术语中，我们可以从一些可测量的s空间（σ，A）上的任何一类概率测度，以及我们想要考虑的（σ，A）上随机变量X的相应分布开始。现在，人们可能会认为P是产品空间概率度量的集合(Ohm, F）：=（N，A）N）这样每个P∈ P是某些Q的Kolmogorovextension∈乘积概率测度{Q]族的ePn | n∈ N} ，即P | An=QN例如，见达德利[21]第8.2节。然后，序列Xi：OhmN→ Rgiven by Xi（ω，ω，…）=X（ωi）是每个P下的i.i.d.u∈ P.P的典型例子是：例如：例子3.1（i）一组离散的概率测度。在这种情况下，代理考虑了很多概率测度Pj∈ P、 j=1，J、 J∈ N.此类离散集在稳健优化和操作研究等领域尤其流行。（ii）参数族P={Pθ|θ∈ Θ}. 在这种情况下，代理将注意力限制在i.i.d.序列上，该序列的概率分布属于给定的概率分布参数族（例如。

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2022-5-10 16:26:57

β分布），该分布由全参数空间的一组可能参数Θ中的参数向量θ（例如，平均值或形状参数）索引。从今往后，我们让P是一个非空的概率测度集(Ohm, F）（不一定是显性的）。在本节中，我们仅限于模型空间∞P:={X:Ohm → R | X是F-可测的，m>0: P∈ P:P（|X|）≤ m） =1}/~,X在哪里~ Y当且仅当P（X=Y）=1时∈ P.（L）∞P、 k·kP，∞) 其中kxkp，∞:= inf{m∈ R|P∈ P:P（|X|）≤ m） =1}，是一个Banach空间。注意，在P占主导地位的情况下，即，如果存在概率测度Pon(Ohm, F）这样Q<< P代表所有Q∈ P、然后我∞P可以被视为L的子集∞(Ohm, F、 P）与L∞P=L∞(Ohm, F、 P）如果P≈ P.在续集中，我们说，如果一个属性设置为∈ ω的F∈ Ohm 对于所有的P，满足P（A）=1的某些性质∈ P.每个人∈ P、 we letUQ（X）：=u-1（等式[u（X）]），X∈ L∞P、与效用函数u相关的Q下的相应确定性等价物。在下文中，我们考虑形式（参见La偶数和Stadje[47]中的等式（2））UP（X）：=infQ的鲁棒确定性等价物∈PUQ（X）+α（Q），X∈ L∞P、（3.1）式中α：P→ R∪ {∞} 是一个罚函数，使得infQ∈Pα（Q）>-∞ . 后一种假设确保了对于任何X∈ L∞Psuch thaess infPX:=sup{m∈ R|P∈ P:P（X）≥ m） =1}∈ dom u，我们有（X）≥ ess infPX+infQ∈Pα（Q）>-∞,其中我们使用了明显的估计UQ（X）≥ ess infPX。罚函数代表了概率模型的可信性。它也被称为歧义指数。稳健的确定性等价物在Ghirardato和Marinacci的意义上复合了风险和模糊厌恶[37]。任何稳健确定性等价物upu都有一个相关的稳健预期（或稳健货币效用）U，由U（X）：=infQ给出∈PEQ[X]+α（Q），X∈ L∞P

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2022-5-10 16:27:02

（3.2）请注意，詹森的不平等性意味着UP（X）≤ U（X）代表所有X∈ L∞P.作为一个特殊的兴趣案例，我们在这里考虑确定性等价物的稳健版本，Q<< P表示A的全部∈ 我们有P（A）=0意味着Q（A）=0。给，P≈ P意味着对于所有A∈ F我们有P（A）=0当且仅当（Q（A）=0表示所有Q∈ P）。指数效用，由infq给出∈P-γ测井方程E-γX= - supQ∈Pγ测井方程E-γX.它等于减去（凸）熵风险度量的稳健版本ρP，γ，ρQ，γ，由ρP，γ（X）定义：=supQ∈PρQ，γ（X）=γsupQ∈扑通E-γX, （3.3）属于熵一致性风险度量（La偶和Stadje[47]）；另请参见F–ollmer和Knispel[27]。更一般地说，我们可以考虑风险的熵凸度量（La偶和Stadje[47]）：映射ρP，γ，α：L∞P→ 如果存在惩罚函数α：P，则R称为风险的γ熵凸度量→ [0, ∞] 用infQ∈Pα（Q）=0，使得ρP，γ，α（X）=s upQ∈P{ρQ，γ- α（Q）}，γ>0。（3.4）我们陈述了以下引理，它证明了在这种具有模糊性的一般情况下，比例风险分担规则仍然是帕累托最优的：引理3.2考虑具有相同鲁棒确定性等价标准（3.1）的n个代理。让∈ L∞Pbe使W/n∈ int d om u P-a.s.和ess infPW/n∈ dom u.此外，假设thattup（W/n）=minq∈PUQ（W/n）+α（Q）。（3.5）那么将W/n的份额分配给每个代理的分配是帕累托最优的。证据设（Y，…，Yn）是W的一个分配，使得UP（Yi）≥ 对于所有i=1，…，向上（W/n），n、假设存在一个Q∈ P使得up（W/n）=UQ（W/n）+α（Q）。然后UQ（易建联）≥ UQ（W/n）对于所有i=1，n表示所有i=1，…，的UQ（Yi）=UQ（W/n），n根据命题2.2。因此，阿尔苏（易）≤ UQ（Yi）+α（Q）=UQ（W/n）+α（Q）=UP（W/n），所以对于所有i=1，N

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2022-5-10 16:27:05

下一个引理规定了条件（3.5）自动满足的情况。引理3.3假设P由某个概率测度P支配(Ohm, F）。此外，假设P是弱紧的，即密度的set为ndqdp | Q∈ 泊松弱紧，即σ（L(Ohm, F、 P），L∞(Ohm, F、 P））-紧，α是弱下半连续的，在这个意义上，低层密度集Ek：=dQdP | Q∈ P、 α（Q）≤ K, K∈ R、（3.1）中的惩罚函数α的(Ohm, F、 P），L∞(Ohm, F、 P））。然后，UP（X）=minQ∈所有X的PUQ（X）+α（Q）∈ L∞(Ohm, F、 P）suc h the ess inf{P}X∈ dom u，andU（X）=minQ∈所有X的PEQ[X]+α（Q）∈ L∞(Ohm, F、 P）。证据让X∈ L∞(Ohm, F、 P）使用ess inf{P}X∈ dom u.选择一个序列（Qn）n∈N P suchthatUP（X）=limn→∞（UQn（X）+α（Qn））。由于P是弱紧的（根据Eberlein-Smulian定理；参见Dunford和Schwartz[23]），有一个子序列，为了简单起见，我们也用（Qn）n表示∈Nsuch thatdQndPconver弱到a Q∈ P.因此，EQ[u（X）]=EPdQdPu（X）= 画→∞EPdQndPu（X）= 画→∞EQn[u（X）]，因为u（X）∈ L∞(Ohm, F、 P）。通过α的下半连续性，我们得到了α（Q）≤ 林恩芬→∞α（Qn）。因此我们得出结论：uq（X）+α（Q）≤ 林恩芬→∞UQn（X）+α（Qn）=UP（X），因此UP（X）=UQ（X）+α（Q）。f或U的结果如下所示。在本节的剩余部分中，我们将分析与帕累托最优风险分担契约相关的鲁棒确定等价物的渐近行为，因为该集合扩展到包含越来越多的风险。提案3.4让（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、假设ess infPX∈int dom u。同样，让Sn:=Pni=1Xi。然后UP（Sn/n）在n中随UP而增加Snn≤ U（X），andlimn→∞向上的Snn= U（X），其中U是与UP相关的稳健货币效用。除此之外，X和u上有一个常数K，因此→∞√NU（X）- 向上的Snn≤ K.证据。

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2022-5-10 16:27:09

首先，UP（Sn/n）在n和UP（Sn/n）中增加的事实≤ U（X）随f的作用，即UQ（Sn/n）在n和UQ（Sn/n）中增加≤ 所有Q的等式[X]∈ P见引理2.3。让Qn∈ 使得UQn（Snn）+α（Qn）≤ 向上（Snn）+n，n∈ N.ThenU（X）- 向上的Snn≤ EQn[X]- UQnSnn+N≤n+supQ∈P等式[X]- UQSnn. （3.6）回顾（2.14），我们进一步估计：supQ∈PEQ[X]- UQSnn≤ L supQ∈PσQ（X）√N≤ L2kXkP，∞√n、我们在第一个不等式中使用H¨older和L:=（u）-1） \'（u（ess supPX）+u\'（ess infPX）2kXkP，∞)u′（ess-infPX）是一个常数。（此处ess SUPPE的定义与ess infPabove类似。）在导致L的粗略估计中，我们使用了函数int dom u x7→ （u）-1） ′（x）=u′（u）-1（x））是正的，且d在增加，并且Yn和ynin（2.14）的已知界是正的。命题3.4也表明，在明确考虑模糊性的一般稳健框架中，最佳组合和重新定位风险减少了（绝对）预期和（稳健）确定性等价物U（X）之间的差异- 向上（序号/序号）；它最终消失在极限为n的范围内→ ∞.定理3.5 Let（Xi）i∈N L∞所有Q下的Pbe i.i.d∈ P、假设ess infPX∈int dom u。同样，让Sn:=Pni=1Xi。此外，假设u是int dom u上连续可微的三倍，而u-1在int dom u上可连续两次微分-1.那么，林尊→∞NU（X）- 向上的Snn≤supQ∈PR（等式[X]）σQ（X）。（3.7）此外，如果Q∈ P满足U（X）=EQ[X]+α（Q）（见引理3.3），然后→∞NU（X）- 向上的Snn≥R（等式[X]）σQ（X）。（3.8）注意supQ∈PR（等式[X]）σQ（X）≤ L4kXkP，∞< ∞ 其中L>0是连续函数int dom u的上界 x7→ 紧集[ess infPX，ess supPX]上的R（x）。证据首先我们证明（3.7）。为此，回顾命题3.4的证明，尤其是（3.6）。还记得（2.13）和（2.15）。

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2022-5-10 16:27:12

当Xis有界时，我们估计（2.13）forQ中的最后一项∈ P按以下方式使用（2.15）：（n，Q）：=（u）-1） ′（zQn）EQ“（u′（zQn）- u′（等式[X]））Snn- 等式[X]#≤ 2L（4kXkP，∞+ kXkP，∞)nEQ|u′′（ZQn）- u′（等式[X]）|≤ 2L（4kXkP，∞+ kXkP，∞)nEQ|u′′（ζQ）|ZQn- 等式[X]|.这里L是连续函数int dom u的上界 x7→ 1/u′（x）在紧集[ess infPX，ess supPX]上，我们使用了这个zQn≤ u（等式[X]）（因为u′）≤ 0）当函数在dom u中时 x7→ （u）-1） ′（x）=u′（u）-1（x））是正的，增加的，并且继续，所以（u-1） ′（zQn）≤ 1/u′（等式[X]）。我们还使用了粗略估计mq（X）+σQ（X）≤ 16kXkP，∞+ 4kXkP，∞.此外，ζQis是一个随机变量，取值于zqn和EQ[X]之间。请注意，Zqn是一个随机变量，取值于等式[X]和对应于Znin（2.13）的Sn/n之间。用domu中连续函数的上界^L从上面估计|u′′（ζQ）|x7→ |紧集[ess infPX，ess supPX]上的u′（x）|，并使用| ZQn-等式[X]|≤ |序号-EQ[X]|我们得出结论：|u′′（ζQ）|ZQn- 等式[X]|≤^LEQ“Snn- 等式[X]#≤^LnσQ（X）≤4kXkP，∞^Ln。因此，有一个常数K>0，取决于x和u，但依赖于n和Q，例如（n，Q）≤Kn3/2。通过上述类似论点，我们观察到（2.13）中的第二项满足Γ（n，Q）：=（u）-1） ′（zQn）- （u）-1） ′（u（等式[X]））|u′（等式[X]）|σQ（X）2n≤（u）-1） \'u（EQ[X]）+EQ“u\'（ZQn）Snn- 等式[X]#!- （u）-1） ′（u（等式[X]））对于某些常数，ln仅取决于x和u。在系数中，我们使用了（u-1）在（2.13）之后，′i递增和zQngiven的界。

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2022-5-10 16:27:16

作为你-冰是连续变化的吗有ηQn∈ [u（EQ[X]）+EQhu′（ZQn）（Snn）- EQ[X]）i，u（EQ[X]）这是什么（u）-1） \'u（EQ[X]）+EQ“u\'（ZQn）Snn- 等式[X]#!- （u）-1） ′（u（等式[X]））≤ |（u）-1） ′（ηQn）|EQ“|u′（ZQn）|Snn- 等式[X]#.考虑估算公式“u′（ZQn）Snn- 等式[X]#≥ -“LEQ”Snn- 等式[X]#≥ -\'L2kXkP，∞n、在哪里-L是紧集[ess infPX，ess supPX]上u′的下界（回想一下u′）≤ 0). 因此，对于n∈ N大到足以容纳所有N≥ n、我们有ESS infPX-\'L2kXkP，∞N∈ int domu，并选择连续函数（u）的上界^K-1）紧集[u（ess-infPX）上的‘-\'L2kXkP，∞n）我们可以进一步估计|-1） ′（ηQn）|EQ“|u′（ZQn）|Snn-等式[X]#≤^KKL2kXkP，∞n、综上所述，我们已经证明存在一个依赖于x和u的康斯坦特克，但不依赖于Q和n，因此Γ（n，Q）≤eKn。因此，使用（3.6）和我们上面的估计，我们推断出U（X）- 向上的Snn≤n+n supQ∈P等式[X]- UQSnn≤supQ∈PR（EQ[X]）σQ（X）+1+eKn+K√n、这证明了（3.7）。至于（3.8），让Q∈ 使得U（X）=EQ[X]+α（Q）。然后，U（X）- 向上的Snn≥ 等式[X]- UQSnn.因此，（3.8）遵循定理2.5。备注3.6注意，UP（Sn/n）的极限，即U（X），取决于惩罚函数α，但定理3.5中推导的收敛速度不取决于此；只要P和u保持不变，每个α都是一样的。此外，P类引起的鲁棒性仅通过最坏情况下的第一矩和方差影响收敛速度。注3.7如果P={P}，则定理3.5简化为定理2.5。因此，定理3.5中的边界一般不能明确。此外，在表3.3中所述的条件下，我们知道（3.8）总是满足的，因此在这种情况下，下界总是尖锐的。显然，在特定情况下，上限（3.7）可能是尖锐的，也可能不是尖锐的。如前所述，它是三尖的i f P={P}。

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mingdashike22

2022-5-10 16:27:20

但是，例如，假设xit只生成两个值，1和-在这个意义上，P是足够丰富的，它包含概率测量，把所有的质量放在任何可能的原子上。此外，假设α≡ 0.那么，U（X）=-1也向上（序号/n）=-1，所以（3.7）的左手边等于0。另一方面，（3.7）的右边大于R（等式[X]）σQ（X）=R（0），其中Q∈ P是一个概率度量，使得等式[X]=0。因此，在这种情况下，如果u′小于0，上界是不尖锐的。例3.8考虑u（x）=1- E-对于某些γ>0，相应的鲁棒确定性等价物为负熵凸（相干）风险度量。然后（3.7）变得苗条→∞NU（X）- 向上的Snn≤supQ∈PγσQ（X）。此外，如果Q∈ P满足U（X）=EQ[X]+α（Q）（见引理3.3），然后（3.8）变细→∞NU（X）- 向上的Snn≥γσQ（X）。类似地，对于示例2.7中考虑的power和logutilities，可以很容易地明确推导出边界（3.7）和（3.8）。示例3.9（风险的熵相干和熵凸度量的风险分担）假设n个具有熵一致性风险测度ρP，γ在某个水平γ>0的风险和模糊规避主体将其风险X，Xnand优化重新定位总风险SN=X+…+Xn。面对模型的不确定性，我们假设随机变量X，从Xnbelong到L∞Pand是任何Q下的i.i.d∈ P.风险的最优再分配由Y给出*i=Sn/n，i=1，n、设γn=γ/n。然后，类似于非稳健情况（见示例2.9），nρP，γ（Y*i） =nγsupQ∈普洛格EQhe-γY*ii=γnsupQ∈扑通E-γnSn= ρP，γn（Sn）。（3.9）因此，每个位置，ρP，γ（Y*i） =ρP，γn（X）。根据命题3.4，ρP，γ（Y*（一）≤ ρP，γ（X），即从风险的熵一致性度量的角度来看，最优地汇集和重新定位总SNI是有益的。

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2022-5-10 16:27:26

在这种情况下，这也很容易直接验证，因为γn<γ（当n≥ 2） Jensen不等式意味着ρP，γ（Y*i） =γnsupQ∈扑通E-γnX≤γsupQ∈扑通E-γX= ρP，γ（X）。此外，根据命题3.4，我们得到了thatlimn→∞nγnsupQ∈扑通E-γnSn= supQ∈佩克[-十] ，收敛速度如例3.8所示。现在假设n个风险规避和模糊规避代理在某个水平γ>0时应用了风险ρP，γ，α的熵凸度量。根据引理3.2，最优再分配再次等于Y*i=Sn/n，nxi=1ρP，γ，α（Yi）=n supQ∈P{ρQ，γ（Sn/n）- α（Q）}=supQ∈P{ρQ，γn（Sn）- nα（Q）}。注意，这对应于具有惩罚函数nα的γ/n级熵凸风险度量。此外，每个职位，nsupQ∈P{ρQ，γ/n（Sn）- nα（Q）}=supQ∈Q{ρQ，γn（X）- α（Q）}，根据命题3.4，我们得到了thatlimn→∞supQ∈P{ρQ，γn（X）- α（Q）}=supQ∈P{EQ[-X]- α（Q）}，收敛速度如例3.8所示。例3.10（埃舍尔密度和相对熵）正如well-k所知（Csisz\'ar[15]），我们可以将熵风险度量ρP，γ表示为一个稳健的期望，其上确界覆盖了由P={Q]给出的Esscher密度集<< P | dQ/dP=e-γX/EPE-γX, 十、∈ L∞(Ohm, F、 P）}，（3.10）且惩罚α（Q）=γH（Q | P），Q∈ P、 γ>0，其中h（Q | P）=情商日志dQdP, 如果Q<< P∞, 否则是相对熵或库尔贝克-莱布勒散度。相对熵是概率测度Q和P与一种特殊情况下的α-散度（BenTal和Teboulle[6,7]）之间距离的度量。它广泛应用于宏观经济学（Hansen和Sargent[41,42]）、决策理论（Strzaleck i[63,64]）和金融数学（Frittelli[31]和F¨ollmer and Schied[29]）。注意，（3.10）中的P是表示ρP，γ所需的最小集合。在（3.10）的特定情况下，假设XI是任何Q的i.i.d∈ P相当于toX=Xibeing常数。

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mingdashike22

2022-5-10 16:27:30

事实上，要看到这一点，首先请注意，P包含所有Q<< 这样，dQ/dP从上面有界，从零开始有界（简单地让X=-γlogdQdP）。接下来，假设R有一个Borel集，使得0<P（X∈ A） <1，考虑Q givenbydQdP=c（21{X∈A} +1{X6∈A} ），式中c=2P（X∈ A） +P（X6）∈ A）。然后，作为P∈ P、在P和P（X）下，X和X是独立的∈ A） =P（X）∈ A）。同时，对于Q，我们得到Q（X）∈ A） =cP（X）∈ A） andQ（X）∈ A） =c（2P（X）∈ A） P（X）∈ A） +P（X6）∈ A） P（X）∈ A））=c（P（X）∈ A） P（X）∈ A） +P（X）∈ A））=cP（X∈ A）（P（X）∈ A） +1）<cP（X）∈ A）所以X和X不能在Q下相同地分布，这与这样一个集合A的存在相矛盾。因此，Xi=Xis常数。因此，由于allQ所需的i.i.d.假设∈ P、本节的收敛结果在鲁棒确定性与（主观给定的）线性效用等价且P由（3.10）给出n的情况下诱导简并。

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2022-5-10 16:27:34

然而，回想一下，第2节的结果已经适用于ρP，γ，当被视为在预期指数效用（2.3）下减去确定性等价物时，不会导致简并；参见示例2.9。此外，调用本节开头讨论的Kolmogorov扩展，对于给定的随机变量X on（σ，a），leteP={Pγ|γ≥ 0}其中Pγ由Esscher密度dPγdP=e生成-γXEP[e-γX]关于某些参考概率模型P。最后，我们注意到，尽管相对熵与（3.10）有关，但不排除在本节的主要结果中使用相对熵作为惩罚函数的例子（参见F¨ollmer and Schied[29]，第3.2节）；只是集合P必须小于（3.10）。备注3.11（风险和模糊性）当n→ ∞, 通过PoolGIS实现并最大限度地利用风险降低，在这个意义上，鲁棒预期和鲁棒确定性之间的差异相当于U（X）- UP（Sn/n），消失（就像上一节中的风险溢价，其中P={P}），模糊性仍然存在：鲁棒确定性等价物UP（Sn/n）由鲁棒期望U（X）而不是aplain期望规范化。本着Marinacci[53]的精神（另见Epstein和Schneider[24]第2.2节），从长远来看，合作代理库可以从损失分布得出的观察结果中了解Xi的真正共同损失分布。事实上，采用这样一种设置，即代理人可以从其常见但未知的损失分布中观察实现情况，随着观察次数趋于一致，人们期望代理人了解真实的损失分布。这种直觉在Marinacci【53】中通过从模棱两可的urns中进行替换采样，在预测参数设置中正式化。

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