多层面安全资本要求的风险分担

2022-6-10 20:11:45

多维证券市场资本要求的风险分担德国慕尼黑大学数学系Elix-BENEDIKT LIEBRICH GREGOR Svindland。我们考虑了由资本充足率测试和证券市场引起的资本要求的风险分担问题。参与共享程序的代理可能是异质的，因为他们应用不同的资本充足率测试，并可以进入不同的证券市场。我们讨论存在代表性的条件。此后，我们更深入地研究了资本充足率的两个框架，多面体约束和基于分布的约束。我们证明了这些框架中存在最优风险分配和均衡，并阐述了它们的稳健性。关键词：资本要求、多面体接受集、定律不变接受集、多维安全空间、帕累托最优风险分配、均衡、最优分配的稳健性。电子邮件地址：liebrich@math.lmu.de, svindla@math.lmu.de.Date：2018年9月25日。2010年数学学科分类。91B16、91B30、91B32、91B50.1。引言在本文中，我们考虑资本要求的风险分担问题。几十年来，经济主体或业务单位之间的最优资本和风险分配一直是各自学术和工业研究领域的一个重要课题。用资本要求衡量金融风险可以追溯到Artzner等人的开创性论文【5】。在那里，风险度量是由两个基本要素确定的定义资本要求：接受集和证券市场。验收集是环境损失空间的子集，对应于资本充足率测试。如果损失属于验收集，则视为资本充足，否则视为资本不足。

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2022-6-10 20:11:48

如果损失未通过资本充足率测试，代理机构应采取预先规定的行动：她可以筹集资本，以便在证券市场购买组合证券，当与相关损失文件结合时，将导致资本充足的担保损失。假设证券市场只包含一项资产，以任意数量进行流动交易。贴现后，我们得到一个所谓的货币风险度量，其特征是满足现金可加性属性，即ρ（X+a）=ρ（X）+a。这里，ρ表示资产风险度量，X表示损失，a∈ R是计入或从损失中提取的资本金额。货币风险度量已被广泛研究，seeF¨ollmer&Schied[23]及其参考文献。正如Farkas等人【18、19、20】和Munari【29】所述，这是重新审视Artzner等人【5】的原始风险衡量方法的好理由：（1）通常，证券市场上有不止一种资产。代理人投资旨在确保特定损失的证券组合的成本也低于将补救措施限制为投资于独立于损失资产的单一资产。（2）即使证券化仅限于购买单一资产，也可能无法使用该资产进行贴现，因为它不是一个数字；c、 f.Farkas等人【19】。此外，由于风险是在贴现后衡量的，因此隐含地假设贴现程序不会增加额外风险，这是值得怀疑的，因为不确定的未来利率等因素会带来风险。有关此问题的详细讨论，请参见El Karoui和Ravenelli【17】。通常，风险纯粹是根据风险头寸的分布来确定的，我们将在下面详细讨论这一范例。

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2022-6-10 20:11:51

因此，另一个反对意见是贴现下风险度量的这一关键法律不变性的不稳定性。如果证券不是无风险的（即等于现金），最初分配相同的损失在贴现后可能不再共享相同的分配，而最初显示不同法律的损失可能会变得相同。（3）如果没有贴现，如果证券市场上只有一项资产可用，现金可加性要求证券是无风险的，而且这种证券是否实际可用（至少在更长的时间范围内）值得怀疑。在保险领域，这是一个特别棘手的问题。多维证券市场的风险分担3在本文中，我们将遵循[5]中的原始想法，研究由接受集和可能的多维证券空间诱导的风险度量的风险分担问题。我们考虑一个由有限数量n构成的单周期市场≥ 2名代理人寻求担保未来某个固定日期（如明天）发生的损失。我们将其归因于每个代理∈ {1，…，n}一个有序向量空间Xiof损失减去可能产生的收益，一个接受集Ai Xias资本充足率测试，以及由子空间Si组成的证券市场 Xiof证券投资组合以及这些证券的可观察价格由线性函数pi:Si给出→ R、由于亚洲的证券被认为适合对冲，因此，亚洲和菲律宾的线性假设反映出这些证券是流动交易，其买卖价差为零。药剂i的r iskattitudes完全由再熔风险度量ρi（X）：=inf{pi（Z）| Z反映∈ Si，X- Z∈ Ai}，X∈ Xi，（1.1）这是用Si中的证券为X提供担保所需的最低资本。我们考虑的问题是如何通过分配来降低系统中的总风险。

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2022-6-10 20:11:55

从形式上讲，假设市场损失X∈Pni=1xi系统总计产生，我们需要解决优化问题Nxi=1ρi（Xi）→ 最小值受Xi约束∈ X+…+Xn=X。（1.2）向量X=（X，…，Xn），即所谓的X的分配，它解决了优化问题并产生一个确定的最优值，是帕累托最优的。然而，这类似于集中分布（centraledredistribution），它以一种总体最优的方式将总损失的某一部分归属于每个代理人，而不考虑个人福祉。代理机构的红色分配在坚持个人理性约束的同时，以一定价格交易部分损失，由此产生了均衡分配和均衡价格的概念，这是上述风险分担问题的一种变体。这一普遍问题的特殊实例在文献中被广泛研究。Borch【9】、Arrow【4】和Wilson【38】考虑了预期效用的问题。从Barrieu和El Karoui【7】和Filipov i'c和Kupper【21】开始，对凸型货币风险度量进行了更多最近的研究。允许证明凸货币风险度量存在最优风险分担的一个关键假设是法律不变性，即在基准概率模型下共享相同分布的所有损失的测量风险相同，见Jouini等人【27】、Acciaio【1】、Acciaio&Svindland【2】和Filipovi\'c&Svindland【22】。有关现有文献的详细讨论，请参阅Embrechts等人【15】。主要贡献。

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能者818

2022-6-10 20:11:58

在下文中，我们总结了本文的四个主要贡献。首先，我们证明了风险分担问题的代表性代理人公式：在温和的假设下，市场中相互作用的代理人的行为由（1.1）型市场资本要求捕获，即∧（X）=inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ A+}，4与多维证券市场的风险分担，其中∧（X）是通过重新分配X实现的聚合风险的正常水平，如（1.2），A+是市场接受集，（M，π）是全球证券市场。其次，我们研究了两个突出的案例，主要特征是涉及的可接受性概念，我们证明了风险分担问题（1.2），包括寻求均衡，允许解决方案。首先，从最广泛的意义上讲，个人损失取决于未来经济状况的情景。如果在一套有限的线性聚合规则下未超过某些资本阈值，则认为损失是可接受的，这些规则可能因代理而异。读者可能会想到Carr等人[10]研究的许多估值和压力测试规则的组合，另见[23，第4.8节]。由此产生的验收集将是多面体的。在考虑的第二类可接受集合中，损失是否被视为充分资本化，仅取决于固定参考概率度量下的分布特性，而非情景因素：可接受性是一个统计概念。更准确地说，损失被建模为概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）和各自的单个验收集Ai、i∈ {1，…，n}，将是定律不变的。

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mingdashike22

2022-6-10 20:12:02

然而，在非平凡的情况下，证券空间不会具有法律不变性，因此证券化取决于损失和证券的潜在变化联合分布，因此是按状态而非分布的。这既反映了从业者的现实，又在数学上很有趣，因为结果资本要求ρ远不是法律不变的。只有当安全空间由现金资产跨越，即Si=R时，接受集的法律不变性意味着相应货币风险度量的法律不变性。在这种情况下，风险分担问题已得到解决，c.f.【22，27】。我们将利用这些结果，但要强调的是，将一般问题归结为规律不变的现金加成情况是不可能的。作为第三个贡献，我们不仅证明了解的存在性，即最优风险分配的存在性，而且还仔细研究了集值映射的连续性性质，将其分配给一个集合损失的最优风险分配。这些反映了最优值是对输入、总损失比例的错误描述。如果map是上半连续的，则对总损失的轻微误算不会彻底改变此类最佳风险分配的集合。从建设性的角度来看，它也很有用：可以通过用简单的损失近似并计算这些损失的解决方案来解决复杂损失的风险分担问题。

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2022-6-10 20:12:05

另一方面，较低的半连续性保证了给定的最优风险分配在下面的累计损失的s光扰动下保持接近最优。最后，我们研究了Tsanakas【36】和Wang【37】的spir it中的最优分割问题，作为一般理论的应用：在存在交易成本等市场摩擦的情况下，一个金融机构是否可以通过引入受潜在不同监管制度约束的补贴机构并获得潜在变化的证券市场来最优分割总损失？论文的结构。在第2节中，我们严格介绍了资本需求、代理系统、最优分配和均衡方面的风险度量。第3节介绍了风险分担问题的代表性代理公式，并证明了多维证券市场5结果的有效风险分担。这些是讨论风险分担的关键，涉及第4节中的多面体接受集和第5节中的定律不变接受集，以及第6节中的最优投资组合分割。技术补充被归入附录ix.2。代理系统和最优分配2.1。预备工作。在建模的第一步中，我们假设个体代理人对风险的态度是由风险度量区域和相应的风险度量给出的。定义2.1。让（X，) 是有序向量空间，X+：={X∈ X | 0 十} 是它的正锥，X++：=X+\\{0}接受集是X的非空真凸集a，它是单音的，即a- X个+ A、 o证券市场是由有限维线性子空间组成的一对（S，p） X与正线性泛函p:S→ 这样就有U∈ S∩X+，p（U）=1。

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2022-6-10 20:12:08

元素Z∈ S被称为证券组合或简单的证券，andS是证券空间，而eas p被称为定价函数如果A是一个可接受集，而（S，p）是一个证券市场，且以下无套利条件成立，则trip le R：=（A，S，p）是一种风险度量制度：十、∈ X：sup{p（Z）| Z∈ S、 X+Z∈ A} <∞. （2.1）o与风险度量制度R相关的风险度量是函数ρR:X→ (-∞ , ∞], x7→ inf{p（Z）| Z∈ S、 X个- Z∈ A} 。（2.2）如果ρR（0）=0，则ρRis归一化，或等效supZ∈A.∩Sp（Z）=0。对于X上的某个向量空间拓扑τ，它是下半连续的（l.s.c.），只要每个下水平集{X∈ X |ρR（X）≤ c} ，c∈ R、是τ-闭合的。定义ρrave的直接后果如下：oρRis a proper functionby（2.1）和ρR（Y）≤ 0表示任意Y选项∈ A、此外，它是凸的，即ρR（λX+（1- λ） Y）≤ λρR（X）+（1- λ） ρR（Y）适用于λ的所有选项∈ [0，1]和X，Y∈ X；o-单调性，即X Y表示ρR（X）≤ ρR（Y）；oS-可加性，即ρR（X+Z）=ρR（X）+p（Z），对于所有X∈ X和所有Z∈ S、请注意，（2.2）中的风险度量评估了扣除收益X后的损失风险∈ 十、正锥X+对应于纯损耗。因此，ρRis不随r而减小, 在大多数风险度量文献中，收益减去损失的风险是被度量的，而不是非递增的。然而，在证券市场中，我们考虑通常的单调性，即证券Z*∈ S比Z好∈ S如果Z Z*. 这也说明了定价函数p:S的积极性→ R

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mingdashike22

2022-6-10 20:12:12

结合这两个观点，这里和下面的安全性的影响，给定向量空间X的子集a和B，a+B表示它们的Minkowskisum{a+B | a∈ A、 b类∈ B} ，和- B：=A+(-B）。给定一个非空集M，一个函数f:M→ [-∞, ∞] 如果为f，则为正确-1({-∞}) = 和f 6≡ ∞.6与多维证券市场SZ的风险分担∈ 损失报告X中的S∈ S由X给出- Z、 ρR（X）是证券市场中证券Z在有损失的情况下必须支付的价格-Z，以将X的风险降低到可接受的水平。无套利条件（2.1）意味着一个人不能做空任意有价证券，也不能接受。（2.2）定义的资本要求与超高边缘之间有着密切的联系。给定有序向量空间（X）上的风险度量制度R=（a，S，p），), letker（p）：={N∈ S | p（N）=0}表示定价函数的核心，即以零成本提供的完全平均证券组合集。此外，fix一个仲裁机构∈ S∩ X+使得p（U）=1。每个Z∈ S可以写为Z=p（Z）U+（Z- p（Z）U），andZ- p（Z）U∈ 克尔（p）。因此，X∈ X和Z∈ S满足X- Z∈ A当且仅当r：=p（Z）∈ R我们可以找到∈ ker（p）使得rU+N+(-X）∈ -A、因此，风险ρR（X）可以表示为ρR（X）=inf{p（Z）| Z∈ S、 X个- Z∈ A} =inf{r∈ R | N∈ ker（p）：N+rU+(-X）∈ -A} ，集合-A是扣除损失后的可接受收益集合，以及-X是与损失比例X相关的报酬。ker（p）中的要素是零成本投资机会。如果我们保守地选择验收集A=-X+，ρR（X）=inf{R∈ R | N∈ ker（p）：N+rU+(-X） 0}，即我们通过ρR（X）恢复支付的套期保值价格-X.因此，一个一般的风险度量制度导致了一个超边缘功能，涉及到超对冲N+rU的宽松概念- 十、∈ -A.

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mingdashike22

2022-6-10 20:12:16

在超边际理论的术语中，ρR（X）是需要投资于证券U的现金量，以便X与（证券）市场中合适的零成本交易相结合时可以被超套期。最近，Cheridito等人研究了这种松弛的超边缘泛函。以上介绍的U和K（p）之间的分离将在本文中使用。2.2. 代理系统。为了准确地介绍风险分担问题，需要考虑各个代理人之间的相互作用及其特定的资本要求；有关有序向量空间的术语，请参阅[3，第8-9章]。我们考虑一个抽象的单期市场，该市场产生的总损失扣除了Riesz空间（X，). 市场由n个≥ 2个代理，在整篇论文中，我们用集合{1，…，n}中的自然数i来标识每个单独的代理，为了简洁起见，我们应该用[n]来表示。代理人对风险的评估可能相当不一致。这首先反映在假设每个代理按照（订单）理想XI进行操作的情况下 X，i∈ [n] ，它可能是X的适当子集。在不丧失一般性的情况下，我们应施加X=X+…+Xn。在每个理想情况下，因此对于每个代理，一个可接受集Ai对资本化损失进行编码 xi代理人i∈ [n] 被允许为Riesz空间（X，) 是包含{Z∈ X | | Z | |Y |} Y保持所有Y∈ Y、与多维证券市场的风险分担7安全她可能因证券市场（Si，pi）或Si（Xi）的证券而遭受的损失。我们应规定每个Ri：=（Ai，Si，pi）是（Xi）的风险衡量制度， |Xi×Xi），i∈ [n] 。

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2022-6-10 20:12:19

总之，独立风险评估完全由风险度量制度的n元组（R，…，Rn）捕获。定义2.2。一个n元组（R，…，Rn），其中，对于每个i∈ [n] ，RIS是Xi上的一个风险度量体系，如果() 就我而言，j∈ [n] ，定价函数计划和协议∩ Sj。此外，如果weset i~ 如果i 6=j且π在Si上是非平凡的∩ Sj，结果图hg=（[n]，{{i，j} [n] | i~ j} ）已连接。公理() 明确相关代理互动的性质：多个代理接受的证券价格必须一致，任何两个代理都可以通过潜在的中介机构调用其他代理进行互动和交换证券。在本文中，我们假设代理构成一个代理系统。这种情况并非牵强附会：定义2.3。共同接受证券的空间为ˇS：=Tni=1Si，其中sm：=S+…+Snis是全球安全空间。如果，除了价格协议之外，对于部分和所有i，S 6={0}和pi | S6=0∈ [n] ，然后假设() 已满足。生成的图是n个顶点上的完整图。此外，如果所有代理都在同一个空间上操作，则Xi=X，i∈ [n] ，可用的证券市场是一致的，由Si=R·U，i给出∈ [n] ，对于某些U∈ X++和pi（rU）=r，r∈ R、（R，…，Rn）是一个代理系统。如果我们进一步指定X是一个非常丰富的随机om变量空间，并且U=1是值为1的常数随机om变量，那么凸货币风险度量的风险分担结果可以嵌入到我们的代理系统设置中；c、 f.[1、2、22、27]。为了简洁起见，我们在下面写ρIIn代替ρRIF。在整个文件中，X中的总损失将用X或W表示，证券用Z、U或N表示。

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2022-6-10 20:12:22

为了介绍与（R，…，Rn）相关的风险分担，我们需要可实现和安全分配的概念：定义2.4。向量X=（X，…，Xn）∈Qni=1xi是累计损失W的可实现分配∈ 如果W=X+…+Xn。我们表示W的所有可实现分配的集合∈ X按AW。给定全局安全Z∈ M、我们用AsZ表示：=AZ∩Qni=1 Z.2.3中的一组安全分配。风险分担问题及其解决方案。给定集合S 6= 和函数F:S→ [-∞, ∞], 我们设置dom（f）：={s∈ S | f（S）<∞} 是f的有效域。我们还将用Lc（f）：={s来缩写它的低层集∈ S | f（S）≤ c} ，c∈ R、我们现在准备引入风险分担问题。其目标是将系统内的综合风险降至最低。允许采取的补救措施是重新分配与多层面证券市场Sloss的风险共担∈ 所涉及的代理中的X：nXi=1ρi（Xi）→ 最小值以X为准∈ 哦。（2.3）显然，（2.3）中的最佳值小于+∞ 当且仅当W∈Pni=1dom（ρi）。此外，众所周知，（2.3）与经济最优配置的某些概念密切相关，我们在下文中定义了这些概念。定义2.5。设（R，…，Rn）为序向量空间（X，), letW公司∈ X是累计损失，让W∈Qni=1Xibe初始损失捐赠的向量。（1）可实现的分配X∈ 如果ρi（Xi）<∞, 我∈ [n] ，和forany Y∈ 性质为ρi（Yi）的aw≤ ρi（Xi），i∈ [n] ，实际上ρi（Xi）=ρi（Yi）必须保持所有i∈ [n] 。（2） Sup pose X额外承载向量空间拓扑τ，使得（X，, τ）是一个拓扑Riesz空间。

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能者818

2022-6-10 20:12:25

元组（X，φ）是W的平衡，如果oX∈ AW++Wn，oφ∈ 十、*为正，φ| Si=pi，i∈ [n] ，o预算约束φ(-Xi）≤ φ(-Wi），i∈ [n] ，保持，o和ρi（Xi）=inf{ρi（Y）| Y∈ Xi，φ(-Y）≤ φ(-Wi）}对于所有i∈ [n] 。在这种情况下，X称为均衡分配，φ称为均衡价格。我们的第一个结果将帕累托最优、均衡和风险分担问题的解决方案联系起来（2.3）。命题2.6（2）确实是福利经济学的第一个基本定理，适用于我们的环境。提案2.6。根据定义2.5的假设，以下情况成立：（1）如果W∈Pni=1dom（ρi），然后X∈ aw是Wif的帕累托最优可实现分配，且仅当nXi=1ρi（Xi）=infY∈AWnXi=1ρi（Yi）。（2.4）（2）任何均衡分配都是帕累托最优的。证明需要以下众所周知的帕累托最优特征；参见，例如，【31，提案3.2】。引理2.7。让W∈Pni=1dom（ρi）。如果X是W的帕累托最优可得分配，则存在所谓的Negishi权重λi≥ 0，i∈ [n] ，并非所有等式均为零，因此nxi=1λiρi（Xi）=infY∈AWnXi=1λiρi（Yi）。（2.5）请注意，预算限制中的负号是由于Ximod el中的元素损失，而φ价格支付与多维证券市场9的风险分担相反，如果X∈ Axsaties（2.5）对于一组严格正权重λi>0，i∈ [n] ，则X是一个帕累托最优可达到分配。命题2.6的证明表明，agent系统的属性() 指示Negishi权重的值。命题2.6的证明。（1）根据引理2.7，（2.4）的任何解都是帕累托最优解。换个角度，让我们∈Pni=1dom（ρi），设X∈ AWbe是一种帕累托最优可实现分配。Letλ∈ Rn++是Negishi权重的任何向量，因此X是（2.5）的解。回忆对称关系~ 在中() 考虑j，k∈ [n] 这样j~ k

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能者818

2022-6-10 20:12:28

根据定义，我们可能会发现∈ Sj公司∩ 使p：=pj（Z）=pk（Z）6=0。对于t∈ R letXt：=X+tpZej-tpZek公司∈ AX。这里，Zejis是向量，其j-th条目是Z，而所有其他条目都是0。类似地，我们定义了Zek。根据所有ρi的Si可加性，我们推断-∞ <nXi=1λiρi（Xi）≤ 输入∈RnXi=1λiρi（Xti）=nXi=1λiρi（Xi）+inft∈Rt（λj- λk）。只有当λj=λk时，这才可能。使用图G() 已连接，一个感应显示λ=…=λn.将（2.5）的两侧除以λyieldsnXi=1ρi（Xi）=infY∈AXnXi=1ρi（Yi）。（2）假设W是具有相关平衡（X，φ）的初始损失禀赋。那么φ（Xi）=φ（Wi）通过单调性保持不变。给定Zi∈ pi（Zi）=1和任意yi∈ Xi，φ（Yi+（φ（Xi））- φ（Yi））Zi）=φ（Xi）=φ（Wi）保持为φ=πSi。因此，预算约束得到满足，因此ρi（Xi）≤ ρi（Yi+φ（Xi- Yi）Zi）=ρi（Yi）+φ（Xi）- φ（Yi）。如果我们设置W：=W+…+Wn，对于任何其他分配Y∈ AWwe获得Nxi=1ρi（Xi）≤nXi=1ρi（Yi）+φ（Xi）- φ（Yi）=nXi=1ρi（Yi）sincePni=1φ（Xi）=Pni=1φ（Yi）=φ（W）。通过（1），X是帕累托最优的。3、弱卷积和代表性因子本节包括第2节中介绍的Riesz空间风险分担问题的形式数学处理。我们应将风险划分与各个风险度量的不均衡卷积联系起来，证明其作为市场资本需求的代表性，即代表性代理人，并为其可解性找到有力的充分条件。10与多维证券市场的风险共担然而，在此之前，我们需要引入更多的公理，代理人的系统可能会满足这些公理(). 我们将在本文的各个阶段提及这些问题，但我们始终认为这些问题不会得到满足。

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2022-6-10 20:12:33

对于n≥ 2设（R，…，Rn）为代理系统。（NSA）无安全套利：对于一些j∈ [n] 它认为Pi6=jker（pi）∩ Sj公司 ker（pj）；（NR）联合证券市场的非冗余性：存在Z∈ˇS和Z∈ AsZsuch thatPni=1pi（Zi）6=0。（SUP）保障性：给定局部凸Hausdor ff拓扑Riesz空间（X，, τ）带双空格X*, 有一些φ∈ 十、*+和一个常数γ∈ R使得（i）对于所有Z∈Qni=1SiwithPni=1pi（Zi）=0我们有φ（Z+…+Zn）=0，对于一些▄Z∈Qni=1SiwithPni=1pi（～Zi）6=0我们有φ（～Z+…+～Zn）6=0；（ii）所有Y∈Qni=1我们有φ（Y+…+Yn）≤ γ.（辅助∞) 无限保障能力：（Ri）i∈Nis是一系列风险度量机制，在同一局部凸Haus-Dorff拓扑Riesz空间（X，, τ）使（R，…，Rn）满足() 适用于所有n∈ N和s都有φ∈ 十、*带PI∈NsupY公司∈Aiφ（Y）<∞ φ| Si=pi，i∈ N、如果每个代理能够从其他代理获得任意有价值的证券化，则违反了条件（NSA），而其他代理可以零成本提供证券化。这将揭示证券市场的不匹配，导致所有代理人都假设拥有无限财富。如果存在Z，则联合证券市场的非冗余性尤其令人满意∈对于某些i，π（Z）6=0∈ [n] ，因此由定义属性() 一个代理系统∈ [n] 。因此，在（NR）项下，有一种共同接受的对市场有价值的证券。关于条件（SUP），将φ视为定价函数。（i）是φ和个别价格pi之间的一致性要求。（ii）解读为，如果X非常差，则无法分解所有代理可接受的损失X，即φ值(-十）相应付款的-Xunderφ小于一定水平-γ. （辅助∞) 是对（Ri）i所有子系统的（SUP）加强∈N、 3.1。风险分担职能部门和代表代理人。

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2022-6-10 20:12:36

命题2.6推动了风险分担功能的定义：∧：X→ [-∞, ∞], x7→ infX公司∈AXnXi=1ρi（Xi）。它对应于所谓的风险度量ρ，…，的弱卷积。。。，ρn，Andhus继承如下属性-单调性和凸性。我们参考附录A.2，特别是引理A.3，以获得这些事实的简要总结。我们的下一个结果意味着，如果p正确，∧再次是ty-pe（2.2）的风险度量：共享r isklevel是市场必须为使市场可接受的累积证券支付的最小初始价格。因此，市场行为可能被视为与在X上运行的多维证券市场11共享的代表性代理的行为。回想定义2.4，AsZdenotes是z的一组安全分配∈ M、提案3.1。定义π（Z）：=infZ∈AsZPni=1pi（Zi），Z∈ M、（1）对于任何Z∈ M和任意Z∈ AsZ，π（Z）可以表示为π（Z）=nXi=1pi（Zi）+π（0）。π（0）=0或π（0）=-∞. π（0）=0与（NSA）等价，在这种情况下，π是实值、线性且满足π| Si=π，i∈ [n] 。否则π≡ -∞.（2） ∧可以表示为∧（X）=inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ B} ，X∈ X，对于任何单调凸集B X满足A+ B L（λ）。这里，A+：=Pni=1Ai。（3）如果（NSA）和（SUP）保持不变，则∧是合适的。（4）如果∧是正确的，则（NSA）成立，即π（0）=0，π为正。在这种情况下，（A+，M，π）是X上的风险度量制度，∧是相关的风险度量。证据（1）让Z∈ M和let Z∈ AsZbe武断，但固定。恒等式AsZ=Z+a表示π（Z）=nXi=1pi（Zi）+infN∈AsnXi=1pi（Ni）=nXi=1pi（Zi）+π（0）。考虑V：={（pi（Ni））i∈[n] | n∈ As}，它是Rn的一个子空间。在下面的g中，用Rn的第l个单位向量表示wedenote。注意π（0）=0当且仅当dim（V）<n。实际上，设1=（1，1，…，1）∈ Rnand观察π（0）=infx∈Vh1，xi-∞ 在casedim（V）=n的情况下。

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大多数88

2022-6-10 20:12:40

假设dim（V）<n，即V⊥6={0}，设0 6=λ∈ 五、⊥. 如第2.6（1）条所述，ej- 埃克∈ V适用于所有j，k∈ [n] 这样j~ k、这意味着λj=λk。作为关系~ 导出一个连通图λ∈ R·1=V⊥. 因此，对于所有x，我们得到h1，xi=0∈ 意味着π（0）=0，所以我们证明了π（0）=0和dim（V）<n的等价性。但是dim（V）<n等价于∈ [n] 这样EJ/∈ 五、这反过来等于（NSA）：每当Z∈ Sj位于Minkowski sumPi6=jker（pi），pj（Z）=0必须保持。（2）我们首先注意到A+是凸的和单调的。确实，让X，Y∈ X使得Y∈ A+和X Y修复Y∈ Ayi这样∈ 哎，我∈ [n] ，和X∈ AX任意。根据theRiesz分解性质（c.f.[3，第8.5节]），有W。。。，西尼罗河∈ X+这样的Y- X=Pni=1WI和Wi |易- Xi |，意思是W∈ 是的-十、因此，尽管我∈ [n] ，我们获得Yi- Wi公司∈ Ai由Ai的单调性决定，因此X=Pni=1Yi- Wi公司∈ A+。此外，L（λ）也是单调和凸的，这源于∧的相应性质。对于B B′，我们有inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ B}≥ inf公司π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ B′.12与多维证券市场共享风险A+ 对于任意X，证明了L（λ），（2）∈ X我们可以显示两个估计∧（X）≥ inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ A+}，（3.1）和∧（X）≤ inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ L（λ）}。（3.2）如果∧（X）=∞. 如果X∈ dom（λ）=Pni=1dom（ρi），选择性别∈ ax使得ρi（Xi）<∞, 我∈ [n] ，ε>0任意。假设Z∈Qni=1sis，对于pi（Zi）≤ ρi（Xi）+εnand Xi- Zi公司∈ 哎，我∈ [n] 。设置Z*:= Z+…+Znand observeX公司- Z*∈ A+以及nxi=1ρi（Xi）+ε≥nXi=1pi（Zi）≥ π（Z*) ≥ inf{π（Z）| Z∈ M、 X个- Z∈ A+}。这证明了（3.1）。我们现在转到（3.2）。如果∧（X）=∞, 假设有一些Z∈ M使得X- Z∈ L（λ）Pni=1dom（ρi）。

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2022-6-10 20:12:43

选择Y∈ AX-Zsuch Thayi公司∈ dom（ρi）表示所有i，并设Z∈ AsZbe武断。然后∧（X）≤nXi=1ρi（Yi+Zi）=nXi=1ρi（Yi）+nXi=1pi（Zi）<∞.这是一个矛盾，没有这样的Z∈ M可以存在。（3.2）在这种情况下成立。现在假设X∈ dom（λ）和假设Z∈ M满意度X- Z∈ L（λ）。因此，对于任意ε>0，存在Y∈ AX-Zsuch thatPni=1ρi（Yi）≤ ε. 同Y+Z∈ AXfor all Z轴∈ AsZ，∧（X）≤ infZ公司∈AsZnXi=1ρi（Yi+Zi）=nXi=1ρi（Yi）+π（Z）≤ ε+π（Z）。当ε>0任意选择时，我们得到（3.2）。（3）假设（NSA）和（SUP）已满，让φ∈ 十、*如（SUP）中所述，注意π由（1）线性化。对于某些κ>0，我们将证明φ| M=κπ，因此通过重新缩放φ| M=π可以在不损失一般性的情况下假设。为此，我们将要求（SUP）（ii）重申为supY∈A+φ（Y）<∞, 这意味着功能φ的正性是由A+的单耳性决定的。（SUP）（i）尤其指φ| ker（π）≡ 0.对于每个i∈ [n] fix用户界面∈ 硅∩ X++使得U：=Pni=1 Isatis fiesπ（U）=Pni=1pi（Ui）=1。对于所有Z∈ M、 Z- π（Z）U∈ ker（π），我们推断φ（Z- π（Z）U）=0，或等于M上的φ=φ（U）π。通过（SUP）（i）的第二部分，对于某些▄Z，φ（▄Z）6=0∈ M，π（~Z）6=0。利用φ的正性，我们得到0<φ（~Z）π（~Z）=φ（U），因此我们可以设置κ：=φ（U）。最后，如果κ=1，X∈ X为任意数，Z为任意数∈ M等于X- Z∈ A+，π（Z）=φ（Z）=φ（X）- φ（X- Z）≥ φ（X）- 苏比∈A+φ（Y）>-∞.右侧的边界与Z无关。使用∧在（2）中的表示，适当性如下。（4）注意∧是（2）的M-加法。既然∧是正确的，我们就不能有π≡ -∞, 当ceπ（0）=0时，即（NSA）由（1）保持。关于π的正性，选择Y∈ X带∧（Y）∈ R、与多维证券市场风险共担13Z∈ M∩ X+，∧的单调性，然后sh ows∧（Y）≤ ∧（Y+Z）=∧（Y）+π（Z），其尾部为π（Z）≥ 因此，（A+，M，π）是一种风险度量制度。

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2022-6-10 20:12:46

上述命题为假设（SUP）提供了更为几何的视角。支持agent系统在局部凸Hausdorff拓扑Riesz空间（X，, τ）和满意度（NSA）。此外，假设我们可以找到一个安全Z*∈ 我就是这样*/∈ clτ（A++ker（π）），（3.3），其中，这里和下面的clτ（·）表示一个集合相对于拓扑τ的闭包。那么（SUP）表示Z*是一种以真正的市场成本获得的证券；它可以用线性泛函φ与A++ker（π）严格分离∈ 十、*+, 此函数与（SUP）中所述完全相同。在命题3.1（4）的情况下，代表代理人的行为由风险度量制度（A+，M，π）给出。风险分担功能是与市场接受集A+和全球安全市场（M，π）相关的市场资本要求。3.2. 最优支付和帕累托最优。我们现在将注意力转向帕累托最优分配的存在性。根据提案2.6，W∈ dom（λ）允许帕累托最优分配当且仅当∧在W处精确，即（2.4）成立。我们将看到，这个问题与市场证券ZW的存在密切相关∈ M表示市场可接受性W- ZW公司∈ 最小价格π（ZW）=∧（W）时的A+。Baes等人在[6]中研究了后一个问题。定义3.2。W∈ X允许最佳回报ZW∈ M如果W- ZW公司∈ A+和π（ZW）=∧（W）。提案3.3。假设∧是正确的。如果X∈ X允许最佳报酬∈ M、然后是X∈ dom（λ）和∧在X处是精确的。特别是对于任何Yi∈ 哎，我∈ [n] ，和Z∈ AsZXsuch thatPni=1Yi=X-ZX分配（一+子）i∈[n]∈ 轴帕累托最优。如果moreoverL（ρi）=Ai+ker（pi），i∈ [n] ，则∧在X处精确∈ dom（λ）当且仅当X允许非最优支付。证据由于∧是正确的，我们有π是线性的，有限值，π| Si=π，i∈ [n] ，根据命题3.1。

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2022-6-10 20:12:49

假设X∈ X和Z=ZX∈ M等于∧（X）=π（Z）和X-Z∈ A+。Asπ（Z）∈ R和∧A+≤ 0，X∈ dom（λ）。选择易学∈ 哎，我∈ [n] ，这样X- Z=Pni=1Yi。对于任何Z∈ 因此，AsZwe有X=Pni=1Yi+Ziand∧（X）≤nXi=1ρi（Yi+Zi）=nXi=1ρi（Yi）+nXi=1pi（Zi）≤ π（Z）=∧（X），其中我们使用了ρi（Yi）≤ 0和π（Z）=Pni=1pi（Zi）（命题3.1）。这表明∧在X处的真实性。现在假设L（ρi）=Ai+ker（pi），i∈ [n] 。让X∈ dom（λ）和X∈ ax使得∧（X）=Pni=1ρi（Xi）。此外，让Ui∈ Si，pi（Ui）=1。同于Xi- ρi（Xi）Ui∈ Ai+ker（pi），14与多维证券市场的风险分担∈ [n] ，根据假设，我们可能会发现∈Qni=1ker（pi），这样Xi- ρi（Xi）Ui+Ni∈ Aiforevery i公司∈ [n] 。pni=1ρi（Xi）Ui的事实- Niis是X的最佳回报，立即生效。在拓扑环境中，最优payoff的存在与minkowski和a++ker（π）闭合密切相关：命题3.4。相反（X，, τ）是拓扑Riesz空间，∧是真的。那么，当且仅当∧是l.s.c.且eve ry X时，a++ker（π）是闭合的∈ dom（λ）允许最佳支付。证据首先假设A++ker（π）是闭合的。对于下半连续性，我们必须确定Lc（λ）对于每个c都是闭合的∈ R、为此，让Ui∈ 硅∩ X++使pi（Ui）>0，并设置U：=Pni=1Ui。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设π（U）=1。我们将显示lc（∧）=cU+A++ker（π），（3.4），每当A++ker（π）闭合时，它都是闭合的。（3.4）中的右侧集合通过∧的M可加性包含在左侧集合中。对于逆包含，设X∈ Lc（λ）。对于s>c，有一个Zs∈ M s uch该c≤ π（Zs）≤ s和X- Zs公司∈ A+。考虑decompositionx- sU=X- Zs+（π（Zs）- s） U+Z- π（Zs）U.As X- Zs+（π（Zs）- s） U型十、- Zs公司∈ A+和Zs- π（Zs）U∈ ker（π），a+的单调性表示X- 苏∈ A++ker（π）。因此，X- cU=lims↓cX公司- 苏∈ 证明了clτ（A++ker（π））=A++ker（π），和（3.4）。

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2022-6-10 20:12:52

在（3.4）中设置c=0表示L（λ）=A++ker（π）。因此，X- ∧（X）U∈ 所有X的A++ker（π）∈ dom（λ），对于合适的N∈ ker（π）依赖于X我们有X- ∧（X）U+N∈ A+和π（λ（X）U- N） =λ（X）。因此，X的最佳payoff由∧（X）U给出- N∈ M、假设∧是l.s.c.，并且每个X∈ dom（λ）允许获得最佳回报。Let（Xi）i∈Ibe a++k（π）中的一个网络，收敛于X∈ 十、然后∧（X）≤ 0乘以∧的最小连续性。让Z∈ M是X的最优payofff，因此π（Z）=∧（X）≤ 0。对于如上所述的u和Y：=X- Z∈ A+我们得到Y+π（Z）U∈ A+由A+的单耳性决定。阿尔索兹- π（Z）U∈ ker（π）。因此X=（Y+π（Z）U）+（Z- π（Z）U）∈ A++ker（π）。命题3.4与[6，命题4.1]相关。与命题3.3一起，这是帕累托最优解存在的有力条件，我们将应用第4和第5条。唯一非平凡的步骤将是验证∧的正确性和A++ker（π）的封闭性。3.3. 平衡的存在。当市场损失由Fr'echet晶格（X，, τ). 由于这一概念在文献中不明确，我们强调Fr'echet格是一个局部凸的实拓扑Riesz空间，其拓扑是完全可度量的。与多维证券市场的风险分担15特别是，Banach格是Fr'echet格。作为一个更一般的例子，可以考虑维纳空间C（[0，∞)) 非负半直线上所有连续函数的点序≤ 以及度量D（f，g）的拓扑τDarising：=∞Xk=1-kmax0≤r≤k | f（r）- g（r）| 1+最大值0≤r≤k | f（r）- g（r）|，f，g∈ C（[0，∞ )).显然，（C（[0，∞)), ≤, τD）不是Banach晶格，而是Fr'echet晶格。

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2022-6-10 20:12:56

如果所讨论的原语是连续的轨迹，例如，某些商品的n et值随时间的变化，则可以选择作为mod elspace。对于以下主要元定理，如果模型空间是一个Fr'ech et晶格，则提供平衡的存在性，请回顾共同接受证券的定义：=Tni=1Si。此外，我们在这里和下面的int dom（λ）中设置为风险分担函数∧的有效域的τ-内部。给定一个p-roper函数f:X→ (-∞, ∞], 它的对偶共轭是函数f*: 十、*→ (-∞, ∞] 由f定义*（φ） =su pX∈Xφ（X）- f（X）。给定X∈ dom（f），φ∈ 十、*是f在X处的次梯度，如果f（X）=φ（X）- f*(φ).提案3.5。假设X是Fr'echet晶格，∧是l.s.c.且正确。此外，让（NR）满足，即存在aZ∈ˇS，π（~Z）6=0。如果W∈Qni=1xi是指W：=W+…+西尼罗河∈ int d om（∧），W存在Pareto最优分配，W存在平衡点（X，φ）。固定W∈Qni=1 W：=W+…+西尼罗河∈ int dom（λ）。由于Fr'echet格是桶形空间，因此∧在W处可由[16，推论2.5和命题5.2]次微分，即存在次梯度φ∈ 十、*满足∧（W）=φ（W）的W处∧的- Λ*(φ). As∧ismonotone，φ∈ 十、*+, 由引理A.4∧确定的an d*（φ） =nXi=1ρ*i（φ| Xi），φ∈ 十、*. （3.5）设Y为W的任意帕累托最优分配。As∧（W）=Pni=1ρi（Yi）∈ R、 λ（W），λ*（φ）和ρ*i（φ| Xi），i∈ [n] ，都是实数。此外，作为∞ > ρ*i（φ| Xi）≥ supZ公司∈Siφ（Yi+Z）- ρi（Yi+Z）=φ（Yi）- ρi（Yi）+supZ∈Siφ（Z）- pi（Z），φ| Si=pi，i∈ [n] ，必须保持不变，这反过来意味着通过π的线性和命题3.1，φ| M=π。根据（NR），我们可以∈ˇS使得π（▄Z）=1=π（▄Z），i∈ [n] 。LetXi：=Yi+φ（Wi- Yi）~Z，i∈ [n] 。请注意，X∈ AWholds，因为epni=1Wi=Pni=1Yi=W，thusPni=1Xi=W。

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2022-6-10 20:13:00

此外，X是帕累托最优的：nXi=1ρi（Xi）=nXi=1ρi（Yi）+φ（Wi- Yi）π（~Z）=nXi=1ρi（Yi）+φ（W- W）=nXi=1ρi（Yi）=∧（W）。16与多维证券市场的风险分担，如φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi）≤ ρi（Xi）表示所有i∈ [n] andnXi=1ρi（Xi）=∧（W）=φ（W）- Λ*（W）=nXi=1φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi），ρi（Xi）=φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi）必须保持所有i∈ [n] 。我们认为（X，φ）是一个平衡。实际上，作为φ(-Xi）=φ(-Wi）适用于所有i∈ [n] ，预算约束已得到满足。此外，如果∈ [n] 和Y∈ Xisatisφ(-Y）≤ φ(-Wi）=φ(-Xi），我们得到ρi（Y）≥ φ（Y）- ρ*i（φ| Xi）≥ φ（Xi）- ρ*i（φ| Xi）=ρi（Xi）。多面体代理系统在本节中，我们假设代理系统（R，…，Rn）在Fr'echet晶格给出的市场空间X上运行。每个代理i∈ [n] 在封闭的理想Xi上运行 X，和X+…+Xn=X。封闭性假设意味着（Xi，, τ ∩ Xi）本身就是一种Fr’Echettice。我们假设每个验收集Ai XI是多面体。定义4.1。让（X，, τ）成为Fr'echet晶格。凸集C X称为多面体如果有一个有限集J 十、*和β∈ rj使得a={X∈ X | φ ∈ J：φ（X）≤ βφ}.一个agent系统（R，…，Rn）是多面体的，如果它具有属性（NSA）和（SUP），并且每个接受集Ai，i∈ [n] ，是多面体。集合C的多面体等价于某些m的存在性∈ N、连续线性构造器T:X→ Rm和β∈ rm使得C={X∈ X | T（X）≤ β} ，其中定义的不平等是协调理解的。在验收集的情况下，可以选择表示线性构造的为正。具有多面体接受集的风险度量在Baes等人[6]中发挥着重要作用，其中研究了单个此类风险度量的最优支付集。示例4.2。为了简单起见，我们考虑有限的尺寸设置。

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2022-6-10 20:13:03

假设A、B和C是由内部风险管理或监管机构提出的未来经济状态的三组不确定且不相交的情景。我们设置Ohm= A.∪ BOhm:= B∪ C、代理i的相关场景有哪些∈ {1, 2}. B可以被视为一组非平凡的联合相关场景，以及Ohm := A.∪ B∪ C是与整个系统相关的场景集。然而，由于代理i的相关场景是ω∈ Ohmi、她个人和系统上都有理由要求自己在分享市场损失中的股份在情景ω中保持中立∈ Ohm\\Ohmi、模型的规范选择在consequenceX：={X：Ohm → R} ，Xi：={X∈ X | X|Ohm\\Ohm我≡ 0}，i=1，2。多维证券市场的风险分担17举例来说，我们假设个人可接受性是根据情景损失约束确定的：让K∈ X和K∈ Xbe两个任意但固定的个体损失耐受向量。考虑风险度量区域：={X∈ X | X≤ K} ，S=跨度{1A，1B}，p（x1A+y1B）=x+y，A：={x∈ X | X≤ K} ，S=span{1B，1C}，p（x1B+y1C）=x+y。在分别实现a、B和C的一种情况下，（箭头指示）证券1A、1B和1C支付单位金额。目标是不超过损失公差和最低成本。4.1. 最优支付、帕累托最优和均衡的存在性。我们转向在上述设置中存在的最优分配。根据定义，多面体试剂系统满足（NSA）和（SUP）。由此产生的风险分担函数∧符合命题3.1（3）。通过3.3和3.4，如果可以建立A++ker（π）的封闭性，则可以证明Pareto最优分配的存在性。对于下面的引理，回想一下Fr'echet空间是一个完全可度量的局部对流向量空间。

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2022-6-10 20:13:06

特别地，每个Fr'echet晶格都是Fr'echet空间。引理4.3。设X是Fr'echet空间。（1） A子集C X是多面体当且仅当存在闭子空间X，X X确定X=X⊕ 十、尺寸（X）<∞, 对于多面体C′，C=X+C′ 十、（2）假设Y和X是Fr'echet空间，C Y是多面体，T:Y→ X是一个目标线性算子。那么T（C）在X上是多面体。证据（1）将[40，推论2.1]的证明与闭Gr ap h定理[26，定理5]相结合。（2）根据（1），有两个闭子空间Y，Y Y使得Y=Y⊕ Y、尺寸（Y）<∞,对于有限维子空间Y中的多面体C′，C=Y+C′。定义X：=T（Y），这是有限维的。Fr'echet空间的每个有限维子空间都由一个闭合的子空间来完成。因此X=X⊕ xf对于闭子空间X.显然，T（C′） Xis是多面体。此外，用γi:X表示→ xit线性子空间Xi上X的投影，T的满射意味着X=γ（X）=γ（T（Y））+γ（T（Y）=γ（T（Y））。此外，T（C）=T（Y）+T（C′）=X+γ（T（Y））+T（C′。γ（T（Y））是有限维空间Xa多面体的子空间，也是二维多面体的sumγ（T（Y））+T（C′）的子空间。以（1）结束。定理4.4。设（R，…，Rn）是Fr'echet晶格X上的多面体智能体系统。那么，集合A++ker（π）是真的、多面体的、闭的，∧是ls。c、，并且每X∈ dom（λ）加入最优payoff ZX∈ M、因此，可以如命题3.3所示，对其进行帕累托最优分配。证据根据假设（SUP），集合A++ker（π）是正确的。

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2022-6-10 20:13:09

此外，它是多面体：考虑Fr'echet s速度Y：=（Qni=1Xi）×ker（π）。根据假设，集合C：=（Qni=1Ai）×Y不是Fr'echet晶格，因此上述引理4.3.18与多维证券市场风险分担的必要性K（π）是多面体的，T:Y→ 由T（X，…，Xn，N）=Pni=1Xi+N定义的X为满射线性。由于X是一个Fr'echet空间，Lemm a 4.3（2）得到了T（C）=a++ker（π）的多面体。作为多面体，它会自动闭合。因为∧是正确的，所以它是l.s.c.并且每X存在最佳的支付∈ 位置3.4中的dom（λ）。定理4.4与命题3.5一起暗示了平衡的存在：推论4.5。如果Fr'echet晶格X上的多面体代理系统（R，…，Rn）满足（NR），则对于EVERY W∈Qni=1Xisuch that W+…+西尼罗河∈ int dom（λ）存在一个平衡点（X，φ）。4.2. 帕累托最优对应的下半连续性。在本节中，我们考虑对应的P映射X∈ dom（λ）到其帕累托最优分配X∈ AX。调用命题2.6，我们可以表示p（X）=（X∈ AX∧（X）=nXi=1ρi（Xi））。（4.1）有关通信（或集值映射）的术语和特性的简要总结，请参阅附录a.3。下面的定理断言，在温和的条件下，P是低流态连续的。定理4.6。假设对于多面体代理系统，市场空间X为有限维或Xi=X f或所有i∈ [n] 。那么对应关系P是dom（∧）上的下半连续，并且允许dom（∧）上的连续选择。它的证明需要以下高度技术性的引理4.7和4.8，它们的证明模仿了Baes等人的技术。注意，与定理4.4类似，A+是闭合的。引理4.7。如果Ai Xi，i∈ [n] ，是多面体接受集，X是有限维，对应关系Γ：A+ 十、→ AX∩Qni=1下半连续。证据

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2022-6-10 20:13:12

每个子空间XI也是多面体的。如定义4.1所示，对于每个i∈ [n] we FIXMI公司∈ N、一个正线性连续算子Ti:X→ Rmi、d向量βi∈ Rmi，suchthatAi={X∈ X | Ti（X）≤ βi}。步骤1：对于FIX ed x∈ A+我们将Γ（X）分解为一个通用分量和一个X依赖分量的和。回顾附录A.1，衰退锥Γ（X）由0+Γ（X）：={Y | 十、∈ Γ（X） k>0：X+kY∈ Γ（X）}。Γ（X）的线性空间为0+Γ（X）∩(-0+Γ（X））={Y∈ A | 我∈ [n] ：Ti（Yi）=0}，一个独立于X的子空间。根据lemma a.2，存在一个独立于X的子空间VQni=1Xisuch，即Γ（X）=α（X）+0+Γ（X），α（X）：=co（ext（Γ（X）∩ 五），其中co（·）表示凸包算子，ext（Γ（X）∩ 五） Γ（X）的极值点集∩ 五、多维证券市场的风险分担19步骤2：在这一步中，我们证明了对应的α：A+→Qni=1将边界集映射到边界集。为此，设D：=dim（X）=dim（X*) 并选择一个基ψ。。。，ψDof X*. 请注意，X∈ Γ（X）∩ V当且仅当，oX是X的分配，即ψj（X+…+Xn）=ψj（X）对于所有j∈ [D] ，或等效ψj（X+…+Xn）≤ ψj（X）和(-ψj）（X+…+Xn）≤ (-ψj）（X）；oAi中的每个西里，即Ti（Xi）≤ βi；o十、∈ 五、显然，上面列出的属性描述了一个多面体集；更准确地说，对于上面定义的m：=Pni=1mi+2D，我们可以找到一个连续线性算子S:V→ Rmand连续函数f:X→ Rm使得Γ（X）∩ V={X∈ V | S（X）≤ f（X）}。每一行Siof S对应一个V元素*. 根据[8，定理II.4.2]，对于每个极值点X∈ α（X）∩ 集合I（X）={I∈ [m] | Si（X）=fi（X）}，其中至少包含dim（V）元素，满足{Si | i∈ I（X）}=V*. 设F（X）：={I（X）| X∈外景（Γ（X）∩ 五） }是对应于一个极值点的所有此类I（X）的集合。

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