除了（4.1）定义的对应关系外，考虑以下三种对应关系：oΓ：dom（λ）M，X 7→ {Z∈ M | X- Z∈ A+，λ（X）=π（Z）}，由于A+和[6，定理5.11]的多面体，它在dom（λ）上是低连续的Γ：A+Qni=1Ai，X 7→ AX∩Qni=1Ai，分别由引理4.7和4.8下半连续Γ：MQni=1Si，Z 7→ AsZ，由引理A.5下半连续。应用[3，定理17.23]，Γ：dom（λ） x7→ Γ（{X}- Γ（X））+Γ（Γ（X））也是低流态连续的。事实上，Γ=P成立。要看到这个，让X∈ dom（λ）是任意的。Γ（{X}- Γ（X））+Γ（X）） P（X）来自命题3.3的证明。相反，让风险与多维证券市场共享21X∈ P（X）是任意的。选择Zi∈ 是的，我∈ [n] ，以便Xi- Zi公司∈ a和ρi（Xi）=π（Zi），在n=1的情况下，这可以通过定理4.4实现。设Z=Z+…+zn注意π（Z）=Pni=1pi（Zi）=Pni=1ρi（Xi）=∧（X），即Z∈ Γ（X）。此外，作为X- Z∈ Γ（X- Z） Γ（{X}- Γ（X）），仅保留音调X=（X- Z） +Z∈ Γ（{X}- Γ（X））+Γ（X））。建立了集合的等式。最后，dom（∧）是可度量的，因此是仿紧的；c、 f.[33]。此外，Xnis是一个Fr'echetspace，当P:dom（λ）Qni=1xi具有非空的闭凸值时，迈克尔选择定理[3，定理17.66]存在对P的连续选择。有人可能想知道对应关系e：Qni=1XiQni=1Xi×X*将初始损失结束值W映射到其所有平衡分配，使X∈ P（W+…+Wn）和φisa∧在W++在适当的条件下，命题3.5的证明是下半连续的。然而，事实并非如此。假设X包含两个正函数φ，ψ∈ 十、*+使得ker（φ）\\ker（ψ）6=. 我们假设n=1，并考虑代理系统R=（A，S，p），使得ρR（X）=max{φ（X），ψ（X）}，X∈ 十、

让W∈ Xφ（W）=0<ψ（W）。因此，对于所有n∈ N、 nw的平衡价格为ψ，而co的任何元素（{φ，ψ}）都可以选择为0的平衡价格。在这种情况下，E不是低流态连续的。4.3. 一个例子。我们通过展示如何在示例4.2的情况下计算帕累托最优解来结束本节。注意，对于x，y∈ R、 我们有- x1A型- y1B∈ A.<==> maxa公司∈AX（a）- K（a）≤ x和m axb∈BX（b）- K（b）≤ y、 因此，ρ（X）：=ρR（X）=maxa∈AX（a）- K（a）+最大值B∈BX（b）- K（b），X∈ 十、 它只需要有限的值。一个类似的计算显示sρ（X）：=ρR（X）=maxb∈BX（b）- K（b）+最大值C∈CX（c）- K（c），X∈ 十、 也只取有限的值。有人很容易证明（R，R）是一个多面体代理系统，它的代表代理由a+=a+a={X给出∈ X | X≤~K：=K+K}，M=跨度{1A，1B，1C}，π（x1A+y1B+z1C）=x+y+z，x，y，z∈ R、 进一步moreker（π）={Nx，y：=x1A- （x+y）1B+y1C | x，y∈ R} 。我们现在的目标是计算相关的风险分担函数∧和帕累托最优分配。为此，对于X∈ X，我们引入符号ρA（X）：=maxa∈AX（a）- K（a），ρB（X）：=最大值∈BX（b）-~K（b）和ρC（X）：=maxc∈CX（c）- K（c）。利用A+的特征，在e上获得A++ker（π）={X∈ X |ρB（X）≤ -ρA（X）- ρC（X）}。22多维证券市场的风险分担A直接计算收益率∧（X）=inf{r∈ R | X- r1B∈ A++ker（π）}=ρA（X）+ρB（X）+ρC（X）。请注意，X- ∧（X）1B- NρA（X），ρC（X）∈ A+，自（十）- ρA（X））1A+KB，（X- ρB（X）- K） 1B+（X- ρC（X））1C是X的分配- ∧（X）1B- NρA（X），ρC（X），其位于A×A中。对于每个ζ∈ R、 由X（ζ）=X1A+（K）给出的分配（X（ζ），X（ζ- ρA（X）+ζ∧（X））1和X（ζ）=（X- ρB（X）- ρC（X）- K- (ζ - 1） ∧（X））1B+X1Cis帕累托最优。最后，我们注意到X的最佳支付由ρA（X）1A+（λ（X）给出-ρA（X）- ρC（X））1B+ρC（X）1C∈ M、 5。

法律不变接受集在本节中，我们讨论法律不变接受集的风险分担问题。在整个过程中，我们确定了无原子概率的速度(Ohm, F、 P）。作者：L∞:= L∞(Ohm, F、 P）和L：=L(Ohm, F、 P）我们分别表示有界和P-可积随机变量等价类的s步。当具有通常的P-almostsure（a.s.）序及其自然范数k·k时，它们是Banach格∞: x7→ 在f{m>0 | P（| X |≤ m） =1}和k·k:X 7→ E[| X |]。随机变量之间出现的所有等式都是在a.s.意义上理解的。定义5.1。A子集C Lis P-律不变if X∈ C只要有Y∈ C在P下等于X，即两个Borel概率测度Po 十、-1和PoY-1 ON（R，B（R））同意。给定一个P-律不变s集 6=C Land s一些其他集合s 6=,a有趣的动作f:C→ 如果Po 十、-1=Po Y-1模板f（X）=f（Y）。5.1. 最优支付、帕累托最优和均衡的存在性。让我们指定设置。模型空间假设：通过本节，所有代理∈ [n] 在samemodel空间Xi=X上操作 可积随机变量等价类的估计。为清楚起见，我们将首先讨论最大情况下X=L的结果。在第5.3节中，结果将推广到一大类模型空间L∞ 十、 五十、 验收集：每个代理i∈ [n] 如果损失属于闭合P定律不变接受集Ai，则认为损失已充分资本化 l包含无风险支付，即∩ Ai6=. （5.1）由于L的对偶空间可以用L表示∞, 我们可以将各自的支持函数视为映射σAi:L∞→ (-∞, ∞], 问题7→ 苏比∈AiE【QY】；与多维证券市场的风险分担23c。f、 附录A.1。由于集合Ai的单调性，dom（σAi） L∞+持有。

读者可能会想到验收集，例如，由平均风险值（预期短缺）或失真风险度量产生的验收集。证券市场：关于证券市场，我们要求有一个线性函数π：M→ R在全局安全空间M上，使得单个定价函数由pi=π| Si，i给出∈ [n] ；代理商在（M，π）的不同子市场（Si，π| Si）上运营。特别是条件() 和（NSA）是令人满意的。此外，我们假设假设5.2。π的形状为π（Z）=pEQ[Z]，Z∈ M、 其中，p>0是固定常数，Q=QdP，Q∈ L∞+, 是一种概率度量，使得（1）Q=1，即Q=P，或（2）Q∈Tni=1dom（σAi）和d，对于所有0 6=N∈ M，使得EQ【N】=0存在sqn∈Tni=1dom（σAi），使得E[QNN]>0。我们对定价函数的假设非常灵活，如下面的示例5.14所示。假设5.2（2）意味着代理行对可接受性的观点在定价方面是风险规避的，并且具有非平凡方差和价格0的完全杠杆化证券N在所有数量上都不能被市场接受。回想一下引言，假设个人接受集具有法律不变性意味着接受与否是损失文件的一个统计特性。从数学上讲，这种直觉需要产生假设的物理度量P。例如，证券市场中的价格可以由合适的鞅度量Q决定。本节假设满足假设5.2。为了从命题3.4中推导出最优支付和帕累托最优分配的存在性，在X=L的情况下，∧的性质和A++ker（π）的封闭性必须倾斜。在第一步中，我们描述了凸律不变集C的衰退锥0+C，这也是相关的。

关于衰退锥的定义，我们参考附录a.1。提案5.3。Su-ppose公司 6=C（Lis定律不变量，凸，闭。然后0+C是law不变量。如果C不符合集合{X∈ L | c-≤ E[X]≤ c+}其中-∞ ≤ c-≤ c类+≤ ∞, 然后U∈ 0+C和E[U]=0表示U=0。证据由于C是范数闭的和凸的，Hahn-Banach分离定理给出了表达式C={X∈ L | Q∈ d om（σC）：E[QX]≤ σC（Q）}，其中σ是C的支持函数。众所周知，dom（σC）是L中的一个定律不变的闭凸锥∞. dom（σC）结合引理A.1的定律不变性表明衰退锥0+C也是定律不变性的。因此，对于任何U∈ 0+C，Q∈ dom（σC）和次σ代数H F、 我们有∈ 0+C和E[Q | H]∈ dom（σC）。（5.2）24多维证券市场的风险分担假设C不等于某种类型{X∈ L | c-≤ E[X]≤ c+}。然后有一个非常数Q∈ dom（σC）。进一步假设U∈ 0+C不是常数。作为(Ohm, F、 P）isnon-atomic，表示k≥ 2足够大，有一个有限的可测量分区∏：=（a，…，Ak）Ohm 假设P（Aj）=k，j∈ [k] ，和U*= E[U |σ（∏）]=Pki=1 IAI和Q*= E[Q |σ（∏）]=Pki=1q都是非常数。对于任何置换τ：[k]→ [k] 随机变量u*τ： =Pki=1uτ（i）ai在P下的分布与U相同*, U*τ∈ 0+C以下。类似地，Q*τ： =Pki=1qτ（i）Ai∈ dom（σC）。对于我们的论证，我们将在不损失一般性的情况下，假设向量u和q满足u≤ ... ≤ 英国和q≤ ... ≤ qk。在这两条等式链中，至少有一条等式必须严格。我们估计E[Q]E[U]=E[Q*]E【U】*] =kkXi=1qi·kkXi=1ui<kkXi=1qiui=E[Q*U*] ≤ 0，其中第一个严格不等式是由于切比雪夫的um不等式[25，定理43]和U和q是非常数，最后一个不等式是由于U*∈ 0+C，Q*∈ dom（σC），andLemma A.1。

因此，E[U]=0是不可能的。为了将接受命题应用于接受集，请注意它们的形状为{X∈ L | c-≤ E[X]≤ c+}当且仅当，-∞ = c-< c+<∞. 我们还需要恒等式或共单调函数的单调划分的概念，即集合中的函数：={f=（f，…，fn）：R→ Rn | finon递减，Pni=1fi=idR}。对于γ>0，我们设置Cγ：={f∈ C | f（0）∈ [-γ、 γ]n}。很容易验证f∈ C安迪∈ [n] 坐标函数fi是Lipschitz连续的，Lips chitz常数为1。从[22，引理B.1]中，我们回顾了以下紧致性结果：引理5.4。对于每个γ>0，Cγ （Rn）Ris在逐点收敛拓扑中的序列紧性。提案5.5。在本节的假设下，A++ker（π）是L的一个闭的和适当的子集，∧是适当的和L.s.c.证明。个人接受集可用于确定P定律不变的l.s.c.基本风险度量ξibyξi（X）：=inf{m∈ R | X- m级∈ 哎}∈ (-∞, ∞], 十、∈ 五十、 By（5.1），ξi（Y）∈ R对所有有界随机变量Y都成立∈ L∞. 回想一下，我们设置lc（f）：={s∈ S | f（S）≤ c} 对于函数f:S→ [-∞, ∞] 和c级∈ R、 对于c，恒等式c（ξi）=c+Ai∈ R很容易验证。风险度量ξiadmit a dual representationξi（X）=supQ∈dom（ξ*i） E[QX]- ξ*i（Q），X∈ 五十、 （5.3）也就是说，集合是成对不相交的，可度量的，它们的并集是Ohm.与多维证券市场的风险分担25，其中现金可加性意味着dom（ξ*（一） {Q∈ （L）∞)+| E[Q]=1}和ξ*i（Q）=σAi（Q），Q∈ dom（ξ*i） 。（5.4）此外，最终卷积ξ：=ni=1ξi>-∞ 是Las-well和ξ上的P-律不变货币风险测度*=Pni=1ξ*iby引理A.4。现在，根据[22，推论2.7]，ξisl。s、 c.和每个X∈ dom（ξ）有f∈ C求ξ（X）=nXi=1ξi（fi（X））。（5.5）假设现在X∈ Lsatiesξ（X）≤ 0，设f如（5.5）所示。

就我而言∈ [n] 我们可以选择∈ ξi（fi（X）处的R这样的th- ci）=ξi（fi（X））- ci公司≤ 0和PNI=1ci=0。如果gi：=fi- ci，gi（X）∈ L（ξi）=Ai，i∈ [n] 。因此，X=Pni=1gi（X）∈Pni=1Ai=A+。我们得到了l（ξ）=A+。当ξ为l.s.c时，左侧s et（因此也是右侧集合）为范数闭合。如果假设5.2（1）成立，即π（·）=pE[·]，根据命题5.3，0+A+∩K（π）={0}或A+=Lc（E[·]）表示s ome c∈ R、 在后一种情况下，0+A+∩ker（π）=ker（π）也是一个子空间。根据Dieudonn\'e定理[39，定理1.1.8]，A++ker（π）是闭合的。假设假设假设5.2（2）成立。对于N∈ 0+A+∩ ker（π）我们的等式[N]=0。如果N 6=0，根据假设和（5.4），存在QN∈ dom（ξ*) 这样E[QNN]>0。因此，引理A.1包含0+A+∩ ker（π）={0}。同样，Dieudonn\'e定理得出了A++ker（π）的贴近度。对于∧的适当性，设X∈ Lbe任意。假设Z∈ M等于X- Z∈ A+，即ξ（X- Z）≤ 如果p>0且Q<< 根据假设5.2选择P，我们从（5.4）0推断≥ 公式[X- Z]- ξ*（Q） =等式[X]- ξ*（Q）-pπ（Z），表示π（Z）≥ p（等式【X】- ξ*（Q） ）>-∞. 适当性遵循命题3.1（2）中给出的∧表示。∧的下半连续性是命题3.4的结果。我们准备证明帕累托最优分配的存在性。定理5.6。根据本节的假设，所有X∈ dom（λ）允许一个最优payofff ZX∈ M、 特别是对于任何X∈ dom（λ），存在一个P areto最优分配x的shapeXi=Ai- Ni+λ（X）Ui，Ai：=fi（X- ∧（X）U+N）∈ 哎，我∈ [n] ，（5.6）其中Ui∈ 硅∩ L++是这样的：U：=Pni=1 Isatis fiesπ（U）=1，N∈ ker（π）是依赖于anX的零成本全局安全，N∈ AsNis任意和f∈ C与X相关。证据根据位置5.5，∧是正确的，A++ker（π）是闭合的。根据命题3.4，每X∈ d om（λ）承认了一个最优的支付函数，因此根据命题3.3，这是一个帕累托最优配置。

对于ZX的具体形状和帕累托最优配置，letU∈Qni=1如断言中所示。在命题5.5的证明中，我们可以发现f∈ C26与多维证券市场的风险分担- ZX）∈ 哎，我∈ [n] 。当π（ZX）=∧（X），N：=∧（X）U- ZX公司∈ ker（π）。Forany N公司∈ AsNwe有ZX：=∧（X）U- N∈ AsZX。根据命题3.3，f（X- ZX）+ZX=f（X- ∧（X）U+N）+∧（X）U- 具有f（X）的X的Pareto最优分配- ∧（X）U+N）∈Qni=1Ai。备注5.7。如果n=1，∧=ρRand定理5.6实际上解决了文献[6]中研究的最优支付问题。我们现在开始注意平衡的存在。命题3.5与定理5.6共同证明了定理5.8。在定理5.6的情况下，假设代理系统检查（NR）。然后每W∈ （五十） 确保W=Pni=1Wi∈ int dom（λ）有一个等式（X，φ）。在dom（λ）的内部寻找元素通常要求所涉及的风险度量具有更强的连续性，这是研究第5.3节中一般模型空间上的风险分担问题的一个重要动机，该问题以更强的拓扑thank·k结尾∈ 五十、 诀窍是找到一个合适的模型空间（X，k·k），使得∈ intk·kdom（λ| X）；例如，参见[14、28、30、35]。5.2. 帕累托最优解的上半连续性和均衡分配。作者：Lemma。5连续选择ψ：M→Qni=1Siof M Z 7→ AsZ公司。因此，对应bp:L（L）N将X映射到形状（5.6）的帕累托最优分配，另外，N的安全分配∈ kere（π）由ψ（N）给出，dom（λ）上的非空值由T heorem 5.6给出。虽然并非所有的帕累托最优分配都是X∈ dom（λ）是bP（X）的元素，bP在∧域的内部具有上半连续的优势。定理5.9。

在定理5.6的情况下，假设A+与level se ts{X中的一个不一致∈ L | E[X]≤ c} ，c∈ R、 然后BP在e非常连续点X上半连续∈ λ的dom（λ），更确切地说，在int dom（λ）上。证据我们从任意序列（Xk）k开始∈N 收敛到X的int dom（λ）∈ int dom（λ）。对于所有k∈ N设Xk=（Xki）i∈[n]∈bP（Xk）。根据附录A.3，足以证明存在子序列（kλ）λ∈Nand an分配X∈bP（X）使得Xkλ→ λ的X坐标→ ∞. 为此，我们不回顾Xk，k的构造∈ N： 有序列（Nk）k∈N ker（π）和（fk）k∈N C使得oAki：=fki（Xk- ∧（Xk）U+Nk）∈ 哎，我∈ [n] ；oXk=Ak+λ（Xk）U- Nk，其中Nk=ψ（Nk）。回想一下，（5.6）中的N可以任意选择。与多维证券市场的风险分担27我们将分三步建立（Nk）k∈Nand（fk）k∈Nlie在合适的相对顺序紧集中，这将允许我们选择收敛的子序列。首先，由于∧在int dom（∧）上由[16，推论2.5]连续，（Xk-∧（Xk）U）k∈Nis是一个边界序列。第二步是证明（Nk）k∈Nis也是一个范数有界序列。我们假设矛盾，我们可以选择一个子序列（kλ）λ∈确认1≤ kNkλk↑ ∞. 利用单位球面在有限维空间ker（π）中的紧性，并可能传递到另一个子序列，我们可以进一步假设kNkλkNkλ→ N*∈ ker（π）\\{0}，λ→ ∞,让Y∈ A+可以任意，并注意y+N*= limλ→∞(1 - kNkλk-1） Y+kNkλk-1.Xkλ- ∧（Xkλ）U+Nkλ∈ A+，因为后一个集合是闭的和凸的，序列Xkλ- ∧（Xkλ）Uλ∈Nis范数有界。因此，N*∈ 0+A+∩ ker（π），这在假设5.2和建议5.3中是微不足道的，导致了期望的矛盾。

（Nk）k∈Nhas有界且{Nk | k∈ N} ker（π）相对（顺序）紧致于后一个空间的有限维数。在第三步中，我们建立了{fk | k的相对序列紧性∈ N} 。为此，回顾第5.5号提案p部分中货币风险度量ξiI的定义。Weassert thatξ*i（1）<∞ 所有人都喜欢我∈ [n] 。实际上，对偶共轭ξ*iis定律不变量函数和扩张单调：对于所有Q∈ L∞每一个子σ-代数H F、 我们有ξ*i（E[Q | H]）≤ ξ*i（Q）。通过选择H：={, Ohm}, ξ*i（1）=infQ∈dom（ξ*i） ξ*（Q） =-ξi（0）∈ R继续。现在fixk∈ N，设I：={I∈ [n] | fki（0）>0}和J：=[n]\\I.如果I为空，则fki（0）=0必须对所有I保持不变∈ [n] 。现在假设我们可以选择我∈ 一、 We缩写wk：=Xk- ∧（Xk）U+Nkand估计-E[|周|]≤ -E[| fki（W）- fki（0）|]≤ E【fki（周）- fki（0）]≤ ξi（fki（Wk））+ξ*一（1）- fki（0）≤ ξ*一（1）- fki（0），其中我们使用Aki=fki（Wk）∈ 人工智能。因此我∈ I：| fki（0）|≤ ξ*i（1）+kWkk。（5.7）如果j∈ J、 我们从需求fk+…+fkn=idR | fkj（0）|=-fkj（0）≤ -xi∈肯尼迪（0）=Xi∈Ifki（0）≤xi∈[n] ξ*i（1）+nkWkk=：γk。因此，fk∈ Cγk。由于结合γk仅以Kwkk表示，Kwkk由第一步和第二步统一结合在k上，γ：=supk∈Nγk<∞ 和（fk）k∈N Cγ。在传递到子序列两次后，我们可以找到子序列（kλ）λ∈n确保oker（π） N：=limλ→∞Nkλ存在，因此ψ（Nkλ）→ ψ（N）表示λ→ ∞.28与多维证券市场的风险共担o适合f∈ Cγ它认为maxi∈[n] | fkλ- f |→ λ的逐点0→ ∞, c、 引理5.4。这有待证明fi（X- ∧（X）U+N）+∧（X）Ui+ψ（N）i我∈[n]∈bP（X），这是初始选择的帕累托最优分配子序列的极限。为此，我们设置A：=f（X- ∧（X）U+N）和g（kλ）i：=f（kλ）i- f（kλ）i（0）。

P-a.s.，估算艾岛- Akλi≤（gi- gkλi）（X- ∧（X）U+N）+fkλi（X- ∧（X）U+N）- fkλi（Xkλ- ∧（Xkλ）U+Nkλ）+fi（0）- fkλi（0）（5.8）保持。λ的第三项消失→ ∞. 由于支配收敛，第一个tirm在范数中消失。根据估算fkλi（X- ∧（X）U+N）- fkλi（Xkλ- ∧（Xkλ）U+Nkλ）≤十、- Xkλ- （λ（X）- ∧（Xkλ））U+N- Nkλ,我们发现第二项也在范数中消失了。设置N：=ψ（N）。ρi的下半连续性-来自定理5.6，适用于n=1-yieldsnXi=1ρi（Ai+∧（X）Ui- Ni）≤ lim infλ→∞nXi=1ρi（Akλi+∧（Xkλ）Ui- Nkλi）=lim infλ→∞∧（Xkλ）=∧（X）。对∧的定义最终得出该不等式实际上是一个等式，即nXi=1ρi（Ai+∧（X）Ui- Ni）=∧（X）。证明了（Ai＋∧（X）Ui- Ni）i∈[n]∈bP（X）和更高的半连续性，c.f.附录A.3。同样的证明适用于X∈ dom（λ）使得∧在X处是连续的。5.3. 常规模型空间。本节的目的是证明，假设代理在空间X=L上操作，并不限制定理5.6和5.9以及推论5.8的一般性。实际上，X可以被选择为LW内的任何定律不变理想，关于P-a.s.阶，属于以下两类之一：（BC）有界情形：X=L∞配备supr emum norm k·k∞.（UC）无界情况：L∞ 十、 Lis是一个P-律不变Banach格，赋以一个阶连续律不变格范数k·k。由于X是一个超Dedekind完备Riesz空间，这意味着当Xn↓ 0顺序，kXnk↓ 0也适用。多维证券市场的风险分担29在无界情况下，可以证明身份嵌入∞→ X→ 大连续，即存在常数κ，K>0，使得kXk≤ κkXk∞和kY k≤ KkY kholds适用于所有X∈ L∞还有Y∈ 十、

此外，对于所有φ∈ 十、*有一个独特的Q∈ 那么QX∈ Landφ（X）=所有X的E[QX]h old∈ 十、读者可能会想到这里的lp空间，1<p<∞, 或者更普遍地说，Orlicz心脏配备了卢森堡标准，例如[13、14、24]。以下扩展结果对于这种推广至关重要：引理5.10。设R：=（A，S，p）是Banach晶格X满意（BC）或（UC）上的风险度量制度。假设A是k·k-闭的，定律不变且满足A∩R 6=,p（Z）=E[QZ]f或某些Q∈ dom（σA）∩ L∞. 如果我们设置B：=clk·k（A），R：=（B，S，p）isa陆地风险度量制度ρR | X=ρR.Proof。作为Q∈ dom（σA）∩ L∞, σB（Q）=supY∈BE【QY】=σA（Q）成立，σB（Q）<∞. 为了验证（2.1）假设X∈ 土地Z∈ S是这样的X+Z∈ B、 然后p（Z）=E[QZ]=E[Q（X+Z）]- E[QX]≤ σB（Q）- E【QX】<∞.R是L上的风险度量制度。对于恒等式ρR | X=ρR，必须显示a=B∩ 十、集合A∩ L∞根据假设和σ（L）不为空∞, L∞)-由[34，引理1.3]闭合。这就解决了案件（BC）。如果是（UC），则为∈ A、 根据[11，命题2和4（2）]，有一个序列ce（πn）n∈Nof有限可测量分区∏NofOhm 这样的话∩L∞ E[X |σ（πn）]→ 标准值为X。我们推断A=clk·k（A∩L∞). 与σ（L）一起∞, L∞)A的封闭性∩ L∞, 我们得到A是σ（X，L∞)-关闭A=B∩ X紧随其后。根据前面的引理，我们将假设o每个单独的接受集Ai X是闭合的，定律不变且满足Ai∩R 6=;o 证券市场（Si，pi）同意假设5.2。对于f∈ C、 我∈ [n] 和X∈ fiyields的X，1-Lipschitz连续性| fi（X）|≤ |X |+| fi（0）|∈ XP-a.s.因为X是id eal，fi（X）∈ X也适用；因此，f（X） Xn，如果我们插入X∈ Xin（5.6），由此得出的帕累托最优分配位于xn，因为U，N∈ Xnas Si 所有i的X∈ [n] 。定理5.11。

设X是满足（BC）或（UC）的Banach格，并假设agentsystem（R，…，Rn）如所述。然后，命题5.5、定理5.6和5.9以及推论5.8在X代替Land k·k代替k·k证明时一字不差地成立。Let Ridenote对Lemma5.10中Rito Las风险度量制度的扩展。将定理5.6应用于ρR。。。，ρRnand X∈ X获得定理5.6和推论5.8的一般版本。这与命题3.4一起概括了命题5.5。定理5.9的证明只需要在（5.7）和（5.8）中修改。我们可以在第一种情况下用KWKBY KkWkk代替KWKK，在第二种情况下使用k·k的顺序连续性。对于平衡对应的上半连续性的最终定理，回想一下有限风险度量ρR:L∞→ 风险计量制度产生的风险∞is30如果ρR（Xn），则与多维证券市场的风险分担从上到下连续↓ ρR（X）每当（Xn）n∈N L∞和X∈ L∞A如此Xn↓ X a.s.定理5.12。假设（NR）是满足的，如果（BC）ρ从上面连续，而如果（UC）X是反的。进一步假设A+与水平集Lc（E[·]）不一致，并考虑对应关系E:XnXn×X*映射W到shapeXi=Yi+φ（Wi）的平衡分配（X，φ- Yi）φ（~Z）~Z，i∈ [n] ，其中Y∈bP（W+…+Wn），~Z∈ˇS，π（~Z）6=0，φ是∧atW+…+的次梯度Wn。那么E在那个工作中是上半连续的→ W∈Qni=1int dom（ρi），k→ ∞, 和（Xk，φk）∈ E（Wk）意味着子序列（kλ）λ的存在∈Nsuch that（X，φ）：=limλ→∞（Xkλ，φkλ）∈ E（W）。证据设W：=Pni=1Wi∈ int dom（λ）。根据命题3.5的证明，我们推断，实际上，every（X，φ）∈ E（W）是W的平衡。

对于上半连续性，我们应首先确定近似序列的平衡值位于对偶X中的一个依次相对紧的集合中*. 因此，我们将证明存在ε>0，常数c依赖于W，因此，给定任何X∈ X带kX-W k公司≤ ε和∧在X上的任何次梯度φ，它保持kφk*≤ 坎德∧*（φ） =Pni=1ρ*i（φ）≤ c、 正如我们将在后面详细说明的那样，这些边界意味着∧的所有次梯度都位于aσ（X）中*, X）-序列紧集。为了证明这个断言，int dom（∧）上∧的连续性（[16，推论2.5]）允许我们选择ε>0，这样∧（W+Y）- ∧（W）|≤ 1 kY k时≤ 2ε. 现在让δ>0等于δε+δkW k≤ ε和fix x，使得kX- W k公司≤ ε和∧在X处的次梯度φ。此外，假设Y∈ X是这样的kY k≤ 1、我们从次梯度不等式∧（X）+εφ（Y）得到≤ ∧（X+εY）≤ ∧（W）+1。重新排列这个不等式yieldskφk*= 超级k≤1φ（Y）≤∧（W）+1- ∧（X）ε≤ε=：c。此外，∧（X）=φ（X）- Λ*（φ） =1+δ（φ（（1+δ）X）- Λ*(φ)) -δ1 + δΛ*(φ)≤1+Δ∧（（1+δ）X）-δ1 + δΛ*(φ).通过重新排列这个不等式，我们得到nxi=1ρ*i（φ）=∧*(φ) ≤Δ∧（（1+δ）X）+1+Δ∧（X）≤2 + δδ- ∧（W）=：c，与多维证券市场的风险分担31，其中我们使用了k（1+δ）X- W k公司≤ 从δ的选择中选择2ε。现在考虑序列（Wk）k∈NQni=1输入dom（ρi），使Wki→ Wi，k→ ∞, 保持所有i∈ [n] 。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Wk：=Wk+…+W周围半径为ε的球中的Wknlies。对于每个k∈ N假设（Xk，φk）∈ E（周），k∈ N、 WesetXki=Yki+φk（Wki- Yki）φ（~Z）~Z，i∈ [n] 。作为Yk∈bP（Wk）和Wk→ W，k→ ∞, 我们可以假设，在传递到子序列之后，Yk→ Y∈bP（W）根据定理5.9。现在我们将选择一个收敛的子序列（φk）k∈N

在案例（BC）中，我们从[28，命题3.1（iii）]和引理A.4得出结论，dom（λ*)  dom（ρ*)  五十、 这意味着∧的所有次梯度ψ对于唯一的“Q”，其sh apeψ=E[“Q·]∈ L+。因此，对于唯一的Qk，平衡价格由φk=E[Qk·]给出∈ L(Ohm, F、 P）+。此外，σ（L，L）中的所有次梯度Qklie∞)-紧集Lc（ρ*). 我们可以调用EberleinˇSmulian定理[3，定理6.34]来找到子序列（kλ）λ∈确保Qkλ→ Q∈ l弱，或等效φkλ→ φ=E[Q·]inσ（X*, X）。在（UC）情况下，X的反射性、Banach-Alaoglu定理和上述边界意味着序列相对紧集Γ的存在，使得φ∈ Γ无论何时kX- W k公司≤ ε和φ是X处∧的半径。因此存在σ（X*, X）-收敛子序列（φkλ）λ∈N、 因此，在这两种情况下，φkλ（Wkλi- Ykλi）→ φ（Wi- Yi），λ→ ∞.还有待证明φ是W处∧的次梯度。但作为∧*为弱*l.s.c.和φkλ（Wkλ）→ φ（W），我们得到∧（W）=lim supλ→∞φkλ（Wkλ）- Λ*（φkλ）=φ（W）- lim infλ→∞Λ*（φkλ）≤ φ（W）- Λ*（φ） ，这意味着th at，必然∧（W）=φ（W）- Λ*（φ） dφ是W处∧的次梯度。5.4. 示例。最后，我们给出两个例子。示例5.13。我们考虑模型空间X：=Lon，其中两个代理按照熵风险度量给出的可接受性标准进行操作。更准确地说，我们选择0<β≤ γ任意和定义：={X∈ L |ξβ（X）≤ 0}，A：={X∈ L |ξγ（X）≤ 0}，其中，对于α>0，ξα（X）：=αlogE[EαX], 十、∈ 五十、 众所周知，c.f.[22，示例2.9]，ξ：=ξβξγ= ξβγβ+γ.可以表明，对于任何大于0的α，L（ξα）的方向集由0+L（ξα）=-L+。任意概率测度Q≈ P具有有界Radon-Nikodym导数Q，涉及多维证券市场的32个风险分担SP，因此满足假设5.2，可以用作证券的定价度量，即。

定价函数由pi=pEQ[·]、Q给出<< P如上所述，P>0固定。此外，我们选择∈ F使得Q（A）=和S=M=跨度{1A，1Ac}，和S=R·1A。鉴于这些规范，（R，R）是一个代理系统。注意，ker（π）={Nr：=r1A- r1Ac | r∈ R} 。为了简洁起见，我们现在将描述A++ker（π）并设置α：=βγβ+γ。给定A+，X的特征- Nr编号∈ A+if且仅当E[EαXA]·E[EαXAc]≤, 因此，有一个解决方案r∈ R至0≥α对数E[Eα（X-Nr）]=α对数e-αrE[eαXA]+eαrE[eαXAc].现在，对于任意X∈ dom（λ）=dom（ξα），我们注意到∧（X）=inf{π（r1）| r∈ R、 X个- r1级∈ A++ker（π）}=inf卢比r∈ R、 e类-αrE[eαXA]·e[eαXAc]≤=pαlog E[EαXA]+log E[EαXAc]+2 log（2）.此后，我们选择解决方案r*ofe公司-αrE[eα（X-∧（X））A]+eαrE[eα（X-∧（X））Ac]=1，例如r*:= log2E[eα（X-∧（X））A]p1- 4E[eα（X-∧（X））A]·E[Eα（X-∧（X））Ac]+1！。使用[22，Examp le 2.9]的结果，（γβ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*),ββ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*)) ∈A×A。因此，以下是X的帕累托最优分配：γβ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*) + ∧（X）1+个*,ββ+γ（X- ∧（X）1- Nr编号*)示例5.14。这里，我们选择模型空间X=L∞并说明了两个接受集不如示例5.13中相似的代理的帕累托最优分配的存在性。为此，我们确定了两个参数β∈ （0，1）和γ>0，并假设代理1的可接受性基于风险平均值，即A={X∈ L∞| ξ（X）：=AVaRβ（X）≤ 0}={X∈ L∞|  Q∈ Q：等式【X】≤ 0}，其中Q={Q=QdP | 0≤ Q≤1.-βP-a.s.，E[Q]=1}。

如例5.13所示，代理2的接受集由熵风险度量给出，即A：={X∈ L∞| ξ（X）：=γ对数E[EγX]≤ 0}.对偶共轭ξ*ξα的α由aq的相对熵给出<< P相对于P，P在任何时候都是有限的∈ L∞.多维证券市场的风险分担33By【23，示例4.34和定理4.52】，A+=A+Ais的支持函数由σA+（Q）=σA（Q）+σA（Q）=（γH（Q | P）给出，如果Q：=QdP∈ Q∞ 否则，Q∈ L∞,式中，H（Q | P）：=EQ[log（dQdP）]表示Q的相对熵，与P.S uppose有关。对于一些∈ F带P（A）∈(0, 1 - β). 作为定价标准，我们选择任意Q*∈ Q哪个满意Q∈QQ（A）<Q*（A） <最大值∈QQ（A）=P（A）1- β. （5.9）作为定价规则，我们设定pi：=等式*[·]，i=1，2，结果inker（π）=span{N：=1A- r*Ac}，r*=Q*（A） 1个- Q*（A） 。由于（5.9）满足假设5.2。让X∈ L∞是任何累计损失。利用[20，定理3]，我们得到了对偶表示∧（X）=maxQ∈eQEQ【X】-γH（Q | P），其中eq={Q∈ Q | Q（A）=Q*（A） }。现在，我们将计算正确的比例因子s∈ R如X所示- ∧（X）- 序号∈ A+。这是当且仅当，我们对所有Q∈ Q\\eQEQ【X】-γH（Q | P）- ∧（X）≤ 序号【N】。我们获得≥ supQ公司∈Q\\eQ:Q（A）>Q*（A） 等式[X]-γH（Q | P）+∧（X）EQ[N]≤ infQ公司∈Q\\eQ:Q（A）<Q*（A） γH（Q | P）+∧（X）-EQ[X]| EQ[N]|，边界描述了一个先验的非空区间。选择任意s*在此时间间隔内。结合【27，提案3.2和第3.5节】，我们得出（十）- ∧（X）- s*N- ζ） +，（X- ∧（X）- s*N）∧ ζ∈ A×A.适用于适当的ζ∈ R、 因此（X，X）由X（ζ）=（X）给出- ∧（X）- s*N- ζ)+- s*r*Ac+λ（X）和X（ζ）=（X- ∧（X）- s*N）∧ ζ+s*Ais是多维证券市场X.34风险分担的帕累托最优配置6。最优投资组合分割在本节中，我们研究最优投资组合分割的存在性。

为了彻底讨论这个问题，我们参考了Tsanakas【36】，尽管我们考虑的问题与toWang【37】非常相似。金融机构持有的投资组合产生未来损失W。为了分散W带来的风险，可考虑将投资组合划分为n个子组合X。。。，Xn公司∈ X，X+…+Xn=W，并将这些子手册转让给不同的法律实体，例如在潜在的不同监管制度下运作的子附属机构。据Tsanakas观察，对于凸的但非正同质的风险度量，在没有交易成本等市场摩擦的情况下，引入更多子公司通常可以任意引入风险，因此，没有动机停止这种拆分过程。然而，由于n可以任意大，在这种情况下不应忽视交易成本，我们将研究在市场摩擦下发现成本最优投资组合分割的问题。更准确地说，我们将子公司建模为f族（ρi）i∈Fr'echet格（X，, τ） –需要ρ*我≥ 0代表所有i∈ N–相关风险度量制度（Ri）i∈Nch检查有限保障能力（SUP∞): 作为其中一家母公司，假设每n∈N、 子系集（ρi）i∈[n] 形成一个令人满意的代理系统（SUP）似乎很自然。让我们进一步c:N→ [0, ∞) 是一个成本递减函数。引进子公司的交易成本i∈ [n] c（n）给出了在其中拆分投资组合的公式。条件限制→∞c（n）=∞ 防止内部拆分。

最后引入∧n（X）：=infX∈AXPni=1ρi（Xi），X∈ 通常的风险分担函数与（R，…，Rn）相关。请注意，对于所有X∈ X，n∈ N、 每X∈ xn当Pni=1Xi=X时，估计Pni=1ρi（Xi）=Pni=1ρi（Xi）+ρn+1（0）≥ ∧n+1（X）h olds，其中包含∧n（X）≥ ∧n+1（X），n∈ N、 在此设置中，如果每个∧nis精确于dom（∧N），则存在最优投资组合拆分：定理6.1。假设（Ri）i∈Nis是Fr'Echettice X上的一系列风险度量制度，用于检查（SUP∞) 并使所有ρi归一化。此外，对于所有n，假设∧nis在dom（∧n）上精确∈ N和let W∈对于某些m，Pmi=1dom（ρi）∈ N、 然后是（N*, 十、Xn公司*), 其中n*∈ N和X+…+Xn公司*= W是Nxi=1ρi（Xi）+c（n）的解→ 最小值受限于X+…+Xn=W，n∈ N、 （6.1）证明。注意（SUP∞) 可以重写为 φ∈∞\\i=1dom（ρ*i） :∞Xi=1ρ*i（φ）<∞. （6.2）让m*:= 最小{m∈ N∧m（W）<∞} = 最小{m∈ N | W∈Pmi=1dom（ρi）}<∞. 通过（6.2），我们得到∧n（W）≥ φ（W）-P∞i=1ρ*i（φ）>-∞ 适用于所有n≥ m级*. 因此，∧n（W）+c（n）=∞每当n<m时*andlim信息→∞∧n（W）+c（n）≥ φ（W）-∞Xi=1ρ*i（φ）+limn→∞c（n）=∞.与多维证券市场风险共担35因此，我们可以发现*∈ N使得∧N*（W）+c（n*) = infn公司∈N∧N（W）+c（N）∈ R、 现在选择一个可实现的分配X∈ Xn公司*X的∧n*（十） =Pn*i=1ρi（Xi），以获得（6.1）的解。推论6.2。假设（Ri）i∈Nis是Fr'Echettice X上的一系列风险度量制度，使得所有ρi均归一化。那么，定理6.1的断言在以下两个条件下成立：（1）风险度量（ρ，…，ρn）符合定理5.11 f或每个n∈ N和定价函数由pi=pEQ[·]| sif给出，对于p>0和概率测度q<< P带su pY∈AiEQ[Y]≤ 0，i∈ N、 特别是，Q=P.（2）（补充∞) 已满足要求，并且对于每个n∈ N、 （R，…，Rn）是一个多面体智能体系统。证据

（1） 设Q=QdP，Q∈ L∞+, 如断言中所述。让我∈ 任意选择并回顾命题5.3证明中现金附加风险度量ξ的定义。按（5.4），ξ*i（Q）≤ 定理5.11在n=1 y的情况下，每个X∈ dom（ρi）加入最优payofff ZX∈ Si，即X- ZX公司∈ Aiand pEQ[ZX]=π（ZX）=ρi（X）。因此，ρ*i（pQ）=supX∈dom（ρi）pEQ[X]- ρi（X）=supX∈dom（ρi）pEQ[X- ZX]≤ pξ*i（Q）≤ 相反，当ρiis归一化时，我们得到ρ*i（pQ）≥ 因此，（SUP∞) h olds和φin（6.2）可选择为φ=pEQ[·]。在定理5.9的证明中，ξ*一（1）≤ 0保留所有i∈ N、 （6.1）在（1）下的可解性来自定理5.11和6.1。（2） 根据定理4.4∧nis，dom（∧n）上每n∧nis精确∈ N附录A.技术补充。1、凸x集的几何。固定局部凸Hausdor ff拓扑Riesz空间（X，, τ） 带双空格X*. C的支持函数是f函数σC:X*→ (-∞, ∞], φ 7→ 苏比∈Cφ（Y）。C的衰退锥是集合+C：={U∈ X | Y∈ C k≥ 0：Y+kU∈ C} 。当且仅当Y+U时，向量U位于0+C∈ C代表f或所有Y∈ C、 U称为C的方向。C的线性空间是向量空间lin（C）：=0+C∩ (-0+C）。在接受s et A的情况下，单调性意味着dom（σA） 十、*+. 如果C是闭的，则Hahn-Banach分离定理表明C={Y∈ X | φ ∈ dom（σC）：φ（Y）≤ σC（φ）}。将此身份与衰退锥的定义和线性度空间yieldsLemma A.1相结合。如果是C X是闭的和凸的，J dom（σC）是C={X∈ X | φ ∈ J：φ（X）≤ σC（φ）}，36与多维证券市场的风险分担n+C=\\φ∈JL（φ）={U∈ X | φ ∈ J：φ（U）≤ 0}和lin（A）=\\φ∈Jker（φ）最后，我们给出了闭凸集合到有限维空间的分解结果。

它来自于[8，引理II.16.2和II.16.3]证明中的论点。引理A.2。让C Rdbe凸且闭且V：=lin（C）⊥. 如果外部（C∩ 五） 表示C的极值点集∩ V和co（·）是凸包算子，C可以写成asC=co（ext（C∩ 五） ）+0+C.A.2。非理想卷积。让（X，) 是一个Riesz空间，假设函数gi:X→ (-∞, ∞], 我∈ [n] ，给出了。g的弱卷积或epi和。。。，gnis功能ni=1gi:X→ [- ∞ , ∞], x7→ inf{Pni=1gi（Xi）| X，…，Xn∈ X，Pni=1Xi=X}。据说卷积在X处是精确的∈ 如果有X。。。，Xn公司∈ X，其中Pni=1Xi=xSoch thatnXi=1gi（Xi）=(ni=1gi）（X）。引理A.3。假设Xi X，i∈ [n] ，是Riesz空间（X，) 这样X=Pni=1Xi。如果所有gi:X→ (-∞, ∞] 是凸的，那么ni=1GiS凸面。如果gi在xi上关于 就我而言∈ [n] ，即X，Y∈ Xi，X Y表示gi（X）≤ gi（Y），和gi | X\\Xi≡ ∞, 然后ni=1gis X上的单调。证据我们只证明单调性。设X，Y∈ X，X Y，让X，Y∈Qni=1Xi，Pni=1Xi=X，Pni=1Yi=Y。因此，我们有0 Y- X=| Y- X |Pni=1 | Yi- Xi |。根据X的Riesz空间性质和Riesz分解性质（c.f.[3，第8.5节]），有一个向量Z∈ （X+）确认Y- X=Pni=1Zi，这样Zi=| Zi | |易- Xi，i∈ [n] 。Xibe是一个理想的y字段，实际上是Z∈Qni=1Xi。通过区域Xi的单调性，我∈ [n] ，我们获得(ni=1gi）（X）≤nXi=1gi（Yi- Zi）≤nXi=1gi（Yi）。作为(ni=1gi（Y）=inf{Pni=1gi（Yi）| Y∈Qni=1Xi}根据假设gi | X \\ Xi≡ ∞, 右侧的适当Y表示支持该断言。请注意，风险分担功能满意度∧=ni=1gi，其中gi（X）=ρi（X），如果X∈ Xiandgi（X）=∞ 否则，X∈ 十、这些函数从ρi引理A.4继承了X上的凸性和X上的单调性。

给定一个拓扑Riesz空间（X，, τ）和真函数gi:X→(-∞, ∞], 我∈ [n] ，以下标识有效：(ni=1gi）*=Pni=1g*土地和dom((ni=1gi）*) =Tni=1dom（g*i） 。与多维证券市场的风险分担37A。3、往来函件。给定两个非空集A和B，A映射：A→ 2b将A的元素映射到B的子集被称为对应关系，并用Γ：AB表示。现在假设（X，τ）和（Y，σ）是拓扑空间，并让Γ：XY是对应的。连续函数ψ：X→ Y是Γifψ（x）的连续选择∈ Γ（x）保持所有x∈ 十、如果（X，σ）是第一个可数的，则Γ在X处是上半连续的∈ X如果，无论何时（xk）k∈Nis a序列σ-收敛于x和（yk）k∈N Y等于yk∈ Γ（xk），k∈ N、 有一个极限点y∈ Γ（x）of（yk）k∈N、 如果两个拓扑空间都是第一可数的，则x处的Γislower半连续∈ X如果，无论何时（xk）k∈Nis a序列σ-收敛于x和y∈ Γ（x），有一个子序列（kλ）λ∈与非yλ∈ Γ（xkλ），λ∈ N、 使得yλ→ y相对于τasλ→ ∞.与我们的研究相关的下半连续对应的一个例子是安全分配图，如·：M Z 7→ 亚利桑那州∩Qni=1Si。引理A.5。在全球证券市场上，对应关系As·是低半连续的，并且允许连续选择ψ：M→Qni=1Si，关于M.证明的任何规范。设h·，·i是M.集S上的内积：={0}。我们声称存在自然数0=m<m≤ ... ≤ MN和Z。。。，Zmn公司∈Sni=1尽管如此∈ [n] ，它保持{Zmi-1+1, ..., Zmi}是十、∈ Si | X⊥ span{Z，…，Zmi-1}. 注意，每个Z∈ M可以表示为Z=Pmni=1hZi，ZiZi，因此M ap pingψ：Z 7→ AsZde由ψ（Z）i定义：=Pmii=mi-1+1hZi，ZiZi，i∈ [n] ，是关于M上任何范数的As·和continuous的选择。下半连续性立即跟随。参考文献【1】Acciaio，B。

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