短期不确定性下的CoCos

nandehutu2022

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收藏 2022-05-10

英文标题：
《CoCos under short-term uncertainty》
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作者：
Jos\\\'e Manuel Corcuera, Arturo Valdivia
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In this paper we analyze an extension of the Jeanblanc and Valchev (2005) model by considering a short-term uncertainty model with two noises. It is a combination of the ideas of Duffie and Lando (2001) and Jeanblanc and Valchev (2005): share quotations of the firm are available at the financial market, and these can be seen as noisy information about the fundamental value, or the firm\'s asset, from which a low level produces the credit event. We assume there are also reports of the firm, release times, where this short-term uncertainty disappears. This credit event model is used to describe conversion and default in a CoCo bond.
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中文摘要：
在本文中，我们分析了Jeanblanc和Valchev（2005）模型的一个扩展，考虑了带有两个噪声的短期不确定性模型。它结合了达菲和兰多（2001）以及詹布兰科和瓦尔切夫（2005）的观点：该公司的股票报价可以在金融市场上获得，这些可以被视为关于基本价值或公司资产的嘈杂信息，低水平的信用事件就是从这些信息中产生的。我们假设也有公司的报告，发布时间，这种短期的不确定性消失了。该信用事件模型用于描述CoCo债券的转换和违约。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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CoCos_under_short-term_uncertainty.pdf
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大多数88

2022-5-10 17:05:16

短期不确定性下的CoCos*JoséManuel Corcuera+，Arturo Valdivia。2018年10月5日在本文中，我们通过考虑两个噪声的短期不确定性模型来分析Jeanblanc和Valchev[12]模型的扩展。它是Duffee和Lando[9]以及Jeanblanc和Valchev[12]思想的结合：金融市场上可以看到该公司的股票报价，这些报价可以被视为有关基本价值或该公司资产的嘈杂信息，低水平的信用事件就是从这些信息中产生的。我们假设也有关于公司、发行时间的报告，这种短期不确定性消失了。该信用事件模型用于描述CoCo债券的转换和违约。JEL分类：G11 G12 G13 G18 G21 G321。简介或有可转换债券（CoCo）是一种由金融机构发行的债券，在出现信贷事件时，自动转换成预定数量的股份。该信贷事件与该机构的可能困境期有关，因此转换旨在成为一种吸收损失的证券，即在流动性困难的情况下，它会对该实体进行资本重组。债券转换为股票的另一种方法是强制部分减记债券的面值。然而，我们在此仅考虑第一种类型的转换。对于如何确定触发或信用事件存在分歧。这可能是可可中最具争议的问题。一些人主张根据账面价值进行转换，如巴塞尔协议III中使用的不同资本比率。其他人则捍卫市场触发因素，如资产的市场价值。

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mingdashike22

2022-5-10 17:05:20

到目前为止，私营部门发布的COCO是基于会计比率的。从建模的角度来看，根据为转换选择的触发因素，可以采用不同的方法：将转换与低水平的与企业资产、债务或股权相关的某个指数联系起来的结构性方法；或者简化形式的方法*随机出现。最终版本将于http://dx.doi.org/10.1080/17442508.2016.1149590+西班牙巴塞罗那大学加泰罗尼亚大道大巴塞罗纳大道585号，E-08007。电子邮件：jmcorcuera@ub.edu.加泰罗尼亚大道大巴塞罗那大学，585号，E-08007，西班牙巴塞罗那。电子邮件：阿图罗。valdivia@ub.edua转换强度取决于某些解释因素。当CoCos定价是主要兴趣时，后一种方法特别有用，它是转换触发器的一种统计建模方法。事实上，一个模型是转换时间定律。另一方面，从对触发因素建模的结构方法来看，一种方法对描述转换时间的随机变量进行建模，另一种方法将其与企业资产、债务和收入的动态联系起来。这是一种更具解释性的方法，人们可以利用观察到的某些经济事实的动态来解释转换时间。转换是一种类似于违约的信用事件，经验事实表明，这类事件是如何突然发生的，债券价格以一种不完全预期的方式急剧下跌。这种行为与信贷事件的强度存在一致，是从零到期时收益率差严格为正的事实观察到的。如果违约与第一次扩散过程低于某一水平相关联，则结构模型不会重现这种行为。

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可人4

2022-5-10 17:05:24

它们相应的违约时间是可预测的，当到期时间变为零时，收益率差变为零，它们是强度为零的模型。当然，我们可以考虑跳跃差异，但在模拟跳跃差异和模拟强度时，没有太大区别，例如，参见周[21]。另一种解释违约时间不可接近性的方法是，有关违约或转换过程的信息并不完美，可能是因为该公司的资产不可观察，或者只是在特定时间可观察，可能是因为会计报告中存在一定的延迟或噪音，请注意，这实际上是对信用事件进行建模的最合理、最具解释性的方式。信贷事件有其与企业或某个行业的经济行为相关的自身原因，但同时只有专家或经理知道企业或行业的当前行为，市场参与者只有嘈杂或延迟的信息。因此，从管理者的角度来看，该模型是结构化的，从市场的角度来看，它变成了简化形式的模型。这种方法的接受者是杜菲和兰多[9]，他是研究结构模型中噪声信息后果的第一次认真尝试。另一个先例是Jarrow等人[20]，其中市场信息是管理者信息的减少，尤其是他们认为，在长期负现金余额情况之后发生信贷事件，随后出现重复不良现金余额的adrop，但市场只看到现金余额的迹象和违约时间。后一个模型当然是一个非常特殊的模型，它利用了布朗漂移的行为，但它的扩展，虽然很吸引人，但据我们所知，是一个开放的问题。

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mingdashike22

2022-5-10 17:05:27

最后，第三个重要参考文献是Jeanblanc和Valchev[12]，他们讨论了不同类型的部分信息的影响，允许在信息完成时进行一些更新。这激发了我们所说的短期不确定性模型的想法，也就是说，观测中的不确定性只存在于更新时间之间的模型。本文分析了Jeanblanc和Valchev[12]模型的一个扩展，考虑了两种噪声的短期不确定性模型。它结合了DuffieAndlando[9]和Jeanblanc and Valchev[12]的观点：金融市场上可以看到该公司的股票报价，这些报价可以被视为基本价值或该公司资产的嘈杂信息，低水平的信用事件就是从中产生的。我们假设还有关于公司发布时间的报告，这种短期不确定性会消失。该信用事件模型用于描述可可债券的转换和违约。2.CoCo定价CoCo的每个定价模型都从定义触发违约和转换的机制开始。从结构建模的方法来看，我们可以说，一般来说，一旦基本过程（Ut）结束，CoCo的转换和发行人的潜在违约就会被触发≥0分别交叉水平\'c和c，即τ=inf{t≥ 0:Ut≤ \'c}和δ=inf{t≥ 0:Ut≤ c} 。（1）模型之间随后的差异取决于如何定义这一基本过程，以作为监管资本的代理，以及如何评估相应的价格。（Ut）t的一个突出的特殊选择≥0是给定值：=logStlt、 t≥ 0，（2）其中（St）t≥0代表发行人的股价，以及(lt） t≥0为发行人业绩的主要基准建模。

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能者818

2022-5-10 17:05:31

这一过程的重要性在早期有关信用风险的文献中已经提到，如朗斯塔夫和施瓦兹[14]以及萨阿-拉克约和圣克拉拉[19]。（2）中的过程也称为对数杠杆或偿付能力比率过程。我们使用基本术语，因为所有信用事件都假定由（Ut）t的运动触发≥0toa一系列关键障碍。此外，将通过（Ut）t得到相应的定价公式≥0，而不是（St）t≥0和(lt） t≥0独立。传统上，结构模型在两个重要但有争议的假设下运行：（A）驱动股价的噪音和（Ut）t之间的相关性≥0是常数。（A）基本过程在连续时间内完全可见。然而，在实践中，似乎更合理的假设是，情况并非如此，而是假设存在以下意义上的短期不确定性：（a′）驱动股价的噪音与（Ut）t之间的相关性≥可能会有所不同。（A′）基本过程只有在预定日期（Tj）t才能完全观察到∈Z+。请注意，在某种意义上，假设（A′）说明了一个事实，即在大多数情况下，监管资本取决于发行CoCo的公司的资产负债表，这些资产负债表仅在一系列预定日期（Tj）t更新∈Z+。另一方面，假设（A′）并将股价与基本过程之间的相关性ρ作为另一个合理的模型参数似乎更为自然。从现在起，我们将排除股票和基本过程之间存在完美相关性的情况，即ρ=1的情况。在短期不确定性下工作有两个直接后果。

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大多数88

2022-5-10 17:05:34

一方面，与其他结构模型不同的是，假设（A′）防止违约和转换时间成为相关状态变量（如股价、利率、总资产价值等）产生的过滤的停止时间。另一方面，假设（A′）意味着一种不同于其他部分信息模型的信息结构，如Coculescu等人【6】、Collin Dufresne等人【7】、Du ffe和Lando等人【9】和Gou等人【10】。Jeanblanc和Valchev[12]的工作更接近我们的模型，如引言所述，这项工作结合了[9]和[12]的技术，在某种程度上给出了[12]的二元扩展。短期不确定性。1.引入假设（A′）。我们将计算出n维P*-布朗运动（W*t:=（W）*1，t。。。，W*n、 t）t≥0是噪声驱动所有相关状态变量（例如，股价、利率、总资产价值等）。特别是，我们将假设*-美国野兔价格（St）的动态≥0be由dstst=rtdt+σt·dW给出*t、（3）我们使用（rt）t的地方≥0表示利率，而（σt）t≥0是正Rn值dCádlág过程，关于（W）可积*t） t≥0.以下符号·表示Rn中的点积。另外，给定一个相关函数ρ：R+→ [-1,1]，设（Wρt:=（Wρj，t，…，Wρn，t））t≥0bea秒P*-满足dW的布朗运动*j、 tdWρj，t=ρj（t）dt。在这些术语中，我们考虑参数族dut=utdt+σ′t·dWρt，（4）其中（σ′t）t≥0是正Rn值的cádlág过程，可积于（Wρt）t≥0.让我们注意到，在这一点上，我们不假设任何特定的挥发性模型（σt）t≥0和（σ′t）t≥0.我们进一步假设，所有信贷事件都是由（Ut）t的移动触发的≥0toa一系列关键障碍。

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可人4

2022-5-10 17:05:39

更具体地说，转换时间和默认时间分别由τ=inf{t给出≥ 0:Ut≤ \'c}和δ=inf{t≥ 0:Ut≤ c} ，（5）为了简单起见，我们假设可可没有附带优惠券。然而，我们注意到[8]中引入的优惠券取消功能可以通过确定第j张优惠券将在时间Tcjif时支付，并且只有当τj（ρ）>tcjj时，才能以自然的方式包括，其中τj:=inf{t≥ 0:Ut≤ \'cj}，j=1。。。，m、（6）假设常数的顺序为c<`c≤ \'\'厘米≤ ... ≤ \'\'cso表示，耦合取消、转换和默认只能按顺序进行。3.2. 引入假设（A′）。让集合{Tj，j∈ Z+}表示我们完全观察（Wρt）t的时间≥0.此外，我们假设（W*t） t≥在{ti，j，i=0，…，n，j时观察到0∈ Z+}其中我们设置T:=0和Ti，0=Ti。让我们来定义T := min{Tj∈ {T，T，T，…}Tj≤ t<Tj+1}，t≥ T.设FWρ=（FWρT）T≥0和FW*= （FW）*t） t≥0表示（Wρt）t产生的自然过滤≥0和（W）*t） t≥分别为0。在这些术语中，我们的参考信息是关于两种噪声（W*t） t≥0和（Wρt）t≥0由ef=（eFt）t给出≥0witheFt:=FWρT∨ σ（{W*tij，tij≤ t} ）t≥ 0.注意FWρT= 每t的FWρt∈ {Tj，j∈ Z+}，但是FWρt！FWρT否则因此，在我们的模型中，有一个噪声会在更新时间（Tj）j清除∈Z+。此外，在两次更新之间，比如Tjand Tj+1，相关过程（St）t≥0提供有关（Ut）t的嘈杂信息≥通过观测{Stj，0，Stj，1…，Stj，n}，其中Tj=Tj，0≤ ... ≤ tj，n=tj+1。正如引言中已经指出的，我们的模型与信用风险文献中处理不完整信息的其他相关方法之间存在一些差异。例如，Coculescu等人[6]考虑了一个类似的设置，其中，而不是（Ut）t≥0他们只观察相关过程（Uρt）t≥0

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kedemingshi

2022-5-10 17:05:42

然而，他们对（Uρt）t的观察≥0是连续的，我们只在时间（Tj）t完全观察它∈N.类似的论点适用于[7]和杜菲与兰多[9]。另一方面，我们的模型也不同于Gou等人[10]中的模型，因为提议的更新有时会破坏[10]中考虑的信息到达的永久延迟。另一方面，我们的模型也偏离了传统的结构模型，因为（5）和（6）中的creditevents不再是参考过滤的停止时间。我们将考虑完整的市场信息G=（Gt）t≥0由Gt给出：=eFt∨ 式中：σ（1{τ）≤s} ，s≤ t）。备注3.1。本文提出的短期不确定性模型可以用更一般的方式表述，例如通过替换（W*t） t≥0通过更一般的Lévy过程。由于我们有兴趣获得分析价格公式，因此我们不考虑股价（或基本过程）动态中包含跳跃的可能性。然而，我们在这里注意到，可以使用Metwally和Atiya[16]、R uf和Scherer[18]或Hieber和Scherer[11]中的技术进行跳跃情况下的数值研究。τ的补偿器定义过程（F（t）：=P*(τ ≤ t | eFt）t≥0.在标准结构模型中，τ将是相对于参考系数的惊人时间，导致恒等式F（t）=1{τ≤t} 。然而，在A′的假设下，1{τ≤t} 不再属于托夫特。相反，我们可以找到τ相对于f的compensator。事实上，请注意≤ s意味着{τ≤ t} {τ ≤ s} 安第斯*[F（s）|eFt]=E*hP（τ）≤ s | eFs）eFti=P*(τ ≤ s | eFt）≥ P*(τ ≤ t | eFt）=F（t）。因此，（Ft）t≥0是一个F子鞅，因此它允许Doob-Meyer分解，也就是说，它可以写成F（t）=Mt+Atwhere（Mt）t≥0是aneF鞅和（At）t≥0是AEFP可预测的增长过程。

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mingdashike22

2022-5-10 17:05:45

当补偿器（At）t≥如果已知，我们可以进一步说这个过程{τ≤t}-^t∧τdAs1- F（s）-), T≥ 0，跟随aneF子鞅。事实证明，与[12，引理1]类似，我们有如下结果。引理3.2。（F（t））t的补偿器≥0由以下公式给出：=F（t）-Xj:Tj≤TF（Tj），t≥ 0.证明。见附录A.1.4。短期不确定性下的椰子定价4。1.基本过程的模型*-（B（t，Tj））t的动力学≥0，即到期日为T的无违约债券的价格，由db（T，T）=B（T，T）（rtdt+B（T，T）·dW给出*t），（7）式中（b（t，t））t≥0是一个FW*-适应过程。作为发行人业绩的基准，我们考虑了这一过程lt:=LB（t，t）exp^Tt[κ（s）+akσsk]ds, T≥ 0，a∈ R.（8）注意，通过应用It公式，对数杠杆过程/lt））t≥0满意度日志lt=kσtk-kσtk+kb（t，t）kdt+（σt）- b（t，t））·dW*t、（9）然后我们将重点讨论由dut给出的基本过程的参数族：=d logStlt=kσtk-kσtk+kb（t，t）kdt+（σt）- b（t，t））·dWρt，（10），其中ρ是我们给定的确定性相关函数。值得注意的是，（8）中的障碍传达了信贷风险结构模型中的双重诉求：模型特征可以被赋予经济解释，在许多情况下，可以获得不封闭形式的价格公式。事实上，正如布莱斯和德瓦雷恩[5]所说(lt） t≥当被视为安全约定时，0有许多优点。特别是，在不考虑重组形式的情况下，该障碍允许通过将这些支付与障碍水平相关联来确定债券持有人违约时的支付。从这个意义上说，如果在时间T，公司的负债等于数量N，那么我们选择的值为0≤ L≤ N、展示了这个安全契约的保护性。

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kedemingshi

2022-5-10 17:05:48

另一方面，因子LB（t，t）展示了（8）中的障碍，作为默顿[15]和布莱克和考克斯[1]模型的直接延伸，以一种无风险的障碍和仓促利率。此外，系数exp{a`Ttσ（s）ds}提供了额外的参数，允许我们通过增加屏障的凹度和陡度来修改屏障的指数特性，见Brigo和Tarenghi[4]。总之(lt） t≥0可以容纳早期信用风险文献中的其他模型，如Longstaff和Schwarz[14]以及Saá-Raquejo和Santa Clara[19]。从计算的角度来看，我们要提到的是，Lo等人[13]和Rapisarda[17]可以通过应用所谓的镜像方法来计算与时间相关的Black-Scholes期权价格的精确闭式估计，从而解决与价格相关的偏微分方程。显然，与镜像基本解兼容的唯一参数形式是（8）中的确定性（rt）t≥0.值得注意的是，[13]通过应用扩散方程的最大值原理，给出了障碍期权价格的上限和下限，并将其转化为一个简单直观的障碍价格论证。由于我们关注的是基本过程，而不是势垒，所以我们决定将假设（A′）转换为噪声驱动（St）和噪声驱动（t）之间的相关结构≥0和（Ut）t≥0.当然，我们也可以在屏障中引入一个新的

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mingdashike22

2022-5-10 17:05:52

此外，正如我们将在下面看到的，解析公式的获得明确取决于向量（Ut，log St），而不是单独取决于（St）t≥0和(lt） t≥0.此外，该模型还包含了COCO研究的最新贡献，如[3,8]。事实上，我们有以下几点。例4.1。Brigo等人[3]的模型对应于一维情况，其中σ是一个逐点常数确定性函数，a（在他们的符号a中：=B）作为模型参数之一给出。假设相关性等于1，因此dut=（a-)σ（t）dt+σ（t）dW*t、例4.2。Corcuera等人[8]的模型对应于一个n维情形，具有可能的随机波动率（σt）t≥0和债券价格在高斯HJM框架中给出，b是确定性的。在这种情况下，相关性也等于1，并且给出了f基本过程=(-kσtk+kb（t，t）k）dt+（σt- b（t，t））·dW*t、 4.2。定价问题在我们的环境中，可可豆的一般价格公式可以直接从[8，引理1]中推导出来。更具体地说，每0≤ T≤ T，{τ>T}上椰子的价格由π（T）：=NB（T，T）PT（τ>T|Gt）+CrSte\'Ttκ（u）duP（S）（τ）给出≤ T | Gt，（11）式中（B（T，T））T≥0代表到期日为T的无违约债券的价格，而T-forwardmeasure PT（分别为股票度量P（S））是通过取（B（T，T））T给出的概率度量≥0（分别）t≥0）作为numéraire。也就是说，这些概率测度等价于P*它们的Radon Nikod'ym导数由DPTDP给出*=E-\'TruduB（T，T）B（0，T）=exp^Tb（u，T）dW*U-^Tb（u，T）du,和dP（S）dP*=E-\'Tj[ru-κ（u）]粉尘=exp^TσudW*U-^Tσudu.分别地注意，根据（11），除了给可可定价，我们需要找到τ在pT和P（S）下分布的表达式。因此，这项工作的其余部分致力于研究上述分布的获得。4.3.

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mingdashike22

2022-5-10 17:05:56

τ的分布我们将考虑一个具体情况，假设利率、相关函数和股票的波动率都是严格的正常数，即rt≡ r和ρ（t）≡ ρ、 σt≡ σ. 根据附录中的命题（A.1），我们得到了（2）和（3）在PT（d log St=u）下的动力学*Sdt+σdW*tdUt=u*Udt+σdWρt（12），其中u*S:=r-σ和u*U:=（a）-)σ. 同样，在P（S）下，我们有（d log St=u（S）Sdt+σdBtdUt=u（S）Udt+σdBρt（13），其中u（S）S:=r+σ，u（S）U:=（a）-+ ρ） σ和（Bt）t≥0和（Bt）t≥0是两个相关ρ的P（S）-布朗运动。现在让我们关注（11）的第一个和，因为第二个和可以用类似的方式计算。此外，让我们考虑这样一种情况，即共公度与基本过程第一次完全更新时一致，也就是说，我们设置T=T，然后为0≤ T≤ T，通过调节到FWρT∨ σ（{W*tij，tij≤ t} ) Gt，我们可以使用已知的布朗运动击中时间的结果（见[2]）来获得P*（τ>T|Gt）=1{τ>T}E*Φ-D*-- 经验-2u*U（Ut）- \'c）σΦD*+燃气轮机, （14）式中，c是转换的较低阈值（如（1）所示），D*±：=\'c- Ut±u*U（T）-t） σ√T-t、因此，将问题简化为计算Gt的密度。假设直到时间t，我们在时间0=t0,0时观察到了股票≤ t0,1≤ ... ≤ t0，k=t，然后我们寻找密度*美国犹他州∈ dutτ>t，St0,0∈ ds，St0,1∈ ds。。。，St0，k∈ dsk公司.为了便于记谱，为了处理（Xt）t≥0让我们写Xj：=Xt0，j，X（k）=（X，X，…，Xk），X（k）=（X，X，…，Xk）。

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能者818

2022-5-10 17:06:00

用这些术语，并使用贝叶斯规则，我们可以重写密度*美国犹他州∈ dutτ>t，S（k）∈ ds（k）=Pτ>t，Ut∈ dut，S（k）∈ ds（k）P*τ>t，S（k）∈ ds（k）=\'\'Rk-1Pτ>t，U（k）∈ 杜（k），S（k）∈ ds（k）杜（k）-1） \'\'RkPτ>t，U（k）∈ 杜（k），S（k）∈ ds（k）杜（k）。使用附录中的定理A.2（X:=U，Y:=ρlogs，Z:=X-Y）我们可以证明这一点*τ>t，U（k）k∈ 杜（k），S（k）∈ ds（k）=kYj=11.- 经验-2（uj）- \'c）（uj-1.- \'c）σ（t0，j）- t0，j-1){uj>\'c，uj-1> \'c}H*Juj- uj-1.-ρlogsjsj-1.G*Jρlogsjsj-1.h在哪里*张成泽*jare给出了以下高斯密度*j（z）：=σp1- ρp2π（t0，j）- t0，j-1）经验(-（z）- (u*U- ρu*S）（t0，j）- t0，j-1))2σ(1 - ρ）（t0，j）- t0，j-1)).G*j（x）：=σρp2π（t0，j）-t0，j-1）经验(-（十）- ρu*S（t0，j）- t0，j-1））2ρσ（t0，j- t0，j-1），根据（12）和（13），很明显P（S）（τ>T | Gt）的计算可以以相同的方式进行，因此我们得到了（11）中的价格表达式。值得注意的是，在每个区间[Tj，Tj+1]内，Jeanblanc和Valchev[12]获得的存活概率仅取决于过去的STj值。然而，在我们的设置中，这些概率取决于序列Stj，0，。。。，Stj，kwhere Tj=Tj，0≤ tj，1≤ ... ≤ tj，k≤ t、这种差异取决于这样一个事实：即使在每个区间[Tj，Tj+1]内，我们对基本过程的了解是恒定的，但我们仍然观察到所有其他过程的演化（FW）*-（a）选定时间的状态变量。如果我们将这个模型中的价格与一个基本过程被服务的模型中的价格进行比较，我们直观地预期如下：股票是基本价值的代理，其方式是（Ut）t≥0绕（St）t移动≥价格是平均值，但交谈时间τ也说明了（Ut）t的行为≥如果τ>t，则表示（Ut）t≥0表现优于（St）t≥0，尤其是当（St）t≥0低。

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可人4

2022-5-10 17:06:03

所以，一般来说，我们会得到比总信息模型更高的价格，如果（St）t≥0低和/或与（Ut）t相关≥0也很低。备注4.3。讨论如何通过扩展此基本案例（即rt）来改变定价问题≡ r、 ρ（t）≡ ρ和σt≡ σ）对于具有随机利率或波动性且具有时变相关性的模型，我们参考文献[8]。更具体地说，[8，第4节和第5节]可以用于涵盖短期利率和波动性的情况，而[8，引理4]可以在相关性随时间变化时提供一个近似公式。这些扩展的主要问题在于，（14）中括号内的表达式不能像基本情况那样以封闭形式获得。然而，请注意，这里讨论的基本情况可以很容易地扩展成一个分段函数，在每个区间[Tj，Tj+1]内取常数值。4.4.数值说明对于这一部分，我们确定了以下参数r=0.03，σ=0.49，S=100，N=100，\'c=log（35），κ=0，u*S=r-κ -, 和u*U=u*S、连同四种情况{ωi}i=1，。。。，4如图1所示的股票价格。然后我们将估计参数ρ对概率的影响*（τ>t | Gt）。我们考虑以下情况ρ∈ {0.01,0.25,0.5,0.75,0.99}.0 50 100 150 2000 50 100 150 200 000 50 200 150 2000T1ω1ω2ω3ω4图1：股票价格的模拟轨迹。虚线设置在exp{c}级别。基于场景（St（ω））t≥0和不同的ρ值，图2显示了基本过程（Ut）t的一系列模拟轨迹≥当相关参数趋于1时，（Ut）t的行为≥0与（对数St）t的匹配≥0（参见。

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可人4

2022-5-10 17:06:07

例4.1和例4.2）。1 2 3 4 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.010T12 3 4 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.250T11 2 3 4 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.50T11 2 3 5 6时间基本过程模拟轨迹ρ=0.750T11 2 3 4 5时间基本过程模拟轨迹ρ=0.990T12图2：基于情景（St（ω））t的基本过程模拟轨迹≥0.虚线设置为“c”级。最后，图3显示了相关参数对T之前避免转化概率的影响，即P*（τ>T | Gt）。致谢这项工作是在访问挪威科学与文学学院高级研究中心（CAS）时开始的。作者要感谢中国科学院成员的盛情款待。A.附录A。1.引理的证明3.2让我们从证明由Mt:=Pj:Tj定义的过程开始≤TF（Tj），t≥ 0，遵循aneF鞅。对于这个问题，请注意，通过构造Mt=MTj=mstj≤ s<t≤ Tj+1，因此E*[Mt|eFs]=现在如果我们有Tj≤ s<Tj+1≤ t<Tj+2，然后mt=MTj+ F（Tj+1）。我们还有MTj=Ms。此外，我们还有*[F（Tj+1）|eFs]=E*惠普*(τ ≤ Tj+1 | eFTj+1）eFsi- EhP*(τ ≤ T-j+1 | eFT-j+1）eFsi=E*h{τ≤Tj+1}eFsi- E*h{τ≤T-j+1}eFsi=E*h{τ≤Tj+1}- 1{τ<Tj+1}eFsi=0，其中最后一个等式来自事实1{τ≤Tj+1}=1{τ<Tj+1}，因为τ被定义为布朗运动的击中时间。通过构造，（At）t≥0是一个连续的过程，因此是可预测的。为了看到它在增加，我们从矛盾的角度出发：一方面，假设存在这样的t<s≥ 阿莎。s这意味着*[网址]≥ E*[作为]。

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kedemingshi

2022-5-10 17:06:11

另一方面，由于（Ft）t≥0isaneF submartingale我们有*[As]=E*[F（s）]- E*[Ms]≥ E*[F（t）]- E*[Ms]=E*[F（t）]- E*[Mt]=E*[At]，因此方程E*[As]=E*（At）应该保持不变。然而，这意味着*[Fs]=E*[Ft]，或相当于P*(τ ≤ s） =P*(τ ≤ t），这是不可能的，因为τ遵循严格递增的分布，即逆高斯分布。A.2。P（S）下的基本过程动力学下面的结果描述了定价问题中涉及的过程的动力学，包括T-远期测度和共享测度P（S）下的过程动力学。提议A.1。让（Zt）t≥0是第二个布朗运动，独立于（W）*t） t≥所以我们可以写出ρt=ρ（t）W*t+p1- ρ（t）Zt，t≥ 0.让FW*= （FW）*t） t≥0并设FZ=（FZt）t≥0是W的自然过滤* 和Z。让我们≥0是（10）中定义的流程。然后（i）过程（WTt:=W）*T-\'tb（t，t）dt）t≥0（分别为W（S）t:=W*T-\'tσtdt）t≥0）是一个FW*-PT（分别P（S））下的布朗运动；（Zt）t≥0是关于P和P（S）的FZ布朗运动；和（ρ（t）WTt+p1- ρ（t）Zt）t≥0响应。（ρ（t）W（S）t+p1- ρ（t）Zt）t≥0,是PT（resp.P（S））下的G-布朗运动。（ii）t的动力学≥0PTAREDUT下=kσtk-kσtk+kb（t，t）k+ρ（t）（σt）- b（t，t））·b（t，t）dt+（σt）- b（t，t））·ρ（t）dWTt+p1- ρ（t）dZt. （15）（iii）t的动力学≥0在P（S）下=kσtk-kσtk+kb（t，t）k+ρ（t）（σt）- b（t，t））·σtdt+（σt）- b（t，t））·ρ（t）dW（S）t+p1- ρ（t）dZt. （16）证据。关于（WTt）t的声明≥0和（W（S）t）t≥0来自Girsanov定理。由于独立（根据P*) 在（W）之间*t） t≥0和（Zt）t≥0，很容易看出布朗运动的Lévy特征适用于（Zt）t≥随后，它也适用于（ρ（t）WTt-p1- ρ（t）Zt）t≥0和（ρ（t）W（S）t-p1- ρ（t）Zt）t≥0

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能者818

2022-5-10 17:06:14

根据（i），只剩下使用新定义的布朗运动重写（9）中的动力学。请注意，采用固定利率意味着P*而且是一致的。A.3。条件密度定理A.2。让（Xt）t≥0，（Yt）t≥0，（Zt）t≥0be P下的三个漂移布朗运动，带（Zt）t≥0独立于（Yt）t≥0，这样Xt=Yt+Zt。设0=t≤ T≤ ... ≤ tn=t是[0，t]的分区。设置符号Xj:=Xtj，X（n）=（X，X，…，Xn），X（n）=（X，X，…，Xn），并类似地设置Y和Z。设置τ=inf{t，Xt≤ c} 。那么下面的等式成立τ>tn，X（n）∈ dx（n），Y（n）∈ dy（n）=nYk=11.- 经验-2（xk- c）（xk）-1.- c） σX（tk）-tk-1)×fZk（xk）- yk-（xk）-1.- yk-1））fYk（Yk-yk-1）式中σX:=E[（X- E[X]）]，以及函数fZK和fyk表示Zk:=Zk- Zk-1和Yk:=Yk-Yk-分别为1。证据我们有τ>tn，X（n）n∈ dx（n），Y（n）∈ dy（n）= Pτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，X（n）-1)∈ dx（n）-1），Y（n）-1)∈ dy（n）-1)= Pτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，X（n）-1)∈ dx（n）-1），Y（n）-1)∈ dy（n）-1)×Pτ>tn-1，X（n）-1)∈ dx（n）-1），Y（n）-1)∈ dy（n）-1)= Pτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×Pτ>tn-1，X（n）-1)∈ dx（n）-1），Y（n）-1)∈ dy（n）-1), （17）最后一个等式是由于（inf0）的马尔可夫性≤s≤tXs，Xt，Yt）t≥0.现在，根据BayesrulePτ>tn，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.=P（τ>tn，Xn）∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1） P（τ>tn）-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn∈ dyn）=Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×P（τ>tn）-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1） P（τ>tn）-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn∈ dyn）=Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×Pτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩τ>tn-1，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.= Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.×PXn∈ dxn，Yn∈ 戴恩Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1..最后一个等式是真的，因为（Xt，Yt）t≥他是马尔科夫人。

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大多数88

2022-5-10 17:06:18

通过假设Xn∈ dxn，Yn∈ 戴恩Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.= FZn（xn）- 伊恩- （xn）-1.- 伊恩-1））fYn（Yn）- 伊恩-1). （18）那么，如果我们取V:=X- E（X）-Cov（X，Z）Var（Z）（Z）- E（Z））Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Yn∈ dyn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.Yn-1.∈ 戴恩-1.= Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Vn∈ dvn，Xn-1.∈ 二氧六环-1，Vn-1.∈ dvn-1.= Pτ>tnτ>tn-1，Xn∈ dxn，Xn-1.∈ 二氧六环-1.=1.- 经验-2（xn-c）（xn）-1.- c） σX（tn）- tn-1){xn>c，xn-1> c}。（19）最后一个等式是一个众所周知的结果，参见f或实例[12，引理2]。所以，从（17）、（18）和（19）我们得到了结果。密度fYnand fZnin（18）可以用简单的方式计算。事实上，如果我们定义uY:=E[Y]和σY:=E[（Y- E[Y]）]，然后是密度fYn对应于平均μY（tn）的阿加西密度- tn-1）方差σY（tn- tn-1）、和Yn（y）=q2πσy（tn- tn-1）经验(-（y）- uY（总氮）- tn-1））2σY（tn- tn-1)).f的表达式zn也是类似的。参考文献[1]F.布莱克和J.C.考克斯。评估公司证券：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》，31:351-3671976。[2] A.N.博罗丁和P.萨尔米宁。布朗运动事实和公式手册。Birkh"auser，2012年。[3] D.布里戈、J.加西亚和N.佩德。Coco债券估值，采用eq和信用校准的第一通道结构模型。工作文件，伦敦帝国理工学院，2013年2月。[4] D.Brigo和M.Tarenghi。交易对手风险下的信用违约掉期校准和股权掉期估值，采用可处理的结构模型。在2004年麻省理工学院FEA 2004年会议记录中。[5] E.布莱斯和F.德瓦伦。固定利率债务估值：扩展。《金融与定量分析杂志》，32:329–248，1997年。[6] D.科库列斯库、H.杰曼和M.詹布兰科。不完全信息下违约敏感索赔的估值。金融斯托赫。，12:195–218, 2008.[7] P.柯林·杜弗雷纳、R.戈尔茨坦和J.赫尔韦格。P

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nandehutu2022

2022-5-10 17:06:21

信用事件风险定价吗？通过更新信仰来模拟传染。工作文件，卡内基梅隆大学，2003年。[8] J·M·科库埃拉、J·德·斯皮格勒、J·法哈尔多、H·J"onsson、W·肖滕斯和A·瓦尔迪维亚。可取消cocos上coup的封闭式定价公式。《银行与金融杂志》，2014年5月，42:339–351。[9] D.杜菲和D.兰多。会计信息不完整的信用利差的期限结构。《计量经济学》，69:633–6642001。[10] X.郭、R.A.贾罗和Y.曾。信息不完全的信用风险模型。运筹学数学，34（2）：320–3322009。[11] P.希伯和M.谢勒。关于连续时间变化布朗运动的首次通过时间的注记。《统计与概率通讯》，82:165–172，2012年。[12] M.Jeanblanc和S.Valchev。部分信息和危险过程。《国际理论与应用金融杂志》，2005年8:807-838。[13] 罗志福、李汉昌和许志浩。一种简单的方法，用于为具有时间相关参数的障碍期权定价。《定量金融》，2003年3:98-107。[14] F.A.朗斯塔夫和E.S.施瓦茨。一种评估风险固定和流动债务的简单方法。《金融杂志》，50:789–8191993。[15] R.C.默顿。关于公司债务的定价：利率的风险结构。《金融学杂志》，第29（2）：449-470页，1974年。[16] 梅特沃利和阿提亚。使用布朗桥快速模拟跳跃扩散过程和障碍选项。《衍生工具杂志》，2002年10:43–54。[17] F.拉皮萨尔达。含时间相关参数的底层屏障选项：摄动展开法。技术报告，产品和业务发展小组，Banca IMI，2005年5月。[18] J.鲁夫和M.谢勒。基于改进布朗桥算法的任意跳跃扩散模型中的公司债券定价。《计算金融杂志》，2011年。[19] J.Saá-Raquejo和P.Santa Clara。

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mingdashike22

2022-5-10 17:06:24

带有违约风险的债券定价。工作文件，加州大学洛杉矶分校，1999年。[20] R.Jarrow P.Protter U.切丁和Y.Yildirim。不完全会计信息下的信用风险建模。《应用概率年鉴》，14（3）：1167–1178，2004年。[21]周春生。信贷期限结构具有跳跃风险。《银行与金融杂志》，25（11）：2015-20402001。

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