无界条件下折扣报酬控制问题的光滑解

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收藏 2022-05-10

英文标题：
《Smooth solutions to discounted reward control problems with unbounded
discount rate and financial applications》
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作者：
Dariusz Zawisza
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
We consider a discounted reward control problem in continuous time stochastic environment where the discount rate might be an unbounded function of the control process. We provide a set of general assumptions to ensure that there exists a smooth classical solution to the corresponding HJB equation. Moreover, some verification reasoning are provided and the possible extension to dynamic games is discussed. At the end of the paper consumption - investment problems arising in financial economics are considered.
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中文摘要：
考虑连续时间随机环境下的折扣报酬控制问题，其中折扣率可能是控制过程的无界函数。我们提供了一组一般假设，以确保相应的HJB方程存在光滑的经典解。此外，还提供了一些验证推理，并讨论了动态博弈的可能扩展。本文最后讨论了金融经济学中的消费投资问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Smooth_solutions_to_discounted_reward_control_problems_with_unbounded_discount_r.pdf
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能者818

2022-5-10 17:45:44

折扣报酬控制问题的光滑解，具有无界折扣率和财务应用Dariusz ZAWISZAAbstract。我们考虑了连续时间随机环境下的折扣报酬控制问题，其中折扣率可能是控制过程的无界函数。我们提供了一组一般假设，以确保相应HJB方程存在光滑的经典解。此外，还提供了一些验证推理，并讨论了动态博弈的可能扩展。本文最后讨论了金融经济学中的消费-投资问题。1.引言当控制空间是紧集时，我们考虑了连续时间差环境下的折扣报酬随机控制问题。除了现有文献，我们假设贴现率可能是无界的（贴现率进一步用h表示）。我们考虑有限时间和有限时间范围公式，重点是后者。对于这两种情况，我们都提供了一组假设，确保我们问题的值函数是对应的半线性HJB方程的光滑经典解。这类方程本身就很重要，因为它们自然出现在许多优化问题中，例如最优投资-消费问题。在这种模型中，贴现因子可能是无界的这一事实使我们有可能考虑随机利率模型，如Vasicek模型和许多其他模型。上述方程可以作为解决许多无约束优化问题的第一步（见Fleming和Hernandez[6]）。此外，Friedman[12]表明，此类方程可以用于解决许多确定性控制问题。

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可人4

2022-5-10 17:45:48

有限水平情况下主要结果的证明依赖于考虑系数满足某些边界的第一个HJB方程。由于这种解的随机控制表示，我们得到了它的导数和函数本身的一些估计。当使用有界函数逼近无界函数时，这种估计进一步用于应用Arzell-Ascoli引理。有限视野案例中的证明基于2010年有限数学科目分类的近似值。93E20,91G80。关键词和短语。折扣成本控制，HJB方程，最优消费，组合优化。二维ZAWISZAhorizon模型使用有限的地平线控制问题，与Fleming和McEneaney[7]或Fleming和Hernandez[5]接近。除了HJB方程的存在性理论，我们给出了一些关于验证参数的结果，并讨论了动态博弈的可能扩展。最后，我们考虑一个消费投资优化问题作为我们一般理论的一个例子。正如前面提到的，我们的工作可以被视为Flemingand Mceney[7]的一些结果的推广。关于HJBEquation光滑解存在性的最新研究，请参见Rubio[21]（有限视界问题）或Lopez Barrientos等人[16]（有限视界公式）的工作。另一方面，有大量关于消费投资模型的文献，在这些文献中，我们可以找到许多关于某些HJB方程解存在性的结果：Aktar和Ta flin[1]，Constaneda Leyva和Hernandez[3]，Fleming和Hernandez[5]和Fleming和Pang[8]，Hata和Sheu[14]，Pang[19]，Pham[20]，Zawisza[25]。在大多数此类工作中，通常假设贴现率为常数或从上方开始。

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大多数88

2022-5-10 17:45:51

作为一个例外，我们应该提到弗莱明、庞[8]和庞[19]的工作，当考虑贴现率具有二次依赖性的一些特定模型时。此外，他们中的许多人更关注一些特定的无约束控制问题，而不是约束问题。2.让我们考虑参考概率系统(Ohm, F、 P）N维维纳过程{Wt}t≥0及其自然增强过滤和形式（2.1）dYt=i（Yt，δt）dt+dWt，t的随机微分方程∈ [0，T]或T≥ 0（δt，t∈ [0，T]）或分别（δT，T≥ 0），是在固定的紧凑集合中逐渐可测量的过程 Rk。这组控件用D表示。为了便于注释，在不可能出现混淆的情况下，我们通常使用Y而不是Yδt。这里我们只考虑微不足道的扩散项（σ）≡ 1），但我们的结果也适用于Y的许多Lipschitz变换，因此我们也可以处理更复杂的动力学。我们假设控制器的目标是最大化ZTteRsth（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+erth（Yk，δk）dkg（YT）或者在有限的地平线公式中，0Z+∞erh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds.我们解释为贴现率的函数h。符号Ey用于反映这样一个事实，即预期值是在假设系统（2.1）从状态y开始时间t开始贴现奖励控制问题3的情况下计算的，但有时为了便于记法，我们切换记法，只写Yk（y，t）。我们考虑以下一组假设。假设1。

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mingdashike22

2022-5-10 17:45:56

函数f，g，h，i是连续的，而且存在L>0，L∈ R\\{0}使得对于g，f和ζ=f，h，i和所有y，\'y∈ RN，δ∈ D、我们有| g（y）- g（\'y）|≤ L|y- \'y |，（2.2）|ζ（y，δ）- ζ（`y，δ）|≤ L|y- y |，（2.3）（y）- \'y）[i（y，δ）- i（\'y，δ）]≤ L|y- “y”。（2.4）注意，在假设1下，（2.1）存在唯一的强解。提议2.1。在假设1的条件下，对于任何T>0，存在MT，KT>0，而对于所有T∈ [0，T]，y∈ RNand for allδ∈ DEy，0eRth（Yk，δk）dkmax{f（Yt，δt）|，g（Yt）|，1}≤ KTeMT | y |。证据注意，在假设1 | Yt |≤ |y |+最大值∈[0，T]| Wt |+ZtL（1+| Ys |）ds，T∈ [0，T]，y∈ 注册护士。Gronwall引理确保（2.5）| Yt |≤LT+| y |+最大值∈[0，T]| Wt|eLT，t∈ [0，T]，y∈ 注册护士。利用函数f，g，h是线性增长条件的事实，对于任何C>0（2.6）EeC maxt，都能有效地观察到∈[0，T]| Wt |<+∞.这很容易从一个事实得出，对于一维维纳过程，我们有Maxt∈[0，T]| Wt |≤ 马克斯特∈[0，T]Wt+maxt∈[0，T](-Wt）和P（最大值）∈[0，T]Wt>m）=2P（Wt>m）。备注2.2。根据命题2.1，值得注意的是，存在一个确定性函数κ（t，n），t∈ [0，T]，n∈ N、 t中的连续序列和序列p（t，N），N∈ N那是4 D.扎维扎尔δ∈ D我们havey，0eRth（Yk，δk）dkmax{f（Yt，δt）|，1}≤ κ（t，n），（2.7）Ey，0eRTh（Yk，δk）dkmax{g（YT）|，1}≤ p（T，n）表示所有y∈ B（0，n）。（2.8）对于有限水平控制问题，条件（2.7）-（2.8）非常弱。对于这样的问题，我们不需要更多的条件，这些条件在下面的假设2中给出。假设2。

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kedemingshi

2022-5-10 17:45:59

存在一个确定性函数κ（t，n），t>0，n∈ N、所有δ的连续性∈ D、 y∈ R、 t∈ [0，T]，我们有，第二（Yk，δk）dkmax{| f（Yt，δT）|，1}≤ κ（t，n），总的来说∈ B（0，n），Z+∞κ（t，n）dt<+∞,Z+∞eLtκ（t，n）dt<+∞,其中，假设1中的常数Lis和B（0，n）表示半径等于n的封闭球。备注2.3。假设2的条件完全满足，例如，如果h（y，δ）=u（y，δ，η）- w、 f是有界的，u是连续的，有界的，w>supy，Δu（y，δ）。根据下面给出的结果，还可以推断出另外两个例子。提议2.4。假设N=1，过程（Yt，t∈ [0，T]）是（2.1）的强解，假设进一步存在α，β，P，Q≥ 0，α6=0，thati（y，δ）≤ -αy+β，h（y，δ）≤ -P+Qy，δ∈ D、 η∈ Γ，y∈ R.那么对于所有δ∈ 第二（Yk，δk）dk≤ eQy+αe(-P+Qβα+Q2α）t，t>0，y∈ R.证明。注意dyt=i（Yt，δt）dt+dwt使用Ito公式我们得到了αtYt=[αeαtYt+eαti（Yt，δt）]dt+eαtdWt≤ βeαt+eαtdWt，进一步eαtYt=y+Zt[αeαsYs+eαsi（Ys，δs）]ds+ZteαsdWs≤ y+Ztβeαsds+ZteαsdWs。这个庄园≤ 耶-αt+βα（1）- E-αt）+中兴α（s）-t） DWS发现了奖励控制问题5和ZTYS≤y+α+βαt+ZtZseα（k-t） dWkds=y+α+βαt+ZtZtseα（k-t） dkdWs=y+α+βαt+Ztα1.- eα（s）-（t）dWs。因此zth（Yk，δk）dk≤ -pt+Qy+α+Qβαt+QZtα1.- eα（s）-（t）第二个（Yk，δk）dkf（Yt，δt）≤ eQy+αe(-P+Qβα+Q2α）t。将上述结果推广到情况y并不困难∈ 注册护士。第二个例子出现在下面的命题中。提议2.5。如果h（y，δ）≤ -w、 f（y，δ）≤ L（1+| y |），其中w>max{0，L}，那么对于所有δ∈ 第二个（Yk，δk）dkh（Yk，δk）≤ E-wt（1+| y | eLt），y∈ 注册护士。证据使用伊藤公式，我们得到了0 | Yk|≤ |y |+2LZkEy，0 | Yl | dl。Gronwall引理yieldsEy，0 | Yk|≤ |y | e2L（k-s）最后，0 | Yk |≤ |麋鹿。这就完成了证明。3.

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能者818

2022-5-10 17:46:02

有限视界问题我们从形式为（3.1）ut的HJB方程开始+u+maxδ∈Di（y，δ）u+h（y，δ）u+f（y，δ）= 0，y∈ RN，t∈ [0，T），终端条件u（y，T）=g（y）。符号i（y，δ）u用于说明函数i和u的梯度之间的点积。众所周知，在某些温和条件下，该方程存在光滑解，因此我们首先考虑验证定理的以下形式。6 D.Zawisza3.1提案。假设假设1的所有条件都满足，并且存在u-a（3.1）的解和KT，MT>0，使得u∈ C2,1（RN×[0，T））∩C（RN×[0，T]）和（3.2）| u（y，T）|≤ KTeMT | y |，y∈ RN，t∈ [0，T]。然后，u接受公式u（y，t）=supδ的随机表示∈戴伊，tZTteRsth（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+erth（Yk，δk）dkg（YT）,（3.3）其中Y是dYt=i（Yt，δt）dt+dWt的唯一解。此外，如果δ*（y，t）是等式（3.1）中的可测最大化子，然后它决定了一个最优控制过程。证据我们可以结合（3.2），（2.5），（2.6）来确保∈ RNandδ∈ D、我们有≤s≤TeRsth（Yk，δk）dk|u（Yδs，s）|+∞.进一步假设δ*（y，t）是（3.1）的Borel可测最大化子。根据Veretennikov[24]在Mceney[17，引理3.2.1]中推广的结果，todYt=i（Yt，δ）存在一个强解*（Yt）dt+dWt。事实上，McEneney的结果是在假设有效函数1严格小于0的情况下证明的，但如果函数i是Lipschitz连续的，他的关键不等式2.7也成立。这些事实使我们能够使用标准的验证推理，这可以在许多经典教科书中找到。

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kedemingshi

2022-5-10 17:46:05

让uT（y，t）表示（3.1）的解，终端条件在时间t给出。现在我们主要感兴趣的是证明uT（y，0）及其第一个y导数的一些估计，当通过适当的极限时，这些估计将进一步用于应用Arzell-Ascolli引理。注意，表示法（3.3）保证了满足（3.2）的函数类的唯一性，这可能导致我们得到等式uT-t（y，0）=uT（y，t）（假设两个解都存在）。我们需要以下lemmaLemma 3.2。假设假设1的所有条件都满足，那么| Yk（y，s）- Yk（\'y，s）|≤ |Y- “y|eL（k-s），为了所有的y，\'y∈ RN，k≥ s≥ 0.证明。让k≥ 让我们确定下来。使用伊藤公式，我们得到| Yk（y，t）- Yk（\'y，t）|=（y）- \'y）+Zkt2（Yl（y，t）- Yl（`y，t））[i（Yl（y，t），δl）- i（Yl（y，t），δl）]dl。折扣报酬控制问题7使用（2.4）我们得到| Yk（y，t）- Yk（\'y，t）|≤ |Y- \'y |+2LZkt | Yl（y，t）- Yl（\'y，t）| dl。Gronwall引理产生| Yk（y，s）- Yk（y，s）|≤ |Y- \'y| e2L（k-s）。提议3.3。假设假设1的所有条件都存在（3.1）的有界解。此外，让函数f有界，h从上面有界。那就好了∈ N uTare的以下估计值令人满意：uT（y，0）≤ZTκ（s，n）ds+p（T，n），uT（y，0）≤L+L | L|ZTmax{1，eLs}κ（s，n）ds+max{1，eLT}p（T，n）,其中，函数κ（t，n）和p（t，n）取自（2.7）-（2.8）。证据让我们来看看∈ B（0，n）命题3.1确保ut（y，0）=supδ∈戴伊，0zterhs（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+eRTh（Yk，δk）dkg（YT）.从备注2.2我们得到| uT（y，0）|≤ZTκ（s，n）ds+p（T，n）。开往u将通过估算Lipschitz常数获得。

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kedemingshi

2022-5-10 17:46:09

为了方便起见，我们将用Ef（Yt（y，s））代替Ey，sf（Yt）|uT（y，0）- uT（y，0）|≤ supδ∈DEZT|f（Ys（\'y，0），δs）|erh（Yk（y，0），δk）dk- Ers（Yk（`y，t），δk）dkds+supδ∈Dextersh（Yk（y，0），δk）dkf（Ys（y，0），δs）- f（Ys（`y，0），δs）ds+supδ∈DE|g（YT（\'y，0））|eRTh（Yk（y，0），δk）dk- eRTh（Yk（`y，t），δk）dk+ supδ∈DEeRTh（Yk（y，0），δk）dkg（YT（y，0））- g（YT（y，0））.8 D.ZAWISZANote假设1满足，henceZs[h（Yk（y，t），δk）- h（Yk（`y，0），δk）]dk≤ LZs | Yk（y，0）- Yk（\'y，0）| dk≤ L|y- \'y | zselkd和相应的zsh（Yk（y，t），δk，η（δk））dk≤Zsh（Yk（`y，0），δk，η（δk））dk+L|y- “y|ZseLkdk。也就是说| f（Ys（\'y，0），δs）|erh（Yk（y，0），δk）dk- Ers（Yk（`y，0），δk）dk≤|f（Ys（\'y，0），δs）| ers（Yk（\'y，t），δk）dk+L | y-\'y | RseLkdk··Zs | h（Yk（y，t），δk）- h（Yk（`y，t），δk）|dk≤ L|y- y | | f（Ys（\'y，0），δs）| erh（Yk（\'y，t），δk）dk+L | y-\'y | RseLkdkZseLkdk≤L | L | max{1，eLs}| y- y | | f（Ys（\'y，0），δs）| erh（Yk（\'y，t），δk）dk+L | y-“y | RseLkdk，其中在第一个不等式中，我们使用了一个事实，即对于任何x，y≤ a、 |前- |≤ ea | x- y |。

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大多数88

2022-5-10 17:46:12

同样的推理也可用于获得| g（YT（\'y，0））|eRTh（Yk（y，0），δk）dk- eRTh（Yk（`y，0），δk）dk≤L | L | max{1，eLT}y- y | | g（YT（\'y，0））| | eRTh（Yk（\'y，t），δk）dk+L | y-\'y | RTeLkdk，eRTh（Yk（y，0），δk）dk | g（YT（y，0））- g（YT（\'y，0））|ds≤ L|y- \'y|eLTeRTh（Yk（y，0），δk）dk，erh（Yk（y，0），δk）dkf（Ys（y，0），δs）- f（Ys（`y，0），δs）ds≤ L|y- \'y|elsers（Yk（y，0），δk）dk。现在我们可以使用假设2将所有不等式归纳为| uT（y，0）- uT（y，0）|≤L+L | L||Y-y | EZTmax{1，eLs}| f（Ys（\'y，0），δs）| erh（Yk（\'y，t），δk，η（δk））ds+L |y-\'y | RseLkdkds≤L+L | L||Y- \'y|ZTmax{1，eLs}eL|y-\'y | RseLkdkκ（s，n）ds+max{1，eLT}eL |y-“y | RTeLkdkp（T，n），折扣奖励控制问题9，保证uT（y，0）≤L+L | L|ZTmax{1，eLs}κ（s，n）ds+max{1，eLT}p（T，n）.现在我们准备证明，对于无界函数f和h，值函数也是（3.1）的光滑解。引理3.4。假设假设1的所有条件都满足，并让函数F有界，h从上面有界。那么函数h（y，u，p）=maxδ∈D（i（y，δ）p+h（y，δ）u+f（y，δ））在紧致子空间上是Lipschitz连续的，且存在K>0的| h（y，0，0）|≤ K、 y型∈ RNH（y，u，p）- H（y，u，p）≤ K（u）- “u”，如果u>“u，y”∈ RN，p∈ RN（3.4）|H（y，u，p）- H（\'y，u，p）|≤ K（1+| p |）| y- “y |，u”∈ R、 y，y，p∈ RN | H（y，u，p）- H（y，u，\'p）|≤ K（1+| y |）| p- “p|u”∈ R、 y，p，p∈ 注册护士。证据让我们定义负（δ，y，u，p）=i（y，δ）p+h（y，δ）u+f（y，δ）。我们从不等式的证明（3.4）开始。注意我们有maxδ∈DG（y，u，p，δ）- 最大δ∈DG（y，u，p，δ）≤ 最大δ∈D（G（y，u，p，δ）- G（y，`u，p，δ））。andG（y，u，p，δ）- G（y，u，p，δ）=h（y，δ）（u- ’u）≤ h+（y，δ）（u）- “\'u”），这给了我们期望的结果。在剩下的证明中，有必要指出G是连续的且| maxδ∈DG（y，u，p，δ）- 最大δ∈DG（\'y，\'u，\'p，δ）|≤ 最大δ∈D | G（y，u，p，δ）- G（\'y，\'u，\'p，δ）|。提案3.5。

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能者818

2022-5-10 17:46:16

假设假设1的所有条件都满足，那么u（y，t）=supδ∈戴伊，tZTteRsh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds是光滑的（C2,1（RN×[0，T））∩ C（RN×[0，T]）解ut+u+maxδ∈Di（y，δ）u+h（y，δ）u+f（y，δ）= 0，t∈ [0，T），y∈ RNu（y，T）=g（y）。10 D.所有T∈ [0，T]和y∈ RN，我们有| u（y，t）|≤ZT-tκ（s，n）ds+p（t- t、 n）|u（y，t）|≤L+L | L|ZT-tmax{1，eLs}κ（s，n）ds+max{1，eL（T-t） }p（t）- t、 n）.证据让我们定义以下函数序列：hk（y，δ）=h（y，δ）if | y |≤ k、 h+（y，δ）2.-|y | k- H-（y，δ），如果k≤ |y|≤ 2k，-H-（y，δ）if | y |≥ 2k，fk（y，δ）=f（y，δ）if | y |≤ k、 f（y，δ）2.-|y | k, 如果k≤ |y|≤ 2k，0如果| y |≥ 2k，gk（y）=g（y）if | y |≤ k、 g（y）2.-|y | k, 如果k≤ |y|≤ 2k，0如果| y |≥ 2k。注意，Limk→∞hk（y，δ）=h（y，δ），limk→∞fk（y，δ）=f（y，δ），limk→∞gk（y）=g（y），hk（y，δ）≤ h（y，δ），|fk（y，δ）|≤ |f（y，δ）|，|gk（y）|≤ |g（y）| | hk（y，δ，η）- hk（`y，δ）|≤ Lk | y- \'y |，| fk（y，δ）- fk（`y，δ）|≤ Lk | y- \'y |，| gk（y）- gk（\'y）|≤ Lk | y- 其中Lk:=2L（1+k）。此外，fk、GK和hkis从上方有界。因此，收集引理3.4和Friedman[12，定理2.1]我们得到，对于所有T>0，存在uk——柯西问题（3.5）的有界解+u+maxδ∈Di（y，δ）u+hk（y，δ）u+fk（y，δ）= 0，终端条件u（y，T）=gk（y）。命题3.3确保（3.5）的解具有代表性Uk（y，t）=supδ∈戴伊，tZTteRsthk（Yl，δl）dlfk（Ys，δs）ds,尽管如此∈ B（0，n）满足以下不等式：折扣报酬控制问题11 | uk（y，t）|≤ZT-tκ（s，n）ds+p（t- t、 n）|英国（y，t）|≤Lk+Lk | L|ZT-tmax{1，eLs}κ（s，n）ds+max{1，eL（T-t） }p（t）- t、 n）,为了获得其他导数及其Lipschitz常数的局部一致界，我们可以将Uk乘以具有紧支撑的类C的函数α，这样α≡ 1在集合B（0，n）×（t，t）上。

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何人来此

2022-5-10 17:46:20

现在，我们可以组合来自Fleming和Rischel[9]的（E8）和（E9），以获得uk的第一个导数在B（0，n）×（t，t）上所需的均匀界。二阶导数的界我jukwe可以通过标准的Schauder估计得到。借助于Arzel-Ascolli引理应用标准论点，我们可以推断出uk的某些子序列存在∧u（y，t）极限。此外，收敛性在（y，t）和所有合适的导数中保持局部一致。多亏了这一点，我们立即得到了∈ C2,1（RN×[0，T））∩ C（RN×[0，T]），是~ut+~u+maxδ∈Di（y，δ）~u+h（y，δ）~u+f（y，δ）= 0，t∈ [0，T），y∈ rnu（y，T）=g（y）。由于条件2.7已经满足，我们可以应用命题3.1来获得u（y，t）=u（y，t）=supδ∈戴伊，tZTteRsth（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+eRTth（Yl，δl）dlg（YT）.4.无限视界模拟一旦我们对有限视界问题有了理想的结果，我们就可以将时间视界传递给有限视界问题，并证明适用于有限视界问题的结果。定理4.1。假设假设1和假设2的所有条件都满足。那么v（y）=supδ∈戴伊，0Z+∞erh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds是（4.1）的光滑（C（RN））溶液v+maxδ∈Di（y，δ）v+h（y，δ）v+f（y，δ）= 0.证明。让我们来兜售解决方案吧+u+maxδ∈Di（y，δ）u+h（y，δ）u+f（y，δ）= 0,12 D.扎维萨在命题3.5中构建。这里需要注意的是v（y，t）=uT（y，t- t） =ut（y，0）是及物动词-五、- 最大δ∈Di（y，δ）v+h（y，δ）v+f（y，δ）= 0，t∈ （0，T]v（y，0）=0。尽管如此∈ B（0，n）| v（y，t）|≤ LZtκ（s，n）ds,|v（y，t）|≤L+L | L|Ztmax{1，eLs}κ（s，n）ds,现在，让我们考虑一下关于电视（y，t）。也就是说，t>0是固定的。

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mingdashike22

2022-5-10 17:46:23

观察0<ξ<t | ut（y，0）- 美国犹他州-ξ（y，0）|≤ supδ∈DI（t，y，η，δ）- I（t）- ξ、 y，η，δ）,式中i（t，y，η，δ）：=Ey，0zterhs（Yk，δk）dk | f（Ys，δs）|ds.注意I（t，y，δ）- I（t）- ξ、 y，δ）= 哦，0Ztt-ξerh（Yk，δk）dk | f（Ys，δs）|ds≤Ztt-ξκ（s，n）ds≤ ξmax∈[t]-ξ、 t]κ（s，n），产生（4.2）电视（y，t）≤ κ（t，n）。将通过取极限v（y）=limt来构造解决方案→∞v（y，t）（满足该极限存在假设2）。正如前面定理的证明一样，我们可以将Fleming和Rishel[9]中的E8和E9结合起来，以获得所有导数的合适界。根据Arzel-Ascolli引理，对于每个B（0，n），都存在一个序列（tn，n=1，2，…）使得v（y，tn）收敛到某个两次连续可微函数，而且，通过适当的导数，该收敛在局部保持一致。此外，从（4.2）可以得出limn→∞电视（y，tn）=0。这表明v是（4.1）的解决方案。这里应该注意的是，在有限视界的情况下，我们只证明了价值函数是偏微分方程的光滑解，但我们仍然不确定（4.1）中的最大值是否决定了问题的最优控制。我们建议使用以下结果来代替标准推理，这可以应用于许多经典问题公式。折扣报酬控制问题13命题4.2。假设limn→∞Tn=+∞ 和（δn，n）∈ N）是一系列渐进可测量的过程，如limn→∞δnt=δta。s、还有limn→∞Yδnt→ Yδta。s、在定理4.1的条件下，我们得到了limn→∞Ey，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dk | f（Yns，δns）| ds=Ey，0Z+∞erh（Yδk，δk）dk | f（Ys，δs）|ds。证据固定ε>0。

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何人来此

2022-5-10 17:46:28

注意，存在n∈ N以至于对于任何N≥ nsupδ∈戴伊，0Z+∞tNers（Yk，δnk）dk | f（Ys，δs）| ds<ε并且存在n′，使得对于任何n≥ n′Y，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dkf（Yδns，δns）ds- Ey，0ZTneRsh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds<ε.修理≥ max{n，n′}并考虑Y，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dkf（Yδns，δns）ds- 哦，0Z+∞erh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds≤Y，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dkf（Yδnk，δns）ds- Ey，0ZTneRsh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+ Y，0ZTnTneRsh（Yδnk，δnk）dk | f（Yδns，δns）| ds+Ey，0Z+∞tnerhs（Yk，δk）dk | f（Ys，δs）| ds<ε。上述结果表明，在许多问题中，我们可以找到一系列有限时间范围公式的最优反馈控制δn（y，t），并证明它们收敛于有限时间范围反馈控制δ（y，t）。为了完成这个推理，我们还应该检查一下limn→∞Yδnt=Yδt。使用以下结果将是有用的。提案4.3。Le t bk（y，t），k∈ N是连续函数族，存在常数K>0和序列Kn>0，N∈ N（独立于k）使得| bk（y，t）- bk（\'y，t）|≤ Kn | y- \'y |，y，\'y∈ B（0，n），t∈ [0，T]，|bk（y，T）|≤ K（1+| y |），y∈ RN，t∈ [0，T]。再进一步设想一下，那只脚→∞bk（y，t）=b（y，t），其中b（y，t）是连续函数，Yk，k∈ N是溶液的顺序，todYkt=bk（Ykt，t）dt+dWt。然后limk→∞Ykt=Yta。s、对于所有t>0，其中Y是todYt=b（Yt，t）dt+dWt的解。14 D.扎维萨证明。首先假设所有n的Kn=K′∈ N.然后，|Ykt-Yt|≤Zt | bk（Yks，s）-b（Ys，s）|ds≤Zt | bk（Yks，s）-bk（Ys，s）| ds+Zt | bk（Ys，s）-b（Ys，s）|ds≤ K′Zt | Yks- Ys | ds+Zt | bk（Ys，s）- b（Ys，s）|ds。利用Gronwall不等式和limk→∞Rt | bk（Ys，s）- b（Ys，s）| ds=0对于allt>0，我们得到limk→∞Ykt=Yta。s、对于任何t>0的情况。

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nandehutu2022

2022-5-10 17:46:31

现在让我们考虑一下一般问题，并定义sequencebnk（y，t）=bk（y，t）if | y |≤ n、 bk（y，t）2.-|y | n, 如果n≤ |y|≤ 2n，0如果| y |≥ 2n。修理∈ N并考虑差异Dyk，nt=bnk（Yk，nt，t）dt+dWt的顺序。我们已经证明了limk→∞Yk，nt=Ynt。因为bnk（y，t）=bk（y，t）代表所有y∈ B（0，n），然后由弗里德曼[11，第5章，定理2.1]P（sup0≤T≤τn，k | Yk，nt- Ykt |=0）=1，P（sup0≤T≤τn|Ynt- Yt |=0）=1对于所有k，n∈ N、式中，τk是过程ykb（0，N）的第一个出口。使用（2.5）我们知道| Yk，nt |≤LT+| y |+最大值∈[0，T]| Wt|埃克莱特的定义OhmN={ω∈ Ohm|LT+| y |+最大值∈[0，T]| Wt|eKT≤ N} 。重要的是要注意这一点+∞N=1OhmN=Ohm.如果我们∈ N取任意ω∈ Ohmn|Yk，nt（ω）|≤ N代表所有k，N∈ 但是我们知道这一点≤T≤T | YNt（ω）- Yt（ω）|=0和sup0≤T≤T | Yk，Nt（ω）- 几乎所有ω的Ykt（ω）|=0∈ OhmN.将这种推理应用于每一个N∈ N我们得到P（对于所有t∈ [0，T]limk→∞Ykt=Yt=1。备注4.4。迄今为止给出的所有结果都可以推广到形式为Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程的极大极小问题+u+maxδ∈Dminη∈Γ[i（y，δ）+l（δ，η）]u+h（y，δ，η）u+f（y，δ，η）= 0，t∈ [0，T），y∈ RN，折扣报酬控制问题及其有限期模拟。在这种情况下，可以导出Kalton-Elliott形式的随机表示：u（y，t）=supδ∈Dinfη∈NEl（δ，η（δ））y，tZTteRsth（Yk，δk，η（δk））dkf（Ys，δs，η（δs））ds+erth（Yk，δk，η（δk））dkg（YT）,式中，Y是dYt=i（Yt，δt，η（δt））dt+dWt的解，D是以D为值的所有渐进可测过程的类，N是所有函数的族：η：D×[0+∞)×Ohm →Γ的性质是∈ D过程（η（δt）：=η（δt，t，·）|0≤ t<+∞) 我是可测量的。

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kedemingshi

2022-5-10 17:46:35

表达式El（δ，η（δ））y，用来表示在测量Ql（δ，η（δ））下的期望值，其中dql（δ，η（δ））dP=expZTl（δs，η（δs））dWs-ZT | l（δs，η（δs））|ds.有关更多详细信息，请参见Zawisza[25，引理4.1]。一旦我们建立了这样的表述，我们就可以重复本文中包含的所有结果和证明。对于其他可处理的极小极大问题和可能的随机表示，我们推荐Fleming和Hernandez[6]的工作。最优消费-投资问题5。1.消费投资问题。假设投资者可以投资两种原始证券：银行账户（Bt，0≤ t<+∞) 和a股（St，0≤ t<+∞). 我们还假设价格受其他可观察随机因素（Yt，0）的影响≤ t<+∞).该因素可能代表不确定性的另一个来源，例如：随机波动性、随机利率或其他经济条件。我们的经济由以下随机微分方程组给出dBt=r（Yt）Btdt，dSt=[r（Yt）+b（Yt）]Stdt+σ（Yt）StdWt，dYt=i（Yt）dt+（ρdWt+p1- ρdWt），其中与Wand-Ware无关的Wiener过程，ρ是相关系数。投资者财富过程的动力学（Xπ，ct，0≤ t<+∞) 由随机微分方程（5.1）给出（dXt=（r（Yt）Xt+πtb（Yt）Xt）dt+πtσ（Yt）XtdWt）- ctXtdt，Xs=x，其中x表示投资者当前的财富，π我们可以解释为资本投资，而c是消费率。我们假设π和c是渐进可测的，并且只允许在区间内取值[-R、 R]和[0，m]分别。投资者的目标是最大化jπ，c（x，y，t）=Ex，y，tE-wT（XπT）γγ+ZTte-ws（csXs）γds,或者它的有限视界类似物kπ，c（x，y）=Ex，yZ+∞E-ws（csXs）γds,其中w>0是一个折扣系数。上述模型是modelspropose的一些扩展，例如，在：Chang et。

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可人4

2022-5-10 17:46:38

al[4]，Korn and Kraft[15]，Trybu la[23]，然而，对于我们在这里限制的那些工作，当π，c是约束过程时，是不合适的。不受约束的问题将在其他地方处理。注意，在π和c过程的一些温和条件下，方程（5.1）存在唯一的强解，由xt=xeRts[r（Yk）+b（Yk）πk给出-σ（Yk）πk-ck]dk+RTtσ（Yk）πkdWk。上述过程是在起始条件Xs=x下确定的。因此，函数jπ，c（x，y，t）和Kπ，c（x，y）可以用以下方式转换：jπ，c（x，y，t）=xγγEQπTy，0“eRTt（γ[r（Ys）+b（Ys）πs-(1-γ） σ（Ys）πs-[政务司司长]-w） ds+ZTteRst（γ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1-γ） σ（Yk）πk-[ck]-w） dkcγsds#，Kπ，c（x，y）=limT→+∞等式πTy，0ZTeRs（γ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1-γ） σ（Yk）πk-[ck]-w） dkcγSdsweedqπTdP=e-RTσ（Yk）πkdk+RTσ（Yk）πkdwk和πk=0表示所有k≤ t（适用于有限地平线案例）。这表明termxγγ可以省略，只需要考虑只依赖于（y，t）的函数。Girsanow定理给了我们考虑形式为（5.2）ut+uy+i（y）uy+maxπ的HJB的动机∈[-R、 R]ρπσ（y）uy+γb（y）π-(γ - γ） πσ（y）U+ 马克斯∈[0，m](-γcu+cγ）+[γr（y）- w] u=0，终端条件u（y，T）=1。考虑到假设1和假设2，我们假设如下。折扣报酬控制问题假设3。存在L>0，L<0，对于i，ζ=b，σ，r，i和所有y，\'y∈ RN，我们有|ζ（y）- ζ（\'y）|≤ L|y- “y”|，（y）- “y”[i（y）- i（\'y）]≤ L|y- “y”。提议5.1。假设假设3的所有条件都满足，则存在C2,1（RN×[0，T））∩ （5.2）的C（RN×[0，T]）解。此外，（5.2）中的任何Borel可测最大化子都是Jπ，c（x，y，t）的最优反馈策略。证据定理（3.5）证明了（5.2）的光滑解的存在性。让u代表这个定理中构造的解。

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kedemingshi

2022-5-10 17:46:42

为了证明（5.2）中的极大化子是一个最优反馈策略，有必要观察到对于任何策略πEQπTy，tsup0≤s≤TeRsth（Yk，δk）dk|u（Ys，s）|+∞我们可以应用标准的修正论证（例如，参见Zawisza[26，附录，定理6.1]的推理）。假设4。存在一个确定性函数κ（t，n），t>0，n∈ N、对于任何逐步可测量的控制（π）取值[-R、我们有eqπty，0eRt（h（Yk，πk））dk≤ κ（t，n），y∈ B（0，n），Z+∞κ（t，n）dt<+∞,其中h（y，π）=γ[r（y）+b（y）π-(1 - γ） σ（y）π]- w、现在是考虑有限水平HJB:（5.3）uy y+i（y）uy+maxπ的时候了∈[-R、 R]ρπσ（y）uy+γb（y）π-(γ - γ） πσ（y）U+ 马克斯∈[0，m](-γcu+cγ）+[γr（y）- w] u=0。提议5.2。假设假设3和假设4的所有条件都满足，则（5.3）存在C（RN）解。此外，对于Kπ，c（x，y），任何Borel可测极大值（5.3）都是最优反馈策略。证据定理4.1构造了（5.3）的光滑经典解。为了证明方程中的最大值决定最优策略，有必要证明命题4.2的类比。下面的引理显示了如何确定贴现系数w，以确保满足假设4的所有条件。18 D.ZAWISZALemma 5.3。假设存在α，β，P，Q≥ 0，α6=0 thati（y）≤ -αy+β，γr（y）- W≤ -P+Qy，δ∈ D、 η∈ Γ，y∈ 对于所有连续过程π，我们有ztγ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1 - γ） σ（Yk）πk]- Wdk≤γQβα- γPt+γQy+α+Ztψ（Ys，s，t）ds+γQZtα1.- eα（s）-（t）dWπs，其中ψ（y，s，t）=maxπ∈[-R、 R]γQρα（1）- eα（s）-t））+γb（y）πσ（y）dk-(γ - γ） σ（y）π- WWπ：=ρW1，π+p1- ρW，W1，πt=Wt-Rtπsσ（Ys）ds。证据

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kedemingshi

2022-5-10 17:46:47

注意，在量度Qπt下，过程Y具有以下动力学dynamicDyt=[i（Yt）+ρπtσ（Yt）]dt+dWπt。重复命题2.4证明中的步骤，我们得到ztys≤y+α+βαt+ρZte-αsZseαkπkσ（Yk）dkds+Ztα1.- eα（s）-（t）dWπs。通过部件的集成，usZte-αsZseαkρπkσ（Yk）dkds=ραZt（1）- eα（k）-t） πkσ（Yk）dk。因此zt（γr（Yk）- w） dk≤ -pt+Qy+α+QραZt（1-eα（k）-t） πkσ（Yk）dk+Qβαt+QZtα1.- eα（s）-（t）dWπ砂，因此ztγ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1 - γ） σ（Yk）πk]- wdk≤γQβα- γPt+γQy+α+ZtγQρα（1）- eα（k）-t））+γb（Yk）πkσ（Yk）dk-Zt(γ - γ） σ（Yk）πk- Wdk+γQZtα1.- eα（s）-（t）dWπs。上述结果可以很容易地推广到多资产和多因素模型。关于泛化的可能方向，请参见Berdjane和Pergamenschikov[2]，Noh和Kim[18]。此外，备注4.4指出了稳健投资组合优化问题的可能扩展（见Schied[22]、Flor and Larsen[10]或Gagliardini等人[13]）。折扣报酬控制问题19参考文献[1]Y.Aktar，E.Ta flin，关于具有幂终端成本函数和随机波动性的随机控制问题的光滑解的评论，数学。财务部。经济。，8（2014），第489-509页。[2] B.Berdjane，S.Pergamenschikov，《随机系数市场的最佳消费和投资》，金融史托赫。，17（2013），第419-446页[3]N.Castaneda Leyva，D.Herndadez Herndadez，最优消费-不完全市场中随机系数的投资问题，暹罗J.控制优化。，44（2005），第1322-1344页。[4] 张浩，荣X，赵浩，何利利率模型下的最优投资和消费决策，数学12（2013），第1065-1075页。[5] W.H.Fleming，D.Hernandez-Hernandez，一个具有随机波动性的最优消费模型，金融Stoch。，7（2003），第245-262页。[6] W.H.Fleming，D.Hernandez Hernandez，关于stoc hastic微分游戏的价值，Common。斯托克。肛门。，5（2011），pp。

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大多数88

2022-5-10 17:46:51

341–351.[7] W.H.Fleming，W.M.McEneaney，《有限时间范围内的风险敏感控制》，暹罗J.控制。擎天柱。33 (1995), 1881–1915.[8] W.H.Fleming，T.Pang，随机控制理论在金融经济学中的应用，暹罗J.控制优化。，43（2004），第502-531页。[9] W.H.Fleming，R.W.Rishel，确定性和stoc-hastic最优控制，纽约斯普林格（1975）。[10] C.Flor，L.Larsen，《随机利率下的稳健投资组合选择》，安。财务部。10（2014），第243-265页。[11] A.Friedman，随机微分方程和应用。第一卷，概率与数理统计，第28卷。学术出版社，纽约-伦敦，1975年。[12] A.Friedman，《一阶偏微分方程的Cauchy P问题》，印第安纳大学数学。J.，23（1973），第27-40页。[13] P.Gagliardini，P.Porchia，F.Trojai，《歧义厌恶和利率的期限结构》，修订版。财务部。螺柱。，22（2009），第4147-4188页。[14] 哈塔。，J.Sheu，关于最优消费问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程：I.解的存在性，SIAM J.Control Optim。，50（2012），第2373-2400页。[15] R.Korn，H.Kraft，《具有随机利率的投资组合问题的随机控制方法》，暹罗J.control and Optim。，40（2001/02），第1250-1269页。[16] J.D.Lopez Barrientos，H.Jasso Fuentes，B.A.Escobedo Trujillo，《马尔科夫扩散过程的贴现鲁棒控制》，TOP，23（2015），第53-76.20页D.ZAWISZA[17]W.M.McEneney，《风险敏感随机控制、差异性和H-in finity控制之间的联系：非线性案例》，布朗大学博士论文，1993年。[18] Noh，J.H.Kim，一个具有随机hastic v效用和随机利率的最优投资组合模型，J.Math。肛门。应用程序。，375（2011），第510-522页。[19] 彭天明，有限时间范围内的投资组合优化模型，J.Optim。理论应用。，122（2004），pp。

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何人来此

2022-5-10 17:46:56

573 – 597.[20] H.Pham，具有随机v效用和投资组合约束的最优投资模型的光滑解。阿普尔。数学Optim。，46（2002），第55-78页。[21]G.Rubio，带局部条件的线性和半线性抛物方程柯西问题的存在唯一性，ESAIM:Proc。，31（2011），第73-100页。[22]A.消费投资数学问题的Schied鲁棒最优控制。冰毒。歌剧第67号决议（2008年），第1-20页。[23]J.Trybu la，Vasicek模型中的最优消费问题，Opuscula Math。，35（2015），第547-560页。[24]A.余。Veretennikov，关于随机积分方程解的强解和显式公式，数学。苏联。，39（1981），第387-403页。[25]D.Zawisza，《有限期内的稳健消费投资问题》，应用。数学选择72（2015），第469-491页。[26]Zawisza D.模型错误下的目标实现投资组合：二次优化框架应用。数学39（2012），425–443Dariusz Zawisza，数学与计算机科学学院，克拉科夫贾吉耶伦大学，波兰克拉科夫630-348，邮政地址：dariusz。zawisza@im.uj.edu.pl

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