随机变量最优投资影子价格的存在性

2022-5-10 17:56:51

随机禀赋最优投资影子价格的存在性*1,2和杨俊建1,2分别在维恩大学f-ur Mathematik，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Wien，澳大利亚数学研究中心，理工学院，f-91128 Palaiseau Cedex，Francespter 2018年12月19日摘要在本文中，我们考虑了在恒定比例交易成本和随机捐赠下基于数值的效用最大化问题。假设代理人不能卖空资产，并且被赋予严格正的或有权益，则存在效用最大化问题的首要优化问题。此外，我们观察到，具有交易成本的原始市场可以被产生相同最优性的无摩擦影子市场所取代。另一方面，我们举了一个例子来说明，在某些情况下，当这些约束放松时，影子价格的存在仍然是有理由的。2010年。91B16；91G10个单词。效用最大化，随机捐赠，交易成本，无卖空约束，影子价格最近，比例交易成本下的市场效用最大化问题受到了许多作者的关注。在这样的市场中，投资者被假定以高于卖出时收到的出价的要价购买证券。比例交易成本的存在使我们能够以无套利的方式考虑半鞅以外模型的投资组合优化，这在经济上是有意义的（参见[27,28]）。在具有对数效用的默顿模型上，比例交易成本下的投资组合优化问题可以追溯到Magill和Constantinides[42]和Constantinides[8]。

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2022-5-10 17:56:54

在他们的启发性研究中，他们得出结论，最佳方法是将所有资产的当前持有量保持在一个非贸易区，并仅在该区域的边界进行交易。后来，许多作者对这个问题进行了广泛的研究，其中包括塔克萨等人。[47]首先介绍了财富增长率最大化背景下的奇异随机控制工具。戴维斯和诺曼[16]对*通讯作者：易青。lin@polytechnique.eduproblem在[42,8]中，通过求解非线性偏微分方程的自由边界问题来计算边界的位置。之后，Shreve和Soner[46]通过引入粘性溶液扩展了[16]的结果。对于渐近功率增长率的最大化问题，我们还参考了Dumas和Luciano[20]，在可处理的情况下构造了显式解。除了随机控制方法外，这个效用最大化问题也通过凸对偶方法用更一般的模型进行了研究。由Cvitani\'c和Karatzas[9]提出，构造辅助对偶问题的思想被广泛应用于各种情况（例如[31,17,3,4,5,12,15]）。据观察，即使是很小的交易成本也会极大地影响投资者在效用最大化方面的最佳选择（参见[40]）。因此，一个自然产生的问题是，交易成本对最优策略和最大效用的影响是否可以在无摩擦市场中重现；从数学上讲，对于一个给定的效用最大化问题，我们想知道在买入价和卖出价之间是否存在一个半鞅过程，称为影子价格，这样，在这种价格过程中以无摩擦的方式进行交易，在交易成本下会导致同样的最优性。

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2022-5-10 17:56:57

根据Kallsen和Muhle Karbe[34]，这个问题的答案在有限概率空间中是肯定的。然而，在更一般的情况下，这个问题是难以捉摸的。利用几何布朗运动模型，Kallsen和Muhle Karbe[33]利用随机控制工具考虑了具有对数效用的有限期最优投资和消费问题，并通过求解自由边界问题明确构造了影子价格。在同一个框架中，这个想法后来在[7,29]中被推广，用于电力公司推导影子价格。出于同样的原因，Gerhold等人[23,22]在时间范围变得有限时，构建了对数和长期幂函数的影子价格。[9]的作者用凸对偶方法考虑了一个类似的问题，并证明了如果一个合适的对偶问题的解可以通过一个（局部）鞅的所谓一致价格系统（CPS）来实现，那么最优解的特征是在与该CPS相关的“影子”市场中解一个套期保值问题。Czichowsky等人最近在两个方面澄清和强化了这种“民间传说”：首先，在[12]中观察到，即使在只有效用函数自然规律条件的一般c`adl`ag股价过程框架内，Cvitani`c和Karatzas的结果也成立；第二，在[15]中找到了确保最优对偶过程的局部鞅性质的充分（但不是必要）条件，即S是连续的，且满足“有界风险的无无界概率”（NUP BR）。随后，该条件被[11]中“双向交叉”的较弱条件（TWC）所取代。

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2022-5-10 17:57:01

值得一提的是，在[12]中，影子价格的概念被推广到了一种三明治形式，它适用于由具有c`adl`ag路径的股票价格过程驱动的市场。后来，Bayraktar和Yu[1]采用了这个想法，以研究一个类似的问题，但具有随机禀赋：只要对偶结果成立，并且假定对偶优化器上有一个有效条件，他们就在三明治意义上构造了影子价格[12]。当效用函数在整条实线上定义时，Czichowsky和Schachermayer[14]证明，只要原始优化器是可实现的，对偶优化器就定义了影子价格。特别是，如果S是指数分数布朗运动，这是可以保证的。此外，我们参考[39]对[14]中的结果进行了随机归纳。Loewenstein[41]没有研究对偶优化器，而是在没有卖空约束的情况下，直接从动态原始值函数的导数构建影子市场。该论点基于约束原始解的存在性，这是[41]提出的假设，但Benedetti等人[2]在将Loewenstein的方法应用于卡巴诺夫的多货币模型的类似问题时证实了这一点。在本文中，我们一方面考虑了在无卖空约束条件下，具有固定比例交易成本和随机捐赠的基于数量的效用最大化问题。与文献[1]相比，我们的方法是直接研究原始问题，而不考虑对偶问题。首先，我们受到[43，第3.3节]的启发，证明了约束原解的存在性。其次，在假设代理人被赋予正随机禀赋而非确定性初始财富的情况下，我们按照[41,2]的思路直接从原始解构造影子价格。

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2022-5-10 17:57:04

与文献[1]相比，我们的结果旨在证明经典影子价格过程而不是三明治过程的存在性，并且消除了文献[1]中关于随机禀赋的正则性条件。另一方面，我们讨论了当违反约束条件且允许随机捐赠受益时，影子价格的存在性。我们在Black-Scholes框架中提供了一个具有建设性随机性的例子。在这个例子中，影子价格是存在的，可以明确定义。本文的组织结构如下。在第二节中，我们引入了符号，并在具有随机禀赋的比例交易成本下建立了效用最大化问题。第3节给出了我们的主要结果，即无卖空约束下影子价格的存在。接下来，我们在第4节中提供了一个例子，它不属于第3节中研究的框架，但是影子价格可以明确定义。2问题的表述在本节中，我们将简要介绍随机捐赠和交易成本市场中效用最大化问题的基本设置，以及经典意义上的影子价格定义。读者对这些主题的细节更感兴趣，请参考[33,34,2,10,15]。我们考虑一个基于数字的模型：金融市场由两种资产组成，一种债券和一种股票，其中债券B的价格是恒定的，并标准化为B≡ 1.我们用S=（St）0表示≤T≤t基于过滤概率空间的股票价格过程(Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 P）满足右连续性和饱和性的通常假设，其中假设Fis是微不足道的。在这里，T是一个有限的时间范围。在这个等式中，我们表示L(Ohm, F、 P）陆路(Ohm, F、 P）由L.在本文中，我们做出以下假设：假设2.1。

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2022-5-10 17:57:07

价格过程S=（St）0≤T≤它适应于（英尺）0≤T≤T、用c\'adl\'ag和严格正路径。此外，英国《金融时报》-= 弗坦德街-= ST.与[15]类似，我们引入股票交易的恒定比例交易成本0<λ<1，这模拟了买卖价差的宽度。代理人必须支付更高的要价才能购买股票，但只能收到更低的出价（1）- λ）在吃的时候。作为无摩擦情形下鞅测度的对应物，一致价格系统（CPS）在具有交易成本的框架中发挥着非常重要的作用（例如[32,45]）。在本文中，为了建立效用最大化问题，我们采用了一个扩展的概念——λ-超鞅CPS，定义与[2]类似。定义2.2。固定λ>0，价格过程S=（St）0≤T≤t满足假设2.1。λ-上鞅CPS是两个正过程Z=（Zt，Zt）0的耦合≤T≤t考虑两个超级大分子Zand Z，这样szt:=ZtZt∈ [(1 - λ） St，St]，a.s.，（2.1）适用于所有0≤ T≤ T所有λ-上鞅cps的集合用Zλsup表示。我们现在介绍关于超鞅CPS存在性的以下假设：假设2.3。对于一些0<λ<λ，我们有Zλsup6=.备注2.4。我们注意到，在无摩擦理论中，该条件对应于“无无限利润，有界风险”，对投资组合没有卖空约束，见[35]。备注2.5。我们不需要所有的0<λ<λ，我们只需要上面的条件对一些0<λ<λ成立，类似于[45]中的引理3.1。这个条件足以证明可容许终端财富集的凸紧性和L-有界性。在这种交易成本下的市场中，通常采用以下自我融资交易策略的定义，例如[44,45]。定义2.6。固定λ∈ (0, 1).

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2022-5-10 17:57:12

交易成本λ下的自融资交易策略是一个可预测的R值有限变化过程=（t，t）0≤T≤Tsuch thatZtsd~n0，↑u=Zts（1- λ） SudД1，↓u、 Ztsd~n0，↓u=ZtsSudа1，↑u、对于所有0≤ s≤ T≤ T，在哪里↑以及↓表示φ的Jordan-Hahn分解。流程φ和φt描述了在时间t时债券的金额和股票的数量∈ [0，T]。假设，除了能够在金融市场上交易外，代理人在终端时间T被赋予正随机捐赠，这是由一个可测量的随机变量描述的。假设2.7。捐赠基金∈ FTI是一个严格正的有限值随机变量，可分解为确定性部分和随机部分，即eT=x+eT，其中x>0和eT≥ 0，a.s.我们假设x是代理人安第斯在T时的初始财富。备注2.8。在金融市场中，ETF可以解释为积极的或有权益，例如期权合同。在本文中，我们将考虑一个与inBenedetti等人[2]类似的效用最大化问题，其中代理人面临无卖空约束，这迫使他同时保持债券金额和股票数量为正。换言之，对于初始财富x，代理人只允许使用定义如下的可接受策略进行交易：定义2.9。交易成本下λ∈ （0,1），如果对于每一个T，一个自我融资策略是允许的，则称之为允许的∈ [0，T]我们有这个≥ 0和ηt≥ 我们用λ（x）表示所有这些策略的集合。此外，我们定义λ（x）：=ng∈ L+G≤ νT，对于某些人（ν，ν）∈ Aλ（x）o.我们假设代理人对终端财富的偏好由效用函数U：（0，∞) → R、这是严格增加的，严格凹进的，持续可区分的。

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2022-5-10 17:57:16

此外，函数U满足Inada条件，即U（0）：=limx→0U（x）=∞ 你呢(∞) := 利克斯→∞U（x）=0。以及合理渐近弹性（RAE）的下列条件。假设2.10。效用函数U满足合理的渐近弹性，即AE（U）：=lim supx→∞xU（x）U（x）<1，表示V:R+→ R由v（y）定义的U的凸共轭函数：=supx>0{U（x）- xy}，y>0，这是严格递减的，严格凸的，连续可微且可满足的v（0）=-∞, 五(∞) = 0，V（0）=U(∞), 五(∞) = U（0）。关于财务解释和关于之前假设的更多结果，我们参考[37]和[38]。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设(∞) > 0以简化分析并确定U（x）=-∞ 每当x≤ 0.然后，代理人的问题是，在终端时间T，从其从交易中获得的债券账户和随机捐赠，即u（x；eT）：=supg，最大化预期效用∈Cλ（x）E[U（g+eT）]。（2.2）对于Z∈ Zλsup，定义SZ:=ZZ。根据定义，SZ是一个正半鞅，取值于[（1）]- λ） S，S]。然后，我们可以构造一个无摩擦市场，由一个零利率债券和一个标的资产组成，其价格过程为SZ。根据交易成本下的先前设置，我们采用了以下自我融资交易策略的概念。定义2.11。

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2022-5-10 17:57:21

在与SZ相关的无摩擦市场中，从（x，0）开始的R值可预测过程e~n：=（e~nt，e~nt）是一种自我融资的交易策略，如果e~n是SZ可积且e~nt+e~ntSZt=x+Zte~nudSZu，0≤ T≤ T.在这里，e k和e k T说明债券的金额和在T时持有的股票数量∈ [0，T]。我们将为带有SZ的无摩擦模型建立一个效用最大化问题。根据（2.2），我们始终假设两项资产都不能做空，因此在所有可接受的策略上，最大化问题都成立，定义如下。定义2.12。让SZ:=ZZ，对于一些Z∈ Zλsup。如果我们有自己的融资策略，那么在SZ驱动的市场中，自我融资策略是可以接受的≥ 0和e~nt≥ 0，a.s.，代表所有0≤ T≤ T我们用AZ（x）表示从（x，0）开始的所有此类可接受交易策略的集合。此外，我们定义了（x）：=如∈ L+如≤ e k T+e k TSZT，对于某些（e k，e k）∈ AZ（x）.引理2.13。在具有交易成本的市场中，交易策略的回报可能由在SZ、Z驱动的可能更有利的无摩擦市场中交易的一些结果决定∈ Zλsup。即fix Z∈ Zλsupand let（а，а）∈ Aλ（x）是任意的，则存在A（e~n，e~n）∈ AZ（x）使得≥ ~ntand e~nt≥ 对于所有0≤ T≤ T证据对于任何（~n，~n）∈ Aλ（x），因为（ν，~n）是一种λ-自我融资交易策略，我们有一种交易策略，即аt+аtSZt=x+Ztdаu+ZtаudSZu+ZtSZudаu=x+Zt（dаu+SZudаu）+ZtаudSZu udSZu≤ x+Zt~nudSZu。我们注意到，本文通篇采用了[13，第7节]中的随机积分概念。然后，在与SZby相关的无摩擦市场中制定一个自我融资的交易策略e k t:=x+Zt k udSZu- ~ntSZt≥ ηt，et:=t，满足（2.3）。显然，Cλ（x） CZ（x），对于任何Z∈ Zλsup。

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2022-5-10 17:57:27

因此，lettinguZ（x；eT）：=supeg∈CZ（x）E[U（eg+eT）]，它跟随着U（x；eT）≤ infZ∈ZλsupuZ（x；eT），这意味着每个无摩擦市场的投资机会比有交易成本的市场更好，至少不会更差。一个有趣的问题是是否存在一个最不受欢迎的BZ∈ Zλsup，使得间隙是闭合的，即不等式变成了等式。如果是这样，相应的价格过程SbZ:=bZbZis称为影子价格。以下是影子价格的定义，类似于[2，定义3.9]。定义2.14。确定初始值x和终端随机捐赠等。我们假设不允许卖空任何一种资产。然后，与somebZ相关的过程sbza:=bZ（x，eT）∈ Zλsup称为影子价格过程ifsupg∈Cλ（x）E[U（g+eT）]=supeg∈CbZ（x）E[U（eg+eT）]3问题的可解性和影子价格的存在性在这一节中，我们将给出我们的主要结果，即（2.2）的可解性和影子价格的存在性。3.1主要理论[34,10,12,15,11]用对偶方法研究了既没有短期销售约束也没有随机捐赠的效用最大化问题的影子价格的存在性。相比之下，我们将按照[2]的直线直接求解（2.2）。首先，我们展示了一个类似于[2，引理4.1]：引理3.1的超复制定理。对于任何一个Z∈ Zλsup，过程Zа+Zа对于任何（а，а）∈ Aλ（x）。证据由于（ν，ν）具有有限的变异性，且（Z，Z）是一个超鞅，我们得到了Ztаt+Ztаt=（Zа+Zа）+Zt（аudZu+аudZu）+Zt（Zudаu+Zudаu）=x+Zt（аudzudаu+Zudаu）。第一个积分定义了一个上乘的分数，这是由于和的正性。第二个积分定义了一个递减过程，即（ν，ν）是λ-自融资，并且取[（1）中的值- λ）苏，苏]。

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2022-5-10 17:57:33

因此，过程Z~n+Z~n是一个积极的超级过程。备注3.2。与[45，定理1.4]相比，我们对超级复制定理的基础资产要求较少，因为我们使用的是一组较小的交易策略。此外，我们还得到了凸集Aλ（x）和Cλ（x）的一些性质，如下所示。引理3.3。在假设2.1和2.3下，当φ穿过λ（x）时，总变化Var（~n）和Var（~n）以L为界。证据写入φ=φ0，↑- φ0,↓和~n=~n1，↑- φ1,↓作为递增过程的典型差异。然后，我们可以定义一个策略e k∈ Aλ（x）bye~nt：=νt+λ- λ1 - λφ0,↑t、 ~nt, 0≤ T≤ T、用引理3.1证明，对于Z∈ Zλsup，λ- λ1 - λEhZT~n0，↑钛≤ E[ZTаT+ZTаT]+λ- λ1 - λEhZT~n0，↑钛≤ x、受[6，引理3.2]证明的启发，我们通过定义dqdp=gE[g]构造了一个概率测度Q，其中g:=inft∈[0，T]中兴[ZT]>0。那么，我们有λ- λ1 - λEQh~n0，↑钛≤xE[g]E[ZT]。证明的提示与[45，引理3.1]中的提示相同。然后，我们在没有证据的情况下陈述以下引理，并请读者参考[45，定理3.4]。引理3.4。在假设2.1和2.3下，集合Cλ（x）是凸闭且有界inL+。接下来，我们将建立（2.2）的原解的存在唯一性结果。在无摩擦的情况下，没有随机禀赋的类似结果已在[43]中得到证实（同时比较[26]和[2]）。[43]的作者应用了一个技术引理（[43，引理3.16]）来进行矛盾证明，并证明了最大化序列的极限确实解决了效用最大化问题。我们发现假设{fn}n∈N≥ [43，引理3.16]中的0基本上不需要继续论证。因此，我们在附录中重新组织了一个引理，为了完整起见，我们还给出了以下定理的证明。定理3.5。假设2.1、2.3、2.7和2.10成立。

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2022-5-10 17:57:38

此外，假设u（x；eT）<∞.然后，效用最大化问题（2.2）允许一个独特的解决方案bg∈ Cλ（x）。证据由于U的严格凹性，唯一性是微不足道的。因此，我们只需要展示存在。（i）因为u（x；eT）<∞, 我们可以找到（2.2）的最大化序列，即u（x；eT）=limn→∞E[U（gn+eT）]。通过传递到凸组合conv（gn，gn+1，…）序列，仍然用gn表示，并应用引理3.4和Koml\'os型定理（例如[18，引理A1.1a]），我们可以假设GNA.s.收敛于bg∈ Cλ（x）。（ii）我们声称（U（bg+eT））+是可积的，因此E[U（bg+eT）]是存在的。在不损失一般性的情况下，我们假设U（1）=0。对于任何g∈ Cλ（x），g+1∈ Cλ（x+1）。很容易验证u在x中仍然是凹函数，因此u（x；eT）<∞ 意味着u（x+1；eT）<∞.为了矛盾起见，我们假设（U（bg+eT））+是不可积的，那么ne[（U（bg+eT））+]<E[（U（bg+1+eT））+]=E[U（bg+1+eT）]≤ u（x+1）<∞,这就是矛盾。（iii）我们现在证明bg是原始优化器。如果不是，则存在一个α∈ (0, ∞] 例如α=u（x；eT）- E[U（bg+eT）]。对于每个n，分别表示fn=U（gn+eT）和f=U（bg+eT）。固定ε>0时，存在anm∈ N、这样每N≥ m、 u（x；eT）- E[fn]≤ ε. （3.1）由于[37，引理6.3]的AE（U）<1，存在一些γ>1，因此U（x）>γU（x），对于所有x≥ x> 0。注意，对于每个n∈ N和任意M>0，Pfn≥ M≤ P|fn- f|≥M+ Pf+≥M.因此，对于任何δ>0，我们可以选择足够大的M>0和U-1（米）≥ 2X和FINDA m≥ 这对任何人都是如此≥ m、 P[fn≥ M]≤ δ. 由于fm的可积性，For适当地选择了δ，E|fm | 1{fn≥M}≤ ε对任何n都成立≥ m、从引理5.1中，我们可以得出这样的结论fm{fm≥M}≥ α - ε和E|fm | 1{fm≥M}≤ ε.

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2022-5-10 17:57:42

（3.2）然后，EUgm+gm+eT= EUgm+gm+eT{fm≥M}+ EUgm+gm+eT{fm<M}.此外，由于gm、GMA和eT的积极性，我们有Ugm+gm+eT{fm≥M}≥γEU（gm+gm+2eT）1{fm≥M}≥γEfm{fm≥M}安第斯山脉Ugm+gm+eT{fm<M}≥Efm{fm<M}+Efm{fm<M}.因此，我们可以从（3.1）和（3.2）中推断出Ugm+gm+eT≥Efm{fm<M}+E[fm]+γ- 1Efm{fm≥M}≥ u（x；eT）+（γ）- 1)α-γ + 2ε.让ε→ 0，我们有Ugm+gm+eT> u（x；eT），这与u（x；eT）的极大值相矛盾。现在我们来考虑与SZ相关的无摩擦市场，例如Z∈ Zλsup。与引理3.1类似，我们对（eа，eа）具有Zeа+Zeа的超马尔可数性质∈AZ（x）。[2，引理4.1]中回顾了随后的引理。然而，为了方便读者，我们在基于num’eraire的案例中证明了这一点。引理3.6。修正Z∈ Zλsup。对于任何（e~n，e~n）而言，Ze~n+Ze~n的过程都是一个积极的超级过程∈ AZ（x）。证据请注意，Ze~n+Ze~n=Ze~n+e~nSZ= Zx+e~noSZ根据无摩擦自融资条件。使用它^o的公式和[24，命题A.1]，我们得到了中兴通讯аt+中兴通讯аt=xZ+（e）-+ e~n-SZ-)oZt+Z-o（e~noSZ）t+e~noSZ，Zt=xZ+（e）-+ e~n-SZ-)oZt+e~no（Z）-o（深圳）t+e kSZ，Zt、根据无摩擦的自我融资条件[30，I.4.36]得出：（e~n+e~nSZ）=（e~noSZ）=e~n因此，SZ为eа-+ e~n-SZ-= e~n+e~nSZ-. 通过[30，I.4.37，定义I.4.45]，我们获得了中兴通讯аt+中兴通讯аt=xZ+e~noZt+e kSZ-oZ+Z-oSZ+[SZ，Z]t=xZ+e~noZt+e ko（SZZ）t=xZ+e~noZt+e~noZt、这是一个正的局部上鞅，因此是一个上鞅。然后，很容易推断出每个Z∈ Zλsupand eg∈ CZ（x），E[U（eg+eT）]≤ E[V（ZT）+ZT（eg+eT）]≤ E[V（ZT）]+E[zet]+Zx。（3.3）因此，为了证明影子价格的存在，必须有以下引理，其证明推迟到下一小节。引理3.7。假设2.1、2.3、2.7和2.10成立。

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2022-5-10 17:57:45

存在abZ∈ Zλsup，如（i）bZT=U（bg+eT）；（ii）E[bZTbg]=bZx。定理3.8。λ-超鞅CPSbZ∈ Zλ引理3.7（i）-（ii）定义影子价格SbZ:=bZbZ。证据以SbZ相关的无摩擦市场为例。通过引理3.7，我们得到了Ubz（x；eT）≥ u（x；eT）=E[u（bg+eT）]=E[V（bZT）+bZT（bg+eT）]=E[V（bZT）]+E[bzet]+bZx≥ ubZ（x；eT），其中最后一个不等式来自（3.3）。上述不等式意味着ubZ（x；eT）=u（x；eT），这证明了SBZI是问题（2.2）的影子价格。备注3.9。由于U的严格凹性，bg是无摩擦问题ubZ（x；eT）在CbZ（x）中的唯一解。此外，在有交易成本的市场中达到最大值的交易策略b~n，在与影子价格SBZ相关的无摩擦策略中也是如此。因此，在交易成本λ满足{d bt>0}的情况下，S的最优交易策略（b，b） {SbZt=St}，{db~nt<0} {SbZt=（1）- λ） St}，对于所有0≤ T≤ T备注3.10。在我们的例子中，影子价格不仅由随机禀赋决定，还由其分解决定（见假设2.7）。随机禀赋的分解以及无卖空约束可以解释为代理人的交易规则由其控制者创建。准确地说，如果代理人最终将收到的随机捐赠被其控制者分解为x+ETS，那么这意味着代理人可以在债券市场上最多花费x进行股票交易。因此，不同的分解方式意味着债券卖空的不同限制，这导致不同的最大效用和影子价格。3.2引理3.7的证明在本小节中，我们将按照[2，第814-816页]证明引理3.7。因此，我们绘制草图只是为了展示它在基于数字的环境中是如何发展的，以及正随机禀赋是如何工作的。

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2022-5-10 17:57:48

证据分为几个阶段。首先，与[2，引理4.4]类似，我们有以下动态规划原理（另见[21，定理1.17]），这可以用基于num’eraire的模型直接证明。提案3.11。定义（φs，φs）：=ess sup（ψ，ψ）∈Aλs，T（~ns，~ns）EU（ψT+eT）财政司司长,式中，Aλs，T（~ns，~ns）是所有可接受的λ-自我融资交易策略的集合，符合∈ [0，s]中的λ（x）。然后，这个过程美国（英国、英国）0≤s≤这是一个鞅，即Us（b k s，b k s）=eUt（bаt，bаt）财政司司长, a、对于所有最佳交易策略，b~n达到bg。证据在不丧失一般性的情况下，需要验证以下内容：U（ψT+eT）财政司司长≤ EU（b k T+eT）财政司司长, （3.4）对于所有（ψ，ψ）∈ Aλs，T（bаs，bаs）。为了得到一个矛盾，我们假设（3.4）不是真的，即存在一个（ψ，ψ）∈Aλs，T（b k s，b k s）和A组 Ohm 当P（A）>0定义asA时：=E[U（ψT+eT）|Fs]>E[U（b|T+eT）|Fs]∈ 财政司司长。（3.5）然后定义（ψ，ψ）1A+（bа，bа）1Ac=：（η，η）∈ Aλs，T（bаs，bаs）。我们有U（ηT+eT）> EU（b k T+eT）= u（x；eT），这与b的最大值相矛盾。因此，根据我们（ψs，νs）和（3.4）的定义，我们Obatinous（b k s，b k s）=ess sup（ψ，ψ）∈Aλs，T（bаs，bаs）EU（ψT+eT）财政司司长= EU（b k T+eT）财政司司长= EEU（b k T+eT）英尺财政司司长= EUt（bаt，bаt）财政司司长.最后，条件期望的tower属性会产生期望的结果。下一步的步骤与[2]完全相同，即我们应该首先构造一个pairbZ=（bZt，bZt）0≤T≤T、然后验证BZBZ可以确定影子价格。动态中的额外积极因素不会改变以下结果。提案3.12。

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2022-5-10 17:57:52

以下流程已明确定义：eZt:=limε和0εUt（bаt+ε，bаt）- Ut（bаt，bаt）,eZt:=limε和0εUt（bаt，bаt+ε）- Ut（bаt，bаt）,（3.6）对于0≤ t<t，和（eZT:=U（b k t+eT），eZT:=U（b k t+eT）（1）- λ）（3.7）此外，定义bZit:=lims&ts∈QeZis，0≤ t<t；bZit:=eZiT，t=t.（3.8）那么，过程bz是一个c`adl`ag超鞅，而且，对于所有0≤ T≤ 我们有- λ）圣≤bZtbZt≤ 因此，bZ是一个λ-超鞅CPS。证据的草图。首先，eZ的定义很明确，因为（3.6）的右侧对于U的凹度和U的定义是单调的U（ψT+eT）英尺(ψ, ψ) ∈ Aλt，t（b~nt+εei）ois向上，因此存在（ψn）n序列∈N=（ψN，0，ψN，1）N∈N Aλt，t（b~nt+εei）使得ut（b~nt+εei）=%- 画→∞埃胡ψn，0T+eTFti。然后，通过进行与[2，命题4.5]的证明类似的程序，我们可以验证ofeZ的超马丁性质，它不一定是c`adl`ag。回想一下，u（x；eT）在R+上是有限值且凹的，我们得到了它们：=eZ=limε&0u（x+ε；eT）- u（x；eT）ε取x>0的有限值。因此，根据[36，提案1.3.14（iii）]，（3.8）是一个定义良好的c`adl`ag超级艺术家。尤其是bZ≤简单另一方面，（3.9）的证明方式与[41]中的（57）相同。我们完成了证明。引理3.7的证明。它仍然需要引理3.7中的证明（2）。自从bZ，bZ∈ Zλsup，我们有bZTbg≤bZx。（3.10）这仍然需要证明不平等性的逆转。对于α<1，我们注意到u（αx；eT）≥ E[U（αbg+eT）]。通过u的凹度，我们得到了z（x）- αx）≤ u（x；eT）- u（αx；eT）≤ E[U（bg+eT）]- E[U（αbg+eT）]。因此，它源于U thateZx的严格凹性和连续差异性≤ EU（bg+eT）- U（αbg+eT）1- α≤ EU（αbg+eT）bg. （3.11）让α%1，单调收敛yieldsbZx≤eZx≤ EU（bg+eT）bg≤ EbZTbg.

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2022-5-10 17:57:55

（3.12）我们通过比较（3.10）和（3.12）来完成证明。备注3.13。我们在这里看到，随机禀赋的非负性很重要。这确保了αbg+eT在0<α<1时的严格阳性，因此（3.11）中的E[U（αbg+eT）bg]得到了很好的定义。备注3.14。为了简单起见，我们在本文中研究了基于num’eraire的双资产模型，然而，该论点可以适应[2]中的多货币设置，而无需进行实质性的更改。注意，本文和[2]都涉及一个单变量效用函数。4.例子：当随机禀赋变为负时，我们讨论了在每个资产都没有卖空约束的情况下，效用最大化问题的影子价格过程的存在性。实际上，随机禀赋的正约束是一个充分条件。然而，当随机禀赋变为负时，如果我们保持我们的设定，影子价格的存在是不清楚的。这将是我们未来研究的一个有趣问题。我们需要注意的是，在对投资组合的可采性有不同定义的情况下，夹层影子价格的存在在[1]中得到了证明，其中随机禀赋可能为负。在本节中，我们提供了一个非平凡且启发性的例子，表明即使随机禀赋变为负，在交易成本下，市场中效用最大化问题也可能存在影子价格。特别是，我们在考虑交易成本的情况下讨论了最大化交易策略。请注意，我们示例中构造的随机禀赋与这种最大交易策略有关。我们考虑具有有限时间范围的Black-Scholes模型。

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2022-5-10 17:57:58

假设市场由一个零利率的储蓄账户和一个价格动态的股票组成=经验Bt+t, 0≤ T≤ T/2；ST/2，T/2<T≤ T、 where（Bt）T≥0是过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）。现在Fix交易成本水平λ∈ (0, 1). 我们假设一个代理人在时间0时被赋予初始资本x=1和随机捐赠eT=-ζ(1 - λ） ST/2at终端时间T，其中ζ是一个FT可测量（0，1）值的均匀分布随机变量，与FT/2无关。那么，我们有下面的命题。提议4.1。买卖策略b k t，b k t:=（1,0），t=0；（0,1），0<t<t/2；(1 - λ） ST/2，0, T/2≤ T≤ T、（4.1）解决了效用最大化问题（2.2）。在继续证明这一命题之前，我们首先介绍了在这个有交易成本的市场中最大交易策略的概念。请注意，Delbaen和Schachermayer在[18]中提出了一个类似的无摩擦市场概念，用于考虑asuperreplication问题。定义4.2。元素∈ Cλ（1）被称为最大值，如果是φT∈ 满足φT的Cλ（1）≥ ηT，a.s.，我们有φT=ηT，a.s.一个交易策略（η，ν）在λ（1）中被称为最大值，如果它与（ηT，0）相关联，其中η是Cλ（1）中的最大元素。备注4.3。Cλ（1）中最大元素的存在性可以通过反导推导出来，前提是Cλ（1）在陆封闭的w.r.t.收敛概率中有界（参见Schachermayer[45]）。事实上，（4.1）定义的交易策略在λ（1）中是最大的。提案4.4。随机变量（1-λ） ST/2是Cλ（1）中的一个极大元。因此，由（4.1）定义的交易策略（bа，bа）在λ（1）中是最大的。在证明上述命题之前，我们首先利用（4.1）的极大值给出命题4.1的证明。命题4.1的证明。

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2022-5-10 17:58:02

考虑一个元素φT∈ Cλ（1）使得φT6=b~nT=（1- λ） ST/2。从（bа，bа）的极大值，我们得到了PφT<bφT> 因此，存在k∈ N、就这样φT<1.-K(1 - λ） ST/2> 0.注意φT<1.-K(1 - λ） ST/2∈ FT/2和ζ与FT/2无关。那么，PφT<1.-K(1 - λ） ST/2和1- ζ<k> 这意味着P[φT+eT<0]>0。因此，E[U（φT+eT）]=-∞.另一方面，通过ζ的定义，我们得到了b~nT+eT=（1）- ζ)(1 - λ） ST/2>0，也就是说，u（1；eT）=E[u（b k T+eT）]>-∞. 证据已经完成。备注4.5。即使没有卖空限制，（bа，bа）仍然是解决问题（2.2）的唯一策略[0，T/2]。事实上，我们将在下一小节中证明（bа，bа）是[12,15]中介绍的更大空间中的最大交易策略（仍由aλ（1）表示）。接下来，我们将在下面的推论中构造一个影子价格。很明显，在我们的情况下，阴影的价格并不是唯一的。推论4.6。工程师：=S、 t=0；经验英国电信++2日志（1）-λ） TT, 0<t<t/2；(1 - λ） ST/2，T/2≤ T≤ 然后，过程是效用最大化问题（2.2）的影子价格。证据它源于对“即”的定义∈ [(1 - λ） S，S]。显然，与买入-持有-卖出策略相关的财富过程并不完全正确。因此，我们可以找到一个等价的鞅测度Q∈ Me（eS），在此条件下，财富过程是一致可积鞅。根据[19，推论4.6]，b k T=CeS（1）中的最大元素，其中CeS（1）：=neXT=1+HoeSTH是可接受的。与命题4.1的证明类似，我们可以看到，b~nT=Est解决了无摩擦市场中的效用最大化问题ueS（1；eT），而ueS（1；eT）=supeXT∈CeS（1）EhU外线+外线i=EhU美国东部时间- ζ(1 - λ） eSTi=EU(1 - ζ)(1 - λ）圣= u（1；eT），这意味着ES是理想的影子价格。我们现在证明（4.1）定义了λ（1）中的最大交易策略，即命题4。4.

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何人来此

2022-5-10 17:58:06

这里，λ（1）可以是[12]中定义的一组可接受的交易策略，没有卖空约束。命题4.4的证明。设φ=（φt，φt）0≤T≤t是λ（1）中的另一种交易策略。由于股票价格过程是连续的，且可预测的交易策略是路径有限变化的，因此我们只能考虑具有正确连续路径的交易策略（参见[15]）。此外，我们假设代理人在时间T/2之后不再购买股票。在以下内容中，我们将在两种情况下讨论交易策略，此外，我们将证明以下陈述不能支持交易策略≥ b~nT=（1）- λ） ST/2，a.s.与P[~nT>b~nT]>0，（4.2），因此b~n是λ（1）中的最大交易策略。案例一：假设存在一个γ>0和一个集合B∈ P（B）>0时，对于ω∈ B、 νt（ω）≤ 1.- γ, 0 ≤ T≤ T/2，P-a.s.（即，库存量从不超过1- γ).我们的目标是建立一个挫折∈ P（B）>0时的FT/2，对于ω∈ B、 ДT（ω）<BДT（ω）。对于β>0，定义τβ：=inf{t>0:St≥ 1+β}∧T/2。然后，通过选择β λsu efficientlysmall，我们可以找到一个由b定义的Fτβ-可测集：={ω：τβ（ω）<T/2}∩ {ω : 1 - λ/3 ≤ St（ω）≤ 1 + β, 0 ≤ T≤ τβ（ω）}，使得P（B）>1-P（B）。很明显，P（B）∩B）对于ω>0和∈ B、 Sτβ（ω）（ω）=1+β。此外，我们定义B:=B∩ {ω：ηt（ω）≤ 1.- γ, 0 ≤ T≤ τβ(ω)} B∩ B.来自P（B）∩ B） >0，我们有P（eB）>0。现在，我们在宽度为β的时间间隔Jτβ，T/2K上构建股票价格的走廊K（见图1）。τβ处的走廊中心点为1+β，而T/2处的走廊中心点为一个足够大的数字C。显然，股票价格过程具有条件完全支持（参见，例如[28]），这意味着挫折：=eB∩ {S停留在Jτβ，T/2K上的走廊K中,具有严格的正度量，即P（B）>0。

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2022-5-10 17:58:10

对于ω∈ B、最明智的交易策略是购买1- γ以最低价格出售股票，价格至少应为1- λ/3，并保持到T/2。因此，ηT（ω）=VliqT/2（η）（ω）<（1）- λ)C+β(1 - γ) + 1.另一方面，bаT（ω）=bаT/2（ω）>（1）- λ)C-β.通过正确选择C>γ（1）-λ)+β(2-γ） 2γ，我们可以确保φT（ω）<bφT（ω）。案例二。假设这种情况我不可能发生，那么对于几乎每一个ω∈ Ohm, 以下停止时间取[0，T/2]中的值：σ：=inf{T>0:~nT≥ 1或φt-≥ 1}.图1：情况1对于任何停车时间τ和ρ，取[0，T/2]中的值，ρ≥ τ、我们有：Vliqρ（k）=аτ+аτSτ+ZρτаtdSt- λZρτStd~n1，↓T- λSρ（Пρ）+=Пτ+ПττSτ+ZρτρtdSt- λZρτStd~n1，↓T- λSρ（ρρ）+λZρτ洎tdSt- λZρτ~ntdSt=аτ+（1）- λ） ψτSτ+（1）- λ） Zρτ~ntdSt- λSρ（νρ）-- λZρτStd~n1，↑t、（4.3）在续集中，我们将考虑两种情况，即（i）几乎每个ω∈ Ohm,φσ(ω) + (1 - λ） νσ（ω）Sσ（ω）≥ b~nσ（ω）+（1）- λ） bИσ（ω）Sσ（ω）；（ii）ω存在一个Fσ-可测集D，P（D）>0∈ D、 νσ（ω）+（1）- λ） ~nσ（ω）Sσ（ω）<b~nσ（ω）+（1）- λ） b~nσ（ω）Sσ（ω）。假设（i）成立，那么我们观察到几乎每一个ω∈ Ohm,φσ(ω) + (1 - λ） Пσ（ω）Sσ（ω）=bПσ（ω）+（1）- λ） b~nσ（ω）Sσ（ω）。（4.4）如果σ（ω）（ω）≥ 1，然后是σ（ω）+（1- λ） νσ（ω）Sσ（ω）=Vliqσ（ω）（ν）（ω）≤ Vliqσ（ω）-(φ)(ω);如果ψσ（ω）（ω）<1，则为ψσ（ω）-(ω) ≥ 1，因此从自我融资约束来看，是σ（ω）+（1）- λ） νσ（ω）Sσ（ω）≤ φσ-(ω) + (1 - λ)φσ-（ω） Sσ（ω）=Vliqσ（ω）-(φ)(ω).考虑一个无摩擦的市场，在这个市场中，代理交易（1）- λ）在S中，代理人的收益比在有交易成本的市场上交易要好。然后，我们可以推导出b~n+b~nS+（1- λ） Zσb k tdSt=bаσ+（1）- λ） bσSσ≤ φσ+ (1 - λ） σSσ≤ Vliqσ-(φ) ≤ ν+νS+（1）- λ） Zσ~ntdSt。自+（1）- λ） S=bа+bа（1- λ） S=1和1是（1）交易时的最大交易策略- λ）我们可以证明（4.4）。现在我们计算VliqT（ψ）。

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2022-5-10 17:58:15

从（4.3）中，我们得到了Vliqt（ν）≤ φσ+ (1 - λ） ψσSσ+（1）- λ） ZTσаtdSt=bа+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） Zσb k tdSt+（1）- λ） ZTσаtdSt=bа+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） ZTbtJ0，σK（t）+tJσ，TK（t）dSt。（4.5）很明显- λ） S，（（b~n·J0，σK（·）+~n·Jσ，TK（·））o（1）- λ） S）从下方统一边界，因此可接受。将（4.5）与Vliqt（bа）=bа+（1）进行比较- λ） b~nS+（1）- λ） ZTb~ntdSt，我们可以从（1）的最大值得出结论- λ） RT1DST（4.2）不可能发生。另一方面，如果（ii）成立，那么通过类似的推理，我们得到ω∈ D、 VliqT（ν）<b+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） ZσbИtdSt+（1- λ） ZTσаtdSt=bа+（1）- λ） b~nS+（1）- λ） ZTbtJ0，σK（t）+tDJσ，TK（t）dSt。（4.6）同样地，（（b K J0，σK+K DJσ，TK）o（1）-λ） S）在进行（1）交易时从下方均匀有界- λ）是的，因此是可以接受的。比较（b~nJ0，σK+~nDJσ，TK）o（1）- λ） STwith（1o（1）- λ） S）T，我们可以得出结论，对于几乎每个ω∈ D（b~nJ0，σK+~nDJσ，TK）o（1）- λ） ST=（1o（1）- λ） S）T，或者存在一个子集D D、 D∈ FT/2，对于ω∈ D（b~nJ0，σK+~nDJσ，TK）o（1）- λ） ST<（1o（1）- λ）特别是，我们通过回顾（4.6）排除（4.2）。5附录在附录中，我们证明了技术引理，该引理用于证明第3节的主要结果。引理5.1。假设{fn}n∈Nis是L中的一个序列，fn→ F∈ 五十、几乎可以肯定。此外，林→∞E[fn]是有限的，f+是可积的。我们表示α：=limn→∞E[fn]- E[f]。特别是，如果E[f]=-∞, 我们注意到α：=∞. 那么，对于任何M>0，我们都有→∞Efn{fn≥M}≥ α. （5.1）证据。我们假设，与我们的主张（5.1）相反，存在M>0，因此lim supn→∞Efn{fn≥M}=: β<α，（5.2），这意味着{E[fn{fn]的有界性≥M} ]n∈N.假设E[f]=-∞, 然后我们有了f{f<M}≤ E[f]=-∞.因此，林爽→∞Efn{fn<M}≤ Ef{f<M}= -∞. （5.3）从（5.3）和（5.2）中，我们可以得出limn→∞{E[fn]}n∈N=-∞, 这与假设相矛盾。因此，E[f]∈ R

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2022-5-10 17:58:18

在这种情况下，我们有f{f<M}≥ 林尚→∞Efn{fn<M}= 画→∞E[fn]- 林恩芬→∞Efn{fn≥M}≥ E[f]+α- β、（5.4）其中等式是从{E[fn]}n的收敛性推导出来的∈与{E[fn{fn]的有界性≥M} ]n∈显然，（5.4）是一个矛盾。备注5.2。这个引理的一个广义版本也成立，类似于[43，引理3.16]（ii）（详细证明见顾[25]）。精确地说，如果我们假设与上述引理相同，那么对于任何α<α且M>0，都存在一个子序列{fnk}k∈不交集序列（Ak）k∈N、这样每k∈ N、 fnk≥ 我在安第斯山脉的阿克fnkAk≥ α.致谢：作者感谢奥地利科学基金（FWF）在P25815拨款项下以及欧洲研究理事会在ERC高级拨款321111项下提供的财政支持。这项工作的一部分是在L.Guand J.Yang的访问期间完成的，该访问由N.Touzi教授主持，在芝加哥理工学院的CMAP，这是非常受欢迎的。作者感谢W.Schachermayer教授对附录的建议，并感谢匿名评论者的善意评论。参考文献[1]E.Bayraktar和X.Yu。具有随机禀赋和交易成本的最优投资：对偶理论和影子价格。预印本，2015年。[2] G.Benedetti、L.Campi、J.Kallsen和J.Muhle Karbe。关于影子价格的存在。《金融与随机》，17（4）：801–81818，2013年。[3] B.布查德。比例交易成本下实线效用最大化。《金融与随机》，6（4）：495-5162002。[4] B.Bouchard和L.Mazliak。L（Rd；Ohm, F、 P）。《随机过程及其应用》，107（2）：213–231，2003。[5] L.坎皮和M.欧文。具有比例交易成本的多元效用最大化。《金融与随机》，15（3）：461-4992011。[6] L.Campi和W.Schachermayer。

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