哪些符合条件的资产与Comonomonic capital兼容

2022-5-10 19:43:49

哪些符合条件的资产符合共同货币资本要求？Pablo Koch Medina，Cosimo MunariCenter for Finance and Insurance and S wiss Fin a Institute of Zurich，SwitzerlandGregor Svinds Institute，LMU Munich，Germany 2021年1月21日摘要在资本充足率的背景下，我们从理论的原语：接受集和合格资产或参考资产的角度研究风险度量的共单调性。我们证明了共单调性不能单独用接受集的性质来表征，并且在很大程度上取决于合格资产的选择。事实上，在许多重要的情况下，同一性仅与无风险合格资产兼容。当可接受性标准基于价值风险或任何凸形失真风险度量（如预期不足）时，与风险合格资产的不相容性是系统性的。这些发现符合资本充足率背景下的共同声誉的含义和作用，可以说需要对其进行批判性评估。关键词：共名性、风险度量、承兑集合、合格的资产证券交易系统1简介承兑集合和风险度量理论在当前保险界和银行界关于偿付能力制度的争论中占有重要地位。自Artzner等人（1999）发表开创性著作以来，人们对风险度量的各种理论性质进行了研究，其中共单调性的性质受到了相当大的关注。Kusuoka（2001年）和Delbaen（2002年）在数学金融文献中以及Dhaene等人（2002年）在精算文献中首次研究了共单调风险度量。

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2022-5-10 19:43:52

我们参考F¨ollmerEmail:pablo。koch@bf.uzh.chEmail：科西莫。munari@bf.uzh.chEmail: svindla@mathematik.uni-明辰。deand Schied（2011）和其中关于全面处理共单调风险度量的参考文献，以及Denuit et al.（2005）和McNeil et al.（2015）关于共单调性的深入讨论，以期在金融和保险领域的应用。为了强调本文的信息，我们首先以一种非正式的方式回顾了共单调风险度量的概念。考虑单周期经济，并假设金融机构在终止日期的资本头寸（资产减去负债）由属于适当有序向量空间的随机变量表示，与大部分风险度量数据一致，我们认为该空间为L∞本质上有界的随机变量（在给定的概率空间上）。在资本充足率的背景下，风险度量被解释为资本要求，并用于确定公司必须持有的资本量，以应对意外的未来损失（我们在松散意义上使用术语“监管”来包含任何外部或内部强加的要求）。从数学上讲，一个风险度量可以用一个映射ρ：L来表示∞→ R.如果风险度量ρ是对共单调的随机变量的加性，即作为公共风险驱动因素的递增函数的随机变量“完全正相关”，则我们说风险度量ρ是共单调的。共单调风险度量的主要思想是，合并两个共单调位置不会产生分散效益，因此，总位置所需的风险资本量应与各自的资本要求之和相对应。

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2022-5-10 19:43:55

如果要求ρ是次加性的，那么这种解释尤其有吸引力，因为单个资本要求的总和总是构成多元化投资的资本要求的上限。这是文献中提出的标准论点，认为在资本充足率框架中，共单调性可能是一种自然且可取的规范性要求，参见F¨ollmer and Schied（2011）中关于共单调性风险度量的章节。关于资本充足率的精算文献主要集中于共单调性，尤其是与次可加性相结合，以得出总头寸资本要求的近似值和界限。我们参考t o Dhaene等人（2002）和Dhaene等人的调查文章。（20 06）详细介绍此类技术。请注意，正如inEmbrechts et al.（2002）所指出的，对于具有给定边际的股份分置头寸，共单调风险度量下的最高资本要求不需要通过共单调copula实现，除非风险度量是次加性的。我们参考Embrechts等人（2005年）、Kaas等人（2009年）和Embrechts等人（2013年）的调查文章，了解关于风险值最坏界限的一些结果。本文的目的是研究Artzner等人（1999）在论文中介绍的广泛风险度量类别的共单调性性质。

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2022-5-10 19:43:58

该文件的基本思想是通过强调两个基本对象的作用，提供风险度量的操作定义：o接受集 L∞, 代表从监管角度被视为可接受的一组资本头寸，以及o合格资产S=（S，S），代表价格S>0且收益S的流动性交易金融资产∈ L∞+用于表示每种可接受性。验收集起到资本充足率测试的作用，用于区分资本充足的金融机构（即资本状况属于a的金融机构）和资本不足的金融机构（即资本状况不属于a的金融机构）。如果一家公司未通过资本充足率测试，然后，其管理层需要实施预先指定的补救措施，即筹集资本并将其投资于合格资产，以使其成为可接受的。为了达到充分的通用性，我们不会固定市场模型，而是将任何对S=（S，S）视为潜在的流动交易资产，即合格资产的候选对象。值得强调的是，监管机构的主要利益应该是金融机构的资本状况是可接受的，原则上，他们不应该担心公司如何达到可接受程度。特别是，正如Art zner et a l.（2009）所观察到的，公司通过风险资产而不是无风险资产来达到可接受性可能不那么困难，因为无风险资产可能根本不存在。与A和S相关的风险度量是针对每个X定义的∈ L∞通过设置ρA，S（X）：=inf{m∈ R | X+mSS∈ A} 。如果S是现金流，也就是S=S=1，我们只需写出ρA（X）：=inf{m∈ R | X+m∈ A} 。最后，数量ρA，S（X）有一个非常清晰的操作解释。

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2022-5-10 19:44:02

如果为正，则ρA，S（X）是“最低”资本额，如果筹集并投资于符合条件的资产，将使头寸X可接受。如果是否定的，-ρA，S（X）是在保持可接受性的情况下，可以返还给所有者的最大资本额。如第2节所述，在本文中，我们通过对支付进行适当的假设，排除了ρA没有确定价值的情况。我们的目的是描述ρA，S形式的风险度量的协整性。到目前为止，文献中只针对无风险合格资产的特殊情况讨论了这个问题。如命题2.15所述，形式为ρa，Sis的风险度量是共单调的，当且仅当相应的基于现金的风险度量ρAis是共单调的，且与ρa，S（最多一个）重合。因此，我们的问题归结为研究何时可以将基于现金的共单调风险度量表示为适用于风险合格资产S的ρa，SFO。如我们的示例所示，ρa的共单调性不足以表示ρa，而是共单调的。因此，现有文献并未解决这个问题。众所周知，见Delbaen（2002）定义2.1后的标记或F¨ollmerand Schied（2002）中的备注2.2，ρA形式的风险度量可以用适用于“贴现”头寸的基于现金的风险度量来表示。实际上，如果我们使用S作为一个新的数，我们可以为每个X写ρa，S（X）=Sρa′（X′）∈ L∞, 其中X′=X/Sis是X的“折扣”版本，A′={X/S|X∈ A} 。新的风险度量ρA′仍在L上定义∞假设Sis从零开始。因此，人们很自然地会问，关于共单调性f或ρA的研究是否最终不能简化为基于现金的标准案例。

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2022-5-10 19:44:05

然而，数量的变化并不能保持共单调性，因此ρa，S的共单调性（在“未贴现”的世界中）也不意味着ρa′的共单调性（在“贴现”的世界中）。因此，折扣无助于解决我们的问题。关于共单调性的主要结果记录在定理2.18中。这一结果表明，共名性本身并不与风险合格资产不相容。然而，如推论2.19和推论RY 2.20所示，对于大多数常见示例，ρA，Sis comonoto nic的合格资产类别是相当严格的。例如，只要验收集是一致的且法律不变的，合格资产就必须是无风险的，除非验收集由所有具有非负期望的位置组成（在这种情况下，ρA是线性的，因此，无论S的选择如何，都是协单调的）。特别是，在预期短缺制度下，共名性永远不会与风险合格资产兼容。对于最显著的非相干情况，即基于风险价值的接受集情况，结论类似。这里，如果潜在的概率空间是非原子的，ρA，对于任何有风险的合格资产，都不可能是共单调的。在潜在概率空间有限的情况下，共单调性仅与引理3.3中所述的接近无风险的合格资产兼容。本文的结构如下。在第2节中，我们描述了基本框架并确定了我们的主要结果。在第3节中，这些结果应用于各种示例，其中包括最常用的可接受性标准。第4节总结。2风险度量和共单调性在本节中，我们对Artzner等人提出的风险度量类别的共单调性进行了全面研究。

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2022-5-10 19:44:08

(1999).在整个过程中，我们考虑一个固定的概率空间(Ohm, F、 P）。所有的概率陈述，如“几乎肯定（a.s）”，“基本”等，都被默默地理解为对P的迷惑。我们总是用Borelσ-代数装备R。回想一下随机变量X：Ohm → 当kxk:=inf{m时，R被认为是基本的y有界的∈ R | P（|X |>m）=0}<∞.具有λ值的常数随机变量∈ R、它仍然由λ表示，并且是事件E的指示函数∈ F、用1E表示，是本质上有界随机变量的例子。向量空间L∞:= L∞(Ohm, F、 P）由关于a.s.等式的基本有界随机变量的等价类组成。按照惯例，我们在∞和他们的任何代表。空间L∞当满足上述范数和部分序X时，是一个Banach格≥ Y:<==> P（X）≥ Y）=1。子集L的拓扑概念∞始终理解为符合上述规范。对于序列（Xn） L∞收敛到X∈ L∞我们写Xn→ X.L的正元素集∞被授予诺贝尔奖∞+:= {X∈ L∞| 十、≥ 0}.而且，每X∈ L∞我们用px表示P下X的概率定律。接下来的两个定义收集了函数和随机变量集的各种属性，以便于参考，这些属性将在本文中自由使用。定义2.1。

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2022-5-10 19:44:11

函数ρ：L∞→ R可以满足以下性质：（1）ρ（λX+（1）- λ） Y）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Y）表示所有λ∈ [0,1]和X,Y∈ L∞（凸性）。（2） ρ（λX）=所有λ的λρ（X）∈ R+和X∈ L∞（正h同质性）。（3） ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）对于所有X，Y∈ L∞（次可加性）。（4） ρ（X）≤ ρ（Y）对于所有X，Y∈ L∞和X≥ Y（单调递减）。（5） ρ（X）=所有X，Y的ρ（Y）∈ L∞这样PX=PY（定律不变性）。（6） |ρ（X）- ρ（Y）|≤ ckX- YK代表所有X，Y∈ L∞还有一些c∈ [0, ∞) （利普希茨连续性）。定义2.2。一套 L∞可以满足以下性质：（1）λA+（1）- λ） A A代表所有λ∈ [0,1]（凸性）。（2） λA A全部λ∈ [0, ∞) （圆锥度）。（3） A+A A（加法下的紧密度）。（4） A∩ (-（A） {0}（指向ess）。（5） A+L∞+ A（增加单吨）。（6） X∈ A代表所有X∈ L∞这样PX=py对于某些Y∈ A（法律不变性）。备注2.3。回想一下，一个正齐次函数ρ：L∞→ R是凸的，当且仅当R是次可加的。同样地，一个锥是凸的当且仅当它在加法下是闭合的。在本导言部分的结尾，我们回顾了共名性的概念。Schmeidler（19 86）引入了术语，Denneberg（1994）发现了一种常见的风险驱动因素。关于资本充足率的财务解释，请参见引言。定义2.4。

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2022-5-10 19:44:15

我们说这是X，Y∈ L∞当有P时，是科莫诺通吗 P-null集 F F使得（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）≥ 0表示所有（ω，ω′）∈ Ohm × Ohm \\ 这相当于Z的存在∈ L∞两个增函数f，g:R的和→ RsatisfyingX=f（Z）和Y=g（Z）。A集C L∞如果X和Y不是X，Y中的任意一个，则称为como notonic∈ C.A泛函ρ：L∞→ 当ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y）表示所有共单调X，Y时，R称为共单调∈ L∞.下面的结果收集了共单调映射的一些重要性质。提议2.5。设ρ：L∞→ R是一个非零的共单调d-退化映射。然后，ρ（1）<0，下面的陈述成立：（i）ρ（X+m）=ρ（X）+mρ（1）对于每X∈ L∞每∈ R.（ii）ρ是带常数的Lipschitz连续-ρ(1).（iii）ρ是正齐次的。证据我们很容易看到，共单调性意味着ρ（0）=0，因此，ρ(-1) = -ρ(1). 此外，我们还有ρ（1）≤ 单调性为0。我们认为ρ（1）<0成立。为了证明这一点，假设ρ（1）=0，取X∈ L∞. 因为1是一个与自身和≥ 十、≥ -a换a∈ 最后，我们得到0=aρ（1）=ρ（a）≤ ρ（X）≤ ρ(-a） =aρ(-1） =0，只有当ρ是零函数时才可能。总之，我们看到ρ（1）<0必须成立。现在，以X为例∈ L∞和两个整数a，b∈ N.由于每个随机变量本身都是共单调的，所以我们有ρ（abX）=aρ（bX）=abρ（bbX）=abρ（X）。因此，对于每一个有理数m∈ Q它遵循ρ（X+m）=ρ（X）+ρ（m）=ρ（X）- mρ(-1），我们用m表示X和ρ的共单调(-1) = -ρ(1).以任意的m为例∈ R和let（m+n）和（m）-n）是从上到下分别收敛到m的有理数序列。利用ρ的单调性，我们最终得到ρ（X）- m+nρ(-1） =ρ（X+m+n）≤ ρ（X+m）≤ ρ（X+m）-n） =ρ（X）- M-nρ(-1）对于任意n∈ N

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2022-5-10 19:44:19

这意味着ρ（X+m）=ρ（X）- mρ(-1）并建立（i）。我们已经建立了正有理数的正同质性。现在取λ∈(0, ∞) 设（λ+n）和（λ-n）是从上到下分别收敛到λ的正数序列。鉴于f（i），我们可以假设X∈ L∞+不失概括性。然后，ρ的单调性产生λ+nρ（X）=ρ（λ+nX）≤ ρ（λX）≤ ρ(λ-nX）=λ-nρ（X）每n∈ N.得出ρ（λX）=λρ（X）并得出（i）的证明。为了证明Lipschitz连续性，我们遵循[13]中引理4.3的证明。为此，takeX，Y∈ L∞注意，Y- kX- Y k≤ 十、≤ Y+kX- 那么，它紧随着单调性和（i）ρ（Y）+kX- ykρ(-1) ≥ ρ（X）≥ ρ（Y）- kX- ykρ(-1).这建立了（ii）并总结了命题的证明。备注2.6。上述命题的另一种证明依赖于Schmeidler（1986）中的Choquet表示，并利用Choquet积分的性质，参见命题5.1 inDenneberg（1994）。上述证明的优点是直接。我们的结论是，递减映射是共单调的当且仅当它与每个最大共单调集上的非负线性泛函一致。定义2.7。我们说C L∞如果C是共单调的，并且对于每一个共单调集C′，是一个m极大共单调集 L∞满意的C C′我们有C=C′。极大单调集的类用Cmax表示。下一个引理表明，L中的每个随机变量∞包含在某个极大共单调集合中。显然，这个集合通常不是唯一的，因为常数随机变量包含在每个共单调集合中。引理2.8。每X∈ L∞存在一个极大共单调集C∈ Cmaxsuch thatX∈ C.证据。用CxO表示L的共单调子集的类∞包含X的。

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2022-5-10 19:44:23

因为集合{X}是同调的，所以这个类是非空的，可以通过包含进行部分排序。如果S是链inCX，即cx的子集，那么对于每个C，C∈ S、我们要么有C Cor C C、那么很容易看到C∪=联合国安全理事会∈SC是一个包含X的共单调集合。换句话说，C∪是S的上界。它源自Zorn引理，参见Aliprantis and Border（2009）中的引理1.7，该引理允许一个极大元素。提议2.9。对于每一个非零递减的m apρ：L∞→ R以下陈述是等效的：（a）对于每个C∈ Cmax这里是一个正线性泛函πC:L∞→ R使得ρ=-πCon C.（b）ρ是共单调的。如果ρ是凸的，我们可以添加以下等价条件：（c）对于每个c∈ Cmax是一个正线性函数πC:L∞→ R使得ρ=-πCon和ρ≥ -πCon L∞.证据为了建立第一个等价性，我们只需要证明t（b）意味着（a）。为此，假设ρ不是共弦的，并且对于每一个固定的C∈ Cmaxde fine V=C- C.因为C很容易被视为凸锥，所以集合V是L的线性子空间∞. 现在，定义一个映射πC:V→ R通过设定πC（X）=-ρ（X）+ρ（X），（2.1），其中X=X- X和X，X∈ C.注意πCis在V上定义得很好。事实上，假设X=X- X=X′- X′代表X，X，X′，X′∈ C.由于C是一个凸锥，随机变量X+X′=X′+X延伸到C，因此ρ（X）+ρ（X′）=ρ（X+X′）=ρ（X′）=ρ（X′+X）=ρ（X′））+ρ（X）通过共单调性。此外，π顺式明显呈线性，在V上也是正的。后者是由于X=X的事实- 十、∈ 五、∩ L∞+暗示X≥ X和ρ（X）≤ ρ（X）由ρ的单调性决定，这最终意味着πC（X）=-ρ（X）+ρ（X）≥ 0

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2022-5-10 19:44:26

从1∈ 五、我们可以应用Kanto rovich的扩张标准，参见Aliprantis and Border（2006）中的定理8.3 2，以得出πCto L存在（不一定唯一）正线性扩张的结论∞.为了结束证明，假设ρ是凸的和共单调的，并且C是L中的固定极大单调集∞. 然后，对于每一个X=X- X和X，X∈ 我们有πC（X）+πC（X）=πC（X）=-ρ（X）≥ -ρ（X）- ρ（X）=-ρ（X）+πC（X），其中π是（2.1）中定义的泛函，不等式来自ρ的次可加性（命题2.5是正齐次的）。这意味着ρ≥ -πCon the linear subspace V.现在，Hahn-Banach扩张定理，参见Aliprantis and Border（2006）中的定理5.53，确保了πCto对整个L的线性扩张的存在∞, 我们也注意到πC，ρ≥ -πCon全L∞. 部分原因是π-顺式反应阳性∈ L∞+我们有πC（X）≥ -ρ（X）≥ 0，因为ρ随ρ（0）=0而减小。这意味着（b）意味着（c）并得出结论。备注2.10。（i）注意，如果是正的，每个线性泛函πCI根据Aliprantis和Border（2006）中的定理9.6自动连续。（ii）让Ohm = {ω，…，ωN}并假设F是离散的σ-代数，P（ωi）>0∈ {1，…，N}。在此设置中，最大共单调集的形式为cp={X∈ L∞| X（ωp（k））≤ X（ωp（k+1）），k∈ {1，…，N- 1} }对于某些双射p:{1，…，N}→ {1，…，N}。在某种程度上，我们有N！极大单调集。要了解这一点，请注意，每一组形式的Cpis确实是一个最大共单调集。相反，设C是L中的最大余子集∞注意C必须包含arandom变量Z∈ L∞使得Z（ωi）6=Z（ωj）对于所有i，j∈ 设p是{1，…，N}的双射，它对Z的值进行排序，使Z（ωp（k））<Z（ωp（k+1））对所有k进行排序∈ {1, . . .

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2022-5-10 19:44:30

N- 1} . 然后，每X∈ C必须满足X（ωp（k））≤ X（ωp（k+1））叉∈ {1，…，N- 1} 所以C Cp。因此，通过极大值，我们得到C=Cp。（iii）很明显，与（ii）中的极大共单调集相似的特征也适用于Ohm 是一个可数集。引入风险度量我们考虑一个日期为t=0和t=1的单周期经济，其中未来的不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）。金融机构在时间1的资本，即公司资产负债净额的价值，由L中的随机变量表示∞.我的每一个元素∞将被称为资本头寸。定义2.11。（1）任意非空真子集A L∞这是封闭的，增加被认为是一个可接受的状态。（2）任何一对S=（S，S）∈ ( 0, ∞) ×L∞+和S≥ εa.s.对于某些ε>0的情况，称为可分辨集。我们说S是无风险的。否则，我们说S是有风险的。（3）与A和S相关的风险度量是映射ρA，S:L∞→ 每X定义一次∈ L∞通过ρA，S（X）：=inf{m∈ R | X+mSS∈ A} 。（Farkas等人（2014a）提出的Sbe界远离零的要求确保了ρA的绝对值）。如果S=（1，1），当我们简单地写ρA（X）：=inf{m∈ R | X+m∈ A} 。在本文的其余部分中，我们定义了验收集A和合格资产定义2.12。（1）我们说一个映射ρ：L∞→ 当ρA，S（X+λS）=ρA，S（X）时，R是S-可加的- λs对于所有X∈ L∞λ∈ R.如果S=（1，1），那么我们说的是现金增值。（2）对于每ρ：L∞→ 设A（ρ）：={X∈ L∞| ρ（X）≤ 0}.由于接受集的单调性和定价规则的线性，风险度量ρa很容易被认为具有以下基本性质，这些基本性质将在续集中自由使用；参见Artzner等人（1999年）和Farkas等人（2014a）目前的情况。提议2.13。

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2022-5-10 19:44:33

ri-sk测度ρA具有以下性质：（i）ρA，Sis S-ad ditive。（ii）ρA，Sis减小。（iii）A（ρA，S）=A.表征共单调性我们开始研究ρA形式的共单调风险度量，强调任何共单调递减函数都可以表示为与共单调接受集和无风险资产相关的风险度量。引理2.14。设ρ：L∞→ R是一个非零的共单调递减映射。然后，ρ（1）<0且ρ（X）=ρA（ρ），R（X）为每X∈ L∞, 其中A（ρ）是一个圆锥接受集，R=(-ρ(1), 1).证据根据命题2.5，ρ（1）<0成立，ρ是R-可加的。现在，以任意X为例∈ L∞. 因为X+mRR的情况∈ A（ρ）显然等同于ρ（X）≤ 我永远∈ 通过R-可加性，我们很容易看到ρ（X）=inf{m∈ R | X+mRR∈ A（ρ）}=ρA（ρ），R（X）。A（ρ）是圆锥接受集是命题2.5的直接结果。该结果允许我们为风险度量ρa提供必要且充分的条件，该风险度量ρa在验收集和合格资产的性质方面是协单调的。首先，我们证明了ρA不可能是协单调的，除非现金加性风险度量ρA本身是协单调的。提案2.15。假设ρA是共单调的。那么，ρAis共单调且ρA，S（X）=ρA，R（X）=-ρA，S（1）ρA（X）每X∈ L∞, 式中R=（-ρA，S（1），1）。证据回想命题2.13，A（ρA，S）=A。因此引理2.14暗示ρA，S（X）=ρA，R（X）=inf{m∈ R | X-mρA，S（1）∈ A} =-ρA，S（1）ρA（X）对于所有X∈ L∞. 这也表明ρAis是共单调的。从上述结果可以看出，ρa，Sis that的共单调性的必要条件，除了对于合格资产S是可加的外，对于无风险资产R=(-ρA，S（1），1）（记住，尽管我们使用术语，R不一定在市场上交易）。

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2022-5-10 19:44:36

这自然会导致对两个风险度量ρA，和ρA，rw的相等性的研究，这两个风险度量是关于相同的接受集，但不同的合格资产。下面的引理为等式建立了一个必要且有效的条件。这里，我们用span（X）表示X生成的线性空间∈ L∞.引理2.16。对于每个符合条件的资产R，以下陈述是等效的：（a）ρa，S（X）=ρa，R（X）每X∈ L∞.（b） A+span党卫军-RR= A.证据。为了证明（a）意味着（b），假设ρa，S=ρa，R。显然，我们只需要证明结论。”” 在（b）中。为了达到这个效果，任何X都可以∈ L∞还有m∈ R而不是e，ρA，SX+m党卫军-RR= ρA，S（X），在这里，我们使用ρA，Sis加法，假设S和R。断言现在来自A（ρA，S）=A。为了证明相反的含义，取X∈ L∞假设（b）成立。如果X+mSS∈ 一个为数不多的m∈ R、然后我们很容易看到X+mRR=X+mSS- M党卫军-RR∈ 嗯。这意味着ρA，R（X）≤ ρA，S（X）。由于参数在S和R中是对称的，我们得出结论：ρA，S=ρA，R。上述引理可以从Far kas等人（2014 a）的命题5.1中导出，也可以参见Ar t zner等人（2009）在凸环境中的命题1-a。为了完整起见，我们提供了一个简短的证明。我们现在可以对mρa，S的风险度量的共名性进行首次描述。该结果确定了验收集和合格资产的组合导致共名性。特别是，它表明，共单调性不能仅用接受集的性质来表征：对于给定的接受集，风险度量ρa，仅适用于合格资产的特殊选择。定理2.18。假设ρAis是共单调的。

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mingdashike22

2022-5-10 19:44:39

然后，下列陈述是等价的：（a）ρa，是共单调的。（b） A±1+ρA，S（1）SS A.特别地，ρA，仅当S+SρA，S（1）时是共单调的∈ A.∩ (-A）。证据首先，假设（a）成立，所以ρa是共单调的。然后，根据命题2.15，我们得到ρA，S（X）=-ρA，S（1）ρA（X）=每X的ρA，R（X）∈ L∞, 其中R=(-ρA，S（1），1）。因此，引理2.16立即产生（b）。相反，假设（b）成立。作为ρAis共单调函数，A必须是引理2.14的二次曲线。此外，请注意，ρA，S（1）<0借助于相同的引理。因为条件（b）很容易被认为与A+span等效党卫军--ρA，S（1） A、我们可以依赖引理2.16得出结论，ρA，Scoincides，上升到常数-ρA，S（1），具有共单调风险度量ρA，因此其本身是共单调的。这建立了（a）并得出了等价性的证明。最后一个断言紧随其后，因为0∈ 附带条件。为了解释上述定理中的条件（b），假设ρA，S（1）=-1并且该现金是一种无风险资产（即零利率的无风险资产）。在这种情况下，条件归结为±1.-党卫军 A.这意味着，我们可以在任何可接受的头寸上增加完全杠杆化投资组合的收益，在不影响可接受性的情况下，如果以无风险利率借款，则购买风险资产，或者购买无风险资产，则通过做空合资格资产来完全融资。特别是，因为A是一个圆锥体，所以我们必须有跨度1.-党卫军 A.这表明ρA，只有在每个完全杠杆位置都是可接受的情况下，才可以是共单调的。然而，可靠的接受集往往对高风险的完全杠杆化头寸敏感，因为此类头寸可能意味着巨大的下行风险。

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2022-5-10 19:44:43

这意味着，对于偏离无风险资产太多的符合风险条件的资产，不可能持有共同债务。当专门研究凸接受集时，上述定理可以用一个更简单的条件来描述，如下所示。回想一下，如果A是凸的且ρAis是共单调的，那么A是自动的凸锥。推论2.19。假设A是conv-ex和ρAis共单调的。那么，下列陈述是等价的：（a）ρa，是共单调的。（b） ±1+ρA，S（1）SS∈ A.（c）S+SρA，S（1）∈ A.∩ (-A）。证据从0开始∈ A通过圆锥度，直接从定理2.18得出（A）意味着（b）。为了验证相反的含义，假设（b）保持并取任意的X∈ A.由于A是凸的和圆锥的，在加法下是闭合的，我们从（b）得到X±（1+ρA，S（1）SS）∈ A.ρA是协单调的，现在遵循定理2.18。（b）和（c）之间的等价性是圆锥度的直接结果。在上述推论的背景下，他设定了∩ (-A）是一个线性空间，其元素可能被称为“风险不变量”，因为将它们添加到资本头寸X中不会影响ρA（X），即A∩ (-A） ={X∈ L∞| ρA（X+Y）=ρA（Y），Y∈ L∞}.这是ρa次可加性的直接结果。从这个意义上说，前面的结果告诉我们ρa是共单调的当且仅当“充分杠杆”位置S+Sρa，S（1）的支付是arisk不变的。作为上述推论的结果，我们看到，如果接受设置了满足点条件a∩ (-A） ={0}，即如果不存在非零风险不变量，则风险度量ρA不能是共单调的，除非符合条件的资产S是无风险的。正如我们在下一节中的例子所说明的，这种情况远非例外。事实上，对于应用程序中使用的绝大多数接受集，指向性是规则，而不是例外。推论2.20。

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2022-5-10 19:44:47

假设A是指向的。那么，ρA，Sis comonotonic only if=-SρA，S（1）。特别是，ρA，Sis从不共单调i f S是一种风险资产。描述无风险资产下的共单调性是已经观察到的，从定理2.18可以看出，ρA的共单调性取决于可接受集A和合格资产S之间的相互作用。因此，与凸性或正同质性等风险度量的许多其他重要性质相比，comonotonicity不能仅由验收集的属性来表征。本节的目的是说明，如果我们将注意力限制在凸现金加性风险度量上，这种特征是可能的。定理2.21。假设A是con v exn，则下列语句等价：（A）ρAis共单调。（b）对于每个C∈ Cmax这里是一个正线性泛函πC:L∞→ R使得πC≥ πDon Cfor all D∈ CmaxandA=\\C∈Cmax{X∈ L∞| πC（X）≥ 0}.在这种情况下，每X∈ L∞我们有ρA（X）=maxC∈CmaxπC(-十）。（2.2）证据。假设（b）成立，并注意到，对于每个X∈ L∞, 我们必须有ρA（X）=inf{m∈ R |πC（X+m）≥ 0，C∈ Cmax}=supC∈CmaxπC(-十）。自πC（X）≥ 所有D的πD（X）∈ Cmax，我们推断ρA=πCon C。总之，命题2.9意味着ρAis是共单调的。相反，假设ρAis是共单调的。由于ρAis是凸的，因此根据命题2.9，对于每个C∈ Cmax我们找到一个正线性函数lπC:l∞→ R使得ρA=-πConC和ρa≥ -πCon L∞. 这会立即产生（2.2）。A在（b）中的表示现在是A=A（ρA）通过命题2.13的直接结果。备注2.22。定理2.21可被视为Rieger（2017）中共单调性的有限维特征的推广。

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2022-5-10 19:44:51

这源于备注2.10，在备注2.10中，我们观察到，在有限概率空间的情况下，可以通过（有限多个）置换来表示最大的共单调集。3例在最后一节中，我们通过将结果应用于各种明确的接受集（包括最常见的例子）来说明我们的结果。这些具体的例子突出表明，对于有风险的合法资产，共名性是例外，而不是规则。基于风险价值的资本充足率资本头寸X的风险价值（VaR）∈ L∞在α级∈ （0，1）由varα（X）：=inf{m定义∈ R | P（X+m<0）≤ α}.注意，VaRα（X）是X的上α-分位数。相应的接受集是Avar（α）给出的闭锥：={X∈ L∞| VaRα（X）≤ 0}={X∈ L∞| P（X<0）≤ α}.我们感兴趣的是研究风险度量S-VaRα：L的共单调性∞→ R由VaRα（X）给出：=ρAVaR（α），S（X）=inf{m∈ R | P（X+mSS<0）≤ α}.由于VaRα是众所周知的共单调的，我们很容易看到，只要S是无风险的，S-VaRα就会自动地是共单调的。在这种情况下，S-VaRα实际上只是VaRα的倍数。同时，不难验证验收集AVaR（α）是否为通用的，因此推论2.20不适用于基于VaR可接受性的风险度量。第一个结果是通过将定理2.18应用于VaR可接受性得出的，并表明S-VaRα只有在支付常数具有足够高的可接受性的情况下才能是协单调的。实际上，从实用的角度来看，αclose to 0的值是有趣的，所以（3.1）中给出的界接近于1。提议3.1。假设S-VaRα是共单调的。然后，我们有了S=-VaRα（1/S）≥ 1.- 2α。（3.1）证据。从0开始∈ AVaR（α），根据定理2.18，S-Varα只能是ifP的共单调函数1+S-VaRα（1）SS<0≤ α和P- 1.-S-VaRα（1）SS<0≤ α.

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2022-5-10 19:44:54

（3.2）通过重新排列，上述不平等很容易被认为是简单的S=-VaRα（1/S）= 1.- PS<-VaRα（1/S）- PS>-VaRα（1/S）≥ 1.- 2α，其中我们使用S-VaRα（1）=SVaRα（1/S）。备注3.2。条件（3.1）通常不适用于共焦张力。为了看到这个，让{A，B，C}是Ohm 使得P（A）=P（B）=α，P（C）=1- 2α.考虑一个S>0且符合条件的资产S=（子A∪ C、 2关于B.很容易验证VaRα（1/S）=-1/因此，（3.1）是令人满意的。但是-1A∈ AVaR（α）和- 1A+1.-党卫军= -1A∪B/∈ AVaR（α），根据定理2.18，S-VaRα不是协单调的。鉴于之前的结果，我们很自然地会怀疑，共名性是否与风险合格资产完全相容。下一个命题描述了所有潜在的概率模型，其中S-VaRα对于某些风险合格资产是协单调的。引理3.3。以下陈述是等价的：（a）存在风险合格资产S，因此S-VaRα是协单调的。（b）这里有一个∈ F使得0<P（A）≤ α和每B∈ F我们有p（B）≤ α ==> P（A）+P（Ac）∩ B）≤ α .证据为了证明（a）意味着（b），假设S-VaRα对于一些具有非恒定收益的合格资产是协单调的。考虑随机变量Z=1+S-VaRα（1），并注意，通过（3.2），它满足最大{P（Z<0），P（Z>0）}≤ α.由于Z是非常数，上述概率之一必须严格为正。在不损失一般性的情况下，假设P（Z<0）>0，setA={Z<0}∈ F.现在，任何B∈ F满足P（B）≤ α. 自从-1B∈ AVaR（α），定理2.18暗示了t hatZ- 1B必须属于AVaR（α），因此P（Z<1B）≤ α. 注意P（Z<1）=1是因为VaRα（1）<0。

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2022-5-10 19:44:58

那么，很容易看出P（A）+P（Ac∩ B） =P（A）∪ （Ac）∩ B） )≤ P（Z<1B）≤ α.因此，（a）意味着（b）。为了证明相反的含义，假设（b）通过设置=1和=（1在Ac上，2在A上）持有并定义合格资产S。此外，考虑r和OM变量Z=1+S-VaRα（1）SS。很容易验证S-VaRα（1）=-所以Z=-1A。现在取一个任意的X∈ AVaR（α）。通过将（b）与b={X<0}相加，我们得到P（X+Z<0）=P（a）∩ {X<1A}）+P（Ac∩ {X<1A}）≤ P（A）+P（Ac）∩ {X<0}）≤ α.此外，我们很容易看到that（X- Z<0）=P（X<-1A）≤ P（X<0）≤ α.因此，定理2.18暗示S-VaRα是协单调的，我们得出结论（b）暗示（a）。这就完成了等价性的证明。当特定于非原子概率空间的公共集时，上述结果具有以下明确的结果，即支持具有任何规定分布的随机变量的概率空间：除非符合条件的资产是无风险的，否则基于VaR可接受性的风险度量永远不会是同一的。提议3.4。假设(Ohm, F、 P）是非原子的。那么，S-VaRα是协单调的，如果S是无风险的。证据“如果”的含义总是正确的。为了证明“仅当”的含义，必须注意引理3.3中的条件（b）在非原子环境中永远不能满足。的确，如果P（A）≤ α、然后我们总能找到B∈ F使B Acandα- P（A）<P（B）<非原子性α。因为我们很容易得到P（A）+P（Ac∩ B） =P（A）+P（B）>α，引理3.3告诉我们，S-VaRα只有在Sis不变的情况下才能是共弦的。备注3.5。众所周知，VaRα不是次可加的。然而，由于是共单调的，对于任何一个共单调的X，Y，它的特征是VaRα（X+Y）=VaRα（X）+VaRα（Y）∈ L∞. 这允许通过单独的资本要求来控制一个共单调随机变量的合计头寸所需的资本。

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2022-5-10 19:45:01

由于VaRα通常不是共单调的，如果S是一种风险资产，人们可能会想知道，共单调随机变量的合计头寸所需的资本是否仍然可以根据单独的资本要求或不需要t进行控制。在这里，我们表明，VaRα（X+Y）>S-VaRα（X）+S-VaRα（Y）的不良情况对于共单调X，Y也是可能的∈ L∞, 因此，对单一随机变量的单个资本要求进行汇总，无助于找到综合头寸所需资本的界限。我们在上面示例3.2的设置中提供了一个示例。如果我们考虑共单调随机变量=-2月1日-3对B2对Y=-4月1日-9在C上的B0上，则不难证明S-VaRα（X+Y）=6>+4=S-VaRα（X）+S-VaRα（Y）。基于预期缺口的资本充足率资本头寸X的预期缺口∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为α（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。相应的接受集是由aes（α）：={X定义的闭凸锥∈ L∞| ESα（X）≤ 0}.我们的目的是描述风险度量S-ESα：L的共单调性∞→ R由S ESα（X）给出：=ρAES（α），S（X）=inf{m∈ R | ESα（X+mSS）≤ 0}.我们证明了基于ES可接受性的风险度量是共单调的，当且仅当可接受集是无风险的。这个结果将是下面引理的直接结果。引理3.6。对于每一个非常数X∈ L∞我们有ESα（X）>-E[X]。证据因为VaRβ（X）是，对于每个X∈ L∞, 作为β的递减函数，它的结果是α（X）-ZαVaRβ（X）dβ=1- αZαVaRβ（X）dβ≥ (1 - α） VaRα（X）≥ZαVaRβ（X）dβ，当且仅当所有β的VaRβ（X）=VaRα（X）时，左右两侧相等∈ （0，1）或等价地，当且仅当X为常数。

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2022-5-10 19:45:06

因此，通过重新排列，我们得到α（X）≥ZαVaRβ（X）dβ+ZαVaRβ（X）dβ=ZVaRβ（X）dβ=-E[X]，当且仅当X为常数时相等。前面的引理意味着基于ES的可接受集是指向的，因此，我们可以应用推论2.20，并得出结论，除非合格资产是无风险的，否则基于ES可接受性的风险度量不能是共单调的。提案3.7。ri s k测度s-ESα是共单调的当且仅当s是无风险的。证据“如果”的含义是明确的，因为在这种情况下，S-ESα只是ESα的倍数，而ESα是众所周知的非共弦的。为了证明“仅当”的含义，请注意ESα（X）+ESα(-十） >-E[X]+E[X]=0（3.3）对每一个非常数X保持不变∈ L∞引理3.6。因此，可接受集AES（α）满足预期条件AES（α）∩ (-AES（α））={0}。要看到这一点，假设X∈ AES（α）∩ (-所以ESα（X）≤ 0和ESα(-十）≤ 0两倍。由于ESα（X）+ESα(-十）≤ 由（3.3）可知，X必须是常数。然而，唯一的常数随机变量是AES（α）∩ (-AES（α））显然是零随机变量。总之，AES（α）是明确的，推论2.20意味着S-ESα只有在S无风险的情况下才是共单体。基于扭曲风险度量的资本充足率我们用P（[0,1]）表示所有概率度量的集合u：[0,1]→ [0, 1].

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2022-5-10 19:45:10

与u关联的失真风险度量∈ P（[0,1]）是dru：L的映射∞→ 由dru（X）定义的R:=ZESα（X）u（dα）。这里，正如通常所做的那样，我们通过设置（X）来扩展ES:=- inf{m∈ R | X≥ m} 和ES（X）：=-E[X]。相应的接受集是由adr（u）：={X给出的闭凸锥∈ L∞| u（X）博士≤ 0}.基于失真风险度量的接受集是一个庞大的类，在非原子集中，包括所有凸的、定律不变的、与共单调性兼容的接受集。在下一个命题中，这是定理4.93 inF–ollmer and Schied（2011）的直接结果。提案3.8。假设(Ohm, F、 P）是非原子的，A是凸的，且律i是变的。然后，以下语句是等价的：（a）ρAis共单调。（b） A=某些u的ADR（u）∈ P（[0,1]）。备注3.9。在非原子环境中，失真风险度量可以通过与凹形失真函数相关的Choquet积分等效识别，直到符号，参见F¨ollmer and Schied（2011）中的定理4.70。我们的目的是描述风险度量S-DRu：L的共单调性∞→ R由DRu（X）给出：=ρADR（u），S（X）=inf{m∈ R | DRu（X+mSS）≤ 0}.下一个命题表明，基于失真的风险度量永远不会是共单调的，除非它们降低到标准预期或合格资产被认为是无风险的。提案3.10。风险度量S-DRu是共单调的，如果d仅在以下条件之一成立：（i）u（{1}）=1（因此DRu（X）=-E[X]表示所有X∈ L∞).（ii）S是无风险的。证据“如果”的含义是明确的，因为在这两种情况下，风险度量S-DRu只是DRu的倍数，这是共单调的。特别是，如果u（1）=1，那么我们显然有dru（X）=-E[X]表示任何X∈ L∞这就是DRu（X）=inf{m∈ R | E[X+mSS]≥ 0} = -SE[S]E[X]=所有X的SE[S]DRu（X）∈ L∞.

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2022-5-10 19:45:14

为了证明“仅当”含义，假设S-DRu是共单调的，但u（{1}）<1。然后，从引理3.6得出，任何非常数X∈ L∞满意度DRu（X）>-E[X]因此DRu（X）+DRu(-十） >-E[X]+E[X]=0。与命题3.7的证明一样，这产生了指向性条件nADR（u）∩ (-ADR（u））={0}。因此，我们可以应用推论2.20，得出S必须是无风险的结论。这就完成了“只有如果”含义的解释。4结论通过详细的讨论和结果可以得出以下两个结论：o共名性在很大程度上取决于合格资产。与风险度量的其他重要属性（如凸性、次可加性和正同质性）相比，我们的结果表明，共单调性不能单独用潜在接受集的属性来表征，而是关键取决于可接受集的特定选择。要求可接受性是关键的“监管”目标，合格资产只是实现这一目标的工具。因此，在资本平等的背景下，共名性似乎是一种附带的属性，而不是一种基本的属性共名性通常与风险合格资产不兼容。Comonomonicity仅与有限范围的合格资产兼容，这些资产通常需要接近无风险。事实上，对于许多重要的可接受集，例如基于风险价值或扭曲风险度量（如非原子概率空间中的预期短缺）的可接受集，共单调性仅与无风险合格资产兼容。一方面，这意味着对监管风险度量施加共名性要求隐含地限制了车辆的选择以达到可接受性。这与可接受性是主要监管问题这一前提背道而驰。

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2022-5-10 19:45:17

事实上，正如Artzner et a l.（20 09）所指出的，限制可转让资产的选择最终会降低资本效率。另一方面，共单调性与风险合格资产的不相容性意味着，在没有无风险资产的经济体中，不可能存在与运营相关的共单调风险度量。这些发现符合资本充足率背景下对单调性的意义和作用的批判性评价，并且可以说是一种批判性评价。参考文献[1]Aliprantis，Ch.D.，Border，K.C.：有限维分析is，第三版。柏林：Springer（2006）[2]Artzner，Ph.，Delba en，F.，Eb er，J.-M.，Heath，D.：一致的风险度量。《数学金融》9，203–228（1999）[3]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Koch Medina，P.：风险度量和资本的有效使用，ASTIN Bulletin，39（1），101–116（2009）[4]Delbaen，F.：一般概率空间上的一致风险度量，载于：Sandmann，K.，Sch¨onbucher，P.J.（编辑），《金融与随机学的进展：纪念迪特尔·桑德曼的论文》，第1–37页，Springer（2002）[5]Denneberg，D.：非加性测度和积分，Kluwer（1994）[6]Denuit，M.，Dhaene，J.，Goovaerts，M.J.，Kaas，R.：相依风险的精算理论：测度，顺序和模型，Wiley（2005）[7]Dhaene，J.，Denuit，M.，Goovaerts，M.J。，Kaas，R.，Vyncke，D.：精算学和金融学中的共单调性概念：理论，保险：数学和经济学，31（1），3-33（2002）[8]Dhaene，J.，Vandu uffel，S.，Goovaerts，M.J.，Kaas，R.，Tang，Q.，Vyncke，D.：风险度量和共单调性：一种观点，随机模型，22，573-606（2006）[9]Embrechts，P.，H¨onig，A.，Puccetti，G.：最坏的VaR情景，保险：数学与经济学，37115-134（2005）[10]Embrechts，P.，McNeil，A.J.，Straumann，A.：风险管理中的相关性和依赖性：属性和陷阱，摘自：M.A.H.Dempster。

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