因此，如果∧的最大特征值大于1，则所有固定点都将不稳定。为了方便起见，现在让我们用λmax表示∧的最大本征值，用λmax表示∧的最大本征值。此外，假设pj（0）=0，pj（1）=1，并且pjare是凸的，我们得到了pj（0）<1，因此（再次使用[S1]中的推论8.1.19）：~λmax≤因此，我们可以有三种可能的情况。首先，λmax≤^λmax<1，意味着线性动力学和非线性动力学都是稳定的。第二，1<λmax≤^λmax线性动力学和非线性动力学都是不稳定的。第三，λmax<1<^λmax，在这种情况下，线性动力学将不稳定，而非线性动力学可能稳定或不稳定。一个重要的观察结果是，稳定性标准取决于矩阵∧，该矩阵不包含违约概率。因此，如果我们有一个^λmax小于1的网络，那么无论我们选择了哪种违约概率，该网络上的动力学都是稳定的。相反，失稳判据依赖于包含违约概率的矩阵∧。如果我们有一个网络，其λmax大于1，我们总是可以在原点附近找到违约概率的局部变形，使得pj（0）→ pj（0）/（λmax+),使系统具有新的违约概率稳定。这个结果使下面的直觉正式化。系统的初始状态是没有损失（h（0）=0），违约概率为零（pj（0）=0）。如果我们现在能够任意大幅度地降低违约概率大于零的比率，我们将始终能够使系统稳定。从前面观察的角度来看，给出以下定义是有意义的。

考虑到（S6）中的动态系统，在违约概率满足上述假设且恢复率ρj的情况下，我们将不稳定的路径定义为一系列网络∧（0），∧（1），∧（k）使得i）对应于∧（0）的动力学对于所有违约概率的选择是稳定的，ii）存在至少一种违约概率选择，使得对应于∧（k）的动力学是不稳定的，以及iii）存在`>0，例如pij∧（k）ij/n=`，对于所有k，最后一个要求意味着序列中所有网络的平均银行间杠杆率相同。在没有这种要求的情况下，人们可以很容易地构建通向稳定的琐碎路径，例如通过任意增加银行间杠杆矩阵的权重。假设现在我们有一系列的网络，并且想要检查这样的序列是否是通向不稳定的途径。首先，我们可以检查^λ（0）max（^∧（0）的最大特征值）是否小于1，这意味着对应的动力学在所有违约概率选择中都是稳定的。其次，我们可以检查^λ（k）max（^∧（k）的最大特征值）是否大于1，这意味着它至少存在一个违约概率的选择，从而使动力学不稳定。事实上，如果我们选择pj（h）=h，对于所有j，则∧（k）=∧（k）。因此，为了检查一个网络序列是否是通向稳定性的途径，我们只需计算整个网络序列中∧的最大特征值。添加NODESErd"os renyi我们将利用的关键thereom是Silverstein[S2]（定理1.2）。简而言之，设∧是一个n×n矩阵，其条目是平均u>0且具有有限四阶矩的随机i.i.d.变量。对于足够大的n，最大特征值λmaxof∧为：λmax=nXi，j∧ij+O（n-1/2) .

（S16）在矩阵∧是arandom图的加权邻接矩阵的情况下，我们现在将说明定理的结果。我们考虑∧ij=CijWij的Erd"os-Renyi图，其中有Cij∈ {0,1}和Wij∈ R+。变量确定边是否存在，并具有双峰分布ρ（Cij）=pδ（Cij- 1) + (1 - p） δ（Cij）。变量是与边缘相关的权重，我们不确定它们的分布（只要四阶矩是有限的）。我们从网络不稀疏的情况开始，即平均度数为k的情况≡PijCij/nis‘k’O（n），或等效的p’O（1）（在这个意义上，它不与n成比例）。让我们定义变量Xi，i=1。n、 作为∧列上的和，即Xi=PjCijWij。作为独立的Cijand-Wijare，我们有：hXii=nhCijihWiji=nphWiji（S17a）var Xi=n var（CijWij）=n菲维吉- 菲维吉. （S17b）下一步是计算Tixi/n。作为具有有限方差的夏尔i.i.d.使用（S16），我们得到λmax将以hλmax=nnhXii=nphWiji（S18a）S5varλmax=nn var Xi正态分布=菲维吉- 菲维吉, （S18b）表示相对波动为√varλmax/hλmaxi\'1/n。在图是稀疏的情况下，即\'k\'O（1）和p\'1/n，我们知道每个节点的阶数具有平均值\'k\'的aPoisson分布。因此，Xi将具有Hxii=\'khWiji（S19a）var Xi=\'khWiji的复合泊松分布。（S19b）如果我们现在计算像素/n的前两个矩，我们发现：hλmaxi=nnhXii=\'khWiji（S20a）varλmax=nn var Xi=\'khWijin，（S20b）意味着相对函数√varλmax/hλmaxi\'1/√N

此外，我们可以看到，hλmaxi的函数与（S16）中的修正阶相同，因此我们无法计算这种情况下λmaxi的分布。在前面的推导中，我们假设银行间杠杆矩阵的所有条目都是i.i.d.，这是不完全正确的。事实上，在我们的网络中，银行不能向自己发放贷款，这意味着不存在循环（长度为1的循环），即加权邻接矩阵的对角线用零填充。要计算hλmaxi的相对校正，必须注意，如果λ是矩阵M的特征值，则λ-a是矩阵M的特征值-人工智能。因此，在稀疏图的情况下，我们得到hλmaxi=nphWiji- phWiji=（n）- 1） 菲维吉。因为没有循环的图¨k=（n- 1） p，我们有hλmaxi=\'khWiji。在稀疏图的情况下，如果使用了正确的“k”值，则（S20a）中已经说明了校正。在这两种情况下，我们都有λmax=\'khWiji，作为n→ ∞, 但相对波动不同。值得注意的是，当∧是银行间杠杆的矩阵时，“khWiji正是银行间杠杆的平均值”。因此，福恩→ ∞, 如果`>1，系统将不稳定；如果`<1，系统将稳定。然而，如果n不是很大，则函数是相关的，即使`>1，系统也可以是稳定的，反之亦然。我们现在提供一个例子，说明在这样一个网络中添加节点如何使系统不稳定。首先，我们用给定的p随机生成一个Erd"os Renyi图，并使用加权平均值hWiji的指数分布，这样`>1，一旦我们找到一个稳定的图就停止。然后，我们继续一次添加一个新节点，方法是保留加权邻接矩阵的所有条目都是i.i.d.的属性，并保持边的密度（即“k”）恒定。

事实上，如果我们设计一个增长过程，在这个过程中k增加，系统就会变得很不稳定。我们使用以下算法。设n为添加新节点i之前的节点数。（i）我们从节点i和其他n个节点随机形成边，概率为p；（ii）我们从i:（iii）我们将这些权重乘以（n）来重新缩放这些权重-1） /n；（iv）我们以概率p随机形成从其他n个节点到节点i的边；（v） 我们从i的每个新引入边的权重分布中得出权重；（vi）我们重新缩放所有边的权重，从i的新邻居开始（包括朝向节点i的边），这样从这些节点出来的边的所有权重之和在添加节点i后不会发生变化。在补充图S1中，我们看到了这样一个过程的实现，即边的密度和平均银行间杠杆率大致恒定，而λmax变得大于1，将系统推向不稳定状态。让我们注意到，这种算法旨在保持现有节点的所有银行间杠杆不变。然而，银行间杠杆矩阵单个项目的概率分布可能因算法的不同步骤而不同。我们已经检查了一个更简单的变量，其中保持单个分录的概率分布不变，而银行间杠杆率仅在平均值上保持不变，得到了相同的结果。正则随机图和无标度图在上一节中，我们使用Silverstein定理证明了具有i.i.d.权重的增长Erd"os Renyi网络的不稳定性路径的存在性。在定理不成立的情况下，我们仍然可以进行数值实验，以检查是否存在类似的机制。

其基本思想是从平均银行间杠杆大于1的稳定图开始，以网络拓扑和平均银行间杠杆不变的方式增加其节点数，并查看在这个过程中，该图是否变得不稳定。在本节剩余部分中，我们将针对两个具体策略讨论上述流程的细节。我们从正则随机图的情况开始，即所有节点都具有相同的in度kin和out度kout的图，即kin=kout=k。为了生成有向随机正则图，我们首先使用Steger和Wormald[S3]引入的算法生成无向随机正则图。很明显，通过将这样的图解释为无向图，所有的边都会相互交换（这意味着对于任何一条边→ 也存在边缘→ i） 。因此，我们执行随机边缘重新布线，直到往复边缘的分数低于某个阈值（我们在数值实验中使用0.5）。下一步是设计一个将节点添加到正则随机图的过程，这样新的图仍然是一个具有相同in degreean和out degree的正则随机图。为了描述算法是如何工作的，让我们在新节点i上添加一个新节点。然后，我们随机选择kdi不同的预先存在的节点Nout={j，…，jk}，并且，对于任何这样的节点，我们选择一个随机的后继节点来构建集合Nin={l，…，lk}，确保∩ 年=. 我们继续添加边j→ 我jk→ i、 然而，节点的出度现在增加到了k+1。因此，我们删除了边j→ Ljk→ LK并添加边缘i→ L我→ lk，这样所有节点的入度和出度都不会改变。为了保留节点j……的银行间杠杆，jkwe只需设置∧ji=∧jl。∧jki=∧jlk。节点l的银行间杠杆率。

，Lk没有改变，因为它们的输出边都没有被修改。为了保持平均银行间杠杆率不变，我们只需将区间[0，`]随机划分为k个子区间，并将子区间的长度分配给权重∧il。类似的。在补充图S2中，我们绘制了银行间杠杆矩阵的最大特征值的一组轨迹，用于跨越稳定和不稳定之间阈值的有向随机规则图，表明在这种情况下，也存在通往不稳定的路径。我们继续分析无标度图的情况。为了生成随机有向无标度图，我们使用Bollob\'as等人[S4]引入的算法。这种算法实现了一个渐进地向有向无标度图倾斜的增长过程。因此，为了向图中添加节点，我们只需要迭代EIT。由于节点度的分布，如果我们从同一个分布中提取所有权重，银行间杠杆率也将具有无标度分布，其平均值将由极大度的少数节点控制。如果度数和银行间杠杆都具有无标度分布，则不稳定周期出现的概率很高，并且不容易找到一个平均银行间杠杆大于1且最大特征值小于1的图。因此，我们调整输出边权重的分布，使银行间杠杆平均相同。例如，如果权重是从指数分布中提取的，那么它将证明任何节点的输出边的权重所依据的分布的平均值与该节点的向外度成反比。每次添加新节点时，其输出边的权重区域都以相同的方式指定。

然而，当添加新节点时，[S4]中的算法也可以在现有节点之间引入新的边。因此，对于任何节点，其预先存在的输出边的权重都会根据节点的新旧度之间的比例进行重新调整。这样的程序并不能保证银行间杠杆的平均值保持完全恒定，事实上，在数值实验中，我们观察到它的反射较弱。为了消除这种残余影响，只需根据新旧银行间平均杠杆率之间的比率重新调整所有边缘的权重即可。在补充图S3中，我们绘制了银行间杠杆矩阵最大特征值的一组轨迹，用于跨越稳定和不稳定之间阈值的无标度网络的增长，表明在这种情况下，也存在通往不稳定的路径。核心外围资产负债表数据在本节中，我们考虑一个更现实的银行间网络模型。我们从观察结果开始，实证研究[S5，S6]发现，真实的银行间网络与核心-外围拓扑兼容。在这类图中，节点属于两个不相交的集合，即核心C和外围P。通过对节点进行适当排序，这类图的邻接矩阵是块矩阵：CCCPP,其中块CC包含从核心节点到核心节点的边，块CP包含从核心节点到外围节点的边，依此类推。对角线块对应于两个不同的Erd"osRenyi子图。对角块对应于两个二部

因此，对于给定节点数的图，核心-外围拓扑完全由核心节点和外围节点之间的分数，以及四个块中边的密度ρcc、ρcp、ρpc、ρpp决定。我们首先生成一个随机的核心-外围网络，其节点数量与我们的数据集中的银行数量匹配，并使用[S5]中针对意大利银行间网络估计的参数。为了分配权重，我们按照以下方式进行。银行间风险敞口被认为是非常敏感的信息，只有监管机构才能访问这些信息。相比之下，银行的资产负债表是公开的，但只包含有关银行间风险敞口的部分信息。更具体地说，银行的资产负债表列出了银行间资产总额（即借给其他银行的金额）和银行间负债总额（即从其他银行借款的金额）。除了对监管机构持有的数据进行的一些选定研究外，有关银行间网络的文献通过做出一些假设来解决这个问题，这些假设允许从资产负债表中包含的有限信息中重建银行间风险敞口。选择正确的重建技术取决于几个因素，其中最重要的是可用的部分信息的种类。在拓扑结构和边际银行间资产和负债已知的情况下，可以使用RAS算法重建风险敞口[S7]。该算法通过假设每家银行的风险敞口分布最大化熵来分配风险敞口，与银行间资产和负债的约束一致。生成核心-外围图很容易，只需生成四个Erd"os Renyi子图，每个区块一个。在拓扑不变的情况下，让图形增长会稍微复杂一些。

为了保持核心和外围节点的分形不变，我们将一个新节点分配给核心，其概率等于核心中节点的期望分数，并将一个新节点分配给外围，其概率为互补概率。为了保持四个区块的密度，我们按照以下方式进行。让我们用Nc（Np）表示添加新节点前核心（外围）中的节点数，用Nc（Np）表示添加新节点后核心（外围）中的节点数。类似地，ecc和ecc是添加新节点前后核心中节点之间的边数。对于与其他块对应的边数，我们使用类似的符号。现在让我们假设一个新节点被添加到核心，因此为了保持核心块的密度不变，我们有：ρcc=EccNc（Nc- 1） =EccNc（Nc- 1） =Ecc（Nc+1）Nc，（S21）意味着在属于核心的节点之间添加的边数为：Ecc- Ecc=EccNc+1Nc- 1.- Ecc=2EccNc- 1=2ρccNc。（S22）因此，在添加节点后，我们还将在新节点和核心中的所有其他节点之间的2条可能边中随机选择2条ρccncedge。为了保持核心-外围区块的密度不变，我们改为：ρcp=EcpNcNp=EcpNcNp=Ecp（Nc+1）Np，（S23），这意味着从核心到外围添加的边数为：Ecp- Ecp=EcpNc+1Nc- Ecp=EcpNc=ρcpNp。（S24）因此，在添加节点后，我们还将ρcpNcpedges添加到外围节点中，该ρcpNcpedges是在核心中新节点的可能NPedges之间随机选择的。

类似地，我们发现要从外围节点添加的边的数量，新节点是ρpcNp，而不需要在外围节点之间添加边。以同样的方式进行，当新节点属于外围时，可以导出要添加到所有块中的边数。为了检查不稳定路径的存在，我们以稍微不同的方式进行。首先，我们生成一个序列G，Gnof未加权的核心-外围图，其节点数量不断增加，因此最终图GN的节点数量与数据集中的银行数量相匹配。我们使用RAS算法为这样的图分配权重（见上文）。其次，我们删除了Gn中的节点，但没有删除Gn中的节点-1及其所有进出口。这相当于转移未加权图Gn上其他边的所有权重-1.这样，新图形的拓扑结构保持不变。第三，为了保持银行间平均杠杆率不变，我们根据新旧银行间平均杠杆率之间的比率重新调整所有边缘的权重。我们重复这个过程，直到到达初始图G。在这种情况下，我们沿着相反的方向，从不稳定到稳定，穿过路径。因此，我们只保留那些序列，使得图不稳定。在这种情况下，我们沿着相反的方向走的原因是，为了沿着通常的方向前进（即通过添加节点），我们需要在数据集中采样一组银行，并随机添加其他银行，一次一个。然而，在这一过程中，银行间的平均杠杆率不会保持不变。

在补充图S4中，我们为不断增长的核心-外围网络绘制了一组银行间杠杆矩阵最大特征值的轨迹，这些网络跨越了不稳定和稳定之间的阈值，表明在这种情况下，也存在通往不稳定的路径。S9补充图0 20 40 60 80 100 120添加的银行。00.20.40.60.81.01.21.41.6最大特征值/平均银行间杠杆最大特征值平均银行间杠杆密度0。00.20.40.60.81.01.21.41.6密度补充图S1。向Erd"os Renyi图添加节点。一个增长过程的例子，在这个过程中，一个平均银行间杠杆大于1的稳定网络随着新银行的加入而变得不稳定。我们强调，向不稳定区域的过渡实际上是由λmaxshrinkas n的渐近分布中的函数变得更大这一事实驱动的：事实上，网络中的边密度大致保持不变。这里，初始网络的n=20，权重分布呈指数分布，平均值为0.79.0 20 40 60 80 100。80.91.01.11.21.3补充图S2。向常规随机图添加节点。类似于补充图S1，但对于入度和出度等于10的（有向）正则随机图。在这里，我们展示了10条不同的网络轨迹，从稳定状态到不稳定状态。对于所有轨迹，拓扑结构和平均银行间杠杆率（总是大于一）在整个轨迹上都是恒定的。初始网络的n=20，权重分布呈指数分布，平均值为0.58。S100 500 1000 1500 2000银行增加0。80.91.01.11.21.3补充图S3。向无标度图添加节点。

与补充图S2类似，但对于无标度图，入度和出度分布的尾部指数分别等于2.15和2.7。这里我们展示了10种不同的网络轨迹，它们从稳定状态过渡到不稳定状态。对于所有轨迹，拓扑结构和平均银行间杠杆率（总是大于一）在整个轨迹上都是恒定的。初始网络n=1000，节点i的输出权重分布与平均值2/kout呈指数关系。轨迹被延长，直到增加500个节点，或者直到最大特征值大于1。176 156 136 116 96 76 56 36银行数量1。01.52.0补充图S4。向核心-外围图添加节点。通往不稳定的道路是倒退的，即随着银行数量的减少，从不稳定走向稳定。图的拓扑结构是具有现实参数的核心-外围（见[S5]）。这里我们展示了从不稳定状态到稳定状态的10条不同的网络轨迹。对于所有轨迹，拓扑结构和平均银行间杠杆率（总是大于一）在整个轨迹上都是恒定的。初始权重使用RAS算法分配（见[S7]），并与2012年欧洲最大176家银行的资产负债表一致（来源：Bankscope数据集）。我们之所以选择2012年，是因为它是银行间平均杠杆率最小的一年（因此更难观察到不稳定的网络）。轨迹被延长，直到最大特征值小于1。

由于技术原因，建立了反向通道，即保持平均银行间杠杆率不变，同时保持与实际资产负债表的一致性（见正文）。S1110-210-1100density012345678λmax200810-210-1100density012345λmax200910-210-1100density0123456λmax201010-210-1100density012345678λmax201110-210-密度11000。00.51.01.52.02.53.03.54.0λmax201210-210-密度11000。00.51.01.52.02.53.03.5λMAX2013补充图S5。为欧洲前50家银行的网络增添了优势。与2008年至2013年的图3类似。对于λmax<1，银行间网络是稳定的（黄色区域），而对于λmax>1，银行间网络是不稳定的（红色区域）。为了进行比较，我们还绘制了平均银行间杠杆率（蓝色虚线）。S12补充参考文献[S1]Horn，R.A.和Johnson，C.R.矩阵分析。（剑桥大学出版社，剑桥，2012）[S2]Silverstein，J.W.大维非中心随机矩阵的谱半径和范数。随机模型10（3）：525–532（1994）。[S3]Steger，A.&Wormald，N.快速生成随机正则图。概率与计算8:377–396（1999）。[S4]Bollob\'as，B.，Borgs，C.，Chayes J.，和Riordan，O.有向无标度图。第十四届ACMSIAM离散算法年度研讨会论文集，132–139（2003）。[S5]Fricke，D.和Lux，T.隔夜货币市场的核心-外围结构：来自电子中间交易平台的证据。计算经济学45（3），359–395（2015）。[S6]克雷格，B.和冯·彼得，G.银行间分层和货币中心银行。《金融中介杂志》23（3），322–347（2014）。[S7]Upper，C.和Worms，A.估算德国银行间市场的双边风险敞口：是否存在传染的危险？《欧洲经济评论》48（4），827–849（2004）。