i） 对于Lb=36个月或更长时间的长期回顾，同等权重的投资组合表现优于马科维茨投资组合。ii）然而，对于长达24个月的短期回望，马科维茨投资组合的表现优于同等权重的投资组合。iii）SRIC主导AIC作为模型选择标准，在短期回溯方面的表现优于等权投资组合，在长期回溯方面的表现优于马科维茨投资组合。了解图5中的结果后，可以选择长回溯的等权重模型和短回溯的完整模型。然而，这是未知的，需要像AIC或SRIC这样的模型选择标准。请注意，对于较短的回溯，即较低的估计期，马科维茨投资组合（尽管我们承认表现优异是由于样本的第一部分）的表现优于同等加权投资组合。这似乎令人惊讶。也就是说，对于ashorter回望估计，误差更大，因此可以假设低维模型（如等权）的效果更好。因此，估计误差不能完全回答为什么等权投资组合在许多数据集和参数组合上优于马科维茨投资组合的问题，例如在3年及以上的回望期。估计误差只是问题的一半。另一个是，在这些数据集上，大部分回报机会已经被同等权重的投资组合捕获。在本例中，在5到10年的期限内，回报机会集中在一个组成部分（等权重）。任何额外的维度都不会增加足够的回报潜力来证明额外的估计误差。另一方面，在短期内，回报机会分布在更多的投资组合方向上。也就是说，在horizonsup至2年内，行业特定趋势会随时间变化。

因此，在较短的估计窗口中，人们可以获得一些有价值的东西，以换取额外的估计误差，而在较长的窗口中，人们不会。因此，简单基准与投资组合优化的问题与其说是估计误差的问题，不如说是估计误差与回报机会之间的确切权衡问题。定理3.1根据夏普比率对这种交易进行定价。5.5. 模拟4：回归在前面的小节中，我们在投资组合选择的背景下说明了SRIC，其中的任务是优化组合k个回报流。在这里，我们将从回归的角度来说明SRIC的使用。注意，根据备注2.2和2.3中的推理，两者之间没有数学上的差异。因此，以下两个小节更多是为了完整性和概念性。此外，我们用它们来表明以下观点：由于参数估计误差，真实模型可能是次优的，并且可能被不太复杂的模型所超越。为此，我们创建了一个模拟，其中额外维度的边际效益在下降。实际上，这可能是因为每个额外维度的可预测性降低，或者是因为额外维度与现有维度相关，因此它们的部分信息已经包含在较低维度中。我们这样做：我们画出30个正态分布的随机变量xi，i=1，30两两相关ρ=0.2，平均值为零，方差为1。我们抽取1260个独立的x样本，并将它们收集到1260乘以30维矩阵x=（Xt，i）中。这相当于T=5年，每个工作日252个。然后我们每天模拟1260次∈ R1260,1这可以通过X预测。

也就是说，我们使用模型yt=Xtβ+εt，其中ε皮重为iid正态，平均值为零，标准偏差为0.1/√252对应于10%的年化波动率和β=b（1，…，1）Twith b，选择这样的系数，每个单独的预测因子Xi（i=1，…，20）的真实夏普比为0.5。然后，模型k回归第一个k预测因子Xt，i，i=1，k如例2.2所示。也就是说，我们用权重Xt，ion-yt:rt，i=ytXt，i来研究收益流rt，iof博彩。然后，我们推导出收益率ri，i=1，…，的最优样本投资组合θ，k，并根据所选的预测值k，查看样本夏普比率的分布。图6（回归模拟）：按回归模型的维度计算样本外夏普比率的平均值。红线表示使用SRIC的平均样本外夏普比率，蓝线表示使用AIC。平均超过10万次试验。图6显示了通过平均10万次这样的试验得到的结果。请注意，尽管完整的30维模型是真实模型，但样本外夏普比在选择6维模型时达到峰值。这是因为额外的估计风险超过了选择额外预测因子的边际收益。红线表示使用SRIC作为标准获得的样本平均夏普比，蓝线表示使用AIC获得的样本平均夏普比。请注意，AIC和SRIC都实现了比使用真实的30维模型更高的夏普比。作为记录，AIC实现了更高的平均方差效用-与SRIC相比，0.64-2.1.5.6. 玩具携带策略上一个例子是一个程式化的模拟，旨在展示SRIC的好处。Wenow演示了它在处理b=0.5的简单携带物的玩具现实世界应用程序中的适用性/√252 · 0.1/√252·f，其中f=N/（1TC1），其中C是X的相关矩阵，N=30。因此b≈ 2.9178 · 10-5.贸易战略。

为了避免疑问，创建这个简单的示例仅用于说明，我们不建议使用此策略。对于任何特定的数据集和模型，我们也不关心样本性能的实际情况，这是非常随机的。我们添加这一部分作为在真实回归环境中的适用性证明。为此，我们使用2000年1月至2015年10月期间20种不同货币的即期和远期价格。每个月我们都会重新平衡由k+1基本策略组成的投资组合。第一基础策略是一种12个月趋势跟踪策略，其中权重仅为12个月移动平均回报率（除以市场回报率方差）。其他策略是携带策略。更准确地说：第二个基本策略是将权重设置为过去12个月的平均利率与美元的差异（由市场差异划分）。利率差异是（对数）即期和（对数）远期价格之间的差异。我们称之为12个月套利策略。三基策略将权重设置为当前利率差异（除以当前市场差异）。我们称之为滞后0策略。第四种策略将权重设置为1个月滞后利率差异（lag-1策略），第五种策略使用2个月滞后利率差异。维度为k的模型现在是12个月趋势策略、12个月结转策略和许多滞后利率差异策略的组合。包括滞后利率差异，该模型可以使用利率变化作为预测因素。图7：左：不同样本策略的累积回报。

右图：样本中的harpe比率及其对各种基本策略的噪声系数和估计误差（SRIC）的修正。通过建立使样本内夏普比率最大化的基本策略组合，我们基本上是对示例2.2中概述的基本策略（因素）所隐含的预测进行货币回报回归，对所有货币进行同等加权。rjt+1=Xβ+εjt+1，带X=文学硕士（rjt，12），文学硕士（ijt）- i$t，12），ijt- i$t，ijt-1.- i$t-1.式中，Rj表示货币j的超额收益，Ij表示利率，ma表示移动平均值。直观地说，包含当前利率差异会增加价值，但包含越来越多的滞后所提供的额外信息会减少，并且在某些时候会被过度拟合（噪音和估计误差）方面的成本所抵消。上一节推导的SRIC现在可以作为模型选择标准。请在图7中加以说明。左侧显示了12个月趋势策略、12个月结转策略和最多有2个滞后的结转策略的最佳样本组合的累积收益。右侧显示了样本中的夏普比率，该比率结合了12个月趋势策略、12个月结转策略和最多4个滞后结转策略。样本内夏普比随着参数数量的增加而增加，但在校正噪声系数和估计误差（SRIC）后，它在包含滞后0后达到峰值。也就是说，SRIC将推荐一种结合趋势基础策略、12个月套利策略和滞后0套利策略的策略。6.扩展本文可以扩展到几个方向。首先，本文仅限于策略的返回与参数u（θ）=uTθ线性相关的情况。

在适当的正则性假设下，对于非线性关系u（θ），所有结果仍然是渐近真的。也就是说，对于大时间T，估计的参数将收敛到真参数。在真参数附近，由于正则性假设，情况将近似为线性，我们回到本文的例子中。这一点，再加上对大偏差（但不太可能）的控制，将证明在更一般的非线性依赖情况下，SRIC是样本外Sharpe比率的渐近（o（1/T）阶）无偏估计量。其次，在本文中，我们选择考虑高斯噪声的环境。然而，如果噪声具有足够有界的高阶矩，则所有结果均渐近适用于非高斯噪声。第三，考虑协方差∑仅被估计而未知的情况会很有趣。自然的建模选择是∑真∑-1.估计数据。然后我们可以看到从∑τ（估计值）到∑τ（真值）的额外损失，其中∑τ（真值）表示当真协方差为∑7时参数∑θ的样本外夏普比。结论在本文中，当样本内夏普比在k参数上优化时，我们导出了样本外夏普比的无偏估计。我们称之为SRIC的估计器是对样本内夏普比的噪声系数和估计误差的闭合形式校正。然后，我们展示了如何将SRIC作为模型选择标准，并将其解释为对Akaike信息标准的分析，将Sharpe比率而非对数似然（分别为均值-方差效用）作为模型的度量。虽然通过AIIC进行模型选择会导致样本外均值-方差效用更高，但SRIC进行模型选择会导致样本外Sharpe比率更高。几个玩具应用说明了它的适用性。

无论是作为无样本夏普比率的估计器，还是在不同维度的模型（如预测模型中的因素、资产权重或参数）之间进行选择时，只要有兴趣估计噪声和估计误差的夏普比率净额，SRIC都是有用的。这使得SRIC特别适用于投资组合管理。8.附录8。1.定理3.1的证明定理3.1的证明。我们必须展示[^ρ- ^τ]=EkT^ρ.现在通过二次优化，我们得到了^θ=∑-1（u+ν）使样本内的harpe比率和θ最大化*= Σ-1u使样品外夏普比最大化。因此，ρ（^θ）=ku+νk∑-1和（11）τ（θ）*) = kuk∑-1（12）带kxk∑-1=√xT∑-1x。将^θ插入τ导致样品外夏普比^ττ=uT∑-1（u+ν）ku+νk∑-使用（11）和（13），我们必须展示νT∑-1（u+ν）ku+νk∑-1.= EkT ku+νk∑-1..在不丧失一般性的情况下（在重新参数化之后），我们可以假设∑=Ik+1，即身份矩阵。然后我们必须展示νT（u+ν）ku+νk= EkT ku+νk.我们写νT（u+ν）ku+νk=k+1Xi=1Eνi（ui+νi）ku+νk=k+1Xi=1Ai。现在积分出νi，Ai=Eνi（ui+νi）ku+νk= E“Z”∞-∞νi（ui+νi）ku+νkrT2πe-Tνi/2dνi#其中期望值大于νj，j6=i=E“Z∞-∞TrT2πg（νi）f（νi）dνi#with f（νi）=-E-Tνi/2和g（νi）=νi+uiku+νkso thatf（νi）=νiT e-Tνi/2g（νi）=ku+νk- （νi+ui）ku+νk（νi+ui）=Pj6=i（uj+νj）ku+νk。因此，通过partsAi=E“Z的积分∞-∞TrT2πg（νi）(-f（νi））dνi#=TEZ∞-∞rT2πPj6=i（uj+νj）ku+νke-Tνi/2dνi=TEPj6=i（uj+νj）ku+νk现在的期待已经结束又是j。根据对称性，我们有k+1Xi=1Ai=Tk+1Xi=1EPj6=i（uj+νj）ku+νk=TE“kku+νkku+νk#=TEkku+νk我们必须展示的东西。8.2. 定理3.2的证明定理3.2的证明。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设∑=Ik+1，即单位矩阵。我们有^ρ=k^uk=q（u+ν）T（u+ν）。现在我们在泰勒级数中展开f（ν）=q（u+ν）T（u+ν）。

我们有f（0）=kukDf（0）（h）=kuk-1.uThDf（0）（h，w）=-kuk-3.uThuTw+ kuk-1.嗯,我们使用假设τ*> 使kuk>0。Hencef（ν）=kuk+kuk-1.uTν-kuk-3.uTν+kuk-1kνk+o（kνk）。取期望值激励[^ρ]=E[f（ν）]=kuk+0-kukT+k+1kukT+oT-1.= kuk+kkukT+oT-1.= τ*+kτ*T+oT-1..^ρ的一阶泰勒展开-1类似于f（ν）=^ρ的泰勒展开式，得出E[1/^ρ]→ 1/τ*. 这允许替换1/τ*通过上述表达式中的E[1/^ρ]，我们得到[^ρ]=τ*+kτ*T+oT-1.= τ*+ Ek^ρT+ oT-1.因此^ρ-k^ρ是τ的估计量*T阶渐近无偏-1.正如我们之前的定理所知，注意到o项受其Lp范数和高斯随机变量的浓度不等式控制，因此Eho（kνk）i=o（T-1). 有关类似陈述的详细证明，请参见定理3.3的证明。^ρ -证明了k^ρ是^τ的无偏估计。8.3. 定理3.3的证明定理3.3的证明。在不丧失通用性的情况下（在对θ进行重新参数化之后），让∑=Ik+1表示单位矩阵。然后通过等式（11）和（13）我们得到了^ρ- ^τ=νT（u+ν）ku+νk≤ 当u=0时，kνk相等。如果u6=0，我们通过泰勒环f（ν）=ku+νk得到-1在不损失一般性的情况下，假设u=kukei是第一个基向量的倍数：^ρ- ^τ=νT（u+ν）ku+νk=νT（u+ν）kuk-1.- kuk-3uTν+o（kνk）= kuk-1.νT（u+ν）- kuk-2.uTν+ R=kuk-1.νTν-νTe+ kukνTe+ R=TkukTνTν-νTe| {z}z+√T√TνTe |{z}N+R=tkukZ+√Z为χ（k）分布的TN+rw，N为独立标准正态分布随机变量，R=νT（u+ν）o（kνk）-νTνkuk-3uTν。从上面的显示中，我们可以看到≥ 1力矩E[|R | q]对于T是一致有界的≥ 1.仍需证明E[T | R | p]→ 0代表全部p≥ 1当T→ ∞. 设ε>0。对于足够小的δ>0保持E[T | R | p；kνk≤ δ] < ε.

现在对于任何B>1，我们有E[T | R | p]=E[T | R | p；kνk≤ δ] +E[T | R | p；kνk>δ]≤ ε+te[|R | p；{kνk>δ}∩ {R<B}]+te[|R|p；{kνk>δ}∩ {R≥ B} ]≤ ε+tbpp[kνk>δ]+te|R | 2pB-P{R≥ B}≤ ε+tbpp[kνk>δ]+tb-体育课|R | 2p因此，如果我们选择B=P[kνk>δ]-2p，我们有[T | R | p]≤ ε+（1+E）|R | 2p)tp[kνk>δ]≤ ε+CT e-对于某些a，C>0≤ 2ε对于大t，在第二个不等式中，我们使用了正态分布的尾部性质~N（0，TIk+1）和E|R | 2p在T.8.4中是一致有界的。定理3.5的证明定理3.5的证明。简单二次优化表明^θ=γ∑-1（u+ν）使样本效用^u最大化，而θ*=γΣ-1u使样本外效用u最大化。使用此^u（^θ）=γ^ρ以及u（θ*) =γτ*.现在很容易看出，对于平均方差效用e[NMV]=Eh^u（^θ）i- Eh^u（θ）*)i=Eγρ(^θ)-γτ(θ*)+ 0=γEku+νk∑-1.- kuk∑-1.=γE2uΣ-1ν + νΣ-1ν=k+1γT.相似[NMV+EMV+UMV]=Eh^u（^θ）i- Ehu（^θ）i=γEku+νk∑-1.-2uT∑-1(u + ν) - ku+νk∑-1.=2（k+1）γt证明的简单性是由于均值-方差效用和平方特性的美：其几何结构是线性的。8.5. 定理4.1的证明定理4.1的证明。我们首先描述一个设置，其中收益率sθt=rtθ是在一组市场预测中推导出来的。虽然没有必要，但我们在这里是在一个连续的时间设置中进行的，因为这将在技术上更优雅，更少乏味（例如，当涉及到Girsanov定理时）。请注意，它还包括离散时间情况。粗略地说，我们需要的假设是，系统收益sθ是通过在收益率为rt的市场上下注等于预测值的权重WT而获得的。

然而，我们不需要假设这些预测是实际观测到的。对于这一点，设ptpt是m个市场上累积超额收益的过程，由具有m维布朗运动W的解todptpt=Ytdt+StdWt（14）给出，确定性过程Y=（Yt）t∈兰德街∈Rm，M是确定的和可逆的。这里，Y是超额收益的（未知）可预测部分。在不丧失普遍性的情况下，假设St=Im，即单位矩阵。否则，我们会轮换并改变市场的杠杆作用。LetX:[0，T]×Θ→ rmx（θ）∈ L（[0，T]）θ ∈ Θ是一个参数化的确定性过程X=（Xt）t≥0表示（参数化）预测。因为在本文中，我们将自己限制为线性依赖，所以我们有Xt（θ）=Xtθ，但有一些符号滥用。现在的假设是，系统回报是通过在市场pt上下注权重wt=Xt/pton给出的（请注意，如果预期回报为Xt，这些权重会使夏普比率最大化）。这样做会导致现金流θt=wTtdpt=Xt（θ）TYtdt+Xt（θ）TdWt。我们推导了∑（θ，θ），sθ的（年化）二次协变量为∑（θ，θ）=TZTXTt（θ）Xt（θ）dt（15）和^u，实现的（年化）回报为^u（θ）=TZTXt（θ）TYtdt+TZTXt（θ）TdWt（16）=u（θ）+（θ）+）（17），其中ν（θ）是一个协方差为∑的随机变量。这正是第2节的内容。也就是说，θ线性地将投资策略参数化，估计收益率μu和协方差∑。然而，现在，一个参数θ与一个预测Xt（θ）相关，因此我们可以导出一个（对数）似然。现在我们可以推导出预测θ的对数似然。根据（14），市场价格的动态由（注意，在不损失一般性St=Im的情况下）dptpt=Ytdt+dwt和未知的Yt给出。现在θ参数化了ptdptpt=Xt（θ）dt+dWθt（18）的不同模型Pθ，其中Wθ是Pθ下的布朗运动。

问题是：在θ模型下，实际市场价格过程p的（对数）可能性是多少？答案是借助于吉尔萨诺夫定理给出的。由于时间连续，每个可能性（密度）都为零。因此，对数似然函数唯一有意义的定义是相对于参考概率的相对密度。自然参考测度是可预测性为零的概率测度，即几何布朗运动。为此，假设dPTPT=dWt（19）是概率分布P下的几何布朗运动。假设ZT=T^u（θ）-T∑（θ，θ）ThenZT=ZTXt（θ）TYtdt+ZTXt（θ）TdWθT-ZTXt（θ）TXt（θ）dt=ZTXt（θ）TdWt-ZTXt（θ）TXt（θ）dt。因此，通过（多元）吉尔萨诺夫定理（参见任何关于随机分析的书，例如，使用线性Xt（θ）=Xtθ产生，略微滥用符号∑（θ，θ）=θT∑θ，u（θ）=uTθ和ν（θ）=νTθ，其中∑=trtxttdt，u=trtxttdt和ν=trtxttwt）。Kallenberg（2002）或Oksendal（2003）），Wt=Wt- diag（[Z，W]t）=Wt-RTXt（θ）dt是Qθ=exp（ZT）P下的布朗运动。特别是在Qθ：dptpt=dWt=d＠Wt+Xt（θ）dt下，其中是＠Wta布朗运动。因此，QθD=Pθ是我们正在寻找的概率度量，dPθdP=dQθdP=eZT。拿日志就是证明。8.6. 与西格尔和伍德盖特（Siegel and Woodgate）的关系：利用估计误差优化投资组合的表现与西格尔和伍德盖特（2007）有一个有趣但乍一看并不明显的联系。我们将展示如何使用他们的结果作为样本外夏普比率的估计值，如第2节所述。

然后我们证明，即使作者证明了他们的均值和方差估计是渐近无偏的阶数，Sharpe比率的结果估计是有偏的阶数，与没有调整的情况下的数量级相同。要看到这一点，首先请注意，我们可以不用Siegel and Woodgate（2007）中的波动率调整，因为增加采样频率和年化平均值、方差和夏普比率可以让方差调整收敛到零，而平均值调整保持不变。第二，假设有一项无风险资产，因此*和σ*, 这是最小方差投资组合的均值和方差，用西格尔和伍德盖特的符号表示，等于零。准确地说，无风险资产会使∑退化，但我们可以想象一个序列，其中一个资产收敛到一个无风险资产。在极限（有限采样频率，一项无风险资产）下，我们使用Siegel和Woodgate（2007）中的公式（8）对均值和方差进行偏差调整估计：^uadj=u-N- 3T^B2,2^σadj=σ，其中^B2,2=^ρ（单位为u*= 0），u是均值-方差组合的目标均值，σ是样本波动率，n是西格尔-伍德盖特框架中的资产数量。因此，我们得到的估计样本外夏普为^uadj^σadj=^ρ-N- 3T^ρ（20），其中u/σ=^ρ是样品中的最大夏普比。请注意，由于无风险资产，有效前沿是一条线，所有目标收益的夏普比率相同。公式（20）与SRIC类似，但调整了n- 3而不是k=n- 2这将是对无偏估计量的调整。要了解这一点，请注意w∈ 恩哈恩斯-1自由度，我们必须考虑额外的无风险资产（不影响夏普比率，无法计算），使自由度-2.

因此，Siegel and Woodgate（2007）中关于夏普比率的偏差修正缺乏一个自由度。8.ReferencesAkaike，H.（1974年）。统计模型识别的新视角。自动控制，IEEE学报，第19（6）：716–723页。Akaike，H.（1998年a）。最小AIC程序的贝叶斯分析。在Akaike Hirotugu的精选论文中，第275-280页。斯普林格。Akaike，H.（1998年b）。信息论与极大似然原理的推广。赤池裕土的论文选集，第199-213页。斯普林格。Bailey，D.H.和de Prado，M.L.（2014）。消除的夏普比率：校正选择偏差、回测过度拟合和非正态性。投资组合管理杂志，40（5）：94。布莱克，F.和利特曼，R.B.（1991）。资产配置：将投资者观点与市场均衡结合起来。《固定收益杂志》，1（2）：7-18。伯纳姆，K.P.和安德森，D.R.（2002）。模型选择和多模态推理：一种实用的信息论方法。斯普林格。陈俊和袁，M.（2016）。在大市场中有效地选择投资组合。金融计量经济学杂志，14（3）：496-524。DeMiguel，V.，Garlappi，L.，和Uppal，R.（2009年）。最优与幼稚的多元化：1/n投资组合策略有多有效？《金融研究评论》，22（5）：1915-1953。狄金森，J.P.（1974）。投资组合分析中估计程序的可靠性。《金融与定量分析杂志》，9（3）：447-462。El Karoui，N.（2013年）。关于高维马科维茨投资组合的已实现风险。《金融数学杂志》，4（1）：737-783。法兰克福，G.M.，菲利普斯，H.E.，和西格尔，J.P.（1971）。投资组合选择：不确定均值、方差和协方差的影响。《金融与定量分析杂志》，6（5）：1251-1262。汉森，P.R.（2009）。

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