噪声拟合、估计误差和夏普信息准则

2022-5-10 20:32:15

噪声拟合、估计误差和aSharpe信息准则*1和雅各布S–ohl**2John Street CapitalTU Delftu 2019年12月11日摘要当通过在k维参数空间上进行优化来获得样本内夏普比率时，它是对未知数据（样本外）的有偏估计。我们推导了（1）一个无偏估计量，该估计量同时调整了偏差来源：噪声系数和估计误差。然后，我们展示（2）如何使用调整后的Sharpe-ratioas模型选择准则，类似于Akaike信息准则（AIC）。选择具有最高调整夏普比的模型，选择具有最高估计样本外夏普比的模型，方法与AIC Does选择对数似然作为Fit度量的方法相同。关键词：模型选择、夏普比、Akaike信息准则、AIC、回测、噪声拟合、过Fit、估计误差、夏普比信息准则、SRIC*约翰街资本有限责任合伙公司，伦敦，英国，电子邮件：德克。Hpaulsen@googlemail.com**荷兰代尔夫特大学代尔夫特应用数学研究所，电子邮件：j。soehl@tudelft.nl1.简介夏普比率是衡量回报可预测性的一个简便方法。夏普比率是年化平均（超额）回报率与回报波动率的比率。这是一个有用的统计数据，因为它总结了回报分布的前两个时刻，在杠杆作用下是不变的，因此，无论投资者的风险回报偏好如何，它都是二阶近似的相关指标。在许多情况下，夏普比在样本数据集的一组参数上最大化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:20

无论是资产组合中的权重（Markowitz（1952））、风险因素敞口、回归中的预测变量，还是影响投资策略的其他参数，如趋势模型的时间范围。这样优化的（样本内）夏普比率高估了在看不见的数据（样本外）上可以预期的夏普比率。原因有两个。首先，in-sampleSharpe比率两次使用in-sample数据集。第一次估计最佳参数，第二次估计得到的夏普比率。由于估计的参数将针对样本内数据的噪声进行调整，在同一数据集上计算样本内的夏普比将高估真实参数的夏普比（噪声系数）。第二，估计的参数偏离了真实参数。因此，估计参数下的清晰度将小于未统计数据（估计误差）上真实参数下的清晰度。对于噪声系数和估计误差的更正式定义，请参考等式（3）中的误差分解。如图所示，考虑一个线性回归模型。假设我们感兴趣的问题是，通过市盈率和股息率等特征，标准普尔500指数中股票的回报在多大程度上是可预测的。在这种情况下，我们将对股票i=1的收益率进行建模，500 asrit=uit+εit，其中uit=MXj=1xi，jtθj0，其中εitis噪声为零均值，预期股票回报uitis在M特征xi，jt，j=1，…，中呈线性，具有未知系数θ的M。我们可以通过广义最小二乘法，或者通过使用适当比例的收益预测作为权重，最大化投资组合的夏普比率，得到一个^θ估计值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:23

如果我们估计样本数据集中的参数，并测量相同数据的可预测性，比如说通过Ror的夏普拉蒂奥，我们高估了真实的可预测性（噪声系数）。也就是说，即使不存在可预测性，噪声将保证我们仍能在样本R中观察到一个正值。其次，如果我们使用估计的系数θ并将其应用于一个独立的数据集，我们低估了真实的可预测性，因为估计系数中的估计误差会降低其预测能力。估计模型的预测能力低于未知真实模型（估计误差）。标准的统计测试处理真实模型的推断。标准测试询问^θ是否允许得出未知真θ的可预测性*大于给定置信水平下的阈值。因此，它们在噪声系数的样本估计中是正确的。相比之下，在本文中，我们对估计参数^θ下的夏普比感兴趣。因此，我们需要额外校正估计误差。当应用估计模型时，投资组合经理可以从样本中期望什么样的夏普比率？对一个fittedModel的样本外夏普比率的最佳估计是什么？我们通过推导样本外夏普比的无偏闭式估计来回答这个问题，当样本内夏普比是通过拟合k参数获得的。我们的估计器可以同时校正噪声和估计误差，并且只能基于可观测数据进行计算。特别是，我们不认为真正的夏普比率是已知的。这也是为什么估值器可以作为模型选择标准，这是我们的第二个贡献。由此产生的标准类似于Akaike信息标准，但以Sharperatio为目标，而非对数似然（见第4节）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:26

因此，我们称我们的估计为夏普比率信息准则。长期以来，投资组合选择（或回报预测）中估计误差对样本外绩效的有害影响已被认识（见Frankfurteret al.（1971）；狄金森（1974）；Jobson和Korkie（1980）。DeMiguel等人（2009年）指出，估计误差非常严重，以至于不进行优化的简单分配规则通常优于单纯优化。各种各样的想法已经出现，以打击估计错误。Jorion（1986）等人建议缩减回报估计。Kan和Zhou（2007）提出了将Markowitz投资组合与无风险资产和最小方差投资组合相结合的规则，以最大化样本外均值-方差效用的估计。Kirby和Ostdiek（2012）建议将投资策略参数化。虽然这并不能完全消除估计误差，但问题被简化为一个潜在的低维子空间，这允许使用更长的估计时间。也就是说，平均方差最优投资组合和最小方差投资组合之间的最佳权重可以在50年的数据中得到很好的估计，而特定股票的回报率可以通过不超过1年的回顾来进行最佳估计。参数化方法类似于本文涵盖的回归设置。Ledoit和Wolf（2014）回答了如何缩小协方差矩阵以优化预期样本外夏普比率的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-10 20:32:29

假设平均回报率为beknown，但必须估计协方差矩阵，这与我们的设置相反。对于普通最小二乘回归，调整后的R会修正样本中的Rf，例如，在线性回归的F检验中，这种修正隐含在非零均值分布中，通过F检验，即使在零可预测性的完全假设下，样本中也会有正的Rf。fit，但不是估计误差。在更一般的设置（例如回归或手头的设置，见下文）中，如果性能是根据对数似然函数来衡量的，则Akaike信息标准（AIC）-见Akaike（1974，aroundequation（2））、Akaike（1998a）、Akaike（1998b）-渐近调整噪声和估计误差。使AIC最小化的模型是具有最高估计样本外对数似然的模型。相比之下，在这里，我们关心的是最大化Sharperatio而不是对数可能性的问题。对于更一般的目标函数，West（1996）提供了计算样本外预测的光滑函数矩的工具。建议的方法是围绕真实参数使用泰勒展开。这在目前的线性情况下是不必要的。Hansen（2009）推导了一般情况下噪声系数和估计误差的联合渐近分布，作为其他极限实体的函数。尽管有这些文献，但令人惊讶的是，关于估计误差和噪声的量化，或者关于最大化多少参数的研究却很少。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-10 20:32:33

当预测返回时，人们想知道预测是否足够好，以保证高效的样本外性能，或者何时包含额外的预测对其有害。与我们在本文中的目标最为相似，同时也是对其的补充，isSiegel和Woodgate（2007）。对于均值-方差投资组合的平均样本外收益和样本外方差，作者给出了一个渐近无偏估计。这在估计效率边界时非常有用。然而，对于夏普比率，结果估值器的阶数T有偏差，与无偏差调整的阶数相同（关于推导，请参见我们的附录）。此外，虽然技术上更复杂，但作者考虑了权重总和为1的情况。相比之下，我们不做这种限制，因为首先，我们希望考虑杠杆作用，其次，我们主要关注的是参数不是权重而是回归系数的情况。El Karoui（2013）估计了资产数量较大时的样本外方差。对于Sharpe比率，Bailey和de Prado（2014）以及Harvey和Liu（2015）推导了样本外Sharpe的估计值，前提是样本内Sharpe比率是通过最大化试验获得的。他们的方法基于计算多重假设检验的p值，并将其用作夏普比率的启发。Novy Marx（2015）研究了临界值，这可以被视为在真实模型下，调整后需求的预期值为真实R（假设因变量的真实方差已知且等于无偏样本估计）。尽管AIC是根据信息理论制定的——AIC最小化了所选模型和真实模型之间的估计库勒-莱布勒差异——但在许多情况下，有一种不同的、更直观的解释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:36

通过构造，AIC是对真实模型和估计模型之间的Kullback-Leibler偏差的估计。Kullback-Leibler差异可以写成真实模型和拟合模型之间预期样本外对数可能性的差异。因此，选择最小AIC模型时，会选择样本外对数似然估计值最高的模型。参见Stone（1977），他证明，在回归环境中，最小化AIC与最小化交叉验证误差（残差平方和）或Burnham and Anderson（2002，第61页）或第4.2节渐近等价，后者证明了当前设置的陈述。用于从N个独立信号中选择k个最佳。虽然假设检验的临界值基本上对数据中的噪声系数是正确的，但它们不会对估计误差进行调整。最近，Kourtis（2016）在假设真实Sharpe比率已知的情况下，通过在k维参数空间上最大化获得了对平方Sharpe比率的估计误差（但不是噪声系数）的近似修正。由于平方Sharpe比率（可以将负数变为正数）近似于均值-方差效用，这是高达o（1/T）阶的修正，与Kan和Zhou（2007，等式（16））中的修正相同，他们推导了样本外均值-方差效用的估计量，依赖于未知的最优值。他们的调整是AIC调整的一半，因为没有对噪声系数进行校正。Kan和Wang（2015）等结果计算了样本外夏普比率的分布。然而，他们的结果也取决于对真正的敏锐度的了解。相比之下，我们并不认为真正的夏普比率是已知的，并提供纯粹基于可观察数据的麻醉剂。SRIC目前有两个应用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:39

首先，一个投资者在k个参数上最大化一个投资策略，这可能是她的投资组合中的资产或回报预测，可能对其样本外夏普比率的估计感兴趣。其次，投资者可能感兴趣的是，有多少参数可以最大化她的策略。如果已经有一个基于市盈率的因素，那么价格股息率是否会增加业绩？这是一个模型选择的问题。Akaike信息标准（AIC）选择优化样本外对数可能性估计的投资组合。在高斯情况下，这与最大化样本外均值方差效用的估计相同。SRIC作为模型选择标准，选择优化样本外夏普比率无偏估计的投资组合。SRIC对附加参数的惩罚小于AIC。直觉是，（天真的）均值-方差投资者会因为样本估计过于乐观而承担太多风险。AIC因此受到了正确的惩罚。相比之下，夏普比率投资者不受绝对风险敞口的影响，只受风险回报交易的影响。然而，一个更现实的均值-方差投资者会缩小样本内估计（例如，使用本文中推导的估计），利用较少的杠杆，因此对夏普比率而非均值-方差效用更感兴趣。对这样的投资者来说，SRIC也是正确的模式选择标准。这是因为统计标准测试的目的是推断未知参数的预测能力，而不是推断将在样本外应用的参数，即受噪声污染的估计参数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:43

这一点在似然比检验中最为明显，其检验统计量（在高斯情况下）为χ（k）分布，而样本内和样本外日志似然度之间的差异为χ（2k）分布，这就是为什么Akaike信息标准以因子2惩罚参数数量（另见第4.2节）。校正样本中的夏普比以获得噪声和估计误差，结果非常简单。设^ρ为样本内夏普比，在k维参数空间和T年样本内数据上最大化。本文的主要结果是，如果我们在样本中定义=^ρ|{z}-kT^ρ|{z}估计的噪声系数和估计误差（1），其中SRIC代表夏普比率信息标准，则ne[样本外夏普比率]=E[SRIC]。特别是，SRIC是样本外夏普比率的无偏估计量。注意表达式的简单性，它只涉及样本内夏普、参数的数量和样本内周期的长度（以年为单位）。例如，如果存在一个投资策略，其中k=5个参数，且在T=10年的数据中，样本内的最优夏普为^ρ=1，则估计的样本外夏普为1-= 0.5.图1（Sharpe差异曲线）：样本内Sharpe比率，该比率是固定估计样本外Sharpe所需的比率，取决于假设10年样本内数据的参数数量。图1说明了SRIC作为模型选择标准，以及以夏普差异曲线的形式提供的样本外性能信息，即样本内夏普比率测量值和导致相同估计样本外夏普比率的参数数量的组合（对于T=10年的样本内数据）。这里，k是影响夏普比率的参数数量，即不计算投资组合的杠杆率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:47

例如，从k+1资产中选择（事后）最优投资组合的问题是多余的，只决定了波动性。准确地说，scaleparameter不仅决定了波动性，还决定了投资组合的符号（多头或短头）。然而，这是一个离散的选择，并不是渐进的（对于大T）。模型选择的一个特例是投资组合优化。据文献记载，在各种数据集上，使用样本内均值和协方差估计来构建马科维茨投资组合的（朴素的）投资组合优化，表现不如简单的基准，如等权投资组合（见DeMiguel et al.（2009）），其原因被归因于估计误差。在高层次上，选择等权投资组合还是马科维茨投资组合或介于两者之间的问题，可以被视为需要优化多少基础向量（例如主成分）的问题。如果只使用一个基向量，如等权，则估计风险很小，但如果在完整的基础上进行优化，则可获得马科维茨投资组合和更大的估计风险，如Chen和Yuan（2016）。SRIC根据夏普比率对噪声系数和估计误差进行定价，从而使样本系数和估计误差之间的权衡更加精确。也就是说，为什么在许多实证数据集中，同样加权的投资组合表现优于马科维茨投资组合的原因是两方面的。一是估计误差。另一个是一个人能得到多少回报。通常，大部分回报机会已经被等重投资组合（或第一个主成分）捕获。额外的投资组合选择几乎没有增加回报机会，通常太小，无法证明增加的估值风险是合理的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:50

交易效率对夏普比率有什么好处？什么时候没有？SRIC回答了这个问题。作为一个例子，我们看一看肯尼斯·弗伦奇（Kenneth French）的瑞典网站上的10个行业投资组合，DeMiguel等人（2009年）也使用了这些投资组合。虽然我们再次确认，对于5至10年的估算期，马科维茨投资组合不如同等权重的投资组合，但我们发现，对于2年及以下的估算期，这一点不再成立。虽然这主要是由于样本的前一半，但它说明了我们的观点，即估算误差即使在较小的估算范围内更大，也不可能是全部情况。直觉是，马科维茨投资组合依赖于样本均值，因此实际上是一种趋势或动量投资组合。虽然在5到10年的时间尺度上没有更高成分的趋势，但在2年或更短的时间尺度上有值得支付估计误差的趋势。RIC可以决定选择哪种模型，简单的模型如等重投资组合，或更复杂的模型如马科维茨投资组合。在总结贡献时，需要强调的其他事项是：i）与AIC（至少直接）不同，SRIC允许比较不同样本期估计的模型。ii）我们还推导了噪声系数和估计误差的不确定性范围；ii）由于与AIC的密切关系，本文对后者的噪声系数和估计误差进行了解释。至少作者们在思考这个问题时已经了解了很多关于AIC的知识。为了便于阐述，我们将本文限制在影响参数线性返回的情况下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:54

然而，这些结果在更一般的非线性依赖中仍然是渐近有效的。我们还将提到Steven Pav（Pav（2015c））的R软件包和围绕它的论文（Pav（2014，2015a，b）），它们提供了工具和定理，用于利用平方Sharpe比率服从χ分布（估计协方差时分别为F分布）的事实，对真实Sharpe比率进行统计推断（噪声系数）。下一节将介绍正式设置。第3节阐述了主要定理。第4节讨论了模型选择的结果，并与凯克信息标准进行了比较。第5节通过各种示例和ToyaApplication说明了结果。在第7节结束之前，第6节讨论了扩展。大多数证据都归入附录。2.建立一个概率空间(Ohm, （Ft）t≥0，P）。设Θ=Rk+1为（k+1）维参数空间。让rt∈ Rk+1，t∈ [0，T]是T年内的（k+1）维收益序列。Beit资产收益率、因子收益率或与特定预测变量相关的收益率。我们对收益率sθt=rtθ的夏普比感兴趣。这就是收益率由θ线性参数化的地方。在采样周期内调用[0，T]。用^u表示∈ Rk+1（年化）估计r的平均收益率和∑其（年化）协方差矩阵。^uTθ是sθ和θT∑θ及其方差的估计平均收益率。我们假设μu是真实平均收益μ的噪声观测，也就是μu=μ+ν，其中ν是协方差矩阵为∑的arandom变量。这里我们假设ν是正态分布的。我们进一步假设∑具有满秩。注意，我们假设ν的协方差矩阵与r按比例byT相同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:32:57

如果^u是样本期内实现的平均收益率，则为这种情况。当真实收益在噪声中观察时，我们假设协方差矩阵∑可以无误差地观察到。例如，在连续时间框架中也是如此。但是，即使没有连续的回波观测，它也接近实际情况，因为只要参数数量不太多，估计的协方差比估计的平均回波更精确几个数量级。例如，在下面的例子2.2中，即使有500只股票，我们也只需要几年观测数据中几个预测变量的协方差矩阵。我们不需要500只股票本身的协方差。我们将在稍后对此进行评论。我们使用符号k+1作为一维，它只会影响波动率，只有k参数会影响夏普比率。这种假设简化了分析，并且没有太多限制。这里，关注的数量是T年平均回报率。因此，即使是非正态回报，由于中心极限定理，其T年平均值也接近正态。然而，当矩有充分有界时，所有结果（对于大T）对于非正态分布仍然是渐近有效的。在投资组合回报线性参数化的地方，设置的应用就存在，因此在投资组合和资产管理中是充足的。其目的通常是预测收益，并最大化样本外夏普比率。在最简单的情况下，向量θ可以描述资产或（可交易）风险因素的投资组合权重i=1，k+1。请在示例2.1中对此进行说明。例2.1（投资组合选择）。设k+1返回流。设θt=kXi=0θi为权重为θ的投资组合的收益率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:00

利用^uri的年化实现平均收益率，∑其协方差，u（未知）真实平均值和T观测长度（全部年化），该设置满足上述设置。需要明确的是，我们不认为标准普尔500种不同的股票会有500只。我们不认为ritin示例2.1是因子或基本投资组合的回报，如前几个主要组成部分、按价格股息率、账面价值或动量等特征排序的股票长/短投资组合，以及在多年的数据中可以估计最佳因子投资组合。我们考虑的主要应用是估计线性预测的样本外预测能力。例2.2（回归，从业者的视角）。让i=1，n返回yit的市场。考虑以下线性模型yit=kXj=0xi，jtθj+εit（2），其中k+1外部预定特征的平均收益率为线性xi，jandt随机误差为εit。让我们∈ RN，Nbe yt的已知或未知协方差。例如，我们可以尝试通过市盈率、价格股息率、动量或其他变量等特征来预测标准普尔500指数中N=500的股票的回报率。现在，考虑一个用权重wt=^S下注的从业者-1textθ∈ r关于返回yt=（yt，…，yNt），其中^sti是一个加权矩阵，它将预测xtθ映射到portfolioweights。到那时，她将收到以下一系列的返回结果SYTTWT=yTt^S-1textθ=rTtθ，rTt=yTt^S-1text。理想情况下，它等于（未知）市场协方差，因此使用符号。但是，任何（！）权重方案，如等权重，只要是确定性的（或出于实际目的在时间t预先确定的），就可以。目前的设置将^Stas视为外生的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:03

我们的分析将以权重^St为条件。也就是说，我们感兴趣的是投资者作为权重模式^Stand参数θ的组合选择而获得的夏普比率，其中她最大化了后者。对于回报率rt，^u其年化（已实现）平均回报率和∑其协方差，设置如本节所述。重要的是要注意∑∈ Rk+1，k+1是维度k+1，预测因子的数量，通常远低于N，股票的数量，并且回归通常会在很长的时间范围内进行。实践者可以优化θ上的样本内夏普比，并应用本文导出的估计量，得到样本外夏普比的无偏估计。在本文中，如例2.2所示，我们从从业者的角度来看由θ参数化的投资组合回报。请注意，当她的加权矩阵^St与市场协方差St不同时，最优参数^θ不一定等于等式（2）中的真实参数θ。但从业者并不关心真正的参数，她关心的是使投资组合的夏普比率最大化的参数。然而，当市场协方差已知时，我们可以对这些投资组合进行广义最小二乘（GLS）解释。因此，θ将得到一致的估计。例2.3（回归，学者视角）。在例2.2中，估计θ的自然方法是最小化由逆协方差矩阵（广义最小二乘回归）加权的残差平方和：^θ=arg minθXt（yt- xtθ）TS-1t（yt）- xtθ）其中sti是市场协方差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:07

NowminθXt（yt- xtθ）TS-1t（yt）- xtθ）<=> 最小θ-2XtyTtS-1textθ|{z}wt+XtθTxTtS-1txtθ|{z}wTtStwt<=> 最大θ2^uTθ- θT∑θ与^uT=cXtyTtS-1txtand∑=CxTxts-1TX其中c>0是一个年化因子，^uTθ是加权预测wt=S的赌博年化平均回报-N个市场上的1textθ，即rTt=yTtS-1text，与θ相关的返回值，∑其协方差。因此，广义最小二乘回归与最大化加权投资组合的均值-方差效用（以及夏普比率）相同，反之亦然，前提是加权等于市场方差。实际上，如果估计值是θ中的隐含协方差等于实际协方差，那么估计值也会起作用。更准确地说，我们需要GLS中的二次项等于θ中的真（k+1）维协方差矩阵，即：XtxTt^S-1txt=XtxTt^S-第1节-1TXT这是市场协方差估计值^St的一致性条件。请注意，STI通常未知，广义最小二乘估计值（GLS）需要对其进行估计，方法与示例2.2中的从业者需要权重模式^St相同。从业者无需正确指定N维协方差St，无论她认为什么是产生回报的适当加权方案——这是一种启发——都将是确定的。本文中的分析，即样本外夏普比率的估计值取决于她对^S的选择，因此不受^S中任何估计者的影响。错误的选择会产生错误的回报，因为在GLS中错误的选择会产生效率较低的估计值。示例2.3显示，GLS与均值-方差优化相同，其中回归预测和均值-方差优化权重之间的转换由WT=s给出-1t^rt。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:10

特别是，使最小二乘最小的参数也使锐度比最大化。因此，在参数估计方面，最小二乘回归和夏普比最大化是等价的。然而，在估计样本外统计数据和模型选择时，它们是不同的。对于回归（均值-方差效用），Kaike信息标准选择最大化样本外估计值的模型。相比之下，定理3.1中定义的SRIC选择样本外估计值最高的模型。备注2.4。在不同的解释中，与其观察T年的数据，并以^u作为样本平均值，^u可以是投资者从不同模型或类似于Black–Litterman模型（Black and Litterman（1991））中的量化猜测中获得的观点或先验信念。在这种情况下，ν对视图周围的不确定性进行建模，T描述其精度（方差的倒数）。我们区分样本内夏普比率ρ和样本外夏普比率τ：定义2.5（夏普比率）。参数θ的样本内夏普比为ρ（θ）=^uTθ√θT∑θ。（未观察到的）样本外夏普比率，用τ表示（对于真实夏普比率），然后从平均回报中去除噪声项：τ（θ）=uTθ√θT∑现在考虑一个投资者，他在所有参数θ中最大化夏普比率。由于样本内夏普和样本外夏普之间存在差异，两种最大化器都是不同的。我们使用以下符号：符号2.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:13

用^θ表示一个参数向量，该向量使样本中的Sharperatio和letθ最大*成为最大化样本外夏普比率的参数。^θ ∈ arg maxθ∈Θρ(θ), θ*∈ arg maxθ∈τ（θ）我们缩写为ρ=ρ（θ），τ=τ（θ），τ*= τ(θ*), ρ*= ρ(θ*)我们总结了表1中的符号。值符号参数描述ρ（^θ）ρρθ最佳样本内参数的夏普比应用于样本内数据集ρ（θ*) ρ*θ*最佳样本外参数的夏普比应用于样本内数据集τ（θ）ττθ最佳样本内参数的夏普比应用于样本外数据集τ（θ）*) τ*θ*最佳样本外参数的Sharpe比率适用于样本外数据集1：样本内和样本外Sharpe以及true和EstimatedParameters的所有四种组合使用符号2.6，我们得到了本文的核心分解：^τ|{z}oos Sharpe=^ρ|{z}是Sharpe-(^ρ - ρ*)| {z}噪声系数- (τ*- ^τ）|{z}估计误差+τ*- ρ*| {z}噪声（3）分解（3）表示样本外夏普比率等于样本内夏普比率减去三项。首先，样本集内的估计参数与真实参数之间的夏普比差异，可以解释为噪声。其次，样本集外的估计参数与真实参数之间的夏普比差异，即估计误差。第三，样本内数据集和样本外数据集之间trueparameter的夏普比差异，即样本数据中的噪声。我们将在下一次定义中记录这种分解。定义2.7。样本内夏普比可以分解为^ρ=^τ+N+E+UNote，即^θ和θ*只有与正常数相乘时才是唯一的。当E[U]=0时，以下定义适用于n=ρ（^θ）- ρ(θ*) （噪声拟合），E=τ（θ）*) - τ（θ）（估计误差），U=ρ（θ）*) - τ (θ*) （噪音）。自然会出现两个问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-10 20:33:16

首先，（1）^ρ是τ的最大采样率，其信息量有多大*真正的最优？选择（事后）最优参数^θ将导致一些噪声，因此其夏普比（预期）将高估真实夏普比。但要多少钱？第二，如果估计参数^θ，而不是真实参数θ*, 在样本外应用时，预计夏普比率是多少。也就是说（2）由于噪声和估计误差的组合，夏普比的降低有多高？第一个问题需要泰勒化，在技术上更为复杂，这就是为什么我们在这里只评论它。我们在下面第3节中回答第二个问题。在此之前，我们对已知协方差矩阵的假设进行了评论。优化夏普比时，有两种不同的噪声源。估计协方差矩阵中的噪声和估计收益中的噪声。这对应于两种不同的渐近性。如果我们确定时间范围并增加采样频率，例如从每月、每天到每小时，我们可以得到越来越准确的协方差估计。然而，对平均回报率的估计并没有变得更加精确。在连续时间观测的极限条件下，观测到的协方差无误差且已知，而平均收益则未知。另一方面，如果我们增加时间范围，收益估计也会变得不那么嘈杂。在这里，我们关注的是协方差矩阵已知的情况，并且只有均值回报是用噪声估计的。当平均回报中存在估计误差时，这是相关的情况，例如，在回归设置中，一些预测参数根据几个月或几年的样本数据进行了优化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:20

原因是，noisein估计的平均收益率非常严重，在任何实际应用中，只有相对较少的资产或参数和相对较长的估计周期才能进行优化。然而，如果施加了平均回报（例如，将所有资产设置为最小方差投资组合中的相等值，或设置为具有严格置信边界的分析师预测值），则协方差矩阵中的估计误差占主导地位，且手头的设置不直接适用。然而，让我们注意一下，如果我们对真协方差∑有一个噪声估计∑，并且我们知道真实的返回u，我们可以为Markowitz-portfoliowMV=-1u = Σ-1.Σ^Σ-1u|{z}=^u=∑-1^u. （4）因此，权重就好像我们知道真正的协方差，但会将其应用于收益的噪声估计值。从这个角度来看，协方差矩阵中的噪声和平均收益中的噪声非常相似。3.主要定理我们现在准备好阐述我们的主要定理。定理3.1（夏普比的估计误差和噪声拟合组合）。让k≥ 1.假设^u=u+ν，其中~ N（0，T∑）是正态分布，∑有满秩，则它保持[N+E+U]=EkT^ρ.特别是，我们有E[^τ]=E^ρ -kT^ρ. （5）证据。见附录。定理3.1表明SRIC=^ρ-kT^ρ是预期样本外夏普比E[^τ]的无偏估计量。我们将其命名为SRIC，用于Sharpe比率信息标准，原因在第4节中已明确。偏差校正可分为噪声和估计误差。定理3.2。同意定理3.1的假设。假设τ*> 0，则（5）中的偏差方向可分为噪声系数和估计误差，如下所示≈ SRIC=样本中的^ρ|{z}-k2T^ρ|{z}估计噪声系数-k2T^ρ|{z}估计误差，其中分裂是o（T）阶渐近有效的-1).证据在附录中。我们现在量化^τ周围的不确定性。定理3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-10 20:33:23

让k≥ 0.假设^u=u+ν，其中~ N（0，T∑）为正态分布，∑具有满秩。对于样本内夏普比率和样本外夏普比率之间的差异分布，如下所示：1。如果真夏普比τ*= 0是零，样本外的Sharpe^τ也是零，我们有^ρ- ^τ = ^ρ - 0=kνk∑-1D=√Tχ（k+1）（6），其中χ（k+1）表示自由度为k+1且kxk∑的χ分布（χ分布的平方根）-1=√xT∑-1x。2.如果τ*> 0，我们有，首先，^ρ- ^τ ≤ kνk∑-1D=√Tχ（k+1）（7），因此不确定性由χ-分布限定。第二，ρ- ^τD=Tτ*Z+√TN+R（8），其中Z为χ（k）-分布，N为独立标准正态分布，Ra余数为E[T | R | p]→ 0作为T→ ∞ 尽管如此，p≥ 1.在真夏普比为0的零假设下，等式（6）是方便的，可以通过使用T^ρ服从χ分布来检验。等式（8）具有直观的解释。N项对应于样本数据集中的噪声，z项对应于噪声和估计误差。具有更高的真夏普比τ*, 与真实参数的任何偏差都会变得更加昂贵，因此参数的估计更加精确，Z项的相关性也会降低。在本节结束时，我们证明了均值-方差效用的类似结果，而不是夏普比率作为fit的度量。虽然结果并不新鲜，例如Kan and Zhou（2007）和Hansen（2009）显示的结果与我们的结果密切相关，但我们发现以与此处设置一致的方式呈现这些结果很有启发性。当welater将SRIC与Akaike信息标准（AIC）联系起来时，这尤其有用。对于这个，设^u（θ）=2^uTθ- γθT∑θ为样品中的，u（θ）=2uTθ- γθT∑θ样本外均值-方差效用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:27

参数化是这样的，对于γ=1，保持^u（^θ）=ρ（^θ），样本中的平方夏普比。定义2.7类似于定义3.4。样本内均值-方差效用可以分解为^u（^θ）=u（^θ）+NMV+EMV+umvw，其中NMV=^u（^θ）- ^u（θ）*) （噪声拟合），EMV=u（θ*) - u（θ）（估计误差），UMV=u（θ）*) - u（θ）*) （噪音）。现在很容易证明定理3.5（均值-方差的噪声拟合和估计误差）。同意定理3.1的假设。它认为：E[NMV]=k+1γTandE[NMV+EMV+UMV]=2（k+1）γT，尤其是^u（^θ）-2（k+1）γT=γ^ρ-2（k+1）γ是样本外效用u（^θ）的无偏估计量。我们稍后将证明，Akaike信息准则（AIC）可以（经过线性变换后）解释为^u（^θ）-因此，2（k+1）γ可作为样本外效用的无偏估计。4.型号选择（夏普信息标准）4.1。Sharpe信息标准在前面的章节中，目的是量化噪声系数和估计误差，以便了解样本外Sharpe比率。在本节中，我们将结果应用于模型选择。让Θ=Θ˙∪. . .˙∪ΘnwithΘi Rki+1是一系列参数空间。模型选择是关于选择一对（i，θi），即模型i∈ {1，…，n}和参数函数θi∈ Θi.模型选择的一个典型目标是选择样本外fit最高的模型。在本文中，我们通过样本外夏普比率来衡量fit。自然地，样本外夏普比^τ（θi）是一个随机变量，其分布取决于未知数，如真实参数。然而，根据定理3.1，对于无样本夏普比，SRIC是一个无偏估计量，并且只能在样本夏普比等观测值上进行计算。这建议选择SRICSRCI=ρ（^θi）最高的模型i-kiTρ（^θi）（9）一些标准还有其他目标，例如：。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:30

贝叶斯信息准则（BIC）最大化了选择真实模型的渐近后验概率。式中，只要样本外夏普比率的估计值是感兴趣的变量（即样本外夏普比率分布的第一个时刻），则定理3.1证明了选择标准为^θimaximizesρoverΘi.SRIC。在更高的时刻，事情会变得更复杂。我们参考定理3.3，在那里我们导出了样本外夏普比率的渐近分布。我们现在表明，SRIC与Akaike信息标准（AIC）完全相似，不同之处在于后者使用对数似然比而非夏普比作为测量值。4.2。与AIC的关系为了推导Akaike信息准则（AIC），参见Akaike（1974），我们需要关联θ∈ Θ使用预测并推导其对数似然。也就是说，我们需要先用预测模型来巩固我们的基础，然后才能在这种情况下赋予对数可能性以意义。在附录中，我们展示了定理4.1。对于合适的基础预测模型和合适的参考测量值P:TlogdPθ（pt）t∈[0,1]数据处理（pt）t∈[0,1]= 2^uTθ- θT∑θ。特别是，（在高斯情况下并不奇怪）对数似然是平均方差效用^u的倍数。因此，最大化前者相当于最大化后者。AIC定义为asAIC=-2log似然+2·参数个数，因此我们使用定理4.1AIC=-2 logdPθdP+2（k+1）=-T^ρ+2（k+1），在线性变换后，我们首选的AIC标准化-AICT=^ρ-2（k+1）T.（10）方程（10）表明，我们可以用均值-方差效用或平方夏普比来表示AIC。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:34

结合定理3.5，这就产生了对AIC的解释，即AIC校正了样本内均值-方差效用的噪声系数和估计误差。备注4.2。SRIC选择了比AIC更高的维度，但两者在T上彼此收敛→ ∞.直觉是，均值-方差投资者将受到惩罚，因为他们在样本估计中高估了太多的风险敞口（杠杆），而Chaic正确地惩罚了这些估计。相比之下，夏普比率不受过度杠杆的影响，因此不需要额外处罚。5.应用定理3.1有充分的应用。无论是在投资组合或资产管理中，在寻找定量交易策略时，还是在学术界询问样本内的异常是否足够强，足以在样本外可行时，这些都存在于对样本外夏普比率的估计感兴趣的地方。它的首次使用是作为样本外夏普比率的无偏估计。在第5.1节中，我们将对此进行说明。正如定理所宣称的，样本外模拟的平均夏普比率与平均SRIC一致。它的第二个用途是作为模型选择标准，类似于Akaike信息标准。图1已经显示了夏普差异曲线，即样本内夏普比率和产生相同估计样本外夏普比率的参数数量的组合。在接下来的章节中，我们将SRIC作为模拟（第5.2节和第5.3节）和真实数据（第5.4节）中的模型选择标准进行说明。为了完整起见，我们还展示了SRIC在回归设置中的应用（第5.5节和第5.6节）。请注意，评估模型选择标准的性能并不是直接的，始终取决于判断。这是因为它的性能取决于未知模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:37

任何偏向未知真实模型的选择标准都是提前开始的。对于模拟或大量数据集，这个问题不会消失。任何模拟都会确定真实模型的先验概率分布，先验确定模型选择标准的最佳偏差。为了克服这一困难，我们i）选择了第一句话中的模拟参数，注意SRICρ-SRICk=Tρ+kρ≥ Tρ=艾克ρ-艾克k、要查看第二条语句，observeT（SRIC）=T^ρ -kT^ρ= T^ρ- 2k+k^ρT=-AIC+const+k^ρ因此，两者之间存在差异-AIC/T和SRIC的顺序为o（T-1).既不偏向高维模型，也不偏向低维模型；ii）我们在一系列维度上改变了固定的真实模型，并声称SRIC在广泛的真实模型上表现良好，尽管在极端情况下，偏向真实模型的标准优于其他标准。5.1. 模拟1：估计样本外夏普比率我们说明了定理3.1。为此，我们模拟T=1，25年的日收益率（每年252个日收益率），具有不同的自由度和真实夏普比率。然后，我们计算最佳样本内夏普比、样本内夏普比（根据定理3.2 SRIC针对噪声系数进行调整）和样本外夏普比。图2：样本内夏普比、噪声系数和估计误差的调整以及样本外夏普比（当真实夏普比为τ时）*= 0（左侧）或τ*= 参数数量为k=10时为1（右侧）。所有数字都是超过10000次随机抽取的平均值。图2显示了真实夏普比为τ时的结果*= 0（左侧）或τ*= 1（右侧）表示k=10个自由度。所有数字都是超过10000次随机抽取的平均值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-10 20:33:40

正如该定理所宣称的，样本内夏普比（针对噪声和估计误差进行调整）与样本外夏普比（out-of-sample Sharpe ratio）相匹配。5.2. 模拟2：基本模型选择在本节中，我们测试SRIC作为模型选择标准，并将其与模拟中的Akaikei信息标准（AIC）进行比较。例如，T=10年，k=10自由度，τ的真夏普*= 1.我们模拟（rt，i）∈ R252T，k+1所以rt，i等于iid N（u，σ）-分布σ=0.1/√252和u=0.1/（252）√k+1）τ*我们用真实夏普比τ模拟了20维模型的5年*当然是1。20维模型是40维模型（完整模型）的一部分，trueSharpe比率为x≥ 1.我们将第一个模型称为基础模型，第二个模型称为完整模型。我们现在让SRIC和AIC在基本模型和完整模型之间做出决定，并记录样本外夏普比率。当我们改变整个模型的真实夏普比率x时，我们平均超过10000次随机抽取T=5年的样本。图3：根据完整模型的真实Sharpe比率，在基本模型和完整模型之间选择的平均样本外Sharpe比率。平均超过10000次试验。图3显示了结果。如果完整模型的真实夏普比为1.17或更低，则最好使用低维基础模型，其真实夏普比为1。由于AIC倾向于选择低维模型（见备注4.2），因此在sub 1.17区域，其表现优于SRIC。然而，由于真实的夏普比未知，因此低维模型更可取。真实夏普比为1.17或更高时，完整模型的样本外夏普比高于基础模型，SRIC的性能优于AIC。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:44

事实上，AIC需要更高的夏普比率才能看到其优势，并克服其对较小基础模型的偏见。这就是τ*= 1.我们模拟（rt，i）∈ R1260,20so表示rt，i独立于N（ui，σ）-分布σ=0.1/√252和ui=0.1/（252）√20)τ*5.3. 模拟3：扩展模型选择我们现在改变真实模型的维度，以查看SRIC在一系列不同真实维度下的表现。为此，我们模拟了T=5年的252日样本收益率，所有收益率都是独立的，年化波动率为10%。我们在1到100之间改变真实模型的尺寸。对于维数为k的真实模型*我们给出了所有维k≤ K*在[0,0.5]范围内均匀分布且所有尺寸k>k的夏普比*夏普比率为0。在候选模型k下，我们了解由前k个维度1，k，这在样本中是最优的。我们根据SRIC和AIC选择模型^k，并表示相应的样本外夏普比率。我们还注意到完整模型（Markowitz）和1D模型（仅选择FirstDimension，即k=1）的样本外夏普比率。图4：根据不同选择标准的真实模型尺寸，样本外夏普比率的平均值。平均超过10000次试验。图4显示了根据选择标准，真实模型不同维度的样本Sharperatios的相应平均值（超过10000张）。为了进行比较，灰色虚线显示了truemodel的样本外夏普比率。当然，真正的模型是未知的，因此它的夏普比率是无法达到的。也就是说，我们首先均匀地画出^x[0，1]，并以^x为条件，我们有rt，i~ N（ui，σ），σ=0.1/√如果i≤ K*其他0，独立于t=1，1260和i=1，100.可以看出，SRIC在整个范围内表现良好。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-10 20:33:47

它跟踪未知真实模型的性能形状。对于7到61之间的真实尺寸，它在所有模型选择标准中具有最高的样本外性能，即SRIC、AIC、1D模型和完整模型。在该范围之外，偏向于真实维度的选择标准表现得更好。当真实模型的维度较高时(≥ 62）全模型具有较高的样本夏普比；但当然，由于真实模型的维数未知，所以整个模型是最优的。当真实维度较低时，倾向于选择低维度的1D模型或AIC优于通过SRIC进行的完整模型和选择。尽管如此，SRIC至少排名第二，除了k*= 1在AIC和1D模型之后。最值得注意的是，与AIC不同，它得益于更高维度的可预测性。5.4. 真实数据：10个行业组合我们现在在Kenneth French的网站上的10个行业组合上展示SRIC作为趋势系统的模型选择标准。我们使用1963年1月2日至2016年7月29日的每日数据。首先，我们减去联邦基金利率以获得超额回报。在每个月的开始，我们做以下事情。我们回头看lb=1，120个月，根据每日数据计算主成分，得到10个因子。准确地说，我们选择等重投资组合作为第一个因子（而不是PCA的第一个分量），然后在与第一个因子正交的空间上计算剩余的主分量。我们这样做是为了在等权重和马科维茨投资组合之间进行插值。通过模型k=1，10我们指的是在前k个系数1、…、的基础上，使上一个磅月的样本内夏普比率最大化的投资组合，K

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝