我们首先使用一种称为异常率回溯测试的回溯测试程序对估计器进行评估，这是目前业界的标准。但是，如第7节所述。1.这些结果需要进一步的证据来证明，我们将在下面的第8节中提供这些证据。3.对于风险价值，我们对无偏估计量^进行了分析V@Ruα、 经验样本分位数^V@Rempα、 修正的康尼什-费舍尔估计量^V@RCFα和经典的Gaussianestimator^V@Rnorm方程（1.1）-（1.4）以及GPD插件估计器^中定义的αV@RGPD式（3.5）中给出的α。由于所有25个投资组合的结果都非常相似，我们给出了第一个投资组合的结果。市场数据和模拟数据的超标率测试结果见表2。它们表明，在大多数情况下，无偏估计量的超标率较低。特别是，在模拟的高斯数据中，有偏估计量的超越率显著高于0.05的预期率，而无偏估计量表现得非常好。这支持了第7节中提出的主张。此外，使用例5.2中的符号f，对于标准高斯估计量和正态性假设，我们知道pθ[X+^V@Rempα<0]=Pθ[T<qnn+1Φ-1（α）]>α，对于任何θ∈ Θ. 因此，对于标准高斯估计量，异常率测试应该系统地产生大于α的值，事实确实如此；见表2。

E第7节中列出的偏差估计证实了这一发现，此处未报告结果。为了进一步了解高斯无偏估计器的性能，我们复制了表2中N=10.000次和第一个投资组合LoBM的模拟结果。环我们考虑了三个基于异常率的统计：对于任何考虑的估计量^ρ和样本∈ {1，…，N}我们首先考虑超标率ERi（^ρ），其次考虑相对偏差RDI（^ρ）：=ERi（^ρ）- 埃里（^）V@Ruα） 埃里（^）V@Ruα） 第三，u-nbiased估计器在超越率为th时的超越率更接近于α=0.05，ORi（^ρ）：=（1如果| ERi（^ρ）- α|>|ERi（^V@Ruα) - α|，否则为0。（8.1）对于每个投资组合，我们设置阈值u以匹配相应样本的0.7经验分位数。风险类型数据的无偏估计：MARKETPortfolio估值器类型^V@Rempα^V@Rnormα^V@RCFα^V@RGPDα^V@Ru阿尔法·洛姆。回路0.071 0.073 0.067 0.067 0.069BM1。OP2 0.076 0.070 0.069 0.069 0.065BM1。OP3 0.071 0.064 0.063 0.064 0.061BM1。OP4 0.069 0.071 0.067 0.067 0.068LoBM。HiOP 0.071 0.071 0.070 0.067 0.068·············平均值0.073 0.071 0.068 0.067数据类型：模拟^V@Rempα^V@Rnormα^V@RCFα^V@RGPDα^V@Ru阿尔法·洛姆。回路0.065 0.057 0.055 0.056 0.051BM1。OP2 0.064 0.053 0.053 0.053 0.053 0.050BM1。OP3 0.069 0.058 0.058 0.060 0.052BM1。OP4 0.069 0.057 0.058 0.062 0.053 LOBM。HiOP 0.060 0.054 0.053 0.056 0.047················平均值0.066 0.057 0.057 0.058 0.051表2。最重要的是，我们展示了2005年1月27日至2005年1月1日期间25个投资组合中的第一个投资组合的账面市值和经营业绩。2015年1月，从Fama&French数据集，参见Fama and French（2015）（市场）。下面我们展示了模拟高斯数据（模拟）的结果，其均值和方差适用于Fama&French投资组合。

剩余20个投资组合的结果显示出类似的行为，可根据要求提供。我们进行了标准回溯测试，将样本分成长度为50的区间。该表给出了无偏估计值^在5%水平的风险价值的平均异常率V@Ruα、 经验样本分位数^V@Rempα、 修正的CornishFisher估计量^V@RCFα、 GPD估计量^V@RGPDα和经典的Gaussianestimator^V@Rnormα. 标有“平均值”的列显示了agiven列中所有数值的平均值，如果估计器执行正确，我们预计为0.05。对于高斯数据，有偏估计量的平均比率显著高于0.05的预期比率，而无偏估计量的表现非常好（inbold类型）。在表3中，我们陈述了这些统计数据的平均值和标准差（sd）。这清楚地表明，相互竞争的估计器系统地低估了风险，超过目标水平的平均次数比无偏估计器高出29.2%。此外，从优于率或异常率的值可以看出，高斯u偏估计的异常率在几乎所有情况下都更好。风险估计器的无偏估计ER RD Ormen sd mean sd Percentile^V@Rempα（x）0.067 0.004 29.2%8.9%100%修改的C-F^V@RCFα（x）0.0570.003 11.2%5.0%91.7%高斯^V@Rnormα（x）0.0570.004 9.8%3.0%88.2%GPD^V@RGPDα（x）0.0580.003 12.5%6.4%93.3%高斯无偏^V@Ruα（x）0.0520.003——表3。我们对Fama&Frenchdataset的第一个投资组合，即LoBM，采用正态分布。循环投资组合，比较表2。根据该分布，我们模拟了10.000个大小为n=2500的样本，并进行了10.000次标准回测。该表给出了α=5%水平的风险值的平均异常（ER）率f。

可以看出，对于有偏估计量，平均异常率显著高于预期的0.05，而高斯无偏估计量的表现非常好。相对偏差（RD）表明，与其他估值器相比，高斯无偏估值器的超额率通常较低，从而消除了风险低估的影响。表现优于率（OR）表明，在几乎所有情况下，高斯u-nbiasEstimator的异常率比任何其他考虑的Estimator的异常率更接近0.05。8.2. 支持费用支出。在本例中，我们将使用相同的数据集，but代替V@R在5%的水平上，我们认为ES在10%的水平上。按照方程（1.1）-（1.4）中的符号，我们得到了估计量^ESempα（x）：=-Pni=1xi{xi+^V@Rempα（x）<0}Pni=1{xi+^V@Rempα（x）<0}！，（8.2）^ESCFα（x）：=-\'x+\'σ（x）C（\'ZαCF（x））, （8.3）^ESnormα（x）：=-\'x+\'σ（x）φ（Φ-1(α))1 - α, （8.4）^ESGPDα（x）：=^V@Rempα（x）1-^ξ+^β -^ξu1-^ξ（8.5），其中Φ和φ表示标准正态分布的累积分布函数和密度函数，C（\'ZαCF（x））是标准的康尼什-费舍尔下α尾估计量（详见（Boudt et al.，2008，等式（18））和（u，^β，^ξ）是来自GPDestination的一组参数（详见示例3.5）。我们参考McNeil等人（2010）和Alexander（2009）了解（8.2）-（8.4）中给出的估计量的更多细节和推导。此外，在示例5.4中，我们引入了高斯无偏期望短缺估计量，使得^ESuα（x）：=-（\'x- \'σ（x）an），（8.6）与之前一样，对于每个投资组合，我们设置阈值u，以匹配相应样本的0.7经验分位数。风险的无偏估计，其中an=bnp（n-1） （n+1）/n和bn作为方程（5.7）的解给出。

通过简单计算，对于α=10%和n=50，我们得到了aEqual to的近似值-1.81033.请注意，（8.2）和（8.5）中直接反映了ES的不可诱导性。联合激发的能力与V@R也可见：ES的估计器也使用V@R.For我们遵循Acerbi和Sz\'ekly（2014）中建议的测试2进行背部测试。我们利用数据的50个独立子集，用（xk，…，xk）表示，对于k=1，2，50.我们考虑预期s hortfall的上述估计量中的e，并用^ESiα表示由我们的数据的第k子集和^ESiα得出的估计V@Riα相关联的V@Rα估计器通过k-thsample获得，两者都具有α水平。回溯测试的测试统计数据由z:=Xk=1给出Xj=1xk+1j{xk+1j+^V@Rkα<0}α^ESkα+ 1、（8.7）见方程式（6）Inarbi和Sz\'ekly（2014）。尾部分布在α-分位数以下的零假设对应于消失的预期Z。预期s hortfall或风险值被低估的替代方案对应于测试统计量Z的负值。我们的回溯测试结果如表4所示。如第7章所述，对偏差的估计得出了非常相似的结果，此处不作介绍。无偏估计在市场数据和模拟数据上都明显优于有偏估计。备注8.1。无偏估计量的乍一看令人惊讶的性能可以追溯到以下启发：在（8.7）中引入的检验统计量是θ值的经验对应物X1{X+V@Rα<0}α^ESα+1, （8.8）遵循第7节所述的类似论证。如果我们假设非德林分布的连续性，我们得到（8.8）=EθX^ESα+1|X+V@Rα< 0= -ρθX^ESα+1= -ρθX+^ESα^ESα！，其中ρθ表示未知真参数θ下的α。

回想一下，对于无偏估计量，ρθ（X+^ESα）=0。如果乘以^ES-1α与正均一性相容，这表明（8.8）也应接近于零。为了进一步证实这一点，我们复制了表4中用于第一个投资组合LoBM的经验估计（8.2）、标准高斯估计（8.2）和高斯无偏估计（8.6）的模拟结果。循环N=10.000次。获得的统计平均值（括号内有标准误差）分别为-0.179（0.040）、-0.104（0.042）和-0.031（0.042）。此外，我们还可以考虑（8.1）f中给出的优于率统计值或预期不足的类似值，以0作为参考值。在95.4%的情况下，ES的高斯无偏估计的teststatistics值与我们使用10.000.000的样本来近似该值相比，更接近于零。这一现象的一个说明性且自解释的例子是均值和方差的联合可导性：均值估计量通常嵌入方差估计量中；详见Lambert等人（2008）。或者，类似地，假设^ESα接近常数且为正。标准高斯E-S估计的检验统计量风险的无偏估计。对于经验估计器，输出性能率等于100%。

这表明表4的结果具有统计学意义。数据类型：市场投资组合估计器类型ESEMPαESnormαESCFαESGPDαESuαLoBM。环路-0.357-0.393-0.325-0.302-0.331BM1。OP2-0.428-0.303-0.338-0.335-0.235BM1。OP3-0.327-0.322-0.336-0.295-0.254BM1。OP4-0.326-0.354-0.348-0.282-0.272LoBM。HiOP-0.424-0.421-0.371-0.335-0.331················平均值-0.374-0.363-0.339-0.308-0.290数据类型：模拟SEMPαESnormαESCFαESGPDαESuαLoBM。回路-0.177-0.073-0.077-0.104-0.005BM1。OP2-0.143-0.083-0.069-0.074-0.014BM1。OP3-0.220-0.084-0.100-0.157-0.019BM1。OP4-0.224-0.086-0.101-0.150-0.012磅。HiOP-0.183-0.082-0.072-0.098-0.016················································。我们对表2的数据进行了回溯测试。将样本分成长度为50的区间，并在每个su bset上执行估计。该表给出了经验样本分位数ESempα、修正的CornishFisher估计量ESCFα、经典高斯估计量ESnormα、GPD估计量ESGPDα和无偏估计量ESuα在α=10%水平上的回测统计量Z值。标有“均值”的行显示了给定列中所有数字（25-这里我们包括所有投资组合）的均值，如果估计器正确执行，我们预计为0。Z的负值对应于低估风险。对于高斯数据，有偏估计量的Z平均值显著低于无偏估计量的Z平均值，表明后者的性能良好（无偏估计量的粗体值）。我们想强调的是，在这个小型实证研究中，我们只考虑了V@R方程（1.1）-（1.4）和（3.5）中定义的估计器，以及ES的等价物。提出的结果可能会通过结合估计和。

GARCH fifi filtering，practiceSo和Yu（2006）中有时会这样做；Berkowitz和O\'Brien（2002年）。此外，还可以考虑其他风险指标，如缺口中值（尾部损失中值）Kou等人（2013年）和风险程序的其他后验偏差估计（见Acerbi和Sz’ekly（2014年）；Fissler等人（2015年）。然而，这超出了本文的范围。8.3. 估计器性能和一致性评分函数。在本节中，我们采纳了Gneiting（2011）关于第7.1节中讨论的回溯测试程序的批评性意见，并用基于综合评分函数的理论支持程序证实了前一节的结果。在上一节中，我们对估计过程的保守性感兴趣，在这里，我们通过利用预测优势和竞争性的概念来比较估计值并检查其fit；参见Nolde和Ziegel（2017）第2.3节。我们利用了上一节的数据和框架：假设我们是一个长度为2500的数据集。为了k∈ {1，…，50}，让（xk，…，xk）表示数据的第k个子集，让^ρkdenote表示相关的^ρ估计值（即。V@Rα或ESα估计量）获得第k个子集。给定评分函数S，我们定义了平均值S核心统计值S（^ρ）=Xk=1Xj=1S(-^ρk，xk+1j）. （8.9）如果得分函数是一致的，则平均得分值可被视为绩效指标——值越小，估计值越好。特别是，给定两个相互竞争的估计器，我们可以比较它们的平均分数，以确定哪一个更好；seeNolde和Ziegel（2017年）。对于V@R性能测试，继Fissler等人（2015）之后，我们使用（7.4）中给出的（一致的）烧焦函数。

市场和模拟数据的结果如表5所示。对于专家组来说，情况更加复杂，因为我们需要考虑联合可诱导性withV@R.继Fissler等人（2015）之后，我们使用（关节）V@R-ES一致性评分函数（x，x，y）=（{x≥y}-α） （十）-y） +αex1+ex{x≥y} （十）-y） +ex1+ex（x）-十）-ex1+ex.（8.10）如第8节所述。2.对于每个ES估计量，我们使用相关的V@R估计员。表6给出了相应平均分数的市场结果和模拟数据。对上述结果的重复模拟显示了差异的统计意义V@R和ES（结果未显示）。结论在本文中，我们研究了风险估计，特别是无偏估计和b检验。引入无偏性的新概念是出于经济原理，而不是统计推理，这将这个概念与回溯测试中更好的性能联系起来。一些无偏估计量，例如Gaussiancase中风险值的无偏估计量，可以以封闭形式计算，而在许多其他情况下，可以使用数值方法。sm all实证分析强调了无偏估计量在标准回测措施方面的出色表现。参考Acerbi，C.（2007），“日常市场实践中的一致风险度量”，定量金融7（4），359–364。Acerbi，C.a和Sz\'ekly，B.（2014），《风险杂志》（11月）的《反向测试预期短缺》。Alexander，C.（2009），市场风险分析，风险价值模型，第4卷，John Wiley&Sons。阿普尔鲍姆，D。

（2009），列维过程与随机计算，剑桥大学公共科学出版社。风险的无偏估计23类数据：MARKETPortfolio估值器类型^V@Rempα^V@Rnormα^V@RCFα^V@RGPDα^V@Ru阿尔法·洛姆。回路2.005 2.019 1.992 1.984 2.012BM1。OP2 1.964 1.948 1.937 1.910 1.944BM1。OP3 1.692 1.693 1.669 1.677 1.691BM1。OP4 1.389 1.402 1.383 1.383 1.399 LOBM。HiOP 1.335 1.350 1.333 1.342 1.347············平均值1.780 1.770 1.761 1.761 1.766数据类型：模拟^V@Rempα^V@Rnormα^V@RCFα^V@RGPDα^V@Ru阿尔法·洛姆。环路1.8981.8591.8671.8741.857BM1。OP2 1.938 1.898 1.901 1.904 1.899BM1。OP3 1.599 1.557 1.558 1.574 1.554BM1。OP4 1.292 1.245 1.254 1.272 1.244LoBM。HiOP 1.195 1.177 1.182 1.188 1.177···············平均值1.714 1.684 1.690 1.698 1.683表5。我们根据表2的相同数据进行评分性能测试。样本被分成长度为50的区间，并在每个子集上进行估计。该表给出了经验样本分位数^的等式（8.9）中给出的平均分数乘以1000的值V@Rempα、 修正的Cornish Fisher估计量^V@RCFα、 GPD估计量^V@RGPDα与经典高斯估计V@Rnormα. 标有“平均值”的行显示给定列中所有数字（25-这里我们包括所有投资组合）的平均值。在模拟数据上，Cornish Fisher和GPD估计比无偏估计低多少，这是由于^中的正态性假设V@Ruα. 对于高斯数据，在大多数情况下，有偏估计量的S值高于无偏估计量的f值，这表明后三者的性能良好（无偏估计量的粗体值）。巴苏·D.（1955），“关于独立于完整有效统计的统计”，桑基：《印度统计杂志》（1933-1960）第15（4）页。

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该表给出了经验样本分位数ESempα、改进的康尼什-费舍尔估计量ESCFα、经典高斯估计量ESnormα、GPD估计量ESGPDα和无偏估计量ESuα的平均得分与等式（8.10）中给出的核心函数的值。在每一种情况下，它们都有关联V@R使用估计器。标有“平均值”的行显示给定列中所有数字（25-这里我们包括所有投资组合）的平均值。对于Gaussianada，在大多数情况下，有偏估计量的平均得分值低于无偏估计量的平均得分值，这表明后一种估计量（无偏估计量的粗体值）表现良好。BCBS——巴塞尔银行监管委员会（2011年），巴塞尔II市场风险框架修订版——2010年12月31日更新，技术报告，国际清算银行。Berkowitz，J.和O\'Brien，J.（2002），“商业银行的风险价值模型有多准确？”，《金融杂志》第1093-1111页。Boudt，K.，Peterson，B.G.和Cr oux，C.（2008），“具有非正常回报的投资组合下行风险的估计和分解”，风险杂志11（2），79–103。Carver，L.（2014），“BACK测试预期不足：任务可能吗？”，风险（10月）。Cont，R.，Deguest，R.和He，X.D.（2013），“基于损失的风险度量”，统计与风险建模30，133–16 7。Cont，R.，Deguest，R.和Scandolo，G.（2010），“风险度量过程的稳健性和敏感性分析”，定量金融10（6），593-606。风险的无偏估计Davis，M.（2016），“内部风险度量估计的验证”，统计与风险建模33，67–93。El Karoui，N.和Ravane lli，C.（2009），“现金次加性风险度量和利率模糊性”，数学金融19，561–590。Embrechts，P.和Hoffert，M。

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