风险的无偏估计 - 外文文献专区

2022-5-11 00:34:45

风险的无偏估计Marcin PITERA和THORSTEN Schmidta摘要。风险度量的估计最近得到了很多关注，部分原因是与可诱导性相关的预期风险或下降的回溯测试问题。在这项工作中，我们从偏差的角度对风险度量的最佳估计程序提供了一种新的、基本的解释。我们表明，一旦需要估计模型的参数，就必须在估计风险时格外小心。对于ex-amp-le，典型的插件方法引入了一种偏差，导致对风险的非系统性低估。在这方面，我们引入了一种新的无偏性概念来估计风险，这是由经济学原理驱动的。一般来说，提出的概念d与众所周知的无偏统计概念并不一致。我们证明，对于许多著名的估计量，适当的偏差校正是有效的。特别是，我们考虑了风险价值和预期短缺（风险尾值）。在正态分布的特殊情况下，可以得到无偏估计的封闭形式解。我们给出了一些激励性的例子，表明在许多情况下无偏估计的性能优于无偏估计。无偏性对回溯测试有直接影响，因此为已建立的统计特性增加了进一步的观点。关键词：风险价值、风险尾值、预期短缺、风险度量、风险度量的估计、偏差、风险估计、可引出性、回溯测试、风险度量的无偏估计。1.引言风险度量的估计是金融行业中最重要的一个领域，因为风险度量在风险管理和监管资本的计算中发挥着重要作用，参见McNeil等人（2010）对该主题的深入论述。

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2022-5-11 00:34:48

最值得注意的是，定量风险管理的一个主要方面是统计性质，如inEmbrechts和Hofer（2014）所强调的。本文认真对待这一挑战，并不是针对风险度量本身，而是针对估计的风险度量。风险评估中的统计方面最近引起了很多关注：参见相关文章SDAVIS（2016）和Cont等人（2010）；Acerbi和Sz\'ekly（2014）；齐格尔（2016）；Fissler等人（2015年）；弗兰克（2016）。令人惊讶的是，事实证明，风险估计员的统计特性——与偏差的存在相关——尚未得到彻底分析。从实践的角度来看，这些属性非常重要，因为风险偏差通常会导致对风险的系统性低估。我们的主要目标是从经济和统计角度对无偏性进行定义。其主要动机是观察到，从理论角度来看，对偏差的经典（统计）定义可能是可取的，但金融机构或监管机构可能不会优先考虑，因为回溯测试目前是评估估计的主要来源。日期：首次发布日期：2016年3月8日，此版本：Au gu st 2017年25日。作者对推荐人和助理编辑的宝贵意见和建议表示感谢，这些意见和建议有助于改进论文。第一作者的部分工作由波兰国家科学中心通过项目2016/23/B/ST1/00479提供支持。风险的无偏估计2监管和科学界对两个最受认可的风险指标：预期缺口和风险价值进行了激烈的辩论(V@R)巴塞尔协议III项目（BCBS，2013）刺激了这场辩论，该项目更新了对初始市场风险模型的资本要求负责的法规（参见。

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2022-5-11 00:34:51

（波士顿商学院，2006年；波士顿商学院，1996年）。简而言之，旧的V@R在1%的水平上，被2.5%的水平上的ES所取代。事实上，这样的修正可能会减少偏差，但只有在正确的情况下。学术界对这一事实的反应并不一致：虽然ES是连贯的，并考虑了整个尾部分布，但它缺乏一些良好的统计特性V@R.参见e.g.Cont等人（2010年）；Acerbi和Sz\'ekly（2014）；齐格尔（2016）；Kellner和R¨osch（2016）；Yamai和Yosh iba（2005年）；Emmer等人（2015年），了解更多细节和有趣的讨论。此外，据信ES预测更难进行回溯测试，从监管机构的角度来看，这是一个至关重要的属性。这场辩论中的另一个论点来自resu lts Ingneting（2011）（另见韦伯（2006）），表明ES是不可引出的。这一有趣的概念最初是从经济学的角度由伊诺班德和赖切尔斯坦（1985）提出的；其主要动机是通过惩罚虚假报道来确保恶意报道。我在第7节。1我们对这个话题进行了详细的讨论。缺乏启发性导致了关于是否（以及如何）有可能测试包装的讨论，我们参考了Carver（2014）；齐格尔（2016）；Acerbi和Sz\'ekly（2014）；Fissler等人（2015年），以获取关于该主题的更多详细信息。最近，Fissler等人（2015年）表明，ESis与V@R.In特别是，回溯测试是可能的；请参阅第8.2节，了解我们设置中ES的回溯测试算法；然而，必须谨慎地解释结果。我们的文章有两个目的。首先，我们引入了一个基于经济动机的无偏性定义：如果将风险资本的估计量添加到风险头寸中，使头寸可接受，则风险资本的估计称为无偏；见定义4.1。

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2022-5-11 00:34:55

令人惊讶的是，到目前为止所考虑的估计量并非如此。第二，我们想从巴塞尔标准要求的角度出发，对回溯测试进行新的阐释。开始点是一个简单的观察，即有偏估计自然会导致不良的执行ce回测，因此建议的偏差校正应该会改善回测的结果。在这方面，请考虑以下标准（监管）回溯测试：V@R什么是基于例外率；seeGiot and Lau rent（2003年）。在第7节中，我们将展示，如果异常率的估计有偏差，基于异常率的回溯测试程序将表现不佳。基于此，我们系统地研究了风险估计器的偏差，并将我们的理论基础与经验证据联系起来。让我们从一个例子开始：考虑具有未知均值和方差的i.i.d.高斯数据，假设我们对估计有兴趣V@R在α级∈ (0, 1) (V@Rα). 表示byx=（x，…，xn）观测数据。这种情况下的无偏估计由^给出V@Ruα（x，…，xn）：=-\'x+\'σ（x）rn+1nt-1n-1(α)!, （1.1）其中t-1n-1是学生t分布n的累积分布函数的倒数- 1自由度，\'x表示样本平均值，\'σ（x）表示样本标准偏差。我们把这个估计器称为高斯无偏估计器，并在（1.1）中使用这个名称。请注意，t分布是自然产生的，因为它考虑了必须估计的方差，以及偏差修正系数ispn+1/n。将此估计值与此现象的另一个说明性和自解释性示例进行比较就是方差。虽然不可诱导，但它与平均值是可共同诱导的；seeLambert等人。

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2022-5-11 00:34:59

(2008).风险的无偏估计3估计器NASDAQ Simulatedexceeds百分比超过percentageGaussian插件^V@Rnormα241 0.061 221 0.056经验^V@Rempα272 0.069 253 0.064修改的C-F^V@RCFα249 0.063 230 0.058高斯无偏^V@Ruα217 0.055 197 0.050表1。估计V@R0.05forNASDAQ100（第一列）和正态分布随机变量样本的平均值和方差符合NASDAQ数据（第二列），均为4000个数据点。超过报告样本中实际损失超过风险估计的异常数。高斯无偏估计量很快就达到了0.05的期望值。纳斯达克数据的标准估计器提供了一些令人振奋的见解，我们将在下面的段落中详细介绍。回溯测试风险价值评估程序。为了分析各种风险价值估计器的性能，我们执行了一个标准的回溯测试程序。首先，我们使用一个学习阶段估计风险度量，然后在回溯测试阶段测试其充分性。测试基于标准故障率（异常率）程序；参见例如Giot和Laurent（2003）和d（BCBS，1996）。给定一个大小为n的数据样本，第一个k观察值用于估计α级的风险值。之后，我们计算了在接下来的时间里实际损失的多少倍- k观察值超过了估计值。对于好的估计量，我们期望（n）所划分的例外数- k）应该接近α。更准确地说，我们根据1999年1月1日至2014年11月25日期间NASDAQ100指数的收盘价（调整后）考虑了回报。样本量为n=4000，与该期间的交易日数相对应。样本被分成80个独立的SUB集合，每个SUB集合包括连续50个交易日。

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2022-5-11 00:35:02

回溯测试程序包括使用i-thsubset来估计V@R0.05and计算（i+1）-thsubset中的异常数。79个时期的例外总数除以79·50。我们比较了高斯无偏估计的性能V@Ruα是三种最常见的风险价值估计量：经验样本分位数^V@Rempα（有时称为历史估计器）；改进的C ornish Fisher估计量^V@RCFα; 与经典高斯估计^V@Rnormα、在正态条件下，通过将均值和样本方差插入风险值公式中获得：^V@Rempα（x）：=-x(H)+ （h）- H)（十）(h+1)- x(H)), (1.2)^V@RCFα（x）：=-\'x+\'σ（x）\'ZαCF（x）, (1.3)^V@Rnormα（x）：=-\'x+\'σ（x）Φ-1(α), （1.4）其中x（k）是x=（x，…，xn）的第k阶统计量Z 表示z的整数部分∈ R、 h=α（n）- 1） +1，Φ表示s标准正态分布的累积分布函数，ZαCFis是一个标准的康尼什-费舍尔α分位数估计器（详见示例（Alexander，2009，第IV.3.4.3节）。事实上，样本分位数估计器有很多种版本。我们决定采用R和S统计软件中默认使用的连续分布样本。风险的无偏估计4回溯测试的结果如表1第一部分所示。令人惊讶的是，标准估计器的表现相当糟糕。事实上，当使用估计值进行预测时，预计失败率为0.05V@R0.05and标准估计器明显低估了风险，即超出率高于预期率。只有高斯无偏估计量接近期望值，经验估计量的超越率在比较中高出25%。

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2022-5-11 00:35:06

还可以证明，与高斯无偏估计量相比，Student-t（插件）估计量的性能较差。为了排除高斯模型对数据的不良拟合或可能的依赖性对这些发现可能造成的干扰，我们另外进行了一项模拟研究：从一个正常分布的随机变量的i.i.d.样本开始，平均值和方差符合纳斯达克数据，我们对该数据重复了回溯测试；结果见表1的第二列。让我们首先关注插件估计器^V@Rnormα：预计超过200次（占4000次的5%），我们在纳斯达克数据本身上又经历了41次超过。在模拟数据上，我们可以排除由于厚尾、相关性等引起的干扰，仍然报告了21个意外超标，约为原始数据上额外超标的50%。这些超越是由于估计量的偏差造成的，可以通过考虑无偏估计量^来消除V@Ru从表1的最后一行可以看出α。其他估计器的结果证实了这些发现，与高斯无偏估计器相比，经验估计器的超越率高出28%，而高斯无偏估计器又完全满足α=0.05的水平。然而，正如Gneiting（2011）所指出的，必须谨慎对待完全基于回测的估计器性能结论，我们在第8节中提供了额外的证据。3.本文的结构如下：第二部分正式介绍了风险度量的估计。第3节讨论了插件估计器的常用概念。第4节介绍了本文的主要概念，即经济学意义上的无偏性，第5节给出了一些例子。

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2022-5-11 00:35:09

第6节考虑了渐近无偏估计量，而第7节概述了b ias估计程序以及无偏性和监管回溯测试之间的关系。第8节对建议的估计量进行了小规模的实证研究，我们得出结论9。2.测量风险在本节中，我们简要介绍了基础模型未知，因此需要估计的风险测量。我们的重点在于最流行的风险度量族，即所谓的法律不变风险度量。这些措施完全取决于潜在损失的分布，参见McNeil等人（2010），了解风险测量的概述和实际应用。例如，法律不变风险度量包含特殊情况下的风险值、预期短缺或光谱风险度量。我们考虑参数设置中的估计问题。如果p参数的速度是有限维的，这也包含问题的非参数公式。在这方面，让我们(Ohm, A）是可测空间且（Pθ：θ）∈ Θ）是这个可测s步上的一系列概率测度，由θ参数化，θ是参数空间Θ的一个元素。为了简单起见，我们假设测度Pθ是等价的，这样它们的零集就重合了。另一方面，一些概率测度可能几乎肯定会被某些观察排除在外，这反过来又会导致不必要的复杂表达式。由L:=L(Ohm, A）进一步的模拟表明，这些结果具有显著的统计学意义：例如，重复模拟10。000次允许计算表1中给出的估计器的平均异常率（括号中有标准误差）。

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2022-5-11 00:35:12

它们分别等于0.057（0.0026）、0.067（0.0028）、0.057（0.0028）和0.050（0.0027）。风险的无偏估计5我们表示实值函数和可测函数的（等价类）。在我们的背景下，空间通常对应于贴现现金流或财务头寸回报率。对于估计，我们假设我们有一个样本X，X，我们希望估计未来位置X的风险。有时，我们考虑X=（X，…，xn）来区分X的具体实现，xn来自样本随机变量。特别是，对于某些ω，我们知道xi=xi（ω）∈ Ohm.例2.1（i.i.d.-案例）。假设未来位置X以及历史观测值是独立且分布相同的（i.i.d.）。例如，在Black-Scholes模型中，当考虑日志返回时，情况就是这样。更一般地说，如果考虑的股价S遵循几何L’evy过程（见（Applebaum，2009，第5.6.2节）和其中的参考文献），这一点也适用。如果ti，i=0，n+1表示等距时间 = ti公司- ti公司-1，然后日志返回Xi:=log（Sti）- 日志（Sti）-1），i=1，n是i.i.d.，未来位置Stn+1的风险可以用X:=log（Stn+1）来描述- 日志（Stn）。量化与未来位置X相关的风险∈ 五十、我们引入了风险度量的概念。定义2.2。风险度量ρ是Lto R的映射∪ {+∞}.通常，假设风险度量ρ具有其他属性，例如反单调性、凸性和平移不变性。有关详细信息，请参阅seeF¨ollmer and Schied（2011）及其参考资料。为简洁起见，由于我们对ρ估计相关的问题感兴趣，我们决定不在这里重复详细的定义。

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2022-5-11 00:35:15

更不用说，从财务角度来看，ρ（X）值是财务未来头寸X的风险量化，通常被解释为必须向头寸X中增加的金额，以便X变得可接受。因此，具有ρ（X）的位置X≤ 0被认为是可接受的（无需添加额外的mon ey）。先验地，风险度量的定义与更大的概率没有任何关系。然而，在大多数实际应用中，人们通常会考虑法律不变的风险度量。粗略地说，相对于概率测度P，风险测度被称为定律不变量，如果ρ（X）=ρ（~X），只要X和~X的定律在P下重合，参见例如（F¨ollmer and Knispel，2013，第5节）。因此，ρ通常依赖于潜在的概率测度Pθ，因此，我们得到了一系列风险测度（ρθ）θ∈Θ，我们再次用ρ表示。这里，ρθ是在Pθ下获得的风险度量。由于具有定律不变性，r isk-测度可以用X的累积分布函数来识别。更准确地说，我们得到以下定义。用实值随机变量的累积分布函数的第D次经济凸空间表示。定义2.3。风险测度族（ρθ）θ∈如果存在函数R:D，则称为定律不变量→ R∪ {+∞} 这样对于所有θ∈ Θ和X∈ Lρθ（X）=R（FX（θ）），（2.1）FX（θ）=Pθ（X≤ ·) 表示参数θ下X的累积分布函数。我们的目标是在θ∈ Θ未知，需要从数据样本x中估算，xn。如果θ已知，我们可以从Pθ直接计算相应的风险度量eρθ，而不需要考虑族（ρθ）θ∈Θ. 目前有各种估算方法，最常见的是插件估算；详见第3节。定义2.4。

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2022-5-11 00:35:18

风险度量的估计量是Borel函数^ρn:Rn→ R∪ {+∞}.风险的无偏估计6有时我们称之为^ρnalso风险估计量。^ρn（x，…，xn）值对应于估计的资本金额，在将资本添加到头寸后，该金额应分类为可接受的未来头寸x。给定随机样本X，X，Xn，我们也用随机变量ρn（ω）表示：=ρn（X（ω），Xn（ω）），ω∈ Ohm,对应于估计量^ρn。通过^ρ，我们表示风险估计量的序列^ρ=（^ρn）n∈N.如果没有歧义，我们也将^ρ称为风险估计器，有时甚至用^ρ代替^ρN。定义2中给出了估计器的概念。4是非常普遍的。在实际估计风险度量时，一种非常常见的方法是将潜在随机变量的分布估计与风险度量的估计分开。这就产生了我们在下一节中讨论的成熟的插头不估值器。3.插件估计估计风险的常用方法是插件估计；seeAcerbi（2007）；Cont等人（2010年）；F–ollmer和Knispel（2013）及其参考文献。这种方法背后的想法是使用高度开发的工具来估计X的分布函数，并将此估计插入所需的风险度量中。用^fx表示未知分布的估计量，并从方程（2.1）中调用函数R。然后插件估计器^ρplugini由^ρplugin（x）：=R（^FX）给出。

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2022-5-11 00:35:21

（3.1）更具体地说，考虑具有一系列法律不变风险度量（ρθ）θ的参数情况∈Θ，我们从（2.1）中得到，插件估计量由^ρplugin（x）=R（FX（^θ））=ρθ（x）给出，其中^θ表示给定样本x的参数估计量。现在让我们给出一些具体的例子，其中我们提供了非参数和参数情况下所考虑风险的插件估计量的显式公式。示例3.1（经验分布插件估算）。作为一个例子，我们可以使用插件估计器的经验分布。假设X，Xnare独立，具有与X相同的分布，样本X=（X，…，xn）就在眼前。然后，经验分布由^FX（t）：=nnXi=1{xi给出≤t} ，t∈ R、式中，1a是事件A的指示器。它是离散分布，因此R（^FX）易于计算。例3.2（核密度估计）。假设X是（绝对）连续的，对于X的密度，最流行的非参数估计技术之一是所谓的核密度估计，参见Rosenblatt（1956）；帕尔岑（1962年）。与其估计分布本身，不如专注于估计概率密度函数，因为在连续序列中，我们可以从另一个中恢复。给定s示例x=（x，…，xn），内核函数k:R→ R和带宽参数h>0（详见Silverman（1986），未知密度f的估计器^f由^f（z）=nhnXi=1K给出Z- xih, Z∈ R.风险的无偏估计7最常用的核函数是高斯核和E-panechnikov核K，由K（u）给出=√2πe-u和K（u）=（1）- u） 1{| u|≤1}.带宽参数的最佳值也可以估计，但这取决于其他假设。

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2022-5-11 00:35:24

例如，可以证明，如果样本是高斯的，那么带宽参数的最佳选择约为1.06^σn-1/5，其中^σ是样品的标准偏差。例3.3（正常情况下的插入式估计器）。假设X通常分布在Pθ下，对于任何θ=（θ，θ）∈ Θ=R×R>0，其中θ和θ分别表示均值和方差。给定样本x=（x，…，xn），让^θ和^θ表示估计的参数（使用极大似然估计得到）。然后，假设ρ是平移不变且正同质的（详细信息请参见f¨ollmer and Schied（2011）），经典的插入式估计器ρρ可以计算如下^ρ（x）=R（FX（θ））=ρθ（x）=ρθθx-^θ^θ+^θ!= -^θ+^θR（Φ），（3.2），其中Φ表示标准正态分布的累积分布函数。如果我们对估计风险价值感兴趣，则E q（3.2）中给出的估计值与方程式（1.4）中定义的估计值一致。例3.4（t分布的插入式估计器）。假设X在Pθ下有一个广义dt分布，对于任何θ=（θ，θ，θ）∈ Θ=R×R>0×N>2，其中θ、θ和θ分别表示平均值、方差和自由度参数。给定样本x=（x，…，xn），让^θ、^θ和^θ表示估计参数（例如使用期望最大化方法获得；有关详细信息，请参阅Fernandez和Steel（1998）。然后，假设ρ是平移不变量且正齐次，插件估计器可以表示为^ρ（x）=-^θ+^θs^θ- 2^θR（t^θ），（3.3），其中Tv对应于具有v自由度的标准t分布。特别是，对于α级的风险值，我们得到R（t^θ）=-T-1^θ(α).例3.5（使用极值理论的插入式估计器）。假设X对于任何θ都是绝对连续的∈ Θ.

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mingdashike22

2022-5-11 00:35:27

对于任何阈值水平u<0，我们定义了θ下X的条件超额损失分布∈ Θas[FX]u（θ，t）=Pθ（X）≤ u+t | X<u），对于t≤ 粗略地说，皮肯兹-巴尔克马-德哈恩定理表明，对于任何θ∈ Θ，如果你→ -∞,然后，条件超额损失分布应收敛到某种广义帕累托分布（GPD）。我们指的是麦克尼尔（1999）；McNeil等人（2010）以及其中的参考文献，以了解更多细节。如果风险度量仅取决于X的下尾，则可以使用该结果为风险度量估计器提供近似公式。例如，对于风险价值或预期短缺，尤其是当风险水平较小时，情况就是如此∈ （0，1）被考虑。在对分布FX（θ）施加一些温和条件下的给定阈值水平。这包括正态分布、对数正态分布、χ分布、t分布、F分布、γ分布、指数分布和均匀分布。风险8u<0，样本x=（x，…，xn）的无偏估计，并使用所谓的历史模拟方法（详情见McNeil（1999）等），我们确定了任何t<u设置^FX（t）=kn的^FX1+^ξu- t^β-1/^ξ，（3.4），其中k是低于阈值水平u的观察数，而（^ξ，^β）对应于GPD家族中的形状和尺度估计数。估算值^ξ和^β可仅通过低于保留水平u的观测值（负值）计算，例如使用概率加权矩法（详情请参见McNeil（1999）和其中的参考文献）。现在，假设（2.1）中给出的函数R依赖于分布的尾部，即任意θ∈ 我们只需要FX（θ）|(-∞,u）为了计算R（FX（θ）），可以使用（3.4）获得插入估计量的公式。尤其是对于α级的风险价值∈ （0，1），如果只有α<^FX（u），那么我们得到了估计量^V@RGPDα（x）=^F-1X（α）=-u+^β^ξαnk-^ξ- 1..

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mingdashike22

2022-5-11 00:35:31

（3.5）请注意，这种估计实际上可能被认为是非参数的，因为它近似于一大类分布的ρ（X）值，包括几乎所有实际使用的分布。4.风险的无偏估计非常令人担忧的是，插件程序通常会导致低估风险，如第1节所述。我们的目标是引入一类新的估计器，我们称之为无偏估计器，不受这种不足的影响。定义4.1。对于ρ（X），如果对于所有θ，则称为无偏估计∈ ρθ（X+ρρn）=0。（4.1）无偏估计量具有经济上可取的特征，即将风险资本的估计量^ρ加到位置X上，使得位置X+^ρ在所有可能的情况下θ都是可接受的∈ Θ. 等式（4.1）中的等式可确保估算资本不太高。值得指出的是，除了i.i.d.的情况外，X+ρndoes的分布也依赖于X，X，…，的依赖结构，Xnand不仅是关于（边缘）定律。从特殊的角度来看，给定一个历史数据集，甚至是一个压力情景（x，…，xn），数字^ρn（x，…，xn）用于确定头寸x的资本公积，即担保头寸的风险ξn（x，…，xn）：=x+^ρn（x，…，xn）可接受的最小金额。由于参数θ未知，最好将安全位置ξn的风险降至最低，该位置现在被视为随机变量X。，Xn。如果我们对任何θ都这样做∈ Θ，那么我们估计的资本储备将接近真实（未知）资本储备。为此，对于θ的任何值，我们希望位置ξ的（总体）风险等于0∈ Θ. 这正是定义意义上的偏见。1.备注4.2（与u偏差的统计定义有关）。

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2022-5-11 00:35:34

定义4。1与统计意义上的无偏性不同：对于所有θ，估计量^ρ称为统计无偏，ifEθ[^ρn]=ρθ（X）∈ Θ，（4.2），其中Eθ表示Pθ下的期望算子。虽然从理论角度来看，条件（4.2）总是可取的，但对风险度量感兴趣的机构可能不会优先考虑它，因为估计资本储备的平均值并不确定风险9的无偏估计风险9的风险头寸X+^ρn。让我们更详细地解释一下：在实践中，主要目标是以这样的方式定义估计器，使其在各种回测或压力测试程序中表现良好。执行测试的类型通常由监管机构给出（例如，见BCBS，2011）。在风险价值的情况下，通常会考虑所谓的故障率程序。如第1节所述，该程序侧重于异常率，即估计资本储备不足的情景比率。这种非线性函数不同于由估计资本储备平均值给出的线性度量，强调了对abias进行不同定义的必要性。另见备注4。3.进一步解释。备注4.3（与概率无偏性的关系）。InFrancioni and Herzog（2012），作者引入了概率无基估计的概念：用FX（θ，t）=Pθ（X）表示≤ t），t∈ r X在Pθ下的累积分布函数。然后，估计量^ρ被称为无偏概率，ifEθ[FX（θ），-^ρn）=FX（θ，-ρθ（X）），对于所有θ∈ Θ. （4.3）直观地说，左侧对应于我们估计的资本储备不足的平均概率，而右侧对应于理论资本储备不足的概率。

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2022-5-11 00:35:37

这种方法适用于i.i.d.示例2的严格限制设置中的风险价值。1.事实上，在这种情况下，这与我们对定义中的无偏见的定义是一致的。1：的确，假设FX（θ）是连续的，X，Xn，Xare i.i.d.那么^ρnand X是独立的，henceEθ[FX（θ，-^ρn）=Pθ[X+^ρn<0]。另一方面，我们知道，对于ρθ是α级的风险值，我们得到FX（θ，-ρθ（X））=α，所以（4.3）等价于顶部θ[X+ρn<0]=α。（4.4）现在很容易证明这等于ρθ（X+ρρn）=inf{X∈ R:Pθ[X+ρn+X<0]≤ α} = 0.在我们这里考虑的一般情况下，需要一个更灵活的概念来定义风险估计偏差。特别是，效率低下的平均概率不包含有关资本效率水平的信息。然而，这是一个关键概念，例如，在考虑预期短缺时；比较例5。4.备注4.4（与液位调整有关）。InFrank（2016年）和Francioni and Herzog（2012年）建议对α水平进行调整，以考虑偏差。该方法专门针对交叉概率水平的无偏估计（例外情况）；Seemark4。3.我们使用备注4.3中介绍的符号来讨论这个问题。如果参数θ∈ Θ已知的是-F-1X（θ，α）。然后，通过将风险值与位置相加得到的位置X的预期超出次数等于α：Eθ[1{X]-F-1X（θ，α）<0}]=Pθ[X<F-1X（θ，α）]=α。事实上，不仅可以对单个α进行估计，还可以对所有α进行估计∈ (0, 1). 我们用^ρ（α）表示估计值，ob表示，作为α的函数，它们通常是连续的和递减的（α越低，需要的风险资本越高，以确保跨越该水平的概率小于α）。

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2022-5-11 00:35:40

如果一个已建立的估计程序在手边，用f族（^ρ（α））α表示∈（0,1），在e上可以调整α以消除估计偏差。特别是，如果估计后风险率的平均超越无偏估计应与α匹配，则将寻找调整后的水平αadj，从而α=Eθ[1{X]-^ρ（αadj）<0}]=ZFX（θ，y）p^ρ（αadj）（dy）；这里，p^ρ（αadj）表示^ρ（αadj）的密度。当估计器的密度为han d时，可以在数值上找到所需的α调整。请注意，这一要求与（4.4）完全匹配，不同之处在于没有修改估计器，而是调整了α水平。与方程（1.1）中的无偏估计器的比较表明，高斯情况下的调整αadj也取决于样本量n，这在实践中可能是不可取的。此外，该方法特别适用于valueat risk。我们参考Francioni和Herzog（2012）和Frank（2016）了解详细信息和示例水平调整算法。备注4.5（与次加性和基于损失的风险度量有关）。有意思的是，分析定义4中给出无偏性的最低要求。1有用：唯一的要求是位置X∈ 如果ρ（X），则可接受Lis≤ 这直接关系到ρ的适当归一化。更重要的是，它不要求ρ是一致的，甚至不要求ρ是基于损失的，asinCont等人（2013年），或El Karoui和Ravanelli（2009年）中的次加性。因此，建议的估算方法也适用于这些有趣的风险度量类别。然而，详细的分析超出了本文的范围。5.示例在本节中，我们举了一些示例，强调无偏风险估计量概念的应用。例5.1（平均值的无偏估计）。假设X对任何θ都是可积的∈ Θ，并考虑一个可接受的位置，如果它具有非负均值。

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2022-5-11 00:35:44

这对应于风险度量族ρθ（X）=Eθ[-十] ，θ∈ Θ.显然ρ是定律不变的。与方程（4.1）相对应，如果0=ρθ（X+ρρ）=Eθ，则风险估计器^ρ在此设置中是无偏的[-（X+^ρ）]=ρθ（X）- Eθ[^ρ]。因此，估计量^ρ是无偏的当且仅当它是统计无偏的f或任何θ∈ Θ. 因此，样本平均值的负值由^ρn（x，…，xn）=-Pni=1xin，n∈ N、是位置X风险度量的无偏估计量。示例5.2（正态下风险值的无偏估计）。设X在Pθ下正态分布，m平均θ和方差θ为θ=（θ，θ）∈ Θ=R×R>0。对于固定的α∈ （0，1），设ρθ（X）=inf{X∈ R:Pθ[X+X<0]≤ α}, θ ∈ Θ，（5.1）表示α级的风险值。由于X是绝对连续的，等式（4.1）中定义的无偏性等于所有θ的顶部θ[X+^ρ<0]=α∈ Θ. （5.2）风险无偏估计11该概念与风险价值概率无偏估计的定义一致（详情见备注4.3）。我们将估计量^ρ定义为^ρ（x，…，xn）=-\'x- \'\'σ（x）rn+1nt-1n-1（α），（5.3）式中-1代表学生t分布与n的累积分布函数- 1自由度和‘x:=nnXi=1xi，’σ（x）：=vUtn- 1nXi=1（xi- \'x），分别表示均值和标准差的有效估计量。我们证明了估计器^ρ是一个无偏风险估计器：注意X~ N（θ，（θ））在Pθ下。利用X，\'X和\'σ（X）对于任何θ都是独立的这一事实∈ Θ（见巴苏（1955）），我们得到：=rnn+1·X-\'X\'σ（X）=X-\'-Xqn+1nθ·sn- 1Pni=1（Xi-\'Xθ）~ tn-1.因此，随机变量T是一个关键量，Pθ[X+^ρ<0]=Pθ[T<qtn-1（α）]=α，这是证明的结论。备注5.3。

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2022-5-11 00:35:47

因此，（5.3）中定义的高斯无偏估计量与（1.4）中给出的经典插件高斯估计量之间的差异等于^V@Ruα（x）-^V@Rnormα（x）=-\'\'σ（x）rn+1nt-1n-1(α) - Φ-1(α)!. （5.4）因此，as‘∑（x）是一致的，andrn+1nt-1n-1（α）n→∞---→ Φ-1（α），我们得到了样本越大，估计量之间的距离越近——插入估计量的偏差减小。上例中的程序可以应用于几乎任何（合理的）一致性风险度量。我们选择预期短缺作为例子来说明如何实现这一点。例5.4（正常情况下预期短缺的无偏估计）。如前所述，对于任意θ=（θ，θ），设X b在Pθ下以平均θ和方差θ极大分布∈ Θ=R×R>0。让我们来看看α∈ (0, 1). 连续分布下α级的预期短缺由ρθ（X）=Eθ给出[-X | X≤ qX（θ，α）]，其中qX（θ，α）是X和er Pθ的α分位数，与方程（5.1）中α级风险值的负值一致；参见麦克尼尔等人（2010）中的引理2.16。由于ρθ的平移不变性和正h均匀性，利用X、\'X和∑（X）对于n正分布的X是独立的这一事实，ρρ的一个很好的候选者是ρ（X，…，xn）=-\'x- “∑（x）an，（5.5）s ome（an）n风险的无偏估计12∈N、在哪里∈ 存在一个序列（an）n∈假设ρ是无偏的：由于ρθ是正齐次的，我们得到了所有θ∈ Θρθ（X+^ρ）=θrn+1nρθ十、-\'X- an′σ（X）θqn+1n= θrn+1nρθX-\'Xθqn+1n-一√np（n）- 1）（n+1）·√N- 1′σ（X）θ！=θrn+1nρθZ-一√np（n）- 1）（n+1）Vn, （5.6）式中，Z~ N（0,1），Vn~ χn-而且两者都是独立的。注意，（Z，Vn）的分布不依赖于θ。因此，足以证明存在bn∈ 使得ρθ（Z+bnVn）=0。

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2022-5-11 00:35:50

（5.7）由于vn是非负的，风险度量ρθ是反单调的，我们得到（5.7）相对于bn是递减的。此外，0<ρθ（Z）=ρθ（Z+0Vn）。对于足够大的bn，我们得到ρθ（Z+bnVn）<0，作为ρθ（Z+bnVn）=bnρθ（Zbn+Vn）和ρθZbn+Vnbn→∞----→ ρθ（Vn）<0，这是由于L上预期短缺的Lebesgue连续性（见Kaina and R¨uschendorf，2009，定理4.1））。因此，再次使用ρθ的连续性，我们得出结论，存在bn∈ 如（5.7）所示。此外，bn的值与θ无关，就像族（ρθ）θ一样∈Θislaw不变量（见等式（2.1））和Z，vn是关键量。注意，我们只需要ρθ的正h同质性和单调性以及（5.7）来证明无偏估计量的存在。此外，bnin（5.7）的值，以及由此产生的anin（5.5）的值，可以在不受影响的情况下进行数值计算。6.渐近无偏估计7.如果示例3.1、3.2、3.3、3.4和3.5中的风险估计是有偏的（参见表1），那么我们在下面研究的渐近估计中可能仍然具有很好的性质。定义6.1。一个风险估计序列^ρ=（^ρn）n∈n将被称为无偏见的n∈ N、如果ρ是无偏的。如果公正适用于所有人∈ N、我们称之为序列^ρ无偏。如果ρθ（X+ρρn）n，序列ρρ称为渐近无偏序列→∞---→ 0表示所有θ∈ Θ.在许多情况下，分布的估计量在^FX的情况下是一致的→ FX（θ）。实际上，Glivenko-Cantelli定理给出了概率为1的经验分布凸集上的一致收敛性。直观地说，如果基于g分布的风险度量允许某种连续性，那么我们可以预期插件估计器满足^ρnn→∞---→ ρθ（X）几乎可以确定每个θ∈ Θ.

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2022-5-11 00:35:53

因此，对于任何θ∈ 我们还可以得到ρθ（X+ρρn）n→∞---→ ρθ（X+ρθ（X））=0，风险的无偏估计，这正是渐近无偏性的定义。现在让我们给出两个例子，它们显示了经验风险值估计量（1.2）和预期短缺的plug inGaussian估计量的渐近无偏性。备注6.2。提出的渐近无偏性定义与inDavis（2016）提出的一致性概念相似。这种一致性的概念要求，当时间段趋于一致时，校准误差的平均值迅速收敛到0。因此，当用风险度量本身来度量校准误差时，渐近u偏风险估计量将是一致的。另一方面，应该注意的是，我们的主要目标是获得最佳的风险估计，而不求出低估或高估的平均值，因为它们对投资组合绩效有不对称影响。我们得到以下结果。回想一下，我们研究的是i.i.d.序列X，X，X。让α∈ （0，1）并考虑经验α-分位数的负^ρn（x，…，xn）=-x(nα+1），n∈ N、（6.1）我们称之为α级风险价值的经验估计值（也比较（1.2））。由^ρnw表示随机变量^ρn（X，…，Xn）。提议6.3。假设X在Pθ下对任何θ都是绝对连续的∈ Θ. （6.1）中给出的风险值的经验估计序列n是渐近无偏的。证据这个证明直接来自于经验量子的渐近性质。为了读者的方便，我们提供了大量的证据。在这方面，对于任何>0和dθ∈ Θ，乐坛，：=|ρn+F-1X（θ，α）|≥ , F在哪里-1X（θ，·）表示FX（θ，·）的倒数。

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2022-5-11 00:35:57

然后我们得到pθ[X+ρn<0]≥ Pθ[Acn，]FXθ、 F-1X（θ，α）- - Pθ[An，]，Pθ[X+^ρn<0]≤ Pθ[Acn，]FXθ、 F-1X（θ，α）++ Pθ[An，]。使用经验风险值估计器是一致的这一事实（Cont等人，2010年，示例2.10），即对于任何θ∈ 在Pθ下，我们得到ρnn→∞---→ -F-1X（θ，α）a.s.，我们得到Pθ[An，]n→∞---→ 0，对于任何>0和θ∈ Θ. 通常是外汇θ、 F-1X（θ，α）- ≤ 画→∞Pθ[X+ρn<0]≤ 外汇θ、 F-1X（θ，α）+,对于任何>0和dθ∈ Θ . 取极限，注意FX（θ，·）是连续的，我们得到pθ[X+^ρn<0]n→∞---→ 外汇θ、 F-1X（θ，α）= α、对于任何θ∈ Θ，根据（5.2）得出结论。同样，我们可以证明（1.2）中给出的估计量也是渐近无偏的。此外，稍微改变命题6的证明。3可以证明，在正态假设下，（1.4）中给出的风险值的经典插件高斯估计序列也是渐近无偏的。另见Remark5。3.以类似的方式，我们获得了（3.2）中引入的高斯插件预期短期估计的渐近无偏性：在这方面，对于任意（θ，θ）=θ，设X在Pθ下正态分布，平均θ和标准偏差θ∈ Θ=R×R>0。对于固定α∈ （0，1），设ρθ（X）=Eθ[-X | X≤ qX（θ，α）]，风险14的无偏估计表示α级的预期短缺。在（3.2）之后，设置^ρn（x，…，xn）=-\'x+\'σ（x）R（Φ），n∈ N、（6.2）其中Φ是高斯分布，R（Φ）是Φ下α级的预期短缺。假设X是正态分布的命题6.4，则估计量（6.2）对应于标准的MLE p插入估计量。假设X，X，X。是i.i.d.N（θ，θ）f还是任何θ∈ Θ. （6.2）中给出的预期短缺估计值序列是渐近无偏的。证据

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2022-5-11 00:36:00

首先，定理4.1 inKaina和R¨uschendorf（2009）表明，风险尾部值是连续的，这意味着对于几乎肯定收敛到Y的序列yn，所有yn都由作为Lp元素的随机变量控制，limn→∞ρ（Yn）=ρ（Y）。塞廷：=-“\'x+\'”σ（x）R（Φ），使Yn→ θ+θR（Φ）=:Y几乎肯定为n→ ∞. 但是，它直接跟随正态分布下的尾部风险值，用ρθ表示，ρθ(-θ+θR（Φ））=0，因此声明。7.评估偏差以及与监管回溯测试的关系风险管理中的一个重要概念是回溯测试。基本上，回溯测试程序以实证的方式评估模型对与欠平衡风险相关的量测数据的拟合度。在我们对偏差和监管回溯测试之间的关系进行简要评论之前（回溯测试框架的详细分析超出了本文的范围），我们介绍了一个简单的过程，可用于测量i.i.d.数据的估计偏差。假设我们有一个样本（xi）i=1，。。。，对于每个元素，我们得到了估计资本储备的值，用ρi表示。然后，样本（yi）由yi=xi+ρi，i=1，I（7.1）表示固定位置，表示X+^ρ。测量位置偏差的一个自然建议是将定义4.1中的ρθ替换为其经验对应物^ρemp。如果我足够大，经验估计器将产生可靠的结果。有鉴于此，测度^Z:=^ρemp（y，…，yI）（7.2）是评估风险估计器偏差的一个可能量。如果估计量是无偏的，则^Z将变为零。

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2022-5-11 00:36:04

对风险的低估反过来又反映在^Z的正值上，突出表明^Z的头寸需要额外的资本才能被接受。假设I=250且风险水平等于2%，则经验V@R0.02estimator（插入（7.2））只需计算样本（yi）第5个最差ou tcome的（负值）。另一种方法是，一个人可以计算出大于零的观测数量，并检查其大小是否可以接受（即接近5）。这将与标准超标率测试有关；参考例7。1.另一方面，经验ES0。02估计器将计算五个最坏情况观测值的平均值；在这里，我们还可以检查需要多少最坏情况下的观测才能使其均值为正。正如我们将在下面的例子中所说明的，至少对于风险价值而言，框架的监管回溯测试与无偏性之间存在紧密联系。对于日常时间序列分析，可以使用简单的滚动窗口程序获得^ρi的值，即假设我们在第一天之前也有观察到，对于任何给定的一天，我们使用过去n天来估计风险。风险的无偏估计15例7.1（风险回溯测试值）。标准（监管）回溯测试框架forV@R基于超标率程序；参见Giot and Laurent（2003）和（BCBS，1996）。更准确地说，我们将平均超标率与估计值进行比较V@R达到预期的超标率α。与无偏性的联系如下：在i.i.d.情况下，X+^ρ（X，…，Xn）的例外率收敛到安全位置为负的情况下的概率，给定pθ[X+^ρ（X，…，Xn）<0]，其中θ是未知的真参数。

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2022-5-11 00:36:07

另一方面，在Remark4中。3我们已经证明了，当且仅当等式（4.4）对任何θ为真时，该估计量^ρ是无偏的∈ Θ，即Pθ[X+ρn<0]=α。选择估值器时，应确保超标率接近α水平（通过回溯测试程序完成），从而确保估值程序是无偏的，至少在无症状意义上是无偏的，也可与备注4.4进行比较。备注7.2（关于风险估计的保守性）。监管机构V@R如果异常率高于预先规定的阈值，则回溯测试将麻醉程序归类为不合适；见（BCBS，1996年）。因此，这类测试关注的是模型的保守性，而不是模型的fit。在我们的上下文中，不要求（4.1）中的等式，而是对p性质ρθ（X+ρρn）感兴趣≤ 0表示所有θ∈ Θ.当然，除此之外，监管机构还对估算程序进行了全面分析，这两者都需要进行可接受的分析，并通过回溯测试。因此，从实际角度来看，通过回溯测试是一个重要特征。然而，仅基于可接受的超标率得出的关于估计器（整体）性能的结论必须谨慎；有关更多详细信息，请参阅以下部分。7.1. 一致的回溯测试和可引出性。这篇引人注目的文章（2011）评论了点预测的评估。他指出，回溯测试中的良好表现并不一定意味着给定的估计器是好的。示例7.3（完美的回溯测试性能）。下面是一个简单但说明性的例子，说明了作为估计器质量度量的超标率的缺点。考虑I=250以上，假设我们知道样本（xi）I=1，。。。，我很高兴并得到了支持[-1, 1].

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2022-5-11 00:36:11

然后，选择值1的245倍和值的5倍-当仅通过超标率进行测量时，1给出了完美的回溯测试性能。Neiting（2011）的第1.2节讨论了一个更详细的例子，该节强调了估计目标需要与绩效指标相关，这就引出了可引出性的概念。可诱导性本身的概念起源于Osban d和Reichelstein（1985），他们认为委托人与拥有未来收益优势信息的公司签订合同。合同涉及一个启发程序，在该程序中，公司报告的成本估算为veri fi edex post。该方法的目标是提供一种确保真实报告的方法，另请参见Davis（2016）的有趣讨论。对于正式定义，我们遵循Gneiting（2011），在第2节规定的法律不变风险度量设置中直接引入可引出性。回想一下，我们考虑了一系列分布FX（θ），θ∈ Θ并且一个不变律风险度量是一个函数R:D→ R∪{+∞}将累积d分布函数映射为实数（或+∞).这个例子是霍尔兹曼和欧勒特（2014）提出的。风险16A评分函数的无偏估计只是一个映射S：（R）∪ +∞)→ R≥0比较了两个风险度量值：S（x，y）度量从预测x到实现y的偏差；平方误差S（x，y）=（x- y）作为一个标准的例子。评分函数S被称为相对于类{FX（θ）：θ的一致性forR∈ Θ}，ifEθ[S（R（FX（θ）），Y]≤ Eθ[S（r，Y）]（7.3）对于所有θ∈ Θ和所有r∈ R∪+∞; 这里Eθ表示随机变量y具有分布FX（θ）的期望。如果评分函数是一致的，则称之为严格一致的，并且（7.3）中的质量意味着r=r（FX（θ））。

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