银行的XVA风险敞口与其交易对手的信用风险之间的不利依赖性，这可以通过违约对幸存者的过程产生的反馈影响来抵消。这种影响也可以在我们的变量Qiτi中得到体现（见Cr!epey and Song（2015））。9风险中性的XVA FBSDELet RC和TRC表示银行的假定、待确定的储备资本和目标储备资本流程。请注意，监管机构要求银行从CET1中扣除单边UCVA，而首次违约风险的公允估值由FTDCVA指标给出。这破坏了CET1作为权益资本公允估值的财务意义。在本文中，我们选择通过假设，在银行的默认时间τ，有效财富转移的金额τ=EτXτ<τiβ来恢复这一意义-1τβτi（1- Ri）（Qiτi- IMiτi）+，（25）发生在银行股东和债权人之间。为了强调EC在L中的依赖性，我们写EC=ECt（L）。我们在时间t为狄拉克度量写δt。从对冲责任的短视角度收集所有股东敏感现金流，我们得到：RC=TRC-y和t∈ （0，’τ），dRCt=-Xi6=0（1）- Ri）（Qiτi- IMiτi）+Δτi（dt）{z}交易对手违约损失-（rt+λt）Xi6=0JitPit- ECt（L）-cRCt+- rtXi6=0JitPit- ECt（L）-cRCt-dt |{z}投资组合的背对背对冲、投资组合本身的VM（这都包括在Pit中）以及EC和CRC资金袋的VM融资成本/收益（见第7节）- （rt+/λt）Xi6=0JitIMitdt |{z}IM资金成本+rtXi6=0Jit（Pit+IMit）dt |{z}OIS交换虚拟机并发布即时消息- rtECt（L）dt |{z}经济资本支付的利息（见第节最后一段）。

7） +ηtdMt |{z}交易对手风险对冲收益- UCVAτΔτ（dt）|{z}银行自身默认时间的UCVA转账=-Xi6=0（1）- Ri）（Qiτi- IMiτi）+Δτi（dt）- UCVAτΔτ（dt）-λtXi6=0JitPit- ECt（L）-cRCt++\'\'λtXi6=0JitIMit- rtcRCtdt+ηtdMt，（26），其中CRC是截至（20）的过程RC的TRC重置版本，对应于银行的已实现储备资本。考虑到获得TRC和RC之间差值L的局部鞅，RC的正向SDE（26）建议设置TRCT=EtXt<τi≤τ(1 - Ri）（Qiτi- IMiτi）+Et{t<τ<t}UCVAτ+ EtZ′τtλsXi6=0JisPis- ECs（L）-CRC++\'\'λsXi6=0JisIMis- RSCRCds，t∈ [0, τ ].（27）事实上，假设一对过程（RC，TRC）满足（26）和（27），那么我们有一个连续时间鞅L=TRC- RC，根据需要。这就引出了以下形式定义，称为风险中性局部鞅条件，以避免不必要的可积条件。定义9.1给定交易对手风险对冲η，让配对过程（RC，TRC）满足以下银行在[0，\'\'τ]：TRC\'\'τ=0和L=TRC上的风险中性XVA FBSDE- RC是时间0的风险中性局部鞅null，其中RC=TRC- y和t∈ （0，’τ），dRCt=-Xi6=0（1）- Ri）（Qiτi- IMiτi）+Δτi（dt）- UCVAτΔτ（dt）-λtXi6=0JitPit- ECt（L）-cRCt++\'\'λtXi6=0JitIMit- rtcRCtdt+ηtdMt，（28），其中crc是RC过程的TRC重置版本（参见（20））。然后，我们将TRC称为银行目标储备资本（或风险中性的XVA）过程，与缔约方风险对冲η相关，损失过程L.9.1损失实现计划的建模选择损失实现计划（tl）的影响在风险中性的XVA FBSDE（28）中相当温和，因为它只会改变CRC重置的频率。

根据莫迪利亚尼和米勒（1958）的定理，这与一个事实是一致的，即如果不是本文中考虑的市场缺陷，将不会对实现损失的时间表产生任何影响。特别是，在连续时间实现损失的极限情况下，CRC=TRC（参见（21）和引理7.1之后的注释），TRC方程（27）被改写为Astrt=EtXt<τi≤τ(1 - Ri）（Qiτi- IMiτi）+Et{t<τ<t}UCVAτ+ EtZ′τtλs（Xi6=0JisPis）- ECs（L）- TRCs）+λsXi6=0JisIMis- rsTRCsds，t∈ [0，\'τ]，（29）即TRCt=EtXt<τiβ-1tβτi（1- Ri）（Qiτi- IMiτi）+|{z}UCVAt+EtZ′τtβ-1tβs′λsXi6=0JisIMisds |{z}MVAt+EtZ′τtβ-1tβsλsXi6=0JisPis- ECs（L）- TRCs+ds |{z}FVAt，0≤ T≤ 与资产负债表方程（7）一致，同时对UCVA、FVA和MVA术语给出了更精确的含义。

注意，UCVA和MVA过程在（30）中是外源性的，因此（30）相当于定义TRC=UCVA+MVA+FVA，其中FVA通过HfVat=EtZ′τtβ隐式给出-1tβsλsXi6=0JisPis- ECs（L）- UCVAs- MVAs- FVAs+ds，0≤ T≤ τ.（31）相比之下，在损失最终实现的另一极端情况下，Lin（28）的鞅条件中隐含的TRC方程（27）被改写为（假设可积）TRCt=EtXt<τi≤τ(1 - Ri）（Qiτi- IMiτi）+Et{t<τ<t}UCVAτ+ EtZ′τtλsXi6=0JisPis- ECs（L）- 雷达散射截面++\'\'λsXi6=0JisIMis- rsRCsds，t∈ [0，\'-τ]（32）与资产负债表方程（7）的联系比与（30）的联系要差一点。因此，由于必须就（tl）进行建模选择，我们假设此后损失的连续时间实现，CRC=TRCin（28），或等效（假设可积），截至（30）的TRC和截至（31）的FVA。9.2入门价格与公平估值定义9.1的TRC仅对银行股东公平，且忽略资本成本。从资产负债表的角度来看，第。2、对银行整体（股东加债券持有人）及其交易对手公平的方法，即对称的XVA方法，计算对销负债：o银行的DVA，从交易对手的角度来看，与CVA相对应；oUCVA和FTDCVA之间的差异FDA（类似于《赫尔与怀特》（2012）中的DVA2），等同于OFVAMDA等于MVA。将所有抵销负债现金流添加到（26）中，并利用上述取消（参见第。

2） ，我们将得到（30）的以下替代方案（在连续时间实现损失的极限情况下（21））：TRCt=EtXt<τi≤τβ-1tβτi（1- Ri）（Qiτi- IMiτi）+|{z}FTDCVAt-Xt<τi≤τβ-1tβτi（1- Ri）（Qiτi- IMiτi）-| {z}FTDDVAt，0≤ T≤ τ.（33）这样一个对称的TRC为FTP提供了一个客观的参考指标，忽略了以UCVA+FVA+MVA+KVA（参见（30）和（8））给出的入门价XVA所占的市场效率。9.3关于初始保证金MVA强烈依赖于关于初始保证金资金的假设策略。例如，我们可以假设，初始保证金是通过只向IM贷款的专业贷款人提供的，而不是导致λ=λ的无担保融资计划，并且在银行违约的情况下，收回IM中未用于弥补损失的部分。专业贷款人对银行违约的风险敞口由（1）给出- R） Pi6=0Jiτ（齐τ）-∧ IMiτ, 其中R是银行回收率（通常取40%）。通过γ表示银行的风险中性违约强度过程，银行随后的即时IM融资费用为（为简单起见，假设G-可预测过程Qi）γt（1- R） Xi6=0Jit（Qit）-∧ 限制= λtXi6=0Jit（Qit）-∧ 限制.通过与（26）中针对即时初始保证金成本计算的一般形式“λtPi6=0JITIMITP”一致，这对应于“λt=Pi6=0Jit”（Qit）-∧ 限制Pi6=0JitIMitλt。这样的混合利差可以比无担保融资利差λ小得多。更详细的讨论见Albanese等人（2015年）。第四部分实施在本文的最后部分，我们通过蒙特卡罗模拟实现上述XVA方法，该模拟用于在连续时间实现损失（即cRC=TRC）的极限情况（30）下，迭代求解（RC，TRC）的风险中性XVA FBSDE（28）。

随后的损失过程L=TRC-然后将RC插入KVA计算的输入数据。本文通过两个案例研究得出结论。迭代算法。1交易对手风险复制B无延迟λ=0，FBSDE（28）因术语ECt（L）而变得非标准，这意味着过程L=TRC提前一年增量的条件法则- RC。作为寻找FBSDE解决方案的起点，我们为TRC流程定义了以下交易对手风险复制BSDE：真相与和解委员会？t=EtXt<τiβ-1tβτi（1- Ri）（Qiτi- IMiτi）+|{z}UCVAt+EtZ′τtβ-1tβs′λsXi6=0JisIMisds |{z}MVAt+EtZ′τtβ-1tβsλsXi6=0JisPis- 真相与和解委员会？s+ds |{z}FVA？t、 0≤ T≤ τ.（34）回想一下，Hdenotes在[0，\'τ]上表示·-可积过程的空间。定理10.1假设r和λ从下方有界，且r和λ（Pi6=0JiPi- 加州大学- MVA）在H中，那么交易对手风险复制BSDE（34）有唯一的解决方案TRC吗？在H.证明中。注意到（UCVA+MVA）过程是外源性的，BSDE（34）相当于FVA的以下BSDE？过程：β-tFVA？t=EtZ′τtβsλsXi6=0JisPis- UCVAs- MVAs- FVA？s+ds，0≤ T≤ 在定理的假设下，由引理5.1的证明中已经使用的单调生成器BSDE参数适定。如果ηdM与TRC的鞅部分匹配？对于某些对冲，η=η？，然后我们可以很容易地验证配对过程（RC，TRC）=（TRC？，TRC？）得出与η=η？相关的风险中性XVA FBSDE（28）的解？。由于产生的过程消失了，相应的EC和KVA过程也消失了，随后的FVA由FVA？给出？。10.2主要回路在实践中，交易对手风险对冲市场的深度远未达到η=η？L=0（不是说与之相反，即。

η = 0).因此，除非λ=0（这对于某些保险案例可能是现实的，但对于银行来说是罕见的），否则复制XVA TRC？在寻找FBSDE（28）的解决方案时，应仅将其视为以下迭代的起点（在连续时间损失实现的情况下）：RC（0）=TRC（0）- y=TRC？- yand，为了k≥ 1，RC（k）=TRC（k-1)- y和t∈ （0，’τ），dRC（k）t=rtTRC（k-1） tdt-Xi6=0（1）- Ri）（Qiτi- IMiτi）+Δτi（dt）- UCVAτΔτ（dt）- λtXi6=0JitPit- 发射型计算机断层扫描仪TRC（k）-1)- RC（k）-1)- TRC（k）-1） t+dt-\'\'λtXi6=0JitIMitdt+ηtdMt；TRC（k）t=EtXt<τi≤τβ-1tβτi（1- Ri）（Qiτi- IMiτi）+Etβ-1tβτ{t<τ<t}UCVAτ+ EtZ′τtβ-1tβsλsXi6=0JisPis- 发射型计算机断层扫描仪TRC（k）-1)- RC（k）- TRC（k）-1） s+ds+EtZ′τtβ-1tβs′λsXi6=0JisIMisds，t∈ [0, τ ].（36）然而，在数值上通过这个循环需要对经济资本过程EC（L）=max（ES（L），KVA（L））进行动态和迭代模拟，包括条件风险度量模拟和基于这些的KVA BSDE解决方案。为了便于处理，需要进行一些近似计算（尤其是在第11.2节所述的现实生活中的大型投资组合中）。实际上，我们建议在循环中只通过一次（36），使用TRC（1）作为风险中性的XVA和L？=真相与和解委员会？-RC（1）计算ES（L？）接下来的KVA（L？）通过KVA BSDE（13）。一个稍微简单的替代方案是使用基于C=ES（L？）的线性KVA公式（15），检查随后的KVA是否低于ES（L？）（见备注6.1）。

此外，我们使用确定性术语Structures？（t）≈ ESt（L？）（37）通过及时投射而不是针对Gt进行调节而获得。从理论角度来看，控制迭代（36）以确定其收敛到（28）是具有挑战性的，因为形式ECt（L）的条款以一种非常非线性的方式涉及L提前一年增量的条件定律。精确FBSDE（28）的适定性和迭代方案（36）的收敛性的数学研究，在这项工作中没有直接的用途，请参阅单独的BSDE论文。11案例研究作为案例研究，我们展示了外汇和固定收益投资组合的XVA计算。为此，我们使用Albanese、Bellaj、Gimonet和Pietronero（2011）的市场风险和组合信用风险模型，并根据相关市场数据进行校准。我们假设没有交易对手风险对冲（即η=0），也没有投资组合的保证金，即没有变动或初始保证金（但投资组合背对背对冲的完美变动保证金）。特别是，MVA值均等于零，因此未在下表中报告。所有的计算都使用一个用于蒙特卡罗模拟的4插槽服务器、用于代数计算的NVIDIA GPU和作为模拟软件的全局估值Esther来运行。我们使用嵌套模拟，在风险中性度量下生成主要场景和次要场景，并使用衍生市场数据的BrokerDataset对衍生数据进行校准。为了计算预期短缺，我们对通过调整风险中性模型的漂移以满足回溯测试基准而获得的二级情景使用历史度量。基于嵌套的模拟路径，我们首先求解过程TRC？的交易对手风险复制BSDE（34）？。

我们还获得了UCVA和初步FVA值，即FVA？=真相与和解委员会？- 加利福尼亚大学。然后，基于η=0in（36）的相关正向SDE对过程RC（1）进行模拟（注意，在k=1的情况下，EC项消失）。L的路径？=真相与和解委员会？- RC（1）用于推断术语结构ES？（t）≈ESt（L？）截至（37）。在计算KVA的线性公式（15）中（见第10.2节最后一段），假设跨栏率为10，该术语结构被插入为C。5%.然后将（36）中TRC（1）的反向SDE与上述近似值一起使用？对于EC术语，以获得固定的FVA值作为FVA≈ 真相与和解委员会（1）-UCVA。11.1玩具组合首先考虑表1所示的2016年1月11日10美元货币互换组合。每笔掉期的名义利率为10。掉期与四个交易对手进行交易，截至表2，其回收率和信用曲线（也是银行的）为40%。我们在未来30年内使用20000个主要场景，在54个潜在时间点上运行，1000个次要场景从每个时间点开始，总计20000×54×1000=10.8亿个场景。整个计算大约需要10分钟（包括资本的嵌套模拟）。相应的XVA结果如表3所示。由于投资组合没有抵押，其UCVA相当高。但其千伏安甚至更高。FVA要小得多，因为它被经济资本（以及在较小程度上被已实现储备资本）提供的抵押品口袋侵蚀。还显示了参考“公平”FTDCVA和FTDDVA指标，以供比较。

请注意，鉴于我们对预期短缺的确定性期限结构近似（37），基于它的kVA计算减少为确定性时间积分（这解释了为什么表3中没有相关的标准偏差误差）。表4显示了最后一次在投资组合中添加掉期5（分别为9）时的增量XVA结果。有趣的是，掉期9的所有增量XVA（以及掉期5的增量FVA）均为负值。因此，掉期9对投资组合而言是XVA有利的，这意味着价格制定者应该准备好以低于其按市值计价的价格进行掉期，前提是它已经在交易投资组合的其余部分。这一结果说明了捐赠在现代衍生投资组合管理中的重要性。类型ID到期收款人利率付款人利率净额设置1 10 Y Par 6M LIBOR 3M CSwap 2 10 Y LIBOR 3M Par 6M BSwap 3 5 Y Par 6M LIBOR 3M BSwap 4 5 Y LIBOR 3M Par 6M CSwap 5 30 Y Par 6M LIBOR 3M BSwap 6 30 Y LIBOR 3M Par 6M ASwap 7 2 Y LIBOR 3M Par 3M DSwap 8 Y LIBOR 3M Par DSwap 9 15 Y Par 6M LIBOR 3M ASwap 10 15 Y LIBOR 3M Par 6M 6M DTTABLE 1：美元货币掉期组合。6M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 7Y 10Y 15Y 20Y 30Y 50YA 9 11 18 25 33 41 55 65 68 70 70 B 12 15 25 37 49 62 79 91 97 98 C 44 59 102 146 191 235 276 295 301 302 304 304D 272 291 327 367 400 433 452 460 462 461银行18 24 40 77 96 120 134 142表2：交易对手和银行的信用曲线$价值标准。

错误FTDCVA372。22 0.46%FTDDVA335。94.0.51%UCVA471。23.0.46%FVA73。87.1.06%KVA668。83 N/A表3：玩具组合的XVA值。11.2大型投资组合现在考虑一个具有代表性的固定收益投资组合，约有2000个交易对手，10万个固定收益交易，包括掉期、掉期期权、外汇期权、流动性掉期和CDS交易。交换5FTDCVA98的增量美元价值。49FTDDVA122。91UCVA155。46FVA-85.28KVA127。54掉期的增量美元价值9FTDCVA-23.83FTDDVA-73.63UCVA-27.17FVA-8.81KVA-52.85表4：掉期最后加入投资组合时的增量XVA。左：交换5的影响。右图：互换9的影响。XVA$ValueUCVA242 MFVA？126 MFVA62 MKVA275 MTable 5：大型投资组合的XVA值。我们在未来50年内使用20000个主要场景，在100个基本时间点上运行，其中1000个次要场景从每个时间点开始，总计20亿个场景。在这种情况下，整个计算需要3个小时。表5显示了案例研究组合的XVA结果。KVA的总价值为2.75亿美元，这使其成为XVA中数量最多的一个，比UCVA（即使没有抵押）高出大约百分之五。图3中的左图显示了经济资本的期限结构，以及通过确定性期限结构近似ES？获得的KVA的期限结构？对于经济资本和KVA的线性公式（15）。请注意，以这种方式获得的KVA始终低于相应的预期短缺（参见标记6.1）。我们报告了两个FVA指标，以说明在考虑额外资金来源时，FVA是如何降低的。FVA是多少？仅对套期保值收到的变动保证金的再抵押进行会计处理，金额约为1.26亿美元。

然而，如果我们考虑经济资本和已实现储备资本带来的额外资金来源，我们得出的FVA值为6200万美元，不到仅重新抵押FVA的一半。EC、UCVA和FVA实现的资金需求减少也通过FVA混合曲线显示在图3的右面板中。这是FVA融资曲线，当应用于FVA计算时，忽略了经济和储备资本的影响，产生了与所进行计算相同的远期FVA期限结构，而计算中包括资本作为融资来源。这种混合曲线通常是通过基于Markit XVA服务的一致估计推断出来的。然而，在这里，它是根据全面的资本预测计算出来的。图3：（左）经济资本的期限结构计算为预期空头，与KVA的期限结构相比，资本回报分布的置信度为97.5%。（右）FVA混合曲线根据资本项目从头计算。进一步的讨论A。1 KVA不是CET1扣除额。正如格林、肯扬和丹尼斯（2014年）在一些理论精算文献中所讨论的（参见萨尔兹曼和W¨uthrich（2010年，第4.4节）），KVA被视为yetanother风险中性XVA，并附带一个额外的（dKVAt）-rtKVAtdt）项inRC方程，如（26）。术语（dKVAt）- rtKVAtdt）被视为XVA交易员向股东发放的额外现金流，特别是，就好像储备资本和留存收益只有一个账户。从资产负债表的角度来看。3（参见图1），这相当于将KVA视为CET1扣减，即将留存收益的理论目标值KVA（例如，我们KVA BSDE（13）的解决方案）视为（5）中的进一步抵销资产。

这导致从以下资产负债表等式（与（5）相比）中定义的权益：资产- （UCVA+FVA+MVA+KVA）|{z}对冲资产=负债+权益。然后，通过假设一笔新交易中的流动股权，可以获得FTP规则（8）的代称，这导致toFTP=（资产）- 负债=UCVA+FVA+MVA+千伏安。（38）这在形式上与（8）的FTP公式相同，但两个公式中的KVA和FVA分量不同。也就是说，在（8）中，TRC=UCVA+FVA+MVA在第一步是通过假设KVA账户的CET1净值来计算的（参见图1和（6））。然后通过使用随后的损耗过程L=TRC获得KVA- RC作为KVA BSDE（13）中的输入数据。相比之下，在（38）中，TRC和KVA之间的总和是通过假设公平性一次计算得出的，前提是KVA满足KVA BSDE（13），输入数据L=TRC- RC。这不仅在概念上是纵向的，而且在数值上是不可执行的，除非做出简化的近似，以将权益方程式从约束中分离出来，例如使用监管资本而不是经济资本（否则，资本计算时应模拟千伏安波动），并忽略千伏安是吸收损失的，并且在Greenet等人（2014年）中。A.2关于偿付能力会计条件如（18）后所述，我们的偿付能力会计条件类似于C≥ K（C）是指在需要的情况下，随时向新股东表达银行的转换（或可转让）财产。考虑损失实现计划（tl）和随后的储备资本短缺BL=TRC-cRC（见引理7.1和周围的注释），该条件的相关条件应为C≥ K（C）+bL。然而，在这种限定的约束条件下，对于可容许经济资本过程集C的相应修订形式（参见。

（18） ），第二部分中风险资本优化问题的数学解变得不那么清晰。但是，最后，我们在连续时间实现损失的建模假设下工作，在这种情况下，bl完全消失。在这种情况下，基本会计条件之间的差异≥ K（C）和重新定义的会计条件C≥ K（C）+bL是无关紧要的。参考Admati，A.，P.DeMarzo，M.Hellwig和P.P Fleiderer（2013）。杠杆棘轮效应。斯坦福大学岩石公司治理中心第146号工作文件；ssrn。2304969 .Albanese，C.和L.Andersen（2014年）。场外衍生品会计：资金调整和再抵押选择权。ssrn:2482955。Albanese，C.，L.Andersen和S.Ibaichino（2015年）。FVA：会计和风险管理。《风险》杂志，2月。Albanese，C.，T.Bellaj，G.Gimonet和G.Pietronero（2011）。针对交易对手信用风险的一致性全球市场模拟和证券化措施。定量金融11（1），1-20。阿尔巴尼斯，C.，S.卡纳佐和S.克雷佩（2015年）。资本和资金。风险杂志。即将出版（预印本可通过ssrn.2247493获得）。安徒生，L.，D.杜菲和Y.宋（2016）。资金价值调整。工作纸。Armenti，Y.和S.Cr\'epey（2015年）。中央结算估值调整。arXiv:1506.08595。阿罗、K.J.和G.德布鲁（1954年）。竞争性经济中均衡的存在。《计量经济学》22（3），265-290。Artzner，P.，F.Delbean，J.Eber和D.Heath（1999年）。一致的风险度量。数学金融，203–228。BCBS（2013年10月）。咨询文件：TradingBook的基本回顾：修订后的市场风险框架。巴塞尔银行监管委员会。Bielecki，T.和M.Rutkowski（2002年）。信用风险：建模、估值和对冲。柏林斯普林格金融公司。Bielecki，T.R.和M.Rutkowski（2015）。

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