因此，哈密顿量Hπ的海森矩阵，θ*,π中的π（t，v）由hπ（t，v）=G（t）`（t，v）G>（t）、（t，v）给出∈ [0，T]×（0+∞), （74）如果- m） ×（m）- m） -量纲矩阵G（t）由（38）给出- m） ×（m）- m） 量纲矩阵`（t，v）：=`jm+1（t，v）0。00`jm+2（t，v）。0............0 0 . . . `jM（t，v）（M）-m） ×（m）-m） 。（75）使用（74），对于由M组成的每个非零行向量x- 在实分量中，我们得到了xhπ（t，v）x>=xG（t）`（t，v）G>（t）x>=Xj/∈{j，…，jm}`j（t，v）Xk/∈{j，…，jm}xkGk，j（t）< 0，（76）自\'j（t，v）<0表示所有j/∈ {j，…，jm}。这表明，对于固定（t，v）∈ [0，T]×（0，∞), 对于满足π（35）的所有反馈函数，HessianHπ（t，v）为负定义。因此，π*= (π*j） j/∈从一阶条件（37）得到的{j，…，jm}是最佳值，π的值为Hπ，θ*,π（t，v）达到最大值，即Hπ，θ*,π（t，v）≤ Hπ*,θ*,π*（t，v），对于所有π∈ U.（77）由不等式（72）得出，取π=π*其中，我们得到了Hπ*,θ*,π*（t，v）≤ Hπ*,θ（t，v）为所有人θ∈V.进一步，利用不等式（77），我们得到Hπ，θ*,π（t，v）≤ Hπ*,θ*,π*（t，v）≤ Hπ*,θ（t，v）表示所有（π，θ）∈ 这意味着π*是最优反馈函数，θ*,π*最坏的情况是与π相关的吗*.回想一下符号θ*:= θ*,π*在第5节开头介绍。为了你∈ [t，t]，定义过程Y＠π*u:=u（V∧π）*u） B*Z（u）（u），其中∧π*= (~π*i） i=1，。。。，Mwith∧π*i（u）=π*i、 Z（u）-)（u） ，u∈ [t，t]和V∏*这是一个满足动力学的最优控制财富过程（26）。应用^o公式∈ [t，t]我们得到∧π*u=Y∏*t+ZutRπ*Z（s）（s，Vπ）*s） ds+Mπ*U- M~π*t、 （78）其中，对于（u，v）∈ [t，t]×R+，R＠π*z（s，v）：=U（v）B*z（s）+Lπ*,θ*（U（v）B*z（s））。

算子Lπ*,θ*:=Lπ*c+Lπ*,θ*J、 其中Lπ*坎德尔π*,θ*Jare定义为（29），其中（π，θ）被最佳（π）取代*, θ*).此外，P-（局部）鞅M~π*u、 u∈ [t，t]由m∧π给出*u:=MXj=1ZuU（V)π*s-)血红蛋白*Zj（s）-)（s）1 + Γπ*j、 Z（s）-)（s）γ- B*Z（s）-)（s） idξPj（s）。（79）注意*z（t）满意度（52）。ThenRπ*z（s，v）=-U（v）MXj=1（1）- （zj）θ*j、 z（s）log（θ*j、 z（s））- θ*j、 z（s）+1hPj，z（s）uj，z（s），我们在这里设置θ*j、 z（s）：=θ*,π*j、 z（s），由（33）给出，其中（π，Bzj（t），Bz（t））替换为（π）*, B*zj（t），B*z（t））。重新命名前面介绍的符号EPt[·]：=EP[·| Gt]。ThenEPtYπ*u+MXj=1ZutUVπ*s(1 - Zj（s））θ*j、 Z（s）（s）log（θ*j、 Z（s）（s））- θ*j、 Z（s）（s）+1hPj，Z（s）（s）uj，Z（s）（s）ds= UVπ*TB*Z（t）（t）+EPthMπ*U- M~π*ti。下一步我们看u=T∧ τa，b，其中τa，b:=inf{s≥ TVπ*s≥ B-1，或Vπ*s≤ a} ，带0<a<Vπ*t=v<b-1< +∞. 注意，对于每个z∈ S、 都是B*z（s）和Γπ*i、 z（s），我∈ {1，…，M}在闭时间区间[0，T]上有界。然后，对于0<a<b-1< +∞, 它认为EPtM~π*T∧τa，b- M~π*T= 0.因此，我们得到∧PthY∧π*T∧τa，bi=UVπ*TB*Z（t）（t）（80）-MXj=1EPt“ZT∧τa，btUVπ*s(1 - Zj（s））θ*j、 Z（s）（s）log（θ*j、 Z（s）（s））- θ*j、 Z（s）（s）+1hPj，Z（s）（s）uj，Z（s）（s）ds#。接下来，我们要证明利马，b-→0EPtYπ*T∧τa，b= EPtYπ*T. （81）让CT>0是一个通用的正常数，取决于T，对于下面的每个不等式，这可能是不同的。因为每个z∈ S、 B*z（t）在t上有界∈ [0，T]和γ∈ （0，1），通过使用H¨older不等式，它遵循了E¨PthY¨π*T∧τa，bi=γE~PthVπ*T∧τa，bγB*Z（T）∧τa，b）（T）∧ τa，b）i≤ CTEPtVπ*T∧τa，b.此外，根据Chow和Teicher（1978）的推论7.1.5，为了证明（81），必须证明存在一个常数CT>0，因此∈[t，t]Vπ*U- Vπ*T#≤ 计算机断层扫描1 +Vπ*T. （82）为了确定估计值（82），我们首先回顾财富过程Vπ的动力学*乌吉文比（26）。

把它写在P下，我们得到dVπ*u=V)π*u$Z（u）（u）du+V∧π*U-PMj=1Γπ*j、 Z（u）-)（u） dξPj（u），其中，forj∈ {1，…，M}，z∈ S、 你呢∈ [t，t]，$z（u）：=r+PMj=1（1）- zj）Γπ*j、 z（u）θ*j、 z（u）-hj，z（u）hPj，z（u）hj，z（u）。使用（33）和命题4.2，可以得出：， Z∈ S、 麦克斯监督∈[0，T]|$z（T）|，支持∈[0，T]MXj=1Γπ*j、 z（t）< +∞. （83）利用H¨older不等式，我们可以用（83）来表示u∈ [t，t]，E)Pt“supu∈[t，t]ZutVπ*新加坡元Z（s）（s）ds#≤ （T）- t） EPt“ZTtVπ*s$Z（s）（s）ds#≤ 2（T）- t） EPt“ZTtVπ*s- Vπ*T+Vπ*T$Z（s）（s）ds#≤ CT（EPt“ZTtVπ*s- Vπ*Tds#+Vπ*T).自从t-→ hPj，z（t）是连续的，它在t上有界∈ [0，T]。来自Burkh–older Davis Gundy不等式（seeProtter（2004），定理IV.48，第页。193），它紧随其后苏普∈[t，t]MXj=1ZutV*π*s-Γπ*j、 Z（s）-)（s） dξ＠Pj（s）≤ 热膨胀系数MXj=1ZTtVπ*s-Γπ*j、 Z（s）-)（s）dZj（s）= CTMXj=1EPt“ZTtVπ*sΓπ*j、 Z（s）（s）θ*j、 Z（s）（s）hPj，Z（s）（s）ds#≤ CT（EPt“ZTtVπ*s- Vπ*Tds#+Vπ*T).然后根据Grownwall引理得出矩估计（82）。这显示了极限等式（81）。类似地，对于每个z，使用（33）∈ S和j∈ {1，…，M}，它认为∈[t，t]θ*j、 z（u）log（θ*j、 z（u））- θ*j、 z（u）+1hPj，z（u）uj，z（u）< +∞.我们也为所有的j∈ {1, . . .

，M}，利马，b-→0EPt“ZT∧τa，btUVπ*s(1 - Zj（s））θ*j、 Z（s）（s）log（θ*j、 Z（s）（s））- θ*j、 Z（s）（s）+1hPj，Z（s）（s）uj，Z（s）（s）ds#=EPt“ZTtUVπ*s(1 - Zj（s））θ*j、 Z（s）（s）log（θ*j、 Z（s）（s））- θ*j、 Z（s）（s）+1hPj，Z（s）（s）uj，Z（s）（s）ds#。然后，通过（80）并使用关系式（16），以及终端条件B*z（T）=1代表所有z∈ S、 韦奥布丹Yπ*T+MXj=1ZTt（1- Zj（s））θ*j、 Z（s）（s）log（θ*j、 Z（s）（s））- θ*j、 Z（s）（s）+1hPj，Z（s）（s）Υj，Z（s）（s，Vπ）*s） ds= EPtUVπ*T+MXj=1ZTt（1- Zj（s））θ*j、 Z（s）（s）log（θ*j、 Z（s）（s））- θ*j、 Z（s）（s）+1hPj，Z（s）（s）Υj，Z（s）（s，Vπ）*s） ds= UVπ*TB*Z（t）（t）。这表明，由（15）定义并与稳健优化标准相关联的值函数决定了分解wz（t，v）=U（v）B*z（t）。这就完成了验证定理的证明。7数值分析我们进行数值研究，以评估鲁棒性对反馈和价值函数的影响。我们开发了一个高效的实现来解决HJB方程组的耦合系统，并恢复最优控制。本研究仅用于说明目的。特别是，为了举例说明模型的典型定性行为，以特殊方式选择参数值。我们考虑两个义务人，即集合M=2，j=1和j=2。我们在第7.1节中描述了用于恢复值函数和最佳反馈函数的定点程序。我们在第7.2.7.1节定点算法中提供了一个比较静力学。我们通过首先计算公式（60）中系数（59）的定点解（Cj，B），j=1，2来求解耦合值函数和最佳反馈函数。解B（t）解出固定点方程B（t）=g（t，B（t）），其中g（t，B（t））：=B（t）+B（t）1 + γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；B（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t），m∈ {0，1，2}，（84），并由定理5.2保证。

然后，我们将此解决方案插入系统（49），并恢复最佳反馈函数。具体地说，我们按如下方式向后进行：（I）z=（1,0）。由于名称j=1已默认，等式（60）变成0=B（t）+B（t）γr+h2,10（t）- C2,10t、 u2,10（t）B（t）；B（t）+终端条件B（t）=1的hP2,10（t）u2,10（t）（85）。此外，在这种默认状态下，函数C2,10由等式（59）获得，并由C2,10（t，y；x）：=γh2,10（t）“y”给出-1yu2,10（t）h2,10（t）yhP2,10（t）Ju2,10（t）；十、!#γ-1+h2,10（t）y“y-1yu2,10（t）h2,10（t）yhP2,10（t）Ju2,10（t）；十、!#-1.（86）我们使用以下程序来求解由上述方程（85）和（86）给出的耦合系统。假设我们在程序的第n个迭代步骤。让C（n）-1)2,10:=C（n）-1） 2,10（t）；T∈ [0，T]andB（n）-1):=B（n）-1） （t）；T∈ [0，T]分别是（n）- 1） -函数C2,10和（n）中所覆盖函数的四阶近似-1） -第次迭代。使用C（n）-1） 2,10，我们求解非线性方程（85）。相应的解产生了B的n阶近似，我们用B（n）表示。然后，对于每个t∈ [0，T]，我们使用B（n）（T）来计算C（n）2,10=C2,10（T，u2,10（T）B（T）；B（n）（t））。我们继续迭代，直到达到收敛。让B*（t） 当程序开始运行时，将成为函数。我们使用公式（49）计算投资于风险债券“2”的最佳财富比例。在这种特殊情况下，它减少到π*2,10（t）=G-12,2,10（t）^Y（t），其中G2,2,10（t）=RF2,10（t）- 1和^Y（t）：=Y-1u2,10（t）B（t）h2,10（t）B*（t） hP2,10（t）B（t）e-u2,10（t）B*（t）γ-1.- 1.我们记得B（t）是由等式（53）明确给出的。（二） z=（0,1）。这种情况与默认状态z=（1，0）的情况完全对称。因此，我们省略了描述。（三） z=（0,0）。在这种情况下，两个名字都是活的。然后Eq。

（60）变成0=B（t）+B（t）γr+h1,00（t）+h2,00（t）- C1,00t、 u1,00（t）B（t）；B（t）-C2,00t、 u2,00（t）B（t）；B（t）+hP1,00（t）u1,00（t）+hP2,00（t）u2,00（t），（87），终端条件B（t）=1。此外，函数C1,00和C2,00从等式（59）中获得，并由ci，00（t，y；x）：=γhi，00（t）“y”给出-1yui，00（t）hi，00（t）yhPi，00（t）Jμi，00（t）；十、!#γ-1+你好，00（t）y“y”-1yui，00（t）hi，00（t）yhPi，00（t）Jμi，00（t）；十、!#-1，i=1，2。（88）使用（I）中描述的相同定点程序，我们依次定义B（n）和对（C（n）1,00，C（n）2,00）的n阶近似，直到达到收敛，我们估计B。用B表示相应的估计*. 然后我们用它来计算最优反馈函数。利用式（49），我们得到了最优反馈控制函数，给出了投资于风险债券的财富比例，由π给出*（t）=G-1（t）>^Y（t），t∈ [0，T]，其中^Y（T）=hY-1u1,00（t）B*（t）h1,00（t）B*（t） hP1,00（t）B*（t） e-u1,00（t）B*（t）我-1.- 1hY公司-1u2,00（t）B*（t）h2,00（t）B*（t） hP2,00（t）B*（t） e-u2,00（t）B*（t）我-1.- 1., G（t）=G1,1,00（t）G1,2,00（t）G2,1,00（t）G2,2,00（t）.该矩阵的分量由，t表示∈ [0，T]，G1,1,00（T）=RF1,00（T）- 1，G1,2,00（t）=F1,01（t）F1,00（t）- 1，G2,1,00（t）=F2,10（t）F2,00（t）- 1，G2,2,00（t）=RF2,00（t）- 1.7.2比较静态分析在整个分析过程中，只要以下参数保持不变，除非另有规定，我们使用以下基准值。我们考虑两种风险债券的相同合同参数。它们的损失率为L=L=0.3，票面利率为ν=ν=0.6。我们将投资期限设为1，两种债券的到期日设为3。我们选择r=0.05，γ=0.5。参考默认强度设置为hP1,00=0.5、hP2,00=0.5、hP1,01=hP2,10=1。惩罚参数设置为u1,00=u2,00=u1,01=u2,10=0.5。

风险中性违约强度设置为h1,00=h2,00=1和h1,01=h2,10=2。我们将投资时间设置为t=0。请注意，在验证定理中，我们已经证明了（I）最优财富分数的向量π*, 独立于财富变量v和（II）稳健值函数wz（t，v）=vγB*z（t）。根据分解结果，在下一节中，我们将绘制时间分量B*假设附加的termvγγ在灵敏度分析中没有任何信息作用，则robustvalue函数的z（t）。此外，我们不会在图中具体说明财富水平v，因为分数策略与之无关。7.2.1信贷风险的影响图1显示，如果在其他条件相同的情况下，参考违约强度增加，投资者会增加其债券头寸。当这种情况发生时，债券收益率会增加，因为投资者因承担违约风险而获得了补偿。顶部面板显示，投资者面临着一种权衡，即接受违约风险赔偿和承担债券违约后果：当债务人“1”的参考违约强度低于名称“2”时，投资者将更高比例的财富分配给债券1。

然而，由于这超过了债务人“2”的参考违约强度的值，他的风险规避占据主导地位，并导致投资者更多地投资于更安全的债券“2”，并减少分配给风险更高的债券“1”的份额。图1的底部面板表明，投资者通过增加其债券头寸的规模来实现更高的效用，以应对参考违约强度的增加。0.1 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.3 0 0 0.0 0 0.0 0.7 0.0 0.0.0.0.0.0 0 0.3 0.3 0.0.0.0.0 0.0 0.0 0 0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0 0 0 0.0.0.0.0.0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0 0.0.0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 8.0.9 11.11.121.141.161.181.21.221.241.261.281.3h2,00PB00 t=0.000t=0.240图1：顶部面板报告最佳反馈函数对默认强度HP1,00和hP2,00的依赖性。底部面板对robustvalue函数的时间分量Bo具有相同的依赖性。我们设定风险中性违约强度h1,00=2hP1,00和h2,00=2hP2,00.7.2.2稳健的影响本节分析了反馈函数和价值函数对稳健参数的敏感性。我们发现，稳健降低了对高风险债券的需求。如果投资者对参考模型更有信心，他会将更高比例的财富分配给风险债券。随着名称“1”的参考违约强度的惩罚降低（大数值为u1,00），投资者减少分配给债券“1”的财富比例，并将节省下来的收益投资于债券“2”（见图2左上角）。这可以与最坏情况下的违约强度图一起理解。

当投资者对参考模型的偏差更宽容时，其最坏情况下的违约强度更高（参见图2的底部面板）。然后，厌恶风险的投资者会减少其长期债券头寸的规模，因为他认为最坏的情况是，违约更可能发生，而这正是他的参考模型所估计的。当状态为（0,1）时，提高对参考违约强度hP1,01的错检容忍度对债券“1”的投资策略影响最大。然而，当两个名字都活着时，这也会影响投资者在该州（0，0）的策略，促使他减少在债券“1”中的多头头寸，并增加在债券2中的相应头寸（另见图2右面板）。0 2 4 6 8 10-0.200.20.40.60.811.21.41.61.8μ1,00π*π*1,00π*2000 2 4 6 8 1000.511.522.53μ1,01π*π*1,00π*2,00π*1010 2 4 8 100.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95μ1,00默认强度h1,00P02 4 4 6 1011.11.21.21.31.41.51.61.71.81.92μ1,01默认强度：Igure反馈面板顶部参数的依赖性u1,01. 底部面板给出了最坏情况下违约强度对惩罚参数的依赖性。对债务人“1”的参考违约强度的误判罚款的变化会导致投资者调整其在债券1中的投资策略，但仅对其在债券“2”中的投资策略产生轻微影响（参见图3左面板）。此外，在未来违约状态（即债务人“2”违约时的状态）下，投资者对违约风险误判罚款的敏感度低于当前状态下信用风险误判罚款的敏感度，即。

两个债务人都活着时的状态（参见图3的右面板）。这是因为名称“2”hP2,00的违约风险相对较低。因此，投资者发现自己处于违约强度为hP1,01的状态的概率并不太高。我们预计，如果当前状态下的信用风险更高，该策略将对未来违约状态下违约强度的错误设定进行惩罚。图4显示，模型不确定性降低了投资者可实现的效用。这一发现与Glasserman和Xu（2013）的结论一致，他们还发现稳健值函数由非稳健值函数（在我们的案例中对应于参数设置u1,00=0和u2,00=0）限定，见其中第5.1节。连同图2，这表明，通过将财富的一小部分分配给风险债券，稳健的投资者会损失效用。如果他对违约强度的参考模型非常有信心，他本可以从风险债券的更大头寸中获得更高的回报。正如预期的那样，当规划期限更高时，投资者会获得更高的效用，因为他有更多的投资机会可供选择。请注意，预期效用对可靠性参数u1,00和u2,00的依赖性是相同的。考虑到这两个名字的默认特征以及他们承销的债券的合同参数在我们的数字设置中是相同的，这是意料之中的。02468100510-0.500.511.522.5μ2,00μ1,00π*1,0002468100510-0.500.511.52μ1,01μ1,00π*1,00图3：左面板报告最佳反馈函数对惩罚参数（u1,00，u2,00）的依赖性。

右面板给出了同一反馈函数对惩罚参数（u1,00，u1,01）的联合依赖性。0 2 4 6 8 101.141.161.181.21.221.241.26μ1,00B00 t=0.000t=0.2400 2 4 6 8 101.141.161.181.21.221.241.26μ2,00B00 t=0.000t=0.240图4：左面板报告稳健值函数的时间分量对惩罚参数u1,00的依赖性。右面板报告了对惩罚参数u2,00.8的依赖性结论众所周知，违约风险的历史估计具有挑战性，并且往往容易被估计者发现。这是因为由于默认事件的罕见性，可用数据集受到限制。然而，目前关于最优信贷组合的文献都假设参考信贷模型是确定的。由于最优策略主要取决于风险中性和历史违约强度的比率（所谓的违约风险溢价）以及传染效应，因此在设计最优决策规则时，考虑信贷模型的形式特征非常重要。本文引入了一个新的动态框架，投资者可以选择最佳的投资策略，同时保护自己免受参考信用模型的误判。我们得到了风险债券中产生策略的最优反馈函数的显式特征。

后者被证明与鲁棒控制问题的值函数相耦合，我们已经证明它与相应HJB方程的唯一经典解相一致。引入的框架足够丰富，可以容纳违约风险的几个特征，但同时也很容易处理，因为最优反馈函数和价值函数都可以分别作为矩阵向量积和普通微分方程的解来恢复。第3节的证明我们给出了以下证明：我们首先有以下关于风险中性概率测度唯一性的引理。引理A.1。让矩阵Φz（t）=[（1- zj）Gi，j，z（t）]i，j=1，。。。，Mwith（t，z）∈ [0，T]×S.那么以下是等价的：（I）方阵ΦZ（T）（T）是可逆的a.S。；（二） 风险中性违约强度（hj，Z（t）（t））j=1，。。。，独一无二。证据让^Q~ P是一个风险中性概率测度，其相应的风险中性违约强度（^hi，Z（t）（t））i=1，。。。，Mwith t∈ [0，T]。然后在^Q下，^ξj（t）：=Zj（t）-Rt∧τj^hj，Z（u）（u）du是eachj=1，M.使用（20），在^Q下，我们得到Pi（t）+Di（t）π（t）-)= rdt+MXj=1Gi，j，Z（t）（t）（1）- Zj（t））^hj，Z（t）（t）- hj，Z（t）（t）dt+MXj=1Gi，j，Z（t-)（t） d^ξj（t）。因此，当且仅当ifPMj=1Gi，j，Z（t）（t）（1）时，折扣价格是（局部）^Q-鞅- Zj（t））^hj，Z（t）（t）-hj，Z（t）（t）= 0，a.s.对于所有i=1，M线性方程组允许唯一解^hj，Z（t）（t）-hj，Z（t）（t）=0，j=1，M当且仅当矩阵ΦZ（t）（t）具有满秩a.s。。接下来我们给出了第i个风险债券价格过程的风险中性动力学引理，这是证明引理3.1的一个关键结果。引理A.2。

第i个风险债券价格过程的风险中性动力学由DPI（t）给出=rPi（t）- (1 - Zi（t））Ci+Rihi，Z（t）（t）dt- π（t）-)dξi（t）+Pi（t）-)Xj6=iGi，j，Z（t-)（t） dξj（t），t∈ [0，T]，（89）其中，对于i，j=1，M、 函数Gi，j，z（t），（t，z）∈ [0，T]×S由（21）给出。为了证明引理A.2，我们需要以下辅助引理：引理A.3。违约前价格Fi，Z（t）（t），t∈ 第i个风险债券的[0，Ti]允许分解：Fi，Z（t）（t）=Fi，Z（0）（0）+MXj=1ZtFi，Zj（u）-)（u）- Fi，Z（u）-)（u）dξj（u）（90）+Zthr（1- Zi（u））Fi，Z（u）（u）+rZi（u）CiFbi，Z（u）（u）+Fci，Z（u）（u）- Ci（1）- Zi（u））idu，其中Fbi、z（t）和Fci、z（t）在公式（20）中定义。证据定义操作员Agz（t）=PMj=1（1- zj）hj，z（t）[gzj（t）- gz（t）]作用于任意可测函数gz（·）和z∈ 利用Feynman-Kac公式，我们得到了Fai，z（t），Fbi，z（t）和Fci，z（t）满足t+AFai，z（t）=r（1）- Fai，z（t），Fai，z（Ti）=zi，t+A联邦调查局，z（t）+（1）- zi=rFbi，z（t），Fbi，z（Ti）=0，（91）t+AFci，z（t）=rFci，z（t），Fci，z（Ti）=1- 子。然后，第i个违约前价格函数Fi，z（t）由（18）个满意度给出t+AFi，z（t）=Rit+AFai，z（t）+Cit+A联邦调查局，z（t）+t+AFci，z（t）=rRi（1）- Fai，z（t）+fbi，z（t）- Ci（1）- zi）+rFci，z（t）=r（1）- zi）Fi，z（t）+rziciffi，z（t）+Fci，z（t）- Ci（1）- )。（92）使用It^o公式，我们得到了Fi，Z（t）（t）=Fi，Z（0）（0）+Ztu+AFi，Z（u）（u）du+NXj=1ZtFi，Zj（u）-)（u）- Fi，Z（u）-)（u）dξj（u）=Fi，Z（0）（0）+MXj=1ZtFi，Zj（u）-)（u）- Fi，Z（u）-)（u）dξj（u）+Zthr（1）- Zi（u））Fi，Z（u）（u）+rZi（u）CiFbi，Z（u）（u）+Fci，Z（u）（u）- Ci（1）- Zi（u））iduwhich对应于（90）中的等式。引理A.2的证明。

使用（17）和It^o的公式，可以得出dpi（t）=（1- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）- Fi，Z（t）-)（t） 天子（t）+(1 - Zi（t））Fi，Z（t）（t）=（1）- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）- Fi，Z（t）-)（t） 天子（t）- Fi，Z（t）（t）dZi（t）=（1）- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）- Fi，Z（t-)（t） 天子（t）-Fi，Zi（t-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dZi（t），（93）在这里我们使用了等式Fi，Z（t）（t）dZi（t）=Fi，Zi（t-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dZi（t），这是因为我们的违约模型排除了同时违约的发生。使用引理A.3中的等式（90），我们得到（1- 子（t）-))dFi，Z（t）（t）=（1）- Zi（t））hr（1- Zi（t））Fi，Z（t）（t）+rZi（t）ciffi，Z（t）（t）+Fci，Z（t）（t）- Ci（1）- Zi（t））i+（1- 子（t）-))MXj=1Fi，Zj（t）-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dξj（t）=r（1）- Zi（t））Fi，Z（t）（t）- Ci（1）- Zi（t））+（1- 子（t）-))MXj=1Fi，Zj（t）-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dξj（t）。由（93）可知，dpi（t）=（1- Zi（t））rFi，Z（t）（t）- 词dt- Fi，Z（t）-)（t） 天子（t）（94）+（1）- 子（t）-))MXj=1Fi，Zj（t）-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）dξj（t）-Fi，Zi（t-)（t）- Fi，Z（t）-)（t）天珠（t）。从下面的命题B.1-（I）中，我们知道Fi，zi（t）=riforall（t，z）∈ [0，Ti]×S。使用这个，以及Pi（t）=（1）的事实- Zi（t））Fi，Z（t）（t）和ξj（t）=Zj（t）-Rt（1- Zj（s））hj，Z（s）（s）ds，我们得到了预期的结果。B价格函数的显式递归表示调用（1）中zj的定义，我们将写出zj=0j，。。。，jm，jif z=0j，。。。，jm和j/∈ {j，…，jm}。然后是B.1提案。让i=1，M那么Fi，z（Ti）=Rizi+1- 齐兹∈ S、 和（t，z）∈ [0，Ti）×S，它认为（I）如果m=m，或者存在一个整数l=1，…，m，那么对于m=1，…，m，jl=I- 1，thenFi，j，。。。，jm（t）：=Fi，0j，。。。，jm（t）=Ri。（二） 如果m=m- 1，那么对于i=jM，Fi，j，。。。，吉咪-1（t）=exp(-中兴通讯嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds）（95）+ZTitCi+Rihi，j，。。。，吉咪-1（u）经验-祖特嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds杜。（三） 如果我/∈ m=0，1，{j，…，jm}。

M- 2，thenFi，j，。。。，jm（t）=exp-中兴通讯r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds+中兴通讯Ci+Rihi，j，。。。，jm（美国）经验-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)dsdu（96）+ZTitXj/∈{j，…，jm，i}hj，j，。。。，jm（u）Fi，j，。。。，jm，j（u）exp-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds杜。证据使用（92），Fi，z（t），（t，z）∈ [0，Ti）×S，tt+AFi，z（t）=r（1）- zi）Fi，z（t）+rziciffi，z（t）+Fci，z（t）- Ci（1）- zi），（97）和Fi，z（Ti）=Rizi+1- 齐兹∈ 因此，等式（97）可以改写为tFi，z（t）=r（1）- zi）Fi，z（t）+rziciffi，z（t）+Fci，z（t）- Ci（1）- (子)-MXj=1Fi，zj（t）- Fi，z（t）(1 - zj）hj，z（t）、（98）和Fi，z（Ti）=Rizi+1- 齐兹∈ 结论（I）可以直接从违约前功能的定义（18）中得出。接下来，我们考虑（II）。在本例中，唯一的jM名称是活动的。就（98）而言，我们有这一点/∈ {j，…，jM-1} （因此zi=zjM=0），Fi，j，。。。，吉咪-1（t）：=Fi，0j，。。。，吉咪-1（t），t∈ [0，Ti），满意度tFi，j，。。。，吉咪-1（t）=rFi，j，。。。，吉咪-1（t）- 词-Fi，1（t）- 菲，j，。。。，吉咪-1（t）嗨，j，。。。，吉咪-1（t）=嗨，j，。。。，吉咪-1（t）菲，j，。。。，吉咪-1（t）-Ci+Rihi，j，。。。，吉咪-1（t）, （99）和Fi，j，。。。，吉咪-1（Ti）=1。这里我们使用了（I），即Fi，1（t）=riforall t∈ [0，Ti]。然后是toEq的解决方案。（98）承认（95）为i=jM。最后，我们考虑（III）的证明。在这种情况下，所有的j/∈ {j，…，jm}名称是活动的，即所有j的zj=0/∈ {j，…，jm}。我们假设对于所有的j/∈ {j，…，jm}，Fi，j，。。。，jm，j（t）满足公式（98），在默认状态z=0j，。。。，jm，j.从公式（98）中得出，i/∈ {j，…，jm}，Fi，j，。。。，jm（t）：=Fi，0j，。。。，jm（t），t∈ [0，Ti），满意度tFi，j，。。。，jm（t）=r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，jm（t）菲，j，。。。，jm（t）-Ci+Rihi，j，。。。，jm（t）-Xj/∈{j，…，jm，i}hj，j，。。。，jm（t）Fi，j，。。。，jm，j（t）（100）和Fi，j，。。。，jm（Ti）=1，我们用Fi，j，。。。，jm，i（t）=riobtein in（i）。然后是toEq的闭式解。（100）由（96）给出。

接下来我们提供价格函数Fi，j，…，的下界，。。。，jm（t）假设Ci≥ 对于i=1，M.这种情况与经验证据一致。债券票面利率通常按发行时的现行市场利率（在我们的案例中由r代表）设定。由于Ri<1，这一假设显然是可以满足的。特别是，如果Ri=0，即债务人i违约时的回收率为零，考虑到息票率Ci，这一假设基本上是可以满足的≥ 引理B.2。让i=1，M、 还有j，吉咪∈ {1，…，M}\\{i}。然后Fi，j，。。。，jm（t）>所有t∈ [0，Ti）如果Ci≥ 瑞丽。证据从（95）开始，事实是≥ 和李一起∈ [0,1]，因此，对于所有t∈ [0，Ti），Fi，j，…，jM-1（t）≥ 经验(-中兴通讯嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds+RiZTit嗨，j，。。。，吉咪-1（u）经验-祖特嗨，j，。。。，吉咪-1(s)dsdu=Ri+（1）- Ri）exp(-中兴通讯嗨，j，。。。，吉咪-1(s)ds）>Ri。（101）接下来，假设m=0，1，M- 2.我/∈ {j，…，jm}，它认为Fi，j，。。。，jm，j（t）>Rifor allj/∈ {j，…，jm}。我们想证明Fi，j，。。。，jm（t）>Ri。使用（96），我们得到fi，j，。。。，jm（t）≥ 经验-中兴通讯r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds+里兹提嗨，j，。。。，jm（美国）经验-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)dsdu+ZTitRiXj/∈{j，…，jm，i}hj，j，。。。，jm（u）exp-祖特r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)dsdu=Ri+（1）- Ri）exp-中兴通讯r+Xj/∈{j，…，jm}hj，j，。。。，庄信万丰(s)ds> Ri，（102）使用事实Ri∈ [0,1]再次，因此我们递归地证明/∈ {j，…，jm}，预设价格函数Fi，j，。。。，jm>Rifor all t∈ [0，Ti）。参考安德森，E.，L.P.汉森，T.J.萨金特。2000.稳健性、检测和风险价格。工作文件北卡罗来纳大学、芝加哥大学和斯坦福大学。安德森，E.，L.P.汉森，T.J.萨金特。2003.模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半组。J.欧元。经济。助理。

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