信贷组合的稳健优化

2022-5-11 03:07:13

信贷组合的稳健优化*Agostino Capponi+2018年10月9日摘要我们引入了一个动态信贷投资组合框架，在该框架中，最优投资策略对参考信贷模型的错误规定具有鲁棒性。风险厌恶型投资者通过考虑一组看似合理的替代方案（其预期对数似然比受到惩罚）来模拟其对信贷风险误认的恐惧。我们给出了最优稳健债券投资策略的一个显式特征，即与最大最小稳健优化准则相关的违约状态依赖值函数。这些值函数可以作为HJB方程组的递推解得到。我们证明了每一个HJB方程都等价于一个适当截断的方程，该方程具有唯一有界的正则解。截断技术依赖于我们建立的masterHJB方程的解的估计。1导言。投资组合优化问题依赖于概率行为已知的资产价格动态模型。尽管大量工作致力于模型校准，但有限的可用观测值以及扰动噪声通常会导致参数估计受到估计器的影响。因此，投资者总是担心模型对控制违约概率联合动态演化的过渡定律的错误规定。由于他无法检测到真实的底层模型，他希望设计对模型错误具有鲁棒性的决策规则，即在优化过程中考虑参数的不确定性。

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2022-5-11 03:07:16

他的目标是构建投资组合策略，该策略除了在描述价格动态的模型正确指定时运行良好外，在模型错误指定的情况下也表现良好。根据用于干扰实际基础模型的方法，可能存在不同的鲁棒控制公式。由Gilboa和Schmeidler（1989）首创的贝叶斯方法通过多先验偏好的公式建立模糊性模型。Epstein和Schneider（2004）将这种方法扩展到了动态设置，其中先验值会随着时间的推移而更新。另一种方法是由Anderson等人（2000年）率先提出的（另请参见Anderson等人（2003年）的一项相关研究），该方法使用模型误判的惩罚函数来制定可靠的决策问题。Mahenhout（2004）在这个框架的基础上，考虑了股权风险溢价不确定性的扩散模型。Mahenhout（2006）通过考虑随机投资机会，进一步扩展了Mahenhout（2004）的框架。Liu等人（2005年）将Mahenhout（2004年）的分析扩展到跳跃扩散模型，投资者知道扩散成分，但不确定跳跃的大小和频率。Jin and Zhang（2012）将Liu等人（2005）的工作扩展到了多重资产的情况。我们也指汉森等。（2006）对实现稳健性的各种数学公式进行了调查。本文的目的是研究信用风险模型的误判对最优投资策略的影响。以往关于最优信贷组合的研究假设，控制违约强度和传染风险的基本模型是已知的。Bielecki和Jang（2006年）的早期工作、卡夫和斯特芬森（2005年）的首次通过时间框架以及卡夫和斯特芬森（2009年）的默认传染模型都是如此。

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2022-5-11 03:07:20

Capponand Figueroa-L’opez（2014）和Capponi等人（2014）的工作中也假设信用模型是已知的，其中马尔可夫调制动力学驱动违约强度和证券价格的行为。Bo和Capponi（2014）构建了信用违约掉期交易组合，但假设债务人对违约事件的违约强度变化是已知的。*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥，230026，中国。+电子邮件：ac3827@columbia.edu，美国纽约哥伦比亚大学工业工程与运营研究系，10027。然而，经验证据表明，实际违约强度和违约相关性难以估计。这是因为违约是罕见的事件，而且在市场上交易证券的大多数公司从未违约，或很少经历严重的财务困境。我们的研究首次开发了一个动态信贷组合优化框架，该框架考虑了针对实际违约强度过程的模型错误指定的稳健决策规则。我们考虑由可违约、付息债券组成的投资组合。正如Bo和Capponi（2014）所述，我们通过互动强度模型对违约传染进行建模。与他们的工作不同，投资者现在保护自己不受参考信用模型模糊方面的影响。他认为这是数据的最佳统计特征，但通过考虑一组可能的替代方案，对其预期对数似然比（即其相对熵）进行惩罚，来模拟他对信用模型误判的恐惧。Asin Anderson等人（2000年）（另见Hansen等人。

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2022-5-11 03:07:23

（2006）），我们将注意力限制在有限时间间隔内绝对连续的扰动上，因为这些扰动在统计上很难与参考模型区分开来。Jaimungal和Sigloch（2012）是与我们相关的一项研究，他们考虑了一种混合信贷模型，其中违约被建模为一家公司的信用度指数跨越某个障碍后泊松过程的第一次跳跃。在这种违约模型下，考虑到模型的不确定性，他们研究了可违约债券和CDS的差异定价。在我们的研究中，他们使用熵惩罚函数惩罚与参考度量的偏差。他们稳健的公式可以解释结构模型的主要缺点，即低估短期信贷息差。接下来，我们将列出我们的主要技术贡献。我们对最优稳健债券投资策略进行了明确描述。这是通过恢复最优反馈函数向量的解析表达式获得的，该表达式是两项的乘积、衡量违约事件债券贬值的矩阵的逆，以及与最坏情况概率测度相关的向量。由于存在默认传染，与最大最小鲁棒优化标准相关的值函数取决于默认状态。更具体地说，我们证明了它对应于非线性HJB方程递归系统的解。我们注意到，焦等人（2013）也考虑了全局最优投资问题的递归分解。他们的方法包括在参考市场过滤中消除次级控制问题，不包括违约事件信息，然后通过假设违约时间存在条件密度将其联系起来。

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2022-5-11 03:07:26

尽管有相似之处，但我们的方法和他们的方法之间存在显著差异。我们考虑了包括违约事件在内的扩大市场过滤下的财富动态，不在随机微分方程的水平上对控制问题进行任何分解。只有在推导出HJB方程之后，与不同默认状态相关的常微分方程之间的递归依赖才会自然产生。相反，他们的方法利用了投资者的指数效用偏好函数，并将最优投资问题简化为求解关于违约自由市场过滤的倒向随机微分方程的递归系统。在我们的控制问题中，最坏情况测度和最优反馈函数都与HJB方程耦合。通过利用仔细识别的光滑递增变换的性质，我们能够证明每个方程的全局经典解的存在性和唯一性。这是通过证明每个HJB方程等价于一个允许唯一有界正则解的截断方程来实现的。截断是根据原始HJBequation解的估计值确定的。Federico et al.（2015）和Gassiat et al.（2014）也考虑了具有无界控制空间的HJB方程光滑解的研究。其中，他们考虑了一个无违约库存和一个有限水平框架，以研究HJBequation粘性解的正则化及其与控制问题的值函数的对应关系。我们对稳健策略和价值函数进行了数值分析。如果参考违约强度增加，投资者将更高比例的财富分配给风险债券。

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2022-5-11 03:07:29

然而，他面临着两种选择：一是投资更多高风险证券以获取违约风险溢价，二是减少长期投资以避免债券违约时的损失。事实上，当违约风险变得非常高时，他的风险厌恶导致他将财富从风险更高的债券转移到更安全的债券。模型的不确定性降低了投资者可实现的效用。特别是，如果他对模型错误有更大的容忍度，这将导致他减少对风险债券的需求。在这种情况下，最坏情况下的违约强度变得更高，投资者通过实施稳健的信贷策略获得的效用更小。投资者的决定对当前违约状态下的错误决策处罚更为敏感，但也考虑了当其他债务人违约时，未来状态下的模型不确定性。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了该模型。第3节推导了与鲁棒控制问题相关的masterHJB方程。第4节推导了稳健债券投资策略。第5节分析了HJB方程。第6节证明了一个验证定理。第7节：例如，穆迪和标准普尔使用的典型队列方法众所周知低估了违约风险，并导致考虑其他方法，如byLando和Skodeberg（2002）提出的评级转换的连续时间分析。数值分析。第8节结束。辅助结果的技术证明委托给附录，而主要结果的证明则在论文的主体部分给出。2模型我们在模型中使用了三种相互等效的概率度量：（I）P代表参考度量，即。

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2022-5-11 03:07:32

与投资者可获得的实际违约强度过程的最佳描述相关的一个（II）~P对应于投资者选择的替代模型，该投资者希望保护自己免受参考指标的误判，以及（III）风险中性指标Q，即观察固定收益证券价格的指标。投资者不确定实际违约强度，但假定对定价指标Q是确定的。我们将在本节后面详细阐述这些指标之间的关系以及这种不确定性模型背后的合理性。我们提供了论文第2.1节中使用的基本符号和定义。我们在第2.2节中给出了默认模型。我们在第2.3节中描述了投资组合证券。我们在第2.4.2.1节中对鲁棒控制问题进行了模拟，注：S:={0，1}M。在本文中，向量z=（z，…，zM）∈ S捕捉投资组合的违约状态，如果债务人i未违约，则zi=0，如果债务人i违约，则zi=1。为了z∈ 因此zj=0，我们使用zj:=（z，…，zj）-1，1，zj+1，zM），j=1，M、（1）通过将其第j分量设置为1，表示从z获得的向量。设m=1，M和j，j，吉咪∈ {1，…，M}，是M个不同的整数。给定z∈ 因此zj=zj=···=zjm=0，我们使用zj，。。。，jm：=zj...jmto表示通过设置其分量j，j。一对一。换句话说，zj，。。。，jm表示一种默认状态，其中名称j，j，他们已经违约了。特别是，zj，。。。，如果m=0，则jm=z。为了简洁起见，我们将使用FJ，。。。，jm（·）：=fj，。。。，jm（·），（2）其中0=（0，…，0）表示零向量，fz（·）是一个任意可测函数，取决于默认状态z∈ 此外，如果J6=j，j。

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2022-5-11 03:07:35

，jm，我们设定j，j，。。。，jm（·）：=gj，0j，。。。，jm（·），（3）对于任何可测量函数gj，z（·），取决于默认状态z∈ S和债务人的指数j。2.2违约模型我们通过互动强度模型对违约风险进行建模。这种类型的模型非常适合建模违约传染。我们还请读者参考弗雷和巴克豪斯（2004年）以及贾罗和余（2001年）了解更多细节。我们认为≥ 2承担违约风险的债务人。默认状态由M维默认指示符进程Z=（Z（t），ZM（t））t≥0由概率空间支持(Ohm, G、 P）。这里，Pdenotes是与参考模型相关联的概率度量，对应于投资者可用的数据生成过程的最佳描述。我们用Ept表示期望算子w.r.t.P。默认指示符过程Z的状态空间由S={0，1}M给出，其中，如果名称IH被时间t默认，Zi（t）=1，否则Zi（t）=0。第i个名称的默认时间由τi:=inf{t给出≥ 0; Zi（t）=1}，i=1，因此，我们有Zi（t）=1τi≤t、 t在哪里≥ 0.这里，1a表示事件A的指示符。默认指示符过程Z被假定为遵循S上的连续时间马尔可夫链，其中Z（t）以1{Zi（t）=0}hPi，Z（t）（t）的速率过渡到一个高流动状态Zi（t）。这里，对于i=1，M、 hPi，z（t）是t中的一个连续函数≥ 0，每个z∈ 我们假设严格正的违约强度满足inft≥0hPi，z（t）>0。市场过滤系数由Gt=σ（Z（u）给出；U∈ [0，t]），t≥ 0，加上它的空集，以满足完备性和右连续性的一般条件；见Belanger等人（2004）第2.4节。使用Dynkin公式（见罗杰斯和威廉姆斯（2000）中的（10.13），第。

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2022-5-11 03:07:39

254），我们有ξPi（t）：=Zi（t）-Zt（1）- Zi（u）hPi，Z（u）（u）du，t≥ 0（4）是a（P，（Gt）t≥0）-鞅。2.3组合证券投资者可处置的证券组合为：o货币市场账户。时间t时一股的价值用B（t）表示，并以恒定利率r>0累积利息，因此B（t）=ert，t≥ 0.我们设定B（0）=1.o风险债券。我们认为M风险债券指的是债务人，其违约时间如第2.2节所述建模。与主要资产（如股票）不同的是，固定收益证券的索赔取决于信贷事件的发生，而股票可以根据参考概率测度直接假设一个方便的价格过程。因此，对于任何交易衍生工具合同，债券价格等于风险中性度量Q下信用或有股息过程的预期贴现值。区分Q与投资者的参考（主观）概率度量P很重要。债券价格由市场决定，而不是由一个投资者决定。到期日为Ti的第i期债券的股息过程由di（t）：=Zt（1）给出- Zi（u））Cidu+ZtRidZi（u）+（1- Zi（Ti））1t≥Ti，t≥ 0.（5）以上，Ci≥ 0是持续支付的息票利率，因此CiRt（1- Zi（u））du是债务人i违约前第i期债券的累计支付额。里∈ [0，1）是在默认时间τi支付的恒定回收率。数量（1）- Zi（Ti））1t≥Ti是指债券持有人在到期时收到的单位名义付款Ti，前提是债务人i未违约。用hi，Z（t）（t）表示债务人i在t时的正风险中性违约强度。为了保证q得到很好的定义，我们假设hi，Z（t）在t中对于每个违约状态Z是连续的∈ 接下来的过程是a（Q，（Gt）t≥0）-鞅：ξi（t）：=Zi（t）-Zt（1）- 嗨，Z（u）（u）du，t≥ 0

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2022-5-11 03:07:42

（6）附录A中的引理A.1表明，在没有模型不确定性的市场中，上述风险中性违约强度是在债券贬值矩阵的温和可逆性条件下唯一确定的（具体说明见引理A.1）。根据资产定价的第二个基本理论（参见Biagini（2010）中的定理1.2），这意味着由银行账户和风险债券组成的市场模型是完整的。第i种债券的时间t价格由pi（t）：=（1）给出- Zi（t）Et“ZTite-RutrdsdDi（u）#，t∈ [0，Ti]，（7）其中期望Et[·]：=E[·| Gt]在风险中性度量Q下，且以当前信息集为条件。此外，价格公式（7）表明在τi上≤ t、 i-thbond的价格由0给出，而在τi>t上，它是i（t）=Et“CiZTite”-Rutrds（1）- Zi（u）du#+RiEthZi（Ti）e-RTitr（1-(u)对+Eth(1)- 子（体）e-RTitrdsi。（8） 2.4鲁棒控制公式本节描述了投资者的鲁棒投资组合优化问题。我们的投资者动态地将她的财富存入货币市场账户和M高风险债券。此后，让0<T<∧Mi=1指最终期限，即投资期限小于债券的到期日。对于i=1，M、和t∈ [0，T]，用φi（T）表示投资者在时间T购买（φi（T）>0）或出售（φi（T）<0）的第i个风险债券的股份数。短期信贷头寸通过卖空债券实现，而长期信贷头寸通过购买债券证券实现。在后一种情况下，投资者支付债券价格并收到一系列息票，直到违约发生。此外，当违约发生时，他会得到恢复率。我们用φB（t）表示在t时货币市场账户中持有的股份数量。

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2022-5-11 03:07:45

过程φ=（φ（t），φB（t））t∈[0，T]其中φ（T）=（φi（T））i=1，。。。，这就是所谓的投资组合过程。与投资组合φ=（φ（t），φB（t））t相关的财富过程∈[0，T]用V′φT表示，由V′φT=MXi=1φi（T）Pi（T）+φB（T）B（T）给出。（9）众所周知，鉴于违约事件很少发生，实际违约强度和违约相关性很难估计。例如，杜菲等人（2006年）发现，由四个宏观经济和企业特定协变量（企业违约距离、企业后续一年股票收益率、三个月国库券利率和道琼斯工业平均指数的后续一年收益率）组成的违约强度的比例风险形式无法根据经验估算历史违约相关性。另一方面，风险中性违约强度可以更准确地估计，尤其是在流动性CDS市场增长之后。基于这些考虑，我们只考虑实际违约强度的不确定性，并假设风险中性违约强度是完全已知的。考虑到他评估违约事件的可能性及其相关性的能力有限，投资者考虑了其他模型，以保护自己免受可能的模型误判。每个备选模型由一个等效的概率度量P定义~ P通过ηt=EMXi=1Z驱动的氡Nikodym导数η·θi（u）-) - 1.dξPi（u）！t、（10）在上述表达式中，θi（t）=θi，Z（t）（t），即ηθt改变投资者对参考违约强度和违约相关性的概率评估。备注2.1。稳健决策问题的制定需要引入三个等价的概率测度P、~P和Q。虽然债券价格是在风险中性测度下观察到的，但投资者希望在最坏情况下从终端财富中优化其预期效用，即：。

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2022-5-11 03:07:48

在他考虑的最坏情况下的替代模型下。在另一种衡量标准P下，义务人i的违约强度变为hπ，Z（t）（t）：=θi（t）hPi，Z（t）（t）。根据（10），投资者在参考模型下操作，选择θi（t）=1，每i=1，M、并通过选择θi（t）6=1来选择其他模型。如果一个名字i和时间t，θi（t）<1，这意味着投资者对债务人i的信用质量比历史更乐观。反之，如果θi（t）>1，这意味着他更悲观，认为i的信用质量比他的估计方法预测的要差。请注意，下面的过程是一个（P，（Gt）t∈[0，T]）-鞅：ξ＠Pi（T）：=Zi（T）-Zt（1）- Zi（u）h)Pi，Z（u）（u）du，t∈ [0，T]。（11）由于P在统计学上是现有数据的最佳代表，投资者会根据其与参考度量值P的偏差程度来惩罚其选择。距离度量值由相对熵Ht（P | P）捕获。后者定义为概率测度P下的预期~ P onGt，时间t时Radon Nikodym导数的对数，由（10）给出。我们可以将ηθtus改写为ηθt=exp（MXi=1Ztlog（u-))天子（u）-MXi=1Zt∧τiθi（u）- 1.hPi，Z（u）（u）du）。（12）我们用v表示所有（Gt）t的空间∈[0，T]-适应的积极过程θ=（θ（T））T∈[0，T]所以密度过程ηθ=（ηθT）T∈[0，T]是a（P，（Gt）T∈[0，T]）-如果初始时间为0，则为鞅。同样，如果初始时间为t，我们使用vt来表示对应时间∈ [0，T]。请注意，~P下的log Radon-Nikodym导数过程由log给出ηθt=MXi=1Ztlog（θi（u-))dξPi（u）+MXi=1Zt∧τiθi（u）log（θi（u））- θi（u）+1hPi，Z（u）（u）du。使用（11），这将导致相对熵的以下表达式：Ht（~P | P）：=E ~P日志ηθt= E~P“MXi=1Zt∧τiθi（u）log（θi（u））- θi（u）+1hPi，Z（u）（u）du#。

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mingdashike22

2022-5-11 03:07:52

（13）此外，在一个非常小的时间间隔内，相对熵允许以下limitlimδ-→0δEPt“对数ηθt+Δηθt#=MXi=1（1- Zi（t））θi（t）log（θi（t））- θi（t）+1hPi，Z（t）（t）=：MXi=1pi，θt，（14），因为θ（t）是Gt自适应的。这里的EPt:=EP[·| Gt]。我们遵循Anderson等人（2003）的观点，假设投资者选择了稳健的投资组合策略，这是在某些最坏情况下的最佳选择。我们考虑一个理性的风险规避投资者，他希望从终端财富中最大化其电力效用，即U:[0，∞)-→ [0, ∞) 由U（v）=vγ给出，其中γ∈ （0，1）是风险规避参数。投资者通过选择最优的可容许分配策略（可容许性的精确定义将在下一节给出），使其效用函数最大化，并根据模型模糊性进行调整。具体而言，我们定义了值函数wz（t，v）：=supφ∈Utinfθ∈VtEPt，v，z“UV′φT+MXi=1ZTt-pi，θuΥi，Z（u）（u，V′φu）du#，（15）其中，对于（t，V，Z），P-条件期望E＠Pt，V，Z[·]：=E＠P[·Vt=V，Z（t）=Z]∈ [0，T]×R+×S，出生率π，θT，T∈ [0，T]，（i=1，…，M）由（14）定义，而Υi，z（T，v）表示控制债务人i对参考违约强度的不确定性厌恶的偏好参数。对于i=1，M、还有z∈ S、假设其为以下形式：Υi，z（t，v）=ui，z（t）U（v），（t，v）∈ [0，T]×R+，（16），其中ui，z（T）满足∈[0，T]ui，z（T）>0，是时间T内的连续函数，允许依赖于当前默认状态。正如Mahenhout（2004年）、Mahenhout（2006年）和Liu等人（2005年）所述，我们对模糊厌恶施加了一种同感规范，使得问题易于处理，并允许根据财富水平将哈密顿量分为一个项和另一个仅依赖于时间的项（详细表达式见等式（31））。

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2022-5-11 03:07:55

在这种同感形式下，我们能够导出最坏情况测度和最优策略的封闭形式表示。在上述模糊度规定下，这些函数的值越大，与参考模型的给定偏差越小，将受到惩罚。对称地，投资者对参考违约模型的信心越低，最坏情况下的模型与参考模型的偏差就越大。尽管这种同质化规范是为了便于分析，但在Mahenhout（2004）中有人认为，它便于校准和经济原因，因为它有助于构建代表性，见其论文第2节。等式（16）中的规定还允许区分不同信息源的不确定性程度。例如，如果用于估计默认状态z下名称i的物理默认强度的信息源∈ S非常可靠，投资者对参考模型更有信心，因此他会选择较高的惩罚值（较低的ui，z（t））。相反，如果投资者有不可靠的信息来进行这种估计，他会更加稳健，对参考模型的信任度也会降低，因此他会对参考模型的偏差进行惩罚（ui，z（t）的值越高）。3动力学规划公式本节的目的是推导与鲁棒控制问题inEq相关的HJB方程。(15). 为此，我们需要财富过程的动力学，而财富过程又取决于第i种债券证券的价格过程Pi（t）的动力学。我们给出了债券价格过程pi（t），t的精确价格动力学∈ [0，Ti]，见第3.1节。我们在第3.2.3.1节风险债券的价格动态中获得了主HJB方程，i=1。

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2022-5-11 03:07:59

，M，使用价格表示（8），我们可以将其改写为asPi（t）=（1）- Zi（t））Fi，Z（t）（t），t∈ [0，Ti]，（17）式中Fi，z（t），（t，z）∈ [0，Ti]×S，表示byFi给出的违约前价格函数，z（t）=RiFai，z（t）+ciffi，z（t）+Fci，z（t）。（18）这里分解的价格函数由fai，z（t）：=EhZi（Ti）e给出-RTitr（1-子都Z（t）=zi，Fbi，Z（t）：=E“ZTite-Rutrds（1）- 子都Z（t）=Z#，（19）Fci，Z（t）：=Eh（1）- 子（体）e-RTitrduZ（t）=zi。显然，Fi，z（Ti）=Rizi+1- 子。因此Pi（Ti）=1- 对于i=1，…，Zi（Ti），M.接下来，我们给出一个辅助函数，给出股息调整债券价格过程的P-动力学，随后用于推导测度P.引理3.1下财富过程的动力学。在P下，对于每个i=1，我们有以下动力学：对于t∈ [0，T]，dPi（t）+Di（t）π（t）-)=人力资源- (1 - Zj（t））hj，Z（t）（t）- θj（t）hPj，Z（t）（t）idt+MXj=1Gi，j，Z（t-)（t） dξ~Pj（t）。（20）我们记得，上面表达式中的∧P-鞅ξPj（t）由（11）给出，对于i，j=1，M、我们定义函数gi，j，z（t）：=Fi，zj（t）Fi，z（t）- 1，（t，z）∈ [0，T]×S（21）证明。由引理A.2可知，Pi（t）=Pi（0）+Zt（1- 子（u）rPi（u）- 词杜- 里兹（t）+ZtPi（u）-)MXj=1Gi，j，Z（u-)（u） dξj（u）。考虑（5）中给出的股息，注意∈ (0, ∧Mi=1Ti）。然后我们有1t≥对于所有t，Ti=0∈ [0，T]。HencePi（t）+Di（t）=Pi（0）+Di（0）+rZtPi（u）du+ZtPi（u-)MXj=1Gi，j，Z（u-)（u） dξj（u）。然后从（6）和关系式ξPj（t）=ξj（t）+Zt（1）得出)P-动力学（20）- Zj（u））hj，Z（u）（u）- θj（u）hPj，Z（u）（u）杜。（22）这就完成了引理的证明。我们可以导出预设价格函数Fi，z（t）的递归显式表达式。这反过来又为函数Gi，j，z（t）以及债券价格过程Pi（t）的动力学提供了递归表达式。

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2022-5-11 03:08:02

我们在附录B.3.2 HJB方程中给出了详细的表达式。本节推导了与鲁棒控制问题相关的HJB方程。我们要求portfolioprocess’φ为（Gt）t∈[0，T]-可预测。A（Gt）t∈[0，T]-可预测投资组合过程φ=（φ（T），φB（T））T∈[0，T]如果VΘφT=VΘφ+ΘφT，则称为自融资，其中时间T财富VΘφ在式（9）中定义，时间T过程由ΘφT=MXi=1Ztφi（u）d（Pi（u）+Di（u）+ZtφB（u）dB（u）给出。（23）上面，Di=（Di（t））t≥0是（5）给出的第i种风险债券的分红过程。对于t∈ [0，T]，我们使用∧πB（T）：=φB（T）BtV′φT-指投资于货币市场账户的财富比例。类似地，πi（t）：=φi（t）Pi（t）-)V′φt-, i=1，M，表示投资于第i种风险债券的财富比例。从上面的定义和使用（7）可以很容易地看出∧πi（t）=（1- 子（t）-))πi（t）表示t∈ [0，T]。此外，从（9）中，可以得出mxi=1πi（t）+πB（t）=1。（24）然后我们可以定义可接受策略的空间。定义3.1。让我们∈ [0，T]。t-容许控制集<<Ut=<<Ut（v，z），（v，z）∈ R+×S是（Gt）t的一类∈[0，T]-可预测的局部有界反馈策略∧π（u）=（∧πi（u））i=1，。。。，Mgiven byπi（u）=πi，Z（u）-)u、 Vπu-, i=1，M、 u∈ [t，t]。（25）对于i=1，…，反馈函数πi，z（·）在[0，T]×R+上局部有界，M和z∈ S、 πi（u）=（1- Zi（u）-))πi，Z（u）-)（u，Vπu）-) 为了你∈ [t，t]。相对财富过程的形式为ZTTDVπuVπu-=ZTtα（u）du+MXj=1ZTtβj（u）dZj（u），其中Vπt=V∈ R+，Z（t）=Z∈ 如上所述，α是一个具有良好定义的积分tα（u）du的适应过程，而βjis是一个可预测的过程，并远离-1和∞ 对于所有的j=1，M

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2022-5-11 03:08:06

此外，我们定义为局部有界反馈函数向量的t-容许集π=（πi，z（·））i=1，。。。，M、 z∈下面的引理给出了财富过程的动力学：引理3.2。设∧π∈■UAN和t∈ [0，T]。然后，P-财富动态由Vπ=V>0和dvπtVπt给出-= rdt-MXj=1MXi=1πi（t）Gi，j，Z（t-)（t） !！(1 - Zj（t）-))hj，Z（t）-)（t）- θj（t）hPj，Z（t）-)（t）dt+MXj=1MXi=1∏i（t）Gi，j，Z（t-)（t） !！其中，对于i，j=1，M、函数Gi，j，z（t）和（t，z）∈ [0，T]×S由（21）定义。证据对于∧π∈U，使用（23），它遵循thatdVπt=MXi=1φi（t）d（Pi（t）+Di（t））+φB（t）dB（t）=V)πt-MXi=1πi（t）d（Pi（t）+Di（t））Pi（t-)+ Vπt-πB（t）rdt。它由引理3.1得出，即dVπt=Vπt-MXi=1πi（t）d（Pi（t）+Di（t））Pi（t-)+ Vπt-~πB（t）rdt=V~πt-MXi=1πi（t）R-MXj=1Gi，j，Z（t-)（t）（1）- Zj（t）-))hj，Z（t）-)（t）- θj（t）hPj，Z（t）-)（t）dt+Vπt-πB（t）rdt+Vπt-MXj=1MXi=1πi（t）Gi，j，Z（t-)（t） !！dξ~Pj（t）。然后，P-财富动态（26）由条件（24）得出。这就完成了引理的证明。财富动态（26）可以直观地解释如下。投资者对自己的财富立即产生利率r。当信用事件发生时，其财富水平会更新，以反映因违约名称对存续实体造成的传染效应而导致的债券头寸市值变化。备注3.3。利用可容许控制的定义3.1，我们得到∧π（u）=πZ（u-)（u，Vt，v，πu）-) 为了你∈ [0，T]。然后，我们可以将财富动态（26）改写如下：∈ [0，T]，dVπtVπT-= rdt-MXj=1MXi=1πi，Z（t-)（t，Vπt）-)Gi，j，Z（t）-)（t） !！(1 - Zj（t）-))hj，Z（t）-)（t）- θj（t）hPj，Z（t）-)（t）dt+MXj=1MXi=1πi，Z（t-)（t，Vπt）-)Gi，j，Z（t）-)（t） !！dξ~Pj（t）。（27）接下来，我们使用（14）和（27）推导主HJB方程。我们首先从启发式论证开始，然后在验证定理中给出严格的证明。

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2022-5-11 03:08:09

回想一下givenby（15）给出的鲁棒控制优化准则。如果wz（t，v）是cint，并且对于每个z是cinv∈ S、利用动态规划原理，我们期望与鲁棒控制问题（15）相关的主HJB方程由upπ给出∈乌因夫θ∈五(t+Lπ，θwz（t，v）+MXi=1（1）- (子)θi，zlog（θi，z）- θi，z+1hPi，z（t）Υi，z（t，v））=0（28），终端条件wz（t，v）=U（v）。这里，算子Lπ，θ：=Lπc+Lπ，θJacts在任何函数θz（t，v）上是Cin（t，v），如下所示：Lπcθz（t，v）：=v~nz（t，v）五、R-MXj=1MXi=1πi（1- Gi，j，z（t）！(1 - zj）hj，z（t）, （29）Lπ，θJаz（t，v）：=MXj=1“θzjt、 v+vMXi=1πi（1- zi）Gi，j，z（t）- ~nz（t，v）#（1）- zj）θj，zhPj，z（t），其中，对于i=1，M和z∈ S、 πi=πi，z（t，v）在（t，v）上∈ [0，T]×R+，所以π=（πi）i=1，。。。，M∈ U.4最佳反馈函数本节严格分析最佳反馈函数。第4.1节推导了与最坏情况测量相关的HJB方程。然后，我们在第4.2.4.1节最坏情况度量中分析了这种度量下的最优反馈函数。该节给出了与最坏情况度量相关的HJB方程的显式形式，即，它分析了等式（28）中的内部极小化问题。为此，我们首先使用变量分离，并提出值函数的以下分解：wz（t，v）=U（v）Bz（t），（30），其中Bz（t）是t中的正C函数∈ [0，T]对于每个z∈ S.利用（29）中算符的表达式和分解（30），我们定义了以下哈密顿量byHπ，θz（t，v）：=Lπ，θwz（t，v）+MXi=1（1）- (子)θi，zlog（θi，z）- θi，z+1hPi，z（t）Υi，z（t，v）=γU（v）Bz（t）R-MXj=1Γπj，z（t）（1）- zj）hj，z（t）+U（v）MXj=1Bzj（t）1+Γπj，z（t）γ- Bz（t）(1 - zj）θj，zhPj，z（t）+U（v）MXj=1（1）- （zj）θj，zlog（θj，z）- θj，z+1hPj，z（t）uj，z（t）。

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2022-5-11 03:08:13

（31）以上，我们使用了反馈函数的以下线性变换：for（t，z）∈ [0，T]×S和π∈ U、 πj，z（t）：=MXi=1πi（1）- zi）Gi，j，z（t），j=1，M.（32）那么，对于j=1，M和z∈ S、一阶条件的解Hπ，θz（t，v）θj，z=0由θ给出*,πj，z（t）=exp- uj，z（t）Bzj（t）1+Γπj，z（t）γ- Bz（t）, 如果zj=0。（33）我们将在验证定理中证明θ*,由（33）给出的πj，z（t）确实确定了与π相关的最坏情况度量。将表达式（33）代入主HJB方程（28）yieldssupπ∈UtnU（v）Bz（t）+Hπ，θ*,πz（t，v）o=0（34），终端条件wz（t，v）=U（v）。在上面的表达式中，对于π∈ Ut，哈密顿量Hπ，θ*,πzz（t）由（31）定义，其中θ由θ代替*,πz=（θ*,πi，z）i=1，。。。，被（33）所取代。在这篇论文的续篇，托莱恩符号中，我们使用了Hπ，θ*Hπ的zin位，θ*,πzz。4.2最坏情况下的最优反馈函数本节推导了最优反馈函数的显式表达式。这些与HJB方程（34）有关。我们的目标是找到最佳容许反馈函数π*z（t）=（π）*i、 z（t））i=1，。。。，M、（t，z）∈ [0，T]×S，其中π*i、 z（t）是反馈函数，当默认状态为z时，产生投资于第i个债券的最佳财富比例∈ S.从可采性的定义来看，每个（t，z）∈ [0，T]×坐姿必须保持1+π*j、 z（t）>0，j=1，M、（35）式中Γπj，z（t）由（32）给出。从（26）中可以看出，条件（35）保证在任何违约事件发生后，财富过程保持积极。我们解决了系统的一阶条件Hπ，θ*z（t，v）πi=0，i=1，M、通过使用（31）和（33）并获得mxj=1（1- zj）hPj，z（t）Bzj（t）（1）- zi）Gi，j，z（t）1+Γπj，z（t）γ-1θ*,πj，z=Bz（t）MXj=1（1- zi）Gi，j，z（t）（1）- zj）hj，z（t）。

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2022-5-11 03:08:16

（36）对于任何整数0≤ M≤ M、默认状态z=0j，。。。，jm，定义3.1意味着反馈函数π*j、 j，。。。，jm（t）=··=π*jm，j，。。。，jm（t）=0。因此，对于0≤ M≤ M- 1，债券中尚未违约的最优策略，π*Jjm:=（π）*j、 j，。。。，jm）j/∈{j，…，jm}，由式（36）得出，由xj给出/∈{j，…，jm}hPj，j，。。。，jm（t）Bj，。。。，jm，j（t）Gi，j，j，。。。，jm（t）1 + Γπ*j、 j，。。。，jm（t）γ-1θ*,π*j、 j，。。。，jm=Bj，。。。，jm（t）Xj/∈{j，…，jm}Gi，j，j，。。。，jm（t）hj，j，。。。，jm（t），我/∈ {j，…，jm}。（37）注：在本文的其余部分中，为了便于记法，我们省略了上述量对j，jm，即违约的债务人。我们的下一步是以矩阵形式重写上述系统。设{jm+1，…，jm}:={1，…，M}\\{j，…，jm}。定义以下矩阵g（t）：=Gjm+1，jm+1（t）Gjm+1，jm+2（t）。Gjm+1，jM（t）Gjm+2，jM+1（t）Gjm+2，jM+2（t）。Gjm+2，jM（t）。。。。。。。。。。。。GjM，jm+1（t）GjM，jm+2（t）。GjM，jM（t）（M）-m） ×（m）-m），（38）和（t）：=hPjm+1（t）Bjm+1（t）0。00HPJM+2（t）Bjm+2（t）。0............0 0 . . . hPjM（t）BjM（t）（M）-m） ×（m）-m）。（39）矩阵G（t）可以解释为债券折旧矩阵。该矩阵的每个条目都给出了一个在世债务人在另一个债务人违约的情况下承销的债券的减值。矩阵A（t）可以解释为违约风险调整矩阵。每个对角线条目根据一个因子来衡量一个活跃债务人的参考违约强度，该因子等于一个新债务人违约的增广违约状态中的价值函数。我们做出以下假设：（A1）对于t∈ [0，T]，矩阵G（T）具有满秩。这种假设意味着在任何时候都不存在多余的债券证券。换句话说，每一种债券都不能通过其他债券的线性组合来复制。

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2022-5-11 03:08:19

显然，在没有违约传染的情况下，它总是令人满意的，因为在这种情况下，对于每一次t，矩阵（38）都会变成非零项的对角矩阵。接下来是（y，x）∈ R+，我们定义了以下函数yy（x）：=xe-yxγ-1.（40）对于固定y>0，正函数x-→ Yy（x）是光滑的，并且在x上增加∈ R+，自γ∈ (0, 1). 这意味着它允许一个反函数x-→ Y-1y（x），x∈ R+，这也是平滑且不断增加的。设δ：=γ1-γ. ThenYy（x）=xe-yx-δ=xe-（y）-1/δx）-δ=y1/δy-1/δxe-（y）-1/δx）-δ=y1/δY（Y-1/δx）。因此，对于固定的x∈ R+正函数y-→ Yy（x）在y上也是平滑的∈ R+，而且它认为yyy1/δY-1（y）-1/δx）= y1/δYY-1/δy1/δY-1（y）-1/δx）= y1/δYY-1（y）-1/δx）= x、因此，我们得到以下有用的关系-1y（x）=y1/δY-1.Y-1/δx. （41）这表明对于固定x∈ R+，正反函数y-→ Y-1y（x），y∈ R+也是平滑的。本文讨论函数x的导数的解析性质-→ Y-1y（x）。自Yy以来Y-1y（x）= x、链式法则的应用导致Y-1y（x）x=Yy（z）Zz=Y-1y（x）。（42）因此，我们推断x-→Y-1y（x）x、 x∈ R+，是连续的，y-→Y-1y（x）x、 y∈ R+也是连续的。使用（33）和（40），它可以保持yπ*j（t）：=euj（t）B（t）Yuj（t）Bj（t）(1 + Γπ*j（t））γ-1.= euj（t）B（t）（1+Γπ）*j（t））γ-1e-uj（t）Bj（t）（1+Γπ）*j（t））γ=（1+Γπ*j（t））γ-1e-uj（t）Bj（t）（1+Γπ）*j（t））γ-B（t）=1 + Γπ*j（t）γ-1θ*,π*j（t）。（43）进一步定义以下矩阵：Yπ*（t） :=Yπ*jm+1（t）Yπ*jm+2（t）。。。Yπ*jM（t）（M）-m） ×1和B（t）：=B（t）hjm+1（t）hjm+2（t）。。。hjM（t）（M）-m） ×1。（44）然后，我们可以用g（t）A（t）Yπ给出的矩阵形式重写（37）*（t） =G（t）B（t），t∈ [0，T]。（45）这导致了下面的引理。引理4.1。在假设（A1）下，我们有Yπ*（t） =A-1（t）B（t），对于所有t∈ [0，T]，即针对eachj∈ {jm+1，…，jm}，Yπ*j（t）=B（t）hj（t）Bj（t）hPj（t）。（46）我们记得我们省略了下标j。

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2022-5-11 03:08:23

，以减轻符号。接下来我们使用上述引理来获得最优反馈函数。从（40）可以看出，正光滑函数x-→ Yuj（t）Bj（t）（x）在x上增加∈ R+，是γ∈ (0, 1). 因此，相应的正光滑反函数x-→ Y-1uj（t）Bj（t）（x），x∈ R+也在增加。此外，它从（40）和（41）中得出：↓0Y-1uj（t）Bj（t）（x）=0，且limx↑+∞Y-1uj（t）Bj（t）（x）=+∞. 使用（46），我们获得，代表j∈ {jm+1，…，jm}，1 + Γπ*j（t）γ-1=Y-1uj（t）Bj（t）hj（t）B（t）hPj（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）！。（47）接下来，定义以下内容（M- m） -最优反馈函数的π维列向量*（t） =（π）*j（t））j∈{jm+1，…，jm}，以及下面的（M- m） -维度列向量^Y（t）：=hY-1ujm+1（t）Bjm+1（t）hjm+1（t）B（t）hPjm+1（t）Bjm+1（t）e-ujm+1（t）B（t）我-1.- 1hY公司-1ujm+2（t）Bjm+2（t）hjm+2（t）B（t）hPjm+2（t）Bjm+2（t）e-ujm+2（t）B（t）我-1.- 1.hY-1ujM（t）BjM（t）hjM（t）B（t）hPjM（t）BjM（t）e-ujM（t）B（t）我-1.- 1.（M）-m） ×1。（48）然后我们得到以下主要结果。提议4.2。在假设（A1）下，最优反馈函数的向量为π*（t）=G-1（t）>^Y（t），t∈ [0，T]。（49）证据。插入Γπ的表达式*j、 z（t）与j∈ {jm+1，…，jm}由式（32）在式（47）中给出，weget，对于t∈ [0，T]，MXi=1π*iGi，j（t）=“Y”-1uj（t）Bj（t）hj（t）B（t）hPj（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）#γ-1.- 1. J∈ {jm+1，…，jm}。然后我们可以将上述方程改写为矩阵向量形式，并恢复π*（t），t∈ [0，T]作为线性方程组G>（T）π的解*（t） =^Y（t），其中>表示矩阵的转置。然后利用G的可逆性假设得出了结果。我们将在验证定理中证明：- m） -维向量π*（t），t∈ [0，T]，givenby（49）确实是时间T的最佳反馈函数，在默认状态下，命名为jm+1，j和j。

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2022-5-11 03:08:27

，他违约了。5 HJB方程本节专门分析HJB方程（34）。我们的目标是建立经典解的存在性和唯一性。在整个部分中，我们设置了θ*z（t）=θ*,π*z（t）表示方便。使用（31）和表达式forθ*,πj，z（t）在式（33）中给出，因此与最优反馈函数和最坏情况测度相关的哈密顿量由hπ给出*,θ*z（t，v）=U（v）Hπ*z（t），（50）式中，对于（t，z）∈ [0，T]×S，函数hπ*z（t）：=γBz（t）R-MXj=1Γπ*j、 z（t）（1）- zj）hj，z（t）+MXj=1（1- zj）hPj，z（t）uj，z（t）1.- θ*j、 z. （51）那么，HJB方程（34）等价于以下方程：Bz（t）+Hπ*z（t）=0，t∈ [0，T），Bz（T）=1.（52）接下来，我们分析了缺省态相关方程（52）解的存在性和唯一性。我们进行归纳，证明了对于一些正的缺省态相关常数θz<θz，Bz（T）∈[θz，\'-θz]，t∈ [0，T]是与默认状态z相关联的HJB方程（52）的唯一全局正解。o基本步骤：m=m。默认状态为z=0j，。。。，jM=1。通过定义可容许策略，最优反馈函数π*j（t）=π*j、 j，。。。，对于所有j=1，…，jM（t）=0，从（32）中，可以得出Γπ*j（t）=π*j、 j，。。。，对于所有j=1，…，jM（t）=0，M.使用公式（51），将HJB方程（52）简化为j，。。。，jM（t）+γrBj，。。。，jM（t）=t上的0∈ [0，T）和Bj，…，jM（T）=1。然后给出唯一解Bj，…，jM（T）=eγr（T）-（t）∈ [1，eγrT]，t∈ [0，T]。（53）因此，我们的声明成立默认状态为z=0j，。。。，JMM≤ M-1.根据归纳假设，存在θj，。。。，jm<θj，。。。，jm使得Bj（t）=Bj，。。。，jm，j（t）∈ [θj，…，jm，\'θj，…，jm]，t∈ [0，T]是与默认状态zj=0j，。。。，jm，j，j/∈ {j。

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2022-5-11 03:08:30

，jm}。基于这种归纳假设，我们证明了当默认状态为z时，HJBequation（52）存在唯一的全局正解。首先，通过定义可容许性，最优反馈函数π*j=π*j、 j，。。。，对于所有j，jm=0∈{j，…，jm}，因此对于所有的j/∈ {j，…，jm}，它认为Γπ*j、 j，。。。，jm（t）=Pi/∈{j，…，jm}π*i（t）Gi，j（t）。尽管如此，j/∈ {j，…，jm}，我们还有θ*j（t）=θ*j、 j，。。。，jm（t）=expn- uj（t）北京（t）1 + Γπ*j（t）γ- B（t）o、（54）我们记得B（t）=Bj，。。。，jm（t），因为我们省略了对违约债务人的依赖。然后将HJB方程（52）简化为0=B（t）+γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}π*j（t）hj（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）[Bj（t）（1+Γπ]*j（t））γ-B（t）]o，（55），终端条件B（t）=1。接下来，我们推导公式（55）的等价表示，这对于分析解更方便。首先，使用（47）我们得到Γπ*j（t）=“Y”-1uj（t）Bj（t）hj（t）hPj（t）B（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）#γ-1.- 从（43）、（47）和引理4.1，可以得出θ*j（t）=Yπ*j（t）1 + Γπ*j（t）γ-1=hj（t）hPj（t）B（t）Bj（t）Y-1uj（t）Bj（t）hj（t）B（t）hPj（t）Bj（t）e-uj（t）B（t）. （57）因此，哈密顿量Hπ*（t）由（51）给出的公式可以改写为以下形式（注意，如前所述，我们省略了对z的依赖）：Hπ*（t） =B（t）γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；B（t）+Xj公司/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t），（58）其中，函数Cj（t，y；x），j/∈ {j，…，jm}，on（t，y，x）∈ [0，T]×R+定义为asCj（T，y；x）：=γhj（T）“y”-1yuj（t）hj（t）yhPj（t）juj（t）；十、!#γ-1+hj（t）y“y-1yuj（t）hj（t）yhPj（t）juj（t）；十、!#-1，（59）与函数J（a；x）：=xe-axfor（a，x）∈ R+。

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2022-5-11 03:08:33

然后我们得到了与原始HJB方程（55）等价的方程：0=B（t）+B（t）γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；B（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）。（60）给定t上的任何正连续函数f（t）∈ [0，T]允许严格正的下界，setmfT:=inft∈[0，T]f（T），MfT:=supt∈[0，T]f（T）。（61）然后0<mfT≤ MfT<+∞. 然后通过两个主要步骤证明HJB方程经典解的存在性。我们首先证明，如果一个解存在，那么它必须是有界的。然后，我们使用已建立的上下界来证明HJBequation解的存在性和唯一性。提议5.1。如果等式（60）允许唯一的全局解B（t），t∈ [0，T]，则存在两个正常数θ<\'θ，因此B（T）∈ [θ，\'-θ]对于所有t∈ [0，T]。证据首先我们注意到∈ R+，光滑函数J（a；x）=xe-Axx与x∈ R+supx∈R+J（a；x）=J（a；a）-1） =a-1e-1和边缘↓0J（a，x）=limx↑+∞J（a，x）=0。回想一下，正反函数x-→ Y-1uj（t）Bj（t）（x）正在增加。然后，固定（t，y）∈[0，T]×（0+∞), 为了所有的x∈ R+，“Y”-1uj（t）Bj（t）hj（t）hPj（t）Bj（t）juj（t）；十、!#-1.≥“是的-1uj（t）Bj（t）hj（t）hPj（t）Bj（t）juj（t）；u-1j（t）!#-1.≥“是的-1uj（t）Bj（t）e-1中断∈[0，T]hhj（T）hPj（T）uj（T）Bj（T）i#-1=：κTuj（t）Bj（t）,我们使用了Hj（t）hPj（t）Bj（t）J这一事实uj（t）；u-1j（t）= E-1hj（t）hPj（t）uj（t）Bj（t）。此外，数量κ是有限的，因为回顾（61）中引入的符号，我们有0<mhj/hPjTMujTMBjT≤ 监督∈[0，T]“hj（T）hPj（T）uj（T）Bj（T）#≤Mhj/hPjTmujTmBjT<+∞.使用上述给定的下界，我们得到所有x的以下下界∈ R+，Cjt、 uj（t）Bj（t）；十、≥ γhj（t）κTuj（t）Bj（t）1.-γ+hj（t）uj（t）Bj（t）κtuj（t）Bj（t）. （62）定义功能DMt、 uj（t）Bj（t），x:= γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}Cjt、 uj（t）Bj（t）；十、.

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mingdashike22

2022-5-11 03:08:36

（63）然后它认为t、 uj（t）Bj（t），x≤ γr+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）- γXj/∈{j，…，jm}hj（t）κTuj（t）Bj（t）1.-γ-Xj/∈{j，…，jm}hj（t）uj（t）Bj（t）κtuj（t）Bj（t）=:\'Dm（t）。（64）注意严格正函数y-→ κT（y）在y>0时是连续的-→ Y-1y（x）对于固定x是连续的∈ R+使用（41）。然后是“DmT”≤ γr+Xj/∈{j，…，jm}MhjT- γXj/∈{j，…，jm}mhjT（infy）∈[mujTmBjT，mujTmBjT]κT（y））1-γ-Xj/∈{j，…，jm}mhPjTmhj/hPjTMujTMBjT（infy∈[mujTmBjT，mujTmBjT]κT（y））<+∞,自从γ∈ (0, 1). 利用等式（60）和不等式（63）的解的积分表示，可以得出B（t）=eRTtDm（u，uj（u）Bj（u），B（u））du+Xj/∈{j，…，jm}ZTthPj（s）uj（s）eRstDm（u，uj（u）Bj（u），B（u））duds≤ eM¨DmT（T-t） +Xj/∈{j，…，jm}ZTthPj（s）uj（s）eM¨DmT（s）-t） ds≤ eM¨DmT（T-t） “1+（M- m）（T）- t） MhPjTmujT#≤ eT M“DmT”1+T MMhPjTmujT#=：\'θ，（65）其中常数\'θ∈ R+。上图，M- m是活着的债务人的数量。从上述方程组中的第一个等式也可以看出，对于所有t，B（t）>0∈ [0，T]。这是因为Pj（t）和uj（t）在t上都是严格正的∈ [0，T]。接下来，我们使用上面建立的上界θ>0来推断解B（t），t的正下界的存在性∈ [0，T]。回想一下等式（32）中给出的Γπj（t）的定义。我们选择容许控制^π=（^πi（t，B（t））；我∈ {1，…，M}）满足以下关系：/∈ Γπj（t）=Γπj（t，B（t））：=Xi/∈{j，…，jm}πi（t，B（t））Gi，j（t）=B（t）Bj（t）γ- 1，j/∈ {j，…，jm}。（66）我们定义πi（t，B（t））=0表示i∈ {j，…，jm}。注意，这种容许控制的存在是由矩阵G（t），t的可逆性假设（A1）保证的∈ [0，T]，式（38）中给出。事实上，这个容许控制由^π=[^πi；i]给出/∈ {j，…，jm}]>=（G）-1（t））>[（B（t）/Bj（t））1/γ-1.j/∈ {j，…，jm}]>。重新排列等式中的术语。

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2022-5-11 03:08:39

（66），我们得到了bj（t）1+Γ^πj（t）γ- B（t）=0，j/∈ {j，…，jm}。上面的等式直接暗示了xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）Bj（t）（1+πj（t））γ-B（t）o=0。（67）对所有t使用B（t）>0∈ [0，T]，并回顾θ的表达式*j（t）在式（54）中给出，哈密顿量（51）满足π*（t） =γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}π*j（t）hj（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）Bj（t）（1+Γπ）*j（t））γ-B（t）o≥ H^π（t）=γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}πj（t）hj（t）+Xj/∈{j，…，jm}hPj（t）uj（t）n1- E-uj（t）Bj（t）（1+πj（t））γ-B（t）o=γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}πj（t）hj（t）= γB（t）R-Xj/∈{j，…，jm}”B（t）Bj（t）γ- 1#hj（t）≥ γB（t）r+Xj/∈{j，…，jm}hj（t）-Xj/∈{j，…，jm}θBj（t）γhj（t）≥ γB（t）r+Xj/∈{j，…，jm}mhjT-Xj/∈{j，…，jm}θmBjT！γ-MhjT=: B（t）KT。第三个等式是使用（67）得到的。第一个不等式如下，因为哈密顿量在最佳π处达到最大值*. 第二个不等式来自等式（65）中建立的B（t）的上界。最后一个不平等来自这样一个事实：根据定义（61），我们有mhjT≤ hj（t）≤ MHJT和Bj（t）≤ MBJTT∈ [0，T]。让b∈ （0，1）是一个任意常数。考虑以下方程：v（t）+v（t）KT=0，t∈ [0，T），v（T）=b。利用常微分方程的比较定理和不等式（68），可以得出q.（55）的解是上一常微分方程的解的下界，即b（T）≥ v（t）=beKT（t）-t）对于t∈ [0，T]。此外，确定正常数θ：=b、如果KT≥ 0，beKTT，如果KT<0。（69）然后我们得到B（t）≥ θ表示所有t∈ [0，T]。这就完成了命题的证明。利用以上建立的上下界，我们可以证明HJB方程解的存在唯一性的主要定理。定理5.2。存在唯一的解B（t），t∈ [0，T]到满足b（T）的HJB方程（60）∈ [θ，\'-θ]对于所有t∈ [0，T]。

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