最优投资消费与有资本寿险

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《Optimal investment-consumption and life insurance with capital
constraints》
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作者：
Rodwell Kufakunesu and Calisto Guambe
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
The aim of this paper is to solve an optimal investment, consumption and life insurance problem when the investor is restricted to capital guarantee. We consider an incomplete market described by a jump-diffusion model with stochastic volatility. Using the martingale approach, we prove the existence of the optimal strategy and the optimal martingale measure and we obtain the explicit solutions for the power utility functions.
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中文摘要：
本文的目的是解决投资者受限于资本担保时的最优投资、消费和人寿保险问题。我们考虑了一个由随机波动率跳扩散模型描述的不完全市场。利用鞅方法，证明了最优策略和最优鞅测度的存在性，得到了幂函数的显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Optimal_investment-consumption_and_life_insurance_with_capital_constraints.pdf
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kedemingshi

2022-6-10 10:32:47

具有资本约束的最优投资消费和人寿保险Calisto GUAMBE和RODWE L KUFAKUNESUAbstract。本文的目的是解决投资者受限于资本担保时的最优投资、消费和人寿保险问题。我们考虑一个由随机波动率跳变扩散模型描述的完整市场。利用鞅方法，我们证明了最优策略和最优鞅测度的存在性，并得到了幂效用函数的显式解。1、默顿（Merton）[18]提出的最优消费投资问题引入了许多扩展。1975年，理查德（Richard）[26]首次将这个问题扩展到人寿保险决策。其他参考文献包括（Huang e t al【10】、Pliska和Ye【21】、Liang和Guo【17】）。最近，Kronborg和Steffeensen[1 5]将这个问题扩展到包括资本约束，之前由Tepl'a[27]和El Karoui等人[6]提出。上面提到的大多数参考文献都在一个差异框架下解决了这个问题。然而，正如默顿和许多经验数据所指出的那样，对价格演变的分析揭示了一些由外部信息流引起的突发和罕见的中断（跳跃）。这些行为构成了大多数投资者真正关心的问题，可以用泊松过程来建模，泊松过程的跳跃发生在罕见且不可预测的时间。有关详细信息，请参见Jeanblanc Picque和Pontier【11】、R ung galdier【24】、Daglish【4】、Oksendal和Sulem【25】、Hanson【8】以及其中的参考文献。在本文中，我们考虑了一个具有随机波动率的跳跃扩散问题，如Mnif[20]。在他的论文中，Mnif【20】使用动态编程方法解决了投资组合优化问题。

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kedemingshi

2022-6-10 10:32:51

将该技术应用于跳跃扩散模型，与该问题相关的HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程是非线性的，通常不提供明确的解决方案。为了证明光滑解的存在性，他在一定条件下将HJB方程的非线性化为半线性方程。我们在扩散过程中使用了Karatzas等人【13】和Karatzas及Shreve【14】开发的鞅方法来解决无限制问题。考虑到跳跃扩散模型，amarket是不完整的，因此我们有许多鞅测度。通过凸优化方法，我们得到了最优的投资、消费和人寿保险策略。这种方法可以刻画幂型效用函数的最优鞅测度。在文献中，该方法也已应用于2018年8月15日。关键词和短语。最优投资消费保险、跳跃扩散、鞅方法、不完全市场、基于期权的投资组合保险。2 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUby Castaneda Leyva和Hern'andez Hern'andez[1]在考虑由扩散过程描述的随机波动率模型的最优投资消耗问题中。类似作品包括（Liang和Guo【17】、Michelbrink和Le【19】以及其中的参考文献）。受限问题的最优解来自无约束最优解，应用ElKaroui等人开发的基于期权的投资组合保险（O BPI）方法。OBPI方法包括提取一定部分资本，投资于无约束问题的最优投资组合，剩余部分用美式看跌期权确保头寸。我们证明了策略的可容许性和最优性。本文的结构安排如下。

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能者818

2022-6-10 10:32:56

在第2节中，我们介绍了金融和保险市场的模型和问题公式。第三节，求解无约束问题。在第4节中，我们解决了约束问题并证明了我们的策略的可容许性。最后，在第5节中，我们给出了一个结论。2、金融模型我们考虑二维布朗运动W={W（t）；W（t），0≤ t型≤ 与完全过滤概率空间相关的T}(OhmW、 FW，{FWt}，PW），使得{W（t），W（t）}与相关系数相关|| < 1，即dW（t）·dW（t）=dt。此外，我们考虑了泊松过程N={N（t），FN（t），0≤ t型≤ 与完全过滤概率空间相关的T}(OhmN、 FN，{FNt}，PN），具有强度λ（t）和PN鞅补偿泊松过程▄N（t）：=N（t）-Ztλ（t）dt。我们假设强度λ（t）在[0，t]上是Lebesgue可积的。考虑产品空间：(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P）：=(OhmW×OhmN、 FW公司 FN，{FWt FNt}，PW PN），其中{Ft}t∈[0，T]是一种满足通常条件的过滤（Protter[23]）。在这个空间上，我们假设W和N是独立的过程。金融市场由无风险资产B组成：=（B（t）t∈[0，T]），非交易指数Z：=（Z（T）T∈[0，T]），可被视为外部经济因素，如温度、损失指数或波动驱动因素和风险资产S：=（S（T））T∈[0，T]与Z（T）相关。该市场由以下跳跃扩散模型定义：dB（t）=r（t）B（t）dt，B（0）=1，（2.1）dZ（t）=η（Z（t））dt+dW（t），（2.2）dS（t）=S（t）hα（t，Z（t））dt+β（t，Z（t））dW（t）+σ（t，Z（t））dW（2.3）+γ（t，Z（t））dN（t）i，S（0）=S>0，其中r（t）是无风险利率，α（t，Z）、β（t，Z）、σ（t，Z）和γ（t，Z）>-1分别表示平均回报率、波动率和分散率。

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何人来此

2022-6-10 10:32:59

利用Lattercondition和Z的连续性，我们保证（2.3）定义良好。最优投资组合、消费和保险3我们假设市场参数满足以下条件：（A）函数r:[0，T]→ Rα、 β，σ，γ：[0，T]×R→ R属于具有有界导数的C1,1（[0，T]×R）。此外，对于ll（t，z）∈ [0，T]×R和K>0，|α（T，z）|+|β（T，z）|≤ K |σ（t，z）|≤ K（1+| z |）。为了保证（2.2）解的存在性和唯一性，我们在R值f函数η上假设一个lipschitz条件：（a）存在一个正常数C，使得η（y）- η（w）|≤ C | y- w |，y，w∈ R在上述假设下，随机微分方程（SDE）（2.2）的解由（2.4）Z（t）=Z+Ztη（Z（s））ds+ZtdW（s）给出。让我们考虑一个保单持有人，其寿命是概率空间上定义的非负随机变量τ(Ohm, F、 P）且独立于过滤Ft。

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能者818

2022-6-10 10:33:02

考虑τ有一个概率密度函数f（t）和由f（t）给出的分布函数：=P（τ<t）=Ztf（s）ds。寿命τ>t的概率由'F（t）：=P（τ）给出≥ t | Ft）=1- F（t）。保单持有人在t时生存的瞬时死亡力u（t）由u（t）定义：=limt型→0P（t≤ τ<t+t |τ≥ t）t=直线电机t型→0P（t≤ τ<t+t）tP（τ≥ t） =(R)F（t）limt型→0F（t+t）- F（t）t=f（t）(R)f（t）=-滴滴涕（ln（(R)F（t）））。然后，保单持有人的条件生存概率由（2.5）F（t）=P（τ>t | Ft）=exp给出-Ztu（s）ds,4 CALISTO GUAMBE和RODWELL Kufakunesua以及保单持有人死亡的条件生存概率密度（2.6）f（t）：=u（t）exp-Ztu（s）ds.设c（t）为投保人的消费率，π（t）为投保人投资于风险资产的财富金额，p（t）为在时间t支付的保险金额∈ [0，T]针对工薪阶层在时间T之前死亡的人寿保险。我们假设策略（c（t）、π（t）、p（t））满足以下定义：定义2.1。消耗率是可测量的、Ft适应的过程，无nnega t IVE和ZTC（t）dt<∞, a、分配过程π是一个Ft可预测过程，ztπ（t）dt<∞, a、 s.保险过程p是可测量的，Ft适应过程，非负且ZTP（t）dt<∞, a、假设政策持有者获得的劳动收入率是确定的l（t）≥ 0, t型∈[0, τ ∧ 股票是可分割的，可以连续交易。

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mingdashike22

2022-6-10 10:33:06

此外，我们假设交易中不存在交易成本、税收或卖空约束，然后经过一些计算，财富过程X（t），t∈ [0, τ ∧ T]由以下SDE定义：dX（T）=[（r（T）+u（T））X（T）+π（T）（α（T，Z（T））- r（t））+l（t）- c（t）- u（t）p（t）]dt（2.7）+π（t）β（t，Z（t））dW（t）+π（t）σ（t，Z（t））dW（t）+π（t）γ（t，Z（t））dN（t），X（0）=X>0，其中Z（t）由（2.4）和τ给出∧ T：=最小{τ，T}。表达式u（t）（p（t）- X（t））dt根据财富过程（2.7），cor r espo nds to the risk premium rate to pay for the life insurance p at time t，从财富过程（2.7）中，我们得出了在t时支付人寿保险p的风险费率。

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可人4

2022-6-10 10:33:09

请注意，选择p>X对应于购买人寿保险，而p<X对应于出售人寿保险，即购买年金（Kronborg和Steffeensen[15]）。从定义2.1和条件（A）中，我们可以看到财富过程（2.7）得到了很好的定义，并且有一个唯一的解，即x（t）=xeRt（r（s）+u（s））ds+ZteRts（r（u）+u（u））duhπ（s）（α（s，Z（s））- r（s））+l（s）- c（s）-u（s）p（s）ids+Ztπ（s）β（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudW（s）最优投资组合，消费和保险5+Ztπ（s）σ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudW（s）+Ztπ（s）γ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u）dudN（s）。（2.8）我们定义了一个新的概率测度Q，它等价于P，其中S是局部鞅。Radon-Nikodym导数由∧（t）：=expnZt[（1）给出- ψ（s））λ（s）-θ（s，Z（s），ψ（s））-ν（s，ψ（s））]ds+Ztν（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztθ（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztln（ψ（s））dN（s）o.（2.9）根据Q下的Girsanov定理，我们得到：dWQ，ψ（t）=dW（t）- ν（t，Z（t），ψ（t））dt，dWQ，ψ（t）=dW（t）- θ（t，Z（t），ψ（t））dt，dNQ（t）=dN（t）- ψ（t）λ（t）dt分别是布朗运动和补偿泊松随机测度，其中（见RungGaldier[24]）（2.10）ν（t，Z（s），ψ（t））=β（t，Z（t））β（t，Z（t））+σ（t，Z（t））（r（t）- α（t，Z（t））- γ（t，Z（t））ψ（t）λ（t）），（2.11）θ（t，Z（t），ψ（t））=σ（t，Z（t））β（t，Z（t））+σ（t，Z（t））（r（t）- α（t，Z（t））- γ（t，Z（t））ψ（t）λ（t）），对于任何Ft适应的有界测度ψ>0。我们假设β（t，Z（t））+σ（t，Z（t））6=0。因此，我们有很多鞅测度，因此不完全市场。注意，从相关参数的有界性来看，可预测过程ν，θ是有界的。

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能者818

2022-6-10 10:33:12

然后，可以证明随机指数（2.9）是一个正鞅（见Delong[5]，命题2.5.1.）。从（2.10）和（2.11）中，我们得到：【π（t）（α（t，Z（t））- r（t））+π（t）β（t，Z（t））ν（t，Z（t），ψ（t））+π（t）σ（t，Z（t））θ（t，Z（t），ψ（t））+π（t）γ（t，Z（t））ψ（t）λ（t）]=0，然后在Q下，财富过程的动力学由dx（t）=[（r（t）+u（t））X（t）+l（t）- c（t）- u（t）p（t）]dt+π（t）β（t，Z（t））dWQ，ψ（t）+π（t）σ（t，Z（t））dWQ，ψ（t）+π（t）γ（t，Z（t））dNQ，ψ（t），（2.12），给出以下表示：X（t）=xeRt（r（s）+u（s）ds+ZteRts（r（u）+u（u））duhl（s）- c（s）- u（s）p（s）ids（2.13）+Ztπ（s）β（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）6 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU+Ztπ（s）σ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）+Ztπ（s）γ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudNQ，ψ（s）。以下定义介绍了可接受策略的概念。定义2.2。将可接受的策略集{A}定义为消费、投资和人寿保险策略，其中（2.13）给出的相应财富过程得到了很好的定义，（2.14）X（t）+g（t）≥ 0, t型∈ [0，T]，其中g是未来劳动收入的时间T精算值，由（2.15）g（T）：=E确定中兴通讯-Rst（r（u）+u（u））dul（s） ds |英尺.自等式，ψZtπ（s）β（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）= 0，（2.16）等式，ψZtπ（s）σ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudWQ，ψ（s）= 0，（2.17）式，ψZtπ（s）γ（s，Z（s））eRts（r（u）+u（u））dudNQ，ψ（s）= 0，（2.18）我们看到，（2.13）中的最后三项是Q局部鞅和（2.14）中的asupermartingale（参见Karatzas等人[12]）。

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何人来此

2022-6-10 10:33:16

然后，策略（c，π，p）是可容许的，且仅当X（T）≥ 0和t型∈ [0，T]，（2.19）X（T）+g（T）=等式，ψhZTte-Rst（r（u）+u（u））du[c（s）+u（s）p（s）]ds+e-RTt（r（u）+u（u））duX（T）| Fti。在时间零点，这意味着战略必须满足以下预算约束：（2.20）X（0）+g（0）=等式，ψ中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））du[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duX（T）.请注意，条件（2.14）允许财富变为负值，只要其绝对值不超过（2.15）中未来劳动收入的精算值g（t），从而防止家庭从未来劳动收入中借款。正如克伦堡和斯特芬森[15]所言，以下评论对本文的其余部分很有用。最佳投资组合、消费和保险7备注。定义（2.21）Y（t）：=中兴通讯-Rs（r（u）+u（u））du[c（s）+u（s）p（s）- l（s） ]ds+X（t）e-Rt（r（u）+u（u））du，t∈ [0，T]。根据（2.13），我们得到了条件（2.16）、（2.17）和（2.18）已满，当且仅当ifY是Q下的一个变量。自然的解释是，在Q下，贴现财富加上贴现养老金应为鞅。值得注意的是，如果Y是Q下的一个马氏体，那么X的动力学可以用以下形式表示：dX（t）=[（r（t）+u（t）]X（t）+l（t）- c（t）- u（t）p（t）]dt+φ（t）dWQ，ψ（t）（2.22）+φ（t）dWQ，ψ（t）+Д（t）dNQ，ψ（t），对于某些FWt适应过程φ，φ（t）和FNt适应过程φ，满足φ（t），ν（t）∈五十、对于任何t∈ [0，T]，那么在Q下，Y是一个martinga-le。3、无限制问题在本节中，我们使用鞅对偶方法来解决主要的优化问题。考虑凹面、非递减、上半连续和差异性。r、 t.第二变量效用函数Uk:[0，t]×r+→ R+，k=1，2，3。

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nandehutu2022

2022-6-10 10:33:19

定义严格递减的连续反函数Ik:[0，T]×R+→ R+，k=1，2，3，乘以（3.1）Ik（t，x）=英国（t，x）x个-1，k=1，2，3。与效用函数Uk相对应的mUk Legendre-Frechel变换定义如下：（见Karatzas等人【14】）（3.2）eUk（t，x）：=maxy>0【Uk（t，y）】- yx]=英国（t，Ik（t，x））- xIk（t，x），t∈ [0，T]，0<x<∞ .设ρ（t）为表示投保人时间偏好的确定性函数。政策持有人选择他的策略（c（t）、π（t）、p（t）），以优化消费、死后遗产和养老金的预期效用。因此，他的策略如下：J（x，c*, π*, p*) := sup（π，c，p）∈A′EhZτ∧Te公司-Rsρ（u）duU（s，c（s））ds+e-Rτρ（u）duU（τ，p（τ））1{τ≤T}+e-RTρ（u）duU（X（T））1{τ>T}i.（3.3）这里，1a是集合a的指示函数。a′是a′：=n（c，π，p）给出的a容许策略（可行策略）的子集∈ A | EhZτ∧Te公司-Rsρ（u）dumin（0，u（s，c（s）））ds8 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESU+e-Rτρ（u）dumin（0，u（τ，p（τ）））1{τ≤T}+e-RTρ（u）dumin（0，u（X（T）））1{τ>T}i>-∞o、（3.4）可行策略（3.4）意味着允许从策略（π，c，p）中得出一个有限的效用∈ A′，但前提是对效用函数的负面部分的期望是有限的。很明显，对于正效用函数，集合a和a′是相等的（参见Kronborg和Steffeensen【15】）。为了解决无限制控制问题（3.3），可以使用Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程（如Mnif【20】）或HJB方程与带跳跃的后向随机微分方程（BSDE）的组合（Guambe和Kufakunesu【7】）。在本文中，我们使用了（Karatzas等人[12]、Castaneda Leyva和Hern'andez Hern'andez[1]、Kronbo rgand Steffeensen[15]）中应用的鞅方法。

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mingdashike22

2022-6-10 10:33:22

这是由于下一节中的受限问题，其中的项是从无约束问题中的鞅方法推导出来的。使用（2.5）和（2.6），我们可以将投保人的优化问题（3.3）重写为：J（x，c*, π*, p*) = sup（c，π，p）∈A’EhZTe公司-Rsρ（u）du[(R)F（s）u（s，c（s））+F（s）u（s，p（s））]ds+e-RTρ（u）du'F（T）u（X（T））i。因此，J（X，c*, π*, p*) = sup（c，π，p）∈A’EhZTe公司-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c（s））+u（s）u（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X（T））i.（3.5）我们现在使用对偶方法解决主要问题。这种方法允许我们通过搜索一系列鞅测度、inf-sup鞅测度ψ以及辅助市场中的对冲组合过程，构建与原始市场相关的辅助市场Mψ，满足原始市场Mψ中的投资组合约束，并几乎肯定地精确复制或有权益。这一方法在许多论文中都有不同的应用，例如，见He和Pearson【9】、Karatzas和Shreve【14】、第5.8节、Castaneda Leyva和Hernandez Hernandez【1】、Liang和Guo【17】。否则，可以通过添加人为风险集来完成市场，以获得一个完整的市场，然后应用鞅方法来求解最优投资组合问题。关于市场完成情况，我们参考Karatzas等人【12】，Runggaldier【24】，第4节。，Corcuera等人。

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mingdashike22

2022-6-10 10:33:25

[2].因此，我们定义了与原始问题（3.5）相关的双泛函ψ（ζ，ψ），其中ζ是拉格朗日乘数，通过：最优投资组合、消费和保险9ψ（^ζ，ψ）：=supζ>0；ψ> 0nEhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c（s））+u（s）u（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X（T））i+ζ（X+g（0））-ζ等式，ψ中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））du[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duX（T）o、对偶问题t hat t对应于pr ima l问题（3.5），由（3.6）minζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）组成。请注意（有关更多详细信息，请参见Cuoco【3】或Karatzas et al【14】）等式，ψ中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））du[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duX（T）= E中兴通讯-Rt（r（u）+u（u））duΓψ（t）[c（t）+u（t）p（t）]dt+e-RT（r（u）+u（u））duΓψ（T）X（T）,其中，我们将调整后的州价格定义为：ψ（t）：=∧（t）eRt（ρ（s）-r（s））ds=expnZt[ρ（s）- r（s）-θ（s，Z（s），ψ（s））-ν（s，Z（s），ψ（s））+（1- ψ（s））λ（s）]ds（3.7）+Ztν（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztθ（s，Z（s），ψ（s））dW（s）+Ztln（ψ（s））dN（s）o。该表达式可以用SD E形式写成：dΓψ（t）=Γψ（t）h（ρ（t）- r（t））dt+ν（t，Z（s），ψ（t））dW（t）（3.8）+θ（t，r（t），ψ（t））dW（t）+（ψ（t）- 1）然后，根据勒让德变换（3.2）的定义，（3.6）中的双函数lψ可以写成ψ（ζ，ψ）：=EhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[eU（s，c（s））+u（s）eU（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））dueU（X（T））i+ζ（X+g（0））。（3.9）以下定理表明，在适当的条件下，主问题（3.5）和对偶问题（3.6）之间的关系。10 CALISTO GUAMBE和RODWELL KUFAKUNESUTheorem 3.1。假设^ψ>0且^ζ>0。策略（c*（t），p*（t）（）∈ A′和X*（T）>0由C定义*（t） =I（t，ζψ（t））；p*（t） =I（t，ζψ（t））；十、*（T）=I（^ζΓ^ψ（T）），使（2.20）充满，其中X*（T）∈ FTis measurab l e是原始问题（3.5）的最优解，而（ψ，ζ）是对偶问题（3.6）的最优解。证据

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大多数88

2022-6-10 10:33:28

通过效用函数Uk的凹度，k=1，2，3，（见Karatzas et al[14]），我们知道Uk（t，x）≤ U（t，Ik（t，x））- y（Ik（t，y）- x）。然后可以很容易地显示（3.10）J（t，c（t），p（t），X（t））≤ infζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）。因此，为了完成证明，我们需要证明infζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）≥ J（t，c（t），p（t），X（t））。从（3.9）中，我们知道infζ>0，ψ>0ψ（ζ，ψ）=infζ>0，ψ>0nEhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[eU（s，c（s））+u（s）eU（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））dueU（X（T））i+ζ（X+g（0））o≤ EhZTe公司-Rs（ρ（u）+u（u））du[eU（s，c（s））+u（s）eU（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））dueU（X（T））i+^ζ（X+g（0））=EhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c*（s））+u（s）U（s，p*（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X*（T）i-^ζnEhZTe-Rt（r（u）+u（u））duΓ^ψ（t）[c*（t） +u（t）p*（t） ]dt+e-RT（r（u）+u（u））duΓ^ψ（T）X*（T）io+^ζ（x+g（0））=EhZTe-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c*（s））+u（s）U（s，p*（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X*（T）i≤ sup（c，p，π）∈阿内中兴通讯-Rs（ρ（u）+u（u））du[u（s，c（s））+u（s）u（s，p（s））]ds+e-RT（ρ（u）+u（u））duU（X（T））io最优投资组合，消费和保险11=J（T，c（T），p（T），X（T））。然后，使用（3.10），我们得出证明，即（c*（t），p*（t），X*（T）是原始问题（3.5）的最优解，（ψ，ζ）是对偶问题（3.6）的最优解。评论请注意，最优（^ψ，^ζ）不一定是唯一的，因此对于初始财富的不同选择，可能会得到不同的^ψ和^ζ。3.1. power utility案例的结果。在本节中，我们打算推导由以下公式给出的常数相对风险函数类型的效用函数的显式解：（3.11）U（t，x）=U（t，x）=U（t，x）=e-κtδxδ，如果x>0，limx→0e-κtδxδ，如果x=0，-∞, 如果x<0，对于某些δ∈ (-∞, 1） \\{0}和t∈ [0，T]。

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