存在唯一的充要条件

2022-6-1 13:57:13

递归效用存在唯一性的必要和充分条件Jaroslav Boroviˇckaa和John StachurskibaNew York大学、明尼阿波利斯联邦储备银行和澳大利亚国立大学NBERB经济研究院，2019年4月24日摘要。我们得到了Epsteinand Zin（1989）提出的一类同伦递归效用模型解存在唯一性的精确必要和充分条件。条件集中在具有自然经济解释的单个测试值上。该测试揭示了现金流估值、急躁、风险调整和消费跨期替代之间的关系。我们提出了两种在没有解析解时计算测试值的方法。提供了几个应用程序。JEL分类：D81、G11关键词：递归偏好、存在、唯一作者感谢Anmol Bhandari、Tim Christensen、Ippei Fujiwara、Jinill Kim、Daisuke Oyama和Guanlong Ren提出的有用意见和建议。特别感谢米罗斯·拉瓦·齐马夫对当地光谱半径条件的宝贵投入。第二作者非常感谢ARC赠款FT160100423的财政支持。此处表达的观点是作者的观点，不一定是明尼阿波利斯联邦储备银行或联邦储备系统的观点。Jaroslav BoroviˇckaThe的披露声明本文中表达的观点是我自己的，不一定是明尼阿波利斯联邦储备银行或联邦储备系统的观点。我没有别的要说的了。John StachurskiI的披露声明无需披露。1.

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2022-6-1 13:57:16

引言：库普曼斯（1960）、爱泼斯坦和津（1989）以及威尔（1990）所讨论的递归偏好模型在宏观经济和金融建模中发挥着重要作用。例如，Bansal和Yaron（2004）、Hansen et al.（2008）、Bansal et al.（2012）和Schorfeide et al.（2018）分析的长期风险模型在离散时间有限范围内使用了这种偏好，并有各种消费路径规范，以帮助解决文献中确定的长期经验难题。在递归效用模型中，消费流在给定时间点的寿命值表示为非线性前瞻方程的解。虽然这种表示法方便直观，但也可能是空洞的，因为前瞻性递归不存在明确的解决方案。此外，即使找到了解决方案，该解决方案也缺乏预测性内容，除非还可以建立某种形式的唯一性。总的来说，对于一类经验相关的消费流，识别暗示解决方案存在和唯一性的限制是一项挑战。本论文的目的是在一系列经验上合理的环境中获得尽可能正确的存在性和唯一性结果，同时将注意力限制在可在应用工作中测试的实际条件上。为此，我们提供了Einstein和Zin（1989）研究的一类同位语偏好解的存在性和唯一性的条件，同时承认了平稳和非平稳消费路径。这些条件既必要又有效，因此在我们考虑的环境中尽可能紧密。特别是，如果条件成立，则存在唯一的全局跟踪解决方案，如果条件不成立，则不存在唯一的解决方案。

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2022-6-1 13:57:19

实体解决方案的存在等同于财富消费率的存在，财富消费率是资产定价的核心目标。为了更详细地说明该设置，让首选项通过vt=h（1）递归定义- β） C1类-1/ψt+β{Rt（Vt+1）}1-1/ψi1/（1）-1/ψ），（1）其中{Ct}是消耗路径，Vt是从时间t开始延伸的路径的效用值，rti是Kreps–Porteus确定性等价运算符rt（Vt+1）=（EtV1-γt+1）1/（1-γ). （2）参数β∈ （0，1）是一个时间贴现因子，γ6=1控制风险规避，ψ6=1是跨期替代的弹性。我们根据给定的消费流，寻求规范化效用Vt/Ct的解决方案。我们方法的第一步是将风险调整后的长期平均消费增长率mc=limn与每个消费过程相关联→∞RCnC公司1/n，（3）其中R是Kreps–Porteus确定性等价运算符的无条件版本。从驱动消费增长的条件分布的状态向量取紧集中的值的情况开始，在紧集中可以得到最尖锐的结果，我们证明了当且仅当∧<1，其中∧：=βM1时，存在唯一解-1/ψC.（4）在相同的紧性约束下，我们还证明了∧<1的条件对于与自然固定点映射相关的连续逼近的全局收敛是必要的和有效的。事实上，我们的结果证明，连续近似本身的收敛性意味着存在唯一解，并且通过该过程产生的极限等于该解。

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2022-6-1 13:57:22

此外，我们证明了当∧<1的条件失效时，不仅解的存在性和唯一性失效，而且存在性失效。值∧表示由不耐烦和消费跨期可替代性修正的风险调整后长期消费增长率。尽管偏好递归（1）交织了不耐烦、时间内风险厌恶和跨时间替代弹性对价值的贡献，但条件∧<1e有效地分离了这些力量。消费增长过程的细节，如asits的持续性或其创新的更高时刻，只有通过MC中编码的消费增长的长期分布才有意义。第3节和应用中提供了关于直觉背后条件（4）的其他讨论。除上述结果外，我们还利用局部谱定理证明了mc=r（K）1/（1-γ），（5）式中，r（K）是估值算子K的谱半径，由以下原语确定。这一结果在两个层面上都很有用。首先，与估值算子相关的谱半径和显性特征函数越来越多地被用来通过引入随机贴现因子的分解来理解宏观经济和金融应用中的长期风险和长期价值（参见Alvarez和Jermann（2005））；Hansen和Scheinkman（2009）；秦和莱因茨基（2017）；Christensen（2017））。通过（5）中的识别，我们可以联系这些文献并从中获得见解。其次，在计算层面上，当状态过程的状态空间是有限的时，估值算子K只是一个矩阵，谱半径很容易计算。由此可以通过（5）计算检验统计量∧。

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2022-6-1 13:57:25

当状态空间不确定时，在离散化后仍然可以实现这一想法。当状态空间为高维时，精确的离散化非常重要，谱半径的计算变得非常昂贵。对于这些场景，我们提出了一种蒙特卡罗方法来计算测试值∧，该方法基于模拟给定规格的消耗路径，并通过对这些路径进行平均来计算（3）右侧的风险调整预期。这种方法易于实现，并且对状态空间的维数相对不敏感。另一个优点是，通过沿多个执行线程模拟独立的使用路径，可以轻松地将例程并行化。以上讨论的关于连续近似的存在性、唯一性和收敛性的所有理论结果都是在紧致值状态过程的背景下得出的，紧致值状态过程驱动消费增长的持续成分。在此设置中，我们应用了Du（1990）提出的不动点定理，该定理扩展到抽象向量空间，即如果斜率条件f（0）>1且f(∞) < 1令人满意。就本文所考虑的估值问题而言，偏好规格中固有的单调性和凹度，而条件∧<1是斜率条件的关键。最后一步所需的参数非常重要，状态空间的紧凑性起着重要作用。同时，我们对状态空间无界时∧<1条件的含义提供了一些指导。

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2022-6-1 13:57:28

在此设置中，我们表明，在与算子K的迭代紧性相关的辅助技术约束下，条件∧<1对于解的存在也是必要的和有效的。如前所述，对给定函数的逐次逼近的收敛性意味着极限函数是一个解，并且这只能在∧<1时发生。当这些条件成立时，（5）中的识别仍然有效，上述蒙特卡罗方法仍然可以应用。这些证明使用了一个近似参数，即bootstraps之前声明的是紧凑型案例的结果。我们在第4节中提供了数值和理论结果的一系列应用。Westart使用Alvarez和Jermann（2005）的趋势平稳消费过程模型，在该模型中，我们可以分析描述我们的条件。结果表明，消费过程中的暂时不确定性，如确定性时间趋势周围的平稳波动，对于连续值的存在并不重要。接下来，我们关注一个经常使用的情况，其中消费增长的条件矩的动态是使用马尔可夫链编码的。具体而言，我们使用Johannes et al.（2016）的校准，并考虑两种信息结构，一种是代理观察马尔可夫链的实现，另一种是代理必须从消费增长实现中了解潜在状态，而消费增长实现只能不完全揭示状态。在前一种情况下，鉴于状态空间的简单结构，评估测试条件涉及计算（5）中的谱半径，作为小矩阵的最大特征值。在后一种情况下，状态空间是连续的，对马尔可夫链未观测状态的客观概率进行编码，并使用贝叶斯规则进行更新。

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2022-6-1 13:57:32

尽管现在状态空间和过渡动力学变得更加复杂，但我们的结果表明，对于完全信息情况下的相同参数集，连续值完全存在。根本原因是国家不确定性对未来消费增长的条件分布的暂时作用，对MCin的价值没有影响（3）。我们的主要定量应用是Schorfeideet al.（2018）中规定的长期风险模型。在此类模型中，有限连续值的存在是一个不重要的问题，因为（i）为了提高持续风险组件的重要性，贴现非常小，将其推向稳定性和不稳定性之间的边界，以及（ii）状态动力学是非线性的，且维度相对较高。使用数值方法，我们表明∧<1的条件在任意小的运行量下是满足的，并且在原始模型中几乎肯定是满足的，没有截断。我们还提供了一些与替代近似过程和截断影响相关的鲁棒性检查。最后，我们表明，我们的结果也可以应用于消费是内生决定的生产经济体。在许多应用中，消费与驱动模型不确定性的外部特定过程是协整的。由于消费过程中的暂时性波动是不相关的，因此可以使用外生驱动过程直接计算风险调整后的长期增长率，而无需了解消费过程的具体细节。关于现有文献，Epstein和Zin（1989）以及Marinacci和Montrucchio（2010）提供了递归实用程序存在和唯一性的充分条件。这些条件要求有限的边界Bcon消费增长率Ct+1/Ct以概率1渐近保持。

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2022-6-1 13:57:35

因此，它们不能应用于消费过程的许多近期规范，如第4.4节中提到的长期风险规范，因为这些环境中的消费增长是无限的。即使通过截断冲击获得有限界，我们也表明，得到的条件总是比本文中给出的条件更严格，并且对于实际参数化来说通常过于严格。这是因为概率1沿每个未来消费轨迹均匀地限制了效用，而本文的结果考虑了所有路径上平均发生的情况。换句话说，我们的结果更清晰，因为递归效用规范虽然是非线性的，但仍然使用对未来连续值的集成来定义。相反，只关注消费增长过程的上尾端会导致过度紧张的稳定条件。Alvarez和Jermann（2005）提出了递归效用存在的另一个条件，该条件侧重于消费具有确定性时间趋势的情况。我们的条件∧<1也比他们的条件弱，如第5节所示。这背后的直觉是，Alvarez和Jermann（2005）使用了一个固定点论点，要求在一个步骤中进行收缩。相反，限制∧<1是一个忽略消费短期波动的渐近条件。同样相关的还有Hansen和Scheinkman（2012），他们研究了具有无限消费增长的Epstein-Zin效用模型。他们的方法是将解与Epstein–Zin效用递归和与线性算子相关的Perron–Frobenius特征值问题联系起来，在他们的论文中用T表示，这与上面讨论的算子成比例。消费增长是无界外生状态过程的函数。

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kedemingshi

2022-6-1 13:57:38

在这种情况下，它们表明，当T的谱半径和偏好参数以及T的特征函数的可积性条件受到联合限制时，存在一个解。他们还获得了一些参数值的唯一性结果（尽管不是最具经验相关性的参数值）。对于xis-compact的情况，我们的方法具有以下优点：首先，我们获得了所有参数化解的唯一性。其次，我们证明了我们的条件对于存在性和唯一性都是必要的和有效的。第三，我们得到了一个全局收敛的计算方法，并证明了它收敛的充要条件是解存在。第四，我们提供了测试值的多种表示，加强了经济解释，以及一种可应用于高维环境的计算方法。第五，我们避免了Hansenand Scheinkman（2012）中涉及算子T特征函数可积性限制的辅助条件，这意味着我们的所有条件都可以在应用设置中直接测试。对于xis不紧的情况，我们的结果也有助于增强Hansen和Scheinkman（2012）的结果，表明条件∧<1对于解的存在是必要的，也是有效的。在另一项相关研究中，Guo和He（2018）考虑了对Epstein–Zinrecursive效用模型的扩展，该模型包括投资收益和损失的效用度量。作为该研究的一部分，他们获得了消费规格类似于Hansen和Scheinkman（2012）的Epstein–Zin递归效用模型解的存在性、唯一性和收敛性的结果，但状态空间被限制为有限的。

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2022-6-1 13:57:41

相比之下，我们允许状态空间在单位中是可数的或不可数的，我们不仅确定了效率，还确定了必要性。本文结构如下：第2节更深入地考虑了风险调整后的长期平均消费增长率。第3节陈述了我们的主要结果。第4节讨论应用。第5节将我们的结果与之前文献中的替代有效条件进行了对比。第6节处理无界情况，第7节得出结论。所有的证据都放在附录中。2、消费路径和风险调整增长在说明主要结果之前，我们介绍了我们的消费路径基线模型，并解决了一个重要问题：因为∧=βM1-1/ψC，我们条件∧<1的实用性取决于准确评估风险调整后的长期平均消费增长率MC的能力，如（3）所述。对于consumptionpath的某些规范，存在Mc的分析表达式。然而，对于其他人来说，没有这样的表达。在第二种情况下，我们必须使用数值方法来计算MC。本节讨论用数值方法计算mc的两种方法。本节的主要目的是（a）通过处理一些相对简单的案例来建立对MCA的直觉，（b）提供证据证明，即使不存在封闭形式的解决方案，也可以有效地评估MCA，因此∧可以准确地进行评估。2.1. 消费路径。正如Hansen和Scheinkman（2012）所述，我们假设消费增长具有通用规范n（Ct+1/Ct）=κ（Xt，Xt+1，εt+1），（6）其中κ是一个连续函数，{Xt}是一个外生状态过程，{εt}是一个由RK与{Xt}无关。状态过程被假定为平稳的马尔可夫过程，取值于子txofrn中。每个XT的无条件密度用π表示。

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可人4

2022-6-1 13:57:44

函数q（x，·）表示Xt+1given Xt=x的条件密度。我们的所有结果都包括xis定义和存储库的情况https://github.com/jstac/recursive实用程序代码包含复制所有数值结果的代码。在这种情况下，应将跃迁密度q（x，y）解释为跃迁矩阵。更一般而言，“密度”一词应理解为“概率质量函数”的同义词假设2.1。函数q是连续的，“-阶跃跃迁密度q”在某个点上都是正的∈N、当不确定时，可以忽略连续性。q ` for some `的正性意味着{Xt}既是非周期的，也是不可约的，保证了平稳分布π的唯一性，并提供了渐近值的正则性，如风险调整后的长期平均消费增长率。假设2.1要么直接在我们的应用程序中得到满足，要么在任意小扰动后得到验证（学习应用程序的情况见第4.3节）。例如，考虑Bansal和Yaron（2004）第一节A中的消费增长规格n（Ct+1/Ct）=uc+Xt+σcεt+1（7）Xt+1=ρXt+σηt+1（8）。在这里-1<ρ<1和{εt}和{ηt}是IID标准正态创新。当状态过程设置为{Xt}时，我们得到q（x，·）=N（ρx，σ），当σ>0时，假设2.1满足`=1。对于这种消费动态模型，存在一个mc的解析表达式，即使连续值Vt的解析表达式不成立。要了解这一点，请观察cn/C=exp（nuC+Pnt=1Ht），其中Ht：=Xt+σCεt，因此风险调整后的长期平均消费增长率isMC=limn→∞（R扩展uc+nXt=1Ht！）1/n。这里，R是由R【Y】：=E【Y1】定义的无条件Kreps–Porteus确定性等价运算符-γ]1/(1-γ).

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2022-6-1 13:57:47

注意到{Ht}是高斯分布的，并且将snequal设置为varianceofPnt=1Ht，我们得到了expnuc+nXt=1Ht！=经验值nuc+（1- γ）序号. （9）如Hansen et al.（2008）或Bansal et al.（2014），这些计算可以进一步扩展到消费增长是VAR组成部分的情况。使用pnt=1hts是独立项spnt=1xt和σcPnt=1εt之和的事实，以及（8）中的AR（1）动力学，直接计算得出n=nσc+σ1- ρn+2（n- 1)ρ1 - ρ- 2ρ1 - ρn-1(1 - ρ).将（9）的右侧提高到1/n的幂次方，并取极限yieldsMC=expuc+（1- γ)σc+σ（1- ρ). （10）而一期消费增长率的无条件方差为σc+σ/（1- ρ），消费增长的持续性意味着消费增长率的长期方差由σc+σ/（1）给出-ρ). 风险规避集γ>1和更高的持续性和波动性的典型校准会对MC产生负面影响。例如，在Bansal andYaron（2004）表I中消费过程的参数化下，（10）中的表达式在γ=7.5时计算为1.00045，在γ=12.5.2.2时计算为0.99964。有限状态情况。有限状态设置为我们提供了一个关于风险调整后的长期平均消费增长率M的替代观点，以及计算它的替代方法。特别是，具有典型元素x、y和K的ifXis fite是具有（x、y）-第th元素K（x、y）：=Xy的矩阵∈XZexp[（1- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y），（11）然后（5）保持不变；也就是说，MC=r（K）1/（1-γ）当r（K）=最大λ时∈E |λ|。（12）这里E是K的特征值集，因此r（K）是矩阵K的谱半径。为了理解为什么MCin（12）的替代表示有效，请注意，对于所有x inx和所有n inN，我们有kn（x）=Exexp（（1- γ） nXt=1κ（Xt-1，Xt，εt））。（13）这里是（11）中K的n次方，是1的向量。X=X的期望条件。

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2022-6-1 13:57:50

（13）中的恒等式在n=1时为真，紧接着是从（11）中K的定义开始的，一般n的情况可以通过归纳得到证实。Let所讨论的参数值为uc=0.0015、ρ=0.979、σ=0.00034和σc=0.0078。k·k是khk=Px定义的Lvector范数∈X | h（X）|π（X）。根据（13）和无期望定律，我们得到了kknk=Xx∈XKn（x）π（x）=Eexp（（1- γ） nXt=1κ（Xt-1，Xt，εt））。（14）换句话说，kKnk=ECnC公司1.-γ=RCnC公司1.-γ. （15） Gelfand的光谱半径公式告诉我们kKnk1/n→ r（K）为n→ ∞当k·k是矩阵范数时，在当前上下文中，可以修改该结果以显示kKnk1/n→ r（K）也适用。将最后一个结果与（15）givesM1连接-γC=limn→∞RCnC公司1.-γn=limn→∞kKnk1/n=r（K），（16），这证明了（12）中的权利要求。在下面的几个应用中，我们通过数值计算r（K），然后通过MC=r（K）1/（1）恢复MC来使用此恒等式-γ).2.3. 离散化。如前一节所述，如果状态空间是有限的，那么我们可以使用恒等式MC=r（K）1/（1-γ）在（16）中获得，用于计算MC，这反过来又允许我们计算稳定性指数∧。另一方面，如果Xis不确定，则一种选择是对模型进行离散化，从而得到一个确定的状态空间和一组转移概率q（x，y），然后按照上述步骤进行。在这里，我们调查这一程序的准确性。我们的实验基于（7）–（8）中的Bansal–Yaron消费增长动力学，其中在（10）中获得了Mc的分析表达式。我们首先使用Rouwenhorst方法（Rouwenhorst，1995）离散高斯AR（1）状态过程（8）。然后，我们计算（11）中对应于该离散状态过程的矩阵K，使用线性代数例程计算谱半径r（K），并由此计算MCas r（K）1/（1）的相关值-γ).

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2022-6-1 13:57:53

最后，我们将结果与从解析表达式（10）获得的mc的真实值进行比较。表1显示了在一系列参数值和离散化水平上的比较。如第一列所示，各行的偏好参数γ各不相同，而其余参数来源于Bansal和Yaron（2004）的表I，参见脚注3。第二列显示非DiscretizedModel的mc的真实值。其余列显示了使用数值程序计算的值。这是引言中讨论的局部光谱半径结果的有限维版本。附录定理A.1给出了扩展到有限状态设置的完整证明。真值D=5 D=50 D=100 D=200γ=7.5 1.0004504 1.0004998 1.0004549 1.0004527 1.0004516γ=10.0 1.0000466 1.0001658 1.0000525 1.0000496γ=12.5 0.9996430 0.9998662 0.999663 0.999652 0.9996491表1。上一段中讨论的MC、Bansal–Yaron模型在不同离散化水平下的真值和离散近似值。例如，D=5意味着AR（1）过程（8）使用Rouwenhorst方法离散为5状态马尔可夫链。结果表明，基于离散化的方法对该模型是准确的，即使是相对coase近似。2.4. 蒙特卡罗方法。第2.3节中讨论的基于离散化的方法的一个潜在问题是，当状态空间较大时，该算法的计算效率很高。因此，我们还提出了一种蒙特卡罗方法来计算MCA的近似值，这种近似值不太容易受到维数诅咒的影响。

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2022-6-1 13:57:56

第一步是用一些有限但较大的n来代替mc定义中的限制，这导致mc（n）：=（ECnC公司1.-γ)1-γn（17）接下来，将（17）中的期望值替换为m条独立消费路径上的样本平均值，该平均值根据所讨论模型的规范生成。特别是，以{C（j）t}作为m条消耗路径的第j条，我们采用近似值mc（m，n）：=mmXj=1C（j）nC（j）！1.-γ1.-γn（18），n和Y（j）固定：=（C（j）n/C（j））1-γ、强大数定律yieldspmmj=1Y（j）→EY作为m→ ∞ 概率为1。然而，这个结果只是渐近的，我们主要关心的是当m和n是中等的时候，估计量MC（m，n）是否具有良好的性质。为了验证这一点，我们再次使用对数正态消耗模型，并将我们的近似值与通过（10）中给出的分析表达式获得的真实值进行比较。由于ein（17）是无条件期望，我们在计算{C（j）t}时从其平稳分布中得出初始状态X（j）。m=1000 m=2000 m=3000 m=4000 m=5000n=250 1.0006940 1.0006905 1.0006940 1.0006932 1.0006934（0.000076）（0.000048）（0.000032）（0.000037）（0.000029）n=500 1.0006208 1.0006091 1.0005813 1.0005733 1.0005775（0.000084）（0.000066）（0.000068）（0.000062）n=750 1.0005979 1.0005762 1.0005664 1.0005611 5523（0.000112）（0.000096）（0.000076）（0.000074）（0.000092）表2。MC=1.0004504时MC（m，n）的实现。数值显示1000个独立绘图的平均值和标准偏差。表2说明了我们的结果。如脚注3所示，再次选择消耗路径参数，以匹配Bansal和Yaron（2004）。参数γ设置为7.5，与表1的第一行相匹配。根据AnalyticalPression（10）计算得出的Mc的真实值为1.0004504，如表格标题所示。

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可人4

2022-6-1 13:57:59

表中n和m的解释与（18）的右侧一致。对于每个n，mpair，我们使用独立绘图计算总共1000次MC（n，m），然后在相应的单元格中显示样本的平均值和标准偏差。在所有模拟中，蒙特卡罗近似精度高达小数点后三位。标准偏差很小，随着m的减小而减小。估算mc的高精度转化为估算∧=βM1的类似高精度-1/ψConce我们引入了额外的偏好参数β和ψ。表3说明了这一点。表中的每个（m，n）单元格给出了∧（m，n）：=βMC（m，n）1的1000次绘图的平均值和标准偏差-1/ψ. （19） MC（m，n）的绘制如表2所示进行计算，其余参数设置为β=0.998，ψ=1.5，如Bansal和Yaron（2004）所示。表3标题中的真值∧=0.9981498计算为∧=βM1-1/ψc，其中mc从解析表达式（10）中获得。实际值的意义如下所述。3、递归效用的存在性和唯一性我们现在陈述我们的主要理论结果。在本节中，我们将注意力限制在状态空间紧凑的情况下。这也涵盖了有限状态的情况，因此，以（18）为中心的蒙特卡罗方法的另一个优点是，独立消费过程的模拟可以并行化。

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kedemingshi

2022-6-1 13:58:02

在我们的一些实现中，这导致速度提高接近两个数量级。m=1000 m=2000 m=3000 m=4000 m=5000 n=250 0.9982308 0.9982297 0.9982308 0.9982305 0.9982306（0.000025）（0.000016）（0.000011）（0.000012）（0.000010）n=500 0.9982065 0.9982026 0.9981934 0.9981907 0.9981921（0.000028）（0.000022）（0.000022）（0.000021）n=750 0.9981989 0.9981916 0.9981916 917 0.9981866 0.9981837（0.000037）（0.000032）（0.000025）（0.000025）（0.000031）表3。当∧=0.9981498时∧（m，n）的实现消费动态的任何数值表示。为了简洁起见，我们的大多数论述都集中在连续状态的情况下。到最终状态设置的转换非常简单。我们的兴趣集中在Vt/Ctin（1）–（2）的存在性、唯一性和可计算性上，尽管解决第一个问题很方便：=VtCt1.-γ. （20）我们使用（2）、（6）和（20）重写偏好递归（1）asGt=n1- β+β{EtGt+1exp[（1- γ） κ（Xt，Xt+1，εt+1）]}1/θoθ（21），其中θ：=1- γ1 - 1/ψ.对于平稳马尔可夫解Gt=g（Xt），（21）中的限制转化为tog（x）=（1- β + βZg（y）Zexp[（1- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y）dy所有x的1/θ）θ（22）∈十、式中，ν是εt+1的分布。我们通过将未知函数g转化为定点问题来求解（22）。第一步，我们通过Kg（x）=Zg（y）Zexp[（1）定义Kg- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y）dy（23）这些变换利用了Epstein–Zin效用的同质性。特别地，Vt/CTI的存在唯一性等价于财富消费比的存在唯一性，其等于（1- β)-1G1/θtin此模型。根据我们在第2.2节中对有限状态情况的讨论，线性算子K对g的作用概括了将（11）中的矩阵K应用于列向量的想法。

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2022-6-1 13:58:05

Nowletν是标量函数Д（t）=1.- β+βt1/θθ（24）onR+。然后，我们将A定义为将g映射到Ag的操作符，其中g（x）=Д（Kg（x））。（25）现在（22）可以写成g（x）=Ag（x）。因此，A的固定点与递归效用问题的解决方案一致。假设3.1。状态空间轴紧凑。假设3.1包括XIS定义的情况。它适用于任何数值应用，但在我们考虑的理论模型中并不总是令人满意。第6节提供了无界情况的处理方法。设C为正函数g onx的集合，使得g（Xt）具有有限的第一时刻。利用（4）中定义的∧，我们可以陈述我们的主要发现：定理3.1（存在性和唯一性）。如果假设2.1和3.1成立，则∧定义良好，以下陈述等效：（a）∧<1。（b） A在C中有一个固定点。（c）存在一个g∈ 使{Ang}n>1收敛到C的一个元素。（d） A在C中有一个唯一的固定点。（e） A具有唯一的固定点g*在C和Ang中→ g级*作为n→ ∞ 对于C中的任何g。从实用的角度来看，定理3.1中最有用的结果是，当∧<1时，精确存在唯一解。另一个有趣的结果是（b）和（d）的逻辑等价性，这告诉我们每个参数化最多存在一个解决方案。由于（c）等价于（e），从c中的任何起点开始的连续逼近的收敛性意味着存在唯一解，并且该解等于从每个初始条件开始的连续逼近的极限。因此，如果在给定的一组参数下计算模型的解是主要目标，那么我们采用约定∞当α<0时，α=0，特别是当θ<0时，Д（0）=0。这里和下面，收敛是以绝对平均误差（即偏差）表示的。

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2022-6-1 13:58:09

因此，gn的声明→ C中的g表示r | gn（x）- g（x）|π（x）dx→ 0作为n→ ∞.迭代方法本身的收敛性证明了极限是一个解，C中不存在其他解的说法。定理3.1中的条件（a），转化为βM1-1/ψC<1，分离了不耐烦、时间内风险调整和消费的跨期替代性对消费流估值的贡献。更多的不耐烦（较低的β）会降低∧，促进最终估值。较高的时间内风险调整γ降低了∧，但其对∧的影响取决于跨期替代的弹性。当参考值是弹性的，ψ>1时，由MCM增加引起的未来消费价值更高的收入效应强于当前和未来消费之间边际替代率的变化。由于Vt/CTI以单位电流消耗的单位单位单位为单位，因此随着MCU的增加，它会分化为单位单位。当ψ<1时，收入和替代效应的相对长度发生变化，当mc足够小时，违反∧<1。注意，由于测试值∧仅取决于通过风险调整的长期平均消耗增长率MC的消耗，因此消耗过程的暂时细节与连续值的存在无关。在下面的应用程序中使用了这一见解，特别是当我们比较有学习和无学习的模型时（分别为第4.2节和第4.3节）。条件∧<1对长期消费带价值的平均增长率施加了一个界限，即随着其成熟度的增加。

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2022-6-1 13:58:12

在iid增长设置中，log∧恰好等于该（恒定）增长率，该增长率必须为负值，才能存在有限的富裕消费比，从而存在连续值。换句话说，与无风险利率相比，风险调整后的消费增长率必须足够低。在更一般的设置中，∧与消费带定价中使用的估值算子的主要特征值相关。有关这些运营商的更多详情，请参见Boroviˇcka等人（2016）和Qinand Linetsky（2017）。定理3.1的效率部分使用单调算子的不动点理论，将其应用于算子A，并关注最初由Du（1990）得出的特定存在性和唯一性结果。在引言中，我们简要地讨论了这些结果，其中讨论仅限于单调凹的情况。事实上，Du（1990）的结果可以处理单调凹算子和单调凸算子。算符A通常属于这些类别之一，当θ<0或θ>1时为凹型，根据（24）中定义的函数的凹凸性，结合K.截面的线性，则为凸型？？在线附录概述了这些计算。该证明还使用了基于Krein–Rutman定理的谱结果，该定理将Perron–Frobenius理论扩展到函数空间。特别是，科学和必要性论证都利用了导言中的光谱半径恒等式（5），该恒等式依赖于最初由V.Ya引起的局部光谱半径结果的扩展。斯特森科。原始结果见附录中的定理A.1，扩展见定理A.2，证明（5）见命题B.4。应用接下来，我们将演示如何使用定理3.1在应用环境中获得解的存在性和唯一性。

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2022-6-1 13:58:15

我们从相对简单的应用程序开始，然后发展到更现实的消费流规范。4.1. 具有确定性时间趋势的消费。考虑一个模型，其中消费服从几何趋势规范T=τtXt，（26），其中τ为正标量，{Xt}为正，紧支撑，iid，如Alvarez和Jermann（2005）。然后，风险调整后的长期平均消费增长率isMC=limn→∞RτnXnXn=τlimn→∞（E）XnX型1.-γ） 1/（n（1-γ））=τ，（27），其中最后一个等式来自期望值为常数的事实（因为状态过程为iid）。借助定理3.1，我们发现唯一解存在的确切必要条件是∧=βτ1-ψ< 1. （28）由于消费过程（26）是趋势平稳的，其随机成分对于消费增长的长期分布而言并不重要。这就是为什么风险规避参数γ没有进入（28）中获得的∧表达式中的原因。在∧中没有风险规避参数与Alvarez和Jermann（2005）提供的早期条件形成对比，后者确实依赖于γ。然而，我们的条件∧<1既是必要的也是有效的，从中我们可以得出结论，风险规避参数确实与解的存在性和唯一性无关。更多讨论请参见第5.2节。参数u（1）u（2）σ（1）σ（2）q（1，1）q（2，2）γ值0.007 0.0013 0.0015 0.0063 0.93 0.83 10.0表4。马尔可夫切换模型的参数值4.2。马尔可夫切换动力学。为了说明有限状态的情况，考虑Johannes等人（2016）的消费增长双状态马尔可夫切换规范，其中Ln（Ct+1/Ct）=u（Xt+1）+σ（Xt+1）εt+1（29），其中x={1，2}和基线参数值如表4所示。过程{εt}是iid和标准正态。我们暂时搁置了Johannes等人的学习部分。

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2022-6-1 13:58:18

（2016），并假设XT是完全可观测的。（第4.3节讨论了学习问题。）假设2.1的条件满足`=1。我们的第一步是使用第2.2节中讨论的谱半径方法计算该模型的mc。我们从（11）中取K，在当前设置中，该值减少到2×2matrixK（i，j）=Kij=exp(1 - γ） u（j）+（1- γ） σ（j）q（i，j）。（30）插入表4中的参数后，我们计算其特征值，将r（K）作为模量中的最大特征值，然后应用MC=r（K）1/（1-γ）自（16）。结果是MC=1.005。图1显示了当γ和σ（1）围绕其基线值移动时，mc是如何变化的。两者都会随着风险调整后的长期平均消费增长率的上升而降低，而γ的负面影响随着良好状态下波动性的增加而加剧。有了mc，我们可以计算∧=βM1-1/ψC。根据Johannes等人（2016）的偏好参数ψ=1.5和β=0.998，我们得到∧=0.99567。因此，定理3.1中的条件（a）满足，并且陈述（b）–（e）成立。特别是，递归效用问题存在一个独特且具有全局吸引力的解决方案。相反，如果我们（任意）将Schorfeide et al.（2018）的值ψ=1.97和β=0.999与该消耗过程配对，则∧=1.00147，并且根据定理3.1的（b）部分，不存在解。这些结果甚至对包含学习的模型都很重要，下一节将详细介绍这些结果。4.3. 马尔可夫学习切换。再次考虑上一节中的马尔可夫切换动力学，但假设如Johannes et al.（2016）所述，投资者6 8 10 12 140.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.010（1）1.00481.00501.00441.00451.00461.00471.00481.00491.00501.00511.00521.0053图1。在马尔可夫切换模型中，作为γ和σ（1）的函数，MCas不观察状态过程{Xt}。

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2022-6-1 13:58:21

相反，她基于自己的时间-0先验和对时间t之前消费增长的观察，形成了一个关于Xt的贝叶斯后验信念。投资者的过滤问题可以用Xt递归表示∈ [0，1]表示投资者信息集下Xt=1的概率。这个新的状态变量可以显示为遵循运动定律Xt+1=h（Xt，Zt+1），其中Zt+1=ln（Ct+1/Ct）是观察到的消费增长，h（x，z）=[xq（1，1）+（1- x） q（2，1）]Д（z）[xq（1，1）+（1- x） q（2，1）]（Д（z）- Д（z））+Д（z）。（31）这里是Zt+1的密度，条件为Xt=j。在线附录中提供了该标准过滤问题的推导细节。在无需学习的马尔可夫切换问题中，作为赋值算子的矩阵K in（30）被算子g（x）=Zg（y）[ξ（1）y+ξ（2）（1）替换- y） ]q（x，y）dy（32），其中ξ（i）=exp(1 - γ） u（i）+（1- γ） σ（i）对于i=1，2和q表示由贝叶斯学习者的主观信念产生的转移密度。换言之，q（x，·）是h（x，Zt+1）的分布，当h在（31）中定义，Zt+1=ln（Ct+1/Ct）。现在，我们在学习模型下评估风险调整后的平均消费增长率（3），我们将其表示为MC，以确定测试值∧。表示投资者的time-t信息集及其无条件下的期望算子。HenceMC=limn→∞裕利安怡（中国大陆）（1-γ） i1-γ1/n。迭代期望定律意味着对于任何n∈NminXEh（中国大陆）（1-γ） iEh（中国大陆）（1-γ） i6 maxXEh（中国大陆/加拿大）（1-γ） i.将这对不等式提升为幂1/（n（1- γ））并将极限取为n→ ∞, weobtainlimn公司→∞minXEh（中国大陆）（1-γ） i1-γ1/n6 MCmaxXEh（中国大陆）（1-γ） i1-γ然而，这种关系左侧和右侧条件期望的极限与两态马尔可夫链的遍历性的初始状态Xdue无关。

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2022-6-1 13:58:24

因此，MC=MC，且唯一连续值存在的参数在完全和部分信息模型中重合。尽管这两个模型的状态空间和跃迁密度存在根本差异，但这一结果仍然成立。结果的原因是国家不确定性对未来消费增长的条件分布的暂时影响。我们的测试值∧仅取决于投资者认为的消费增长的长期分布。投资者对未来消费增长的信念相对于数据生成过程的暂时性偏差，是由对不可观测状态的了解驱动的，从长远来看是无关紧要的，因此与是否存在细目连续值无关，尽管它们影响了连续值递推的每一步的条件期望集（22）。因此，在这类学习模型中，通过计算第4.2节中的全信息模型中的∧，可以更容易地评估连续值的存在性和唯一性，该模型具有更简单的状态空间和转移密度。虽然Johannes et al.（2016）中规定的正常密度Дj（z）并不直接意味着满足假设2.1的传递度q（x，y），但我们在在线附录中构建了这些密度的任意小扰动，以确保假设2.1成立。ucρИz(R)σДcρhzσhzρhcσhc0.0016 0.987 0.215 0.0035 1.0 0 0.992 0.0039 0.991 0.0096表5。具有长期风险的消费过程参数化。参数值是Schorfeide等人（2018）的后验中值估计，表七，消费和金融市场数据估计。4.4. 长期风险。接下来考虑Schorfheideet al采用的消费规范。

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2022-6-1 13:58:28

（2018），其中ln（Ct+1/Ct）=uc+zt+σc，tηc，t+1，（33）zt+1=ρzt+p1- ρσz，tηz，t+1，（34）σi，t=Дi'σexp（hi，t），带hi，t+1=ρhihi+σhiηhi，t+1，i∈ {c，z}。（35）创新{ηi，t}和{ηhi，t}是iid，是i的标准正态分布∈ {c，z}。与这些消耗动态相关的状态向量可以表示为Xt=（hc、t、hz、t、zt）。Schorfeide et al.（2018）使用的消耗过程参数如表5所示，而偏好参数为γ=8.89、β=0.999和ψ=1.97。定理3.1的所有条件都与状态空间的紧性无关，因为Xt=（hc，t，hz，t，zt）可以取所有ofR中的值。然而，相关系数ρ、ρcand和ρzare在绝对值中小于1这一事实意味着可以通过截断标准法向冲击ηz、ηhc和ηhz来压缩状态空间。目前，这是我们所追求的道路。在这个紧集中，定理3.1适用，当且仅当∧<1时，存在唯一且全局稳定的解。为了在特定的截断水平上评估∧，我们从第2.4节介绍的蒙特卡罗方法开始。这就需要使用随机数生成器，因此通过将绝对值中的创新值截断为最大的双精度浮点数来自动执行计算，而无需对状态空间施加进一步的限制。表6显示了∧（m，n）的1000次提取的汇总统计数据，因为n（消耗的时间序列长度）在各行中有所不同，而这一计算结果为2，即≈ 10、小得多的截断点就足够了，但实施这样的修改并没有明显的好处，因为对创新的任何截断都会产生一个紧凑的状态空间，无论它有多大。然后，定理3.1适用。

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2022-6-1 13:58:31

下文进一步讨论了截断的影响。n平均标准最小值25%50%75%max500 0.999408 0.0001111 0.998564 0.999385 0.999441 0.999473 0.999529100.999384 0.000093 0.998551 0.999451 0.999446 0.9995171500 0.999401 0.000061 0.999024 0.999386 0.999421 0.999441 0.999466表6。当m=5000m时，∧（m，n）的1000张图纸的描述性统计数据保持在1000。在所有情况下，平均估计值接近0.9994，样本中的标准偏差很小。m和n的其他值产生类似的数字。回顾我们之前的发现∧（m，n）对于m和n的中等回声非常接近∧（参见，例如，表3），这导致我们高度肯定地推断，该紧凑模型的估值问题具有唯一的全局稳定解。虽然∧（m，n）的值在Schorfeideet al.（2018）的给定参数化下均接近1，但∧<1的结果在参数中存在较大偏差，这进一步支持了估值问题是全局稳定的结论。图2通过显示相邻参数化处的测试值∧，说明了这种稳健性。数值通过蒙特卡罗计算，m=n=1000。邻域参数化是通过在保持其他参数不变的情况下改变两个参数来获得的。图2a显示了∧的值，由等高线图表示，ψ和ucare不同。图2b显示了β和ψ的变化。1.0等高线西南部的参数化是全局稳定的，而东北部的参数化产生∧>1，因此，根据定理3.1的（b）部分，不存在解。对于这两个子图，Schorfheideet等人。

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2022-6-1 13:58:35

（2018）参数化完全属于稳定集的内部。上述结果均未直接说明原始理论模型中的存在性和唯一性，其中创新没有被截断，状态空间是无界的。这里需要考虑两个独立的问题。首先，当冲击未被截断时，Schorfeide et al.（2018）参数化中∧的值是多少？其次，如果定理3.1不适用，∧的值对于无界状态空间实际上意味着什么？虽然我们可以做出合理的推测，但这两个问题都没有得到充分的回答。关于第一个问题，图3研究了这一长期风险模型中创新截断的影响。横轴上的截断值为∧（m，n）定义的数字方程（18）和（19）。消费路径根据（33）–（35）生成，由标准随机数生成器提供独立的正态变量。1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.00050.00100.00150.00200.00250.0030Schorfeide、Song和Yaron1.0000.998750.99900.999250.9992051.000001.000251.000501.00075（a）试验值变化，ψvsuc0.9970 0.9975 0.9980 0.9985 0.9990 0 0 0 0 0.99951.251.501.752.002.252.502.753.003.253.50Schorfeide e、Song和Yaron1.0000.99700.99750.99800.99850.99900.99951.00001.0005（b）试验值的变化，βvsψ图2。标准偏差SSY参数化附近∧值的等值线图，其中（34）和（35）中的正激波被截断。纵轴上的值是∧（m，n）的对应值，使用蒙特卡罗方法估算，n=m=1000。虚线显示了∧（m，n）的值，当没有施加显式截断时（尽管我们正在使用64位浮点数，因此在大约10个标准偏差处的截断是隐式的）。

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2022-6-1 13:58:39

图中明确指出的第一点是，如果截断值为0.99930.99940.99950.99960.99970.9998，则截断的影响可以忽略不计。图3。在标准正态创新的长期风险模型截断水平中，截断对∧的影响达到3。这与我们对标准正态分布的了解是一致的（即尾部迅速减少，平均值的三个标准偏差内概率质量的99.7%）。第二点是松弛截断将∧向下移动，而不是向上移动。因此，有强有力的证据表明∧<1适用于原始无界模型。第二个问题是，当状态空间不紧且定理3.1无法应用时，条件∧<1意味着什么。下面第6节的定理6.1为无界设置提供了一些指导，它表明∧<1存在的必要性和效率延伸到无界情况。然而，定理6.1依赖于K的一个侧面条件，该条件很难在复杂的非线性模型中进行评估，如Schorfeide et al.（2018）的规范。同时，这种情况在使用特征分解分析长期估值的文献中是标准的。第6节给出了更多细节。4.5. 离散化的长期风险模型。一种常用的解决方法是将长期风险模型分解为一个有限的状态空间，因为这种模型相对容易操作，并允许直接计算所有内生量。我们还使用该模型计算了一定范围内的均衡财富消费比率。这与预期一致，因为减弱截断会扩大冲击的尾部，增加波动性。鉴于Schorfeide等人采用的γ值相对较大。

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