功能g*通过在任意初始选择g上使用A进行迭代来计算≡ 1，当∧<1时，定理3.1保证收敛的过程。表7涵盖了图2a中探讨的一些参数值，表明当ucandψ足够大时，不存在溶液。对于那些对，或者更准确地说，对于∧>1的任何对，我们打印字符串NA以指示不存在任何溶液。对于其他几对，我们打印了平均财富消费率。表7显示，随着参数接近稳定和不稳定之间的边界，平均财富消费比爆炸式增长。这就是解决方案不存在的本质：参数是指财富和前瞻性估值是有限的。为了处理随机波动率分量，我们进行如下操作：首先，我们将Rouwenhorstmethod独立地应用于{hc，t}和{hz，t}，两者都是线性AR（1）。然后，我们将结果转换为{σc，t}和{σz，t}的离散动力学，分别使用H和I可能值。最后，对于σz的每个I可能值，我们再次使用Rouwenhorst方法对J个可能状态的{zt}进行离散化。当H=I=J=3时，我们得到∧=0.99944。对于较细的离散化，∧的值趋于下降，这与我们从图3中获得的直觉一致。计算是针对状态过程的离散化表示进行的，而状态过程又是通过Rouwenhorst技术的多次迭代以上述方式计算的。在每种情况下，我们设置H=I=J=3，因此状态空间有27个元素。

迭代继续，直到连续迭代之间的最大绝对偏差降至1e-6以下。ψ=1.1ψ=1.68ψ=2.26ψ=2.84ψ=3.42ψ=4.0uc=0.0030 1290.3 46604.4 NA NA NA NAuc=0.0025 1219.3 4610.7 4.6e+25 NA NA NA NAuc=0.0020 1155.7 2423.3 4986.7 12840.7 3596674.7 1.7e+31uc=0.0015 1098 1642.7 2142.0 2600.6 3022.8 3412.6uc=0 0.0010 1046.5 1242.0 1362.4 1443.9 1502.7 1547.2uc=0.0005 999.5 998.3 998.3 998.5 998.6表7。状态过程平稳分布下不同uc，ψ组合的财富消耗率平均值。分母中的月消耗量。Asψ→ 1，财富消费率收敛到常数（1- β)-1= 1000.4.6. 生产经济。到目前为止，我们假设消费遵循（6）中给出的特定过程。宏观金融文献（Tallarini（2000）、Kaltenbrunnerand Lochstoer（2010）、Croce（2014）和许多其他文献）中研究的一大类具有爱泼斯坦-辛偏好的模型涉及在+1时内生确定的formCt=c（Xt）Atlog消费过程- 对数At=κA（Xt，Xt+1，εt+1）。例如，假设我们对一个生产经济感兴趣，其中Atis是一个具有随机增长的外生技术过程，并且正在求解表示随机趋势平稳偏差的内生函数c（Xt）。将第2节中的假设施加在Xt和εthold上。进一步假设c（x）在零上方和远离零处有界，并表示ζ=maxx，xn（c（xn）/c（x））1-γ和ζ=minx，xn（c（xn）/c（x））1-γ. 在这种情况下，ζE“全日空1.-γ#6 E“CnC公司1.-γ#6ζE“全日空1.-γ#因此，风险调整后的长期平均消费增长率MCfrom（3）由mc=limn给出→∞R全日空1/n。

（36）因此，我们可以直接从过程At的性质的知识中推断出参数空间中存在内生确定连续值的区域，而不知道函数c（x）的细节。这是另一个事实的证明，即我们的存在和唯一性条件只取决于消费过程的长期运行特性，而该过程的暂时细节是无关紧要的。5、与替代条件的比较引言中讨论了递归效用存在性和唯一性的若干相关检验。在本节中，我们将这些交替结果与必要和有效条件∧<1.5.1进行简要比较。概率1界限。文献中提出了几种基于概率一界的条件。一个代表性的例子是Epstein和Zin（1989）的定理3.1，它表明递归效用问题的解存在于ψ>1和βB1时-1/ψc<1，（37），其中bc是Ct+1/Ct上的概率1上界。如果存在这样的BC，则条件（37）与条件∧<1直接可比，因为BC总是超过风险调整后的平均消费增长率。事实上，所有t的Ct+1/Ct6 Bc意味着所有n的Cn/C6 bNCf，因此，通过定义MCin（3），MC6 Bc。（38）因此，条件（37）表示∧<1。换句话说，条件∧<1比Epstein和Zin（1989）的条件弱。此外，除非消费增长是确定的，否则（38）中的不平等是严格的。这一事实让人想起了早些时候提出的观点，即只关注消费增长分布的上尾端会导致过度消费限制。为了举例说明，考虑长期风险模型的情况，其中消费增长在（33）中有具体规定。

由于消费增长创新是正态分布的，在这种情况下没有确定的上限，因此我们有Bc=+∞ 以及Epstein–Zin稳定性系数βB1-条件（37）中的1/ψcfrom也是+∞. 相反，如第4.4节所述，基线参数∧<1。（36）中结果的另一个有效条件是c（Xt+n）1之间的相关性的指数衰减率，这在应用中经常得到满足-γ和（At+1/At）1-γ为n→ ∞. 当经济涉及与At协整的额外内生非平稳状态变量（如总资本）时，该论点也可以进一步推广到这种情况。在这些情况下，XT的过渡定律可能不满足第2节中规定的正则性条件，但此类经济体通常可以通过与第2节中所述类似的扰动参数进行正则化？？在线附录。5.2. 收缩参数。回顾Alvarezand Jermann（2005）中使用的消费规范，并在第4.1节中讨论，其中Ct=τtxt，τ>0且{Xt}为正值，i id。设X在[a，b]上有分布FR对于一些正标量a<b。当消耗服从（26）时，Alvarez和Jermann（2005）表明，每当βτ1-ψmaxa6x6bZyx公司1.-γπ（dy）θ< 1. （39）详见Alvarez和Jermann（2005），命题9和引理A.1。通过比较，我们从第4.1节知道，当且仅当βτ1时，存在唯一解-ψ< 1. 该条件弱于（39），因为（39）中的附加最大化项总是超过单位。稳定性条件之间的差异是因为Alvarez和Jermann（2005）的条件在一个步骤中强制收缩。相反，条件∧<1是一个渐进条件，忽略了消费的短期波动。

这会导致较弱的条件，因为短期波动不会影响渐近结果。无界状态空间我们回到定理3.1的设置，但现在放弃了状态空间上的紧性假设（即假设3.1），并用假设6.1替换它。算子K是连续的，最终是弱紧的。条件6.1类似于Christensen（2017）中的假设2.1，该假设用于研究估值算子正特征函数的估计。附录B定理6.1中给出了术语解释和有效条件讨论。如果假设2.1和6.1都成立，那么以下陈述是等效的：（a）∧<1。（b） A在C中有一个固定点。（c） 存在一个g∈ 使{Ang}n>1收敛到C的一个元素。定理6.1的证明在很大程度上依赖于Schep（1980）获得的正算子的相当特殊的谱连续性结果。这种连续性与anaproximation参数相结合，允许我们从定理3.1中导出一些结果。假设6.1用于证明近似步骤是有效的。与定理3.1相比，当不存在解析解时，定理6.1中测试值∧的计算问题更大，因为即使是MonteCarlo等灵活的方法也将状态空间限制在一组有限的浮点数上。此外，结论较弱，假设6.1中的技术条件可能是非平凡的测试。然而，该定理向我们表明，核心存在性结果扩展到了一大类无界理论模型。7、结论性意见我们导出了一个简单的条件，该条件对于具有同位旋Epstein–Zin偏好的递归效用模型中连续值和总财富消耗率的存在唯一性是必要和充分的。

尽管非线性偏好递归将风险厌恶和跨期替代弹性的作用交织在一起，但我们的条件将这两种力量分开。重要的是平均长期风险调整后的消费增长率及其与消费跨期可替代性和时间折扣的关系。在资产定价方面，随着消费带到期日的增加，该条件对其价值的长期衰减率施加了一个界限。我们还提供了一系列分析示例、一种全局稳定的计算解的方法（只要存在），以及允许有效评估我们条件的数值方法。由于消费过程的暂时细节不会影响平均长期风险调整后的消费增长率，因此与我们的稳定状况无关，因此本文的见解也可以应用于生产经济设置，而无需明确求解模型，只要消费的协整特性与不确定性的外生驱动因素可以直接推断出来。虽然我们最尖锐的结果限制了底层马尔可夫状态的状态空间是紧的，但我们也对无界状态空间进行了扩展，并研究了在放松状态空间截断时数值方法的敏感性。我们在无界条件下的结果比在紧致条件下的结果更为有限，但我们推测，更尖锐的数值方法和上述各种理论见解的结合，是进一步理解现代定量应用中使用的资产定价模型的稳定性和平衡性的最有希望的途径。附录A.一般不动点和谱半径结果如下所示，状态空间轴允许为任何紧度量空间。

特别地，Xcan是nw的一个紧子集，具有欧氏距离或具有离散度量d（x，y）={x 6=y}的任意有限集。注意，在后一种情况下，κ和q自动连续。Borel可测函数g的集合，从x到kgk：=R | g | dπ<∞ 用L（π）表示。除非另有说明，否则收敛与tok·k有关。对于g，h∈ L（π），陈述g6h意味着g6h几乎处处都是π，而g h表示g<h几乎在所有地方都有π。符号C表示所有g∈ L（π）使得g 设M是映射L（π）到自身的线性算子。M的算子范数和谱半径由kMk定义：=sup{kMgk:g∈ L（π），kgk 6 1}和r（M）：=limn→∞kMnk1/n相关。如果Mg>0，当伯格>0时，运算符M称为正。如果kMk是有限的，则称为有界的；如果M下的单位球inL（π）的图像在范数拓扑中是预紧的，则称为紧致的。如果S（λf+（1），则将L（π）的凸子集E映射到自身的（可能是非线性）算子称为E上的凸算子- λ） g）6λS+（1- λ） 所有f、g的Sg∈ E和所有λ∈ [0, 1]; 如果反向不等式成立，则为凹形。如果f 6 g表示Sf 6 Sg，则称为等渗酮。以下是适用于L（π）的局部谱半径结果。此处提供的证据来自Miros lawa Zima（私人通信），并借鉴了Zabreiko等人（1967）的早期结果。定理A.1（Zabreiko–Krasnosel\'skii–Stetsenko–Zima）。设h是L（π）的元素，M是正紧线性算子。如果h 0，然后单击→∞kMnhk1/n=r（M）。（40）定理A.1的证明。设h和M在定理的陈述中为。回想一下R（h，M）=lim supn→∞kMnhk1/nis h处M的局部光谱半径。从r（M）的定义可以看出r（h，M）>r（M）。为此，设λ为满足λ>r（h，M）和lethλ的常数：=∞Xn=0Mnhλn+1。

（41）点hλ是lim supn定义的L（π）元素→∞kMnhk1/n<λ和Cauchy\'sroot收敛性检验。几乎所有地方都是正π，因为（41）中的和包括h 0，因为M是一个正算子。此外，根据标准的纽曼级数理论（例如Krasnosel\'skii et al.（2012），定理5.1），点hλ也有表示hλ=（λI- M）-1h，从中我们得到λhλ- Mhλ=h。因为∈ 这意味着Mhλ6λhλ。应用最后一个不等式、M的紧性、hλ的拟内部性和Krasnosel\'skii等人（2012）的定理5.5（a），我们必须有r（M）6λ。由于该不等式是针对满足λ>r（h，M）的任意λ建立的，因此我们得出结论：r（h，M）>r（M）。因此r（h，M）=r（M）。最后，由于M是紧的，Daneˇs（1987）的推论1暗示r（h，M）=limn→∞kMnhk1/n，so（40）保持不变。下一个结果是定理A.1的扩展，它削弱了定理中的紧性条件，同时需要额外的正性。定理A.2。设h是L（π）的元素，M是L（π）上的线性算子。如果Mi对于某些i是紧凑的∈Nand Mf 0每当f∈ L（π）和f 0，然后单击→∞ZMnh dπ1/n=所有h的r（M） 0.（42）证明。固定h∈ 带h的L（π） 0并选择i∈证明Mi是L（π）上的一个紧线性算子。固定j∈N带0 6 j 6 i- 1、根据我们对M的假设，我们知道Mjh 0，因此定理A.1适用于初始条件为Mjh的MiZMinMjh dπ1/n=ZMin+jh dπ1/n→ r（M）i（n→ ∞).但是r（Mi）=r（M）i，所以ZMin+jh dπ1/（英寸）→ r（M）（n）→ ∞).因此ZMin+jh dπ1/（英寸+j）→ r（M）（n）→ ∞).因为j是满足0 6 j 6 i的任意整数- 1，我们得出结论（42）成立。下一个引理用于检测L（π）中的固定点。引理A.3。设{gn}是L（π）中的单调递增序列。如果{gn}被L（π）中的一些h所包围，那么L（π）中存在一个g，使得gn→ g。

此外，对于将L（π）的子集映射到自身的某个连续算子T，ifgn=Tngf，则g是T的固定点。证据第一个主张是积分单调收敛定理的直接结果。关于第二个，我们有gn→ g，因此，通过连续性，T gn→ 但是，根据序列{gn}的定义，我们也有T gn→ g、 因此T g=g。附录B.剩余证明，如前所述，q是{Xt}的转移密度核。我们通过q=q和qi（x，y）=Rq（x，z）qi递归定义qi-每个x，y对应1（z，y）dz∈十、 根据第2节中的条件，我们可以采取`∈确保q`>0，and`始终具有此含义。此外，在所有的whatremains中，我们采用了符号k（x，y）=Zexp[（1- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y），（43），使操作符K满足Kg（x）=Rk（x，y）g（y）dy。将kie定义为x×Xby K=K和ki（x，y）=Rk（x，z）ki-1（z，y）dz。正如很容易通过归纳法验证的那样，i-thelement Ki是K的i次方的核心。也就是说，对于所有x∈十、 我∈与非g∈ C，Kig（x）=Zki（x，y）g（y）dy。在本节中，假设2.1和3.1为真。引理B.1。密度π是q onX的唯一稳态密度。此外，π处处都是正的和连续的onX。证据关于唯一性，q`>0表示某个正`∈{Xt}的Nimpliesirreducibility，这又意味着平稳分布的唯一性。例如，参见Meyn和Tweedie（2009），定理10.0.1。关于正性，假设相反，存在一个π（y）=0的y。由于π是一个固定密度，这意味着π（y）=Rq`（x，y）π（x）dx=0。但q`处处都是正的，π是密度，在一组正测度上是正的。因此，积分必须为正。矛盾最后，以yn为例→ y inx，观察π（yn）=Zq（x，yn）π（x）dx→Zq（x，y）π（x）dx=π（y）作为n→ ∞.

积分的收敛是由于q的连续性和支配收敛定理。可以使用后者，因为q在x×xbyx上有界，x的紧性和q的连续性。因此π在x上是连续的。引理B.2。关于算子K，以下陈述是正确的：（a）K是L（π）上的有界线性算子，它将C映射到自身。（b） Kg在每g连续∈ C（c） Kg 6=0，每当g∈ C和g 6=0。要验证不可约性，请选择RAπ（x）dx>0的任意A。显然A有正的Lebesgue测度，所以，选择“使q”处处都是正的，对于所有x，我们有raq`（x，y）dy>0∈十、 因此，从任何状态以“步”的正概率访问ISV。换句话说，π-不可约性成立。（d） 千克 0每当g∈ C和g 0.证明。关于权利要求（a），k是连续的，因此以某个常数M onX为界，而π在紧集上是正的和连续的，因此以某个正常数δ为界。对于任意的f∈ L（π），| Kf（x）|=Zk（x，y）f（y）dy6 MZ | f（y）|π（y）π（y）dy 6Mδkfk。（44）直接得出K是L（π）上的有界线性算子。关于连续性，fix g∈ C，x∈X和xn→ x、 使用（44）中的不等式，wehavek（xn，y）g（y）6 Mg（y）π（y）π（y）6Mδg（y）π（y）。自g起∈ L（π），右边的函数相对于Lebesguemeasure是可积的，因此我们可以应用支配收敛定理来获得limn→∞Kg（xn）=Zlimn→∞k（xn，y）g（y）dy=Kg（x）。特别是，Kg在任何x上都是连续的∈十、 关于权利要求（c），假设相反，对于一些非零g，我们有Kg=0∈ C设B={g>0}。因为g是非零的，所以π（B）>0。因为Kg=0，所以对于任何x，必须是rbk（x，y）dy=0的情况∈十、 但对于anyx，thenRBq（X，y）dy=0∈十、 一个简单的归纳参数表明，这扩展到了n步核，因此，特别是对于所有X，RBq`（X，y）dy=0∈十、

正如假设2.1所保证的那样，最后一个等式与q`>0相矛盾。部分（d）从Kg（x）=Rg（y）k（x，y）dy和（43）立即开始。下一个引理讨论了K作为L（π）上的线性算子的不可约性。有关定义和进一步讨论，请参见梅耶·尼贝格（2012）第262页。引理B.3。算子K是不可约且Kis紧的。证据首先考虑K的不可约性。通过K的正性和Meyer Nieberg（2012）第262页上核算子的不可约性条件，可以证明，对于0<π（A）<1的任何x的Borel集A，存在一个0<π（B）<1且zbzaq（x，y）dxdy>0的x的Borel集B。（45）为了验证（45），假设相反，我们可以选择0<π（A）<1且zaczaq（x，y）dxdy=ZA的xZAcq（x，y）dydx=0。ThenRARAcq（x，y）dyπ（x）dx=0。因此，A对q是吸收的，在这种情况下，π（A）=1乘以q的π-不可约性以及Meyn和Tweedie（2009）的命题4.2.3。矛盾关于紧性，Schaefer（1974）的定理9.9暗示，当K是弱紧的时，K将是紧的，这要求K下的单位球Bin L（π）的映像在弱拓扑中是相对紧的。为了证明这一点，必须证明，给定ε>0，存在δ>0，使得每当f∈ 带π（A）<δ。这是正确的，因为k是连续的，因此有界于x，yieldingZAZk（x，y）| f（y）| dyπ（x）dx=Z ZAk（x，y）π（x）dx | f（y）| dy 6 Mπ（A）Z | f（y）| dy，对于某些常数M。通过πonX的连续性和正性，对于某些常数A>0，我们得到π>A，对于henceR f（y）| dy 6 akfk 6 A。HenceRAK | f只要π（A）<ε/（aM），dπ<ε。提案B.4。∧定义良好，满足∧=βr（K）1/θ。证据由于Kiis对某些i是紧的，并且将正函数映射为正函数（参见引理B.3和B.2），我们可以将定理A.2应用于≡ 1获得r（K）=limn→∞kKnk1/n。基于（6）的归纳论证表明，对于每个n inN，我们有Kn（x）=Ex（Cn/C）1-γ.

因此，根据迭代期望定律，kKnk1/n=（ECnC公司1.-γ） 1/n=RCnC公司(1-γ） /n.（46），因为r（K）=limn→∞kKnk1/n，该yieldsr（K）=limn→∞RCnC公司(1-γ） /n=M1-γC.因为θ：=（1- γ)/(1 - 1/ψ），我们现在有βr（K）1/θ=βM1-1/ψC=∧。定理B.5。K的谱半径r（K）严格为正。此外，存在满足K的特征函数e=r（K）e和e 0。（47）函数e在x上处处连续。证据Meyer-Nieberg（2012）的定理4.1.4和引理4.2.9，以及引理B.3中获得的K的不可约性和紧性，产生了R（K）的正性和（47）中正本征函数的存在性。引理B.2暗示e是连续的，因为e∈ C和e=（Ke）/r（K）。在下文中，（47）中的e称为Perron–Frobenius本征函数。由于e为正且连续，常数e：=minx∈Xe（x）和'e：=maxx∈Xe（x）为有限且严格正。这些事实现在被用来研究from（25）。引理B.6。设e为K.Iflimt的Perron–Frobenius本征函数↓0Д（t）tr（K）>1和limt↑∞ν（t）tr（K）<1，（48）则存在具有以下性质的正常数c<cw：（a）如果0<c 6 c且f=ce，则存在δ>1，使得如果c6 c<∞ f=ce，则存在δ<1，从而证明Af 6δf。设λ：=r（K），e为Perron-Frobenius特征函数。设e和e为e onX的最大值和最小值，如上所述。关于权利要求（a），观察到，鉴于（48），存在δ>1和ε>0，使得每当0<t<ε时，Д（t）tλ>δ。选择0<cλ′e<ε和c 6 c，我们得到所有x的cλe（x）<ε∈十、 andhenceAce（X）=Д（cKe（X））=Д（cλe（X））=Д（cλe（X））cλe（X）>δce（X）。转向权利要求（b）并再次使用（48）中的假设，我们可以选择δ<1和有限常数M，使得每当t>M时，ν（t）tλ6δ。让cbe a常数严格大于max{M/（λe），c}和fix c>c。

通过e的定义，我们得到了所有x的cλe（x）>cλe>M∈十、 soAce（X）=Д（cλe（X））=Д（cλe（X））cλe（X）λce（X）6δce（X）。通过构造，0<c<c，因此所有索赔现在都成立了。引理B.7。如果（48）中的条件成立，且A有一个固定点g*在C中，那么，给定任何g∈ 存在函数f，f∈ C使F6 Ag，g*6 f，Af>f+ε（f- f） 和Af6 f- ε（f- f） 。（49）证明。修复g∈ C由于Ag是连续且轴紧的，因此Ag达到了有限的最大值和严格正的最小值onX。固定点g也是如此*= Ag公司*和Perron–Frobenius特征函数e。因此，我们可以选择常数A和0 ae 6克*, Ag 6 ae。对于achosen充分小的引理，B.6意味着对于某些δ>1的情况，A（ae）>δae。设置fi：=aie，我们得到Af>δae。由于δ>1，我们可以将其写成Af>ae+ε（a- a） e表示一些正ε。换句话说，Af>f+ε（f- f） 。最后一个不等式的证明是相似的。定理B.8。如果∧<1，则A在C上是全局稳定的。证据首先我们证明，如果∧<1，则（48）中的条件成立。自始至终，我们使用∧=βr（K）1/θ这一事实，如命题B.4所示。开始时，观察Д（t）t=1.- βt1/θ+βθ. （50）如果一方面θ<0，那么∧<1意味着βθr（K）>1，此外，（50）增加到βθ，作为t→ 因此，（48）中的第一个不等式成立。第二个不等式也成立，因为ν（t）/t→ 0作为t→ ∞. 另一方面，如果θ>0，则βθr（K）<1和（50）发散到+∞ 作为t→ 0，因此（48）中的第一个不等式成立。第二个不等式也适用于ν（t）/t→ βθ为t→ ∞.为了完成定理B.8的证明，请注意，Д是凹的或凸的，取决于θ的值。首先假设Д是凹的，这意味着A在C上既是等距的又是凹的。引理B.6产生正常数c，如Ace>ce和Ace 6 ce。

Zhang（2013）的定理2.1.2以Du（1990）为基础，现在意味着A有一个固定点g*∈ L（π）满足ce 6 g*6 ce。自e起 0和c>0，我们有g* 设g是C的非零元素。在引理B.7中选择f，fas。Zhang（2013）的定理2.1.2现在意味着[f，f]的每个元素都收敛于g*在A.特别是An（Ag）的迭代下→ g级*作为n→ ∞. 但是Ang→ g级*也适用。我们得出结论，Ais在C上全局渐近稳定。凸情形的证明基本相同。下一个结果扩展了Toda（2018）提出的论点，向上移动到了有限维，并允许θ<0。提案B.9。如果A在C中有一个非零固定点，则∧<1。证据让K*是与K相关的伴随算子。由于K是不可约的andKis紧，我们可以使用Meyer Nieberg（2012）的Emma 4.2.11中提出的Krein–Rutman定理。结合这个结果和Riesz表示定理，存在一个e*∈ L∞（π） 这样的话* 0和K*e*= r（K）e*. （51）设g是C中a的非零定点。在下面的内容中，使用内积符号hf，hi是很方便的：=Rfhdπ表示f∈ L（π）和g∈ L∞(π).首先考虑θ<0的情况，因此，通过定义Д，我们得到了当t>0时，具有严格不等式的Д（t）6βθt。因此，g（x）=Ag（x）=Д（Kg（x））6βθKg（x），当Kg（x）>0时，具有严格的不等式。根据引理B.2的（c）部分，我们得到Kg>0，Kg 6=0。因此，在一组正π测度上，必须是g 6βθKg和g<βθKg。但接着，取e*正如（51）所述，我们有他*, βθKg-gi>0，或等效地，βθhe*, Kgi>he*, gi。使用伴随和（51）的定义给出r（K）he*, gi=香港*e*, gi=he*, Kgi，所以一定是βθr（K）he*, gi>he*, gi。因此∧=βθr（K）>1。因为θ<0，这意味着∧=βr（K）1/θ<1。接下来考虑θ>0的情况，因此每当t>0时，ν（t）>βθt。

因此，我们有g（x）=Ag（x）=Д（Kg（x））>βθKg（x），当Kg（x）>0时，具有严格的不等式。根据引理B.2的（c）部分，我们得到Kg>0，Kg 6=0。因此，在一组正π测度上，g>βθKg和g>βθKg。但是接下来，拿e*正如（51）所述，我们有*, βθKg- gi<0，或相当于βθhe*, Kgi<he*, gi。如前所示，我们有*, gi=he*, 所以它一定是βθr（K）he*, gi<he*, gi。因此，βθr（K）<1。因为θ>0，这意味着∧=βr（K）1/θ<1。定理3.1的证明。清楚（e）==> （d） ，这反过来意味着（c），因为我们可以将gequal带到固定点。此外，（c）意味着（b），因为K是L（π）上的有界线性算子，而Д是R+上的连续算子，由此可知a在c上是连续的，因此a的迭代序列{Ang}n>1的任何极限都是a的固定点。简化（b）==> （a） 是由于提案B.9。最后，（a）==> （e） 根据定理B.8和命题B.4。参考文献Alvarez，F.和Jermann，U.J.（2005）。用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977-2016年。Bansal，R.、Kiku，D.、Shaliastovich，I.和Yaron，A.（2014）。波动性、宏观经济和资产价格。《金融杂志》，69（6）：2471-2511。Bansal，R.、Kiku，D.和Yaron，A.（2012年）。资产价格长期风险模型的实证评估。《关键财务评论》，1（1）：183–221。Bansal，R.和Yaron，A.（2004年）。长期风险：资产定价难题的潜在解决方案。《金融杂志》，59（4）：1481-1509。Boroviˇcka，J.、Hansen，L.P.和Scheinkman，J.A.（2016）。错误指定的恢复。《金融杂志》，71（6）：2493–2544。Christensen，T.M.（2017）。非参数随机贴现因子分解。《计量经济学》，85（5）：1501–1536。Croce，M.M.（2014）。

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