有投资的现金约束企业价值的数值逼近

2022-5-11 03:46:32

现金受限固定价值与投资机会的数值近似。埃尔万·皮埃尔*St\'ephane Villeneuve+Xavier Warin摘要：我们考虑一个带有制度转换的奇异控制问题，该问题产生于现金受限企业的最优投资决策问题。该值函数被证明是关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。此外，我们给出了值函数的正则性以及控制区域形状的描述。基于这些理论结果，给出了相关HJB变分不等式的数值确定性近似。最后，我们将介绍这种数值近似如何收敛到值函数。这使我们能够描述投资和股息的最佳政策。关键词：投资、股利政策、奇异控制、粘性解、非线性PDEJEL分类数：C61；C62；G35AMS分类：60J70；90B05；91G50；91G60。1简介在无摩擦的资本市场中，莫迪利亚尼和米勒定理证明，企业可以为所有有价值的投资机会提供资金。然而，如果我们引入资本市场缺陷，现在的标准结果是，现金受限的企业必须更多地依赖内部财务资源：现金持有量和信贷额度来为投资机会提供资金。近年来，利用奇异控制技术来模拟现金受限企业的投资问题越来越受到关注。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:35

作为奇异随机控制理论的参考，我们可以提到豪斯曼和苏[10]和[11]的开创性工作，以及Jeanblanc和Shiryaev[17]、Hojgaard和Taksar[12]、Asmussen、Hojgaard和Taksar[1]、Choulli、Taksar和Zhou[4]、Paulsen[21]在投资/股息问题上的应用，而最近的公司金融研究包括Bolton、Chen和Wang[3]，Decamps、Mariotti、Rochet和Villeneuve[7]以及Hugonnier、Malamud和Morellec[16]。奇异控制是随机控制理论中的一类重要问题。相关的HJB方程采用带梯度约束的变分不等式形式，很难求解。特别是，解的规律性仍然不确定*EDF研发公司OSIRIS。电子邮件：erwan。pierre@edf.com+图卢兹经济学院（CRM-IDEI），法国图卢兹，21岁，布赖恩全日制，31000。电子邮件：斯蒂芬。villeneuve@tse-fr.eu——EDF R&D&FiME，能源三月财务实验室（www.FiME-lab.org）非常了解。因此，对于动态企业融资所产生的具体问题，提出价值函数的数值近似并确保该数值近似收敛到目标价值函数是很重要的。Barles和Souganidis[2]的论文指出，当奇异控制问题的值函数是相关HJB变分不等式的唯一粘性解时，一致、稳定且单调的数值格式收敛于值函数。现在已经证实，有几种方法可以逼近奇异随机控制问题的值函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:39

首先，基于马尔科夫链近似的概率方法本质上是明确的有限差分方案，因此不受限制时间步长选择的稳定性诅咒的影响（见[19]）。另一方面，在[18]中开发了基于控制区域跟踪的分析方法。它们看起来相当复杂，因为它们需要很好地猜测控制区域的形状，尤其是在存在多个控制的情况下。我们的论文建立在[24]中提出的现金约束企业的理论模型基础上，修正了投资水平是离散的。对于投资产能的大型行业来说，这一假设似乎是合理的。其目标是确定企业价值以及投资和股息最优政策，从而产生一个单一的控制问题，其中制度转换对应于不同的生产水平。我们的主要贡献是：证明了值函数是HJB变分不等式的唯一粘性解。此外，在左导数和右导数处处存在的Milda假设下，我们证明了值函数的正则性。最后，我们证明了为高价值的现金支付股息是最优的，这使我们能够为我们的数值方案设置正确的边界条件在现金管理问题引起的HJB变分不等式的背景下，我们对[13]提出的直接控制方法进行了严格的分析。在证明了一个强比较定理之后，我们证明了我们的直接控制方法是一致的、稳定的和单调的。在我们的上下文中，稳定性结果似乎有点棘手，其证明需要证明值函数的增长条件（见引理2）最后，HJB变分不等式的数值逼近导致线性系统AU=B的解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:42

我们提出了一个类似于[13]的定点迭代方案来求解线性系统。为了证明这个迭代过程的收敛性，我们需要证明三对角块矩阵A是一个M-矩阵（见引理8），这需要对[13]中证明的结果进行扩展。本文的组织结构如下：在第2节中，我们介绍了模型，并推导了粘度解的值函数的标准分析特征。此外，我们给出了值函数的正则性和控制区域形状的描述。第3节和第4节专门介绍数值近似，并包含基于[13]中开发的经典技术扩展的收敛结果。第5节以数字说明结束本文。2该模型我们认为，一家公司在每个时间t的特征是以下资产负债表：Kt+Mt=Lt+xt其中oKt代表该公司的生产性资产，oMt代表现金储备或流动资产的金额，oLt代表未偿债务的数量，oxt代表权益的账面价值。我们假设企业能够通过investmentor撤资，在N个严格正水平范围内选择其生产性资产的水平：Kt∈ {ki}i∈[1，N]。对于大型工业来说，这种假设似乎是合理的，因为随着新工厂的建设或新设备的购买，生产性资产的增加会带来巨大的沉没成本。在不失去普遍性的情况下，我们假设{ki}i∈[1，N]满足我∈ [1，N]，ki=k+（i）- 1） h.生产性资产持续产生现金流（Rt）≥随着时间的推移。我们假设dRT=β（Kt）（udt+σdBt），其中u和σ是正常数，而（Bt）t≥0是完全概率空间（σ，F，P）上的标准布朗运动，带有过滤（Ft）t≥0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:45

在这个模型中，我们通过引入递增有界凹函数β来假设规模报酬率递减。我们将‘β表示为{ki}i上增益函数的最大值∈[1，N]即β=β（kN）。为了满足营运资本要求，我们认为该公司可以获得固定的信贷额度。信贷额度的抵押品由资产的市场价值提供。如果我们引入γ>0，即取消生产性资产投资的成本和现金水平，则假定信贷额度的深度为beLmax=（1）- γ） K+M.（1）当达到该信贷额度限额时，公司不再能够履行其财务承诺，因此被迫破产。此时，管理人清算公司资产，以偿还债权人的债务，债权人优先于股东。为了使信贷额度对银行股东具有吸引力，我们做出以下假设：假设1α是一个严格连续可微函数。此外，假设抵押债务对银行有利，这意味着十、≥ 0，α（x）>r，α（0）=0。在[24]中，在一个类似的框架中已经证明，当且仅当现金储备耗尽，即lt=（Kt）时，使用信贷额度是最佳的- Xt）+。（2）因此，我们对权益和生产性资产的账面价值有以下动态（[24]）：（dXt=β（Kt）（udt+σdBt）- α（（Kt）- Xt）+）dt- γ| dIt |- dZtdKt=dI+t- dI-t、其中Z=（Zt）t≥0是一个递增的右连续（Ft）自适应过程，表示截至时间t和I+=（I+t）t的累计股息支付≥0（分别为I）-) 是累积投资过程（分别为撤资）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-11 03:46:48

这里我们假设投资成本与撤资成本相同。经理以股东的利益为出发点，最大化所有未来股息支付的预期贴现价值。假设股东是风险中性的，未来现金流按无风险利率r贴现。因此，目标是最大化允许控制π=（I+，I-, Z）函数lv（x，ki；π）=Ex，kiZτe-rtdZπt,其中x和Kia是权益资本和生产资本的初始值。τ是破产时间，根据（1）和（2），我们得到τ=inft≥0{Xπt≤ γKπt}。我们用∏表示容许控制变量集，并用∏定义股东价值函数我∈ [1，N]，vi（x）=v（x，ki）=supπ∈πV（x，ki；π），定义在域上我∈ [1，N]，Ohmi=[γki+∞[2.1粘度解本节的目的是确定股东价值函数（VI）i满足的HJB变分不等式（HJB-VI）∈[1，N]。这种分析特征将使我们能够从数值上解决现金受限企业的最优投资问题。命题1：股东价值函数对每一个i都是联合连续的∈[1，N]。证据：拿我来说∈ [1，N]，x>γk和（xn）N∈Na序列Ohm它收敛到x。我们考虑两个可容许的策略：o策略πn：从（x，ki）开始，直到区间的退出时间（γki，xn）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:51

我们表示（Xπnt，Kπnt）t≥0由πn控制的过程。o策略πn：从（xn，ki）开始，直到间隔（γki，x）的退出时间，我们表示（xπnt，Kπnt）t≥0由πn控制的过程。我们定义θn=inf{t≥ 0，（Xπnt，Kπnt）=（xn，ki）}，θn=inf{t≥ 0，（Xπnt，Kπnt）=（X，ki）}，和tn=inf{t≥ 0，Xπnt=γKπnt）}，Tn=inf{t≥ 0，Xπnt=γKπnt）}。动态规划原理与v（XTn，KTn）=0 yieldvi（x）≥ E“Zθn∧特恩-rtdZπnt+e-r（θn）∧Tn）{θn<Tn}v（Xθn，Kθn）#≥ Ehe-rθn{θn<Tn}vi（xn）i≥EE-rθn- EE-rθn{θn≥Tn}vi（xn）≥EE-rθn- Pθn≥ Tnvi（xn）。另一方面，使用v（XTn，KTn）=0，我们得到vi（xn）≥ E“Zθn∧特恩-rtdZπnt+e-r（θn）∧Tn）{θn<Tn}v（Xθn，Kθn）#≥ Ehe-rθn{θn<Tn}vi（x）i≥EE-rθn- EE-rθn{θn≥Tn}六（十）≥EE-rθn- Pθn≥ Tnvi（x）。在[24]中，作者证明了Limn→∞P（θn）≥ Tn）=0，limn→∞P（θn）≥ Tn）=0。安德林→+∞E（E）-rθn）=limn→+∞E（E）-rθn=1。然后vi（x）≥ lim supnvi（xn）≥ lim infnvi（xn）≥ vi（x），证明了vion在开区间上的连续性（γki+∞). 它仍然显示边界点γki处的连续性。使用部分积分，我们得到了x>γk和固定策略π，ExE-rτXπτ- x=ExZτe-rs（dXπs）- rXπ-sds）.因为Xπ总是非负的，所以我们得到Zτe-rsdZπs≤ 十、- 前任E-rτXπτ+前任Zτe-rs（β（Kt）（udt+σdBt）- α（（Kt）- Xt）+）dt- γ| dIt|≤βur1.- 前任E-rτ+ 十、- 前任E-rτXπτ.由于撤资会使一对权益生产性资产平行于清算边界，而且我们不能在生产性资产k的水平撤资，因此清算边界会不断交叉。因此，我们可以在不失去普遍性的情况下假设我们不断地跨越这个水平。让x趋向于γki，右边收敛到零，因为γki是xπ的正则点，证明了值函数在γki处的连续性。让Libe成为下一个微分算子：Liφ=（β（ki）u- α（（ki）- x） +））φ（x）+β（ki）σφ（x）- rφ（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:54

（3）下一个引理建立了一个著名的比较原理，我们将用它来证明股东价值函数的线性增长条件。证据被省略了。引理1假设（ηi）i∈[1，N]是（γki）上的N个光滑函数+∞) 使得φi（γki）≥ 0和我∈ [1，N]，十、≥ 李基，敏-Li k i（x），k i（x）- 1，~ni（x）- maxj6=i~nj（x- γ| ki- kj |）≥ 0，（4）那么我们就有了∈ [1，N]，vi≤ 作为推论，我们证明了股东价值函数vi的线性增长条件。引理2∈ [1，N]对于所有x∈ Ohmi、我们有vi（x）≤ 十、- γki+u′βr.证明：适用于所有i∈ [1，N]，我们定义了φi（x）=x- γki+u′βr。我们很容易证明∈[1，N]是（4）的粘性上解。的确我∈ [1，N]，νi（x）≥ 1和i（x）- νj（x）- γ| ki- kj |）=γ|ki- kj|- γ（ki）- （千焦）≥ 0，以及-Li k i（x）=-（β（ki）u- α（（ki）- x） +）+r（x- γki）+u′β≥ 0，使用vi（γki）=0，我们得到了φi（γki）=u′βr>vi（γki）。引理1证明了这个结果。我们现在可以陈述本节的主要结果。命题2股东价值函数（vi）i∈[1，N]是HJB变分不等式的唯一连续粘性解：我∈ [1，N]，十、≥ 李基，敏-Livi（x），vi（x）- 1，vi（x）- maxj6=ivj（x- γ| ki- kj |）= 带边界条件的0（5）我∈ [1，N]，vi（γki）=0。（6）证明：该证明与[24]中的证明非常相似，因此被省略。注1：施加边界条件（6）有助于获得粘性解的唯一性。备注2因为vi（x）≥ vj（x）- γ| ki- kj |）对于所有对（i，j），HJB-VI是等效的我∈ [1，N]，十、≥ 米尼，米尼- Livi（x），vi（x）- 1，vi（x）- 最大值六、-1（x）- γh），vi+1（x- γh）o=0。在本节结束时，我们给出了理解HJB-VI（5）的启发性论点。假设该公司拥有高水平的生产性资产。在最适合保留现金的地区，价值函数满足Lvi=0，可以解释第一个期限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:46:57

对于第二个期限，假设公司在时间0时支付股息ε。因为这个策略是先验次优的，所以我们有vi（x）=vi（x）- ε） +εvi≥ 1.在最后一个期限内，假设企业投资（或取消投资）从kito KJKI转换为ki<kj（或ki>kj）。因此，对于每个j，我们有vi（x）≥ vj（x）- γ| ki- 2.2规则我们为所有我∈ [1，N]，Sij={x∈ Ohmi、 vi（x）=vj（x- γ| ki- kj |）}，S+i=∪j> iSij，S-我=∪j<iSij，Si=S+i∪ s-i、确定了投资区域（S+i）和撤资区域（S+i）-i）。在证明本节的主要结果之前，我们需要建立一些关于值函数的初步结果。引理3我∈ [1，N]，vi（x+h）≥ vi（x）+h.证明：如果我们从初始状态（ki，x+h）考虑次优策略，这是显而易见的，它包括在t=0时分配h美元作为红利，然后遵循最优策略。根据动态规划原理，我们有：vi（x+h）≥ vi（x）+h。引理4我∈ [1，N]，1。十、∈ S+i，x- γh/∈ s-i+1.2。十、∈ s-i、 x- γh/∈ S+i-1.证明：我们只证明第一个断言，因为第二个断言的证明是相似的。相反，假设存在我∈ [1，N]和x∈ S+isuch thatx- γh∈ s-i+1。因此，vi（x）=vi+1（x- γh）=vi（x- 2γh），这与引理3相矛盾。在上一节中，我们证明了值函数是连续的。文献[22]证明，值函数的凸性是其导数正则性的一个充分条件。但是，正如[24]中所证明的，当信贷利率较高时，价值函数可能是凹凸函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:00

尽管如此，我们将在下面关于左导数和右导数存在的假设下给出一个正则性结果。假设2值函数允许左（D-) 定义域上的右（D+）导数。命题3在假设（2）下，所有i∈ [1，N]。证据：让我来吧∈ [1，N]，x∈ Ohm假设D+vi（x）>D-vi（x）。那就吃点东西∈ （D）-vi（x），D+vi（x））并考虑函数φi（x）=vi（x）+q（x- x） +2（十）- x）与 > 0.那么xis是vi的局部最小值- ψi，其中（x）=q和（x）=.因此，我们通过写出上解不等式得到一个矛盾：0≤ -（β（ki）u- α（（ki）- x） q+r（vi（x））-σβ（ki）2选择足够小。我们有不等式d+vi（x）≤ D-vi（x）。假设现在存在一些x/∈ 西苏克-vi（x）>D+vi（x）。然后我们会问一些问题∈ （D+vi（x），D）-vi（x））并考虑函数φ（x）=vi（x）+q（x- 十）-（十）- x）与 > 0.那么xis是vi的局部最大值- 与（x）=q>D+vi≥ 1.从那时起/∈ 子解不等式的性质是0≥ rvi（x）- (ki)- α（（ki）- x） +））q+σβ（ki）2通过选择导致矛盾非常小。因此，我们有一个开放集Ohm我是。现在让我们证明viis仍然是Con-Si。修正x∈ S+i（x的证明）∈ s-取j=min{l>i，x- γ| ki- 吉隆坡/∈ S+l}。那么xis是vi的最小值- vj（。- γ（kj）- 还有草皮-六（十）- D-vj（x）- γ（kj）- ki）≤ D+vi（x）- D+vj（x）- γ（kj）- )。但是，从j，x的定义来看- γ（kj）- （ki）/∈ 引理4的S+jand，x- γ（kj）- （ki）/∈ s-jso x- γ（kj）- ki）属于开放集Ohm所以D+vj（x- γ（kj）- ki=D-vj（x）-γ（kj）- 然后砰的一声-六（十）≤ D+vi（x）证明了这个结果，因为之前已经证明了逆不等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-11 03:47:02

既然我们在假设2下证明了值函数是C，我们从现在开始提出：Di={x∈ Ohmi、 vi（x）=1}，Ci=Ohmi \\（Di）∪ 是）。4号提案∈ [1，N]，viis Con Ci。证明：在这个开放的集合中，我们知道Vi是- Livi=0，x∈ Ci。（7）现在，对于任意有界区间（x，x）∈ C考虑Dirichlet边界线问题：- Liw=0w（x）=vi（x），w（x）=vi（x）。（8）经典结果（例如参见[9]）提供了（x，x）到（8）上光滑C函数w解的存在性和唯一性。特别地，这个光滑函数w是（7）的粘性解。根据标准唯一性结果，我们得到（x，x）上的vi=w∈ 这证明了Vi是由（x，x）的任意性决定的。2.3红利区域的性质在这一点上，我们只有边界条件：我∈ [1，N]，vi（γki）=0。然而，要用数值方法解决这个问题，我们需要在右侧设置另一个边界条件。下一个引理给出了红利区域的一个性质，它将使数值格式适定。引理5∈ [1，N]，我们有bi=sup{x∈ Ohmi、 vi（x）>1}<+∞.证明：我们注意到I={I∈ [1，N]，bi<+∞} 我们假设Ic=[1，N]\\_i6=. 就我而言∈ [1，N]，函数x→ 六（十）- x是一个递增有界连续函数（见引理2），因此允许极限ai=limx→+∞（vi（x）- x）。我们为所有人（i，j）∈ [1，N]×[1，N]：aj- （哎- γ| ki- kj |）=limx→+∞（vj（x）- vi（x）- γ| ki- kj |）））≥ 0.以j为例∈ Icsuch该aj=max{aj，j∈ Ic}。特别是，我们有所有的j∈ Ic\\{j}，aj>（aj- γ| kj- kj |）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:06

我们很容易证明存在“x”∈ R+这样\'x>kj，rvj（\'x）>uβ（kj），vj（\'x）>\'x+maxj∈Ic\\{j}（aj）- γ| kj- kj |），x>bi+γ| ki- kj |，我∈ I.然后我们定义函数w，使十、≤ \'x，w（x）=vj（x），x>x，w（x）=vj（\'x）+x- “\'x.那么从定义上来说，对于x∈ [γkj，\'-x]，w是一种粘度为min的溶液-Ljw，w（x）- 1，w（x）- maxj6=jvj（x- γ| kj- kj |）= 0.我们仍然需要证明w是[x]上的粘性溶液+∞[.首先，对于所有x∈]\'x+∞[，w（x）=1.此外，x>\'x，-Ljw=r（vj（\'x）+x- \'\'x）- β（kj）。所以使用：rvj（`x）>μβ（kj）我们就得到了-Ljw>0。最后，为了所有j∈ Ic\\{j}，我们有x>x，w（x）>x+aj- γ| kj- kj|≥ vj（x）- γ| kj- kj |）。因为我∈ 一、作为“x”- γ| ki- kj |>bi，对于所有x>\'x，vi（x- γ| ki- kj |）=1。之后x>x，vi（x- γ| ki- kj |）- w（x）=vi（x）- γ| ki- kj |）+x- \'x- （vj（\'x）+x- \'x）=vi（\'x- γ| ki- kj |）- vj（`x）≤ 我们证明了w是变分不等式的粘性解，所以通过唯一性，w=vj，这与j相矛盾∈ 结果证明了这一点。引理5确保如果x足够大，我们就有vi（x+h）=vi（x）+h。这个性质，在左边界条件为γk时，足以建立一个数值格式。然而，我们可以证明更多关于红利区域的信息。下面的命题5在一定的假设下指定了分割区域的形式，并建立在接下来的两个引理之上。定义1我们说x∈ Ohmiis子集E的左边框（或右边框）（如果存在） > 0和（xn）n∈N/∈ 我就是这样→+∞xn=xandY∈]x、 x+[，y∈ E.引理6∈ [1，N]，如果ai是Disch的左边界∈ 艾思哲-γ| ki-kj |是Dj的左边界。证据：以友邦保险公司的左边界为例∈ Sij。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:09

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:12

因此，取l=min{j>i，ai- γ| ki- kj|/∈ S+j}我们可以使用FirstCase，我们有- γ| ki- 吉隆坡≥ klandvi（ai）=vl（ai）- γ| ki- kl |）这意味着≥ kiandvi（ai）=μβ（kl）兰德证明了结果。第三个案例：ai∈ s-ij。在这个例子中，使用引理6，我们知道ai- γ| ki- kj |是Dj的aleft边界。因此，取l=max{j<i，ai- γ| ki- kj|/∈ s-j} 我们可以使用第一种情况，我们有vi（ai）=vl（ai- γ| ki- kl |）=μβ（kl）r，但记住（9）：vi（ai）≥β（ki）- α（（ki）- ai）+）rsoβ（kl）r≥β（ki）- α（（ki）- ai）+）R如果ai≥ 并证明了结果。5号提案∈ [1，N]，如果bi/∈ Siandβ（ki）>α（1-γ） ki）然后Di=[bi+∞[∪Ee是一套内部空置的装置。证明：假设Di中有另一个非空的内部子集，那么它存在一个右边界和一个左边界，我们注意到diand gi。我们分两步来证明这个结果。第一步：假设gi=γki。存在 > 0使得[γki，γki+] 迪。所以对于所有x∈ [γki，γki+], v（x）=x- 基兰德-(ki)- α（ki）- x））+r（x- γ（ki）≥ 0.Butlimx→γki-(ki)- α（ki）- x））+r（x- γki）=-μβ（ki）+α（（1- γ）这是一个矛盾。第二步：gi>γKi使用引理7我们知道gi≥ ki，所以di>ki。这意味着存在 > 0个这样的人- ≥ 基兰德十、∈]di- , di]，vi（x）=vi（di）+x- 迪。用那个-利维（x）≥ 0比]di- , 我们有那个vi（di）≥再次使用引理7，作为bi/∈ Si，thenvi（bi）=μβ（ki），这是一个矛盾，因为bi>diand和via是严格递增函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:15

这些理论结果（特别是命题（2）和引理（5））允许我们定义局部HJB方程的最终形式，该方程将在下一节中进行数值求解：推论1股东价值函数（vi）i∈[1，N]是HJB变分不等式的唯一连续粘性解：我∈ [1，N]，十、≥ 李基，敏-Livi（x），vi（x）- 1，vi（x）- maxj6=ivj（x- γ| ki- kj |）= 带边界条件的0（10）我∈ [1，N]，（vi（γki）=0，vi（bi）=1，（11），其中bi在引理5.3数值近似中定义。本节的目的是通过对边界问题（10）进行中心、正向和反向微分来生成网格和离散化。我们证明了该格式是单调的，因此收敛于解（见[8]）。3.1有限差分方法首先我们对变量进行如下改变：wi（x）=vi（x+γki）。很明显，Wii是方程的唯一粘度解-“Liwi（x），wi（x）- 1，wi（x）- 麦克斯（威斯康星州）-1（x），wi+1（x- 2γh）= 0（12）带，\'Liφ（x）=（μβ（ki）- α(((1 - γ）基- x） +））φ（x）+β（ki）σφ（x）- rφ我们还定义了一个函数φ和一个点x的算子I，该点x给出φ的线性插值- 2γh.备注3提醒注意，i=N不存在投资，i=1也不存在撤资。因此，在先例定义中，我们假设条件vi（x）- 六、-1（x）- γh）（分别为vi（x）- vi+1（x）- γh）在i=1（分别为i=N）时消失。从上一节我们知道∈ [1，N]，存在wi（x）=1超过[bi+∞[.我们事先不知道边界bi，但如果把xmax取得足够大，我们将得到xmax>maxi{bi}，因此边界条件：我∈ [1，N]，wi（xmax）=1。因此，问题（12）在计算域（x，k）上得到了解决∈ [0，xmax]×[k，kN]（13）与规则网格（xl）l∈[1，M]={（l）- 1)x} l∈[1，M]与x=xmaxM- 1为了使xM=xmax。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:18

设Wl，ibe为方程（12）在（xl，ki）处对于每个i的近似解∈ [1，N]和l∈ [1，M]。我们使用类似于[13]的直接方法，尽可能地离散方程（12）和中心差分，以提高效率。更准确地说，我们求解，设置Li的离散化，ρl，iθl，i-ψl，i（~LW）l，i+（1）- ψl，i）我- Wl-1.我十、- 1.= - ρl，i（1）- θl，i）（Wl，i）- 我-1) - (1 - ρl，i）（Wl，i）-~IWl，i+1）（14）带，{ρl，i，θl，i，ψl，i}∈ {0，1}解（14），我们确保（12）中至少有一项等于零。为了确保所有的项都是正的，我们选择（ρ，θ，ψ），使得{ρl，i，θl，i，ψl，i}=argminρ∈{0,1}~θ∈{0,1}~ψ∈{0,1}n∧ρl，iθl，i-ψl，i（~LW）l，i+（1）-■ψl，i）我- Wl-1.我十、- 1.+ ρl，i（1）-θl，i）（Wl，i）- 我-1) + (1 - ρl，i）（Wl，i）-~IWl，i+1）o.（15）这确保了等式（12）中的所有项都是正的，这意味着（14）与（15）是（12）的合理二元化。终端边界条件wi（xM）=1是经典离散化的：WM，i=WM-1、我+x、我∈ [1，N]我们也有，i=0，i∈ [1，N]。注4：惩罚法可用于求解此类方程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:21

然而，为了避免惩罚参数的校准，我们倾向于直接方法（见[15]）。如果我们表示C（xl，ki）=μβ（ki）- α(((1 - γ）基- xl）+），C（xl，ki）=∑β（ki）>0，然后为了满足正系数条件并使效率最大化，离散化算子li由以下公式给出：（~LW）l，i=C（xl，ki）Wl+1，i+Wl-1.我- 2Wl，我x+C（xl，ki）Wl+1，i- Wl-1，i2十、- rWl，iif 2C（xl，ki）≥ |C（xl，ki）|x（中央差异）。C（xl，ki）Wl+1，i+Wl-1.我- 2Wl，我x+C（xl，ki）Wl+1，i- 我十、- rWl，iif 2C（xl，ki）<|C（xl，ki）|x和C（xl，ki）≥ 0（正向差异）。C（xl，ki）Wl+1，i+Wl-1.我- 2Wl，我x+C（xl，ki）Wl，i- Wl-1.我十、- rWl，iif 2C（xl，ki）<|C（xl，ki）|x和C（xl，ki）<0（向后差异）。命题6该方案单调、一致、稳定。证明：该方案作为一个明确的差异方案，是一致的。此外，我们很容易登记-（LW）我，l，在Wl前面的系数-1，i，Wl+1，i，Wl，i-1是否定的。那么，在Wk，i+1前面的系数，对于k，在插值IWl，i+1中起作用。相反，Wl前面的系数为正，这证明了单调性。我们仍然需要证明稳定性，也就是说，要证明这一点x、该模式有一个解决方案（Wl，i）i，l，它是独立于x、首先，等式（14）意味着我∈ [1，N]，L∈ [2，M]，Wl，i≥ Wl-1、我+十、≥ Wl-1，i（16）所以序列l→ Wl，iis正在增加。让我们证明WM，iis独立于x、通过终端边界条件我们知道我∈ [1，N]，WM，i=WM-1、我+x、让我们注意d=max{j∈ [1，M]，Wj，i>Wj-1、我+x} 。通过等式（14），我们得到了下面三个断言中的一个，这是真的。-（LW）d，i=0.2。嗯，我- 嗯，我-1= 0.3. 嗯，我-~IWd，i+1=0。通过定义d:Wd+1，i=Wd，i+十、

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:25

（17）案例1：使用离散化算子，我们在中心差分案例中：-C（xd，ki）Wd+1，i+Wd-1.我- 两轮驱动，我十、- C（xd，ki）Wd+1，i- Wd-1，i2x+rWd，i=0。然后，使用（17），-C（xd，ki）Wd-1.我- Wd，i+十、十、- C（xd，ki）Wd，i- Wd-1、我+x2x+rWd，i=0。因子分解，rWd，i=C（xd，ki）+-C（xd，ki）x+C（xd，ki）2十、（Wd，我- Wd-1.我- x）所以，用这个词，我≥ Wd-1、我+x和中心微分不等式，我们有，i≤C（xd，ki）r。此外，C（xd，ki）独立于（xd，ki）被u′β束缚。然后，我≤u′βr.但是，通过定义d，WM，i=Wd，i+（M- d）x、哦，我≤u′βr+（M- d）十、≤u′βr+xM。前后差异的证明是相似的，因此省略了。案例2：在这种情况下，让我们定义p=max{j∈ [1，我- 1] ，Wd，j- Wd，j-1> 0}. 在这一点上，我们必须-随钻测井，p=0。让我们证明我们也有Wd+1，p=Wd，p+x、假设Wd+1，p>Wd，p+x、然后，使用这个Wd，p=Wd，iWd+1，p>Wd，i+x、但是通过定义d，Wd，i+x=Wd+1，i，soWd+1，p>Wd+1，这是一个矛盾，因为p<i。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:29

所以我们有Wd+1，p=Wd，p+桑德-~LWd，p=0，我们可以用第一种情况来证明wd，i≤u′βr+xM。第三种情况下的证据类似，因此省略。最后，我们在所有情况下都证明了我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，Wl，i≤u′βr+xM是独立于并证明了结果。3.2离散化方程的矩阵形式W表示大小为N×M的向量U，i表示^ui∈ [1，N]大小为M的向量，使得^Ui=（Wl，i）l∈[1，M]，U=（^U，^U，…，^UN）。j=l+（i）- 1）我们有J∈ [1，N×M]，Uj=Wl，i.那么我们可以用线性矩阵形式写出（14）：a（ρ，ψ，θ）U+B（ρ，ψ，θ）=0（18），其中a（ρ，ψ，θ）是一个大小为N×M:ZDCCiZiDiDN的正方形三对角块矩阵-1CNZNN×M，尺寸为M的齐次三对角矩阵由，Zi=Ti+（ρl，i（1）给出- θl，i）+（1- ρl，i）用Tigiven的系数表示∈ [2，M- 1] ，作者：til，l=ρl，iθl，iψl，ir+2C（xl，ki）x+| C（xl，ki）|x{2C（xl，ki）<x | C（xl，ki）|+(1 - ψl，i）十、,til，l+1=ρl，iθl，i-ψl，iC（xl，ki）x+C（xl，ki）2x+| C（xl，ki）|2x{2C（xl，ki）<x | C（xl，ki）|,直到，我-1=ρl，iθl，i-ψl，iC（xl，ki）十、-C（xl，ki）2x+| C（xl，ki）|2x{2C（xl，ki）<x | C（xl，ki）|-(1 - ψl，i）十、.为了满足狄里克莱条件，我们强制：我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，（Zi1，l=δ1l，Di1，l=Ci1，l=0。此外，为了满足正确的边界条件，对l=M的控制进行了固定：我∈ [1，N]，ρM，i=1，θM，i=1，ψM，i=0。通过这样做，我们确保在网格的正确边界处，我们处于分割区域。ci是大小为M的对角矩阵我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，cil，l=-(1 - θl，i）ρl，i.矩阵dii的形式是由算子i给出的。要得到单调格式，我们需要使用线性算子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:32

在一个恒定的步长下，矩阵的形式如下：0-(1 - ρ3，i）λ-(1 - ρ3，i）（1）- λ) 0-(1 - ρM，i）λ-(1 - ρM，i）（1）- λ) 0Di=相对于矩阵Di中对角线的偏移集d，即Di开头的零线数等于tod=1+e2γh十、式中，E是FL oor函数。我们还定义了分数部分：λ=2γh十、- E2γh十、.最后，向量B的大小为N×M，满足要求J∈ [1，N×M]，bj=-ρl，iθl，i（1）- ψl，i），j=l+（i）- 1） M.定义2矩阵A是M-矩阵如果A是非奇异的，A的对角线系数是负的，A的对角线系数是负的-1.≥ 0.注释5矩阵，使-1.≥ 0令人满意≥ 0<=> A.-1X≥ 引理8矩阵Zi（ρ，ψ，θ）=（zil，j）l，jare M-矩阵。证据：拿我来说∈ [1，N]。我们观察到矩阵ZIL满足所有l，ZIL>0和所有l 6=j，ZLJ≤ 是对角占优矩阵。的确L∈ [2，M]，齐尔-Xj6=l | zil，j |=r、 ψliρl，iθl，i=1,0，ψli=0 etρl，iθl，i=1,1，ρliθli=0。对于l=1，狄里克莱条件决定了thatzi-Xj6=1 | zi1，j |=1。然而，该矩阵不是严格对角占优矩阵，因为当存在红利分布（即ψli=0和ρl，iθl，i=1）时，线系数之和等于零，因此[13]中使用的经典技术不适用。证明zi（ρ，ψ，θ）是M矩阵的另一种方法是找到一个M大小的向量W，使得W>0和ZiW>0（见[23]）。让我们证明W是由L∈ [1，M]，Wl=1+l具有 =Rxu′β>0满足所有i∈ [1，N]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:35

首先，由于Zi是一个三对角矩阵，我们有L∈ [2，M- 1] ，（ZiW）l=zil，l-1（1+（l- 1)) + zil，l（1+l）) + zil，l+1（1+（l+1）).对于l=1（ZiW）=（1+)对于l=M（ZiW）M=1+M十、-1+（米）- 1)x、那么，尽管我∈ [2，M]，我们有：（ZiW）l=（1+（l）- 1))r+（zill+2zil，l+1），ρliθliψli=1，x、 ρliθli=1 etψli=0,1+l, ρliθli=0。此外，当ρliθliψli=1时，我们有zill+2zil，l+1=r-C（xl，ki）x、所以，（1+（l- 1))r+（zill+2zil+1，l）=（l- 1） r + r+R-C（xl，ki）十、≥ lr + R- C（xl，ki）x、使用事实上我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，C（xl，ki）≤ μ′β我们有（1+（l- 1))r+（zill+2Zill+1，l）≥ lr.所以L∈ [1，M]，（ZiW）l>0。我们得出结论，Zi是一个M-矩阵。推论2矩阵A（ρ，θ，ψ）是M-矩阵。证明：为了证明这个结果，我们使用了与引理8相同的技巧。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:39

选择 =Rxu′β>0和0<η<（d+λ）.因此，我们将N×M大小的向量定义如下我∈ [1，N]，L∈ [1，M]，Wl+（i）-1） M=1+l + 我是η。然后，利用引理8的结果，我们得到∈ [1，N]而且我∈ [2，M-1] ，ρliθli=1=> （AW）l+（i）-1） M≥ 闵x、 lr+ （zil，l+zil，l）-1+zil，l+1）iη。利用矩阵是对角占优的，我们得到ρliθli=1=> （AW）l+（i）-1） M>0。在（θli，ρl，i）=（0，1）的情况下，我们有（AW）l+（i）-1） M=1+l + iη- （1+1） + （一）- 1） η）=η>0，在ρl，i=0的情况下，我们有（AW）l+（i-1） M=1+l + iη- (1 - λ） [1+（l- d） + （i+1）η]- λ[1+（l- 1.- d） + （i+1）η]=（d+λ） - η>0.因此，我们显示一个向量W>0，这样，对于所有i∈ [1，N]，对于所有l∈ [1，M]，（AW）l+（i）-1） M>0这证明了他的结果。备注6一位仲裁人指出，有另一种方法可以通过使用[25]中介绍的弱链对角占优矩阵的概念来证明A（ρ，θ，ψ）是aM矩阵。4模式的收敛性本节的主要结果是U是以下策略迭代的解：aqq+1+Bq=0（19），其中aq=A（ρq，θq，ψq），B（ρq，θq，ψq），并在定理1中恢复。算法1策略迭代（ρ，θ，ψ）=（1，1，1）q=0W=0，而误差> doSolve Wq+1ρql，i“θql，i”的解-ψql，i（~LWq+1）l，i+（1）- ψql，i）Wq+1l，i- Wq+1l-1.我十、- 1!!#= - ρql，i（1）- θql，i）（Wq+1l，i- Wq+1l，i-1) - (1 - ρql，i）（Wq+1l，i-~I（Wq+1i+1））（ρq+1，θq+1，ψq+1）的解（ρq+1，θq+1，ψq+1）=argmin（ρ，θ，ψ）∈{0,1}nρl，iθl，ih- ψl，i（~LWq+1）l，i+（1）- ψl，i）Wq+1l，i- Wq+1l-1.我十、- 1.i+ρl，i（1）- θl，i）（Wq+1l，i- Wq+1l，i-1) + (1 - ρl，i）（Wq+1l，i-~I（Wq+1i+1））oError=| | Wq+1- Wq||∞q=q+1在条件i）矩阵Aq为M-matrixii）k（Aq）的情况下，当值为1时-1k和kBqk是有界的，与q无关。算法1中的格式收敛到方程（18）的唯一解。证据：证据是经典的，见附录。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:42

引理9序列（Uq）q≥0是有界的。证明：为了证明结果，我们必须证明矩阵（Aq）-1和bq是有界的，与q无关。首先，通过定义，我们对所有q都有界≥ 0和所有j∈ [1，N×M]，bqj≤ 1，所以矩阵是有界的。此外，由于ρq、θq和ψq取离散值：Q≥ 0, L∈ [1，M]，我∈ [1，N]，ρql，i，θql，i，ψql，i=0或1，我们有有限个可逆矩阵Aqso，也有有限个（Aq）-1并且在所有可能的组合中取最大值会导致（Aq）的最大值-1.Q值为零，结果为零。5数值结果5。1最优区域的描述在第2.3章中，我们证明了∈ [1，N]存在bi>kisuch，即dividendregion至少包含[bi+∞[，它允许我们在数值格式中定义一个边界条件。数值结果为我们提供了关于最优控制区域的更多信息。下一个命题继续这些结果：命题7最优控制区域满足1。我∈ [1，N]，Di=[bi+∞[.2. 我∈ [2，N]，di∈ Ohmi、 S-i=[γki，di].3。K*∈ [1，N]，我≥ K*, S+i=.4.我<k*, 人工智能∈]di，bi]，S+i=[ai+∞[.图1说明了命题7。使用线性债务和指数增益函数得出结果：o线性债务：α（x）=λx.o指数增益函数：β（x）=β1.- 经验(-η′βx）.不同参数的下一个值：【u=0.25，σ=0.40，r=0.02，λ=0.10，】β=2，η=1，γ=1e-3，N=20，M=1e]有了这些参数，选择xmax=10就足以让xmax>maxi{bi}。在以下所有数值结果中，我们也选择kmax=10。图1：最优控制区域。在图1中，我们区分了六个方面：1。s-i（橙色区域）：股权账面价值低于企业生产性资产水平的撤资区域。在这个区域，进行投资以降低破产风险是最佳选择。2.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:45

S+i（蓝色区域）：股权账面价值与企业生产性资产之比较高的投资领域。通过收益函数进行投资以提高可租性是最佳选择。风险成比例增加，但现金储备保护了公司的利益。3.Ci（黑色区域）：中间有一个连续区域，在该区域中，最好不激活控件。正如第2.3章所证明的，我们观察到，在图1的右侧，对应于高水平的股权，支付股息总是最佳的，这会导致三个不同的方面：4。S+i∩ Di（绿色和蓝色区域）：用于低水平的生产性资产。在这个区域，支付股息和投资直到达到最佳水平k是最佳的*.5.S-我∩ Di（绿色和橙色区域）：用于高水平的生产性资产。在这个区域，最好是在生产性资产达到最高水平之前停止投资，以便分配股息。6.Di（绿色区域）：在两者之间，既不投资于撤资，也不投资于支付股息，这不是最佳选择。这些结果与经济学理论一致。此外，它们揭示了两个有意义的结论：o只有当公司达到其行业的最佳规模支出时，才支付股息是最佳的。o存在公司不应超过的最大规模。这些结论直接归因于所选增益函数的特性。事实上，可租性随着增益函数的增加而增加，增益函数是凹的，具有有限的限制。因此，在某种程度上，与股东获得股息的价值相比，边际收益很小。5.2投资成本的影响投资成本（和撤资成本）在开关区域的形式中起着重要作用。图2给出了不同γ值和与图1相同参数的最佳控制区域。（a） γ=0.05。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:48

（b） γ=0.1。（c） γ=0.5。图2：某些γ的最佳控制区域我们观察到γ越高，延续区域越宽。这是一致的，因为如果成本低，经理很容易投资，因为他知道他可以投资更低的价格。5.3生产性资产的离散化上述我们选择N=20级生产性资产。图3显示了当我们选择较小的离散化时会发生什么。图3：生产性资产离散化（k=10、50和250）因此，当生产性资产流动性更强时，延续区域（黑色区域）更宽。事实上，经理可以在投资或取消投资前等待更长时间，因为他可以更频繁地进行投资。我们还观察到，由于离散化，当N较低时，该公司的实际最优规模会超过。同样的观察结果也适用于企业的最大规模。为了完成数值分析，我们在图4中展示了M变大时的收敛性。我们再次使用N=20作为例子。图4：股权离散化（M=50、100和5000）6结论本文描述了现金受限企业的投资财务模型。它导出了值函数的分析性质以及控制区域形状的描述。最后，利用这些理论结果发展了一个收敛的数值格式。数值近似采用类似于[13]的定点迭代来求解线性系统。7附录7。1定理1的证明使用近似值q和q+1，系统（19）可以写成：Aq+1（Uq+2- Uq+1）+Aq+1Uq+1- aqq+1=-Bq+1+Bq+1（Uq+2- Uq+1）=aqq+1+Bq- （Aq+1Uq+1+Bq+1）。我们知道（ρq+1，ψq+1，θq+1）最小化A（ρ，ψ，θ）Uq+1+B（ρ，ψ，θ）soAq+1（Uq+2）- Uq+1）≥ 然后使用Aq+1是一个M矩阵，我们得到了uq+2- Uq+1≥ 因此，该方案是非递减的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:52

莫沃弗（Aq）-1和bq对于q是有界的，所以使用uq+1=-（Aq）-1BQ我们知道UQI也是有界的，所以这个方案是收敛的。我们注意到你*（Uq）q的极限∈我们仍然需要证明极限是唯一的，并且独立于U*还有“你”*两个限制。U*还有“你”*这两个都是soA的解决方案*U*+ B*= 0\'A*“U”*+“B”*= 0减去我们得到的两个方程，\'A*（‘U’*- U*) = B*+ A.*U*- （\'B*+“A*U*).但是（°ρ）*,ψ*,θ*) 最小化“A”U*+ B所以A*（‘U’*- U*) ≤ 0.然后使用“A”*是一个M矩阵，我们有*- U*≤ 0.我们以同样的方式证明*- U*≥ 0实现了演示。参考文献[1]阿斯穆森，A.，Hojgaard，B.，塔克萨，M.：最优风险控制和股息分配政策。保险公司超额损失再保险的例子。金融与随机，4299-324（2000）[2]Barles，G.和P.Souganidis:完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。渐近分析4（3）：2347-2349第4卷[3]博尔顿，P.，陈，H.，王，N.：托宾q的统一理论，企业投资，融资和风险管理，金融杂志，（2011）[4]Choulli，T.，Taksar，M.，Zhou，X.Y.：具有风险控制约束的公司最优股息分配的扩散模型。暹罗控制与优化杂志，411946-1979（2003）[5]Crandall M.G，Ishii H和Lions P.L:二阶偏微分方程粘性解用户指南，Bull。艾默尔。Soc。27, 1-67 (1992).[6] 戴M，钟Y：具有比例交易成本的连续时间投资组合选择的惩罚方法，计算金融杂志（2008）。[7] DeCamps，J.P.，Mariotti，T.，Rochet，J.C.和Villeneuve，S:自由现金流，发行成本和股票价格，金融杂志，661501-1544（2011）。[8] 福赛斯，P。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 03:47:55

和Labahn G：《金融中受控Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程的数值方法》，计算金融杂志，11，第1-44页（2007）[9]Friedman A.，随机微分方程和应用，第一卷，学术出版社（1975）[10]Hausman U.G.，Suo W.：奇异最优随机控制I:存在性，暹罗控制与优化杂志，33916-936（1995）。[11] Haussman U.G.，Suo W.：奇异最优随机控制II：动态规划，暹罗控制与优化杂志，33937-959（1995）。[12] 霍杰加德，B.，塔克萨，M.：《控制风险敞口和股息支付方案：保险公司示例》，数学金融9，153-182（1999）。[13] Huang Y.，Forsyth P.，Labahn G.：解决GMWB定价问题的奇异控制公式的迭代方法，Numerische Mathematik，第122卷：133-167（2012）[14]Huang Y.，Forsyth P.，Labahn G:HJBequations in Financing的固定和点策略联合迭代，暹罗数值分析杂志50（4），1861-1882（2012）。[15] Huang Y.，Forsyth P.，Labahn G:直接控制和惩罚方法的不精确算术考虑：跳跃差异下的美式期权，应用数学金融（2012）。[16] Hugonnier，J.，Malamud，S.和Morellec，E.：资本供应不确定性，现金持有和投资，财务研究回顾，28，第391-445页（2015）[17]Jeanblanc Picqu\'E，M.，Shiryaev，A.N.：股息流动的优化。俄罗斯数学调查，50257-277（1995）[18]Kumar S.和K.Mithiraman:求解奇异随机控制问题的数值方法，运筹学，第52卷，563-582（2004）[19]Kushner H.J.和P.G。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝