< γ2,α< θ< γ1,α< 0.最后，让S=m+n+2并定义-→ρα=（ρ1，α，…，ρS，α）=（β1，α，…，βm+1，α，γ1，α，…，γn+1，α），包含所有根的向量。假设2.1。对于本文的其余部分，我们假设，对于给定的α值，CramérLundberg方程G（ζ）=α具有如上所述的n+m+2个直接实解。备注2.1。对于HEJD，在[1]中对根进行了详细研究。首次通过和双边退出问题。为了b∈ R、 定义首次通过时间τ+b=inf{t≥ 0:Xt>b}和τ-b=inf{t≥ 0:Xt<b}，使用约定inf = ∞.考虑两个势垒水平h和h，使h<h。如[3，定理3.3]所示，对于任何足够大的α>0，θ<η和x<hE-ατ+h+θXτ+h=m+1Xi=1cieβi，αx，其中（c，c，…，cm+1）是常数向量（由非奇异线性系统唯一确定）。这里需要指出的是，系数取决于α、θ和h，以及过程的参数（显式和隐式）。最近，在[5，定理2.5]中，对于HEJD（不是MEJD）过程的情况，使用与[3，定理3.3]相同的证明方法得到了一个非常类似的结果。这已经发生了，因为≥ （h，h）candh<x<h，Exhe上的非负有界函数g（·）-α（τ+H）∧τ-h） gXτ+H∧τ-Hi=SXi=1bieρix，其中（b，b，…，bS）是也要确定的常数向量。现在，我们提供了上述结果的轻微扩展。证据留给读者；它遵循与[3，定理3.3]和[5，定理2.5]的证明相同的步骤。定理1。让X成为一个MEJD过程。在假设2.1下，对于给定的α>0的值，对于非负且有界的实值函数g（·），我们有：（1）对于x<H，Exhe-ατ+HgXτ+Hi=m+1Xi=1ωieβi，αx，其中-→ω = (ω, ω, . . .

ωm+1）是由以下线性系统（唯一）确定的向量：啊，α-→ω=JH，g，其中AH，α是由AH，α给出的（m+1）×（m+1）非奇异矩阵=eβ1，αHeβ2，αH。eβm+1，αHeβ1，αHη-β1，αeβ2，αHη-β2,α. . .eβm+1，αHη-βm+1，αeβ1，αHη-β1，αeβ2，αHη-β2,α. . .eβm+1，αHη-βm+1，α。。。。。。。。。。。。eβ1，αHηm-β1，αeβ2，αHηm-β2,α. . .eβm+1，αHηm-βm+1，α,其中JH，gis是一个（m+1）维向量，由g（H+），eηHZ∞Hg（y）e-ηydy，eηHZ∞Hg（y）e-ηydy，eηmHZ∞Hg（y）e-ηmydy.（2） 对于x>h，Exhe-ατ-汞Xτ-Hi=n+1Xi=1νieγi，αx，其中-→ν=（ν，ν，…，νn+1）是由以下线性系统（唯一）确定的向量：啊，α-→ν=Jh，g，其中Ah，α是由Ah，α给出的（n+1）×（n+1）非奇异矩阵=eγ1，αheγ2，αh。eγn+1，αheγ1，αhθ+γ1，αeγ2，αhθ+γ2，α。eγn+1，αhθ+γn+1，αeγ1，αhθ+γ1，αeγ2，αhθ+γ2，α。eγn+1，αhθ+γn+1，α。。。。。。。。。。。。eγ1，αhθn+γ1，αeγ2，αhθn+γ2，α。eγn+1，αhθn+γn+1，α,其中Jh，gis是一个（n+1）维向量，由g（h）-), E-θhZh-∞g（y）eθydy，e-θhZh-∞g（y）eθydy，E-θnhZh-∞g（y）eθnydy.（3） 对于h<x<h，Exhe-α（τ+H）∧τ-h） gXτ+H∧τ-Hi=m+1Xi=1ωieβi，αx+n+1Xi=1νieγi，αx=SXi=1Qieρi，αx，其中Q=（Q，Q，…，QS）=（ω，ω，…，ωm+1，ν，ν，…，νn+1）是由以下线性系统（唯一）确定的向量：Ah，H，αQ=Jh，H，g，其中Ah，H，α是由Ah，H，H，α给出的S×S非奇异矩阵=eβ1，αh。eβm+1，αheγ1，αh。eγn+1，αheβ1，αH。eβm+1，αHeγ1，αH。eγn+1，αHeβ1，αhθ+β1，α。eβm+1，αhθ+βm+1，αeγ1，αhθ+γ1，α。eγn+1，αhθ+γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。eβ1，αhθn+β1，α。eβm+1，αhθn+βm+1，αeγ1，αhθn+γ1，α。eγn+1，αhθn+γn+1，αeβ1，αhη-β1,α. . .eβm+1，αHη-βm+1，αeγ1，αHη-γ1,α. . .eγn+1，αHη-γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。eβ1，αHηm-β1,α. . .eβm+1，αHηm-βm+1，αeγ1，αHηm-γ1,α. . .eγn+1，αHηm-γn+1，α=eρ1，αheρ2，αh。eρS，αheρ1，αheρ2，αH。eρS，αHeρ1，αhθ+ρ1，αeρ2，αhθ+ρ2，α。eρS，αhθ+ρS，α。。。。。。。。。。。。eρ1，αhθn+ρ1，αeρ2，αhθn+ρ2，α。

.eρS，αhθn+ρS，αeρ1，αhη-ρ1，αeρ2，αHη-ρ2,α. . .eρS，αHη-ρS，α。。。。。。。。。。。。eρ1，αHηm-ρ1，αeρ2，αHηm-ρ2,α. . .eρS，αHηm-ρS，α,其中Jh，H，g是由Jh，H，g给出的S维向量=JH，g，JH，g.显然，根据停车时间的定义，如果x>h（分别x<h），则-ατ+hgXτ+hi=g（x）响应。告密-ατ-汞Xτ-Hi=g（x）,如果x<h或x>h，则-α（τ+H）∧τ-h） gXτ+H∧τ-Hi=g（x）。我们的主要结果我们的第一个目标是获得ZT{h<Xt<h}dt，Xt,对于给定的T>0。为了做到这一点，我们将计算以下关于T的联合拉普拉斯-卡森变换：对于每个x∈ R、 集合（4）w（x；h，h，α，ρ，γ）：=Z∞αe-α-特克斯-ρRT{h<Xt<h}dt+γXTidT，其中α>0，ρ≥ 0和γ∈ R.显然，我们有W（x）=Exhe-ρReα{h<Xt<h}dt+γXeαi，其中eα是平均值为1/α的指数分布随机变量（与X无关）。这是我们的主要结果。定理2。对于任何0≤ γ<min（η，θ），ρ>0和G（γ）<α，我们有z∞αe-α-特克斯-ρRT{h<Xt<h}dt+γXTidT=Pm+1i=1ωLieβi，α（x-h）- cLeγx，x≤ H-Pm+1i=1ωieβi，α+ρ（x-H）-Pn+1j=1νje-γj，α+ρ（x）-h）- ceγx，h<x<h，Pn+1j=1νUje-γj，α（x）-H）- 线索γx，x≥ H、 式中Cl=cU=αG（γ）- α、 c=αG（γ）- (α + ρ).系数Q的向量=ωLi；ωi；νj；νUj；i=1，m+1；j=1，n+1满足线性系统（5）BQ=V。这里V是2S维向量，（6）V=（cU- c）VV其中S维列向量Vand Vare由v给出=eγh，γeγh，eγhη- γ、 ··，eγhηm- γ、 eγhθ+γ，··，eγhθn+γ五=eγH，γeγH，eγHη- γ、 ··，eγHηm- γ、 eγHθ+γ，··，eγHθn+γB是一个2S×2S矩阵（7）B=mnzβMZγN,其中Zβ和Zγ是元素为0，0，eβ1，α+ρ（h-H） ，eβm+1，α+ρ（h）-H） oandn0，0，eγ1，α+ρ（h）-H） 。

，eγn+1，α+ρ（h）-H） 分别为o，其中M和N由M给出=1··11··1β1，α··βm+1，α-γ1,α+ρ· · · -γn+1，α+ρη-β1,α· · ·η-βm+1，αη+γ1，α+ρ···η+γn+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm-β1，α·ηm-βm+1，αηm+γ1，α+ρ·ηm+γn+1，α+ρθ+β1，α··θ+βm+1，αθ-γ1,α+ρ· · ·θ-γn+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn+β1，α···θn+βm+1，αθn-γ1，α+ρ·θn-γn+1，α+ρ安德=1 · · · 1 1 · · · 1-γ1,α· · · -γn+1，αβ1，α+ρ··βm+1，α+ρη+γ1，α··η+γn+1，αη-β1,α+ρ· · ·η-βm+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm+γ1，α···ηn+γn+1，αηm-β1，α+ρ·ηm-βm+1，α+ρθ-γ1,α· · ·θ-γn+1，αθ+β1，α+ρ··θ+βm+1，α+ρ。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn-γ1，α·θn-γn+1，αθn+β1，α+ρ···θn+βm+1，α+ρ.为了使最后一个定理得到明确的结果，我们必须知道（5）中的线性系统是如何可解的：引理3.1。在假设2.1下，对于α>0的给定值，在（7）中给出的矩阵B是不可变换的。证据设S=m+n+2，对于某些向量C=（C，C，…，C2S），假设BC=0。考虑函数V（x）=P2Si=1Cieρix代表x∈ （h，h），V（x）=0，否则，ρ，ρ2s是方程G（x）=α的不同实零。因为BC=0，V（x）是边值问题（8）的解(L- α - ρ1{h<x<h}φ（x）=0 x∈ （h，h），φ（x）=0 x∈ (-∞, h]∪ [H+∞).从解的唯一性到边值问题（8），V（x）≡ 0开（h，h）。既然{eρix，≤ 我≤ 2S}是线性独立的，那么C=0，B是可逆的。使用与定理2证明相同的方法，我们可以证明以下结果。定理3。

对于任何0≤ γ<min（η，θ），ρ>0，ρ>0和G（γ）<α，对于h<h，（9）Z∞αe-α-特克斯-ρRT{Xt≤h} dt-ρRT{Xt≥H} dt+γXTidT=Pm+1i=1ωLieβi，α+ρ（x-h）- cLeγx，x≤ H-Pm+1i=1ωieβi，α（x-H）-Pn+1j=1νje-γj，α（x）-h）- ceγx，h<x<h，Pn+1j=1νUje-γj，a+ρ（x）-H）- 线索γx，x≥ H、 式中cl=αG（γ）- （α+ρ），c=αG（γ）- α、 cU=αG（γ）- (α + ρ).系数q′的向量=ωLi；wi；νj；νUj；i=1，m+1；j=1，n+1满足线性系统B′Q′=V。这里V是（6）中定义的向量，B′是由B′给出的2S×2S m矩阵=M′N′ZβM′ZγN′,其中Zβ和Zγ是元素为0，0，eβ1，α（h-H） ，eβm+1，α（h-H） 哦，而且，0，eγ1，α（h-H） ，eγn+1，α（h）-H） 其中M′和N′由M′给出=1··11··1β1，α+ρ··βm+1，α+ρ-γ1,α· · · -γn+1，αη-β1,α+ρ· · ·η-βm+1，α+ρη+γ1，α···η+γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm-β1，α+ρ·ηm-βm+1，α+ρηm+γ1，α··ηm+γn+1，αθ+β1，α+ρ··θ+βm+1，α+ρθ-γ1,α· · ·θ-γn+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn+β1，α+ρ···θn+βm+1，α+ρθn-γ1，α·θn-γn+1，αandN′型=1 · · · 1 1 · · · 1-γ1,α+ρ· · · -γn+1，α+ρβ1，α··βm+1，αη+γ1，α+ρ··η+γn+1，α+ρη-β1,α· · ·η-βm+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。ηm+γ1，α+ρ···ηm+γn+1，α+ρηm-β1，α·ηm-βm+1，αθ-γ1,α+ρ· · ·θ-γn+1，α+ρθ+β1，α···θ+βm+1，α。。。。。。。。。。。。。。。。。。θn-γ1，α+ρ·θn-γn+1，α+ρθn+β1，α···θn+βm+1，α.在定理3中，如果我们让H→ h、 然后，它大大简化了表达式：推论1。给定常数ρ>0，ρ>0，γ≥ 0和α>0使得γ<min（η，θ）和G（γ）<α，我们有z∞αe-α-特克斯-ρRT{Xs≤h} ds-ρRT{Xs≥h} +γXTidT=（Pm+1i=1ωieβi，α+ρ（x-h）- ceγx，x≤ h、 Pn+1j=1νje-γj，α+ρ（x）-h）- ceγx，x>h，其中c=αG（γ）- （α+ρ），c=αG（γ）- (α + ρ).对于i=1，m+1，ωi=Qm+1j=1，j6=i（βj，α+ρ- γ） Qn+1k=1(-γk，α+ρ- γ） Qmj=1（ηj）- βi，α+ρ）Qnk=1（θk+βi，α+ρ）Qm+1j=1，j6=i（βj，α+ρ）- βi，α+ρ）Qn+1k=1(-γk，α+ρ- βi，α+ρ）Qmj=1（ηj- γ） Qnk=1（θk+γ）c，对于i=1。

n+1，νi=Qm+1j=1（βj，α+ρ- γ） Qn+1k=1，k6=i(-γk，α+ρ- γ） Qmj=1（ηj+γi，α+ρ）Qnk=1（θk- γi，α+ρ）Qm+1j=1（βj，α+ρ+γi，α+ρ）Qn+1k=1，k6=i(-γk，α+ρ+γi，α+ρ）Qmj=1（ηj- γ） Qnk=1（θk+γ）c，其中c=c- c、 证据。通过高斯消去，我们可以证明=1 1··1aa··aSη-aη-a··η-像ηm-aηm-a··ηm-aSθ+aθ+a···θ+aS。。。。。。。。。。。。θn+aθn+a··θn+aS其中S=m+n+2由det（A）给出-（Pmi=1ηi+Pnj=1θj）Q1≤i<j≤S（ai）- aj）Q1≤我≤S、 一,≤J≤S（Q1）≤K≤m（ηk）- ai）Q1≤L≤n（θl+aj））。如果det（A）6=0，那么矩阵A是可逆的，对于列向量 =1, γ,η- γ, . . . ,ηm- γ,θ+ γ, . . . ,θn+γ,线性系统AY= 有一个独特的解决方案*= （y）*, . . . , Y*S） ，其中，对于i=1，2，S、 y*i=Qj6=i（aj- γ） Qmk=1（ηk- ai）Qnl=1（θk+ai）Qj6=i（aj）- ai）Qmk=1（ηk）- γ） Qnl=1（θk+γ）。当H→ h完成了证明。4.占用时间期权定价我们现在展示了我们的理论结果如何可以轻松地应用于各种占用时间期权的定价。其思想是获得期权价格的（双）拉普拉斯变换的显式表达式，然后可以使用著名且研究充分的拉普拉斯反演技术对其进行反演，以获得数值价格；参见例如[10]和[3]以及其中的参考文献。请注意，使用这种方法，以及第3节的结果，可以分析许多其他（以及更复杂的）占用时间导数。4.1. 步进和双障碍步选项。正如引言中已经提到的，一个（向下和向外呼叫）步进选项允许以下支付：-ρRT{St≤五十} dt（ST- K） +=e-ρRT{Xt≤ln（L/S）}dt性爱- K+.然后，它的价格可以写成步骤（k，T）：=e-rTEE-ρRT{Xt≤ln（L/S）}dt性爱- E-K+,其中k=- ln（K）。

按照Carr和Madan对vanilla期权的方法，如[4]（另见[10]和[3]），我们可以很容易地计算Cstep（k，T）：Z的双拉普拉斯变换∞Z∞-∞E-αT-βkCstep（k，T）dkdT=e-rTSβ+1w（ln（S）；-∞, ln（L/S），α，ρ，β+1）αβ（β+1），其中w（x；h，h，α，ρ，γ）由定理2给出。注意，后一个选项的deltaof双拉普拉斯变换可以很容易地从上面得到。回想一下，双障碍阶梯选项的回报是：-ρ-RT{St≤五十} dt-ρ+RT{St≥U} dt（ST- K） +，其中ρ-ρ+是淘汰率。然后，它的价格可以写为double（k，T）：=e-rTEE-ρ-RT{Xt≤ln（L/S）}dt-ρ+RT{Xt≥ln（U/S）}dt性爱- E-K+,其中k=- ln（K）。同样，我们可以很容易地计算它的双拉普拉斯变换：Z∞Z∞-∞E-αT-βkcduble（k，T）dkdT=e-rTSβ+1w（ln（S）；ln（L/S），ln（U/S）α，ρ-, ρ+，β+1）αβ（β+1），其中，w（x；h，h，α，ρ-, ρ+，γ）=Z∞αe-α-特克斯-ρRT{Xt≤h} dt-ρRT{Xt≥H} dt+γXTidTis由定理3.4.2给出。分位数选项。从介绍中回忆起，固定罢工α-分位数呼叫选项会获得以下回报：0≤ α ≤ 1.Seγq（α，T）- K+,式中q（α，T）=infh:ZT{Xt≤h} dt>αT.对于任何0≤ υ ≤ T，这个α分位数看涨期权的价格可以写成分位数（Γ，T）=e-rTEh（Seλq（ν/T，T）- K） +i.然后，Cquantile（Γ，T）的双拉普拉斯变换由z给出∞Z∞E-αT-ρρCquantile（Γ，T）1{Γ<T}dT dΓ=Pm+1i=1λKρωiβi，α+ρ-λ（S/K）（βi，α+ρ+λ）/如果K≤ S、 Pm+1i=1λKρωiβi，α+ρ-λ（S/K）（βi，α+ρ+λ）/λ-Pn+1j=1λKρνjγj，α+λ（1- （S/K）（γi，α+ρ+λ）/λ）+（S）-K） α（α+ρ）如果K<S，其中{ωi，i=1，…，m+1}和{νj，j=1，…，n+1}由定理2.5给出。致谢支持这项工作的资金由魁北克自然与科技基金会（FRQNT）提供。J.-F.雷诺als o感谢蒙特勒阿尔金融研究所（IFM2）的财务支持。6.

定理2x<hw（x）=Exhe的证明-ρReα{h<Xs<h}ds+γXeαi=Exhe-ρReα{h<Xs<h}ds+γXeα，eα<τ+hi+Exhe-ρReα{h<Xs≤H} ds+γXeα，τ+H≤ eαi=ExeγXeα，eα<τ+h+ 告密-ρReα{h<Xs≤H} ds+γXeα，τ+H≤ eαi=Ex“Zτ+hαe-αs+γXsds#+Exhe-ρReα{h<Xs≤H} ds+γXeα，τ+H≤ eαi.（10）将其公式应用于过程{e-αt+γXt，t≥ 0}，我们得到processMt:=e-α（t）∧τ+h）+γXt∧τ+h- eγX-Zt∧τ+he-αs-αeγXs+LeγXsds=e-α（t）∧τ+h）+γXt∧τ+h- eγx- （G（γ）- α） Zt∧τ+he-αs+γXsds是从M=0开始的局部鞅。由于G（γ）<α，它遵循富比尼的理论中兴通讯-αs+γXsds=中兴通讯-α-硒eγXsds=Zte(-α+G（γ））sds=e(-α+G（γ））t- 1(-α+G（γ））<∞,尽管如此，t≥ 利用勒贝格的支配收敛定理，我们得到{Mt，t≥ 0}实际上是一个鞅。特别是，（11）前E-ατ+h+γXτ+h- eγx= （G（γ）- α） Ex“Zτ+he-αs+γXsds#。将（11）代入（10），利用X的强马尔可夫性和eα的无记忆性，我们得到（12）w（X）=αG（γ）- α前任E-ατ+h+Xτ+h- eγx+ 告密-ατ+hwXτ+hi、 类似地，对于x>H，（13）w（x）=αG（γ）- α前任E-ατ-h+γXτ-H- eγx+ 告密-ατ-hwXτ-Hi、 对于h≤ 十、≤ H、 （14）w（x）=αG（γ）- (α + ρ)告密-（α+ρ）τ+γXτi- eγx+ 告密-（ρ+α）τw（Xτ）i.定义如下：w（X）=w（x），x≤ h、 w（x），h<x<h，w（x），x≥ H、 将定理1和方程（12）、（13）和（14）结合起来，我们得到w（x）必须是以下形式：（15）Exhe-ρReα{h<Xt<h}dt+γXeαi=Pm+1i=1ωLieβi，α（x-h）- cLeγx，x≤ H-Pm+1i=1ωieβi，α+ρ（x-H）-Pn+1j=1νje-γj，α+ρ（x）-h）- ceγx，h<x<h，Pn+1j=1νUje-γj，α（x）-H）- 线索γx，x≥ H、 用ωLi，ωi，νjandνujt来确定。

现在，我们需要方程来确定这些系数。再次使用方程（12）、（13）和（14），我们得到w（x）mus t满足（16）L- α - ρ1{h<x<h}w（x）=-αeγx，x∈ R\\{h，h}。然后，方程（16）可以重写为区域中的三个独立方程(-∞, h） ，（h，h）和（h+∞).对于x<h，（17）- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+α）w（x）+λZ-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+Zh-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+ZH-xh-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+Z+∞H-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.对于h<x<h，（18）- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+ρ+α）w（x）+λZh-十、-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+Zh-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+ZH-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+Z+∞H-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.最后，对于x>H，（19）- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+α）w（x）+λZh-十、-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+ZH-xh-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+ZH-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+Z+∞w（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.将（15）中得到的表达式代入（17）、（18）和（19），我们得到，对于x<h，0=mXj=1pjηjeηj（x-h） （m+1Xi=1ωLiηj）- βi，α+ωieβi，α+ρ（h-H） ηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1νiηj+γi，α+ρ- （cL）- c） eγhηj- γ） +mXj=1pjηjeηj（x-H） （m+1Xi=1）ωiηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1νie-γi，α+ρ（h）-H） ηj+γi，α+ρ+νUiηj+γi，α！- （cL）- c） eγHηj- γ).对于x>H，0=nXj=1qjθjeθj（H-x） （m+1Xi=1ωLiθj+βi，α+ωieβi，α+ρ（h）-H） θj+βi，α+ρ+n+1Xi=1νiθj- γi，α+ρ- （cL）- c） eγhθj+γ）+nXj=1qjθjeθj（h）- x） （m+1Xi=1）ωiθj+βi，α+ρ+n+1Xi=1-νie-γi，α+ρ（h）-H） θj- γi，α+ρ+νUiθj- γi，α！- （cL）- c） eγHθj+γ）。因此，向量Q或换句话说，系数{ωLi，i=1，…，m+1}，{ωi，i=1，…，m+1}，{νi，i=1，…，n+1}和{νUi，i=1，…，n+1}满足以下条件：，m、 0=m+1Xi=1ωLiηj- βi，α+ωieβi，α+ρ（h-H） ηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1νiηj+γi，α+ρ- （cL）- c） eγhηj- γ、 0=m+1Xi=1ωiηj- βi，α+ρ+n+1Xi=1-νie-γi，α+ρ（h）-H） ηj+γi，α+ρ+νUiηj+γi，α！- （cL）- c） eγHηj- γ、 对于每个j=1。

n，0=m+1Xi=1ωLiθj+βi，α+ωieβi，α+ρ（h-H） θj+βi，α+ρ+n+1Xi=1νiθj- γi，α+ρ- （cL）- c） eγhθj+γ，0=m+1Xi=1ωiθj+βi，α+ρ+n+1Xi=1-νie-γi，α+ρ（h）-H） θj- γi，α+ρ+νUiθj- γi，α！- （cL）- c） eγHθj+γ。此外，我们还有以下四个方程：m+1Xi=1ωLi- cLeγh=m+1Xi=1-ωieβi，ρ+α（h-H）-n+1Xi=1νi- ceγh，（20）n+1Xi=1νUi- 线索γH=m+1Xi=1-ωi-n+1Xi=1νie-γi，ρ+α（H）- h）- ceγH，（21）m+1Xi=1ωLiβi，α- cLγeγh=m+1Xi=1-ωiβi，α+ρeβi，ρ+α（h-H） +n+1Xi=1νiγi，α+ρ- cγeγh，（22）n+1Xi=1-νUiγi，α- cUγeγH=m+1Xi=1-ωiβi，α+ρ+n+1Xi=1νiγi，α+ρe-γi，ρ+α（H）- h）- cγeγH.（23）事实上，方程（20）和（21）直接来自于w（x）在x=hand x=H处连续的事实。对于方程（22）和（23）的证明，请注意，对于H<x<H，- αeγx=σw′（x）+uw′（x）- （λ+ρ+α）w（x）+λZh-十、-∞w（x+y）nXj=1qjθjeθjydy+Zh-xw（x+y）nXj=1qiθieθiydy+ZH-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+Z+∞H-xw（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.用表达式代替w（x），w（x）和w（x）得到，对于h<x<h，（24）- αeγx=-m+1Xi=1eβi，α+ρ（x-H） ωiσβi，α+ρ- uβi，α+ρ- (λ + α + ρ)-n+1Xi=1eγi，α+ρ（x-h） νjσγi，α+ρ- uγi，α+ρ- (λ + α + ρ)+ λZh-十、-∞m+1Xi=1eβi，α（x+y）-h） ωLinXj=1qjθjeθjydy-Zh-xm+1Xi=1eβi，α+ρ（x+y）-H） ωinXj=1qjθjeθjydy-Zh-xn+1Xi=1eγi，α+ρ（x+y）-h） νinXj=1qjθjeθjydy-ZH-xm+1Xi=1ωieβi，α+ρ（x+y）-H） mXj=1pjηje-ηjydy-ZH-xn+1Xj=1νje-γj，α+ρ（x）-h） mXj=1pjηje-y（ηj+γj，α）dy+Z+∞H-xn+1Xj=1νUje-γj，α（x+y）-H） mXj=1pjηje-ηjydy- c（L）- α - ρ） eγx- λcLZh-十、-∞eγ（x+y）nXj=1qjθjeθjydy- 捷克-十、-∞eγ（x+y）nXj=1qjθjeθjydy- cZ+∞H-xeγ（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy+cUZ+∞H-xeγ（x+y）mXj=1pjηje-ηjydy.自从-c（L）- α - ρ） eγx=-αeγx和g（βi，α+ρ）- α - ρ=G（γj，α+ρ）- α - ρ=0，然后计算等式（24）的二阶导数，得到（23）和（23）。定理2的证明是完整的。参考文献[1]N.蔡，关于超指数跳跃扩散过程的首次通过时间，Oper。雷特。37（2009），第2号，127-134。[2] 蔡、陈和X。

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