我们用^θG（resp.^θM）表示高斯（resp.Matérn 5/2）协方差函数的估计长度参数。如表2所示，对于高斯和Matérn 5/2协方差函数，估计的长度参数^θ保持稳定（^θ的值约为25，^θM的值约为30）。还要注意，当使用高斯协方差函数时，LOO准则（27）中目标函数的最小值稍小。然而，如图2所示，高斯协方差函数的目标函数（交叉验证误差）达到0.12，而Matérn 5/2协方差函数的目标函数（交叉验证误差）从未超过0.02。此外，在Matérn 5/2情况下，更容易找到全局最小值。表2：使用ACV方法的参数估计（掉期与欧元银行同业拆借利率6M）。3.8 8 8.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.4 4 4 E-2007 2.3 3 3.3 3-0530/10 10 10 10 10/10 10 10 10/10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.5/10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 2011年26.0 30.7 5.0e-07 2.8e-0630/12/2011年20.3 30.0 6.8e-06 3.6e-06一旦估算了长度参数θ，使用公式（29）估算了标准偏差参数σ。例如，在2011年12月30日的报价日，我们分别获得了高斯和Matérn 5/2协方差核^σG=2.89和^σM=0.93。单报价日的曲线构造。现在，我们在一维环境中演示第4.1节中描述的曲线构造方法。该构造基于0204060801000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12塔加索人LOO准则0204060801000.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010Tamatérn 5/2 LOO准则图2：使用高斯（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）在LOO准则（27）中优化的函数。

2011年12月30日掉期对欧元银行同业拆借利率600万欧元。截至2011年12月30日的市场报价。对于这个特定日期，高斯核和Matérn 5/2核的估计长度参数如表2所示（^θG=20.3和^θM=30.0）。在这种情况下，使用第4.3节中描述的方法，对于高斯核，估计的方差参数等于^σG=2.89，对于5/2核，估计的方差参数等于^σM=0.93。图3使用相应的估计参数比较了高斯和Matérn 5/2协方差函数的贴现因子的样本路径。在这两种情况下，我们都会有条件地从模型（15）到线性等式约束（31）和非递增约束生成100条样本路径。请注意，模拟曲线（灰线）在整个域中没有增加。此外，黑色实线表示最可能的曲线，即条件GP的模式。回想一下，通过构造，该曲线满足给定的约束条件。黑色虚线表示通过模拟量化的95%逐点置信区间。图4和图5给出了相应的即期汇率和瞬时正向曲线。为了将我们的结果与大多数中央银行常用的一些模型进行比较，给出了所有数据以及相关的最佳拟合纳尔逊-西格尔曲线（见纳尔逊和西格尔，1987年）和相关的最佳拟合斯文森曲线（见斯文森，1994年）。通过最小化市场价格和模型价格之间的平方误差之和来估计参数。我们使用梯度下降算法，随机选择起始值，如Gilliet al.（2010）所述。最佳参数如表3所示。

贴现系数和远期利率由Nelson Siegel和Svensson收益率曲线推导得出。表3:Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson模型的参数估计（2011年12月30日Swapversus Euribor 6M）。λλββNelson-Siegel 7.4615-0.0189-0.0160 0.0487 Nelson-Siegel Svensson 4.0486 28.4285 0.1719-0.1590-0.1101-0.40930 10 20 30 400.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0折扣系数Monone GP95%置信区间模型Nelson-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0折扣系数NOTONE GP95%置信区间模型-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图3：使用高斯协方差函数和nugget等式10，从具有非递减约束和市场约束的条件GP中获得的模拟路径（灰线）-5（左）和无熔核的Matérn 5/2协方差函数（右）。截至2011年12月30日的掉期与欧元600万欧元的市场报价。0 10 20 30 400.010 0.015 0.020 0.025即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.015 0.020 0.025即期汇率即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图4：从图3的样本路径获得的现货率，高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）。灰线代表-xlog YN（x）表示每个采样路径。

黑色实线是最有可能的即期汇率曲线-xlog MNK（x | A，b）.0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图5：使用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）从图3的样本路径获得的前向速率。灰线代表-每个采样路径的ddxlog YN（x）。黑色实线是最有可能的远期利率曲线-ddxlog MNK（x | A，b）.24.9 25.0 25.1 25.2 25.3 25.4 25.50 2000 4000 1000024.9 25.0 25.1 25.2 25.3 25.4 25.50 2000 4000 10000图6：根据高斯协方差函数（左）和材料协方差函数（右）下的贴现因子曲线的10万次独立模拟构建的定期年金到期现值直方图。从图3、图4和图5可以看出，Nelson-Siegel模型和Nelson-SiegelSvensson模型接近单调克里格模式，尤其是对于Vensson扩展。然而，这些模型并不总是满足给定的市场约束（尤其是纳尔逊-西格尔模型）。此外，它们不提供置信区间。备注5.1。如图5所示，在两个考虑的协方差核下，最可能的正向曲线（黑色实线）的形状不同。当使用高斯方差核时，对于超过30年的到期日，模式曲线具有一个额外的驼峰，而在Matérn 5/2的情况下，模式曲线略有增加，并遵循拟合的NelsonSiegel-Svensson曲线。

这种差异来自C∞与Matérn 5/2核生成的正向曲线相比，高斯核生成的正向曲线更不容易适应数据的局部趋势。此外，请注意，在高斯核情况下，由于有限可微性的限制，在没有金块效应的情况下反演协方差矩阵可能会涉及数值不稳定性。Golchi等人（2015年）也报道了这个问题，作者特别指出，“在常用的平方指数族上选择材料协方差函数（Sacks等人，1989年），通过消除不可分辨性的限制，避免了数值不稳定性，通常在反转协方差矩阵时观察到这种不稳定性。”。之前的模拟可用于估计其他金融资产的分布，其价值取决于曲线。例如，在图6中，我们绘制了现值"a（p）n=Ppn的直方图-1k=0pYN（k/p），使用100000个贴现因子样本路径模拟到期的定期年金，其中n=40，p=12（月付款）。请注意，尽管条件高斯过程的模拟样本路径具有可变性，但到期定期年金的现值保持稳定，使用高斯核的置信区间为95%，使用Matérn核的置信区间为[25.12,25.30]，使用Matérn核的置信区间为[25.07,25.41]。几个报价日期。现在，我们在第二维度中说明了构建过程，其中包含了在不同报价日期观察到的数据。然后，我们构建了一个表，展示贴现因子随到期时间和报价日期的变化。为此，我们使用第4.2节中描述的方法。在图7中，表面呈现了二维条件GP的模式估计。在表2所示的9个日期，施工解除了掉期报价。

我们选择Nx=40，Nt=20，我们考虑一个二维高斯核函数，它写为asK（x，x）=exp-（十）- x） 2θ-（t）- t） 2θ！，其中x=（x，t）和x=（x，t）。对于每个向量x=（x，t），第一个分量x代表到期时间，第二个分量t代表报价日期。在不损失一般性的情况下，距离t- 两个报价日期之间的t用样本两个极端日期之间长度的百分比表示。参数θ和θ分别为25和0.5。请注意，构造的贴现因子曲面相对于到期时间是非递增的。0102030402010-06-022010-07-052010-08-032010-11-292010-12-302011-01-312011-05-102011-06-102011-12-300.40.60.81.0次-到-到期日。20.30.40.50.60.70.80.91.0图7：掉期与欧元银行同业拆借利率贴现系数，作为到期时间和报价日期的函数。5.2 OIS折扣曲线我们现在应用克里格法构建OIS折扣曲线。其目的是在不同的报价日期t构建折扣曲线t→ PD（t，t）基于与不同标准到期日相关的隔夜指数掉期的市场报价。我们考虑表4中给出的10个报价日期的OIS。对于每个报价日，期限结构由14个掉期利率构成，与集合E中的标准到期日相关：={1，…，10，15，20，30，40}>。对于每个标准到期日T∈ E、 在时间范围k=1，…，曲线的值P（t，k），T通过线性关系（3）连接。然后，如果贴现因子PD（t，X）的向量=（PD（t，1），…，则曲线与市场报价兼容，PD（t，40））>满足形式为·P（t，X）=bt，（32）的线性系统，其中Atis为14×40实矩阵，bt=（1，…，1）>∈ R.在这种情况下，我们有n=14个观测值，这取决于曲线的m=40个点。

请注意，市场融资条件的形式与第5.1小节中的前一示例完全相同。参数估计。在表4中，我们估计了分别与高斯和Matérn 5/2协方差函数相关的长度超参数^θ和^θ质量（见表1）。表4最后两列中的最佳值对应于（26）中定义的LOO标准的全局最佳值。请注意，估计参数^θ和^θM在考虑的报价日期内是不稳定的。此外，对于两个协方差函数，即使对于高斯协方差函数，它们稍微小一些，但得到的最佳值也很接近。图8显示了使用2010年6月3日的OIS数据在标准（26）中优化的功能。考虑到函数的形状，使用Matérn 5/2协方差函数的估计过程变得更加简单。如前所述，一旦估算出长度参数θ，标准偏差参数σ将使用方程（29）进行估算。表4：使用ACV方法的参数估计（OIS数据）。5.5.5 e-05 9.7-0515/055/054.7-0515/055 4.7-0515/0515/0515/0515/0515/0515/10/10 10/2010 27.8 8 20.8 8 8 8 8.8 8 8 8 8 8 8.8 8 8 8 8.8 8 8 8.8 8 8.6 1.6 1 1.6 1 1 1.6 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.2 1.2 1.2 1.6 1.2 1.2 1.8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.6.6.6 1.6 1.8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.6.6.6.6.5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 25.8 24.2 1.9e-05 7.6e-050 20 40 60 80 1000.000 0.005 0.010 0.015 0.0200.025 0.030泰高斯LOO标准0 20 40 60 80 1000.000 0.002 0.004 0.006 0.008塔玛特5/2 LOO标准配置图8：使用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）在LOO标准（27）中优化的函数。OIS数据于2010年6月3日发布。一个单一的报价日期。

在图9中，当使用高斯协方差函数（左图）和Matérn 5/2协方差函数（右图）时，我们选择N=50，并生成从模型（15）构建的贴现因子的100个样本路径。所有曲线都不随到期时间增加。此外，从2010年6月3日起，它们都与OIS数据完全兼容。高斯过程超参数已通过第4.3节中描述的ACV方法进行估计。当使用高斯协方差函数时，（θG，σG）=（26.2,4.24），当使用5/2协方差函数时，（θM，σM）=（19.1,0.24）给出估计的超参数。黑色实线表示最可能的曲线，即条件GP的模式。回想一下，通过构造，该曲线满足给定的约束。黑色虚线表示通过模拟量化的95%逐点置信区间。图10和图11给出了相应的即期汇率和远期曲线。同样，给出了所有图8、图10和图11以及相关的最佳拟合NelsonSiegel曲线（见Nelson和Siegel，1987）和相关的最佳拟合Svensson曲线（见Svensson，1994）。通过最小化市场价格和模型价格之间的平方误差之和来估计参数。我们使用梯度下降算法，随机选择起始值，如Gilli等人（2010）所述。

最佳参数如表5所示。表5:Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson模型的参数估计（OIS数据，2010年6月3日）。λλβNelson-Siegel 1.0890-0.0341-0.0171-0.0601 Nelson-Siegel-Svensson 1.0938 15.1891 0.0502-0.0164-0.1074-0.04940 10 20 30 400.4 0.6 0.8 1.0折扣系数Monone GP95%置信区间Nelson-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.4 0.6 0.8 1.0折扣系数NOTONE GP95%置信区间模型-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图9：OIS贴现因子曲线（灰线），作为条件GPA的模拟路径，使用高斯协方差函数（块金等于10）给出非递增约束-5（左）和无熔核的5/2协方差函数（右）。2010年6月3日的OIS数据。关于由两个考虑的协方差核构造的曲线的比较，备注5.1也适用于此处。0 10 20 30 400.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035即期汇率即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图10：利用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）从图9的样本路径获得的即期汇率。灰线代表-xlog YN（x）表示每个采样路径。

黑色实线是最有可能的即期汇率曲线-xlog MNK（x | A，b）.0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图11：使用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）从图9的样本路径获得的前向速率。灰线代表-每个采样路径的ddxlog YN（x）。黑色实线是最有可能的远期利率曲线-ddxlog-MNK（x | A，b）。Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson模型似乎没有满足所有市场约束，这与提出的方法相反，该方法也给出了置信区间。几个报价日期。使用第4.2节中描述的二维方法，webuild在图12中绘制了一个代表OIS贴现因子的曲面，该贴现因子与到期时间和报价日期有关。施工依赖于表4给出的8个日期的OIS报价。该曲面对应于给定市场公平约束和到期时间方向非递增约束的条件GP模式。我们选择Nx=40，nt=20，我们考虑一个二维高斯核函数，它写为asK（x，x）=exp-（十）- x） 2θ-（t）- t） 2θ！，其中x=（x，t）和x=（x，t）。对于每个向量x=（x，t），第一个分量x代表到期时间，第二个分量t代表报价日期。在不损失一般性的情况下，距离t- t两个报价日期之间用样本两个极端日期之间长度的百分比表示。参数θ和θ分别固定为25和0.5。

观察构造的贴现因子曲面相对于到期时间是非递增的。0102030402010-06-022010-07-052010-08-032010-11-292010-12-302011-01-312011-05-102011-06-100.40.60.81.0次-到-到期日。20.30.40.50.60.70.80.91.0图12:OIS贴现系数作为到期时间和报价日期的函数。5.3 CDS隐含默认分布我们现在应用克里格方法构建CDS隐含默认分布。事实上，CDScan可以被视为一种保险产品，如果某个债务发行人在某个保护期或到期日内违约，该产品可以覆盖该债务发行人的损失。这些产品的市场报价（CDS价差）提供了有关当前保护成本的信息，以及市场如何评估标的实体在不同时间段的违约概率的信息。我们的目标是在不同的报价日期t构建隐含的生存函数t→通过观察CDS利差的相应期限结构（保护期不断延长的CDS利差），得出特定债务发行人的Q（t，t）。数量Q（t，t）给出了时间t时标的债务发行人在时间范围t之前不违约的概率。在这个数字说明中，我们考虑了表6所示的10个报价日的俄罗斯主权债务CDS。每个报价日期对应7张CDS价差，S与集合E中的保护到期日（年）相关：={1,2,3,4,5,7,10}>。对于每个标准成熟度T∈ E、 在每个保费支付日τ<····<τn=T的生存概率值通过线性关系（7）联系起来。请注意，预付款日期之间用四分之一的时间段隔开，所有报价的CDS金额的这些日期都是一致的。

在我们的数字说明中，预期回收率R固定为40%，贴现系数PD（t，τk）由圣路易斯联邦储备银行（Federal Reserve Bank of St.Louis）给出的（所有考虑的报价日期）财政部固定到期利率的线性插值构建。然后，如果δ=1/4代表一个季度，如果生存概率向量Q（t，X）：=（Q（t，δ），Q（t，2δ），…，则隐含的违约分布与市场报价相一致，Q（t，10））>满足线性系统的格式·Q（t，X）=bt（33），其中Atis是一个7×40实矩阵，bt=（1- R1.- R） >∈ R.在这种情况下，我们有n=7个观测值，取决于曲线的m=40个点。参数估计。在表6中，我们比较了高斯核（^θG）和Matérn 5/2核（^θM）的长度超参数估计。已使用第4.3节所述的ACV方法进行估算。如图13所示，这两个协方差函数的Loo目标函数看起来很相似。表6：使用ACV方法估算长度参数（CDS数据）。4.6 10.5 6 6 6.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.0 e-0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6.5 5 6 6 6 9 9 9 9-0702/2006 4.9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 5 5/02/02/2006 4.5 5 5 5 5 5 5 2.5 5 5 2.5 5 5 5 5 5 2.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1.10.8.2e-06 1.5e-06如前所述，一旦估算出长度参数θ，则使用公式（29）估算出标准偏差参数σ。一个单一的报价日期。在图14中，我们选择N=50并生成100条CDS隐含生存曲线的样本路径，这些曲线是在使用高斯方差函数（左图）和Matérn 5/2协方差函数（右图）时根据模型（15）构建的。所有的曲线都不随时间的推移而增加。

此外，它们都完全符合2005年1月6日的CDS数据。高斯过程超参数已通过第4.3节所述的ACV方法模拟。当使用高斯协方差函数时，估计的超参数由（^θG，^σG）=（4.9,0.09）和（^θM，^σM）=（10.5,0.22）给出。黑色实线表示0.5 10 15 200.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012塔加索人LOO标准0.5 10 15 200.000 0.004 0.008 0.012塔玛特5/2 LOO标准图13：在LOO标准（27）中使用高斯（左）和马特5/2（右）协方差函数进行优化的函数。自2005年1月6日起的CD报价。最有可能的曲线，即条件GP的模式。回想一下，通过构造，该曲线满足给定的约束条件。黑色虚线表示模拟量化的95%逐点密度区间。几个报价日期。使用第4.2节中描述的二维方法，webuild在图15中表示CDS隐含生存曲线的曲面，作为时间范围和报价日期的函数。该构造依赖于表6所示的8个日期的CDS报价价差。该曲面对应于给定市场质量约束和到期时间方向非递增约束的条件GP模式。我们选择Nx=40，Nt=20，我们考虑一个二维高斯核函数，它写为asK（x，x）=exp-（十）- x） 2θ-（t）- t） 2θ！，其中x=（x，t）和x=（x，t）。对于每个向量x=（x，t），第一个分量x代表到期时间，第二个分量t代表报价日期。在不损失一般性的情况下，距离t- t两个报价日期之间用样本两个极端日期之间的长度百分比表示。参数θ和θ分别为8和1.7。

请注意，构造的贴现因子曲面相对于到期时间是非递增的。同时考虑多个报价日期有利于增加数据集，以便更好地估计超参数，并在两个方向（时间范围和报价日期）上创建一致的插值程序。0 2 4 6 8 100.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00X生存概率指数GP95%置信区间0 2 4 6 8 100.70 0.80 0.90 0.951.00X生存概率指数GP95%置信区间模型图14：CDS隐含生存曲线（灰线），作为使用高斯协方差函数（左）或Matérn 5/2Coviance函数（右）的非递增约束条件下GP的模拟路径给出。0123456789102005-01-062006-02-022007-03-202008-04-042009-05-112010-06-212011-07-142012-08-230.70.80.91.0保护到期日0。650.700.750.800.850.900.951.00图15：CDS隐含生存概率作为到期时间和报价日期的函数。5.4单调克里金技术的需要在第4节开始时，我们通过一些无套利约束条件证明了本文中开发的单调克里金技术。一个自然的问题是，构造现实的术语结构是否需要单调条件。让我们强调一下，我们所考虑的构造问题依赖于一个由不适定方程组总结的市场信息，公式（X）=b，其中a不一定是一个平方矩阵。显然，这些约束不会导致Y（x（i）），i=1，m、 因此，即期汇率或隐含违约概率在x点（1）不直接可用，x（m）。

在没有套利机会的情况下，代表无违约零息票债券、贴现因子或隐含生存概率的过程Y应是单调的。因此，考虑使用约束插值技术来基于这些量构造曲线是很自然的。这里考虑之前的掉期曲线构造问题，但放松对无违约零息票债券过程的单调约束。如图16（左面板）所示，得到的克里格平均值不是递减函数。此外，即使平均曲线是单调的，一些样本曲线也显然不是单调的，这导致了很宽且不切实际的置信区间。在图16的右侧面板上，我们可以看到相应的点速率平均来说似乎合理，但忽略单调性约束会导致置信区间变宽。请注意，图16的目的只是说明在使用无约束技术时可能遇到的一些问题，因此这里不讨论在无约束设置中的其他核函数参数选择。0 10 20 30 400.2 0.4 0.6 0.8 1.0贴现因子约束GP95%置信区间模式无约束GP95%置信区间克里格法均值0 10 20 30 400.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 xUnconstrated即期汇率即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率克里格法均值图16：使用标准克里格法插值某些贴现因子（左面板），无单调性限制。OIS数据，2010年6月3日，高斯核与金块10-7.右侧面板中给出了相应的即期汇率。仅在本图中，线性约束Ay（X）=b由逐点约束Y（X（i））=MNK（X（i）| A，b），i=1，m、 为了使用标准的无约束R包DiceKriging（见Roustant等人，2012年）。

该软件包的估计参数为（θ，σ）=（5.8,0.22）。如果想要避免使用单调插值技术，一个自然的想法是对从Y（x）推导出的一些不一定是单调的量进行插值。例如，我们可以研究从y（x）的每条路径以双射方式推导出的函数ζ（x）。例如，在金融环境中，如果Y（x）是贴现因子，那么函数ζ（x）可以表示贴现率ζ（x）=-xlog Y（x）或远期利率ζ（x）=-ddxlog Y（x）。显然，这些函数不受单调性约束，因此可以避免使用单调插值。在文献中，一些研究在不考虑任何单调约束的情况下插入利率。Steeley（2008）得出的结论是，直接插值即期汇率而不是贴现系数更好：“通过直接拟合收益率曲线而不是首先拟合贴现函数，可以获得更好的收益率曲线估计值”。一些作者还建议对一些非单调曲线使用克里格技术，如Benth（2015），他将克里格技术应用于能源期货价格的未来曲线。在Kanevski等人（2008年）中，空间统计学和机器学习的工具被用于在二维特征空间（成熟度、时间）中生成一些利率映射。然而，在这些研究中，需要插值的利率或价格必须直接观察。在我们的环境中，我们不一定观察即期汇率或甚至折扣因素，我们的目标是在非参数环境中拟合市场数据。我们可以对非单调推导量的插值提出一般性反对意见：o第一个反对意见是，即使ζ（x）不是单调的，它仍然受到约束：例如，在没有套利机会的情况下，贴现率或远期利率等量预计为正。

至于贴现率，插值即期汇率可能会导致局部负平均即期汇率，克里格法获得的置信区间可能会达到阈值0，这是不可取的：约束从单调性约束转化为正性约束，而经典克里格法无法处理这些约束第二个反对意见是，在我们的设置中，观测值是AY（X）=b，其中A不一定是平方和可逆矩阵。因此，我们无法用我们的数据直接观察即期汇率或远期汇率。即使在非常特殊的情况下，A是一个平方且不可变换的矩阵，即期汇率也可以从Y（X）中推导出来，但远期汇率不能：知道某个横坐标上的函数并不能直接限制其导数最后，使用克里格插值，即使忽略ζ（x）的正性，也会导致ζ（x）的非线性条件。我们已经看到，对于AY（X）=b，Y（X）仍然是一个高斯过程，但对于过程ζ（X），情况将不再是这样。即使在A是可逆的简单情况下，过程ζ（x）也必须是正的，并且给定y（x）=b，它不再是高斯的，因此仍然必须引入合适的插值技术。结论在本文中，我们展示了如何使用合适的克里格技术来量化嵌入在金融期限结构构建中的模型不确定性。我们认为，曲线的构造是满足线性等式约束和单调性质的条件（空间）高斯过程的不可观测路径。提出了一种合适的交叉验证方法来估计控制不确定性水平的高斯过程协方差参数。然后，我们在一维和二维的一些示例上研究了该方法的有效性。

生成的曲线都与市场行情兼容，并遵守无套利条件。条件高斯过程还允许推导金融期限结构和相关数量的置信区间。我们比较了不同数据集上的高斯和Matérn 5/2协方差核：掉期与欧元银行同业拆借利率、隔夜指数掉期、信用违约掉期。我们得出的结论是，对于这些应用，Matérn 5/2协方差核似乎更合适，因为与经拟合的Nelson-Siegel或Svensson模型相比，它生成了更真实的正向曲线。在这项工作中，我们没有充分调查曲线不确定性对相关产品评估及其对冲策略的影响。此外，在我们给出的示例中，我们认为市场信息是在没有不确定性的情况下观察到的。可能是由于缺乏流动性，市场报价不能被认为是可靠的。然后，我们提出的克里格技术可以适应噪音观测的存在（见第3.3节）。对拒绝抽样算法的改进也可能有用，尤其是对于维度2中的超参数估计，其中必须考虑大量报价日期。这些要点留待将来研究。致谢我们要感谢三位匿名评论者和编辑花时间写这篇文章并提供有用的建议。作者还感谢Xavier Bay（EMSE）和Nicolas Durrande（EMSE）的有益讨论。这项工作是在ReDice财团的框架内进行的，该财团聚集了工业界（CEA、EDF、IFPEN、IRSN、雷诺）和学术界（圣艾蒂安矿业学院、印度工业大学和伯尔尼大学）的合作伙伴，寻找先进的计算机实验方法。

它还得益于金融服务业的GRI和路易·巴塞利尔研究所的支持。一位作者还感谢ANRLolita研究项目和DAMI研究项目。参考Abrahamsen，P.（1997）。高斯随机场和相关函数综述。挪威中央/挪威计算中心。Abrahamsen，P.和Benth，F.E.（2001年）。带有不等式约束的克里格法。数学代数，33（6）：719-744。Ametrano，F.和Bianchetti，M.（2009）。引导流动性不足：市场一致性远期利率估计的多收益率曲线构造，第1章。风险书。安徒生，L.（2007）。使用张力样条曲线构造折扣曲线。衍生研究综述，10（3）：227-267。Asgharian，H.，Hess，W.，和Liu，L.（2013）。国际股票市场联系的空间分析。《银行与金融杂志》，37（12）：4738-4754。巴乔克，F.（2013）。具有模型误判的高斯过程超参数的交叉验证和最大似然估计。《计算统计与数据分析》，66（0）：55–69。Barzanti，L.和Corradi，C.（1999年）。关于单调样条直接项结构估计的注记。《社会经济科学》马泰马蒂卡海滨酒店，22:101–108。X州贝、L.格拉蒙特和H.马图克（2015年）。在Hilbert空间的凸子集中插值的一种新方法。哈尔01136466。X州贝、L.格拉蒙特和H.马图克（2016年）。约束插值的Kimeldorf-Wahba对应的推广。ArXiv电子指纹。Baysal，R.E.，Nelson，B.L.，和Staum，J.（2008）。模拟边缘和交易策略的响应面方法。在2008年的模拟会议上。WSC 2008。温特，第629-637页。IEEE。Benth，F.E.（2015）。克里格平滑曲线。能源风险，2月：64-69。Branger，N.和Schlag，C.（2004年）。模型风险：风险度量和对冲的概念框架。

在EFMA 2004巴塞尔会议文件中。首席财务官论坛和首席风险官论坛（2010年）。QIS 5技术规范；无风险利率。技术报告、首席财务官论坛和首席风险官论坛。Chibane，M.，Selvaraj，J.，和Sheldon，G.（2009）。在良好的基础上构建曲线。工作纸。邱，N-C.，方，S-C.，拉弗里，J.E.，林，J-Y.，和王，Y.（2008）。用三次样条逼近利率期限结构。《欧洲运筹学杂志》，184（3）：990-1004。Cont，R.（2006年）。模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。数学金融，16（3）：519-547。克雷西，N.（1990）。克里格法的起源。数学地质学，22（3）：239-252。北卡罗来纳州克雷西（1993年）。空间数据统计，修订版。约翰·威利父子公司，纽约。戴维斯，M.H.和霍布森，D.G.（2007）。交易期权价格的范围。《数学金融》，17（1）：1-14。Andrésánchez，J.和Gómez，A.T.（2004）。使用模糊回归技术估计利率的模糊期限结构。《欧洲运筹学杂志》，154（3）：804-818。Debón，A.，Martínez Ruiz，F.，和Montes，F.（2010）。动态生命表的地质统计学方法：死亡率对剩余寿命和年金的影响。保险：数学和经济学，47（3）：327-336。德曼，E.（1996年4月）。模型风险。定量战略研究笔记，高盛。Eberlein，E.和Jacod，J.（1997）。关于期权价格的范围。金融与随机，1（2）：131-140。El Karoui，N.，Jeanblanc Picquè，M.，和Shreve，S.E.（1998）。布莱克-斯科尔斯公式的稳健性。数学金融，8（2）：93-126。Fengler，M.R.和Hin，L-Y.（2015）。一种在无套利约束下拟合贴现曲线的简单通用方法。《金融研究快报》，15:78-84。费尔南德斯，G.B.和阿尔特斯，R.（2015）。信用风险的空间相关性及其在信用评分中的改进。

即将发表在《欧洲运筹学杂志》上。Fries，C.P.（2013）。曲线和期限结构模型：利率曲线和期限结构模型的定义、校准和应用。DZ银行股份有限公司；慕尼黑大学，数学系。M.藤井、Y.岛田和A.高桥（2010）。抵押品过账和抵押品货币的选择。工作文件。甘，G.和林谢尔顿，X.（2015）。nestedsimulation下大型可变年金投资组合的估值：函数数据法。保险：数学与经济学，62（0）：138-150。Gilli，M.，Grosse，S.，和Schumann，e.（2010）。校准Nelson-Siegel-Svensson模型。COMISEF工作文件系列（31）。南卡罗来纳州高尔基、哥伦比亚特区宾厄姆、H.奇普曼和哥伦比亚特区坎贝尔（2015年）。计算机实验的单调模拟。SIAM/ASA不确定性量化杂志，3（1）：370–392。格林，T.C.和菲格莱夫斯基，S.（1999）。金融机构的市场风险和模型风险书写期权。《金融杂志》，54（4）：1465-1499。郭军，G.（2013）。数据聚类和机器学习在可变年率估值中的应用。保险：数学与经济学，53（3）：795-801。哈根，P.S.和韦斯特，G.（2006）。曲线构造的插值方法。《应用数学金融》，13（2）：89-129。Hena Aff，P.（2010年）。模型风险的标准化度量。工作文件。赫尔，J.和怀特，A.（2013）。LIBOR vs.OIS：衍生品贴现困境。投资管理杂志，11（3）：14-27。Iwashita，Y.（2013）。分段多项式插值。打开伽马技术报告。琼斯，D.R.，肖洛，M.，和韦尔奇，W.（1998）。高效地对昂贵的黑匣子函数进行全局优化。《全局优化杂志》，13（4）：455-492。M.卡内夫斯基、M.迈南、A.波兹努霍夫和V.蒂莫宁（2008年）。利率地图。Physica A：统计力学及其应用，387（15）：3877–3903。肯扬，C.和斯塔姆，R。

(2012). 贴现、Libor、CVA和融资：利率和信贷定价。帕尔格雷夫·麦克米伦。Kerkhof，J.和Melenberg，B.（2004年）。对基于风险的监管资本进行回溯测试。《银行与金融杂志》，28（8）：1845-1865。Kimeldorf，G.S.和Wahba，G.（1970）。随机过程的贝叶斯估计与样条函数逼近之间的对应关系。《数理统计年鉴》，41（2）：495-502。Kleijnen，J.P.和Van Beers，W.C.（2012）。用于昂贵模拟的保持单调性的自举克里格元模型。运筹学学会杂志，64（5）：708-717。克里格·D.（1951年）。威特沃特斯兰德一些矿山估价和相关问题的统计方法：DG Krige。威特沃特斯兰德大学博士论文。Laurini，M.P.和Moura，M.（2010）。利率期限结构的约束平滑b样条。保险：数学与经济学，46（2）：339-350。Laurini，M.P.和Ohashi，A.（2015）。前向利率曲线的噪声主成分分析。《欧洲运筹学杂志》，246（1）：140-153。刘明和Staum，J.（2010）。用于有效嵌套模拟预期短缺的随机克里格法。《风险杂志》，12（3）：3。卢德科夫斯基，M.（2015）。百慕大期权定价的克里格元模型。工作文件。H.马图克和X.贝（2014a）。一种新的截尾多元高斯随机变量的拒绝抽样方法。2014年将出现在蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法中。斯普林格·维拉格，柏林，2016年。H.马图克和X.贝（2014b）。具有不等式约束的计算机实验高斯过程模拟器。正在修订中。H.马图克、O.罗坦特和Y.里奇特（2015年）。不等式约束下高斯过程超参数的交叉验证估计。《环境科学百科全书》，27:38-44。2015年空间统计会议。马迪亚，K.V.，肯特，J。

T.，古德尔，C.R.，和利特尔，J.A.（1996）。克里格法和带有导数信息的样条曲线。Biometrika，83（1）：207-221。Matheron，G.（1963年）。地质统计学原理。经济地质学，58（8）：1246-1266。莫里尼，M.（2011）。理解和管理模型风险：定量、交易者和验证者的实用指南。威利。Nelson，C.R.和Siegel，A.F.（1987）。收益率曲线的简约建模。《商业杂志》，60（4）：第473-489页。帕拉维奇尼，A.和塔伦吉，M.（2010）。具有多条收益率曲线的利率建模。可通过SSRN 1629688获得。Paulson，N.D.和Hart，C.E.（2006）。解决天气衍生性疾病风险的空间方法：干旱保险示例。2006年美国农业经济协会年会。Ramponi，A.（2003年）。横截面结构的自适应单调样条估计。《国际理论与应用金融杂志》，6（02）：195-212。Rasmussen，C.E.和Williams，C.K.I.（2005）。机器学习的高斯过程（自适应计算和机器学习）。麻省理工学院出版社。罗伯特·C·P.（1995）。截断正态变量的模拟。统计与计算，5（2）。O.罗森特、D.金斯伯格和Y.德维尔（2012）。DiceKriging，DiceOptim：通过基于Kriging的元建模和优化分析计算机实验的两个R包。统计软件杂志，51（1）：1-55。桑特纳，T.J.，威廉姆斯，B.，和诺茨，W.（2003）。计算机实验的设计与分析。斯普林格·维拉格。史密斯A.和威尔逊T.（2001）。用长期约束拟合收益率曲线。技术报告，技术报告，培根和伍德罗。索萨，J.B.，埃斯奎维尔，M.L.，和加斯帕，R.M.（2012）。基于高斯过程的机器学习Vasicek模型校正。《统计模拟与计算通讯》，41（6）：776-786。斯蒂利，J.M.（2008）。

测试期限结构估计方法：来自英国证券市场的证据。货币、信贷和银行杂志，40（7）：1489-1512。Stutvoet，E.（2007年）。使用克里格法将金融模型与市场数据拟合。德尔夫特理工大学硕士论文。斯文森，L.E.（1994）。预测和解释远期利率：瑞典1992-1994。技术报告，国家经济研究局。

感谢分享