特别是，我们有{τ>tk}f（Xxτ）)=∞Pi=1NPj=1E{Y（k），Y，αtk=0}{Xxtk∈Ai}{Yy，αtk=yj}f（Xxτi，j）=∞Pi=1NPj=1E{Y（k），Y，αtk=0}{Xxtk∈Ai}{Yy，αtk=yj}Ehf（Xxτi，j）|Ftki≥∞Pi=1NPj=1E{Y（k），Y，αtk=0}{Xxtk∈Ai}{Yy，αtk=yj}vk+1（Xxtk，Yy，α（tk）- 3.= 呃(1)- Y（k），Y，αtk）vk+1（Xxtk，Yy，α我- 3.,式中，不等式源自第三步中的构造和关于Ftk的停止时间τij的独立性。然后我们总结f（Xxτ）)≥ EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1（Xxtk，Yy，α我- 3..结合上一步的主要不等式，我们得到了Vk（x，y）≥ Ef（Xxτ）)≥ EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1（Xxtk，Yy，α我- 3.≥ EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtk我- 4. - 2（1+C）（1+x）.因为 α是任意的，然后我们得出≤ vk（x，y）。第6步：让τ∈ Ttkbe任意的停止时间，使得τ~Pr`=1y`δt`。定义amartingale asY（i）t:=E{τ=ti}|Ft所有t的分布约束最优停止≥ 0和每个我∈ {1，…，r}。我们可以很容易地检查每个i的Y（i）=yi∈ {1，…，r}andY（1）t+·Y（r）t=E{τ=t}+··+1{τ=tr}|Ft= 1.那么如果我们考虑Y是一个具有Y（i）t的Rr值鞅≡ 就我所知，0∈ {1，…，k- 1} 然后我们看到了Yt∈ K每个t≥ 最后，我们得到了y（k）tk=E{τ=tk}|Ftk= 1{τ=tk}∈ {0, 1}.然后根据鞅表示定理，存在α∈ 对于哪个Yy，αt=yt，对于所有t≥ 0，几乎可以肯定。我们可以计算[f（Xxτ）]=E{τ=tk}f（Xxtk）+1{τ>tk}f（Xxτ）= EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）E[f（Xxτ）|Ftk]i.在{τ>tk}集上，我们有p[τ=ti | Ftk]=E{τ=ti}|Ftk= Y（i）tk每个i∈ {k+1，…，r}。几乎每ω∈ {τ>tk}，我们有[f（Xxτ）|Ftk]≤ vk+1Xxtk，Yy，αtk利用布朗运动的强马尔可夫性和平稳性。

然后wedee[f（Xxτ）]≤ EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1（Xxtk，Yy，αtk）i≤ A.因为τ是一个任意的停止时间，这意味着vk（x，y）≤ 引理4的AB证明这个论点的主要思想是，我们可以取一个不满足Y（k）tk的受控过程Y∈ {0，1}，并在区间[tk]上修改它- h、 [tk]到扰动过程Y具有Ytk-h=Ytk-手摇,（k） tk∈ {0, 1}. 特别是，我们可以在不明显改变预期收益的情况下这样做。我们提请读者注意的一个关键想法是使用布朗桥牌[tk]-h、 tk]在建筑中。这种结构符合推论2的精神。虽然一开始可能会尝试类似于推论1的构造，但使用布朗桥而不是布朗增量可以让我们在论证中的关键点上设置条件。证据修正（x，y）∈ R×k、 为了便于记法，定义：=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Ytk-1，y，αtk是t、 Ytk-1，y，αu∈ 驻科部队≥ tk-1Y（k），tk-1，y，αtk∈ {0，1}几乎可以肯定，和b:=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Pk（Ytk-1，y，α（tk）是t、 Ytk-1，y，αu∈ 驻科部队≥ tk-1.分布约束最优停止24通过引理3，我们得到了vk（x，y）=A。在剩余的证明中，我们使用上标ttk-1为简洁起见，选择X和Y。第一步：让我们∈ Atk-1为任意控件，其中Yy，αu∈ 驻科部队≥ tk-1和y（k），y，αtk∈ {0，1}几乎可以肯定。注意，集{Y（k），Y，αtk=0}上的Yy，αtk=Pk（Yy，αtk），几乎可以肯定。ThenEhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtki=EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk）我≤ B.因为α是任意的，我们得出结论A≤ B.第2步：让α∈ Atk-1为任意控件，其中Yy，αu∈ 驻科部队≥ tk-1.几乎可以肯定。

对于任何0<h<tk- tk-1.定义一个随机变量M asM:=h-1/2maxtk-H≤s≤tk|Ws- Wtk-H- H-1（s）- tk+h）（Wtk- Wtk-h） |。那么M是Ftk可测的，并且在分布上等于[0,1]上标准布朗桥的绝对最大值，我们用ΦBB表示其累积分布函数。如果我们定义G:=σ（Ftk-H∪ σ（Wtk）），则M独立于G。定义一个随机向量YtkasY（k）tk:=1{M≤Φ-1BBY（k），Y，αtk-H}andY（k+1）：rtk:=Pk（Yy，αtk）-h） 1{M>Φ-1BBY（k），Y，αtk-H},其中Y（k+1）：rtkdenotes向量中的第（k+1）个到第（rth）个元素。让Y（i）tk≡ 0代表安怡∈ {1，…，k-1}. 然后，Ytkis Ftk是可测量的，并且具有以下关键特性：Ytk | Ftk-H=Yy，αtk-h、 我们还注意到{Y（k）tk=1}|G= Y（k），Y，αtk-h、 根据鞅表示定理，存在α∈ Atk-那么Yy，αU∈ 驻科部队≥ tk-1，Y（k），Y，αtk∈ {0,1}和Yy，αtk=最肯定的。然后我们可以计算y（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtki=E{Y（k）tk=1}f（Xxtk）+1{Y（k）tk=0}vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk-h）= EE{Y（k）tk=1}|Gf（Xxtk）+E{Y（k）tk=0}|Gvk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk-h）= EhY（k），y，αtk-hf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk-h） vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk-h）i、 但通过f和vk+1的连续性和增长界，我们可以将支配收敛定理应用于seelimδ→0+EhY（k），y，αtk-hf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk-h） vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk-h）i=EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk）i、 受分布约束的最优停止条件 > 0，我们可以把h>0取得足够小，使得h（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk）我≤ EhY（k），y，αtk-hf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk-h） vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk-h）i+= EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtki+≤ A+.因为 我们得出结论，α是任意的≤ A.C.命题证明。我们分几个步骤进行，每个步骤都将相邻点之间的值函数联系起来。

在前三点中，我们考虑时间变量向后移动，时间变量向前移动远离终端时间，最后跳到终端时间。在第四步中，我们讨论x中的任意扰动。在第五步中，我们讨论x的某个面内部的扰动k、 包括可能的面部跳跃。在第六步中，我们考虑从一个内部点跳到另一个表面上k、 最后，在最后一步中，我们将讨论如何将这些内容组合成一个连贯的范围。第一步：修正（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×kand t公司∈ [tk]-1，tk]使≤ t、 让α∈ 一个任意控件，其中Yt，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。定义一种新的控制方法∈ A作为αu:=1{u≥t} αu，为了所有的u≥ t、 我们可以看到Yt，y，αu∈ KforAll u∈ [t，tk]和Yt，y，αtk=Yt，y，αtk，几乎可以肯定。Thenwk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i=EhY（k），t，Y，αtkf（Xt，xtk）+（1- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i-2ce | Wt- Wt |，其中C>0至少与f和vk+1的x中的Lipschitz常数一样大。但请记住，对于布朗运动，我们可以找到C>0，这样E | Wt- Wt|≤ CT- T1/2.利用这一点以及α是任意的这一事实，我们得出了dewk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ 2CT- T1/2.第二步：修正（t，x，y）∈ [tk]-1，tk）×R×坎特∈ [tk]-1，tk）使得≤ t、 定义η：=rtk- ttk- T≥ 1.让我们∈ A可以是一个任意的控件，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。定义新的控制α∈ A为αu:=ηατu，分布约束最优停止，其中τu:=η（u- t） +t对于所有u∈ [t，tk]。注意αu∈ Fτuby定义。因为τu≤ u、 然后我们有αu∈ Fusoit是一种适应性控制。

我们也可以通过It^o积分的时变性质来检验Wtk- Wt，Yt，y，αtk（d）=η-1（Wtk）- Wt），Yt，y，αtk.然后Yt，y，αu∈ KforAll u∈ [t，tk]，几乎可以肯定，通过k鞅的性质。那么α是容许控制。我们可以计算（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i-2C（1）- η-1） E | Wtk- Wt |。现在，我们开始定义这个不等式的最终项。首先，注意到x7的凸性→ 十、-1/2，我们可以得到一个有界η-1=1+t- ttk- T-1/2≥ 1.-T- t2（tk- t） 。此外，对于足够大的C>0，仅取决于tr，我们有E | Wu |≤ C代表allu∈ [0，tr]。然后我们可以估计（1）- η-1） E | Wtk- Wt|≤ 2Ct- t2（tk- t） 。把这些放在一起，回想α是任意的，我们得出Dewk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ 4C | t- t|tk- t、 第三步：修正（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×kand-letα∈ A可以是对whichYt，y，αu的任意控制∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。通过f和vk+1在x中的Lipschitz连续性，我们可以得到hy（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i≤ EhY（k），t，y，αtkf（x）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（x，Pk（Yt，Y，αtk））i+CE[|Wtk- 我们可以用C | tk来限制误差项- t | 1/2。通过将包含vk+1的项视为应用于凹函数的一个观察映射（参见命题3的证明），并注意到受控过程Y是鞅，我们可以将Jensen不等式应用于seehy（k），t，Y，αtkf（x）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（x，Pk（Yt，Y，αtk））i≤ ykf（x）+（1）- yk）vk+1（x，Pk（y））≤ wk（tk，x，y）。但由于α是任意的，我们得出结论WK（t，x，y）- w（tk，x，y）≤ C | tk- t | 1/2。分布约束最优停止274步：固定（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×坎德x∈ R.Letα∈ A是一个任意的控制项，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。

然后我们立即计算wk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i- 2C十、- 十、,其中C>0至少与f和vk+1的x中的Lipschitz常数一样大。因为α是任意的，所以我们得出dewk（t，x，y）≥ w（t，x，y）- 2C十、- 十、.第五步：修正（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×k、 现在假设y不是k、 或相当于每个坐标中的值小于一。表示byI:={i∈ {1，…，r}| yi=0}，J={1，…，r}\\t其中y分别为零和非零的不相交坐标集合。设δ：=mini∈J{min{| yi |，|1- yi |}>0。让我来∈ kbe任何一点- yk`∞≤ δ. 让α∈ A是一个任意的控制项，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。注意，α几乎肯定等于零，对于I.定义一个新的控制α中的每个坐标∈ A作为αu:=（1）- 基尼- yk1/2`∞) 注意，通过构造我们有min（Y（i），t，Y，αu，1- Y（i），t，Y，αu）≥ δky- yk1/2`∞每一次我∈ 类似地，我们有min（Y（i），t，Y，αu，1- Y（i），t，Y，αu）≥ δky- yk1/2`- 基尼- yk`≥ (δ - 基尼- yk1/2`）ky- yk1/2`≥ 0，为了所有的你≥ t、 几乎可以肯定。再加上观察到α在I的每个方向上等于零，这意味着Yt，y，αu∈ KforAll u≥ 我几乎不能肯定。此外，我们还有kyt，y，αtk- y，y，αtkk`∞≤ 基尼- yk`∞+1.-q1- 基尼- yk1/2`∞kYt，y，αtk- yk`∞≤ 基尼- yk`∞+ Rky- yk1/2`∞≤ （1+R）ky- yk1/2`∞, （C.1）几乎可以肯定，其中R>0是集合的直径k、 在继续具体的界限之前，我们注意到一个关于透视图的估计。对于任何一个y，y∈ k如yk，yk6=1，我们有kpk（y）- Pk（y）k`∞≤1.- yk+1- yk基尼- yk`∞.也就是说，透视图不能用Lipschitz表示为yk，yk→ 1.

利用这一点以及命题2中关于vk+1的H¨older连续性和界，我们可以仔细地对|（1）进行约束- yk）vk+1（x，Pk（y））- (1 - yk）vk+1（x，Pk（y））|≤ min{1- yk，1- yk}|vk+1（x，Pk（y））- vk+1（x，Pk（y））|+|yk- yk |（|vk+1（x，Pk（y））|+|vk+1（x，Pk（y））|）≤√2Cky- yk1/2`∞+ 2C（1+| x |）ky- yk`∞.分布约束最优停止28在yk，yk6=1的情况下很容易看到该界限，当其中一个等式精确为零时，可以仔细检查该界限。然后使用上面的界限以及f上的增长界限，我们检查（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i-嗯√2CkYt，y，αtk- y，y，αtkk1/2`∞+ 3C | Xt，xtk | kYt，y，αtk- y，y，αtkk`∞i、 应用H¨older不等式和（C.1）中的几乎确定界，我们将最后一项由eh | Xt，xtk | kYt，y，αtk进行了界定- y，y，αtkk`∞我≤x+tr1/2（1+R）1/2ky- yk1/4`∞.把所有这些放在一起，回顾α是任意的，我们得出dewk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ C（1+| x |）ky- yk1/4`，用于足够大的常数C>0。如果y是顶点，那么唯一允许的控制是α≡ 0，所以我们直接从命题2得到了任何邻近的y的相同界（实际上是更好的界）。第6步：至少将一些δ>0的值固定到δ<1/（2r）。固定（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×k假设（yk，…，yr）中至少有一个元素在（0，δ）中。表示byI:={i∈ {1，…，r}| yi=0}，J=我∈ {1，…，r}|yi∈ (0, δ),K:={1，…，r}\\（I）∪ J） y分别为零、“小”和“大”的不相交坐标集合。雷蒂∈ kbe将J中y的元素设置为零，并将这些值添加到单个索引κ中得到的任何点∈ K.那么在所有坐标I中都是零∪ J和非零（和“大”）inall坐标K。

此外，肯塔基- yk`∞≥ δ、 所以δ≤ 基尼- yk1/2`∞.让α∈ A可以是一个任意的控件，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。注意，对于I中的每个坐标，α几乎肯定等于零。同样，因为Yt，y，α的每个分量都是鞅，我们得出δ≥ yi=EhY（i），t，y，αtki≥ 每个i的δPhY（i），t，y，αtki∈ 也就是说，PhY（i），t，y，αtk≥ δi≤ δ、 所以Yt，y，α的第i坐标保持很小的概率。定义α∈ A通过移动坐标i处的α值∈ J到κth坐标。注意，通过构造，Y（κ），t，Y，αu=Y（κ），t，Y，αu+Xi∈JY（i），t，y，αu∈ [0,1]和Y（κ），t，Y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。此外，对于每个i，我们有y（i），t，y，αtk=y（i），t，y，αtk，分布约束的最优停止时间∈ 我∪ K\\{κ}，和pHY（i），t，Y，αtk- Y（i），t，Y，αtk≥ δi≤ 每个i的δ∈ J.最后，我们有Y（κ），t，Y，αtk- Y（κ），t，Y，αtk≥ rδi≤ δ.总之，我们有phkyt，y，αtk- y，y，αtkk`∞≥ 2rδi≤ δ.然后使用与前一步相同的边界，我们现在可以计算wk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1（Xt，xtk，Pk（Yt，Y，αtk））i-嗯√2CkYt，y，αtk- y，y，αtkk1/2`∞+ 3C | Xt，xtk | kYt，y，αtk- y，y，αtkk`∞i、 右侧的第一项可能以hkyt，y，αtk为界- y，y，αtkk1/2`∞我≤√2 PhkYt，y，αtk- y，y，αtkk`∞≥ 2rδi+√2rδ≤p2（r+1）δ1/2。类似地，第二项可以是有界的asEh | Xt，xtk | kYt，y，αtk- y，y，αtkk`∞我≤p | x |+trEhkYt，y，αtk- y，y，αtkk`∞i1/2≤ 2p（|x |+tr）（1+r）δ。把这些放在一起，回忆α是任意的，δ是任意的≤ 基尼- yk1/2`∞, 我们得出dewk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ C（1+| x |）ky- yk1/4`，用于足够大的常数C>0。第7步：我们现在简要说明如何将所有这些估计值放在一起。我们分别考虑每个坐标中的H？older估计，因为它们最终可以使用三角形不等式进行组合。

注意，x中的Lipschitz正则性已经被证明。在时间方向上，fix（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×坎特∈ [tk]-1，tk]一些小的θ>0使得θ<tk- tk-1.如果没有≤ t、 第1步我们得到了wk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ 2CT- T1/2.如果t<t=tk，那么在第3步我们得到了wk（t，x，y）- wk（t，x，y）=wk（t，x，y）- wk（tk，x，y）≤ C | tk- t | 1/2=CT- T1/2.现在假设t<t≤ tk- |T- t | 1/2。第二步，我们得到了wk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ 4C | t- t|tk- T≤ 4C | t- t | | t- t | 1/2=4C | t- t | 1/2。分布约束最优停止30在下一步中，我们关键地看到（1/4）-H？older系数出现在哪里。如果tk-|T-t | 1/2≤t<t<t然后通过应用步骤1和步骤3，我们看到（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ [wk（t，x，y）- wk（tk，x，y）]+[wk（tk，x，y）- wk（t，x，y）]≤ C | tk- t |+4C | tk- t | 1/2≤ C|t- t | 1/2+4C | t- t | 1/4。最后，我们考虑t的情况≤ tk- |T- t | 1/2≤ t<tk。通过应用步骤1到3中的每一步，我们可以看到（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ [wk（t，x，y）- wk（tk）- |T- t | 1/2，x，y）]+[wk（tk- |T- t | 1/2，x，y）- wk（tk，x，y）]+[wk（tk，x，y）- wk（t，x，y）]≤ 4C|tk- |T- t | 1/2- t | | t- t | 1/2+C | t- t | 1/4+4C | tk- t | 1/2≤ 4C | t- t | | t- t | 1/2+C | t- t | 1/4+4C | t- t | 1/4≤ （C+8C）|t- t | 1/4。当然，通过取一个足够大的常数，我们可以将所有| t- t | t的1/2项- t | 1/4项，并在t中获得（1/4）-H¨older连续性结果。（1/4）-H¨older连续性结果遵循与时间扰动情况类似的方法。关键的想法是，第5步和第6步告诉本地如何以（1/4）-H–older的方式扰动，包括进入和离开边界。

然后通过一个掩盖的论点和kwe可以得到连接任意两点的局部H¨older不等式的有限链，并得到足够大常数的结果。定理2的D证明这个论点本质上是引理3证明中给出的与时间相关的版本。这里的关键思想是利用集合的凸性K和wkin y的凹度，以建造一个-次优控制，将状态约束满足为从附近点开始的可容许控制的凸组合。证据固定（t，x，y）∈ [tk]-1，tk）×R×kND 0<h<tk- tk-1.为了便于记法，定义θ：=tkandA:=supα∈阿泰克τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα是t、 y，y，αu∈ KforAll u≥ t、 不等式wk（t，x，y）≤ 即使在这些状态约束的情况下，A也是一个标准结果。我们让感兴趣的读者阅读[26]中的定理3.3，转而关注相反的不等式。步骤1：修复任意 > 0.选择足够大的R>0≤U≤t+h|Wu- Wt|≥ R#≤ .因为wk在紧集[t，t+h]×[x]上是连续的-R、 x+R]×k、 我们可以发现δ>0足够小wk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ 适用于所有人（t，x）∈ [t，t+h]×[x- R、 x+R]和y，y∈ 太棒了- yk`∞≤ δ.同样，由于f在x中是Lipschitz，vk+1在y中是Lipschitz，因此我们可以发现δ>0，可能比以前小，因此我们也f（x）- f（x）+vk+1（x，y）- vk+1（x，y）≤ 对于所有的x，x∈ R和y∈ k+1就是这样十、- 十、≤ δ.最后，取δ>0，可能更小，因此δ1/2+δ1/4≤ .第2步：我们首先在[t，t+h]上构建有限网格，然后kwhich将充分利用工作的连续性。设∧：={ti}Mi=1b是[t，t+h]中网格点的有限集合，其关键性质是∈ [t，t+h]，存在i∈ {1, . . .

，M}这样你≤ 钛≤ u+δ。通过函数的紧性和凸性k、 我们可以得到k、 P:={y`}P`=1，其性质是oP的凸包是k、 任何一点都可以∈ kc可以写成P中点的凸组合，每个点都包含在y的δ-邻域中。特别是，我们可以找到一个连续函数T：K→ [0,1]p所有y的属性oT`（y）=0∈ K如此| y- y`|>δoPP`=1T`（y）=1表示所有y∈ k、 和oPP`=1y`T`（y）=y代表所有y∈ k、 这对应于从点y开始的连续贴图∈ k对P中的点进行概率加权，使得y是P中邻近点的凸组合。通过与引理2证明中相同类型的覆盖参数，我们可以得到[x]的完全不相交覆盖- R、 x+R]通过可测集{Aj}Nj=1，每个可测集包含在一个δ球中，并控制αij`∈ 与Yti，y`，αij`u∈ KforAll u≥ 天德（k），ti，y`，αij`θf（Xti，xθ）+（1）- Y（k），ti，Y`，αij`θ）vk+1（Xti，xθ，Pk（Yti，Y`，αij`θ））i≥ wk（ti，x，y`）- 3.每一次我∈ {1，…，M}，j∈ {1，…，N}，`∈ {1，…，P}，和x∈ Aj。步骤3：修复任意控件∈ A表示y，y，αu∈ KforAll u≥ t和letτα是相关的停止时间，其值为[t，t+h]。接下来我们将构造一个与次优控制αij`相关的新控制。换句话说，我们将跟踪α直到停止时间τα，然后将控制设置为零，直到随后的第一次命中时间∧。然后我们将遵循适当的凸组合控制αij`。为了精确起见，定义一个停止时间τ：=inf{t≥ τα| t∈ Λ}.确定一系列控制措施`∈ A作为α`，u:=1{u∈[t，τα]}αu+1{u>τ}MXi=1NXj=1{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}αij`，每个`∈ {1，…，P}和所有u≥ T

最后，确定一个控制点∈ A作为αu:=1{u∈[t，τα]}αu+1{u>τ}PX`=1T`（Yt，y，ατα）α`，uF用于所有u≥ t、 由于映射t是连续的，所以对控制α进行了调整。同样，它也很容易被看作是平方可积的。然而，关键特性是α满足Yt，y，αu∈ KforAll u≥ t、 换句话说，这源于集合的凸性kα是一个凸的控件组合，每个控件都满足状态约束。为了精确起见，我们使用映射T的假定性质和Y的动力学来计算，Y，αθ=Y+ZταTαudWu+ZθταudWu=Yt，Y，ατα+Xi，j，`{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）Zθταij`，udWu=1{Wτ-Wt|≥R} y，y，ατα+Xi，j{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}Yt，y，ατα+X`T`（Yt，y，ατα）Zθταij`，udWu！=1{Wτ-Wt|≥R} y，y，ατα+Xi，j{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}X`T`（Yt，y，ατα）y`+Zθταij`，udWu= 1{Wτ-Wt|≥R} y，y，ατα+Xi，j{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}X`T`（Yt，y，ατα）Yti，y`，αij`θ通过Yti，y`，αij`θ回忆∈ kand-Yt，y，ατα∈ 当然。然后是上面的等式和K证明y，y，αu∈ KforAll u≥ 我几乎不能肯定。第四步：我们现在开始做一系列非常微妙的估计。首先，我们有wk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αθf（Xt，xθ）+（1- Y（k），t，Y，αθ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yt，Y，αθ））i≥Xi，jEh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}Y（k），t，Y，αθf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），t，Y，αθ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yt，Y，αθ））我-CEh{Wτ|≥R}1 +Xt，xτi、 其中最后一项来自f和vk+1的已知增长边界。当然，这个术语的范围是pC（1+| x |）由R的选择和H¨older不等式的使用。

接下来，使用前面步骤中α的构造的关键属性重写上面和中的每个项，我们看到eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}Y（k），t，Y，αθf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），t，Y，αθ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yt，Y，αθ））i=Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}PP`=1T`（Yt，y，ατα）y（k），ti，y`，αij`θf（Xt，xθ）+（1-PP`=1T`（Yt，y，ατα）y（k），ti，y`，αij`θ）vk+1（Xt，xθ，Pk（PP`=1T`（Yt，y，ατα）Yti，y`，αij`θ））我≥PP`=1Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）Y（k），ti，Y`，αij`θf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），ti，Y`，αij`θ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yti，Y`，αij`θ））IdiDistribution Constraint Optimal Stopping 33使用vk+1的凹度与y中的透视函数构成（参见第3点的证明）。接下来，通过αijk的次优条件，我们可以看到eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）Y（k），ti，Y`，αij`θf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），ti，Y`，αij`θ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yti，Y`，αij`θ））我≥ Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）wk（ti，Xt，xτ，y`）i- 3.≥ Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）wk（ti，Xt，xτ，Yt，y，ατα）i- 4.,在这里，我们使用了映射T的局部性和P的构造中假定的wk的连续性。最后，对i，j，`求和，我们看到i，j，`Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）wk（ti，Xt，xτ，Yt，y，ατα）i≥ Ehwk（τ，Xt，xτ，Yt，y，ατα）i- Eh{（|Wτ）|≥R} wk（τ，Xt，xτ，Yt，y，αταi）≥ Ehwk（τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα）i- C Eh |τ- τα|1/4+Xt，xτ- Xt，xτα+ 1{Wτ|≥R}1 +Xt，xτ我≥ Ehwk（τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα）i- Cδ1/4+ δ1/2+  （1+| x |）对于足够大的C>0。在这一步中，我们使用了Wk的增长边界和命题4中的H¨older估计，以及|τ- τα| ≤ δ由结构决定。然而，通过δ的选择，我们可以看到最后一个误差项是以C（2+| x |）为界的.把所有这些计算放在一起，回忆一下α和 > 0是任意的，weseewk（t，x，y）≥ A.参考文献[1]S.Ankirchner、M.Klein和T.Kruse，《带期望约束的最优停止问题的验证定理》，应用数学与优化，（2017年）。[2] E.贝拉克塔尔和M。

Sirbu，《汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的随机佩龙方法》，暹罗控制与优化杂志，51（2013），第4274-4294页。[3] E.Bayraktar和S.Yao，具有无界控制的零和随机微分对策的弱动态规划原理，SIAM J.Control Optim。，51（2013），第2036-2080页。[4] M.Beiglboeck，M.Eder，C.Elgert和U.Schmock，分布几何约束最优停止问题，ArXiv e-prints，（2016）。[5] J.F.Bonnans和X.Tan，方差期权的无模型无套利价格，应用。数学Optim。，68（2013），第43-73页。[6] B.Bouchard和M.Nutz，广义状态约束的弱动态规划，SIAMJ。控制Optim。，50（2012），第3344-3373页。[7] B.Bouchard和N.Touzi，粘性解的弱动态规划原理，SIAMJ。控制Optim。，49（2011），第948-962页。[8] S.Boyd和L.Vandenberghe，《凸优化》，剑桥大学出版社，剑桥，2004年。[9] R.Capocelli和L.Ricciardi，关于首次通过时间概率问题的逆问题，应用概率杂志（1972），第270-287页。[10] A.M.G.Cox和S.K–allblad，《亚式期权的模型独立边界：动态规划方法》，发表在《暹罗控制与优化杂志》（2017年）。[11] R.E.Curto和L.A.Fialkow，《递归性、正性和截断矩问题》，休斯顿J.数学。，17（1991），第603-635页。分布约束最优停止34[12]L.C.Evans，偏微分方程，数学研究生研究第19卷，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，第二版，2010年。[13] B.D.Froese和A.M.Oberman，二维及更高维椭圆型Monge-Amp`ere方程粘性解的收敛有限差分求解器，SIAM J.Numer。肛门。，49（2011），第1692-1714页。[14] A.Galichon，P.Henry Labord\'ere和N。

Touzi是一种随机控制方法，适用于给定边际的无轨道边界，并应用于回望期权，Ann。阿普尔。Probab。，24（2014），第312-336页。[15] I.Karatzas和S.E.Shreve，《布朗运动和随机微积分》，数学研究生教材第113卷，斯普林格·维拉格，纽约，第二版，1991年。[16] M.A.Katsoulakis，《带状态约束的二阶完全非线性椭圆方程的粘性解》，印第安纳大学数学。《华尔街日报》，43（1994），第493-519页。[17] J.B.Lasserre，矩，正多项式及其应用，帝国理工学院出版社优化系列第一卷，帝国理工学院出版社，伦敦，2010年。[18] C.W.Miller，时间不一致最优停止的非线性偏微分方程方法，暹罗J.ControlOptim。，55（2017），第557-573页。[19] A.M.Oberman，凸包络是一个非线性障碍问题的解，Proc。艾默尔。数学Soc。，135（2007），第1689-1694页（电子版）。[20] 椭圆Monge-Amp`ere方程的宽模板差分格式和Hessian离散Contin特征值函数。戴恩。系统。爵士。B、 10（2008），第221-238页。[21]J.L.Pedersen和G.Peskir，最优均值-方差销售策略，数学。财务部。经济。，10（2016），第203-220页。[22]G.Peskir和A.Shiryaev，最优停止和自由边界问题，数学讲座ETH Z¨urich，Birkh¨auser Verlag，巴塞尔，2006年。[23]H.Pham，《金融应用中的连续时间随机控制与优化》，第61卷，斯普林格科学与商业媒体，2009年。[24]D.B.Rokhlin，带状态约束的最优控制问题的随机Perron方法，电子版。公社。Probab。，19（2014），第73、15页。[25]A.N.Shiryaev，《最优停车规则》，随机建模与应用概率第8卷，Springer Verlag，柏林，2008年。由A.B.翻译自1976年俄文第二版。

《白羊座》，1978年译本的翻版。[26]N.Touzi，《最优随机控制，随机目标问题和反向SDE》，第29卷，菲尔德研究所专著，纽约斯普林格；菲尔兹数学科学研究所，多伦多。第13章由Agn\'es Tourin撰写。[27]C.Zucca和L.Sacerdote，关于wiener过程的首次通过时间反问题，《应用概率年鉴》（2009），第1319-1346页。