分布约束最优停车

2022-5-11 05:16:12

分布约束的最优停站器erhan-Bayraktar*Christopher W.Miller+Abstracts我们解决了布朗运动的最优停止问题，该问题受到停止时间分布是由若干个原子组成的给定度量的约束。特别是，我们证明了这个问题可以转化为一个有限序列的状态约束最优控制问题，其附加状态对应于在每个可能的终端时间停止的条件概率。这种对应关系的证明依赖于避免可测选择的状态约束问题的动态规划原理的新变化。我们强调，分布约束本身会导致新的有趣的数学问题，但也展示了在数学金融中的应用，以对波动性进行展望，对自由超边缘建模。关键词。最优停止、分布约束、最优控制、状态约束、具有波动前景的稳健对冲。AMS科目分类。60G40，93E20，91G80。1导言在本文中，我们考虑了当布朗运动的停止时间分布的选择受到约束时，布朗运动的最佳停止时间的选择问题。虽然标准的最优停车理论主要关注无约束的有限和有限水平停车时间（例如[22,25]），以及最近对停车时间第一时刻的约束（例如[18,21,1]），但关于分布约束下最优停车问题的文献非常有限。事实证明，分布约束的最优停止是一个困难的问题，停止策略一般取决于布朗运动的路径方向。

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2022-5-11 05:16:15

这是意料之中的，因为对停止时间分布的约束迫使停止者在决定是否停止时，考虑他将沿着布朗运动的所有其他路径做什么。目前的主要任务是识别相关的状态变量，然后转换问题，以便用标准方法进行分析。在这篇文章中，我们展示了一种特殊情况下的解决方案，即目标分布由许多原子组成。我们的方法由迭代随机控制问题组成，其中weintroduce控制过程表示停止时间的条件分布。然后用有限个状态约束最优控制问题的值函数刻画分布约束最优停止问题的值函数。这种以受控过程和无界微分来解决问题的动态方法，类似于[18]中关于非线性最优停止和[10]中可测值鞅控制的最新结果。本文的主要数学贡献在于我们证明了一个与每个顺序最优控制问题相关的动态规划原理。我们提供一个论点*密歇根大学数学系(erhan@umich.edu).部分由NSFunder拨款编号DMS-1613170支持，部分由Susan M.Smith教授提供支持。+加州大学伯克利分校数学系(miller@math.berkeley.edu).由NSF GRFP以DGE 1106400号拨款支持。分布约束最优停止2，避免使用可测量的选择，类似于[7,6,3]中弱动态规划原理的证明。

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2022-5-11 05:16:19

然而，我们以一种新颖的方式处理状态约束，这种方式依赖于值函数的一些先验规律性。虽然分布约束最优停止问题本身在数学上很有趣，但我们强调，在数学金融和最优控制理论中有应用的空间。例如，我们展示了一个应用程序，当人们对资产价格的二次变化有了展望时，可以对金融衍生品的自由超边际进行建模。这里，二次变化的分布对应于[5,14]中最近使用的鞅时间变化方法的停止时间分布。此外，当截断矩问题（例如[11,17]）中存在唯一的原子表示测度时，在矩约束下的最优停止问题就简化为分布约束最优停止问题。分布约束的最优停车和第一次通过时间逆问题之间似乎也存在联系（例如[27,9]）。我们还应该提到，在我们的预印本出版后，[4]用最优运输理论给出了最优停车时间的几何描述。本文的工作如下。在第二节中，我们给出了布朗运动的分布约束最优停止的解。特别是，我们通过迭代状态约束随机控制问题的有限序列来描述解。主要结果由定理1中的一个归纳论点提供，但论点的核心主要在于引理3和引理4的证明。我们还提供了这些结果的随时间变化的版本，其特征是相关HJB方程的粘度解。这里的关键论点在于定理2中的动态规划原理。

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2022-5-11 05:16:22

在第3节中，我们演示了一个应用程序，以对波动性进行展望，对自由超边缘进行建模。我们将这个问题转化为一个分布约束的最优停止问题，其中volatilityoutlook对应于停止时间的分布约束。我们展示了数值结果，为最优停止策略的行为提供了一些直觉。最后，我们在附录A-D.2主要结果2中提供了我们主要结果的完整证明。1问题公式我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持标准布朗运动W。我们认为：={Ft}t≥0是W的自然过滤增强，以满足通常的性能。我们考虑一个给定的支付函数f:R→ 假设R是Lipschitz连续的。我们也可以使用符号xu:=x+Wu- 对于任何（x，t）∈ R×[0，∞) 你呢∈ [t，∞).在本文中，我们还得到了一个目标分布u，它在（0，∞) 假设由许多原子组成。在不丧失一般性的情况下，我们假设以下表达式u=rXk=1pkδtk，（2.1），其中r∈ N、 0=t<t<··<tr，p+··+pr=1，p，pr>0。我们还介绍了方便的符号tk:=tk- tk-1每个k∈ {1，…，r}。我们考虑的分布约束最优停止问题isv？：=supτ∈TEhf（X0，xτ）为。t、 τ~Prk=1pkδtk，（2.2）分布约束最优停止3，其中T是所有与F无关的有限值F停止时间的集合。我们让x∈ R可能是某个固定的起始值。也就是说，我们选择一个分布等于u的停止时间τ，以最大化从x.2.2开始的停止布朗运动的预期收益。构造分布约束的停止时间有多种方法自然地表示满足分布约束的停止时间。

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2022-5-11 05:16:25

在本节中，我们概述了两种特殊的这种表示，并说明它们如何直接导致这种停止时间的构造。我们首先通过将路径空间划分为具有特定度量的区域来描述分布受限的停车时间。之后，我们与受控流程建立联系。引理1。停止时间τ的分布u当且仅当其为以下形式τ=rXk=1tkAk时，几乎可以肯定，其中{A，…，Ar}Ohm 对于每一个k∈ {1，…，r}，Akis-Ftk可测量，P[Ak]=pk。证据从构造中可以清楚地看出，这样的τ是F-停止时间，τ~ u. 相反，取一个停止时间τ，使τ~ u并定义每个k的集合Ak:={τ=tk}∈ {1，…，r}。考虑到这一点，我们可以立即明确地构造一个给定分布的停止时间。推论1。存在一个停止时间τ，使得τ~ u.证据定义的分区{a，…，Ar}Ohm asA：=Wt- W≤√tΦ-1（p）A:=Wt- Wt≤√T- tΦ-1.pp+··+pr\\ A.Ak：=Wtk- Wtk-1.≤ptk- tk-1Φ-1.pkpk+··+pr\\ （A）∪ ···∪ Ak-1)...Ar:=Ohm \\ （A）∪ ···∪ 应收账-1），其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。很明显，Akis Ftk可以通过P[Ak]=pkk来测量∈ {1，…，r}。然后，通过引理1，τ：=Prk=1tkk用τ定义一个停止时间~ u.上面的证明构造了一个停止时间，当分布的左尾出现事件时，该时间大致停止。

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2022-5-11 05:16:28

然而，人们可以很容易地修改构造，使其在右尾喷口、中间带附近的事件中停止，或在Φ下任何适当测量的Borel集的图像上停止。虽然这种构造可能建议将分布约束的最优停止问题转化为特定度量的Borel集上的优化，但我们接下来强调的是，分布约束的最优停止4没有理由期望停止时间相对于σ（Wt，…，Wtr）是可测量的。特别是，在下一个例子中，我们展示了一个完全依赖路径的分布约束停止时间的构造。推论2。存在一个满足τ的停止时间τ，与（Wt，…，Wtr）无关~ u.证据定义一系列随机变量（M，…，Mr）asMk:=（tk- tk-1)-1/2maxtk-1.≤s≤tkWs- Wtk-1.- （s）- tk-1） Wtk- Wtk-1tk- tk-1.每k∈ {1，…，r}。那么每个mk都是[tk]上布朗桥的绝对极大值-1，tk]，按时间间隔的长度缩放。特别地，每个Mk是可测量的，独立于（Wt，…，Wtr），并且在分布上等于[0,1]上标准布朗桥的绝对最大值，我们用ΦBB表示其累积分布函数。定义的分区{a，…，Ar}Ohm asA：=M≤ Φ-1BB（p）A:=M≤ Φ-1BBpp+··+pr\\ A.Ak：=Mk≤ Φ-1BBpkpk+··+pr\\ （A）∪ ···∪ Ak-1)...Ar:=Ohm \\ （A）∪ ···∪ 应收账-1) .很明显，Akis Ftk可以用P[Ak]=pkk来测量∈ {1，…，r}。然后，通过引理1，τ：=Prk=1tkk用τ定义一个停止时间~ u与（Wt，…，Wtr）无关。显然，在分布约束最优停止问题中，上面构造的停止时间是一个可容许的停止时间，但不希望用每个潜在停止时间的布朗运动值来表示它。

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2022-5-11 05:16:33

虽然涉及布朗桥的停止时间一开始似乎不自然，但它们的使用是引理3和引理4证明中的一个关键思想。从引理1得到的另一个有用结果是下面的近似结果。提议1。修正p，p∈ [0,1]r满足p+··+pr=1和p+··+pr=1。对于任何τ∈ T以至于τ~rXk=1pkδtk，存在τ∈ T以至于τ~rXk=1pkδtk，满足τ 6= τ≤ 4rkp- pk`。证据第一步：通过引理1，存在一个{a，…，Ar}的分区Ohm 这样，当P[Ak]=pk和τ=rXk=1tkAk时，每个AkisFtk都是可测量的，分布约束的最优停止几乎是肯定的。目标是根据相关分区定义τ。我们首先做一个关键观察：对于任何t>0，θ∈ （0，1），并且当P[A]>0时，存在一个实数w∈ R这样p[Wt≥ w | A]=θ。这直接源于观察到WT的分布没有原子，因此，当条件分布在非零概率事件上时，条件分布没有原子。第2步：确定Ft可测量集AasA：=Ap=pA∪ {Wt≥ w+}p<pA∩ {Wt≥ W-} p> 这里是w+，w-∈ R的选择是这样的Wt≥ w+|Ohm \\ A.=P- p1- p、 pWt≥ W-| A.=注意，如果p<p，那么p<1和p[Ohm \\ A] >0，因此w+定义良好。同样，如果p>p，那么p>0，p[A]>0，那么w-定义明确。很明显，P[A]=pby结构。然而，关键属性是eitherA A区 A.由此，我们可以立即计算A和A的对称性差的度量，PA4A=P- P.第三步：现在，假设我们已经构造了{A，…，Ak-1} 已经。

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2022-5-11 05:16:36

定义k:=PAk \\（A）∪ ···∪ Ak-1).定义Ftk可测量集AkasAk：=Ak \\（A）∪ ···∪ Ak-1） qk=pk（Ak\\（A）∪ ···∪ Ak-1)) ∪ {Wtk≥ w+k}qk<pk（Ak\\（A）∪ ···∪ Ak-1)) ∩ {Wtk≥ W-k} qk>pk其中w+k，w-K∈ R的选择是这样的Wtk≥ w+k |（A）∪ ···∪ Ak-1) ∪ (Ohm \\ （Ak）=主键-qk1-qk，PWtk≥ W-k | Ak \\（A）∪ ···∪ Ak-1)=pkqk。和以前一样，qk和pki之间的不等式是w+k和w-在需要的时候，kare会很好地定义。此外，很明显P[Ak]=pk。在这种情况下，密钥属性变成eitherAk\\（A∪ ···∪ Ak-1) Ak（2.3）orAk Ak \\（A）∪ ···∪ Ak-1) Ak。（2.4）首先，我们考虑（2.3）的情况。因为{A，…，Ak}中的每一个集合都是不相交的，对于任何`∈ {1，…，k- 1} ，我们可以通过A\'和A\'的对称差来限制A\'和A\'之间的重叠Ak∩ A`≤ PA`\\A`≤ PA\'4A`.使用（2.3），我们可以计算Ak4Ak= PAk- P[Ak]+2PAk\\Ak≤主键- 主键+ 2PAk∩ （A）∪ ···∪ Ak-1).利用前面的不等式，我们推导出PAk4Ak≤主键- 主键+K-1X`=12PAk∩ A`≤主键- 主键+K-1X`=12PA\'4A`.在（2.4）成立的情况下，同样的不平等性会立即出现。第4步：通过对k的归纳∈ {1，…，r}，我们构造了Ohm这样Akis Ftk是可测量的，P[Ak]=pk。

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2022-5-11 05:16:39

此外，我们还得到了一个粗糙边界Ak4Ak≤kX`=1k-`p`- p`.根据引理1，存在形式为τ=rXk=1tkAk的停止时间τ。然后我们可以立即计算τ 6= τ≤rXk=1PAk4Ak≤rXk=1r主键- 主键≤ 4rkp- pk`。当然，这个结果在技术上的重要性在于，它允许我们在停车时间的分布约束变化方面获得问题的连续性。虽然我们已经证明，使用引理1中的表示法，可以对分布约束的停止时间说很多，但事实证明，如果我们引入额外的受控过程，表示停止时间在每个可能值上的条件概率，我们可以获得更易于管理的表示法。这个向量值随机过程是概率单纯形中的鞅。在下一个结果中，我们明确了这个过程和分布约束停止时间之间的联系。在本文的剩余部分中，我们定义了A来表示所有独立于F的渐进可测、平方可积、Rr值过程的集合。我们还表示y，y，αu:=y+ZutαsdWsfor all（t，y）∈ [0, ∞) ×Rr，u∈ [t，∞), 和α∈ A.当需要时，我们将用Y（k），t，Y，α来表示这个向量值过程的KTH坐标。我们偶尔会滥用符号，当上下文清楚地暗示它们时，我们会省略上标。我们也用下列闭凸集 := {y=（y，…，yr）∈ [0,1]r|y+·y+yr=1} Rr。然后，我们可以用一个状态约束受控鞅来描述分布约束停止时间的一个引理。我们强调，前面的不平等并不尖锐。一个直接的问题是，是否会产生一个锐化近似值，其常数的比例为r→ ∞, 存在。分布约束最优停止引理2。

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2022-5-11 05:16:42

停止时间τ∈ 当且仅当T的形式为τ=貂皮时，T的分布为u∈{1，…，r}ntk | Y（k），0，p，αtk=1o，几乎可以肯定，对于某些α∈ A等于y0，p，αt∈ ,几乎可以肯定，尽管如此≥ 0，andY（k），0，p，αtk∈ 几乎可以肯定的是，每k∈ {1，…，r}。证据第一步：让我们∈ A是Y0，p，αt∈ , 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0 andY（k），0，p，αtk∈ 几乎可以肯定的是，每k∈ {1，…，r}。定义τ为τ：=貂∈{1，…，r}ntk | Y（k），0，p，αtk=1o。从以上性质可以清楚地看出，Y（k），0，p，αtr∈ 每k{0,1}∈ {1，…，r}和Y0，p，αtr∈, 这意味着τ≤ 几乎可以肯定。然后τ∈ T，但我们必须检查它是否有其分布。修理k∈ {1，…，r}注意P[τ=tk]=P{Y（1），0，p，αt=0}∩ ··· ∩ {Y（k）-1），0，p，αtk-1=0}{z}A∩{Y（k），0，p，αtk=1}{z}B.注意B 因为在集合B中，我们有Y（k），0，p，αtk=1a，以及Y（`），0，p，αt`=1，对于某些`<k。因为Y0，p，α是一个约束于, 这意味着Y（`），0，p，αtk=1，几乎可以肯定，这与Y0，p，αtk相矛盾∈ . 然后，我们可以得出[τ=tk]=PhY（k），0，p，αtk=1i=pk，因为Y（k），0，p，α=pk和Y（k），0，p，α是一个在tk取0和1的鞅。第2步：让τ∈ T T是一个停止时间，使得τ~ u. 然后定义[0,1]r值过程asY（k）t:=E{τ=tk}|Ft.注意Y=p。根据鞅表示定理，存在一个控制α∈ 对于Y0，p，αt=Yt，几乎可以肯定，对于所有的t≥ 然后我们可以检查，Y（1），0，p，αt+··+Y（r），0，p，αt=E{τ=t}+··+1{τ=tr}|Ft= 1，所以Y0，p，αt∈ 尽管如此，t≥ 0，几乎可以肯定。最后，对于任何k∈ {1，…，r}，我们有Y（k），0，p，αtk={τ=tk}∈ 因为{τ=tk}是Ftk可测的。将停车时间σ定义为σ：=貂皮∈{1，…，r}ntk | Y（k），0，p，αtk=1，假设存在一组τ6=σ的非零概率。然后，对somek来说，`∈ {1, . . .

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2022-5-11 05:16:45

，r}使得k6=`，集合B:=A∩{τ=tk}∩{σ=t`}具有非零概率。分布约束最优停止8假设`<k，那么Y（`），0，p，αt`=1在B上，因为Y0，p，α是一个鞅约束, 因此，Y（`），0，p，αtk=1在B上，因此，Y（k），0，p，αtk=1{τ=tk}=0，这与τ=tkon B相矛盾。另一方面，假设`>k。然后Y（k），0，p，αtk6=1在B上，但因为Y（k），0，p，αtk=1{ττ=tk}这也与τ=tkon B相矛盾。我们几乎肯定地得出τ=σ的结论。2.3通过迭代随机控制的解决方案确定一系列集合是很方便的，这些集合在本文的剩余部分将很重要。每k∈ {1，…，r}，定义k:={（y，…，yr）∈ | y`=0表示每个`∈ {1，…，k- 1}} .请注意，每个集合都是封闭的、凸的和k+1 k每个k∈ {1，…，r- 1}.我们还介绍了停止时间的子集合和具有附加独立性质的控件，这些子集合稍后将用于证明动态规划原理。特别是，对于任何t∈ [0, ∞) 我们定义了停止时间TT的子集合：={τ∈ T|τ独立于Ft} 和控制卫星的子集合：={α∈ A |α独立于Ft} A.然后我们定义了一系列迭代分布约束的最优停止问题。定义1。每k∈ {1，…，r}，定义函数vk:r×K→ R asvk（x，y）：=supτ∈Ttk-1Ehf（Xtk-1，xτ）是。t、 τ~Pr`=1y`δt`。（2.5）注意v？=v（x，p）。我们强调，虽然每个VKI都被写成一个依赖于整个元组y=（y，…，yr）的函数∈ k、我们有y=···=yk-1=0，定义为k、我们的目标是将这些迭代分布约束的最优停止问题转化为迭代状态约束的随机控制问题。首先，我们记录每个vk的增长和连续性估计。提议2。

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2022-5-11 05:16:48

存在C>0，这仅取决于f和u，其中| vk（x，y）|≤ C（1+| x |）vk（x，y）- vk（x，y）≤ C十、- 十、+ 基尼- yk1/2每k∈ {1，…，r}和所有（x，y），（x，y）∈ R×k、我们没有在y中指定范数的选择，因为它只影响常数的选择。证据回想一下，假设f是Lipschitz连续的。让τ∈ Ttk-1为任意停止时间，使得τ~Prk=1ykδtk（根据推论1，这种停止时间存在）。那么，我们有流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i≤ 嗯f（Xtk）-1，xτ）我≤ |f（0）|+L|x |+EWτ- Wtk-1.≤ |f（0）|+L（|x |+2E[| Wtr |]）≤ |f（0）|+L | x |+2rπtr！。分布约束最优停止9下一步，我们计算vk（x，y）≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- L十、- 十、.最后，通过应用命题1，我们可以构造一个停止时间τ∈ Ttk-那么τ~Prk=1ykδtkandPτ 6= τ≤ 4rky- yk。然后我们可以计算vk（x，y）≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- CEhτ6=τXtk-1，xτ- Xtk-1，xτ我≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- 2CEτ6=τ| Wtr|≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- 2C 2rt1/2rky- yk1/2`。那么所述结果成立，因为（x，y）∈ R×kandτ都是任意的。在本文的剩余部分中，考虑集合上的一种透视图将被证明是有用的k、每k∈ {1，…，r}，定义Pk：K→ 卡斯普克（y，…，yr）：=如果yk=1（yk+1+·年），则为（y，…，年）-如果yk<1，则为1（0，…，0，yk+1，…，yr）。（2.6）我们注意到这张地图的三个关键属性。1.对于任何人来说∈ k\\{ek}，我们有Pk（y）∈ k+1,2。对任何人来说∈ k、 Pk（y）的第k个坐标为0或1，和3。地图还在继续k\\{ek}。我们现在提供一个动态规划引理，它的证明与[7,6,3]中的弱动态规划结果具有相同的特点。与之前的结果相比，我们在右边的值函数具有先验连续性，因此我们不需要考虑上下半连续包络。

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2022-5-11 05:16:51

我们扩展了球对状态空间的可数覆盖的概念，每个球都有一个接近最优的停止时间。为了处理状态约束，我们使用了一个参数，该参数利用了卡隆和vk+1的连续性。这个引理的证明是本文的核心，但涉及面很广，所以被归入附录。引理3（动态规划）。每k∈ {1，…，r- 1} 每（x，y）∈ R×k、我们有vk（x，y）=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Ytk-1，y，αtk是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1Y（k），tk-1，y，αtk∈ {0，1}，几乎可以肯定。（2.7）证据。见附录A。分布约束最优停车10接下来，我们将证明我们可以放松终端约束。这一思想的证明依赖于扰动鞅的仔细构造，扰动鞅满足前一个问题的终端约束，但不显著改变预期收益。这个结果的证明与前面的引理有许多共同的关键思想。为了便于说明，我们在附录中也提供了这一证明。引理4（约束松弛）。每k∈ {1，…，r- 1} 每（x，y）∈ R×k、我们有vk（x，y）=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Pk（Ytk-1，y，α（tk）是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1，几乎可以肯定，（2.8）其中Pk：K→ kis（2.6）中定义的透视图。注意，即使Pk（ek）6∈ k+1，即（2.8）的右侧，因为已知vk+1是有界且连续的，所以定义得很好。然后，图（x，y）7有一个独特的连续扩展→ (1 - yk）vk+1（x，y）来自克托k、也就是说，当y=ek时，将右手边设为零。证据见附录B。有了这些引理，我们现在可以陈述本文的主要结果。定理1。

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2022-5-11 05:16:54

函数vr:R×R→ R满意度Vr（x，y）=Ehf（Xtr-1，xtr）ifor every（x，y）∈ R×r、每k∈ {1，…，r- 1} ，函数vk:R×K→ R是下列状态约束随机控制问题Vk（x，y）=supα的值函数∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Pk（Ytk-1，y，α（tk）是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1，几乎可以肯定，其中Pk：K→ kis定义如（2.6）所示。当然，那我们就有了v（x，p，…，pr）。证据很明显，由于只有一个可接受的停止时间，VRA有上述陈述。其余的则直接应用引理3和引理4.2.4时间相关的值函数。为了本文的目的，我们可以考虑定理1的结果作为分布约束最优停止问题的解，我们可以考虑状态约束问题的另一个时间相关版本，这是可以数值解决的。特别是，与时间相关的值函数将对应于Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的粘性解。分布约束的最优停止定义2。定义函数wr:[tr-1，tr]×R×R→ R aswr（t，x，y）：=Ehf（Xt，xtr）i∈ {1，…，r- 1} ，定义一个函数[tk]-1，tk]×R×K→ R aswk（t，x，y）：=supα∈AEhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）是t、 y，y，αu∈ KforAll u≥ t、几乎可以肯定，Pk：K→ kis定义如（2.6）所示。备注1。利用第2.3节中与时间无关的辅助值函数Vkdeduced的性质，我们可以将终端payoff视为给定的H¨older连续函数。这是一个真正的状态约束最优随机控制问题。

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2022-5-11 05:16:57

特别是，我们注意到，通过[7]中备注5.2的论证，我们可以等效地将Wk定义为a中的控制上确界，它不一定独立于Ft。我们注意到，Wk与第2.3节的值函数有直接关系。推论3。每k∈ {1，…，r}我们有vk（x，y）=wk（tk-1，x，y）表示所有（x，y）∈ R×k、证据。从WK和定理1的定义来看，这个结果是显而易见的。在阐述与时间相关的值函数的动态规划原理之前，我们首先研究它们的规律性。特别是，我们的目的是证明每一个wkis都是凹的和联合连续的，并对其连续模进行估计。提议3。每k∈ {1，…，r}，函数wk（t，x，·）对于每个（t，x）都是凹的。证据我们采用反向归纳法。请注意ris是一个单子，所以函数wrand和Vr在y中都是凹的。假设对于某些k，vk+1在y中是凹的∈ {1，…，r- 1}. 关键的观察结果是地图k\\{ek}3 y 7→ (1 - vk+1（x，Pk（y））=（yk+1+·年）vk+1x、（0，…，0，yk+1，…，yr）yk+1+·yr每x是凹的∈ 因为这是凹面贴图的透视变换k+13 y 7→ vk+1（x，y）（见[8]第3.2.6节）。考虑到这一点，fix any（t，x）∈ [tk]-1，tk]×R，y，y∈ k、 λ∈ [0, 1]. 让α，α∈ Abe任意控制whichYt，y，αu，Yt，y，αu∈ k、几乎可以肯定的是，尽管如此≥ t、定义y:=λy+（1）- λ） yandαu:=λα1，u+（1- λ） α2，u。

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2022-5-11 05:17:00

然后α∈ A andYt，y，αu∈ k、几乎可以肯定的是，尽管如此≥ t由集合的凸性决定k、分布约束最优停止12然后利用透视图的凹度，我们可以计算wk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）我≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+λ（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）+(1 - λ)(1 - Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）i=λEhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）i+（1）- λ） EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）i、但是因为α，α是任意的，我们得出了dewk（t，x，y）≥ λwk（t，x，y）+（1）- λ） wk（t，x，y）。那么WKY是凹的，所以vkby推论3也是凹的。然后通过归纳得出结论。我们可以更进一步，获得工作联合连续性的详细估计。提议4。存在C>0，这仅取决于f和u，因此对于每个k∈{1，…，r- 1} ，我们有wk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ CT- T1/4+十、- 十、+ （1+| x |+十、)基尼- yk1/4`）对于所有（t，x，y），（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×k、这一说法的证据相对简单，但冗长，因此我们将其放在附录中。我们并不认为这些H？older指数是尖锐的。证据见附录C。这种表示作为最优随机控制问题的优点是，我们可以将每个时间相关的值函数WK描述为相应JB方程的粘性解。此时，我们可以证明时间相关值函数的动态规划原理。虽然这些都是状态约束随机控制问题，但我们可以直接利用wkin y的先验连续性和wkin y的凸性引理3的证明中的kas。定理2。修理k∈ {1，…，r- 1} ，（t，x，y）∈ [tk]-1，tk）×R×k、任何h>0，使得T+h<tk。

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2022-5-11 05:17:04

设{τα}α∈Atbe是一个独立于fta的停时族，取值为[t，t+h]。Thenwk（t，x，y）=supα∈AtEhwk（τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα）为。t、 y，y，αu∈ KforAll u≥ t、几乎可以肯定。证据见附录D。根据这个结果，我们可以立即验证每个时间相关的值函数是HJB的aviscosity解。一旦我们掌握了动态规划原理，这个结果就变得相当标准，因此我们将有兴趣的读者引向[16,6,24]。分布约束最优停止13We First define椭圆算子Fk，Gk:S1+r×K→ R asFk（R，y）：=sup(A.>RA.| A.∈ Ak（y）Gk（R，y）：=sup(A.>RA.| A.∈ k（y），k`=1，其中k（y）：={a∈ Rr| > 0 s.t.y+a(-, ) k} 。这些定义背后的直觉是，Ak（y）对容许方向进行编码，其中无状态约束鞅从y开始∈ 凯迈进化。特别地，一个被约束为在边界的外法线方向上，K不能有非零的二次变化。椭圆算子FK在应用动态编程时自然出现，而GK则在y中编码凹度。FK和GK的主要性质是FK（R，y）<+∞ ==> Gk（R，y）≤ 0Gk（R，y）<0==> Fk（R，y）<+∞.然后，根据[2]的参数，我们可以推导出值函数是一个包含Gk包络的方程的粘性解。提议5。该函数是热方程的唯一解（时间倒数），ut+uxx=0英寸[tr-1，tr）×R×在{t=tr}×R×上ru=fr、每k∈ {1，…，r- 1} WK是HJB方程的连续粘度解，闵ut+Fk（Dxyu，y），Gk（Dxyu，y）= 0英寸[tk-1，tk）×R×ku=ykf（x）+（1）- 在{t=tk}×R×上的yk）vk+1（x，Pk（y））k、（2.9）本声明的证据来源于一个标准论点和对边界上允许控制的额外分析。

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2022-5-11 05:17:08

关于引入算子来获得变分不等式的更多细节，请参考[2]或[23]中的第4节。当然，更重要的问题是，一个人是否能得到（2.9）的粘性解的唯一性结果。当我们在边界上有Dirichlet条件时，证明（2.9）允许一个比较原则是标准的k、下面，我们用域的特殊结构证明了即使在二阶边界条件下也可以证明唯一性。定理3。有一个独特的连续粘度溶液（2.9），满足| u（t，x，y）|≤ C（1+| x |）对于某些C>0。当然，与时间相关的值函数满足命题4中的线性增长约束。这个证明的关键思想是，当我们将（2.9）的粘性解限制在任意平面F的相对内部时在y坐标系下，约束函数是同一方程在较小状态空间上的粘性解。特别是，当被限制在一个顶点时，方程简化为热方程，我们立即得到了它的唯一性。然后，我们应用与限制于边的方程相对应的比较原理，利用顶点唯一性的事实来推断边的唯一性。我们在更高维度的面上进行类似的操作，直到我们证明所有这些面的唯一性k、分布约束下的最优停止证明。修理k∈ {1，…，r-1} 让你，v:[tk]-1，tk]×R×K→ R是（2.9）的两个连续粘性溶液。假设在某个点u>v。在终端条件下，这必须发生在某些t<tk时。假设单纯形存在一个顶点当限制y坐标时，在某个点u 6=v。

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2022-5-11 05:17:11

根据[26]中的命题6.9，我们注意到，在y坐标系中限制顶点时，u和v都是热方程的粘性解。但这与热方程的唯一性相矛盾。设F是单纯形的最小维数面K当在y坐标系中限制为F时，在某个点u 6=v。同样，通过[26]中的6.9提议，我们得出结论，bothu和v是F相对内部相同方程的粘性解。当然，F的边界是单纯形的低维面的并集k、因此，通过F的假设维数性质，我们得出结论，当限制在y坐标系中F的边界时，u=v。然后应用（2.9）与Dirichlet边界的比较原理，推导出F上的u=v。然后，考虑到k维面，定理成立，基瑟夫。3应用于波动性展望的超边缘在本节中，我们考虑在数学金融中分布约束的最优停止的应用。特别地，我们只考虑了在标的资产X中使用动态交易的带支付f（XT）的或有权益的无模型超边问题。我们假设价格过程XT是在一些未知鞅测度Q下的鞅，但没有指定确切的波动动力学。然而，在这个问题中，我们假设我们对二次变量hXiT分布形式的波动性有一个展望。3.1无模型超边缘我们遵循[14,5]的无模型设置。允许Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，R）|ω=0}是具有一致范数kωk的正则空间∞:= sup0≤T≤T |ωT |，B正则过程，Qthe wiener测度，F:={Ft}0≤T≤t由B和F+生成的过滤：={F+t}0≤T≤t F的右极限。确定一些初始值x∈ R

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2022-5-11 05:17:14

然后，我们表示xt:=x+Bt。对于任何实值，F-逐步可测过程α满足rtαsds<∞, Q-a.s.，我们定义了(Ohm, F），Qα：=Qo （Xα）-其中xαt:=x+ZtαrdBr。那么Xα是一个Qα-局部鞅。我们用Q表示所有这些概率测度的集合(Ohm, F）其中X是Q-一致可积鞅。我们注意到，虽然我们似乎不太可能有一个代表波动性前景的原子度量，但这是一个合理的起点，原因有二。可以用原子测度来近似更一般的测度，因为可以证明Wasserstein拓扑中值函数的连续性（见[10]中的引理3.1）。其次，通过只允许有限数量的场景进行定价，而不是指定一个完整的连续值模型，这在行业中是标准的（例如，在证券化产品的标准模型中指定利率、违约和预付款场景）。分布约束最优变分过程hXi=hBi在任何Q下都是普遍定义的∈ Q、从R+到R+取所有非递减连续函数集合中的值。设u为形式（2.1）的给定概率分布。然后我们考虑这个问题：=supQ∈QEQ[f（XT）]s.t.hXiT~ u，其中Q是可容许鞅测度的集合。这对应于一个模型，在某种意义上，它是由对偶结果所明确的，例如[5]。3.2等价于分布约束最优停止我们证明了这个问题等价于布朗运动的分布约束最优停止。提议6。我们有：=supQ∈QEQ[f（XT）]=supτ∈TEQ[f（Xτ）]。s、 t.hXiT~ us.t.τ~ u.证据这个论点可以在[5]的定理2.4中找到。为了完整起见，我们将其复制如下。让Q∈ 使Hxit的Q分布为u。

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2022-5-11 05:17:17

根据Dambis Dubinschwarz定理，XT=x+~whxit，其中W是标准布朗运动，τ：=hxit是关于随时间变化的过滤与分布u的停止时间（见[15]中的定理4.6）。然后你≤ supτ~uEQ[f（Xτ）]。设τ为停止时间，使τ~ u. 定义过程XτasXτt:=X+Bτ∧tT-t、注意，Xτ是[0，t]上的一个连续鞅，hXτiT=τ，因此Xτ产生一个概率测度Q∈ Q使得hXτiT=τ~ u. 然后，相反的不平等就成立了。然后，通过求解第2.3.3节数值例子中的迭代随机控制问题，可以获得具有波动性前景的无模型超级套期保值价格。在本节中，我们使用有限差分格式获得分布约束最优停止问题的近似数值解。特别是，我们考虑了对波动性的两种潜在展望。在第一个二元展望中，我们假设高波动率和低波动率情景u：=δ+δ之间的概率相等。在第二种情况下，我们用第三种极端波动性情景来增强二元前景，这种情景下的波动率为小概率u：=δ+δ+δ。我们的目标是计算每种可用性展望下的欧式看涨期权的无模型超边际价格。因为我们不局限于价格过程非负的模型，所以我们可以在不失去一般性的情况下，将支付函数设为f（x）：=x+。分布约束最优停止16然后，与之前一样，我们为每个展望asv（x）定义了值函数：=supτ∈T（u）Ex[f（Wτ）]和v（x）：=supτ∈T（u）Ex[f（Wτ）]。我们使用第2.3节中的迭代随机控制方法来解决这个问题。特别是，我们使用有限差分格式获得了第2.4节中相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的粘度解。

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nandehutu2022

2022-5-11 05:17:19

需要强调的是，由于wand w中额外的状态变量导致了势简并，因此使用amonotone数值格式至关重要。在这些结果中，我们应用了[19]中介绍的宽模板方案的一个版本。特别是，我们通过以下形式的单调有限差分近似来近似每个方程中的非线性项：∈R“α>uxuxyuxyuyyα#≈ 马克斯∈K（t，x，y）u（x+h，t，y+K）- 2u（x，t，y）+u（x- h、 t，y- k） h，其中集合k（t，x，y）是一个集合，使得y±k位于附近的网格点上。对于退化椭圆方程的宽模板格式的严格分析，我们请读者参考[20,13,19]。为了进行比较，我们考虑了两种主要的特殊情况，我们称之为“平均波动率”值和“支持约束”值。我们将平均波动率值定义为通过假设二次变化等于相应分布约束问题中分布的平均值而获得的无模型超边际价格。我们将其相应的值函数分别定义为vand v。另一方面，我们将支持约束值定义为当仅限制二次变化以获得与相应分布约束问题中的分布相同的支持时获得的无模型超边际价格。我们将其相应的值函数分别定义为vand v。我们期待以下订单：f（x）≤ v（x）≤ v（x）≤ v（x）和f（x）≤ v（x）≤ v（x）≤ v（x）。此外，我们注意到，我们可以根据热核计算v、v、v和v（见[12]中的第2.3节）。我们分别在图1和图2中说明了二原子和三原子问题的值函数。

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2022-5-11 05:17:23

正如预期的那样，我们看到一个超边际价值，它在基础资产价格中增加（或者，相当于，在执行价格中减少），并且尊重支持约束和平均波动率模型所暗示的界限。正如预期的那样，在三种模型volatilityoutlook中，支持约束的超边缘问题提供的边界特别差，我们规定高波动（高值）情况非常罕见。值得注意的是，仔细比较这两个数据表明，两种波动性展望之间的超边缘值增加，这大致与预期二次变化的平方根增加成正比。例如，在x=0时，价值大约增加25%，这基本上与两种前景之间预期的二次变化的平方根增加25.2%完全一致。这与我们的假设相吻合，即看涨期权超边际价格应与一阶预期波动率成比例。在图3中，我们提供了一个关于τ=10和τ=20的Wconditional的概率密度估计，用于从W=0开始的两原子挥发性展望模型的近似最佳停止时间。我们通过执行蒙特卡罗模拟来获得这些估计。分布约束最优停止17-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2x0123456f（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）图1：对应于分布约束二次变量（v）、支持约束二次变量（v）和平均二次变量（v）的无模型超边缘值的比较。每一个都在两原子（二元）波动性展望中。分布约束值对应于两原子分布约束下最优停止问题的值函数。通过相关HJB方程的数值解估计控制。

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2022-5-11 05:17:27

我们使用网格间距dx=0.1、dy=0.005和dt=0.01。我们进行了10次模拟，并验证了蒙特卡罗模拟的相关统计数据与有限差分解决方案（例如，预期收益、停止时间和停止过程的分布和时刻）的相关统计数据在合理的误差范围内。密度估计提供了对最优策略形式的洞察。回想一下，payoff在所有点上都是局部有效的，除了x=0，这里它是严格凸的。然后，我们期望一个最优的停止策略是最大化在原点累积的本地时间。正如预期的那样，我们发现τ=10时的条件密度很大程度上集中在远离x=0的点上，在这个点上，如果我们选择不停止，支付过程不太可能作为一个子过程花费大量时间。有趣的是，这两个密度估计值之间没有明显的差异。人们可能会认为最佳策略的形式是存在“停止区域”和“继续区域”相反，即使我们改变有限差分求解器的分辨率，两个密度估计值的平滑重叠仍然存在，这表明真正的最佳停止策略不是{τ=10}形式 σ（W）。也就是说，数值计算表明，即使在简单的例子中，最优停车策略也可能是路径依赖的。引理3的证明第一个论点是基于弱动态规划原理的证明，它避免了可测选择，如[7,6,3]所示。在这些论点中，作者通常使用一个令人信服的论点来找到一个可数的选择-状态空间小球的最优控制。

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2022-5-11 05:17:30

这里的主要困难在于，虽然状态空间中某一点的状态约束问题的控制可能是允许的，但没有理由期望它从附近的状态开始满足状态约束。我们方法中的新理念是覆盖k+1带有一个有限的网孔。我们展示了我们的分布约束最优停止18-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2x0123456f（x）v3（x）v3（x）v3（x）v3（x）v3（x）v3（x）图2：与分布约束二次变量（v）、支持约束二次变量（v）和平均二次变量（v）对应的无模型超边缘值的比较。每一种都是三原子（三元）波动性展望。分布约束值对应于三原子分布约束下最优停止问题的值函数。用修改后的流程Y替换流程Y, 几乎可以肯定的是，在终端时间，它位于网格点上。我们在一个精心构造的随机变量上使用鞅表示定理以一种可测量的方式构造了这个新过程。然后我们证明了，利用vk+1的连续性，沿Y的目标函数接近于沿Y的目标函数为了一个无网格的网格。一旦我们知道，我们可以考虑扰动过程Y这取决于在k+1在终端时间，我们几乎可以确定-在R证明中使用标准覆盖参数的最佳停止时间。修正（x，y）∈ R×k、为了便于记法，定义：=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Ytk-1，y，αtk是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1Y（k），tk-1，y，αtk∈ {0，1}，几乎可以肯定。在这个证明的其余部分，我们不写tk-1在X和Y的上标中，因为它总是固定的。步骤1：修复任意 > 0

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2022-5-11 05:17:33

选择足够大的R>0“suptk”-1.≤U≤tk吴- Wtk-1.≥ R#≤ .因为vk+1在紧集[x]上是连续的- R、 x+R]×k+1，我们可以发现δ>0足够小vk+1（x，y）- vk+1（x，y）≤ 分布约束最优停止19图3：从W=0开始的两原子波动率展望模型的非最优停止时间的W条件τ=10和τ=20的概率密度估计。密度估算是通过对相关HJB方程的高分辨率解进行蒙特卡罗模拟进行的。样本量，N=10。为了所有的x∈ [x]- R、 x+R]和y，y∈ k+1太棒了- yk`∞≤ δ.类似地，因为f在x中是Lipschitz，vk+1在y中是Lipschitz，所以我们可以发现δ>0，可能比以前小，因此我们也有f（x）- f（x）+vk+1（x，y）- vk+1（x，y）≤ 对于所有的x，x∈ R和y∈ k+1就是这样十、- 十、≤ δ.第2步：我们现在在上面构建一个有限网格k+1。设P:={yj}Nj=1b是k+1的性质是oP的凸包是k+1和o任意点y∈ k+1可以写成P中若干点的凸组合，每个点都包含在y的δ-邻域中。这可以通过y的紧性和凸性来实现k+1。特别是，我们可以定义一个连续函数T：k+1→ [0,1]n所有y的性质为oTj（y）=0∈ k+1如此| y- yj |>δoPNj=1Tj（y）=1表示所有y∈ k+1和oPNj=1yjTj（y）=y表示所有y∈ k+1。这对应于从点y开始的连续贴图∈ k+1到P中点的概率加权，使得y是P中邻近点的凸组合。例如，这样的映射可以通过`-最小化问题获得。分布约束最优停止步骤3:Let{Ai}i≥1b是R的一个可数且不相交的覆盖，它有一组相关的点{xi}，使得以xic为中心的δ球包含该集Ai。每一次我≥ 1和j∈ {1, . . .

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2022-5-11 05:17:36

，N}，设τi，j∈ Ttkbe a满足τi，j的停止时间~rX`=1y（`）jδt `使得ehf（Xtk，xiτi，j）i≥ vk+1（xi，yj）- .注意，上面使用y（`）jt表示向量yj的第`个条目。通过在第一步中选择δ>0和定义集合Ai，我们得到了Vk+1（xi，yj）≥ vk+1（x，yj）- Ehf（Xtk，xτi，j）i≥ Ehf（Xtk，xiτi，j）i- 为了所有的x∈ 人工智能。把这些不等式放在一起，我们得出结论：ehf（Xtk，xτi，j）i≥ vk+1（x，yj）- 3.尽管我≥ 1，j∈ {1，…，N}，和x∈ 人工智能。第四步：让我们∈ Atk-1为任意控件，其中Yy，αu∈ 驻科部队≥ tk-1和y（k），y，αtk∈ {0，1}几乎可以肯定。对于任何0<h<tk-tk-1.定义两个随机变量，MandM，asM:=h-1/2（Wtk）- Wtk-h）（A.1）M:=h-1/2maxtk-H≤s≤tk|Ws- Wtk-H- δ-1（s）- tk+h）（Wtk- Wtk-h） |。然后，Mand-Mare Ftk可测量且相互独立。Mis-equal分布为标准正态分布，其累积分布函数用Φ表示。类似地，Mis在分布上等于[0,1]上标准布朗桥的绝对最大值，其累积分布函数用ΦBB表示。此外，如果我们定义为：=σ（Ftk-H∪ σ（Wtk）），则G-不可测量，而与G无关。定义一个随机向量YtkasY（k）tk:=1nM≤Φ-1BBY（k），Y，αtk-HoandY（k+1）：rtk:=1{M>Φ-1BB（Y（k），Y，αtk-h） }×NPj=1yj{Φ-1（Pj-1i=1Ti（Pk（Yy，αtk-h））<M≤Φ-1（Pji=1Ti（Pk（Yy，αtk-h））在这里，我们遵循-1(0) = -∞, Φ-1(1) = +∞, 空集合上的和为零。我们用Y（k+1）：rtk表示随机向量中的（k+1）th到rth条目。然后Ytk∈ kis Ftk是可测量的，其构造具有Ytk | Ftk-H= Yy，αtk-h、几乎可以肯定的是，分布约束的最优停止策略。根据鞅表示定理，存在α∈ A为Yy，αtk=最肯定的。从结构上可以明显看出，Ytkis独立于Ftk-1，所以我们可以取α∈ Atk-1.

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2022-5-11 05:17:39

然后，通过构造，Yy，αU∈ KforAll u≥ tk-1，Y（k），Y，αtk∈ {0,1}和Yy，αtk∈ 当Y（k），Y，αtk=0，几乎可以肯定。我们现在执行密钥计算。首先要注意的是ehy（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtki=E{Y（k）tk=1}f（Xxtk）+ E{Y（k）tk=0}vk+1Xxtk，Ytk.对于右边的第一个学期，我们只需计算{Y（k）tk=1}f（Xxtk）= E{M≤Φ-1BB（Y（k），Y，αtk-h） }f（Xxtk）= EE{M≤Φ-1BB（Y（k），Y，αtk-h） }Gf（Xxtk）= EhY（k），y，αtk-hf（Xxtk）i.我们以类似的方式处理第二项，但计算更复杂。注意，通过构造，我们有了KYTK- Pk（Yt，y，αtk）-h） k`∞≤ δ几乎肯定在{Y（k）θ=0}集中。回想一下，我们还取了足够小的δ，使得| vk+1（x，y）- vk+1（x，y）|≤ 为了所有的x∈ [x]-R、 x+R]和y，y∈ k+1就这样-yk`∞≤ δ. 但是我们可以计算{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Ytk）= E{Y（k）tk=0}{Wtk|≤R} vk+1（Xxtk，Ytk）+ E{Y（k）tk=0}{Wtk|≥R} vk+1（Xxtk，Ytk）≥ E{Y（k）tk=0}{Wtk|≤R} vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )+E{Y（k）tk=0}{Wtk|≥R} vk+1（Xxtk，Ytk）- ≥ E{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )-呃{| Wtk|≥R}vk+1（Xxtk，Ytk）+vk+1（Xxtk，Yy，αtk-h）我- ≥ E{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )- 2pP[| Wtk |≥ R] C（1+| x |）- ≥ E{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )- 2（1+C）（1+x）,其中C>0来自命题2的增长界。

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