用局部神经网络检测功能时间序列的结构变化

2022-5-11 05:22:57

Stat Papers（2019）60:16771698最终出版物可在链接上获得。斯普林格。使用当地Wilcoxon统计数据检测功能时间序列的结构变化丹尼尔·科西奥洛夫斯基·杰里·P·莱德莱夫斯基·马·lgorzata SNARSKARReceived:2016年5月10日/修订：2017年2月9日/在线出版：2017年2月28日/出版：2019年10月11日摘要功能数据分析（FDA）（拉姆齐等人（2009年）；Ramsay and Silverman（2005））是现代多元统计的一部分，它分析数据，提供关于曲线、曲面或在特定连续统上变化的任何其他信息。在经济学和实证金融中，我们经常需要处理函数数据的时间序列，在这些时间序列中，我们很难决定它们是同质的还是异质的。目前，对功能数据同质性的四分之一测试进行了讨论（见Flores等人（2015））。基于PainDaveine和Van Bever（2013）中提出的局部深度函数诱导的局部Wilcoxon统计，我们提出了一种新的统计方法，用于检测功能时间序列中的结构变化。功能数据分析·局部深度·功能深度·探测结构变化·异质性·Wilcoxon测试数学学科分类（2000）62G30·62-07·62G35·62P201简介经济学中有许多对象是以某种连续体函数的形式出现的。这里我们指的是效用曲线、产量曲线、电力需求轨迹丹尼尔·科西奥洛夫斯基统计系，克拉科夫经济大学，克拉科夫，波兰德邮件：丹尼尔。kosiorowski@uek.krakow.plJerzyP.Rydlewski（通讯作者）AGH科技大学应用数学学院，al.A。

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2022-5-11 05:23:00

米奇维奇30号，30-059克拉科夫，波兰德邮件：ry@agh.edu.pltel：（+48）12 617 31 68，传真：（+48）12 617 31 65Ma lgorzata Snarska克拉科夫经济大学金融市场系，克拉科夫，波兰德，邮件：malgorzata。snarska@uek.krakow.pl2Daniel Kosiorowski等。白天和晚上，大气中危险颗粒物浓度的时间序列，一天内的互联网传输强度（见图1和图2）。很多经济现象是通过一定数量的非同质成分观察到的，即它们表现出多模态。全球的现象似乎相似，但局部差异显著。使用流行的中心性指标（即平均值或平均值）进行总体比较（视觉、推理、描述性）的全球方法可能会产生误导。当数据集中存在函数异常值（例如，关于函数箱线图的定义）时，会出现进一步的问题。由于缺乏用于描述经济现象的数据生成过程的可靠经济理论，对众所周知的统计程序（如ANOVA）进行功能概括是不够的（见Horv\'ath和Kokoszka（2012））。假设一段时间内，一个经济系统在每个时期都由一定数量的功能（例如个人需求和供给曲线或投资策略）描述。这种动态系统的特征被视为一个多区域函数时间序列，其中异质性与所考虑的函数空间上概率分布的变化有关。我们的目标是在两个或多个研究阶段（如金融危机前后）检测与群体之间或群体特征之间的局部差异相关的结构变化。在一维情况下，我们知道Wilcoxon秩和检验能够正确地检测出富裕人群的位置差异（Wilcox，2014）。

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2022-5-11 05:23:03

请注意，通过某些曲线（例如屈服曲线、效用曲线、大气浓度曲线中的危险颗粒）描述的许多经济现象，结构变化测试对每条曲线采用参数形式，并依赖于对曲线的参数进行独立测试。本文提出了一种新的经济系统结构变化的非参数稳健检验方法，即对两个函数样本进行Wilcoxon检验的局部扩展。测试可以有效地用于检测功能时间序列中的结构变化。其基本思想是比较不同地区级别的人口，这可能被解释为数据分辨率。在我们的提案中，局部Wilcoxon检验统计是由修正的修正带深度（欧佩兹-Pintado andRomo，2007）和（Paindaveine和Van Bever，2013）提出的局部性概念得出的。论文的其余部分组织如下。在第二部分中，我们简要介绍了函数时间序列背景下同质性双样本检验的基本概念。接下来，我们将介绍两个样本局部Wilcoxon检验统计量，用于检测函数时间序列中的结构变化。我们在第4节中通过数值模拟讨论了该程序的性质，并在实证示例（即互联网用户活动和收益率曲线监测）上测试了所提出方法的适用性。在第五部分中，我们将进行一个简短的敏感性分析。最后第6节包含一个简短的总结。2同质功能数据的概念Flores等人（2015年）的文献中对功能数据同质性的充分测试进行了激烈的讨论（见其中的论文和参考文献）。弗洛雷斯等人。

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2022-5-11 05:23:07

（2015）讨论了基于最大深度元素比较的选定两个样本同质性测试。由于篇幅过长，标题被抑制3函数时间序列通常根据在Banach或Hilbert空间中具有值的函数随机过程来定义（Bosq，2000；Horv\'ath和Kokoszka，2012）。在（Bosq，2000）中，我们解释了函数随机变量的概率分布F确实存在。我们看随机曲线X={X（t），t∈ [0，T]}作为空间L=L（[0，T]）的随机元素，带有Borelσ-代数Lis是一个内积小于x，y>=Rx（t）y（t）dt的可分希尔伯特空间。我们考虑了一个曲线样本，但在实践中，每条曲线都是在离散和有限的点上观察到的。使用各种技术将离散数据转换为曲线，包括非参数平滑（见Ramsay et al.（2009））。在Horv\'ath和Kokoszka（2012）的书中，他们证明了函数估计的许多性质，其中包括，在某些正则条件下，均值和方差是无偏且均方误差一致的估计。Horv\'ath等人（2014年）对功能性时间序列背景下的平稳性假设进行了形式化，并提出了几个测试平稳性空假设的程序，这些程序反过来可用于检测FTS（功能性时间序列）设置中的结构变化。此外，Horv’ath等人（2014年）指出，非平稳函数时间序列的谱分析尚未发展到可以轻易导出可用扩展的程度，因此他们开发了一种通用方法来测试假设，即建模的函数时间序列确实是平稳的，并分析了在几个交替条件下的测试行为，即改变点替代方案。

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2022-5-11 05:23:10

作者开发的测试与任何其他严重偏离平稳性和弱依赖性的测试是一致的。他们警告说，在函数设置中，有一个全新的方面，即长期方差的标量估计的收敛性必须被长期协方差函数的特征值和特征函数的收敛性所取代。他们指出，他们的方法计算量极大。在功能数据中很难获得明显的增加/减少趋势。Fraiman等人（2014年）考虑了功能时间序列，其中预计会出现趋势。他们定义了不同类型的趋势，然后展示了能够检测它们的测试。作者对一系列功能数据的增长趋势进行了非参数检验，并建立了多时间系列功能数据的结果。让我们提出假设。如果F和G分别表示第一个和第二个总体的概率分布，我们可以制定零假设和替代假设：H:F=G vs.H:F 6=G。（1）我们的第一个目标是根据两个样本处理的替代方案检验零假设。在这种情况下，我们的第一组假设表明，两个样本来自同一分布，而另一组假设则相反。我们使用当地的Wilcoxon统计数据来处理这个问题。我们的第二个目标是使用局部Wilcoxon统计来检测函数时间序列中的结构变化。换句话说，我们打算测试以下一组假设：H:FX=FX=…=FXNvs。H:FX=…=FXk6=FXk+1=。。。

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2022-5-11 05:23:13

=FXN（2）4 Daniel Kosiorowski等对某些k∈ {1，2，…，N}，其中fxi是函数随机变量Xi的概率分布。为此，我们使用移动的局部Wilcoxon统计。3.我们的提议在下一节中，我们将介绍一个关于同质性的两样本局部Wilcoxon检验，即关于一组假设。3.1深度函数引起的等级考虑FDA设置，其中每个观察值都是R中一个公共区间上定义的真实函数。为了引入基于等级的统计来比较功能数据样本，我们关注功能对象的统计深度函数。它使我们能够根据一个物体与一个中心（即功能中位数）的偏离程度对这些物体进行排序。数据深度概念最初是作为将顺序统计的概念推广到多元情况的一种方式引入的（见Mosler（2013）），但目前被视为一种非常强大的数据分析工具，能够表达基础分布的各种特征。深度函数通过深度区域产生关于分布的扩散、形状和不对称性的信息（见：Liu等人（1999年）；Mosler（2013）及其引用）。在深度概念中，可以提出位置和尺度差异测试的有效方法（见Li和Liu（2004））。经典深度函数与任何对称中心都有一个最大深度值。再加上从任何最深处开始的任何水平面深度都会减少，这导致了嵌套的星形（在大多数情况下是凸的）深度区域，无论底层分布可能是非凸的（Zou andSer-fling（2000））。然而，在许多经济应用中（混合模型、多区域时间序列或通过聚类程序解决的问题），都存在多峰分布或非凸分布。

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2022-5-11 05:23:16

这些事实促使几位作者扩展了深度的概念，使其足够灵活地处理此类分布。这种扩展在文献中以local Deepth的名字出现。在本文中，我们使用PainDaveine和Van Bever（2013）提出的局部深度概念，并在Kosiorowski和Zawadzki（2014）中实施。深度概念的全面介绍可以在中找到（Zou和Ser Fling，2000年；Mosler，2013年；Nieto Reyes和Battey，2016年）。近年来，人们提出了一些关于功能数据深度的定义。Fraiman和Muniz（2001）认为深度的概念是基于单变量深度的综合图，L’opez Pintado和J¨ornsten（2007）引入了功能深度，并考虑了所考虑的曲线形状。Nieto Reyes和Battey（2016）提供了一个非常有用的理论考虑，涉及功能深度的定义和几种功能深度的比较研究。我们认为，由函数深度导出的统计数据可以有效地用于函数时间序列某些属性的非参数和稳健监测。在这种情况下，我们建议使用一种由OBUST泛函分析提供的新工具来测试两组给定功能序列的相等分布的合理假设。考虑一种情况，由于长度过长，weTitle受到抑制55 10 15 200 50000 100000 200000 250000 300000 Hourusers_serv_1Fig。1白天和夜间服务用户数量的功能方框图。5 10 15 200 50000 100000 150000小时服务费。2白天和夜间服务用户数量的功能方框图2。想比较两个功能序列{Xi}n-mi=1和{Yi}mi=1。我们建议按以下方式进行。

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2022-5-11 05:23:19

使用校正广义频带深度的概念（见（欧佩兹·平塔多和约恩斯坦，2007）），我们将原始观测从最接近功能中值的观测到最远的观测进行排序。然后进行Wilcoxon测试或其他等级测试（参见（H\'ajek and^Sid\'ak，1967）了解替代等级测试），让我们详细检查我们的程序。首先，我们结合两个样本{Xi}n-mi=1和{Yi}mi=1。现在，X={X，…，xn}表示紧区间T上定义的连续曲线的组合样本。设λ表示勒贝格测度，设a（i，i）={t∈ T：xi- xi≥ 0}，其中xiand xiare带定界对象。设Li，i=λ（a（i，i））λ（T）。曲线x相对于样本x的修正广义能带深度为（参见（欧佩兹-平塔多和约恩斯坦，2007；欧佩兹-平塔多和罗莫，2007）]）cGBD（x | x）=n（n- 1） X1≤我<我≤nλ（Ac（x；xi，xi））λ（T）（3），其中c（x；xi，xi）={T∈ a（i，i）：xi（t）≤ x（t）≤ xi（t）}，如果李，我≥andAc（x；xi，xi）={t∈ a（i，i）：xi（t）≤ x（t）≤ xi（t）}，如果Li，i>。因此，对频带深度进行了修改，以便仅考虑区域的比例，其中定界曲线定义了具有非零宽度的连续区域。为了进行构造，我们评估了cGBD的α级深度区域，即Rα（P）={x:cGBD（x，P）≥ α}.对于任何深度函数D（x，P），深度区域Rα（P）={x∈ L（[0，T]）：D（x，P）≥ α} 最重要的是，它们揭示了概率分布P的多样性特征：位置、分散性、依赖结构（很明显，这些区域是嵌套的，内部区域包含更大的深度）。在确定局部深度时，遵循Paindaveine和Van Bever（2013）的概念，6 Daniel Kosiorowski等人将更适合通过概率内容对{Rα（P）}族进行索引。

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能者818

2022-5-11 05:23:23

因此，对于任何β∈ （0,1]我们定义了P概率等于或大于βasRβ（P）=\\α的最小深度区域∈A（β）Rα（P），其中A（β）={α≥ 0:P（Rα（P））≥ β}. 深度区域Rα（P）或Rβ（P）仅提供最深点的邻域。然而，我们可以用它的对称化版本Px=Px+P2x来代替P-十、我们将设定一个定义。设d（·，P）为深度函数。局部水平β对应的样本局部深度函数∈ （0，1]是LDβ（x，P（n））=D（x，Pxβ（n）），其中Pβ（n）xdenotes与属于Rβx（P（n））的数据点的经验度量。Rβx（P（n））是最小的样本深度区域，至少包含2n个随机函数x。。。，xn，2x-十、2x-xn。深度总是被很好地定义的——它与原始深度没有明显差异。对于β=1，我们获得全局深度，而对于β\'0，我们获得极端局部化。正如在人口的情况下，我们的样本局部深度将需要考虑，对于任何x∈ 五十、对称分布Pnx是与x…相关的经验分布，xn，2x- 十、2x- xn。当地版本深度的样本属性来自于（Zo和Ser Fling，2000）中的一般发现。多种深度的本地版本的实现，包括投影深度、学生深度、单纯形深度、Lpdepth深度、回归深度和修改带深度，可以在free R package DepthProc中找到（见Kosiorowski和Zawadzki（2014））。在选择局部参数β时，我们建议使用与优化相关的交叉验证，以及特定的价值标准（分辨率适用于根据聚集的局部形状差异比较现象，这取决于我们对所考虑的现象的了解）。3.2局部Wilcoxon检验检验同质性。我们考虑两个样本，X={X，X，…，xn}={Xi}N-mi=1∪ {Yi}mi=1。

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2022-5-11 05:23:27

局部修正的广义带深与预先固定的局部参数β引起的共振∈ （0，1）areRl=#{xj∈ X:cGDB（β）（xj，X）≤ cGDB（β）（xl，X）}，（4）l=1。。。，n、随后根据cGBD对原始观测值进行排序。让所有观察结果的组合样本中的统一秩为Rl，l=1，2。。。，n或Rx。。。，Rxn-Xi和Ry的银行。。。，易建联的建议1。我们建议进行适当的Wilcoxon检验，以检验生成两组给定函数序列的两个分布相等的假设。函数数据的β-局部（两个独立样本）Wilcoxon rang和统计采用形式β=n-mXi=1Rxi，（5）其中秩由局部参数β的局部cGBD产生。Liand Liu（2004）之后值得注意的是，由于长度过大7和任何深度函数，在处理两个样本X和YTitle时，可以计算组合样本X中的深度∪Y，假设使用所有观测值计算的经验分布，或仅假设其中一个样本X或Y计算该分布。如果我们观察到Xls的深度表示组合样本的中心，Yls的深度表示边缘，我们得出结论，Y取自散射较大的分布。一般来说，样本之间等级分配的差异表明潜在分布的形状存在各种差异，因此偏离了它们的性质（Liu等人，1999年）。在功能设置中，尺度差异意味着α- 从总体X中提取的中心区域包含的概率质量比从总体Y中提取的更小，因此Y比X更分散。局部性参数β表示我们比较总体的分辨率。它的范围从非常模糊的比较（参数接近1）到非常尖锐的比较（参数接近零）。

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大多数88

2022-5-11 05:23:30

从另一个角度来看，我们可以将统计数据（5）视为代表数据集中局部不对称性的集合（见Paindaveine和Van Bever，2013）。两个样本（5）值的差异表明，在聚集的局部不对称性方面存在差异，但同时在局部位置和规模方面也存在差异。注意，对于β=1，我们必须使用经典的Wilcoxon秩和检验，因此我们可以使用该检验的表格来获得临界值，并在出现联系的情况下使用众所周知的联系中断方案（见Jure^ckov\'a和Kalina（2012））。测试统计数据的大小值表明样本之间的分布差异。对于其他β值，我们计算每个点的深度。r、 t.在这一点上，经验分布是对称的。两个点可能具有相同的深度值，因此具有相同的等级。然而，我们预计从不同连续分布中提取的样本的秩和存在显著差异（不同的分布应以不同的局部不对称性为特征）。我们强调的差异与我们进行比较的溶液β参数有关。另一方面，β参数可被视为组合样本的数据剥离参数——一个对我们的程序污染具有预期灵敏度的参数。”测试的“力量”取决于基础分布的位置和规模之间的差异，也取决于适当功能空间中基础分布的“形状”差异。出于实际目的，我们建议在所选备选方案从优点角度对决策者特别重要的情况下，对“权力”进行蒙特卡罗评估。提案的优点属性取决于使用的功能深度属性。

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大多数88

2022-5-11 05:23:32

（Nieto Reyes和Battey，2016）和（Paindaveine和Van Bever，2013）提出的统计结果的样本性质和其他渐近性质。然而，请注意（Nieto Reyes and Battey，2016）并未考虑本地功能深度，而仅考虑全球版本。Flores等人（2015年）基于最大深度元素比较，构建了四种不同的统计数据来测量两个样本之间的距离。他们在功能数据分析的背景下提出了两个同质性样本测试。他们在考虑问题时没有使用局部深度的概念。我们的方法允许使用局部参数β，它表示我们比较人口的分辨率。它的范围从非常模糊的比较（参数接近1）到非常尖锐的比较（参数接近零）。研究人员可以根据所考虑的问题和经验调整位置参数。在多模式分销的情况下，我们的建议（5）优于他们的建议。8 Daniel Kosiorowski等人的提案2——检测结构变化。有一个函数参考样本X。。。，XM。我们想比较一下功能数据流。。。，YN，其中N>>M与我们的参考样本一起，即检测功能数据流中的结构变化。我们构造一个长度为L的移动窗口，然后依次测试X的均匀性。。。，XNand Yk。。。，Yk+L-1对于k∈ {1，…，N- L+1}使用统计（5）。我们的程序能够检测功能数据流中的结构变化。为了获得检验统计量的样本分布，并由此获得必要的P值，我们建议使用Vinod和de Lacalle（2009）提出的最大熵引导法，并在meboot R包中实现。

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2022-5-11 05:23:36

注意，在时间序列设置中，由于观测值之间的时间依赖性，重采样，尤其是自举似乎是进行统计推断的唯一解决方案（见Shang（2016））。在我们研究的经验时间序列中，我们使用meboot R软件包生成自举样本，然后计算样本的Wilcoxon统计分布，以获得合适的p值。4提案的性质——模拟研究为了检查我们提案的有限样本性质，我们进行了模拟研究。为了检查我们的“静态”提案的有限样本属性（5），我们进行了广泛的模拟研究，涉及产生样本的分布的位置和/或规模和/或形状的各种差异。我们从相同的分布（代表零假设的情况）和两个类型相同但不同的w.r.t.位置和/或规模的分布中生成了两个样本。与Horv\'ath等人（2014年）和Didericksen等人（2012年）类似，我们考虑了由维纳过程和布朗桥产生的功能错误样本，将其分为1440和120个时间点（24小时分为1分钟和12分钟时间段）。我们考虑了大小相同和不同的样品。一般来说，在位置和规模上存在简单差异的情况下，我们的提议与Flores等人（2015）基于两个样本比较中的最大深度元素提出的提议具有可比性，但在存在多模态（样本之间的局部差异）的情况下，我们的提议明显优于Flores等人（2015）提出的提议。图3显示了在120个点处观察到的维纳过程生成的50条曲线的样本。图4显示了50条曲线的样本，这50条曲线是由两个维纳过程的5%混合产生的，这两个过程不同于w.r.t.位置。无花果

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2022-5-11 05:23:41

5表示假设两个样本均来自与图3相关的群体的统计估计密度（5），图6表示替代方案下统计估计密度（5），其中第一个样本来自与图3相关的群体，第二个群体来自与图4相关的群体。很容易注意到，估计的密度与地理位置不同，因此可以用来区分不同的种群。进一步的结果和R代码可根据要求提供（我们进行了类似于asin Flores等人（2015）的敏感性分析）。为了检查拟议的结构变化检测程序，我们从以下模型中生成时间序列，这些模型在周期性属性建模的背景下具有经济合理性。我们使用函数自回归模型FAR（1），即Xn+1=ψ（Xn）+n+1，其中错误观察值Xnarecurves，ψ是一个线性算子，它将一条曲线转换成另一条曲线。标题因长度过大而被抑制90 200 400 600 800 1000 1200 1400-100-50 0 50 100FM深度Tx（t）FM。tr0%MedianFig。3在120个点处观察到的维纳过程生成的50条曲线样本。0 200 400 600 800 1000 1200 1400-100-50 0 50 100 150 200FM深度Tx（t）FM。tr0%MedianFig。4.50条曲线的样本，由两个维纳过程的5%混合物生成，不同于w.r.t.位置。500 1000 1500 20000.0000 0.0004 0.0008 0.0012 H9N=100带宽下的样本mWilcox统计密度估计值=244.7DensityQ（0.01）Q（0.1）Q（0.9）Q（0.99）图5假设两个样本都是从与Fig.3.0 500 1000 1500 2000 25000e+00 2e-04 4e-04 6e-04 8e-04 1e-03相关的总体中生成的样本mWilcox统计密度估计值H10N下的估计值=100带宽=331.1密度Q（0.01）Q（0.1）Q（0.9）Q（0.99）图。

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2022-5-11 05:23:44

6备选方案下统计数据的估计密度（5），其中第一个样本来自与第三组相关的人群，第二个样本来自与第四组相关的人群。算子ψ被定义为ψ（X）（t）=Rψ（t，s）X（s）ds，其中ψ（t，s）是一个二元函数，假设满足| |ψ| | | | | |=Rψ（t，s）dtds。条件| |ψ| |<1确保了FAR（1）方程的平稳因果解的存在。因此，根据模型Xn+1（t）=Rψ（t，s）Xn（s）ds+生成FAR（1）数据生成过程序列n+1（t），其中n=1，2，N.我们使用了以下（Didericksen等人，2012年）的模拟研究设计。1.在实验1中，我们使用高斯核ψ（t，s）=C exp生成了100条曲线{-（t+s）}，以及Didericksen等人（2012）的（8）类错误，以及使用核ψ（t，s）=C的100条曲线。图7给出了实验1的说明。我们把整个实验重复了100次。图9显示了实验1的模拟结果，使用了相应的函数箱线图和FM深度。2.在实验2中，我们使用具有适当常数C的高斯核生成了100条曲线，并从实验1中考虑的两个过程的混合中生成了100条曲线，但与Didericksen等人（2012）得出的误差项（8）的参数不同。图8给出了实验2的图示，图10给出了相应地使用功能盒形图和FM深度进行实验2模拟的结果。图11的左面板显示了一种情况下的样本密度估计（Hd0），其中样本为10 Daniel Kosiorowski等人0 20 40 60 80 100 120-10 0 10 20FM DepthtX（t）FM。tr0%中音20 40 60 80 100 1201 2 4调频深度Tx（t）调频。tr0%MedianFig。

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2022-5-11 05:23:47

7.模式1.0 20 40 60 80 100 120-20中的结构变化检测-10 0 10 20FM深度Tx（t）FM。tr0%中音20 40 60 80 100 120-60-40-20 20调频深度Tx（t）调频。tr0%MedianFig。8结构变化检测模式2.0 20 40 60 80 100800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200tX（t）0 20 40 60 80 100500 1000 1500 2000FM深度TX（t）FM。tr0%MedianFig。使用移动Wilcoxon统计对方案1中的结构变化进行了9100次检测。0 20 40 60 80 1001000 1200 1400 1600tX（t）0 20 40 60 80 100500 1000 1500 2000FM深度TX（t）FM。tr0%MedianFig。使用移动Wilcoxon统计量对方案2中的结构变化进行了10100次检测。生成于图12左面板上的工艺，该工艺又是两种工艺的混合。图11的右面板显示了样本密度估计（Hd1），其中第一个样本来自图12的左面板上呈现的过程的混合，第二个样本来自图12的右面板上呈现的过程的混合。估算的密度明显不同于w.r.t.的位置，因此我们的程序能够正确检测混合物类型的变化——考虑到两个样本中最深层的元素，我们的程序比Flores等人（2015）的建议要好得多。很容易注意到，我们的程序正确地检测到了第100次观察后出现的结构变化。图12展示了结构变化的非常有趣的例子，其中我们的建议（6）优于基于Flores等人介绍的统计数据的建议。

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2022-5-11 05:23:50

(2015).结构变化与生成曲线的过程混合类型的变化有关。4.1提案的属性——实证示例1为了验证提案的实证有用性，我们根据服务所有者提供的真实数据，考虑了两项互联网服务的用户数量和页面浏览量。图1由于长度过长115000 6000 8000 90000e+00 1e-04 2e-04 3e-04 4e-04 5e-04 6e-04在Hd0N=100带宽=656Density-2000 2000 4000 6000 80000.000000.0000.00020 0.00030在Hd1N=100带宽=895.8density下的密度估计而抑制当前缝合图。11在HD0和Hd1下估计样本统计密度。0 20 40 60 80 100 120-10 0 10 20FM深度Tx（t）FM。tr0%中音20 40 60 80 100 120-20 0 60FM深度Tx（t）FM。tr0%MedianFig。12两种工艺是两种不同工艺的混合物。2013年服务1小时用户数的功能箱线图，图2显示了2013年服务2小时用户数的功能箱线图。0 50 100 150 200 250 300 350 150 200 250 350移动本地Wilcoxon统计，beta=0.8Indexstac。1Fig。13移动Wilcoxon统计用于服务1中的用户数，β=0.80 50 100 200 250 300 350 150 200 250 350移动本地Wilcoxon统计，β=0.6 indexstac。1Fig。14移动Wilcoxon统计用于服务1中的用户数，β=0.60 50 100 200 250 300 350 150 200 250 350移动本地Wilcoxon统计，β=0.4 indexstac。1Fig。15移动Wilcoxon统计服务1中的用户数，β=0.40 50 100 200 250 300 350 150 200 300 350 400移动本地Wilcoxon统计，β=0.2索引TAC。1Fig。16服务1中用户数量的移动Wilcoxon统计，β=0.2Fig。

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能者818

2022-5-11 05:23:55

13–16显示了根据局部参数β的选定值移动窗口计算出的提案行为，参考样本由前100个OB组成。人们可以注意到一个普遍的趋势，即稳定的统计值。经过深思熟虑的过程似乎趋于平稳。12 Daniel Kosiorowski等人4.2实证例2–产量曲线我们的第二个实证例将FDA引入产量曲线的建模和预测。收益率曲线源自无风险利率的概念，即为安全资产投资支付的理论价格。然而，在实践中，不存在无风险工具，无风险利率不能直接观察到，必须通过市场上交易的产品来近似，如国库券、国库券和公司债券、银行间贷款利率、远期利率协议或WAP等。从我们的观点来看，收益率曲线是到期时间τ的函数。收益率曲线形状的变化被认为是预期变化的标志，也是实际商业周期阶段变化的标志。不幸的是，人们无法观察到完整函数的形状，因为债券和其他利率衍生品的到期日期是固定的。这里还应该提到的是，关于收益率曲线形状的详细理论和影响它的因素还没有完全建立起来。产量曲线的估计通常以两种方式进行：在非参数设置下，通过线性或样条逼近，使用自举技术或使用参数方法（Diebold和Li，2006）。由于美国经济是全球经济变化的前兆，我们将注意力集中在美国收益率曲线上。在我们的研究中，我们使用了从2000-01-03年到2016-03-30年的每日观察美国收益率，期限在1个月到30年之间。为了检查我们的测试是否能够检测到金融危机，该子集分为两部分：1。

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2022-5-11 05:23:58

X-雷曼兄弟破产前（2000-01-03-2008-09-14），2。Y——自2008-09-15年次贷危机开始至今。这两个子集都被转换为FDA对象，并以傅里叶为基础进行描述（见图17）。在图17中，人们可以清楚地看到，由于全球经济商业周期阶段的变化，危机前后这两个捆绑包的最终形状（即斜率和曲率）是不同的。程序的下一步需要估计两个子集的cGBD。图18中的functionalboxplot显示了中值曲线（最深的位置），以及选定的α中心区域。超出α最高值的任何点都可能被视为异常值。如图18所示，危机前后收益率曲线形状的中心趋势是相同的，而外部曲线的形状和性质则显著不同。为了检查我们的程序是否能够检测功能时间序列结构的变化，该模拟的最后一步涉及计算滚动窗口方案中功能收益率曲线的局部Wilcoxon统计（方案2）。在该方案中，我们假设两个特定长度的窗口——参考窗口（简称ref）具有固定长度，最初包括从2000年1月开始的月度函数收益率曲线数据，相同大小的第二个窗口被固定数量的观察值移动。移位大小和样本长度保持不变。图19给出了长度为10、50和40个观测值的窗口在时间上移动10、20或30个点的结果。得到的结果显然取决于窗口大小。对于相对较大的窗口和部分重叠样本，当地Wilcoxon统计数据中的变化波动较小，人们可以将其与商业周期的各个阶段联系起来，例如：。

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2022-5-11 05:24:02

对于长度为40和50的观察窗，可以观察到2007年底（或2008年初）的政权变化，以及2009年底至2010年初之间的变化，以及由于危机前132 4 6 8 101 2 3 4 5 6美国收益率曲线过长而受到抑制的时间。危机后2 4 6 8 100 1 2 3 4 5美国收益率曲线。17条危机前后的收益率曲线以功能对象inFourier basis0 5 10 15 20 25 301 2 3 4 5 6成熟度0 5 10 15 20 25 300 1 2 3 4成熟度FIG表示。18产量曲线两个子集的功能箱线图14 Daniel Kosiorowski et al.wrz2001wrz2002wrz2003wrz2004wrz2005wrz2006wrz2007wrz2008wrz2009wrz2010wrz2011wrz2012wrz2013wrz2014wrz2015Moving wilcoxon产量曲线ref=10 shift=102001-09-CO27/2016-03-3040506070809080090STY2005STY2006STY2007STY2007STY2008STY2009STY2010STY2011STY2012STY2012STY2015GSTY2015GSTY2014曲线ref=50 shift=102005-01-30/2016-03-30100200300400100300400LIS2005LIS2006LIS2007LIS2008LIS2009LIS2010LIS2011LIS2012LIS2013LIS2014PA'z2015Moving wilcoxon用于收益曲线ref=50 shift=202005-11-29/2016-03-30300400500500600700300500500700LISCO2005LIS2006LIS2007LIS2008LIS2009LIS2010LIS2011LIS2012LIS2013LIS2014PA'z用于收益曲线ref=40 shift=30211 wilcoxon2016-03-30400500600700800400500600700800图。19 Wilcoxon 2014年收益率曲线的当地统计数据。由于收益率曲线是商业周期阶段的预测指标，人们可以将这一尖峰与两次危机波——次贷危机和欧元区债务危机——联系起来。最终峰值很容易与美国经济再次进入增长阶段的时期有关。5敏感性分析经典的一维Wilcoxon秩和检验有效地检测了logistic分布族的差异。

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2022-5-11 05:24:05

DepthWe在（Liu和Singh，1995）和（Li和Liu，2004）中提出了由DepthWe引起的多变量检验。多元Wilcoxon检验的理论性质（Jure^ckov\'a和Kalina，2012年）对无偏性及其一致性进行了重点讨论）。在我们的建议中，排名是由相对于局部中心性特征的外向性引起的。观察结果从最接近当地中值到最远离当地中值的顺序排列。所提议的统计数据的相对大或小的值表明了外向度结构的差异（从地区水平β考虑），并应导致我们拒绝分布相等的假设。在功能情况下，显著不同的曲线可能具有相同的深度，因此具有相同的等级。另一方面，不同的经验深度表明了基础分布的差异，因为在非常温和的条件下，深度表征了多元分布（如果函数仍然是一个开放的问题）（孔和左，2010）。然而，模拟研究让我们得出了一个假设，即在函数情况下，我们可以预期类似的结果：校正的广义带深度表征了函数空间中的分布，或者至少有效地描述了其优点和重要特征。考虑到一个过程中的参考样本和一个移动窗口，我们可以使用我们的建议来检测由于过长而被抑制的标题，这不仅是结构变化，而且是偏离平稳性（由参考样本表示）。模拟结果使我们得出结论，我们的建议至少在汉佩尔意义上是定性稳健的（见（Wilcox，2014））。无效假设和替代假设的微小变化不会显著改变我们提案的规模和影响力。

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2022-5-11 05:24:08

我们根据成对函数的所有距离的中值来考虑输入空间中的距离，其中一个函数属于假设模型，第二个函数属于表示偏离假设的模型。在输出空间中，我们考虑了测试统计量值之间的欧氏距离。在这些术语中，输入数据的微小变化会导致基于监测功能时间序列平稳性的决策过程的微小变化（Hallet al.，2003）。函数时间序列中的各种可能的外向性理解值得注意。可以考虑函数空间中的异常值或与垂直点污染相关的向外度。污染可能会影响参考样品或工作窗口。我们考虑了由修正的广义带深度引起的关于函数箱线图的函数loutliers。请注意，我们的方案是稳健的，但不是非常稳健（它可以处理高达10%的污染）。它对中等比例的异常值或误差（它们导致深度引起的排名微小变化）具有鲁棒性，但对时间序列状态变化敏感。因此，该程序可用于数据流监控（Kosiorowski，2016）。我们认为，与我们的建议相比，用于监测函数时间序列同质性的替代程序对函数时间序列的鲁棒性较差。我们可以用（Li和Liu，2004）和（Jure^ckov\'a和Kalina，2012）中类似的方式评估我们程序的“规模”和“力量”。功能数据分析中的一个核心问题是考虑功能观察之间的时间依赖性。由于这种时间依赖性，即使是最基本的统计数据也变得不准确。在这种情况下，重采样方法，尤其是自举法，被证明是唯一的选择。

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2022-5-11 05:24:11

为了获得用于我们测试的自举p值，我们建议使用Vinod和de Lacalle（2009）提出的最大熵方法，以及byShang（2016）提出的其他方法。meboot R包和DepthProc R包提供了适当的计算支持。6总结基于移动局部Wilcoxon统计量的拟议程序可有效用于检测功能时间序列中的异质性。模拟研究表明，我们的方案的性质取决于生成样本的分布中功能中位数之间的Kolmogorov距离，一个代表平稳性的零假设，另一个代表固定偏离平稳性。局部性参数β可以被解释为解决方案或对细节的敏感性（例如局部不对称），在这一点上我们监控一个过程。拟议程序的优点特性强烈依赖于所使用的功能深度（我们在功能比较样本中选择中心的条件，例如Sguera等人（2016年）；Nagy等人（2016年）。所进行的模拟研究以及所研究的实证例子表明，在备选方案之间存在差异的情况下，以及在丹尼尔·科西奥洛夫斯基（Daniel Kosiorowski）等人16年发现结构变化的结果中，我们的建议具有很大的潜力。本地Wilcoxon测试和ourproposal的实现可以在DepthProc R包中找到，该包可以通过CRANservers获得。注意，为了检测特殊类型的非平稳性，可以通过局部Kamat或Haga统计（或其他秩统计）替换局部Wilcoxon统计。

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2022-5-11 05:24:14

我们仍在考虑我们提案的进一步理论性质，这是我们未来工作的一部分。确认JPR研究部分得到AGH地方拨款15.11.420.038的支持，MS研究部分得到克拉科夫经济大学地方拨款045的支持。WF。克雷夫。01.2015.S.5045，第161号。WF。克雷夫。02.2015.M.5161和国家科学中心批准号NCN。作品。2015.17.B.HS4。02708.和由CUEgrant 048/WZ-KS/07/2016/S/6048进行的DK研究。参考BOSQ D（2000）函数空间中的线性过程。斯普林格。Cuesta Albertos J和Nieto Reyes A（2008）随机Tukey深度。ComputStat Data An，52:4979–4988。Cuevas A、Febrero Bande M和Fraiman R（2007）通过基于投影的深度概念对功能数据进行稳健估计和分类。计算机统计，22（3）：481-496。Diebold F和Li C（2006）预测了政府债券收益率的期限结构。《计量经济学》，130（2）：337-364。Didericksen D，Kokoszka P和Zhang X（2012）使用函数自回归模型预测的经验性质。计算机统计，27（2）：285-298。Febrero Bande M和de la Fuente M（2012）功能数据分析中的统计计算：fda的R包。南加州大学。J统计软件51（4）：1-28。Flores R、Lillo R和Romo J（2015）功能数据的同质性测试。arXiv:1507.01835v1。Fraiman R，Muniz G（2001）功能数据的修剪平均值。测试10（2）：419-440。Fraiman R、Justel A、Liu R和Llop（2014）探测功能数据时间序列的趋势：南极气候变化研究。Can J Stat 42（4）：597–609。H\'ajek J，^Sid\'ak Z（1967）秩检验理论。学术出版社，纽约。Hall P，Rodney CL，Yao Q（2003）独立和相关观测的击穿点的综合定义。

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2022-5-11 05:24:17

J Roy Stat Soc B 65:81–84。Horv\'ath L，Kokoszka P（2012）功能数据的推断与应用。斯普林格。Horv\'ath L，Kokoszka P，Rice G（2014）测试功能时间序列的平稳性。J计量经济学179:66–82。Hyndman RJ和Shang HL（2010）功能数据的彩虹图、袋状图和盒状图。J计算机图形统计19（1）：29–45。Jure^ckovKa J，Kalina J（2012）非参数多元秩检验及其偏误性。伯努利18（1）：229-251。Hyndman R，Einbeck J，Wand M（2013）R包hdrcde。Kong L，Zou Y（2010）平滑的深度等值线描述了下伏分布。J多变量肛门101:2222–2226。Kosiorowska E，Kosiorowski D，Zawadzki Z（2014）使用多元非参数depthTitle评估第四个千年发展目标的实现，由于DepthProc R软件包提供的工具过长而被抑制。甜菊叶15（1）：34-52。Kosiorowski D，Zawadzki Z（2014）DepthProc：多维经济现象稳健探索的R包。http://arxiv.org/pdf/1408.4542.pdf.2016年4月5日查阅。Kosiorowski D（2016）经济数据流稳健分析的困境。数学科学杂志1（2）：59-72。Li J，Liu R（2004）利用数据深度对多变量位置和尺度进行新的非参数检验。统计Sci 19（4）：686-696。Liu R（1990）基于随机单形的数据深度概念。Ann Stat18:405–414。刘锐，Parelius JM，Singh K（1999）按数据深度进行的多元分析：描述性统计、图形和推理（附讨论）。Ann Stat 27:783–858。Liu R，Singh K（1995）基于数据深度和多变量ranktests的质量指数。J Am Stat Assoc 88:252–260。欧佩兹·平塔多S，J¨ornsten R（2007）通过扩展频带深度进行功能分析。IMS课堂讲稿——专著系列复杂数据集和反演问题：层析成像、网络及其他，第卷。

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