在线参数修正的最优交易

2022-5-11 05:59:20

在线参数修正的最优交易。巴拉代尔*, B.Bouchard+，N.M.Dang2018年10月8日摘要本文旨在解释如何将参数调整整合到交易自动化的设计或控制中。通常，我们对机器人或单个订单产生的市场影响的在线估计感兴趣，以及机器人/控制器应如何以最佳方式对观察到的影响产生的信息作出反应。这可以表述为一个具有未知参数的最优脉冲控制问题，在该问题上给出了先验知识。我们解释了经典贝叶斯更新规则和最优控制技术的结合如何使我们能够导出由相应的值函数满足的动态规划方程，从中可以推断出最优策略。我们提供了一个收敛有限差分方案的示例，并考虑了典型的应用示例。关键词：最优交易，市场影响，不确定性，贝叶斯滤波。1简介交易算法的设计基于两个基石：首先需要估计模型，其次必须根据规定的标准计算最佳交易策略。与传统的投资组合管理一样，波动性或相关性的概念起着重要作用，需要进行估计。在订单簿的层面上，人们还可能对订单的到达/取消速度等感兴趣。这些指的是外生动力的概念，可以从中推断，参考文献请参见例[3,13,22]，并可能通过使用传统过滤技术进行调整，参见例。

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2022-5-11 05:59:22

[7, 14].更重要的是，交易机器人对交易资产的动态有自己的影响，要么是因为高频水平的市场微观结构效应，要么是因为相对于所谓的市场交易量而言，交易量是不可忽视的，参见[9,21]*ENSAE ParisTech，CREST，巴黎多芬大学，巴黎理工研究大学，CNRS，UMR[7534]，Ceremake，75016巴黎，法国。+巴黎多芬大学（UniversitéParis Dauphine），巴黎理工大学（PSL Research University），CNRS，UMR【7534】，Ceremede，75016 Paris，France。这项研究得到了“贸易和投资战略”研究计划、开普勒·切夫勒和法国学院的支持法国巴黎开普勒-切夫勒大道112号，邮编75116。调查以及[10]最近的参考文献。了解这种影响至关重要。然而，与其他市场参数不同，它只能在算法实际运行时观察到，无法进行o形线估计。事实上，控制者面临着一个典型的两难境地：他是应该推动系统（传递订单）立即获得更多信息，以避免可能的即时损失，还是应该尝试最大化他当前的预期回报，冒着不为未来学习的风险？在任何情况下，最优交易政策都必须考虑到这样一个事实：随着机器人对系统的影响被揭示出来，对影响参数的了解将随着时间的推移而发展，并且其价值的不确定性是风险的来源。分析这种情况的一种方法是使用[19,20]的多臂bandit递归学习方法。通过向系统发送连续的脉冲，人们增加了对响应函数真实分布的了解。它提供渐近最优策略。它的主要优点是不需要模型。

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2022-5-11 05:59:26

另一方面，它需要（弱）遍历类型条件，如果价格/账面订单实际受到影响，则几乎不可能满足这些条件。此外，订单的全球流动不是最优的，它只在长期内开始最优。在本文中，我们建议使用经典的贝叶斯方法，参见例[15]中的一般参考文献。[1]在最优交易的背景下，在不同且非常特殊的框架（趋势估计）中已经提出了类似的想法。在这种方法中，我们根据参数的真实值确定先验分布。当一个新的交易后信息到达时，该分布将根据贝叶斯规则进行更新，以提供一个后验分布，该分布将被用作下一（一组）交易的新先验。从理论上讲，这可以解决相当普遍的无模型最优控制问题，即未知参数可以是响应函数的整个分布。尽管如此，后验分布仍将由前验分布主导。如果真实分布不是，估计序列就不能收敛到它。此外，在实践中，计算时间限制将迫使人们限制为一类参数化分布，从而将空间缩减为小维空间。因此，需要选择一组可能的模型。我们的程序只会揭示在给定的框架下，参数最有可能的值。在实践中，从业者已经使用了不同类别的模型，但参数很难以自动的方式进行大规模估计，并根据时间和市场条件进行演变。从这个角度来看，我们相信我们的方法能够有效地解决他们的评估问题。有两种方法可以考虑这种更新机制。

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2022-5-11 05:59:29

一个是，它允许人们在以最佳方式行事的同时估计参数的真实值。这是在[15]中提出的观点，他为离散时间有限视界模型提供了条件，以确保后验法则在真实参数值下收敛于狄拉克质量。显然，这需要识别条件，因为我们只能沿着最优策略以及一些遍历条件观察对系统的影响。另一种观点是，在解决与初始先验知识相关的最优控制问题时，它实际上自动脱离了动态规划的考虑。我们在这里关注第二个观点：给定一个关于真实参数的先验知识，我们应该如何以最佳方式行事？毕竟，我们希望在给定先验知识的情况下是最优的，而不是在系统上采取行动，只是为了重新定义先验知识，如果这不是最优的。显然，如果该算法必须在同一市场上重复使用，且市场条件稳定，则运行该算法后获得的后验概率分布可作为下一次推出该算法时使用的新的、更精确的先验概率。dirac分布的收敛性问题留待以后研究。同样，这更符合学术兴趣。这里我们考虑[4]中介绍的一般抽象形式主义，其目的是适用于实践中使用的大多数模型。特别是，我们可以在元指令级（智能例程的控制）或单指令级（智能例程的设计或调度）工作。在第一种情况下，我们对已经给出的机器人的最优控制感兴趣，这类似于[8]。我们只观察机器人停止后的全球影响。第二种情况涉及机器人本身的设计，例如[2,16,19,20]。一个典型的问题是，一个命令应该是被动的还是主动的。

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2022-5-11 05:59:33

当一个激进的订单被发布时，我们可能会立即观察到影响（除非是小规模的）。对于（一组）限价单，如果它们在被取消之前，我们推断它们的执行速度。交易平台的选择可以用类似的方法来解决，等等。本文的其余部分组织如下。在介绍了[4]的一般框架之后，我们给出了它们的主要特征：价值函数是一个拟变分偏微分方程的解，从中可以推断出最优交易策略。然后我们解释如何用数值方法求解这个方程。这一点可以通过从文献中提取的玩具模型加以说明，并在此基础上提供了基于模拟的优化策略。2抽象框架在考虑典型的应用示例之前，我们在这里介绍了配套论文[4]中提出的抽象框架。我们认为，它足够灵活，适用于实践中遇到的大多数问题。我们通过d维布朗运动W（定义在具有维纳测度P的正则空间C（[0，T]，Rd）上）对驱动噪声进行建模。我们也可以考虑跳跃型过程，比如复合泊松过程，同样的分析也适用。未知参数Γ由（波兰）空间（U，B（U））支持，并且我们的初始prioronΓ被假定属于U上的Borel概率测度集（具有弱收敛拓扑）的局部紧子集M。在第4节的应用中，可以将可能的先验集合识别为有限维空间的子集（例如高斯分布的参数、具有有限支持度的定律权重等）。

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2022-5-11 05:59:36

那么，M可以简单地看作是一个有限维空间。为了在衡量交易对系统的影响时考虑额外的随机性，我们考虑另一个（波兰）空间e，其上定义了一个族(i）我≥0个i.i.d.随机变量的公共度量值P关于E.关于产品空间Ohm := C（[0，T]，Rd）×U×EN，我们考虑测度族{P×m×PN: M∈ M} 用这个家族的Pman元素来表示∈ M是固定的。运算符Emis是与toPm关联的期望值。注意，W，Γ和(i）我≥0在每个Pm下都是独立的。为了我∈ 给定M，我们让Fm=（Fmt）t≥0表示过滤F=（Ft）t的Pm增大≥0定义为Ft=σ（（Ws）s≤t、 ν(i）我≥0）对于t≥ 0.此后，所有随机变量均考虑概率空间(Ohm, FmT）与m∈ M由上下文给出，其中T是固定的时间范围。2.1受控系统 [0，T]×Rdbe是一个（非空）紧集。这将是我们进行控制（交易政策）的场所。给定N∈ N和m∈ M、我们用Φ表示o,mn随机变量序列φ=（τi，αi）i的集合≥1on(Ohm, FmT）的值为R+×A，使得（τi）i≥1是满足τj>T Pm的Fm停止时间的非递减序列- a、 s.forj>N.我们设定了Φo,m:=[N≥1Φo,明尼苏达州。元素φ=（τi，αi）1≤我≤N∈ Φo,M将是我们的脉冲控制，我们用αi=（`i，βi）和`i的形式来写αiI∈ [0，T]和βi∈ RdPm- a、 s.更准确地说，τi’s将是系统上产生脉冲的时间（例如启动自动售货机），βi将模拟在τi时间发送的订单的性质（例如用于交易机器人的参数），并且“i”将代表无法对系统进行新干预的最长时间长度（例如。

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2022-5-11 05:59:40

规定机器人在市场上发送订单的时间）。从现在起，我们将始终使用符号（τφi，αφi）i≥1用αφi=（`φi，βφi）表示控制φ∈ Φo,m、我们允许在随机时间θφi:=$（τφi，Xφτφi）之前，不观察系统，也不能对系统进行操作-, αφi，γ，i）其中Xφ是受控状态过程（股票价格、市场交易量、财富等），将在下文中描述，以及$：R+×Rd×A×U×E→ [0，T]是可测量的，因此$（T，·）≥ t代表一切t≥ 0.（2.1）如果动作包括在一定时间内在τφi处启动交易机器人，我们自然可以取θφi=τφi+`φi。如果动作包括在最大持续时间`φi期间下限价单，则θφi是限价单执行的时间，如果它小于τφi+`φi，且τφi+`φi。我们这么说∈ Φo,mbelongs至Φmifθφi≤ τφi+1和τφi<τφi+1Pm-a.s.对于所有i≥ 1和definenφ：=h∪我≥1[τφi，θφi）ic.（2.2）现在让我们描述我们的受控状态过程。给定一些初始数据z:=（t，x）∈ Z:=[0，T]×Rd和φ∈ Φm，设Xz，φ为x=x的[t，2T]上的唯一强解+Z·tNφ（s）u（s，Xs）ds+Z·tNφ（s）σ（s，Xs）dWs+xi≥1{t≤θφi≤·}[F（τφi，Xτφi-, αφi，γ，（一）- Xτφi-]. （2.3）根据模型的选择，X的不同组成部分可以是算法的累积、持有股份的数量、中间价、第一次出价和询问队列的大小和位置、交易员在不同队列中的限价单位置、驱动系统的因素、专家提供的外部信息流、，当前的市场容量等。如果你想拥有与时间相关的动态，这也可以是时间本身。

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2022-5-11 05:59:43

这是非常灵活的，我们将在第4节中举例说明。在上面，函数（u，σ，F）：R+×Rd×A×U×e7→ Rd×Rd×d×rdi是可测量的。映射（u，σ）是连续的，第二个参数的Lipschitz线性增长，在第一个参数中是一致的。（2.4）这种动态意味着：。当当前没有对系统采取任何行动时，即在Nφ的区间上，系统根据布朗运动W:dXs=u（s，Xs）ds+σ（s，Xs）dWson Nφ驱动的随机微分方程演化。当在τφi发送命令时，我们将动力学冻结到时间θφi的动作（机器人、命令的执行/取消）结束。这相当于说，我们没有观察到直到θφi的当前演变，或者等效地说，在θφi已经启动的操作结束之前，不会采取任何纠正措施。在动作结束时，状态过程取一个新值Xθφi=F（τφi，Xτφi）-, αφi，γ，i），我≥ 1.F依赖于未知参数Γ和附加噪声我认为，正确的模型是不确定的，而未知参数Γ的精确值（可能）不能仅仅通过观察（θφi）来精确测量-τφi，Xθφi- Xτφi-).为了简化符号，我们现在写：z:=（$，F）。（2.5）从现在起，我们用Fz，m，φ=（Fz，m，φs）t表示≤s≤2tpm对（Xz，φ，Pi）产生的过滤的增强≥1[θφi，∞)) 在[t，2T]上。我们这么说∈ Φmbelongs到Φz，mif（τφi）i≥1是Fz，m，φ-停止时间和αφiis Fz，m，φτφi-可测量的序列，对于每个i≥ 1.在容许控制将成为Φz的一个元素后，m.2.2贝叶斯更新如前所述，作用于系统会揭示一些关于真实参数值的信息：先验分布随时间演化。

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2022-5-11 05:59:47

因此，应将其视为状态变量，以保持时间一致性，并能够导出动态规划方程。还要注意的是，它的演变本身可能很有趣。例如，在控制期结束时，人们可能会对我们（更新的）先验知识的精度感兴趣，因为它可以作为另一个控制问题的新先验知识。在本节中，我们将描述它是如何根据通常的贝叶斯过程随时间更新的。给定z=（t，x）∈ Z、 u∈ U和a∈ A、我们写z[z，A，u，], 回想一下（2.5），在形式q（·| z，a，u）dQ（·| z，a）中，q（·|·）是Borel可测图，q（·| z，a）是z foreach（z，a）上的主要度量∈ Z×A.这个量可以从zand定律的知识中推断出来, 有关示例，请参见第4节。给定初始条件z=（t，x）∈ Z、最初的优先权∈ 并购与交易策略∈ Φz，m，时间s的条件律≥ t由mz，m，φs[C]：=Pm[ν）给出∈ C | Fz，m，φs]，C∈ B（U）。（2.6）由于在订单结束和下一个订单开始之间没有新的信息显示，在这些时间间隔内，优先信息应保持不变：Mz，m，φ=Mz，m，φφφ离子[θφi，τφi+1），i≥ 0，（2.7）使用约定θφ=0和Mz，m，φ=m。但是，Mz，m，φ在每次θφiat显示上一次发送的订单的影响时都会跳转，从而带来关于未知参数Γ的新信息。之前的更新遵循经典的贝叶斯规则：Mz，m，φφφi=m（Mz，m，φτφi）-; Zz，φθφi，Zz，φτφi-, aφi），i≥ 1，（2.8）其中（mo；zo，zo，ao）[C]：=RCq（zo | zo，ao，u）dmo（u）RUq（zo | zo，ao，u）dmo（u），（2.9）表示（zo，zo，ao，mo）∈ Z×A×M和C∈ B（U）。我们参考[4]以获得这一直观事实的正式证明。为了确保Mz，m，φ在m∈ M、我们假设M（M；·） M.备注2.1。同样，参数未知，但我们可以知道哪些值更可能是正确的。

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2022-5-11 05:59:50

从（2.9）中可以看出，Mz，m，φ相对于m随时间保持绝对连续。因此，先验分布应该有一个更大的支持度来包含真实值，否则它也不会被后验分布看到。在实践中，我们可以简单地在一个矩形上定义一个均匀分布，我们确信真正的参数属于这个矩形。如果只对粗略近似感兴趣，但希望将计算时间最小化，可以简单地指定几个低/中/高值，并集中支持这些值（即从diracmass的组合开始）。备注2.2。为了便于以后使用，请注意，上面给出了给定Fz，m，φτi:P[（Zz，φθφi，Mz，m，φθφi）的联合条件分布（Zz，φθφi，Mz，m，φθφi）∈ B×D | Fz，m，φτφi-] = k（B×D | Zz，φτφi）-, Mz，mφτφi-, 其中k（B×D | zo，mo，ao）：=ZUZBD（M（mo；z，zo，ao））q（z | zo，ao，u）dQ（z | z，a）dmo（u）∈ Z和m∈ M、控制器的目标是使增益函数φ的期望值最大化∈ Φz，m7→ Gz，m（φ）：=g（Zz，φT[φ]、Mz，m，φT[φ]、ν，),其中T[φ]是T:T[φ]：=sup{θφi:i之后最后一个动作的结束≥ 1，τφi≤ T}∨ T.请注意，我们并不是在T上看Zz，φ的值，而是在T[φ]上看，它要么是T，要么是T之前发送的最后一笔交易的结束。这是由机器人的使用引起的：如果它正在运行，我们不想在T处停止它，而是宁愿等到算法结束。通过目标函数g，当T[φ]严格大于T时，可以施加惩罚，这一点得到了补偿。还请注意，终端奖励取决于参数Γ。

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2022-5-11 05:59:53

其动机是申请最佳清算，最终可能会发送一个最终的largeorder，立即清算剩余的股份。如前所述，增益可能不仅取决于原始时空状态过程Zz，φT[φ]的值，还取决于Mz，m，φT[φ]，以模拟这样一个事实，即我们也对最后时刻对Γ的估计精度感兴趣。还要注意的是，可以在不增加额外困难的情况下增加运行成本，实际上可以将其合并到stateprocess Zz，φ中。假设g是可测的，并且（为了简单起见）有界于Z×M×U×E。给定φ∈ Φz，m，预期报酬isJ（z，m；φ）：=Em[Gz，m（φ）]，和v（z，m）：=supφ∈Φz，mJ（z，m；φ）1{t≤T}+1{T>T}Em[g（z，m，ν，)] （2.11）是相应的值函数。注意，v通过容许控制Φz和期望算子Em的集合依赖于m，即使g不依赖于Mz，m，φT[φ]。3值函数表征和数值逼近3。1动态规划拟变分方程本节的目的是解释如何推导最优期望增益的pde特征。和往常一样，它应该与动态规划原理有关。在我们的设置中，它应该如下所示：给定z=（t，x）∈ Z和m∈ M、 thenv（z，M）=supφ∈Φz，mEm[v（Zz，φθφ，Mz，m，φθφ）]，（3.1）用于所有收集（θφ，φ∈ Fz，m，φ的Φz，m）-停车时间，数值在[t，2T]中，θφ∈ Nφ∩ [t，t[φ]]Pm- a、回想一下（2.2）中Nφ的定义。让我们来评论一下。首先，应该限制停车时间，以便∈ Nφ。原因是在Nφ之外不能产生新的脉冲，每个间隔[τφi，θφi）都是一个晚周期。

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2022-5-11 05:59:57

第二，终端增益在T[φ]处进行评估，这通常不同于T。因此，θφ仅以T[φ]为界。我们继续我们的讨论，假设（3.1）成立，并且v是完全光滑的。让我们来表示Zz，o不发送订单时状态过程的动态。那么，上面的公式特别暗示了（z，m）≥ Em[v（Zz，ot+h，m）]0<h≤ T- t、这对应于在[t，t+h]上不产生脉冲的控制的次优性。应用它的引理，除以h，让h为0，我们得到-Lv（z，m）≥ 0英寸，其中：英寸=tа+hu，Dаi+Tr[σ>Dа]。另一方面，根据（3.1）和备注2.2，V（z，m）≥ 苏帕∈AEm[v（z[z，a，γ，], M（M；z[z，a，ν，], z、 a）]=Kv（z，m），其中kа：=supa∈AZ~n（z，m）dk（z，m |·，a）。（3.2）这对应于立即发送订单的次优性。至于时间边界条件，与上述相同的推理隐含了v（T，·）≥ KTg和v（T，·）≥ Kv（T，·），其中kTg（·，m）=ZUZEg（·，m，u，e）dP（e） dm（u）。（3.3）因此，v应通过最优性求解拟变分方程{-L k，а- [0，T）×Rd×M（3.4）min{- KTg，~n- 在{T}×Rd×M.（3.5）上K~n}=0为了确保上述算子是连续的，我们假设，在R+×Rd×M上，对于所有上（下）半连续有界函数，KTg是连续的，K~n是上（下）半连续的。（3.6）最后，我们假设比较适用于（3.4）-（3.5）。[4]中提供了一个有效条件。假设3.1。设U（resp.V）是（3.4）-（3.5）的上（resp.V）半连续有界粘性子（resp.super）解。进一步假设≤ V on（T，∞)那么，U≤ 我们现在可以陈述[4]的主要结果。定理3.1（[4]）。让假设3.1保持不变。

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mingdashike22

2022-5-11 06:00:01

然后，v在Z×M上是连续的，并且是（3.4）-（3.5）的唯一有界粘性解。3.2数值模式的一个例子当假设3.1的比较结果成立时，可以很容易地导出（3.4）-（3.5）的收敛有限差分模式。这里我们考虑一个基于[11,12]的简单显式方案。我们给hbe一个时间离散化步长，使T/his为整数，并设置Th:={thj:=jh，j≤ T/h}。用矩形上的空间步长离散空间RDI[-c、 c]d，在每个方向上包含nxH点。相应的有限集用Xhc表示。一阶导数t~n和(φ/xi）我≤使用标准上风近似值进行近似：ht~n（t，x，m）：=h-1（φ（t+h，x，m）- ~n（t，x，m））hh，i~n（t，x，m）：=H-1（φ（t+h，x+eih，m）- 如果ui（x）≥ 0h-1（φ（t，x，m）- ν（t+h，x）- eih，m）如果ui（x）<0，其中ei是Rd的第i个单位向量。对于二阶项，我们使用每个点x∈ Rd可以近似为加权组合X=Xx∈由Rdit belongstoo的划分形成的立方体的角Ch（x）上的点xlying的Ch（x）xω（x | x）。然后，给定另一个小参数h>0，我们将Tr[σ（x）σ（x）>D~n（t，x，m）]近似为定义为（hd）的Thh，h[~n]（t，x，m）-1dXi=1[~n]h（t+h，x+phσi（x），m）+[~n]h（t+h，x-phσi（x），m）- 2小时-其中σi是σ的第i列，而[ν]h（t，x，m）：=Xx∈Ch（x）ω（x | x）~n（[t]h，x，m）与[t]h:=min[t，2T]∩Th∪ [T，2T],是φ的分段线性近似值。

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能者818

2022-5-11 06:00:04

如果σ的第一行σ1·不等于0，可以使用通常的更简单近似值（h）-1kσ1·k~n（t+h，x+phe，m）+~n（t+h，x）-phe，m）- 2（h）-1kσ1·k~n（t，x，m）。类似地，我们近似地表示K K byKh，h K（t，x，m）：=supa∈AZ[~n]h（最大（t+h，t），x，m）dk（t，x，m | t，x，m，a）。让h:=（h，h，h）和设置lh~n=htИ+Xi≤duihh，i~n+Thh，h[~n]，（3.7）我们的数值格式包括solvingmin-左а，а- Kh~n= 0在（Th\\{T}）×上Xhc）×M，（3.8）min{~n- KTg，~n- 在{T}×（XhcXhc）×M，（3.9）~n- KTg:=0 on（[0，T]×上Xhc×M）∪ （（T，2T）×Rd×M）。（3.10）我们在这里指定了一个精确的边界条件Xhcbut可使用任何其他（有界）边界条件。最后，通过设置vch=[vch]hon[0，T]×Rd×M，我们将vchto扩展到整个空间。这个方案总是收敛为（h，h/h，h/h）→ 0和c→ ∞.提议3.1。让vchdenote加入（3.8）-（3.9）-（3.10）的溶液。如果假设3.1成立，那么vch→ v as（h，h/h，h/h）→ 0然后是c→ ∞.证据使用下面的引理3.1，可以很容易地检查我们的方案是否满足[6，定理2.1]的条件。特别是| vch |≤ sup|g|∞. 然后，收敛性与[6，定理2.1]中的参数相同，必须用引理3替换他们的断言（2.7）。2如下所述。备注3.1。我们在上面没有讨论M的离散近似问题。应用程序通常基于参数化的族M={Mθ，θ∈ Θ}，表示有限维空间的一个集合。然后，我们可以通过一系列有限集进一步近似Θ，以建立一个数值格式。类似地，在实践中需要对控制值集进行近似。如果相应的近似序列是稠密的，那么数值格式的收敛性仍然成立。我们用在上述证明中使用的技术引理来结束本节。引理3.1。

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能者818

2022-5-11 06:00:07

如果（联合国）≥1是Z×M和（zn，mn）n上的有界函数序列≥1是以Z×M为单位收敛到（Z）的序列o, Mo), thenlim infn→ ∞（h，h）→ （0,0）Kh，hun（zn，mn）≥ 库o（z）o, Mo) , 你在哪里o:= 林恩芬→ ∞（z，m）→ ·un（z，m）和Lim supn→ ∞（h，h）→ （0,0）Kh，hun（zn，mn）≤ 库o（z）o, Mo) , 你在哪里o:= 林尚→ ∞（z，m）→ ·un（z，m）。证据我们首先重写kh，hun（zn，mn）=supa∈AZun，h（z，m）dk（z，m | zn，mn，a）（3.11），其中un，h（z，m）：=[un]h（max（tn+h，t），x，m）。让我们联合起来o,Ho是infn的下半连续斜坡≥No,H≤Ho从（3.11）开始，我们得到，n≥ Noh≤ Ho,Kun，h（锌，锰）≥ 坤o,Ho（zn，mn），通过（3.6），达到极限inf as（n，h）→ (+∞, 0）导程到IM inf（n，h）→(+∞,0）Kun，h（锌，锰）≥ 坤o,Ho（z）o, Mo).此外，联合国o,Ho↑ Uo切中要害。然后通过单调收敛得到所需的结果。引理3.2。让我们≥1是Z×M和deneu上的下半连续映射序列o:= lim-inf（z，m，n）→(·,∞)un（z，m）在z×m上。假设uo是局部有界的。设φbea连续映射并假设（zo, Mo) 是u的严格极小点o- 在Z×M上。然后，我们可以找到[0，T]×Rd的有界开集B和序列（zk，mk，nk）n≥1.B×M×N使得nk→ ∞, （zk，mk）是unk的最小点- 在B×M和（zk，mk，unk（zk，mk））上→ （左宗棠）o, Uo（佐，莫）。证据由于M被假定为局部紧的，因此必须重复[5，p80，引理证明6.1]中的论点。3.3ε-最优控制的构造仍需解释如何推导最优策略。在时间空间网格的每个点（t，x）和每个先前的m，计算（^`（t，x，m），^b（t，x，m））∈ arg maxZvch（z，m）dk（z，m|（t，x），m，（`，b）），（`，b）∈ A..如果vch（t，x，m）等于上述最大值，则我们播放控件（^`（t，x，m），^b（t，x，m）），否则我们等待下一个时间步。这是通常的哲学：只有当这增加了预期收益时，我们才会对系统采取行动。

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2022-5-11 06:00:10

如前所述，在这里，收益不仅应该被视为对当前未来回报的改进，还可以被视为对我们先前的收益的改进，这将导致更好的未来回报。这就产生了一个马尔可夫控制，它对于与我们的数值格式相关的离散时间问题是最优的，对于原始控制问题是渐近最优的。我们将在下一节介绍的玩具示例中使用此算法。4最佳交易的应用本节专门研究两个应用实例。每一个都对应一个理想化的模型，这里的目的不是提出一个好的模型，而是展示我们方法的灵活性，并从数值上说明我们算法的行为。4.1积极订单的直接影响我们首先考虑一个模型，其中考虑发送到市场的每个订单的影响。这意味着αi表示在时间τi，i=0时每i购买的股份数量。这对应于A={0}×B，其中B R+是一组可容许阶数的紧集。因此，我们可以在下面的代码中识别A到B，我们只为A=（0，B）写B∈ A和βiforαi=（`i，βi）。我们的模型可以看作是一个调度模型，也可以看作是一个非流动市场的模型。X的FirstComponent代表股票价格。我们考虑一个简单的线性影响：当βi的大小出现在τi时，股票价格会跳Xθi=Xτi-+ βi（γ+i） /2在哪种情况下∈ R是未知的线性冲击参数(i）我≥1是一系列独立的噪声，遵循标准偏差σ的中心高斯分布.

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2022-5-11 06:00:13

X的动态系数1/2代表50%的即时恢复力。它根据两种交易之间的布朗差异演变，并具有剩余弹性效应：dXt=σdWt+dXt和dXt=-ρXtdt，（4.1），其中σ，ρ>0和X∈ R是常数。过程X表示Xdue向非即时恢复力的漂移，X=0。当交易发生时，它根据toXθi=Xτi跳跃-+ βi（γ+i） /2。我们称之为传播。这是偏离未受影响动态的一部分。描述总成本的第三个组成部分演变为asXθi=Xτi-+ Xτi-βi+（γ+i） βi.最后，最后一个成分用于跟踪累计购买的股票数量：Xθi=Xτi-+ βi.我们对购买N股的成本感兴趣，并将标准最大化-Em[eηL（XT，ν）∧ C] 其中η>0是一个风险规避参数，C>0，and l（XT，ν）：=XT+XT（N- XT）+（ν+)（N）- XT）表示在T将购买的股份总数设置为N后的总成本。如果Γ的先验定律m是高斯分布，那么q（·t，x，b，u）是关于todQ（x | t，x，b）=dxdδx+bx（x）dδx+b（x）dδx+（x）的高斯密度-x）（x）和转换映射m（m；t，x，t，x，b）[C]=RCq（x | t，x，b，u）dm（u）RRq（x | t，x，b，u）dm（u），将高斯分布映射为高斯分布，这在实践中使我们能够将m约束为高斯分布集。更准确地说，如果（mü（τi-), σΓ（τi）-)) 是Mτi的平均值和标准偏差-, 然后，与后验分布MθiareσΓ（θi）=1{σΓ（τi）相对应的值-)6=0}σΓ（τi）-)+σ-,m（θi）=m（τi-)1{σν（τi）-)=0}+Xθi- Xτi-σ+mü（τi）-)σΓ（τi）-){σν（τi）-)6=0}.与上一节的一般结果相比，我们增加了一个边界条件v（t，x，x，N，x）=1，并将Xto的域限制为{0，…，N}。

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2022-5-11 06:00:16

因为这个参数是离散的，所以它不会改变我们一般结果的性质。还要注意的是，映射ψ（t，x，m）=N- 定义在[0，T]×R×{0，…，N}×R×上的xde实际上满足了[4]中提供的条件，以确保假设3.1成立。我们现在讨论一个数值例子。我们考虑30秒的交易和N=25股的购买。我们取η=1，x=100，σ=0.4x，这相当于年波动率为40%。交易周期分为1秒的时间间隔。β阶的大小在{1,2,3,4,5}中。我们取σε=10-4和ρ，如果没有发送新订单，则spreadXis每秒除以3。我们从一个由高斯分布给出的先验知识开始，该分布的平均值为mΓ（0），标准偏差为σv（0）。最后，我们取C=10，这使得这个阈值参数基本上是有效的，同时仍然确保终端条件是有界的。在图1中，我们绘制了σΓ（0）=5.10的最佳策略-4和mv（0）=5.10-2根据（X，X）。显然，差价水平会产生重大影响：当差价水平较大时，最好等到差价水平降低后再发送新订单。这也可以在图2中观察到，图2提供了与初始先验（mv（0）=2.10）相对应的模拟路径-2, συ(0) =-3）：15秒后，算法在发送命令和不执行任何操作之间交替进行，即等待在下一时间步减小排列。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:00:19

在右上角的图表中，我们还可以观察到，初始先验的低平均值与零初始弹性相结合，首先会导致发送一个大小为3的订单，然后先验的平均值会迅速调整到更高的水平，算法会立即变慢。图1：β在时间0s（顶部）、15s（左侧）和25s（右侧）的（X，X）演化，对于（mγ，σγ）=（5.10-2, 5.10-4).图2：β（左上角）、冲击前（圆圈）和冲击后（三角形）的价格（右上角）、m~n（左下角）、σν（右下角）随时间的变化（以秒为单位）。Γ的真值是5。10-2.x轴：以秒为单位的时间。现在让我们考虑ρ=0的情况，即没有动态弹性，交易周期为60秒，N=50。在图3中，我们根据已交易股份的数量Xof和不同时间的先验平均参数Γ提供了最优策略（交易股份的数量）。不出所料，随着优先股的平均值降低，剩余可购买股份的数量增加，该算法更具攻击性。它在时间上相当稳定（比较t=0和t=30），直到最后被迫加速以避免巨大的最终影响成本。与ρ>0的情况相比，它也更具攻击性。假设：我们不能再利用弹性项X的减少，没有理由等待。在图4中，我们提供了（X，α，mγ，σγ）的模拟路径，显示了未知系数γ上的先验知识如何适应不断变化的市场条件。红色虚线和圆圈对应于相同的布朗运动路径和相同的已实现噪声(i）我≥1为黑色实线和十字，但真实参数从5.10更改为-2到5.10-4 5秒后。在冲击之后，它会很快变得更具攻击性，因为之前的版本会适应新的小级别冲击。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:00:23

请注意，总股数是在30秒之前购买的，因此在此日期之后，优先股不再发生变化。在图5中，我们绘制了价值函数的对数减去购买totalshares而不产生影响的成本5.10（类似于执行差额），即利息的差异。图3：α在时间0s（顶部）、30s（左侧）和55s（右侧）的演变（mν，X），对于σΓ=5.10-4.图4：α（顶部）、σγ（左侧）、mγ（右侧）随时间的演化。黑色十字和黑色实线：γ的真实值为5.10-2.红色圆圈和红色虚线：Γ的真实值为5。10-2前5秒，然后跳到5.10秒-4.图5：顶部：ln（v）- 5.10关于（x，m~n）的σΓ=5.10-4和t=0。底部：ln（v）- 5.10关于（x，mγ）=（0,2.10-2） t=0.4.2随机执行时间：应用于使用LimitOrder的策略在本节中，我们考虑一个限价订单交易模型。Xnow代表中间价格（参考价格），在两次交易之间，动态xt=σdWt。（4.2）订单的形式为（`，β），其中`是我们在执行前准备等待的最长时间，而β是发送限价订单的价格。为简单起见，每一支股票相当于购买一股。我们假设执行时间θ服从参数ρ（Γ，Xτ）的指数分布- β），给定时间τ的信息。只有在θ：=τ+`∧ θ.因此，给定φ=（τi，`i，βi）i的阶数≥1，根据toX=Xθion[θi，τi+1）Xθi=Xτi购买的股票数量-+ 1{θi≤`i} 式中，θi:=τi+`i∧θi.每个θi服从参数ρ（Γ，Xτi）的指数分布-βi）给定Fz，m，φτi-. 与前面的模型一样，Xis限制为{0，…，N}。

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2022-5-11 06:00:26

购买股票的总成本xofb具有动态X=Xθion[θi，τi+1）Xθi=Xτi-+ βi{θi≤`i} 。我们想要最大化-E分机[φ]+1.02（北）-XT[φ]+5.10（N-XT[φ]）∧ C,其中1.02是最佳ask（保持不变），5.10是影响系数。这相当于即时清算剩余股份的成本（N- x） +在T。该模型是[2]、[16]、[18]的一个版本，另见[17]。直接计算表明，前一过程M根据toM=Mθion[θi，τi+1）Mθi=M（Mτi）演化-; Zθi，Zτi-, αi）1{θi≤`i} +M（Mτi）-; Zθi，Zτi-, αi）1{θi>`i}，其中m（m；t，x，t，x，l，b）[b]：=RBρ（u，x- b） e-ρ（u，x）-b） tdm（u）RR+ρ（u，x）- b） e-ρ（u，x）-b） tdm（u）暗池策略也可以类似地考虑，在这种情况下，β更愿意描述交易平台的选择图6：Solid:u=0.8。虚线：u=0.3和m（m；t，x，t，x，l，b）[b]：=RBe-ρ（u，x）-b） ldm（u）RR+e-ρ（u，x）-b） ldm（u）适用于所有Borel集b。如果M是有限个Dirac质量的凸包，则可以显式计算与M相关的权重。这里，映射ψ（t，x，m）=N- X说明了[4]中提供的条件，以确保假设3.1成立。我们现在考虑一个数字说明。我们取C=10。时间范围为T=15分钟。为简化起见，我们将参考中间价设为x≡ 1（即σ=0）并限制为`=1，即每分钟发送一个订单。我们取N=10。你可以发送B范围内的限价订单：={0.90,0.92,0.94,0.96,0.98}。至于执行时间的强度，我们使用[16]中的指数形式：ρ（u，x-b） =λ（u）e-20(0.98-b）其中λ（u）=- ln（1）- u）。这意味着在一分钟内以0.98的价格执行的概率是u。订单每分钟发送一次，但我们使用一个时间网格，以便考虑到它可以在最大时间长度之前执行。原始先验由u=0.3和u=0.8的两个狄拉克质量支撑。

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mingdashike22

2022-5-11 06:00:29

相应的一分钟内被执行的概率如图6所示。我们的时间步长相当于15秒，因此，如果前一个命令在最大1分钟时间长度之前执行，控制器每15秒就可以启动一个新命令。在图7中，我们绘制了后一种情况下获得的值函数与1分钟时间步长（在这种情况下，新订单不能在1分钟前重新启动）之间的差异（以对数表示）。显然，提前发布新订单的可能性是一个优势。在图8中，我们绘制了t=0和t=7.5分钟时的最佳策略。正如预期的那样，当Γ=0.8的概率较高时，算法更具攻击性。图7在图9中，我们绘制了一条模拟路径。红色和黑色的线和点对应于手头的随机变量的相同实现，但用于不同的实际值。黑色对应于最有利的情况，在前7.5分钟，红色对应于γ=0.8，在剩余时间，红色对应于γ=0.3。初始先验值为P[Γ=0.8]=9%。同样，该算法很好地适应了对真实参数的冲击。我们还发现，当处于有利情况的先验概率较高时，它更具攻击性。图8：顶部：t=0。底部：t=7.5分钟图9：黑色十字和实线：Γ=0.8。红色圆圈和虚线：在7.5分钟之前和之后，γ=0.8。x轴=以分钟为单位的时间。。参考文献[1]R.阿尔姆格伦和J.洛伦兹。具有每日周期的贝叶斯自适应交易。《交易日志》，1（4）：38-462006。[2] M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。量化金融，8（3）：217-2242008。[3] E.Bacry和J.-F.Muzy。价格和交易高频动态的霍克斯模型。《定量金融》，14（7）：1147-11662014。[4] N.巴拉德尔、B.布沙尔和N.-M。

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2022-5-11 06:00:32

该死。不确定性和贝叶斯参数调整下的最优控制。哈尔预印本，2016年。[5] 巴勒斯。介绍一阶hamilton–jacobi方程的粘性解理论及其应用。汉密尔顿-雅可比方程：近似、数值分析和应用，第49-109页。斯普林格，2013年。[6] G.巴勒斯和P.E.苏加尼迪斯。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。在1990年的《决策与控制》中。，第29届IEEE4会议记录。IEEE，1990年。[7] 本苏桑。部分可观测系统的随机控制。剑桥大学出版社，2004年。[8] B.布查德、M.邓和C.-A.莱哈勒。交易算法的最优控制：一般脉冲控制方法。暹罗金融数学杂志，4:404–4382011。[9] J-P.布乔德。价格影响。《定量金融百科全书》，2010年。[10] X.布罗克曼、E.塞里埃、J.科克尔科伦和J.-P.布沙德。影响不公平市场的缓慢衰退。arXiv预印本arXiv:1407.33902014。[11] F.卡米利和M.法尔肯。差分过程最优控制的近似方案。《数学建模与分析》，29（1）：97-1221995年。[12] 卡米利和雅各布森。积分-偏微分Milton-jacobi-bellman方程的有限元格式。暹罗数值分析杂志，47（4）：2407-24312009。[13] S·德拉特、C·Y·罗伯特和M·罗森鲍姆。从理论流量估算有效价格：布朗-考克斯过程方法。《随机过程及其应用》，123（7）：2603–26192013。[14] T.E.邓肯和B.帕西克·邓肯。连续时间随机系统的自适应控制。国际自适应控制和信号处理杂志，16（5）：327-340，2002年。[15] D·伊斯利和N·M·基弗。

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