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2022-05-11
英文标题:
《Revisiting a Theorem of L.A. Shepp on Optimal Stopping》
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作者:
Philip Ernst and Larry Shepp
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最新提交年份:
2016
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英文摘要:
  Using a bondholder who seeks to determine when to sell his bond as our motivating example, we revisit one of Larry Shepp\'s classical theorems on optimal stopping. We offer a novel proof of Theorem 1 from from \\cite{Shepp}. Our approach is that of guessing the optimal control function and proving its optimality with martingales. Without martingale theory one could hardly prove our guess to be correct.
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中文摘要:
以一个试图决定何时出售债券的债券持有人为例,我们回顾了拉里·谢普关于最优停止的经典定理。我们从{Shepp}给出了定理1的一个新证明。我们的方法是猜测最优控制函数并用鞅证明其最优性。没有鞅理论,人们很难证明我们的猜测是正确的。
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分类信息:

一级分类:Quantitative Finance        数量金融学
二级分类:Mathematical Finance        数学金融学
分类描述:Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法,包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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2022-5-11 06:48:51
重温L.A.SHEPP关于最优停止的一个定理Philip A.ERNST和LARRY A.SHEPPAbstract。以一位试图决定何时出售债券的债券持有人为例,我们重新回顾了拉里·谢普的经典理论之一。我们给出了[7]中定理1的一个新证明。我们的方法是猜测最优控制函数,并用鞅证明其最优性。没有鞅理论,人们很难证明我们的猜测是正确的。1.介绍考虑一个债券持有人,他必须决定何时出售他的债券。每家公司或市政零息票债券都有固定的面值,债券将在未来某个特定时间赎回,债券的交易价值每天都在变化。假设当前的价格或价值高于债券的面值。债券的所有者是否应该出售或持有一段时间,希望债券的价值会高于面值?对于[0,b]期间债券价格的波动,布朗运动的条件是时间0处的当前值和时间b处的面值都是一个简单且数学上有吸引力的模型,因为只有当前值和最终值之间的差异才是重要的,我们可以在不失一般性的情况下,假设时间0处的价格为0,并且-a在最后时间b.债券持有人想知道-a和b应该放弃出售其证券。让我们*a、 b(t)表示普通的b罗文运动过程W(t)条件为W(0)=0和W(b)=-a、 我们想要选择一个销售时间,或最佳停止时间,τ来最大化V*(a,b)=E[W*(τ)]. 假设我们知道V并且相信这个模型,并且V(a(b),b)=0。
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2022-5-11 06:48:54
结果是,如果债券在终止日期前的某个时间b,其价格高于其面值b,那么我们应该立即将其出售。考虑到完全不同伪装下的最优停止问题(事实上,债券清算远远不是当时的当务之急),solution2000数学主题分类。初级60G40;中学91B70。关键词和短语。最优停车;债券持有人;鞅。目前,我们忽略了这样一个事实:这给出了一个不切实际的模型(至少对于零政变债券而言),因为观察到这些债券的交易价格永远不会高于面值。如果零息债券的价格高于面值,大多数消费者永远不会购买。但是,如果他们这样做了,那么这些模型将有助于设定最佳销售价格。2 PHILIP A.ERNST和LARRY A.SHEPPto上一段中定义的最大化问题在[7]中得到了解决!具体来说,本文证明了表达式a(b)中的α值=α√b、 α=0.83992。。根据[7]的作者,后者的证明是“极其密集的”,因为计算是在没有鞅理论的情况下进行的。要理解不使用martinga-le理论解决债券持有人的问题是多么困难,只需看一下[7]中的计算。以债券持有人为例,我们通过猜测最优控制函数,并使用马丁阿尔理论证明其最优性,对[7]中的经典结果进行了新的证明。鼓励读者参考[3],其中详细记录了该策略的动机、原因和成功。2.猜测最优控制函数我们首先要确定a和b的不等式EhW*a、 b(τ)i≤ 0将适用于所有τ。
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2022-5-11 06:48:57
过程是*a、 b(t)可以用t的普通维纳过程W(t)来表示≥ 0通过以下简单公式*a、 b(t)=-at/b+(1)- t/b)W(t/(1)- t/b)。(2.1)我们通过首先注意到质量相对侧的过程是相同的过程来证明等式(2.1)的合理性。这是因为√bW(t/√b) 是一个维纳过程,过程W*在第1节中被定义为Wiener过程条件下的s othat W(1)=0具有零均值和协方差min(s,t)-圣苏西*过程是否与(1)相同-t) W(t/(1)-t) )。这使我们可以用W本身的术语更简单地重申这个问题。实际上,如果我们改变停止时间变量τ=t/(1)- t/b),然后从(2.1)我们得到t=τ/(1+τ/b)和w*a、 b(t)=-a+ba+W(τ)b+τ。(2.2)由于τ在[0]上贯穿所有停止时间,∞) 当t在[0,b]上运行时,我们看到a,b是满足EhW的一对*a、 b(t)i≤ 0当且仅当对于W的所有停止时间τ,我们有v(a,b):=E[a+W(τ)]b+τ≤ab.我们现在转向为所有a,b找到V(a,b)的问题。我们通过猜测开始搜索,遵循与[3]相同的随机优化方法。直观地说,如果a与b相比足够大,即如果a≥ f(b)。同样重要的是,一旦确定f(b),那么最佳停止规则将是在a+W(t)的第一时间t停止≥ f(b+t)。这是因为时间t的问题与时间0的问题相同,只是不同的值(a,b),即(a+W(t),b+t)。未知函数a=f(b)是我们必须找到的自由边界。同样清楚的是,如果我们在t=0时退出,即a≥ 当V(A,b)=A/b.如果A<f(b),那么我们必须继续采样或观察理论,并且我们必须在很短的时间内得到V(A,b)。=E[V(a+W(h),b+h)]。
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2022-5-11 06:49:01
(2.3)我们可以在时间0停止进程,也可以让进程运行一小段时间并重新评估。如果我们做后者,那么假设V(a,b)在a中是两次可微的,在b中是一次可微的,我们可以在泰勒级数中展开V,并使用它^o演算得到V(a,b)=EV(a,b)+V(a,b)W(h)+1/2v(a,b)W(h)+V(a,b)h+o(h).(2.4)由于E[W(h)]=0和EW(h)= h、 我们可以减去V(a,b),然后用手除以h→ 这样,我们得到,如果(a,b)是我们继续的点,那么我们必须有以下偏微分方程:0=V(a,b)+V(a,b)。(2.5)再次回顾,我们仍然只是试探性地尝试猜测正确的f。由于W的性质是布朗运动过程在时间的重标度下呈二次标度,即W(t)~√bW′(t/b),其中W′是另一个布朗运动,我们可以写为(a,b)=supτE“ab+W(τ)b1+τb#=√bsupτa√b+W′(τ)1+τ=√bVA.√b、 一,, (2.6)τ/b贯穿所有停车时间。这意味着v(a,b)=(1/√bh)(a)/√b) 对于一些h(x)=V(x,1)。如果将其代入(2.5)中的偏微分方程,我们得到函数h的一个有序微分方程。这使我们更接近我们的解。his的h′(u)=uh′(u)+h(u)的一般微分方程。这个普通微分方程有两个线性相关解,h(u)=e1/2U和h(u)=R∞eλu-λ/2dλ。后一种表达式称为抛物线柱面函数(惠特克函数)。一般微分方程的每一个解都必须是这些解的线性组合。第一种解决方案不适合大u,因为它增长太快。我们放弃它(同样,这是我们的权利,因为我们只是猜测)。另一个解决方案就是我们想要的。h的m表示自由基isf(b)=c√b、 对于一些c。
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2022-5-11 06:49:04
仍然需要确定普通微分方程第二个解的常数乘数和c的值。到目前为止,我们有猜测v(a,b)=BZ∞eλa-λb/2dλ,a<c√b、 (2.7)这必须在边界a=c处与a/b保持一致√b、 这很容易产生两个方程(零和一阶导数的连续性),它们唯一地确定常数b和c。这给了我们一个猜测,我们将其表示为^V,如4 PHILIP A.ERNST和LARRY A.SHEPP^V(A,b)=(1)- α) Z∞eλa-λb/2dλ,a<α√b、 (2.8)式中α=0.83992。是超越方程α=(1)的唯一根- α) Z∞eλα-1/2λdλ。(2.9)3. 证明我们的猜测是正确的定理3.1。上面等式(2.8)中的^V给出了正确答案,即V≡^V。证据我们用超鞅不等式来证明V≤^V。定义过程t=^V(a+Wt,b+t),其中^V的定义如上述猜测所示。如果a>α,可以很容易地检查Y是期望值递减的,E[dYt]<0√如果a<a,那么E[dYt]=0√b、 因此Y总是期望值递减,E[dYt]≤ 所以对于任何停止时间τ,我们有E[Yτ]≤ E[Y]。也很容易检查^V(a,b)≥ a/b对于所有的a和b,所以我们有,对于任何停止时间τthatEa+W(τ)b+τ≤ Eh^V(a+W(τ),b+τ)i=E[Yτ]≤ E[Y]=^V(a,b)(3.1),通过对V的定义,这适用于每个τ,因此V(a,b)≤^V(a,b),对于所有a和b。很容易看出,对于停车时间τ,定义为第一个t,其中cha+W(t)=α√b+t的平等性贯穿始终。因为这是一个合法的停车时间,我们有V≡^V,完成证明。因此,我们得出结论,当且仅当当前价值至少为α时,才应出售债券√其中,b是赎回前的时间。这是一个合理的策略,已经付诸实践;见[2]。进一步的相关文献包括[6]、[4]和[5]。备注3.2。
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