对价格风险和非执行风险组合的风险厌恶程度越高，买卖价差就越大，因为做市商希望避免持有大量库存（绝对值）。就倾斜而言，只有第二个影响是重要的。等式（4.9）证实了这一点，我们看到绝对值的偏差随着γ和ξ=γ的增加而增加。比较静力学对于理解模型中不同参数所起的作用总是很有趣的。在这里，我们对几乎闭式近似和闭式近似进行了比较静力学，而不是对原始的最优买卖报价进行了比较静力学，这些报价只能通过数值计算。我们将在第6节中看到实际临时报价和询价报价与本节中提出的近似值之间的差异。5多资产做市策略在大多数关于做市的学术文献中，只有单一资产做市策略被归类。然而，在实践中，做市商通常负责一本包含多个资产的书。另一个例子是公司债券，因为同一家公司通常发行几十种债券，而同一个做市商负责所有这些债券。因此，特定债券的最佳报价不应取决于做市商在该债券中的库存，而应取决于整个债券组合相对于发行人的风险收益。特别是，当做市商在一项资产中拥有较短的库存，而在另一项资产中拥有几乎相当长的库存，且与第一项资产高度相关时，他可能没有理由扭曲这两项资产的报价，这与单一资产做市模型的建议相反。在本节中，我们将我们的做市商模型推广到多资产情况。

特别地，我们得到了多资产做市商最优报价的闭式近似。特别是，在指数强度的情况下，实际的买卖价差并不独立于q.5.1建模框架和符号。我们认为是负责d资产的做市商。因为我∈ {1，…，d}，资产i的参考价格由两个过程（Sit）建模，其中（Wt，…，Wdt）是一个与过滤（Ft）t相适应的d维布朗运动∈R+，具有非奇异相关矩阵。我们用∑=（ρi，jσiσj）1表示≤i、 j≤d、 与过程（St）t=（St，…，Sdt）t相关的方差协方差矩阵。该做市商提出买入和卖出d资产的买入和卖出报价。这些bid和askquotes由2d随机过程建模，分别表示为（S1，bt）t，（Sd，bt）和（S1，at）t，（Sd，at）t。在单一资产的情况下，我们用（Ni，bt）和（Ni，at）t来表示每个i∈ {1，…，d}，这两个点过程分别为资产i的出价和出价交易数量建模。我们假设资产i是交易的路过尤尼斯。因此，由d维过程（qt）t=（qt，…，qdt）t建模的做市商库存具有以下动态：我∈ {1，…，d}，dqit=英国电信idNi- idNi，at，qigive。（5.2）我们假设过程（N1，bt，…，Nd，bt）和（N1，at，…，Nd，at）皮重与布朗运动（Wt，…，Wdt）t无关∈ {1，…，d}，我们分别用（Ni，bt）和（Ni，at）t的（λi，bt）和（λi，at）t强度过程来表示。

我们假设（λi，bt）和（λi，at）t检验λi，bt=λi，b（δi，bt）1qit-<qindλi，at=λi，a（δi，at）1qit->-Qi，（5.3）式中δi，bt=Sit- Si，bt和δi，at=Si，at- 其中∧i，带∧i，a是满足以下假设的两个函数：o带∧i，带∧i，a是两次连续可微的，o带∧i，带∧i，a是递减的，带δ ∈ R、 ∧i，b（δ）<0和∧i，a（δ）<0，olimδ→+∞λi，b（δ）=limδ→+∞Δi，a（δ）=0，osupΔi，b（δ）i，b（δ）（Δi，b（δ））<2和supΔi，a（δ）i，a（δ）（Δi，a（δ））<2。最后，对做市商的现金账户进行建模的过程（Xt）在艾德尼，在- 是的，英国电信idNi，bt=dXi=1（Sit+δi，at）艾德尼，在- （坐下- δi，bt）idNi，bt.（5.4）在模型A的d维推广中，问题在于最大化“- 经验-γXT+dXi=1qiTSiT- `d（qT，…，qdT），（模型A）超过（δ1，bt，…，δd，bt）t∈ Adand（δ1，at，…，δd，at）t∈ Ad，其中\'dis是一个惩罚函数。在模型B的d维推广中，问题在于最大化XT+dXi=1qiTSiT- `d（qT，…，qdT）-γZTdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqitqjdt, （模型B）在（δ1，bt，…，δd，bt）t上∈ Adand（δ1，at，…，δd，bt）t∈ Ad.5.2对于普通微分方程的一般系统，为了解决模型a和模型B的两个随机最优控制问题，我们使用了与第3节类似的变量变化。特别是，我们表明，在这两个模型中找到价值函数（以及最优报价和询价）归结为求解一个常微分方程组，并且，与单一资产情况一样，与模型a和模型B相关的方程属于同一个常微分方程组。与模型A相关的HJB方程由0=-图（t，x，q，S）-dXi=1dXj=1ρi，jσiσj西斯朱（t，x，q，S）（5.5）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）u（t，x）- iSi+iδi，b，q+iei，S）- u（t，x，q，S）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）u（t，x+iSi+iδi，a，q- iei，S）- u（t，x，q，S）,对于我∈ {1, . . .

，d}，齐∈ 齐={-气，-齐+我气- i、 Qi}，和（t，S，x）∈ [0，T]×Rd×R，终端条件u（T，x，q，S）=- 经验-γx+dXi=1qiSi- `d（q，…，qd）！！。（5.6）如果一个人使用Ansazi（t，x，q，S）=- 经验-γx+dXi=1qiSi+θ（t，q）！！，（5.7）然后等式（5.5）变成0=-tθ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.8）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）γ1.- 经验-γiδi，b+θ（t，q+iei）- θ（t，q）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）γ1.- 经验-γiδi，a+θ（t，q）- iei）- θ（t，q）,我们用（e，…，ed）表示Rd的规范基我∈ {1，…，d}，齐∈ 齐和t∈ [0，T]，终端条件（5.6）变成θ（T，q）=-`d（q，…，qd）。与模型B相关的HJB方程由0=-tu（t，x，q，S）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.9）-dXi=1dXj=1ρi，jσiσjSiSju（t，x，q，S）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）u（t，x）- iSi+iδi，b，q+iei，S）- u（t，x，q，S）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）u（t，x+iSi+iδi，a，q- iei，S）- u（t，x，q，S）,对于我∈ {1，…，d}，齐∈ 钱德（t、S、x）∈ [0，T]×Rd×R，终端条件u（T，x，q，S）=x+dXi=1qiSi- `d（q，…，qd）。（5.10）如果使用Ansazi（t，x，q，S）=x+dXi=1qiSi+θ（t，q），（5.11），则等式（5.9）变为0=-tθ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.12）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）iδi，b+θ（t，q+iei）- θ（t，q）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）iδi，a+θ（t，q）- iei）- θ（t，q）,对于我∈ {1，…，d}，齐∈ 齐和t∈ [0，T]，终端条件（5.10）变成θ（T，q）=-`d（q，…，qd）。与单一资产的情况一样，Eqs。（5.8）和（5.12）实际上是属于同一家族的两种颂歌体系。

让我们引入ξ>0的函数shi，bξ（p）=supΔ∧i，b（δ）ξ1.- 经验-ξi（δ）- p）andHi，aξ（p）=supΔ∧i，a（δ）ξ1.- 经验-ξi（δ）- p）,极限函数（ξ=0）Hi，b（p）=isupΔ∧i，b（δ）（δ- p） ，andHi，a（p）=isupΔ∧i，a（δ）（δ- p） 。然后，我们可以考虑一般方程0=-tθ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.13）-dXi=1qi<QiHi，bξθ（t，q）- θ（t，q+iei）我-dXi=1qi>-嗨，aξθ（t，q）- θ（t，q）- iei）我,对于我∈ {1，…，d}，齐∈ 齐和t∈ [0，T]，终端条件θ（T，q）=-`d（q，…，qd）。（5.14）对于ξ=γ，等式（5.8）对应于等式（5.13），而对于ξ=0.5.3，等式（5.12）对应于等式（5.13）。做市问题的解决方案为了描述我们的多资产做市模型中的最优报价，我们按照单资产的情况进行。特别是，我们首先证明存在等式（5.13）的解和终端条件（5.14）。定理5.1。存在唯一的函数θ：[0，T]×Qdi=1Qi→ R、 Cin时间，等式（5.13）的解与终端条件（5.14）。证据带有终端条件（5.14）的等式（5.13）是一个反向柯西问题。因为函数shi，bξ和Hi，aξ是所有i类的函数∈ {1，…，d}，柯西-利普希茨理论适用，并且存在τ∈ [0，T）和函数θ：（τ，T]×Qdi=1Qi→ R、 Cin时间，等式（5.13）在（τ，T）上的解，终端条件（5.14）。Q∈Qdi=1Qi，函数t∈ （τ，T]7→ θ（t，q）+γPdi=1Pdj=1ρi，jσiσjqiqj（t-t） 是一个递减函数。因此，在[0，T]上没有全局解决方案的唯一原因是因为UPQ∈Qdi=1Qiθ（t，q）在τ>0时爆炸。

然而，通过使用类似于引理3.2的比较原理，我们很容易看到这一点∈Qdi=1Qiθ（t，q）≤dXi=1（Hi，bξ（0）+Hi，aξ（0））（T- t） 。因此，supq∈Qdi=1Qiθ（t，q）不能在有限时间内爆炸，而θ实际上是在[0，t]×Qdi=1Qi上定义的。柯西-利普希茨定理的唯一性由此而来。我们现在准备陈述模型A和模型B中描述最优报价的两个定理。这些结果的证明基于验证参数，并且（经过修改）与单一资产情况下的结果相同。让我们从模型A开始。定理5.2。让我们考虑等式（5.13）的解θ，终端条件（5.14）为ξ=γ。然后，u：（t，x，q，S）7→ - 经验(-γ（x+Pdi=1qiSi+θ（t，q）））定义等式（5.5）的一个解，其终端条件为（5.6），且u（t，x，q，S）=sup（δ1，bs，…，δd，bs）S≥t、 （δ1，as，…，δd，as）s≥T∈A（t）dE“- 经验- γXt，x，δb，δaT+dXi=1qi，t，qi，δb，δaTSi，t，SiT-`d（q1，t，q，δb，δaT，…，qd，t，qd，δb，δaT），哪里我∈ {1，…，d}，dSi，t，Sis=σidWis，Si，t，Sit=Si，dXt，x，δb，δas=dXi=1（Sis+δi，as）idNi，as- （姐姐- δi，bs）idNi，bs，Xt，x，δb，δat=x，我∈ {1，…，d}，dqi，t，qi，δb，δas=艾德尼，英国学士- idNi，as，qi，t，qi，δb，δat=qi，其中我∈ {1，…，d}，点处理Ni，带Ni，a have随机强度（λi，bs）和（λi，as）由λi驱动，bs=λi，b（δi，bs）1qis-<qindλi，as=λi，a（δi，as）1qis->-气。因为我∈ {1，…，d}，最佳出价和询问报价Si，bt=Sit- δi，b*t（代表qit）-< Qi）和Si，at=Sit+δi，a*t（代表qit）-> -Qi）的特征是δi，b*t=δi，b*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ iei）我δi，a*t=δi，a*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- iei）我,（5.15）其中函数δi，b*γ（·）和δi，a*γ（·）由△i，b定义*γ（p）=∧i，b-1γHi，bγ（p）-嗨，bγ（p）我δi，a*γ（p）=∧i，a-1γHi，aγ（p）-嗨，aγ（p）我对于模型B，结果如下：定理5.3。让我们考虑方程的解θ。

（5.13），终端条件（5.14）为ξ=0。然后，u：（t，x，q，S）7→ x+Pdi=1qiSi+θ（t，q）定义了等式（5.9）的一个解，其终端条件为（5.10），u（t，x，q，S）=sup（δ1，bs，…，δd，bs）S≥t、 （δ1，as，…，δd，as）s≥T∈A（t）dE“Xt，x，δb，δaT+dXi=1qi，t，qi，δb，δaTSi，t，SiT-`d（q1，t，q，δb，δaT，…，qd，t，qd，δb，δaT）-γZTdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqi，t，qi，δb，δatqj，t，qj，δb，δatdt#，其中：我∈ {1，…，d}，dSi，t，Sis=σidWis，Si，t，Sit=Si，dXt，x，δb，δas=dXi=1（Sis+δi，as）idNi，as- （姐姐- δi，bs）idNi，bs，Xt，x，δb，δat=x，我∈ {1，…，d}，dqi，t，qi，δb，δas=艾德尼，英国学士- idNi，as，qi，t，qi，δb，δat=qi，其中我∈ {1，…，d}，点处理Ni，带Ni，a have随机强度（λi，bs）和（λi，as）由λi驱动，bs=λi，b（δi，bs）1qis-<qindλi，as=λi，a（δi，as）1qis->-气。因为我∈ {1，…，d}，最佳出价和询问报价Si，bt=Sit- δi，b*t（代表qit）-< Qi）和Si，at=Sit+δi，a*t（代表qit）-> -Qi）的特征是δi，b*t=δi，b*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ iei）我δi，a*t=δi，a*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- iei）我,（5.16）其中函数δi，b*（·）和δi，a*（·）定义为△i，b*（p） =λi，b-1.-嗨，b（p）我δi，a*（p） =λi，a-1.-嗨，a（p）我5.4关于闭式近似在单一资产的情况下，在∧b=∧a=：和Hξ（0）>0的特殊情况下，在第4节中获得了闭式近似。在多资产的情况下，如果我们假设我∈ {1，…，d}，λi，b=λi，a=：λi，和Hiξ（0）>0，那么很自然地想知道是否可以使用相同的技术来获得闭式近似。事实上，用于推导封闭形式近似值的变量的变化在高于1维的情况下通常不起作用。然而，将等式（5.13）转换为等式（4.1）的多维等价物的想法能够在不使用Hopf-Cole变换的情况下获得结果，即不依赖等式的多维等价物。

(4.2).按照与第4节相同的推理，我们确实可以引入PDE0=-t~θ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj- 2dXi=1Hiξ（0）-dXi=1Hiξ（0）(qi∧θ（t，q））+iHiξ（0）qiqiθ（t，q），（5.17）与最终条件θ（t，q，…，qd）=-`d（q，…，qd）。在`d（q，…，qd）=Pdi=1Pdj=1ai，jqiqjj和（ai，j）i，ja对称正矩阵的情况下，很容易看出，方程（5.17）可以通过使用ansatzθ（t，q）=θ（t）以闭合形式求解- qθ（t）q，其中θ（t）是d×d对称矩阵（见附文[9]）。特别是，我们在[9]中展示了θ（t）检验：θ（t）→T→+∞rγΓ，最近，在非对称强度的情况下也发现了闭合形式近似——见[9]。式中Γ=D-D∑DD-, D=Hξ（0）0。00小时ξ（0）。0............0 0 . . . Hdξ（0）.因此，我们可以考虑近似θ（t，q）- θ（t，q+iei）我是γΓii2qi+i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqj和θ（t，q）- θ（t，q）- iei）我很高兴-rγΓii2qi- i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqj.这些近似值可以插入等式中。（5.15）和（5.16）以获得一般近似公式δi，b*t’δi，b*大约（夸脱）-) :=~δi*ξrγΓii2qit-+ i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqjt-（5.18）和δi，a*t’δi，a*大约（夸脱）-) :=~δi*ξ-rγΓii2qit-- i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqjt-, （5.19）式中△i*ξ（p）=∧i-1ξHiξ（p）-Hiξ（p）我（5.20）这些近似公式很有趣，因为我们看到了矩阵Γ的非对角项产生的交叉效应。6应用：两个信用指标的情况在本节中，我们将我们的单资产和多资产做市模型，以及相关的闭式近似，应用于两个信用（或CDS）指数的情况：投资等级（IG）指数CDX。娜娜。IG和高产（HY）指数CDX。娜娜。嗨。

我们考虑的是负责为这两个指数提出报价和询价的做市商，在本节中，我们将假设该做市商只关心利差风险，而不关心违约风险——这一假设总是由做市商固定收益和信贷工具的从业者提出的。在不深入这些指数的细节的情况下，我们需要详细说明它们的主要财务特征。基本上，对于IG指数，保护买家每季度（在固定日期以便于补偿）支付一张对应于100个基点的年化利率的息票，并预付一笔金额（正或负），对应于市场确定的预付利率（正或负）。在实践中，对于做市商来说，预付利率是theSee www.markit。com获取更多详细信息。相关变量，因为指数上的往返导致PnL对应于预付利率之间的差异（乘以交易的名义价值）。然而，在实践中，这个指数是在价差中引用的——这个价差是使用基本的CDS模型计算的。对于HY指数，保护买方每季度（在固定日期）支付一张与500个基点的年利率相对应的息票，并预付一笔与市场确定的预付利率（正或负）相对应的金额（正或负）。与IG指数不同，HYindex是以预付费率报价的，或者更准确地说是100（1）- 预付费用）。值得注意的是，在实践中，购买IG指数意味着购买保护，而购买HY指数意味着出售保护。为了简化展览，我们将考虑购买总是意味着购买保护，指数报价是预付价格。

使用basicCDS模型可以轻松地将我们的数值结果转换为市场标准报价。为了将我们的模型应用于这些信用指数，我们首先需要估计不同参数的值。这要归功于法国巴黎银行提供的数据，该数据是欧洲金融研究所资助的研究计划“新移民向失地移民的流动性问题”的框架。为了估算波动性和相关参数σIG、σHY和ρ，考虑了中间价格（此处的价格为预付价格）。对于强度函数，考虑了指数强度，并使用经典的似然最大化技术，使用银行公布的实际报价以及银行与其他市场参与者之间发生的交易，估计了参数AIG、kIG、AHY和KHY。如果我们认为这两种理论资产分别对应于每个指数的1美元，那么参数值如下（四舍五入）：IG指数HY指数σ（$.s-) σIG=5.83·10-6σHY=2.15·10-5ρρ=0.9A（s-1） AIG=9.10·10-4AHY=1.06·10-3k($-1） kIG=1.79·10kHY=5.47·10关于订单大小，我们考虑订单大小IG=IG指数为5000万美元，订单规模为HY=HY指数1000万美元。就风险规避而言，我们考虑参考值γ=6·10-5$-1.关于风险限额，我们认为IG=QHYHY=4。最后，我们总是考虑最终时间T=7200秒，相当于2小时。我们将在下面的例子中看到，在不到两个小时的时间内，很快就达到了渐近状态。首先，我们可以单独考虑IG指数的情况。

我们用隐式格式和牛顿法在每个时间步长上逼近常微分方程组（3.9）的解θ来处理非线性。然后我们得到了反馈控制函数（t，qIG）7→ （δIG，b（t，qIG），δIG，a（t，qIG））估计期为2016年上半年。当qIGt-= 秋。我们在图1中看到，在不到1小时的时间内就达到了渐近状态。图1:T7→ δIG，b（t，qIG）在模型A中表示不同的qIG值。在图2和图3中，我们绘制了IG指数的买入和卖出报价的初始值（即渐近值），当在独立基础上考虑时，使用模型A获得。我们看到做市商在出价时保守地报价，在卖空时积极地报价，反之，他在卖空时保守地报价，在出价时积极地报价。图2:qIG7→ δIG，b（0，qIG）（交叉）和通过公式（4.6）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型A的情况下。事实上，参考价格和实际报价之间的差异，如本文其余部分所示。图3:qIG7→ δIG，a（0，qIG）（交叉）和通过等式（4.7）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型a的情况下。我们还发现闭合形式近似值对于较小的库存值（绝对值）是令人满意的，但对于较大的值更值得怀疑。

特别是，最优报价并不像封闭形式近似所表明的那样是库存的有效函数。图4和图5中还可以看到通过对常微分方程组的解进行数值近似而获得的实际值与封闭形式近似值之间的差异，它们代表了市场庄家最佳报价的买卖价差和偏差。买卖价差确实不是常数，在我们的例子中，偏差不是线性的。图4:qIG7→ δIG，b（0，qIG）+δIG，a（0，qIG）（交叉）和通过等式（4.8）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型a的情况下。图5:qIG7→ δIG，b（0，qIG）- δIG，a（0，qIG）（交叉）和通过等式（4.9）获得的相关封闭式近似值（线）——在模型a的情况下。然而，如果我们考虑波动性较小的市场条件，那么封闭式近似值要好得多——参见图6和图7，其中我们计算了σIG除以2的最优买入和卖出报价（在模型a中）。因此，近似值的质量在很大程度上取决于所考虑的市场和市场环境。为了在这两种方法之间做出选择，实践者必须深入理解准确性和计算时间之间的权衡（尤其是当有数百种资产时）。图6:qIG7→ δIG，b（0，qIG）（交叉）和由等式（4.6）获得的相关闭合形式近似值（直线）——对于模型A，当σIGis减少一半时。图7:qIG7→ δIG，a（0，qIG）（交叉）和由等式（4.7）获得的相关闭合形式近似值（线）——对于模型a，当σIGis减少一半时。到目前为止，在本节中，我们只考虑了模型A中的最佳报价。我们在图8和图9中看到，两个模型之间的差异实际上非常小。

换句话说，尽管模型B忽略了部分风险（或者更准确地说是对部分风险的厌恶），但它构成了模型A非常有趣的简化。图8:qIG7→ δIG，b（0，qIG）在模型A（交叉）和qIG7中→ 模型b（圆）中的δIG，b（0，qIG）。图9:qIG7→ δIG，a（0，qIG）在模型a（交叉）和qIG7中→ 模型B（圆）中的δIG，a（0，qIG）。现在让我们来看看HY指数的情况。与IG指数一样，我们通过在每个时间步使用隐式格式和牛顿方法来处理非线性，来逼近常微分方程组（3.9）的解θ。然后我们得到了反馈控制函数（t，qHY）7→ （δHY，b（t，qHY），δHY，a（t，qHY）），当qHYt-= qHY。我们在图10中看到，在将近1小时后达到渐近状态。图10:T7→ 模型A中的δHY，b（t，qHY）表示不同的qHY值。在图11和图12中，我们绘制了HY指数的买入和卖出报价的初始值（即渐近值），当单独考虑时，使用模型A获得。综上所述，我们看到做市商在做市时报价保守，在做多时报价积极，反之，在做空时报价保守，在做空时报价积极。我们还发现，闭式近似仅适用于较小的库存值（绝对值）。图11:qHY7→ δHY，b（0，qHY）（交叉）和用等式（4.6）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型A的情况下。图12:qHY7→ δHY，a（0，qHY）（交叉）和通过等式（4.7）获得的相关闭式近似值（线）——在模型a的情况下。实际值和闭式近似值之间的差异也可以在图13和图14中看到，图13和图14代表了做市商最优报价的买卖价差和偏差。

买卖价差确实不是常数，在我们的例子中，偏差不是线性的。图13:qHY7→ δHY，b（0，qHY）+δHY，a（0，qHY）（交叉）和通过等式（4.8）获得的相关闭合形式近似（线）——在模型a的情况下。图14:qHY7→ δHY，b（0，qHY）- δHY，a（0，qHY）（交叉）和通过公式（4.9）获得的相关闭合形式近似（线）——在模型a的情况下。就模型a和模型B之间的比较而言，我们在图15和16中看到，两个模型之间的差异非常小，就像IG指数的情况一样。图15:qHY7→ 模型A（交叉）和qHY7中的δHY，b（0，qHY）→ 模型b（圆）中的δHY，b（0，qHY）。图16:qHY7→ 模型a（交叉）和qHY7中的δHY，a（0，qHY）→ 模型B（圆）中的δHY，a（0，qHY）。现在，我们可以将这两个指数放在一起考虑，同时考察相关性对多个资产市场形成的影响。我们用隐式格式和牛顿法在每个时间步逼近常微分方程组（5.13）的解θ来处理非线性。然后我们得到了反馈控制函数（t，qIG，qHY）7→ （δIG，b（t，qIG，qHY），δIG，a（t，qIG，qHY），δHY，b（t，qIG，qHY），δHY，a（t，qIG，qHY）），当qIGt-= 奇甘迪特-= qHY。在图17和图18中，我们绘制了这两个指数的最佳报价。我们发现做市商在两个指数上的库存都会影响他的报价。

因为相关系数是正的，（qIG，qHY）7→ δIG，b（0，qIG，qHY）和（qIG，qHY）7→ δHY，b（0，qIG，qHY）在qIGand和qHY中增加。图17：（qIG，qHY）7→ δIG，b（0，qIG，qHY）–在模型A的情况下。图18：（qIG，qHY）7→ δHY，b（0，qIG，qHY）–在模型A的情况下，结果与ask报价的结果相似，经过必要的修改后，不会显示。图19:qIG7→ δHY，b（0，qIG，0），对于不同的ρ值。ρ=0.9（十字）、ρ=0.6（圆）、ρ=0.3（星）和ρ=0（点）。为了了解相关性的影响，我们还计算了相关性参数ρ的四个值的最佳引号∈ {0, 0.3, 0.6, 0.9}. 图19表示，对于这些不同的ρ值，当与HY指数相关的存货等于0时，HY指数的投标报价δHY，b（0，qIG，0），以及与IG指数相关的存货的不同值。我们发现相关性系数对最优报价有很大的影响：两种资产的相关性越大，做市商在另一种资产中有长（短）存货时，报价就越保守（分别积极）。结论在本文中，我们考虑了一个具有一般强度函数的la Avellaneda Stoikov框架，并证明了对于文献中使用的不同优化标准，问题的维数可以除以2。我们还展示了如何找到最优报价的闭式近似，从而将盖特-莱哈勒-费尔南德斯塔皮亚公式（许多业内人士使用）推广到文献中使用的两种目标函数和几乎任何强度函数。我们还将我们的模型推广到多资产的情况，并说明了考虑资产之间相关性的重要性。

特别是，我们推导出了多资产市场制造商最优报价的闭式近似，这对于有时无法解决数十或数百个非线性常微分方程系统的从业者来说是一个重大突破。我们考虑的信用指数的简单应用证实了多资产框架的重要性。在重要的法国海萨姆大学卓越实验室工作人员国际会议（aétéréalisédans le Brancher du Laboratoroire d\'excellence ReFi portépar heSam Université，portant la rérence ANR-10-LABX-0095）上展示研究结果获得了财政支持。这是巴黎新大道重要的法国投资项目国家研究所顾问的工作，ANR-11-IDEX-0006-02。参考文献[1]M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。量化金融，8（3）：217-2242008。[2] 贝拉克塔尔和卢德科夫斯基。在有控制强度的限制订单簿中进行清算。《数学金融》，24（4）：627–650，2014年。[3] H.Brezis泛函分析、Sobolev空间和偏微分方程。SpringerScience&Business Media，2010年。[4] 'A. Cartea，R.Donnelly和S.Jaimungal。具有模型不确定性的算法交易。可通过SSRN 23106452013获得。[5] 'A. Cartea和S.Jaimungal。风险度量和高频交易策略的微调。《数学金融》，25（3）：576-6112013。[6] 'A. Cartea、S.Jaimungal和J.Ricci。低买高卖：高频交易视角。暹罗金融数学杂志，5（1）：415–4442014。[7] 'A. Cartea、S.Jaimungal和J.Penalva。算法和高频交易。剑桥大学出版社，2015年。[8] R.唐纳利。算法和高频交易中的模糊厌恶。博士论文，2014年。[9] D.伊万杰利斯塔，O.盖恩特D.维埃拉。多资产做市中新的封闭形式近似。

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