最优做市商 - 外文文献专区

2022-5-11 07:02:14

然而，由于做市商的确切角色取决于所考虑的市场，因此给出准确的定义很复杂。此外，由于大多数市场的电子化，以及其中许多市场出现了高频交易，做市商的定义近年来变得模糊。在大多数订单驱动的市场上，比如许多股票市场，现在有几种市场庄家。首先，有“官方”做市商（实际上是做市商公司）：*这项研究得到了法国巴黎银行在欧洲金融研究所支持下资助的研究倡议“新贸易政策的缺陷问题”的支持。作者要感谢菲利普·阿姆泽莱克（法国巴黎银行）、劳伦特·卡莱尔（法国巴黎银行）、阿尔瓦罗·卡提亚（牛津大学）、戴维·埃万杰利斯塔（考斯特）、方宇云（法国巴黎银行）、詹达维德·费尔马尼安（恩萨和克雷斯特）、若金·费尔南德斯·塔皮亚（皮埃尔和玛丽·居里大学）、塞巴斯蒂安杰穆加尔（多伦多大学）、让·米歇尔·拉斯利（巴黎科学和文学），查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CapitalFund Management）、皮埃尔·路易·利昂（Pierre Louis Lions）（法国学院）、江普（欧洲金融学院）、安德烈塞尔扬托夫（法国巴黎银行）、弗拉基米尔·瓦西里耶夫（法国巴黎银行）和道格拉斯·维埃拉（帝国理工学院）与他们就这一主题进行了讨论。+应用数学教授。巴黎大学索邦分校。拉索尔邦经济中心。法国巴黎75013号洛比塔尔大道106号。作者最初与ENSAE and Crest（法国马拉科塞德克斯92245号皮埃尔·拉鲁斯大道3号）合作。电子邮件：奥利维尔。gueant@univ-巴黎1。这些做市商通常与特定交易所或特定公司签订协议，以维持公平有序的市场。

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mingdashike22

2022-5-11 07:02:17

纽约证券交易所的指定做市商（DMM）接替了市场专家，就是这种“官方”做市商的例子。他们通常有合同义务，例如参与开盘和收盘拍卖和/或以合理的买卖价差报价——例如，DMM必须在规定的时间百分比内报价国家最佳出价和出价（NBBO）。除了这些“官方”做市商外，股票市场的其他市场参与者，尤其是一些高频交易者，通常被视为做市商（Menkveld在[20]中称之为新做市商），因为他们几乎连续出现在有限订单的两侧。他们是流动性提供者，尽管他们没有义务这么做：他们只是试图从高频做市策略中赚钱。大多数订单驱动市场的电子化使得交易公司有可能充当流动性提供者，因此“做市商”的定义变得模糊。在报价驱动的市场上，如公司债券市场，做市商是交易商（这些市场通常也称为“交易商市场”）。这些交易商通过定期报价向其他市场参与者（“客户”）提供流动性。然而，它们的确切行为取决于所考虑的市场。在一些市场上，经销商的报价是实盘报价，而在其他市场上，报价仅用于提供信息（以及特定的规模/概念），并在经销商回答特定请求时具有约束力。在本文中，我们认为做市商是一个人（或实际上是一个算法），他/她/它准备好购买或出售一个或多个资产时提出价格。特别是，我们不考虑任何合同约束，我们假设所有报价都是固定报价（对于给定的固定规模）。

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可人4

2022-5-11 07:02:21

我们考虑的问题是确定做市商在出价时应该提出的最佳报价，以及在降低库存风险的同时赚钱的努力。从定量的角度来看，这个问题是一个复杂的问题，既有静态的，也有动态的。做市商确实面临着一种典型的静态交易：高利润率和低交易量。低利润和高交易量。报价价差较大（无偏差）的做市商很少交易，但每笔交易都会带来较大的按市值计价（MtM）收益。相反，一个做市商引用一个狭窄的价差（没有偏差）经常交易，但每次交易都会导致一个小的MtM收益。除了这种静态交易效应，做市商还面临一个动态问题：他们必须动态调整报价，以减少价格变动的风险。例如，一个拥有长期库存的单一资产做市商应该在买入端保守定价，在卖出端积极定价，因为他希望降低买入概率，增加卖出概率。对称地说，如果他库存不足，那么他应该在出价方积极定价，在要价方保守定价。与几乎所有关于做市商的数学文献一样，我们以一种简单的方式来考虑单个做市商的问题：（i）市场价格由假设为做市商行为外生的随机过程建模，以及（ii）市场庄家以其报价买入（分别卖出）证券的概率这些市场价格的确切性质取决于所考虑的市场。对于大多数订单驱动市场（如大多数股票市场），市场价格可能是中间价。它也可能是基于最近交易的价格。

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nandehutu2022

2022-5-11 07:02:25

就欧洲公司债券市场而言，综合彭博债券交易商（CBBT）价格是一种综合价格，可被视为债券市场价格的代表。就美国公司债券市场而言，市场价格也可以通过使用TRACEdata（尽管存在滞后）和CBBT价格之间的组合来确定。在所有情况下，模型中涉及的市场价格都应被视为参考价格。参见[7]和[13]了解具有逆向选择效应的模型。取决于该证券的报价和市场价格之间的距离——这是经典的阿维拉内达·斯托伊科夫建模框架——参见[1]。特别是，做市商之间的竞争没有明确建模。自Avellaneda和Stoikov发表开创性论文《限价指令簿中的高频交易》（见[1]）以来，做市一直是定量金融领域的重要研究课题之一。因此，人们提出了许多模型来解决做市商面临的问题。Guéant等人在[13]中考虑了Avellaneda和Stoikov提出的模型的一个变体，并表明，当使用变量的特定变化时，该模型产生的四维Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程可以简化为普通微分方程的线性系统。论文[13]还包含盖特-莱哈勒-费尔南德斯-塔皮亚公式，这些公式是单一资产做市商最优报价的闭合形式近似值。欧洲和亚洲的主要银行在实践中使用了这些近似公式，用于（非流动性）报价驱动市场中的做市，或用于某些订单驱动市场中的做市（在小交易量的特定情况下）。在上述论文中，做市商的目标函数是其损益的预期CARA效用（有时会对终端库存进行惩罚）。

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2022-5-11 07:02:28

文献中提出了其他具有不同目标函数的模型。Fodra和Labadie[10]在他们关于一般价格动态下的市场形成的论文中，除了预期的Cara效用案例外，还考虑了风险中性案例和风险中性案例，并对终端库存进行了处罚。在几篇论文中，与不同的合著者一起，以及在他们最近的著作[7]中，Penalva、Cartea和Jaimungal将P&L的预期值减去库存的持续罚款视为一个目标函数——例如参见[4]、[5]和[6]。参与造市建模的众多研究人员也在他们的模型中加入了许多特征。Cartea和Jaimungal及其合著者提出了具有价格影响、考虑短期阿尔法的可能性、逆向选择效应的存在等的模型。最近，出现了处理歧义厌恶的新模型：例如，见Cartea等人的论文[4]和Nystr"om等人的论文[21]——另见Donnelly的博士论文[8]。出于奇怪的原因，学术研究人员主要关注股票市场，而股票市场无疑是应用他们提出的大多数模型最不相关的市场。在这种情况下，做市一直是经济学家的一个重要话题——比如格罗斯曼和米勒的模型[11]。然而，数学家提出的动态方法对做市商有了新的认识，并使建立替代人类做市商的算法成为可能。与做市商数学文献真正相关的主要（旧）经济学论文是何和斯托尔1981年发表的论文[17]——另见同一作者的论文[18]。值得注意的是，Ho和Stoll的这篇旧论文启发了Vellaneda和Stoikov撰写他们的开创性论文[1]。另见[14]。CARA意味着持续的绝对风险厌恶。

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nandehutu2022

2022-5-11 07:02:32

CARA效用函数是formu（x）=-E-γxF或γ>0。[13]中也考虑了逆向选择。一个原因是人们对高频交易的兴趣。高频交易确实经常被讨论，因为它对股票价格形成过程的影响。另一个原因是，一些做市商模型可以被视为最优执行模型的推广，这些模型是为了解决来自现金等价物行业的问题而建立的——例如参见[2]、[12]和[19]。la Avellaneda Stoikov模型很难应用于大多数股票市场，至少有两个原因：（i）价格的离散性（尤其是在大刻度股票的情况下），以及（ii）没有考虑到限价订单簿的本质，这是一个具有优先级和数量的排队系统。唯一真正适合股票的做市商模型之一是吉尔波特和法明[16]提出的模型——另见[15]的变体。在本文中，我们考虑的是做市商在报价驱动型市场中的情况，或者在订单驱动型市场中，如果证券的刻度大小很小。关于做市商的学术文献也主要集中在单个资产的做市商套利案例上。然而，在实践中，几乎所有的做市商都负责证券交易。对于负责多个相关资产的做市商来说，对每项资产应用独立做市策略在风险管理方面是次优的。

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2022-5-11 07:02:35

因此，建立一个模型来解释证券价格变动的相关结构至关重要，尤其是在公司债券的情况下，在这种情况下，同一家公司发行的债券往往有好几张（因此高度相关）。在本文中，我们考虑一个具有一般强度函数的建模框架，而不是大多数模型的指数强度函数（见第2节）。我们证明，由文献中使用的各种优化标准产生的四变量HJB方程可以转化为普通微分方程的简单系统（见第3节）。这在某种程度上协调了文献中使用的不同方法，并使我们能够理解文献中使用的各种标准之间的细微差异。尤其是，它有助于理解规避价格风险和非执行风险意味着什么。然后，我们将在第4节中展示如何找到最优报价的闭合形式近似值。这些近似将盖特-莱哈勒-费尔南德斯-塔皮亚公式推广到一般强度函数的情况，以及市场营销文献中使用的不同优化标准的情况。在第5节中，我们考虑了一个在学术文献中很少涉及的问题，尽管它对从业者很重要：多资产做市。我们证明了在单资产情况下得到的许多结果可以推广到我们的多资产市场决策模型。特别是，我们在本文中首次获得了多资产做市商最优报价的闭式近似。

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2022-5-11 07:02:38

这一结果对从业者来说是一个重要的突破，因为大多数做市商负责几十项资产（甚至数百项资产，而做市商实际上是一个算法），而且往往不愿意解决非常大的非线性微分方程组。在第6节中，我们将我们的发现应用于两个高度相关的信用指数：CDX。娜娜。IG（CDX北美投资级）和CDX。娜娜。HY（CDX北美高收益）。2建模框架和符号2。1注：让我们定义一个概率空间(Ohm, F、 P）配备过滤（Ft）t∈R+满足通常的条件。我们假设所有随机过程都定义在(Ohm, F、（Ft）t∈R+，P）。在本节（以及接下来的两节）中，我们考虑一位负责单一资产的做市商。该资产的参考价格由一个过程（St）twith The dynamicSt=σdWt，Sgiven（2.1）建模，其中（Wt）是一个标准的布朗运动，适用于过滤（Ft）t∈R+。该做市商提出买入和卖出资产的买入和卖出报价。这些bid和ASK报价由两个随机过程建模，分别表示为（Sbt）和（Sat）t。可能没有合适的市场价格（见上述讨论），因此使用“参考价格”的措辞。交易发生在与愿意购买或出售资产的代理人到达时间相对应的随机时间。交易时间的分布显然取决于资产的流动性，以及做市商所报的买入价和卖出价。我们用（Nbt）和（Nat）分别表示两个点过程，分别对出价和出价时的交易数量进行建模。我们假设资产是可以交易的通过, i、例如，交易量在不同的交易中没有变化。因此，由过程（qt）t建模的做市商存货的动态CdQT=dNbt- dNat，qgiven。

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2022-5-11 07:02:41

（2.2）我们假设过程（Nbt）和（Nat）皮重与布朗运动（Wt）无关。我们分别用（λbt）和（λat）表示（Nbt）和（Nat）皮重的强度过程。与经典的Avellaneda-Stoikov模型（见[1]）一样，我们假设强度过程是参考价格和做市商报价之间差异的函数。此外，我们假设做市商在其仓位高于（分别低于）给定阈值Q（分别低于）时停止提出出价（分别询问）报价-Q）。形式上，我们假设（λbt）和（λat）t检验λbt=λb（δbt）1qt-<Qandλat=λa（δat）1qt->-Q、（2.3）式中δbt=St- Sbtandδat=Sat- 其中∧带∧aare是满足以下假设的两个函数：o两次连续可微的∧带∧aare，o减少的∧带∧aareδ ∈ R、 ∧b（δ）<0和∧a（δ）<0，olimδ→+∞λb（δ）=limδ→+∞λa（δ）=0，osupΔ∧b（δ）∧b（δ）（λb（δ））<2和supΔ∧a（δ）∧a00（δ）（λa（δ））<2。最后，该流程（Xt）对做市商的现金账户进行建模。考虑到我们的建模框架，（Xt）thas the dynamicsdXt=Sat德纳特- SbtdNbt=（St+δat）德纳特- （圣- δbt）dNbt。（2.4）假设Q是.前三个假设是自然的。第四个更具技术性。它特别确保函数πb：δ7→ Δ∧b（δ）和πa:δ7→ Δ∧a（δ）与每侧关联的瞬时（预期）MtM Pn有关，在R上达到最大值（实际上是在R+）。

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2022-5-11 07:02:44

为了看到这一点（我们关注投标方，但投标方的价格与ask类似），让我们注意到πb（δ）=0<==> δ+λb（δ）λb（δ）=0。但是Γb：δ7→ δ+λb（δ）∧b（δ）是一个严格递增函数，infδΓb（δ）=2- supΔ∧b（δ）∧b（δ）∧b（δ）> 因此，方程Γb（δ）=0有一个唯一的解，它对应于πb的唯一最大化子。2.2在上述两个经典优化问题中，我们定义了大多数造市模型的三个核心过程：参考价格过程（St）t、库存过程（qt）t，我们现在需要明确做市商面临的问题。按照Avellaneda和Stoikov在[1]中提出的模型，我们可以考虑，如[13]中所述，做市商将CARA效用函数（风险规避参数γ>0）的预期值最大化，该函数应用于给定日期T的投资组合MtM值。时间T的MtM值基本上为YXT+qTST或XT+qTST- `（|qT |）如果我们为剩余库存（无论其符号是什么）增加流动性溢价，则`是从R+到R+的一个非减损凸函数。在这个总体框架中，做市商的目标是最大化[- 经验(-γ（XT+qTST）- `（|qT |）]），（模型A）在（δbt）t上∈ A和（δat）t∈ A、其中，可容许控制集A只是从下方限定的可预测过程集。或者，可以考虑做市商在T日最大化投资组合的TMTM价值的预期值，但持有存货在时间间隔[0，T]内会受到惩罚。这通常是Cartea、Jaimungal和他们的合著者所做的（关于几个例子，见最近的书[7]）。

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2022-5-11 07:02:47

在这种模型中，做市商的目标是最大化形式“XT+qTST”的表达- `（|qT |）-γσZTqtdt#，δbt上的（模型B）∈ A和（δat）t∈ A.3对于描述最优报价的普通微分方程的单一系统，模型A和模型B都可以使用随机最优控制的经典工具进行求解。特别是，我们表明，在这两个模型中，找到值函数（以及最优的买卖报价）归结为求解一个三对角的普通微分方程组（ODE），与模型a和模型B相关的方程是ODE的一部分。3.1问题的维度：从4降到2与模型a相关的HJB方程由0=-图（t，x，q，S）-σSSu（t，x，q，S）（3.1）-1q<Qsupδb∧b（δb）u（t，x）- S+δb，q+, （S）- u（t，x，q，S）-1q>-Qsupδa∧a（δa）[u（t，x+S+δa，q- , （S）- u（t，x，q，S）]，代表q∈ Q={-Q-Q+, . . . , Q-, Q} ，和（t，S，x）∈ [0，T]×R，终端条件u（T，x，q，S）=- 经验(-γ（x+qS）- `（|q |）。（3.2）如果一个人使用Ansazi（t，x，q，S）=- 经验(-γ（x+qS+θ（t，q）），（3.3）然后等式（3.1）变成0=-tθ（t，q）+γσq（3.4）-1q<Qsupδb∧b（δb）γ1.- 经验-γδb+θ（t，q+) - θ（t，q）-1q>-Qsupδa∧a（δa）γ（1）- 经验(-γ (δa+θ（t，q）- ) - θ（t，q））），对于q∈ Q、和t∈ [0，T]，终端条件（3.2）变成θ（T，q）=-`（|q |）。与模型B相关的HJB方程由0=-tu（t，x，q，S）+γσq-σSSu（t，x，q，S）（3.5）-1q<Qsupδb∧b（δb）u（t，x）- S+δb，q+, （S）- u（t，x，q，S）-1q>-Qsupδa∧a（δa）[u（t，x+S+δa，q- , （S）- u（t，x，q，S）]，代表q∈ Q、和（t，S，x）∈ [0，T]×R，终端条件u（T，x，q，S）=x+qS- `（|q |）。（3.6）如果使用ansazi（t，x，q，S）=x+qS+θ（t，q），（3.7），则等式。

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2022-5-11 07:02:51

（3.5）变成0=-tθ（t，q）+γσq（3.8）-1q<Qsupδb∧b（δb）δb+θ（t，q+) - θ（t，q）-1q>-Qsupδa∧a（δa）(δa+θ（t，q）- ) - θ（t，q）），对于q∈ Q、和t∈ [0，T]，终端条件（3.6）变成θ（T，q）=-`（|q |）。Eqs。（3.4）和（3.8）实际上是属于同一家族的两种颂歌体系。如果为ξ>0引入函数shbξ（p）=supΔ∧b（δ）ξ（1- 经验(-ξ (δ - p））和haξ（p）=supΔ∧a（δ）ξ（1）- 经验(-ξ (δ - p））和极限函数（ξ=0）Hb（p）= supΔ∧b（δ）（δ- p）安达（p）= supΔ∧a（δ）（δ- p），那么我们可以考虑一般方程0=-tθ（t，q）+γσq（3.9）-1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- ),问∈ Q、和t∈ [0，T]，终端条件θ（T，q）=-`（|q |）。（3.10）对于ξ=γ，等式（3.4）对应于等式（3.9），而对于ξ=0.3.2，等式（3.8）对应于等式（3.9）。在下面的段落中，我们证明，对于所有ξ≥ 存在唯一解θtoEq。（3.9）具有终端条件（3.10）。让我们从Hbξ和Haξ的引理开始。引理3.1。ξ ≥ 0，Hbξ和Haξ是C类的两个递减函数。Hbξ（p）的定义的上确界在唯一的δb处达到*ξ（p）的特征为p=＠δb*ξ（p）-ξ日志1.- ξ∧b△b*ξ（p）∧b△b*ξ（p）, 如果ξ>0，则p=＠δb*ξ（p）+∧b△b*ξ（p）∧b△b*ξ（p）, 如果ξ=0，或等效于△b*ξ（p）=∧b-1ξHbξ（p）-Hbξ（p）!. （3.11）类似地，Haξ（p）的定义的上确界在唯一的δa处达到*ξ（p）的特征为p=△a*ξ（p）-ξ日志1.- ξλa△a*ξ（p）λa△a*ξ（p）, 如果ξ>0，则p=＠δa*ξ（p）+∧a△a*ξ（p）λa△a*ξ（p）, 如果ξ=0，或等效为δa*ξ（p）=∧a-1ξHaξ（p）-Haξ（p）!. （3.12）此外，功能P7→△b*ξ（p）和p7→△a*ξ（p）呈上升趋势。证据我们为投标方证明结果。

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2022-5-11 07:02:54

ask方面的证据类似。让我们从ξ>0开始。P∈ R、让我们定义gp：δ7→∧b（δ）ξ（1）- 经验(-ξ (δ - p）））。gp是C类的函数，δ为正∈ （p+∞) 否则就不积极了。因为Egp（p）=0和limδ→+∞gp（δ）=0，gp的上确界至少达到一个点δb*ξ（p）∈ （p+∞). 刻画gpis∧b（δ）ξ（1）上确界的一阶条件- 经验(-ξ (δ - p））+λb（δ）exp(-ξ (δ - p））=0。通过重新排列这些项，我们得到p=δ-ξ日志1.- ξ∧b（δ）∧b（δ）.因为∧b（δ）∧b（δ）<2∧b（δ）, 函数j：δ7→ δ -ξ日志1.- ξ∧b（δ）∧b（δ）是递增的，因此有一个唯一的最大值△b*gp的ξ（p），特征为p=~δb*ξ（p）-ξ日志1.- ξ∧b△b*ξ（p）∧b△b*ξ（p）.此外，通过隐函数定理，P7→△b*ξ（p）是类C的函数，其验证为δb*ξ（p）=j△b*ξ（p）=1.- ξ∧b（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））2-∧b（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））- ξ∧b（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））>0。尤其是第7页→△b*ξ（p）在增加。此外，函数Hbξ属于C类，其中Hbξ（p）=-∧b（∧δb）*ξ（p））经验-ξ△b*ξ（p）- P和hbξ（p）=-△b*（p） ∧b（∧δb）*ξ（p））+ξ∧b（∧δb）*ξ（p））△b*ξ（p）- 1. 经验-ξ△b*ξ（p）- P.尤其是Hbξ在下降。我们得到了指数j（δ）=1+1-∧b（δ）∧b（δ）∧b（δ）1- ξ∧b（δ）∧b（δ）=2-∧b（δ）∧b（δ）∧b（δ）- ξ∧b（δ）∧b（δ）1- ξ∧b（δ）∧b（δ）>0。我们还发现，通过使用Hbξ的定义，δb*ξ（p）=∧b-1ξHbξ（p）-Hbξ（p）!.在ξ=0的情况下，我们定义P∈ R、 hp：δ7→ ∧b（δ）（δ）- p）。Hp是C类的函数，δ为正∈ （p+∞) 否则就不积极了。

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2022-5-11 07:02:57

通过使用与脚注11相同的推理，我们可以看到有一个唯一的最大化子δb*（p）对于hp，其特征为p=~δb*（p） +b∧△b*（p）∧b△b*（p）.如上所述，通过隐函数定理，P7→ δb*（p）是C类的函数，其验证δb*（p） =2-∧b（∧δb）*（p） )∧b（)δb*（p） )∧b（)δb*（p））>0。尤其是第7页→△b*（p）越来越多。此外，函数HB是C类的，其中HB（p）=-∧b（∧δb）*（p））和Hb（p）=-△b*（p） ∧b（∧δb）*（p））。特别是，HBs在下降，我们有△b*（p） =λb-1.-血红蛋白（p）!.这证明了引理。我们现在证明等式（3.9）的一个比较原理，它给出了一个先验界，使我们能够证明等式（3.9）在终端条件（3.10）下解的存在性。引理3.2。

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2022-5-11 07:03:00

让τ∈ [0，T）。设θ：[τ，T]×Q→ R是关于满足次解析性质的时间的C函数，即。，Q∈ Q、 θ（T，Q）≤ -`（|q |）和（t，q）∈ [τ，T）×Q，-tθ（t，q）+γσq- 1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- )≤ 0.设θ：[τ，T]×Q→ R是关于满足上解性质的时间的C函数，即。，Q∈ Q、 θ（T，Q）≥ -`（|q |）和（t，q）∈ [τ，T）×Q，-tθ（t，q）+γσq- 1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- )≥ 0.那么θ≥ θ.证据设ε>0。让我们考虑一对（t）*ε、 q*ε）这样θ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε) - ε（T）- T*ε） =sup（t，q）∈[τ，T]×Qθ（T，Q）- θ（t，q）- ε（T）- t）。如果没有*ε6=T，那么tθ（t*ε、 q*ε) - tθ（t*ε、 q*ε) + ε ≤ 现在，通过定义函数θ和θ，上述不等式*ε<QHbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )+ 1q*ε>-QHaξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε- )-1q*ε<QHbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )- 1q*ε>-QHaξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε- )≤ -ε.但是，根据（t）的定义*ε、 q*ε）因为Hbξ和Haξ是递减函数，所以我们有q*ε<QHbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )- Hbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )≥ 0和Q*ε>-QHaξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )- Haξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )≥ 0.这导致0≤ -ε. 矛盾的是，我们一定没有*ε=T。因此，sup（t，q）∈[τ，T]×Qθ（T，Q）- θ（t，q）- ε（T）- t） =θ（t，q）*ε) - θ（T，q）*ε) ≤ 0.因此，（t，q）∈ [τ，T）×Q，θ（T，Q）- θ（t，q）≤ εT。通过将ε发送到0，我们得到θ≤ θ.现在让我们来讨论等式（3.9）在终端条件（3.10）下解的存在性和唯一性。定理3.1。存在唯一的函数θ：[0，T]×Q→ R、 Cin时间，解决方案ofEq。（3.9）具有终端条件（3.10）。证据具有终端条件（3.10）的等式（3.9）可被视为向后柯西问题。

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可人4

2022-5-11 07:03:03

由于Hbξ和Haξ是C类函数，Cauchy-Lipschitz认为存在τ∈ [0，T）和函数θ：（τ，T]×Q→ R、 Cin时间，等式（3.9）在（τ，T）上的解，终端条件（3.10）。很容易验证这一点Q∈ Q、 t∈ （τ，T]7→ θ（t，q）+γσq（t）- t）是一个递减函数。因此，在[0，T]上没有全局解决方案的唯一原因是因为UPQ∈Qθ（t，Q）在τ>0时爆炸。然而，通过引理3.2，我们知道θ（t，q）=（Hbξ（0）+Haξ（0））（t- t）定义等式（3.9）的上解和终端条件（3.10），因此supq∈Qθ（t，Q）≤（Hbξ（0）+Haξ（0））（T- t）不能在限定时间内爆炸。结论是θ实际上是定义在[0，T]×Q上的。因此，柯西利普希茨定理具有唯一性。具有终端条件（3.10）的等式（3.9）的函数θ解的存在性（和唯一性）使我们能够找到与模型a或模型B相关的HJB方程的解。我们将在下一小节中使用验证参数，以证明通过这种方式获得的HJB方程的解确实是随机最优控制问题的值函数考虑然而，在此之前，需要对θ和公式（3.9）进行注释，以说明指数强度的具体情况——在学术文献中经常（不是说几乎总是）使用。如果我们有∧b（δ）=a（δ）=Ae-kδ=：λ（δ），然后我们（通过简单的计算）得到Hξ（p）：=Hbξ（p）=Haξ（p）=AkCξexp(-kp），其中cξ=1 +ξK-kξ-1如果ξ>0e-1如果ξ=0。通过使用Eq。

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2022-5-11 07:03:06

函数v:（t，q）∈ [0，T]×Q 7→ vq（t）=expKθ（t，q）是线性常微分方程组的解Q∈ QT∈ [0，T]，-tvq（t）+2kγσqvq（t）- ACξ（1q<Qvq+（t） +1q>-Qvq-（t））=0，（3.13），具有终端条件Q∈ Q、 vq（T）=exp-K`（|q |）.3.3验证论证我们现在准备解决与模型A和模型B相关的随机最优控制问题。我们从模型A开始。定理3.2。让我们考虑等式（3.9）的解θ，终端条件（3.10）为ξ=γ。然后，u：（t，x，q，S）7→ - 经验(-γ（x+qS+θ（t，q））定义了等式（3.1）的一个解，其终端条件为（3.2），且u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、（δas）s≥T∈A（t）呃- 经验-γXt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）i、式中，A（t）是[t，t]上的一组可预测过程，从下面开始有界，其中dst，Ss=σdWs，St，St=S，dXt，x，δb，δas=（Ss+δas）脱氧核糖核酸- （Ss）- δbs）dNbs，Xt，x，δb，δat=x，dqt，q，δb，δas=dNbs- dNas，qt，q，δb，δat=q，其中点处理Nb和Nahave随机强度（λbs）沙（λas），由λbs=λb（δbs）1qs驱动-<Qandλas=∧a（δas）1qs->-Q.最佳报价和询问报价Sbt=St- δb*t（代表qt-< Q） Sat=St+δa*t（代表qt-> -Q）以δb为特征*t=δb*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ )δa*t=δa*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- ), （3.14）其中函数δb*γ（·）和δa*γ（·）在等式中定义。（3.11）和（3.12）。证据让我们考虑一下t∈ [0，T）和两个过程（δbs）s≥tand（δas）s≥锡A（t）。我们有u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）=u（t，x，q，S）+ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds（3.15）+σZTtSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）dWs+σZTtSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）dNbs+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）DNA。设C<0。

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2022-5-11 07:03:09

如果几乎可以肯定的话s∈ [t，t），δbs≥ -C、中兴通讯苏s、 Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, 圣路易斯ds#≤ E“ZTtγqt，q，δb，δas-经验-2γXt，x，δb，δas-+ qt，q，δb，δas-St，Ss+θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）×E“ZTtexp-2γx+qS+ZstδbudNbu+ZstδaudNau+Zstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-2γ（x+qS））×E“ZTtexp-6γZstδbudNbuds#E“ZTtexp-6γZstδaudNauds#×E“ZTtexp-6γZstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-2γ（x+qS））×E经验6γC（NbT）- （Nbt）（T）- （t）E[exp（6γC（NaT- Nat）T- t） ]×ZTtE经验-6γZstσqt，q，δb，δau-dWu- 18γZstσqt，q，δb，δau-杜ds！×exp6γ（T）- t） σQ≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-2γ（x+qS））×exp∧b(-C）（T）- t）（exp（6γC）- 1)exp（λa）(-C）（T）- t）（exp（6γC）- 1））（T- t） ×exp6γ（T）- t） σQ（T）- t） <+∞.我们还有“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<量子点#≤ ∧b(-C）中兴通讯-γXt，x，δb，δas-+ qt，q，δb，δas-St，Ss+θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#≤ ∧b(-C）经验γkθkL∞（[t，t]×Q）×E“ZTtexp-γx+qS+ZstδbudNbu+ZstδaudNau+Zstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ ∧b(-C）经验γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-γ（x+qS）×E“ZTtexp-3γZstδbudNbuds#E“ZTtexp-3γZstδaudNauds#×E“ZTtexp-3γZstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ ∧b(-C）经验γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-γ（x+qS））×exp∧b(-C）（T）- t）（exp（3γC）- 1)exp（λa）(-C）（T）- t）（exp（3γC）- 1））（T- t） ×expγ（T）- t） σQ（T）- t） <+∞.类似地，“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , St，Ss）|∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qds#+∞,E“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Qds#+∞,andE“ZTt|u（s，Xt，x，δb，δas-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , St，Ss）|∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Qds#+∞.通过在情商中设定期望值。

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2022-5-11 07:03:13

（3.15），我们得到了ehu（T，Xt，x，δb，δaT）-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）+σSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）ds#+E“ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λb（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λa（δas）1qt，q，δb，δas->-量子点.通过对u的定义，我们得到了u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTtu（S，Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）-γtθ（s，qt，q，δb，δas）-) +γσqt，q，δb，δas-ds#+E“ZTt-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<Q1.- 经验-γδbs+θ（s，qt，q，δb，δas）-+ ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#+E“ZTt-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Q1.- 经验-γδas+θ（s，qt，q，δb，δas-- ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#。通过定义θ，我们得到了不等式Ehu（T，Xt，x，δb，δaT，qt，q，δb，δaT，St，St）i=Ehu（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, 圣，圣）我≤ u（t，x，q，S），即- 经验-γ（Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）我≤ u（t，x，q，S）。此外，通过引理3.1，上述不等式if（δbs）s中存在等式≥tand（δas）s≥塔雷吉文（闭环）式（3.14）。因此，u实际上是值函数u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、（δas）s≥T∈A（t）呃- 经验-γXt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）i、最佳报价由等式（3.14）在闭环中给出。对于模型B，类似的结果也成立。定理3.3。让我们考虑等式（3.9）的解θ，终端条件（3.10）为ξ=0。然后，u：（t，x，q，S）7→ x+qS+θ（t，q）定义了方程的解。

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2022-5-11 07:03:16

（3.5）具有终端条件（3.6），且u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、（δas）s≥T∈A（t）E“Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）-γσZTtqt，q，δb，δasds#，其中A（t）是[t，t]上的一组可预测过程，从下面开始，其中dst，Ss=σdWs，St，St=S，dXt，x，δb，δas=（Ss+δas）脱氧核糖核酸- （Ss）- δbs）dNbs，Xt，x，δb，δat=x，dqt，q，δb，δas=dNbs- dNas，qt，q，δb，δat=q，其中点处理Nb和Nahave随机强度（λbs）沙（λas），由λbs=λb（δbs）1qs驱动-<Qandλas=∧a（δas）1qs->-Q.最佳报价和询问报价Sbt=St- δb*t（代表qt-< Q） Sat=St+δa*t（代表qt-> -Q）由δb给出*t=δb*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ )δa*t=δa*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- ), （3.16）式中，函数δb*（·）和δa*（·）在等式中定义。（3.11）和（3.12）。证据让我们考虑一下t∈ [0，T）和两个过程（δbs）s≥tand（δas）s≥锡A（t）。我们有u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）=u（t，x，q，S）+ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds（3.17）+σZTtSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）dWs+σZTtSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）dNbs+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）DNA。如果几乎可以肯定的话s∈ [t，t），δbs≥ -C、中兴通讯苏s、 Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, 圣路易斯ds#≤ E“ZTtqt，q，δb，δas-ds#≤ Q（T）- t） <+∞.我们还有“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<量子点≤ E“ZTt∧b（δbs）|δbs+θ（s，qt，q，δb，δas）-+ ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)|ds#≤ 2∧b(-C） kθkL∞（[t，t]×Q）（t）- t） +（T）- t） supδ>-C |δ|∧b（δ）≤ 2∧b(-C） kθkL∞（[t，t]×Q）（t）- t） +（t）- t）麦克斯(C∧b(-C），Hb（0））<+∞.类似地，“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-量子点< +∞.通过在情商中设定期望值。

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可人4

2022-5-11 07:03:19

（3.17），我们得到了ehu（T，Xt，x，δb，δaT）-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）+σSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）ds#+E“ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λb（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λa（δas）1qt，q，δb，δas->-量子点.通过对u的定义，我们得到了u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTttθ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#+E“ZTt∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qδbs+θ（s，qt，q，δb，δas）-+ ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#+E“ZTt∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Qδas+θ（s，qt，q，δb，δas-- ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#。通过定义θ，我们得到了不等式Ehu（T，Xt，x，δb，δaT，qt，q，δb，δaT，St，St）i=Ehu（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, 圣，圣）我≤ u（t，x，q，S）+E“ZTtγσqt，q，δb，δas-ds#≤ u（t，x，q，S）+E“ZTtγσqt，q，δb，δasds#即E”Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）-ZTtγσqt，q，δb，δasds#≤ u（t，x，q，S）。此外，通过引理3.1，上述不等式if（δbs）s中存在等式≥tand（δas）s≥塔雷吉文（闭环）式（3.16）。因此，u实际上是值函数u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、（δas）s≥T∈A（t）E“Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）-ZTtγσqt，q，δb，δasds#，最优报价由等式（3.16）闭环给出。3.4对模型A和模型b的结果的评论，市场庄家面临的动态优化问题最初由一个汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程描述，该方程有4个变量：时间和3个状态变量（现金x、库存q和参考价格S）。计算四维HJB方程（如公式（3.1）或公式（3.5））的数值近似解总是很耗时。

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2022-5-11 07:03:22

因此，定理3.2和定理3.3中得到的结果非常有用：它们表明，a模型和B模型中做市商的最优报价实际上可以通过求解非线性微分方程的三对角系统来计算。这相当于将问题的维数从4降到2。此外，模型A和模型B的非线性常微分方程组是相似的：它们对应于等式（3.9）——终端条件（3.10）——模型A的ξ=γ，模型B的ξ=0。模型A和模型B的目标函数导致类似的方程，但理解两种建模方法之间的差异是有趣的。事实上，模型B中的惩罚项γσztqtdt导致了表征θ的ODS中的γσqin（当ξ=0时），由于做市商对价格风险的厌恶，该项也出现在与模型A相关的ODE中（当ξ=γ时）。然而，在模型A中，做市商不仅厌恶托普里斯风险，还厌恶没有找到交易对手的风险——这就是我们所说的非执行风险。确实有一个风险源来自过程（Wt）t，另一个风险源来自过程（Nbt）和（Nat）t，ModelA中的风险规避适用于这两种风险。换句话说，事情的运作就好像模型A的做市商厌恶这两种风险，而模型B的做市商只厌恶与价格变化相关的风险。

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2022-5-11 07:03:26

特别是，参数ξ可以被视为某种形式的风险规避参数，仅适用于非执行风险：在模型A的情况下，它等于γ，在模型B.4的情况下，它等于0。在[13]中，作者在∧B（δ）=∧A（δ）=Ae的特定情况下表明-kδ=：λ（δ）模型A中的最优报价存在一个远离T的渐近机制。换句话说，远离终端时间T，[13]中的最优报价由函数很好地近似，该函数只依赖于库存q，而不依赖于时间变量T。在实践中，在没有自然终端时间T的市场（如大多数交易商驱动的OTC市场）中，这一结果并不令人惊讶——甚至在某种程度上也令人放心——而且只应使用渐近公式。此外，[13]的作者提出了最优报价渐近值的闭式近似。在本节中，我们提出了新的近似公式，将[13]中获得的公式推广到更一般的强度函数集，以及模型a和模型B（在[13]中只考虑了模型a）。这些更一般的近似是基于启发式参数的，我们将在第6节的数值实验中看到它们是否令人满意。[13]的作者在这个案例中使用了线性常微分方程组（3.13） = 1和ξ=γ。4.1使用椭圆偏微分方程进行近似，以计算等式中给出的最佳报价。（3.14）和（3.16），第一步包括计算常微分方程组（3.9）的函数θ解，以及终端条件（3.10）。

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2022-5-11 07:03:29

为了近似最优报价，我们首先近似函数θ。为了进行我们的推理，我们假设强度函数∧带∧是相同的（等于∧），并且Hξ：=Hbξ=Haξ验证Hξ（0）>0。我们的启发式推理包括替换函数θ：[0，T]×Q→ R由函数θ[0，T]×R确定→ 并替换表征θ的常微分方程（3.9）系统，即0=-tθ（t，q）+γσq-1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- )根据PDE0=-t~θ（t，q）+γσq- 2Hξ（0）-Hξ（0）(q~θ（t，q））+Hξ（0）qq~θ（t，q）。（4.1）此PDE来自表达式0的-t~θ（t，q）+γσq-Hξ∧θ（t，q）-θ（t，q+)!- Hξ∧θ（t，q）-θ（t，q）- )!,适用于 = 1.我们已经确定了ξθ（t，q）-θ（t，q+)!+ Hξ∧θ（t，q）-θ（t，q）- )!= Hξ-q~θ（t，q）-qq~θ（t，q）+o()+ Hξq~θ（t，q）-qq~θ（t，q）+o()= 2Hξ（0）- Hξ（0）qq~θ（t，q）+Hξ（0）q~θ（t，q）+ o().通过考虑v（t，q）=exp-Hξ（0）Hξ（0）~θ（t，q）！，当ξ=0时，条件Hξ（0）>0总是得到验证（见引理3.1的证明）。一个有效的条件通常是δ ∈ R、 ξΛ(δ)Λ(δ)Λ(δ)< 1.例如，如果∧是凸的（指数强度进入该类别），则验证了该条件（通过使用引理3.1证明中的Hξ表达式获得）。我们在这里删除了与-另一种看待这种展开式的方法是考虑在（在重新缩放Hξ后，阶数1的展开将对应于流体限制制度，其中非执行风险消失），并通过使用泰勒展开式的前三项（0）结合Hξ的近似值。非线性PDE（4.1）变为线性PDE0=t~v（t，q）-Hξ（0）Hξ（0）2Hξ（0）-γσq~v（t，q）- Hξ（0）qqv（t，q），（4.2），与我们的问题相关的终端条件是v（t，q）=expHξ（0）Hξ（0）`（|q |）！。情商。

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2022-5-11 07:03:32

（4.2）是线性偏微分方程，可以使用光谱理论的基本工具进行研究。我们的目标是研究当t趋于一致时v（t，q）的渐近行为，并使用在该渐近区域中获得的公式，以依次逼近v、θ、θ，并最终逼近最优报价（δb）*t） tand（δa）*t） t.4.2根据经典谱理论，对盖特·勒哈勒·费尔南德斯·塔皮亚公式的推广，我们知道＠v（t，q）~T→+∞（~v（T，·），~f）~f（q）exp（ν（T）- t）），式中，ν和<<分别为函数<<f的最小值和最小值∈ {g∈ H（R），k)gkL（R）=1}7→Z∞-∞αxf（x）+ηf（x）dx，α=-Hξ（0）Hξ（0）γσ和η=-Hξ（0），其中（·，·）表示L（R）中的标量积。特别是，f（q）∝ 经验-rαηq.从＠v（t，q）~T→+∞C经验-rαηqexp（ν（T）- t），其中C是一个常数，与（t，q）无关，我们推导出：△θ（t，q）+Hξ（0）Hξ（0）ν（T）- （t）→T→+∞-Hξ（0）Hξ（0）日志（C）-rαηqi、 e.℃θ（t，q）+Hξ（0）Hξ（0）ν（T）- （t）→T→+∞-Hξ（0）Hξ（0）对数（C）-sγσ2Hξ（0）q！。可以通过等式（3.13）看到接近度。基本推理在于证明算子v 7→ -Hξ（0）Hξ（0）γσqv+Hξ（0）qq~v是一个带紧逆的正自伴随算子（详见[3]第6章）。因此，这个算子可以在正交基上对角化。通过使用[13]中的相同方法，可以证明其最小特征值是简单的。因此，我们考虑近似θ（t，q）- θ（t，q+)\'2q+sγσ2Hξ（0）和θ（t，q）- θ（t，q）- )\' -第二季度- sγσ2Hξ（0）。这些近似值与t和最终惩罚函数无关。它们可以插入Eqs。（3.14）和（3.16）以获得一般近似公式δb*t\'δb*大约（夸脱）-) :=~δ*ξ2qt-+ sγσ2Hξ（0）！（4.3）和δa*t’δa*大约（夸脱）-) :=~δ*ξ-2qt-- sγσ2Hξ（0）！，（4.4）式中√δ*ξ（p）=∧-1.ξHξ（p）-Hξ（p）.

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2022-5-11 07:03:35

（4.5）特别是，如果∧（δ）=Ae-kδ，然后∧δ*ξ（p）=p+ξ日志1 +ξK如果ξ>0p+kifξ=0，我们得到δb*大约（q）=ξ日志1 +ξK+第二季度+rγσ2AK1 +ξKkξ+如果ξ>0k+2q+qγσe2Akifξ=0，（4.6）和δa*大约（q）=ξ日志1 +ξK-第二季度-rγσ2AK1 +ξKkξ+1ifξ>0k-第二季度-qγσe2Akifξ=0。（4.7）特别是，我们在特殊情况下恢复 = 1和ξ=γ，业界常用的[13]和[15]的盖特-莱哈勒费尔南德斯-塔皮亚公式。4.3对近似值的评论上述获得的近似值值得几点评论。首先，在一般情况下（即，即使强度函数∧不是指数函数），近似几乎是接近形式的，因为它们只是参数和∧变换的函数。实际上，我们只需要计算∧-1，Hξ，Hξ和Hξ，以计算近似值（4.3）和（4.4）。其次，上述近似值能够更好地理解做市商的最优策略，以及不同参数所起的作用。特别是，它们能够更好地理解做市商面临的不同类型的风险。通过使用等式。（4.3）和（4.4），我们看到ddqδb*近似（q）=sγσ2Hξ（0）~δ*ξ2q+sγσ2Hξ（0）！>0和ddqδa*近似（q）=sγσ2Hξ（0）~δ*ξ-第二季度- sγσ2Hξ（0）！<0.这意味着做市商在其存货增加时，在出价和要价时提出更低的价格，反之，在其存货减少时，在出价和要价时提出更高的价格。

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2022-5-11 07:03:38

尤其是，库存为正或为负的做市商总是扭曲其出价和要价，以增加其回到当前仓位的机会。在指数强度的特殊情况下，值得注意的是，买卖价差的近似值与q无关，并且在q：δb中，偏斜是线性的*近似（q）+δa*大约（q）=ξ日志1 +ξK+ rγσ2AK1 +ξKkξ+1如果ξ>0k+qγσe2Akifξ=0，（4.8）δb*大约（q）- δa*大约（q）=2qrγσ2AK1 +ξKkξ+1如果ξ>02qqγσe2Akifξ=0。（4.9）就波动性而言，我们有dσδb*大约（q）=2q+sγ2Hξ（0）～δ*ξ2q+sγσ2Hξ（0）！和ddσδa*大约（q）=-第二季度- sγ2Hξ（0）～δ*ξ-第二季度- sγσ2Hξ（0）！。因此我们有三种情况：o如果q=0，那么ddσδb*近似值（q）=ddσδa*大约（q）>0。换句话说，波动率的增加导致买卖价差的增加，与参考价格对称（无偏斜）如果q≥ , 那么ddσδb*约（q）>0和ddσδa*约（q）<0。换句话说，不愿意程度的增加会导致更低的买入价和卖出价：它会增加绝对值的倾斜度，等等如果q≤ -, 那么ddσδb*大约（q）<0和ddσδa*大约（q）>0。换句话说，不愿意程度的增加会导致更高的买入价和卖出价：它会增加绝对值的偏差，等等。在指数强度的特殊情况下，值得注意的是，买卖价差近似于σ的一个函数，而偏差近似于σ的一个线性函数（见等式（4.8）和（4.9））。就流动性而言，如果我们将∧替换为β∧，对于β>0，那么我们可以看到Hξ被βHξ替换，而Δξ不变（见等式（4.5））。因此，我们从等式中看到。（4.3）和（4.4），用β∧替换∧相当于用σβ替换σ。

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