一个市场需要多少做市商？

2022-5-30 22:10:44

42没有做市商的模型行为62.1竞争性窗口。62.2受限车型。62.3固定模型。83做市商模型行为93.1数值模拟。93.2固定模型。93.3许多做市商的制度。103.4结论。13*捷克共和国普拉哈2号，克卡洛夫3号，马特马蒂奇科·费齐克'阿尔恩'法库尔塔，尤尼韦尔兹塔·卡洛娃；perzina@gmail.com+捷克科学院信息理论与自动化研究所，Pod vod'arenskou vˇeˇz'4，182 08 Praha 8，捷克共和国；swart@utia.cas.cz1简介1.1模型的非正式描述我们将感兴趣的是一个简单的数学模型，用于股票市场或商品市场上限额订单簿的演变。我们感兴趣的基本模型已经由[Sti64、Luc03、Pla11、Yud12b]独立（重新）发明了至少四次。该模型的目的与其说是为交易者确定最佳策略，不如说是在一个简化的设置中，确定真实订单簿的观察形状和时间演变背后的基本机制。即使就这一适度目标而言，【Luc03】中首次提出的原始模型也不是特别成功。事实上，这导致了一个非常不切实际的订单簿，其中的订单量非常大，而限制订单数量的增长却远远没有达到均衡价格。

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2022-5-30 22:10:47

在本论文中，我们提出了模型的一个扩展，即通过关闭排列（至少对于参数的特殊选择），来固定原始模型的一个不切实际的方面，但保留其他不切实际的特征。然而，希望通过识别简单模型行为背后的基本机制，最终可以开发出更现实的模型，从而更好地理解形成真实订单的机制。由于我们的目标不是确定交易策略，因此我们允许交易者的行为方式与他们的最佳策略不同，在时间连续的情况下，数据交易是开放的，无论如何可能很难确定。此外，我们没有在dividualtraders中进行识别，即我们考虑到一些在不同时间到达的订单实际上可能是由同一个交易员下达的，但我们没有记录这些信息。我们的出发点是【Luc03】中首次全面概括地阐述的模型。在该模型中，单元大小的极限阶根据独立的泊松过程确定。低于给定价格水平的买入限价订单和高于给定价格水平的卖出限价订单的频率由固定需求和供应函数描述。Bu y（resp.sell）限额订单到达当前ask（resp.bid）价格以上（resp.below）的订单将转换为市场订单。没有取消限额订单。在[Swa18]之后，我们增加了第二类交易者，无论当前的价格水平如何，他们都会发布市场订单。从amodeling的角度来看，我们可以将这些订单视为达到如此高（或低）价格的买入（或卖出），它们总是转换为市场订单，除非订单簿中当前没有匹配的卖出（或买入）限制订单。

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kedemingshi

2022-5-30 22:10:50

从数学的角度来看，这类阶数的增加是有用的，因为它允许正的复发行为，而这在原始模型中是不可能的。本文的创新之处在于引入了一种新类型的交易者，他是市场制造商或更一般的流动性供应商，而不仅仅是买卖双方，目的是从价差中获利。我们表示，根据固定的泊松率，单位大小的买卖限制订单将同时以当前的买入和卖出价格进行，从而避免了此类市场制造商的影响。在第3.2节中，我们将Luckock[Luc03]计算利差的方法应用于广义模型（定理3），并表明引入做市商会减少利差，直到当做市商下单的速度等于瓦拉斯贸易量时，利差完全闭合。在第3.3节中，我们表明，如果做市率增加超过这一点，那么买入价和卖出价收敛到一个随机极限，而不需要对应于Walrasian均衡价格（定理4）。在本简介的其余部分中，我们精确地建立了我们的模型，并确定了符号（第1.2小节），并讨论了它的历史（第1.3小节）。第2节专门讨论Stigler和Luckock提出的原始模型，而第3节讨论了引入做市商带来的新现象。1.2 modelLet的定义I=（I-, I+） R为非空开放区间，建模limitorders的可能价格，letI=[I-, I+] [-∞, ∞] 表示其闭合。回想一下，计数度量值I是一个度量值u，可以写为delta度量值的可数和。在任何给定时间，我们都用一对（X）来表示订单簿的状态-, I上计数度量的X+，其中我们解释X-（分别为。

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nandehutu2022

2022-5-30 22:10:53

X+由给定价格下的单位规模的买入（或卖出）限制订单组成。我们假设：（i）没有x，y∈ I这样x≤ y和X+（{X}）>0，X-（{y}）>0，（ii）X-[x，I+]< ∞ 和X+我-, x]< ∞ 对于所有x∈ 一、这里，第一个条件是，当卖方的要价低于或等于买方的出价时，订单簿不能同时包含买卖限制订单。第二个条件保证m-:= 最大值{I-} ∪ {x∈ I:X-（{x}）>0},M+：=最小值{I+}∪ {x∈ I:X+（{X}）>0},（1.1）定义明确，可解释为当前的买卖价格。请注意，如果订单簿不包含给定类型的限制订单，则M±：=I°。通常，通过签名计数度量X来表示订单簿比较方便：=X+- 十、-. 我们让SordDenote注意到这种形式的所有签名度量的空间，X-以及满足上述条件（i）和（ii）的X+。模型的动力学由两个函数λ±：I描述→ R、我们称之为需求函数λ-和供给函数λ+，以及非负常数ρ≥ 0，表示做市商的比率。我们假设：（A1）λ-为非递增，λ+为非递减，（A2）λ±为连续函数，（A3）λ+- λ-是严格增加的，（A4）λ±>0。我们让dλ±表示由dλ±定义的I上的度量[x，y]:= λ±（y）- λ±（x）（x，y∈ 一、 x个≤y）。尤其是dλ-为负测度，dλ+为正测度。

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能者818

2022-5-30 22:10:57

我们考虑一个连续时间马尔可夫过程（Xt）≥0获取空间中的值或具有以下描述的动力学对象。使用泊松本地汇率在区间内购买订单-dλ-, 交易员来了，以x的价格下了一个买入限价单，或者以某个价格下了一个可用的最佳卖出限价单≤ x、如果e上有，即x 7→ 十、- δx∧M+。泊松率λ区间外的采购订单-（I+），交易者来接受可用的最佳卖出限制指令（如果有），即X 7→ 十、- δM+，如果M+<I+，则不会发生其他情况。在区间内卖出订单，在本地利率dλ+，交易员在价格x下卖出限价订单，或在价格x下接受可用的最佳买入限价订单≥ x、如果e上有，即x 7→ X+δX∨M- .在区间外销售订单，泊松率λ+（I-), 交易者来接受可用的最佳买入限制指令（如果有），即X 7→ X+δM- 如果M-> 我-否则什么都不会发生。具有泊松率ρ的做市商，一个做市商到达时，以当前的买卖价格放置买卖限价单，前提是这些价格在I，即X 7之内→ 十、- 1{M->我-}δM-+ 1{M+<I+}δM+。在这里，“泊松局部利率dλ+”一词意味着价格在某个可测量集A内的限价订单我得出的泊松率dλ+（A）与不相交集A无关。我们假设所有控制不同机制（买卖市场/限制订单和做市商）的泊松过程都是独立的。在[Sti64，Luc03]之后，我们称之为马尔科夫过程（Xt）t≥0具有需求和供给函数λ±和做市商比率ρ的Stigler-Luckock模型。为了技术上的简单性，我们做出了假设（A2）–（A4）。如附录A所述。在[Swa18]中，这些假设基本上可以在不丧失一般性的情况下作出。

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2022-5-30 22:11:01

特别是，（A2）和（A3）失效的模型f可以作为（A2）和（A3）保持的模型的函数来获得。特别是，这适用于离散模型，其中限价订单只能以整数价格下达。为了在一个具体的例子中解释这一点，考虑一个价格区间形式为I=（0，2n）的模型，其中n≥ 1是一个整数，需求函数和供给函数满足λ-= -1个{x个为偶数}dx且dλ+=-1个{x个为奇数}dx，（1.2），即测量值dλ-具有关于Lebesgue测度的密度，即-1在间隔（1，2），（3，4），…和其他零处，同样，dλ+的密度在间隔（0，1），（2，3），…和其他零处为+1。让（Xt）t≥0表示具有此类需求和供应函数（满足（A1）–（A4））的模型，并设X′t：=Xto ψ-1在映射ψ（x）下删除度量值x的图像：=x/2 （十）∈ 一）。（1.3）然后（X′t）t≥0是一个m od el，其中限制订单只能以{1，…，n}中的离散价格下达。特别是，以原始模型中处于形式（2（k）区间的价格买卖限制订单s- 1），2k）的放置方式使其始终与买入订单和卖出订单的权利相匹配。应用映射ψ后，所有这些ord er都映射到PRICEK，即它们仍然匹配。1.3模型的历史我们刚才描述的模型的第一个参考是Stigler【Sti64】，他用λ±（I）模拟了一个模型) = 0且ρ=0，其中-dλ-dλ+是一组10个价格的均匀分布。Luckock【Luc03】（显然不知道Stigler的工作）考虑了需求和供给函数满足λ±（I）的一般模型) = 0，ρ=0。假设存在一种特殊的平稳性，Luckock能够找到其模型的买卖价格均衡分布的明确表达式。

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2022-5-30 22:11:04

在【Pla11】中，该模型再次被独立改造，这次是-dλ-dλ+在一组100个价格上的均匀分布。基于th和Luckock的工作，λ±（I）的模型) > [Swa18]中考虑了0，他能够给出此类模型正复发的精确标准。同时，Yudovina【Yud12a，Yud12b】，她不知道之前的参考文献，在她的博士论文中考虑了一般类别的需求和供应函数的模型（虽然不如Luckock的模型一般），并引入了一种涉及有限堆限制订单的结构，在数学上等同于设置λ±（I) > 0、与Kelly【KY18】一起，在某些技术条件下，他们能够证明，随着时间的推移，出价和要价的一致性，下限和上限具有一定的确定性值，他们能够明确计算。Stigler-Luckock模型的一个特征是，买卖订单的速度与当前价格无关。相比之下，许多作者考虑过这样的模型，即限额订单的价格与上一笔交易的价格【Mas00】或相反的最佳报价【CST10，SRR17】相对应。[Smi12]中给出了一个非常普遍但非常复杂的模型。参见[CTPA11]和[Sla13]第4章，了解到目前为止的文献（部分）概述。一些作者还允许取消订单。在实际市场中，大部分交易似乎来自于对价格上涨或道琼斯指数进行投机的交易员。有鉴于此，相对于当前价格下订单的模型可能看起来比我们感兴趣的模型更真实。

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2022-5-30 22:11:07

然而，要想让交易者感兴趣，背景中必须始终存在一些真实的需求和供给，无论这可能会被其他影响所掩盖。我们模型的一个不切实际的方面是，即使是对资产真正感兴趣且不太挑剔的交易员，通常也不会下离当前价格很远的限价单，而是等到价格达到他们可以接受的水平。因此，在我们的模型中，明显写入订单簿的限价订单实际上可能不可见，尽管它们仍然以交易员静默等待价格上涨或下跌的形式存在。无法取消限额订单肯定是StiglerLuckcock模型的一个不现实的方面，这还极大地影响了其长期的行为。然而，忽略订单的取消在中间时间尺度上可能不会太糟糕。因此，当订单数量已经很大，但取消还不是市场的一个重要方面时，该模型的平稳行为可能被视为实际市场在时间尺度上准平稳行为的理想化。在电子交易之前的几天，交易所地面上的做市商会匹配买入和卖出订单。尽管如今，做市商并未正式与其他交易者分离，但它们仍然以流动性提供者的形式存在，这与其他交易者不同，因为它们有着不同的交易动机。与其对购买或出售资产感兴趣，或者对其价格的未来发展进行投机，市场决策者以大量的方式发布购买和出售订单，目的是弥补买卖价格之间的微小差异。我们为做市商选择的策略非常简单。

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nandehutu2022

2022-5-30 22:11:10

根据订单簿的当前状态和其他交易员的预期行为，可能会有更明智的选择。然而，我们将看到，做市商的存在本身对订单的形状有着巨大的影响。考虑到这一点后，他们目前的战略可能不会太不切实际。从纯数学的角度来看，Stigler-Luckock模型类似于由其他应用程序驱动的许多其他模型。我们特别提到BakSneppen模型【BS93】及其Meester和Sarkar的修改【MS12】，峡谷形成模型【Swa17】，以及Barab\'asi【Bar05】和Gabrielli及Caldarelli【CG09】的电子邮件通信排队模型。所有这些模型都是“基于等级”的，因为动力学是基于粒子的相对顺序，所有模型都包含一些“杀死最低（或最高）粒子”的规则。对于[CG09]的模型，[FS16]研究了临界点附近的平稳过程的形状，并且这些作者推测他们的结果也适用于Stigler-Luckock模型。如果在Stigler-Luckock模型的动力学中，有一种模型将限制订单的有限生命周期替换为指数生命周期，那么该模型对于任何参数值都是正循环的，并且竞争窗口（见第2.1节）变得不明确。然而，只要取消率与订单到达率相比很小，这样一个模型的准平稳行为就可以很好地近似于没有取消的模型，并且竞争窗口可以在有限的意义上理解。0 0.2 0.4 0.6 0.8图1：“均匀”Stigler-Luckock模型的模拟，i=[0，1]，λ-（x） =1- x、 λ+（x）=x。

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2022-5-30 22:11:14

显示的是10000名交易员到达后订单簿的状态（从空订单簿开始）。2没有做市商的模型行为2.1竞争窗口考虑λ±（I）的Stigler-Luckock模型) = 0且无做市商（即ρ=0）。假设（A1）–（A4）意味着存在唯一的价格xW∈ I和常数VW>0，使得λ-（xW）=λ+（xW）=：VW。（2.1）追溯到Walras的经典经济理论[Wal74]指出，在完全流动的市场均衡中，具有需求和供给函数λ±的商品以价格交易，而交易量由大众给出。我们称之为沃尔拉斯价格和沃尔拉斯贸易量。在没有做市商的情况下，Stigler-Luckock将投票率建模为高度非流动性，这或许并不奇怪。事实上，买家愿意支付高于沃尔拉斯价格的价格，而卖家愿意以低于沃尔拉斯价格的价格进行销售，他们可能需要等待相当长的时间才能获得交易，因为出价和要价不会在沃尔拉斯价格结算，而是在竞争窗口中不断变化（x-, x+，满足λ-（十）-) = λ+（x+）。因此，Luckock的贸易量VL：=λ-（十）-) = λ+（x+）大于瓦拉斯的VW贸易量，事实上大于任何固定价格水平下的交易量。图1显示了均匀模型的数值模拟结果，i=[0，1]，λ-（x） =1-x、 λ+（x）=x。描述的是订单簿的状态，从空初始状态开始，在10000名交易员到达之后。这和更精确的模拟表明，竞争窗口的边界由x给出-≈ 0.218和x+≈ 0.782。从长远来看，以低于x的价格购买限价订单-以高于x+的价格卖出限价订单将永远留在订单簿中，而所有其他订单最终将匹配。

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2022-5-30 22:11:21

因此，Luckcock的交易量≈ 0.782比瓦拉斯贸易量VW=0.5高得多。Luckock【Luc03】描述了一种计算x的方法-, x+，和VL。特别是，对于均匀模型，他的方法预测VL=1/z，方程e的唯一解为z-z- z+1=0。为了解释Luckock的VL公式，我们需要查看受限模型。2.2受限制的modelsLet（Xt）t≥0be由供需函数λ±：I定义的Stigler-Luckock模型→ 做市商兰德比率ρ≥ 0、Let（J-, J+=J I是I的开子区间，设λ′±：J→ R是函数λ±对J.Let（X′t）t的限制≥0是由供需函数λ′±和做市商比率ρ定义的Stigler-Luckock模型。我们称之为（X′t）t≥0 J上的受限模型。其动力学与原始模型（Xt）的动力学相同≥0，但到达J以外的限制订单不能写入订单簿。相反，到达[J+，I+]价格的bu y限价订单转换为买方市场订单，而到达（I+）价格的买方限价订单-, J-] 没有影响。类似的规则也适用于销售限价订单。注：只要买卖价格M±tstay在J内，J内两个模型的演化是相同的，即将测度Xtto J限制为X′t。特别考虑一个具有λ±（i）的Stigler-Luckock模型) = 0和OUT市场庄家（即ρ=0）。Letλ-1.-: [0，λ-（一）-)] →I和λ-1+：[0，λ+（I+）]→I表示函数λ的左连续逆-和λ+，即λ-1.-（V）：=sup{x∈I：λ-（十）≥ V}和λ-1+（V）：=inf{x∈I：λ+（x）≥ V}。（2.2）设Vmax：=λ-（一）-) ∧ λ+（I+）表示可能的最大贸易量。

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2022-5-30 22:11:25

为了避免琐事，让我们假设（A5）VW<Vmax。根据需求和供应函数的连续性∈ （VW，Vmax），设置j（V）：=（λ-1.-（V），λ-1+（V））定义子区间J（V） I使得λ-（J）-（V））=V=λ+（J+（V））。为了便于以后使用，我们定义了一个连续、严格递增的函数Φ：[VL，Vmax]→Φ（0）=0乘以Φ（V）：=zvwnλ+λ-1.-（W）+λ-λ-1+（W）oWdW。（2.3）根据定义，Stigler-Luckock模型是正循环的，如果从空订单开始，它会在有限的预期时间内返回到空状态。以下事实已在【Swa18】中得到证实。命题1（Luckock的贸易量）假设（A1）–（A5），λ±（I) = 0，ρ=0。然后，对于每个V∈ （VW，Vmax），J（V）上的受限Stigler-Luckock模型是正流的当且仅当Φ（V）<1/VW。证明这一点的依据是命题2、定理3和[Swa18]中的公式（1.22）。命题1建议Luckcock的交易量应该由VL=sup给出五、∈ [VW，Vmax）：Φ（V）<1/VW, （2.4）竞争窗口由（x）给出-, x+=J（VL）=λ-1.-（VL），λ-1+（VL）. 这些公式与数值模拟非常吻合，也与【Luc03】中描述的计算VL的方法（稍微复杂一些）一致。对于统一模型，可以检查上一小节末尾描述的Vl常数。在λ±（包括统一模型）的某些附加技术假设下，【KY18，Thms 2.1和2.2】证明，投标和询价的下限和上限是竞争窗口边界给出的a.s.，正如我们刚刚计算的那样。我们注意到，VL>VWalways b，但有可能VL=Vmax。在后一种情况下，竞争窗口是整个区间I。例如，I=[0，1]，λ的模型会出现这种情况-（x） =（1）- x） α，如果0<α，λ+（x）=xα≤ 1/2。

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nandehutu2022

2022-5-30 22:11:32

在下一小节中，我们将看到，如果VL<Vmax，并且假设竞争窗口上的限制模型具有不变定律，则买卖价格的均衡分布由某个微分方程的唯一解给出。2.3平稳模型根据定义，Stigler-Luckock模型的不变定律是Sords上的概率定律，因此在该初始定律中开始的过程是平稳的。我们让菲诺：=十、∈ 排序：X-和X+是有限的度量（2.5）表示订单簿仅包含整数个订单的所有状态的Sordconsisting子空间。如果Stigler-Luckock模型是正递归的，那么它有一个唯一不变的定律，而且集中在S finord上（参见[Swa18，Thm 3]）。特别是，这适用于任何V<VL的J（V）上的受限模型。如果VL<Vmax，则认为竞争窗口J（VL）上的受限模型也有一个非唯一不变定律，但该不变定律并不集中于S fi nord。相反，在均衡状态下，competitivewindow包含a.s.每种类型的限制订单数量。在[FS16]中，对X的渐近性进行了精确的猜测-J附近-（VL）和X+接近平衡的J+（VL）。在严格的水平上，即使是证明受限模型J（VL）的不变定律的存在性，到目前为止也是一个悬而未决的问题。然而，假设存在这样一个不变量定律，Luckock能够计算出投标和as价格的均衡分布。我们引用[Swa18，Thm 1]的以下结果。本质上，这可以追溯到[Luc03，公式（20）和（21）]，尽管他只考虑了λ±（I）的情况) = 定理2（Luckock微分方程）假设需求和供给函数满足（A1）–（A4）且ρ=0的Stigler-Luckock模型具有不变定律。

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kedemingshi

2022-5-30 22:11:38

Let（Xt）t≥0表示在该不变定律中开始的过程，并让M±t=M±（Xt）表示时间t的买卖价格≥ 定义函数f±：I→ R byf-（x）：=PM-t型≤ x个和f+（x）：=PM+t≥ x个（十）∈ 一），（2.6），其平稳性不依赖于t≥ 那么f±是连续的，并解方程（i）f-dλ++λ-df+=0，（ii）f+dλ-+ λ+df-= 0，（iii）f-（I+）=1=f+（I-),（2.7）其中f-dλ+表示用密度f加权的量度dλ+-, 其他术语也有类似的解释。考虑满足（A1）–（A5），λ±（I）的Stigler-Luckock模型) = 0，ρ=0。设J为子区间，使得J 一、然后，在【Swa18，Prop.2】中已经表明，Luckock’sequation（2.7）对于受限模型（X′t）t≥0on J有唯一的解决方案（f-, f+。根据定理2，如果J上的约束模型具有不变定律，则-（J）-) = PX′-t=0f+（J+）=PX′+t=0（2.8）是约束模型（X′t）t≥0分别不包含bu y或sell limitorders。特别是，如果J上的受限模型具有不变定律，则这些量必须为≥ 如果限制模型是正回归模型，则它们必须大于0。在[Swa18，Thm 3]中，相反地，如果f-（J）-) ∧ f+（J+）大于0，则受限模型J是正递归的。

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2022-5-30 22:11:54

对于形式为J（V）的间隔=λ-1.-（V），λ-1+（V）如（2.2）所示，【Swa18，Prop 2和公式（1.22）】中显示o如果Φ（V）<1/VW，则f-（λ-1.-（V））>0和f+（λ-1+（V））>0。o如果Φ（V）=1/VW，则f-（λ-1.-（V））=0=f+（λ-1+（V））。（这里Φ是（2.3）中定义的函数。）特别是，如果VL<Vmax，则Luckock方程有唯一的解（f-, 竞争窗口J（VL）上的f+，并且该解决方案满足f-（J）-（VL））=0=f+（J+（VL）），表示出价和要价从未离开竞争窗口。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1ρ=0.5图2：模拟图1的统一Stigler-Luckock模型，以获得做市商的不同比率ρ值。显示的是10000名交易员到达后订单簿的状态。ρ=0.6的直方图具有不同的垂直刻度。3模型与做市商的行为3.1数值模拟在图2中，我们显示了“统一”Stigler-Luckockmodel的数值模拟结果，i=[0，1]，λ-（x） =1- x、 λ+（x）=x，表示做市商的不同费率ρ。我们观察到，随着ρ的增加，竞争窗口的大小减小，直到ρ=ρc=0.5时，竞争窗口完全关闭，买卖价格以Walrasian价格xw结算。如果做市商的比率ρ增加得更多，超过这一点，我们观察到一个有趣的现象。在这种制度下，买卖价格收敛到一个随机极限，每次我们运行模拟时，这个极限都不同，通常也不同于瓦拉斯价格xW。

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能者818

2022-5-30 22:11:57

其原因是，做市商在当前买入和卖出价格上下达的限制买入和卖出指令有巨大盈余，这可能会“冻结”随机位置的价格。在接下来的小节中，我们将证明，竞争窗口完全关闭的临界利率ρcof市场制造商适用于由ρc=VW（Walrasian交易量）给出的连续模型。我们将认为，对于ρ<VW，买卖价格的均衡分布仍然由微分方程的唯一解给出，类似于λ±（I) = 0.对于ρ≥ VW，我们将证明出价和askprice收敛到一个共同的极限，并确定该极限可以取值的可能价格的子区间。3.2平稳模型在本小节中，我们展示了如何在0<ρ<VW的情况下，通过类似于ρ=0的方法计算竞价窗口和买卖价格的均衡分布。我们首先研究了Luckock的微分方程在市场制造商存在的情况下是如何变化的。定理3（Luckock微分方程）定理2推广到ρ≥ 0前提是我们将Lu-ckock方程（2.7）修改为（i）f-dλ++（λ-- ρ） df+=0，（ii）f+dλ-+ （λ+- ρ） df公司-= 0，（iii）f-（I+）=1=f+（I-).（3.1）证明我们首先证明f±是连续的。根据对称性，必须对f执行此操作-. Rightcontinuity是从p概率测度p的连续性开始的。为了证明连续性，需要证明p[M-t=x]=0表示所有x∈ （一）-, I+]。对于x=I+，这是明确的。想象一下P【M】-= x] 某些x大于0∈ （一）-, I+。Sin ce X∈ Sord，在[x，I+]中最初有很多购买限制条件。

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2022-5-30 22:12:01

根据假设（A4），这些限购指令在时间1之前的某个时间全部取消的概率为正，而根据假设（A2），新限购指令在该时间之后到达x的概率为零。这证明了p[M-= x] <P[米-= x] ，与平稳性相矛盾。为了证明（3.1），我们观察到，通过平稳性，f或每个可测量的A 从我身上被束缚的我-, 以与删除相同的速率在A中添加销售限额订单。这就得到了方程zap[M-t<x]dλ+（dx）+ρZAP[M+t∈ dx]=ZAλ-（x） P[米+吨∈ dx]。（3.2）此处，左侧的第一项是将限价订单添加到价格x的频率∈ 当当前出价低于x时，左边的第二项是做市商以当前要价添加卖出限价订单的频率，右边是因低价买入限价订单或买方市场订单的到达而删除当前要价卖出限价订单的频率。也使用f的连续性-, （3.2）证明（3.1）（i）。（ii）的证明是相似的，而（iii）的边界条件是根据M-t<I+和M+t>I-a、 s.假设（A1）–（A5），fixρ和定义λ±：=λ±- ρ。然后d∧±=dλ±，因此（3.1）只是Luckock的原始方程（2.7），其中λ±替换为∧±。特别是，如果ρ<VW，则▄Vmax：=sup五、≥ VW：￠λ-（λ-1+（V））∧λ+（λ-1.-（V））>0（3.3）满足VW<Vmax，且对于每个V∈ （VW，Vmax），函数λ±在超区间J（V）=（λ）上为正-1.-（V），λ-1+（V））。这表明，对于有做市商的模型，Luckock的交易量应该由（2.4）给出，但Vmax替换为▄Vmax，函数λ±在定义Φin（2.3）时替换为▄λ±。使用此公式定义VL，如果VL<Vmax，则[Swa18，道具。

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2022-5-30 22:12:06

2] 告诉我们（3.1）有一个唯一的解决方案（f-, 竞争窗口J（VL）=（λ）上的f+-1.-（VL），λ-1+（VL）），这应该给出投标和询价的均衡分布。此外，由于￠Vmax（d epends onρ）减小到VWasρ↑ 大众，我们看到VL↓ Vw，竞争窗口d的大小减小为零，为ρ↑ 大众汽车。3.3在前一小节中，我们认为，对于每个ρ<Vw，竞争窗口都有一个正的长度，但其长度d随着ρ的减小而变为零↑ 大众汽车。在本小节中，我们看一看制度ρ≥ 大众汽车。有必要加强对需求的假设（A1）和假设（A3），并提供函数λ±，以：（A6）λ-在I上严格递减，λ+在I上严格递增。我们在第1.2小节中提出，假设（A1）–（A3）基本上可以在不丧失一般性的情况下进行。此外，（A4）和（A5）仅排除琐碎的情况。然而，假设（A6）是限制性的。如第1.2小节末尾所述，我们可以通过构建满足（A1）–（A3）的其他模型的函数，将价格在OUR分析中假设为离散值的模型包括在内。然而，从（1.2）中可以清楚地看出，这些模型将不满足（A6），因此我们下面的结果定理4不适用于离散模型。对于λ±（I）的模型) = 0，我们通过设置Vw=su px来概括我们之前对瓦拉斯贸易量Vw的定义∈我λ-（十）∧ λ+（x）. （3.4）在假设（A2）和d（A6）下，函数λ-∧ λ+在唯一点xW上假设其最大值，我们称之为Walrasian价格。对于λ±（I）的模型) = 0，这些定义与我们之前的定义一致。

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2022-5-30 22:12:10

下面的定理描述了带有ρ的更大Luckcock模型的行为≥ 大众汽车。定理4（价格固定）Let（Xt）t≥0be是一个Stigler-Luckock模型，供需函数λ±满足（A2）、（A4）和（A6），做市商比率ρ满足ρ≥ 大众，在Sord的初始状态下启动。Le t M±t=M±（Xt）表示时间t时的投标价格和ASK价格≥ 然后存在一个随机变量M∞这样的限制→∞M-t=极限→∞M+t=M∞a、 s.（3.5）此外，M定律的支持∞由{x）给出∈I：λ-（十）∨λ+（x）≤ ρ} 。特别是，如果ρ=VW，则M∞= xWa。s、我们用一些引理准备定理4的证明，其中一些引理是独立的。引理5（冻结概率下限）Let（Xt）t≥0be一个区间I上的Stigler-Luckock模型，需求和供给函数λ±满足（A1）–（A4）和做市商比率ρ≥ 0、假设最初M-= y其中y∈ 满足λ+（y）<ρ。然后M-t型≥ yt型≥ 0≥ 1.-λ+（y）ρ。（3.6）考虑数字X的证明-t（{y}）的购买限制订单，这些订单正好位于价格。当M-t=y，该量随ρ上升1，随λ+（y）下降1，而在M-t> 是的，这个数量根本没有变化。因此，直到第一次-t（{y}）=0，这个过程是随机行走Z的随机时间变化，它以ρ的速率上升一步，以λ+（y）的速率下降一步。如果λ+（y）<ρ，那么根据著名赌徒的破产，这个从1开始的随机游动保持概率为1的正游动- λ+（y）/ρ。引理6（约束在竞争窗口上）Let（Xt）t≥0be一个区间I上的Stigler-Luckock模型，需求和供给函数λ±满足（A1）–（A4）和做市商比率ρ≥ 假设x，y∈ I满足λ-（x） >λ-（y） λ+（y）<ρ。然后lim信息→∞M-t<x和lim支持→∞M+t>y= 0

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2022-5-30 22:12:13

（3.7）根据对称性，如果λ+（x）<λ+（y）和λ-（x） <ρ。证明如果我们在初始状态下启动流程，那么M+≥ y、然后有一个概率：=λ-（十）- λ-（y） λ-（一）-) + λ+（I+）+ρ>0（3.8），即第一个到达市场的交易员在区间（x，y）的某个地方下了限购令。通过引理5，则概率至少为q：=1- λ+（y）/ρ>0，即该事件发生后，百思买价格M-t从未下降到数值≤ x了。因此，让σ表示交易者第一次到达市场，我们就有了atPM-t> x个t型≥ σ| M+≥ y≥ pq>0。（3.9）我们声称这意味着（3.7）。为此，设置τ：=0并定义归纳σk：=inf{t≥ τk：M+t≥ y} （k）≥ 0），σ′k：=inf{t>σk：交易者数组}（k≥ 0），τk：=inf{t≥ σ′k-1： M级-t型≤ x} （k）≥ 1），（3.10），其中空集的上限为：=∞. 根据强马尔可夫性质，P[τk<∞] ≤（1）- pq）k因此P[τk<∞ k≥ 0]=0，这意味着（3.7）。引理7（冻结）Let（Xt）t≥0be是一个Stigler-Luckock模型，需求和供应函数λ±满足（A2）、（A4）和（a 6），做市商比率ρ满足ρ≥ 大众汽车。然后存在一个随机变量M∞这样的限制→∞M-t=极限→∞M+t=M∞a、 s.（3.11）证明如果（3.11）不成立，则必须存在x，y∈ I，x<y，如atPlim信息→∞M-t<x和lim支持→∞M+t>y> 0。（3.12）乘以（A6），使间隔（x，y）变小（如有必要），我们可以在不丧失一般性的情况下假设我们处于以下两种情况之一：I.λ+（y）<ρ，和IIλ-（x） <ρ。使用增益（A6），我们看到（3.12）与引理6相矛盾。引理8（有界于可能极限值s），在引理7，随机变量M的假设下∞自（3.11）满意度λ-（M）∞) ∨ λ+（M∞) ≤ ρa.s.（3.13）对称证明，必须证明λ+（M∞) ≤ ρa.s.假设相反。然后存在一些z∈ I，λ+（z）>ρ，使得PM∞∈ （z，I+]> 0

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2022-5-30 22:12:16

通过λ的连续性-, 对于每个ε>0，我们可以用（x，y）（如果y<I+）或（x，y）（如果y=I+）形式的有限多个区间覆盖紧区间[z，I+]，从而λ-（十）- λ-（y）≤ ε。有鉴于此，我们可以找到x<y，u>0，使得λ+（x）>ρ+λ-（十）- λ-（y）和P[x≤ M-t型≤ M+t≤yt型≥ u] >0。在时间间隔[u，∞), 只有当做市商到达或买方在[x，y]中下bu y限价单时，[x，y]中的买入限价单数量才会增加。另一方面，[x，y]中的买入限价单数量在交易者每次以某种价格在（I）中下卖出市价单或卖出限价单时都会减少-, x] ，它有时根据泊松过程发生，速率为λ+（x）。因为λ+（x）>ρ+λ-（十）- λ-（y）, 根据适用于控制不同类型交易者到达的泊松过程的拉金数定律，我们可以看到a.s.在x≤ M-t型≤ M+t≤ yt型≥ u、一定会有一天，[x，y]中不存在买入限制指令，这是一个矛盾。定理4引理7和8的证明表明，M±t将a.s.转换为公共限制M∞取紧致区间C中的值：={x∈I：λ-（十）∨ λ+（x）≤ ρ} 。若ρ=VW，则通过（A6），C由单点C={xW}组成。在另一个h和d上，如果ρ>VW，则通过（A6），C=[C-, C+]是正长度的间隔。为了完成证明，在后一种情况下，对于每个C-< x<y<C+，事件M∞∈ （x，y）具有正概率。不难看出，对于每个X∈ 当t>0时，x<M-t<M+t<y。因此，必须证明如果x<M-< M+<y，然后P[M∞∈ （x，y）]>0。这与引理5相似，但我们使用的参数略有不同。注意，通过（A6），λ-（x） <ρ和dλ+（y）<ρ。

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2022-5-30 22:12:21

只要x≤ M-t型≤ M+t≤ y、数字X-t型[x，y][x，y]中的买入限制订单数量增加1，比率至少为ρ，减少1，比率最多为λ+（y）。对于（x，y）中的销售限额订单数量，也有类似的说法。Let（N-t、 N+t）t≥0be在Z中是一个马尔可夫过程，它随速率跳跃（n-, n++7→ （n）-+ 1，n+，速率ρ，（n-, n++7→ （n）-- 1，n+，速率λ+（y），（n-, n++7→ （n）-, n++1）速率ρ，（n-, n++7→ （n）-, n个+- 1）速率λ-（x）。（3.14）然后（N-t） t型≥0和（N+t）t≥0是具有正漂移的独立随机游动，因此由强大的数定律决定，如果N-> 0和N+>0，然后p[N-t> 0和N+t>0t型≥ 0]>0。（3.15）现在，该主张源自一个简单的耦合论证，比较X±t[x，y]N±t.3.4结论Stigler-Luckock模型是交易员通过限价指令簿进行交互的最基本、最自然的模型之一，事实上，它是如此自然，以至于至少四次独立（重新）发明了它【Sti64、Luc03、Pla11、Yud12b】。尽管它是基于自然假设，但其行为是不现实的，因为买卖价格不是在瓦拉斯均衡价格下结算的，而是在一个称为竞争窗口的正长度区间内波动。这为做市商或流动性供应商提供了一个机会，他们通过低价买入、高价卖出来赚钱。在本文中，我们将此类做市商添加到模型中，他们使用非常简单的策略进行交易，即在当前出价和askprice下一个买卖限制订单。我们已经看到，做市商的加入使得该模型更加现实，因为竞争窗口的大小减小了。

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2022-5-30 22:12:26

特别是，对于连续模型，如果做市商下订单的速度等于瓦拉斯的交易量，那么竞争窗口的大小将减小到零，买卖价格将收敛到瓦拉斯均衡价格。如果做市商的比率更高，那么买卖价格也会收敛到一个共同的极限，但现在的极限价格是随机的，与瓦尔拉斯均衡价格有着本质的区别。此外，在这种制度下，做市商下达的一些限制订单从未与市场订单相匹配，而是永远停留在订单簿上（按照我们感兴趣的时间尺度）。事实上，做市商只有在他们的限价单匹配的情况下才能获利，而这与竞争窗口的大小成正比。因此，在实际市场中，一旦竞争窗口的规模变为零，做市商就没有动力进行交易。有鉴于此，在现实中，我们可以期待一种自我调节机制，以确保从长远来看，做市商下订单的速度大致等于沃尔拉斯的交易量。其结果是，在限制范围内，所有交易都涉及到做市商，即最初的Stigler Luckock mo del的买方和卖方不直接互动，而是与做市商进行所有交易。我们由此得出结论，在Stiger-Luckock模型中加入做市商产生了一个更现实的模型，特别是如果做市商的比率被选择为等于Walrasian交易量。未来，更好的模型应该包括一种自我调节机制，通过权衡预期利润与成本和风险，将市场庄家下订单的利率与当前订单账面状态联系起来。

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2022-5-30 22:12:30

现实模型还应考虑只能采用离散值的价格，因为在现实中，竞争窗口的大小，因此做市商的盈利潜力从下方受到股票大小的限制。参考文献【Bar05】A.-L.Barab\'asi。人类动力学中爆发和重尾的起源。《自然》435（2005），207–211。【BS93】P.Bak和K.Sneppen。在一个简单的进化模型中断断续续的平衡和临界。物理。修订版。利特。74（1993），4083-4086。[CG09]A.Gabrielli和G.Caldarelli。入侵渗流和人类动力学排队模型的时间标度行为。J、统计机械。（2009），P02046（10页）。【CST10】R.Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。操作。第58（3）（2010）号决议，549-563。【CTPA11】A.Chakraborti、I.M.Toke、M.Patriarca和F.Abergel。经济物理学评论II：基于主体的模型。数量。《金融》11（7）（2011），1013–1041。【FS16】M.Formentin和J.M.Swart。满邮箱的限制形状。ALEA 13（2）（2016），1151–1164。F.Kelly和E.Yudovina。限价指令簿的马尔可夫模型：阈值、复发和交易策略。数学操作。第43（1）（2018）号决议，181–203。[Luc03]H.Luckock。连续双作用的稳态模型。数量。《金融学》3（5）（2003），385–404。[Mas00]S.马斯洛夫。限制订单驱动市场物理的简单模型a 278（2000），571–578。[MS12]R.Meester和A.Sarkar。修改后的BakSneppen模型中的严格自组织临界性。J、统计P hys。149（2012），964–968。[Pla11]Jana Plaˇckov\'a.Shluky volatility a dynamika popt\'avky a nab\'dky。（捷克语）布拉格查尔斯大学MFF硕士论文，2011年。【Sla13】F.Slanina。经济物理学建模要点。牛津大学出版社，2013年。[Smi12]M.ˇSm'd.连续双重拍卖的概率性质。Kybernetika48（1）（2012），50–82。【SRR17】E.Scalas、F.Rapallo和T。

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