多做市商环境下的最优成交费

2022-6-24 11:34:23

多做市商环境下的最优成交费*Bastien Baldacci+Dylan PossamaiMathieu Rosenbaum§2021年3月9日摘要根据最近有关“买入价”政策的文献，我们考虑一家交易所希望与多家做市商签订合适的合同，以提高其平台上的交易质量。为此，我们采用委托代理法，代理人（做市商）以纳什均衡方式优化报价，对委托人（交易所）提出的合同做出最佳回应。该合同旨在吸引平台上的流动性。这是因为交易所的财富取决于市场订单的达成，而市场订单的达成是由做市商的扩张推动的。我们以准显式的形式计算了最优合约，并给出了做市商的最优利差策略。在这种多做市商的背景下，出现了一些新现象。特别是，我们表明，在存在承包方案的情况下，拥有大量做市商并不一定是最优的。关键词：做市商收取费用、做市商、高频交易、契约理论、金融监管、委托代理问题、多代理问题、随机控制。1简介自开创性工作以来，最优做市一直是数学金融领域的一个热门话题。做市商是流动性提供者，他们在交易所提供的标的资产订单簿上发布限额订单，并询问双方。他们同时买卖，赚取报价和中间价之间的价差，并且必须动态管理库存，从而根据自己的仓位调整报价。第一个简单的做市商问题在[1；9]中讨论，作者使用了随机控制方法。在【8】的后面部分，通过为做市商设定库存阈值，提供了一个明确的解决方案。

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2022-6-24 11:34:26

这些文章中出现了大量文献，并对各种扩展进行了研究，例如参见[2；7]。所有这些模型都处理了交易所没有创收商费用政策的做市活动的情况。*这项工作得益于监管、金融风险、金融和可持续发展的主席分析和模型的财政支持。Bastien Baldacci和Mathieu Rosenbaum感谢ERC赠款679836 Staqamof的财政支持。Dylan Possama"i感谢ANR项目Pacman ANR-16-CE05-0027的支持。作者感谢Thibaut Mastrolia、Nizar Touzi、Steve Shreve和BenWeber在早期版本的论文中指出了一些不准确之处。+法国巴斯蒂安Cedex Palaiseau Cedex 91128号萨克莱路CMAP埃科尔理工学院。baldacci@polytechnique.edu.ETH Zürich，数学系，R"amistrasse 101，8092 Zürich，瑞士，dylan。possamai@math.ethz.ch.§法国马蒂厄塞德克斯帕莱索91128号萨克莱路CMAP埃科尔理工学院。rosenbaum@polytechnique.eduDue金融市场、交易所（纳斯达克、泛欧交易所等）的分裂正处于竞争中，因此需要找到创新的方式来吸引其平台上的流动性。其中一种方法是使用创收商收费系统：交易所通常将费用回扣与已执行的限额订单相关联，同时对市场订单收取交易成本。这使其能够补贴流动性准备金和对流动性消费征税。因此，相关的收费政策问题是市场流动性质量和相应交易平台收入的关键。

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2022-6-24 11:34:29

在[4]中，根据市场制造商产生的交易流量，推导出了最佳的成交费政策。然而，无论是否有交易所的干预，都没有最优的做市商框架来解决多个做市商相互竞争的问题。出于几个原因，这种考虑至关重要。单一做市商的情况意味着他没有竞争对手，因此只需要管理他的库存风险。然而，对于许多金融资产，做市商活动由多个做市商提供（通常为三到十个），参见示例【15】。因此，拥有多代理模型更适合绝大多数市场。单一代理人模型可能会对做市商在交易期间处理的订单流量进行过度估计。此外，金融市场的几个重要特征与做市商之间的竞争有关，如价差形成和订单簿形状，参见[3；6；11；13]。从交易所的角度来看，考虑到几个做市商可能是相关的，因为它在实践中可以获得与每笔交易中涉及的代理身份相关的信息。出于这些原因，本着[4]的精神，我们将做市商收取费用问题的框架扩展到一个交易所（或监管机构）希望吸引市场流动性的情况，即多个做市商在单一基础资产上进行交易。从建模的角度来看，我们的论文遵循了与上述文献相同的灵感。在这里，我们旨在研究一个交易所和几个做市商在单一标的资产上交易的合约问题。我们将自己置于类似于[10]的委托代理框架中。委托人希望为代理人订立一份合同，使其能够制定一项最佳的收取费用政策，以实现收入最大化。

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2022-6-24 11:34:32

市场接受者发送买卖指令，数量恒定等于1，而做市商控制其对资产的报价（此处不考虑限制指令数量的概念）。我们的合同以交易流量和资产价格为基础。请注意，如[4]中所述，药剂的扩散不是可收缩变量。建议只考虑实际交易中涉及的变量。此外，个别价差的定义很不明确，因为实际上做市商在限额订单簿中操作，他们发布多个不同数量的订单。市场订单由做市商以最佳报价执行。然而，其他市场参与者根据其报价与最佳出价或要价之间的距离获得补偿。通过这样做，我们旨在对影响订单的队列位置进行建模，请参见[6；11；14]。由于我们假设数量不变，这表示订单可能会根据代理在订单簿中的位置在代理之间拆分。此外，这种补偿反映了做市商出于商业原因获得足够紧的报价的重要性，详情见第3节。因此，每个做市商的PnL流程取决于其他做市商的报价。最后，在[4]的单一做市商框架中，到达指令的强度是代理价差的递减函数。在我们的案例中，强度随着市场总流动性的增加而增加。

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2022-6-24 11:34:35

为此，我们根据价差与有效价格之间的距离，使用价差的加权和来表示订单簿的整个流动性。正如[4]中所述，我们的问题是通过解决交易所和做市商之间的斯塔克伯格博弈来解决的：（i）按照[5]中的方法，每个做市商计算其最佳反应函数，给出其他代理的读数，这提供了纳什均衡。（ii）在这种均衡条件下，交易所通过求解适当的Hamilton–Jacobi–Bellman方程来计算其最优响应（最优合约）。（iii）这种反应被重新注入代理的最佳报价中，从而给出双方的最佳答案。可以通过偏微分方程以半显式形式检索最佳报价。此外，最优收缩表示为关于市场秩序和有效价格过程的随机积分之和。我们强调，此类承包方案易于实施，易于解释，见第3.3节。一个重要的发现是，做市商数量的增加并不一定会降低平均价差。这意味着，对于给定的一组市场参数，在平台PnL最大化的意义上，存在“最佳”的市场制造商数量。因此，对于交易所而言，它提供了一个框架来决定他们希望吸引多少市场参与者来提高他们的收益。我们还提供了一个简单的公式来选择“买方成本”，其精神与[4]中的相同。第4.4节对此进行了讨论。

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2022-6-24 11:34:39

我们强调，据我们所知，我们利用阿维拉内达（la Avellaneda）和斯托伊科夫（Sto"ikov）处理多做市商问题的框架为投资者提供服务。本文的主要贡献之一在于分析市场中增加做市商对交易成本、总订单流量和平台PnL等利益数量的影响。我们还发现，增加具有较高风险厌恶参数的市场参与者将降低平均利差，反之亦然。此外，当市场制造商数量增加时，降低接受者成本会导致平台在某一点上的PnL更高（见第4.4节）。我们将论文组织如下：在第二节中，我们介绍了模型主要对象的随机计算的一些预备知识。然后，我们介绍了我们对多做市商案例建模的方法，以及与[4]的主要差异。我们还描述了做市商和交易所的优化问题。在第3节中，我们给出了每个做市商对给定合同的最佳反应函数，并定义了可接受合同的形式。在第4节中，我们明确解决了交易所的问题，并为每个做市商提供了激励形式。最后，在第5节中，我们讨论了几个做市商的存在对平台的市场流动性和PnL的影响。符号：Let N？是所有正整数的集合。对于任何（`，c）∈ N×N？，M`，c（R）将表示`×c矩阵的空间和实数项。矩阵M的元素∈ M`，表示的注意（Mi，j）1≤我≤`,1.≤j≤c M的转置表示为M>。我们将M`，1标识为R`。当`=c时，我们让M`（R）：=M`，`（R）。对于任何x∈ M`，c（R），对于任何1≤ 我≤ ` 和1≤ j≤ c、 xi：∈ M1，c（R）和x：，j∈ R`分别表示i-第th行和第j行-M的第th列。

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2022-6-24 11:34:41

此外，对于任何x∈ M`、c（R）和任意1≤ j≤ c、 x：，-j∈ M`，c-1（R）表示矩阵x，不带j-第列。对于任何x∈ M`、c（R）和y∈ R`，我们还定义了i=1，…`，y九∈ M`，c+1（R）作为矩阵，其第一个i- 1列等于第一列i- 1列x，对于j=i+1，c+1，j-第列等于（j- 1)-x的第th列，其i-第th列等于y。对于任何x∈ R`，我们还定义：=迷你∈{1，…，`}xi。我们还定义了RN的向量，每个分量等于1。正如在实践中大多数情况下所做的那样，我们规定每个做市商都收到相同的合同。这意味着它不能依赖于个人风险规避参数。在本文中，我们确定了一个常数δ∞> 0，假设其足够大（稍后将具体说明其大小）。2模型2.1框架2.1.1规范过程如【4】所述，本文所考虑的框架是受开创性著作【1】和【8】的启发，其中没有交易所在市场上发挥作用。让N≥ 1是一个整数，表示市场中做市商的数量。我们还定义了一个正常数δ∞, 这被认为是largeenough，这一声明将在稍后进行精确说明。我们考虑最终地平线时间T>0，以及空间Ohm =: Ohmc×Ohm第二，带OhmC从[0，T]到R的连续函数集，以及Ohmd从[0，T]到N的分段常数cádlág函数集。我们考虑Ohm 作为从[0，T]到R2N+1的cádlág函数的Skorokhod空间D（[0，T]，R2N+1）的子空间，设F为trace Borelσ-代数打开Ohm, 其中，拓扑是与通常的Skorokhod距离D（[0，T]，R2N+1）相关联的拓扑。我们让（Xt）t∈[0，T]：=Wt，N1，at，NN，at，N1，bt，NN，btt型∈[0，T]是上的canonicalprocessOhm, 也就是说wt（ω）：=w（t），Ni，at（ω）：=Ni，a（t），Ni，bt（ω）：=Ni，b（t），对于所有i∈ {1, . . .

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2022-6-24 11:34:46

，N}，ω：=（w，n1，a，…，nN，a，n1，b，…，nN，b）∈ Ohm. 以下聚合计数过程也将有用nj：=NXi=1Ni，j，j∈ {a，b}。最后，定义i∈ {1，…，N}，j∈ {a，b}映射λi，j:RN×ZN-→ R和λ：RN×ZN-→ Rbyλi，j（x，q）：=A exp-kσc+$NXi=1xi{xi=x}+NXi=1KX`=1H` xi{xi∈K`}{xi6=x}！！{xi=x，qi>-φ（j）q}PN`=1{x`=x，q`>-φ（j）q}，（2.1）λj（x，q）：=NXi=1λi，j（x，q），其中A、k、σ和c是固定的正常数，k是固定的正整数，q∈ N、 $和（H`）`=1，。。。，Kare实值，稍后将确定，{K`:`=1，…，K}是区间[0，δ]的开放覆盖∞]. 此外φ（j）：=1，如果j=a，-1，如果j=b。有关（2.1）的经济和数学解释，请参见第2.1.4节。备注2.1。这里的映射λi，jare定义了点过程Ni，j的强度，而λ对聚合点过程起着这一作用。这是对[4；8]中使用的指数强度的概括，即o所有利差都被考虑在内，并根据其价值进行加权；o当N=1和$=1时，我们恢复了单一做市商案例的强度。2.1.2容许控制、库存过程和规范概率测量确定概率Pon(Ohm, F）这样，在P、W、Ni、a和Ni下，对于所有i=1，…，都是独立的，N、 W是一维布朗运动，Ni，aand Ni，裸泊松过程，强度分别为λi，a（0，0）和λi，b（0，0）。因此，我们赋予空间(Ohm, F）使用（P-增强）规范过滤F：=（Ft）t∈[0，T]：=（Fct（Fdt）d） t型∈[0，T]由（Xt）T生成∈[0，T]。众所周知，过滤满足通常条件，而Blumenthal 0-1法律。

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2022-6-24 11:34:49

除非另有说明，否则流程的所有可测量性概念应理解为与F相关。做市商对（St）t给出的资产的有效价格（应理解为中间价格）有看法∈[0，T]，定义假设：=S+σWt，T∈ [0，T]，（2.2），其中S>0是已知的价格初始值，σ>0是其波动率。备注2.2。将算术布朗运动用于有效价格过程的动机在于其简单性。价格（2.2）只有在足够大的时间范围T内才能以不可忽视的概率达到负值。出于实际目的，我们选择T<1天，以便方程（2.2）精确地近似于几何布朗驱动的有效价格，该价格几乎肯定为正。接下来，我们定义了代理的受控过程的属性。根据他们对有效价格（2.2）的看法，做市商提供标的资产的出价和询价。此类价格由PI确定，bt：=St- δi，bt，Pi，at:=St+δi，at，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，N}，其中上标b（分别为a）表示bid（分别为ask）。因此，做市商的可接受控制集定义为：=（δt）t∈[0，T]=（δi，at，δi，bt）i=1，。。。，Nt公司∈[0，T]：R2N-δ约束的有值可预测过程∞. （2.3）差价的可预测性反映了每个代理提前选择报价的事实。这里的有界性假设是技术性的，只是帮助我们确定相关的概率度量。

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2022-6-24 11:34:52

由于我们稍后将推导的最优合约自然会导致有界利差，这实际上不会失去一般性，前提是选择的边界足够大。作为一个直接的结果，强度为λ（0）的Na和Nbare Poisson过程换句话说，Pis只是OhmC上的唯一度量值Ohm2ndt使那里的正则过程变成具有规定强度的齐次泊松过程。δ的规定值见引理A.5∞.做市商管理价差和库存流程。对于i-第三个代理，即以Ni、b为代表的已完成的BIDDORDER，将其库存增加一个单位，反之，对于ask订单。它导致对做市商库存流程的以下定义：=Ni，bt- 镍、at、t∈ [0，T]，i∈ {1，…，N}。备注2.3。给定强度的形式（2.1），i-只有当经纪人报价的价差为δi，b=δb，或δi，a=δa时，他才会看到自己的库存发生变化。这种报价分别称为最佳出价价差和最佳要价价差。（2.1）中定义的术语q是一个关键的绝对库存，对于每个代理都是相同的。假设i-做市商在出价方超过此阈值，则λi，b（δ，q）=0，他只能收到订单，要求将其库存减少到q.2.1.3概率度量的变化根据我们的技术假设，我们为任何δ∈ 一种新的概率测度Pδ(Ohm, F）式中，S遵循（2.2）和▄Nδ，i，at：=Ni，at-Ztλi，a（δar，Qt）dr，~Nδ，i，bt：=Ni，bt-Ztλi，b（δbr，Qt）dr，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，N}，（2.4）是鞅。该概率度量由相应的Doléans Dade指数δt=exp定义NXi=1Xj∈{a，b}Ztlogλi，j（δjr，Qr）a！dNi，jr-Zt公司λi，j（δjr，Qr）- A.博士, （2.5）其中Q：=（Q，…，QN）>。

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2022-6-24 11:34:57

通过直接应用It^o公式，以及δa和δb的一致有界性，该局部鞅满足了[18]中给出的Novikov型准则，因此是一个鞅。备注2.4。通过定义，补偿聚合点过程Nδ，at：=Nat-Ztλ（δar）dr，~Nδ，bt：=Nbt-Ztλ（δbr）dr，t∈ [0，T]也是Pδ下的鞅。因此，我们可以用dPδdP=LδT来定义测量的Girsanov变化（参见示例[12，TheoremIII.3.1]）。特别是，所有概率测度Pδ都由δ索引∈ A是等效的。注释A。s、几乎可以肯定的是，可以毫无歧义地使用。在整篇文章中，我们在概率测度Pδ下写出了关于f的条件期望的Eδt。因此，i-做市商由点过程（Ni，at）t表示∈[0，T]（分别为Ni，bt）T∈强度（λi，a（δat）T）的[0，T]）∈[0，T]（分别为λi，b（δat）T∈[0，T]），而ask（resp.bid）市场订单的总到达量由点过程（Nat）T表示∈[0，T]（分别为Nbt）T∈强度（λ（δat）T）的[0，T]）∈[0，T]（分别为λ（δbt）T∈[0，T]）。2.1.4解释首先，我们对（2.1）中强度的形状进行了评论。购买（或出售）市场订单到达的强度取决于市场接受者支付的每笔交易相对于有效价格的额外成本。该额外成本是当前以最佳出价（或最佳ask）交易的做市商施加的价差δb（或δa）与交易所收集的交易成本c>0之和。此外，根据经典金融经济学的结果，单位时间内的平均交易次数是利差与波动率之间比率的递减函数（见[3]、[13]、[19]）。订单到达的强度还取决于市场流动性，即所有市场参与者所报的价差。

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2022-6-24 11:35:00

因此，i-做市商的权重为常数H`、`∈ {1，…，K}。稍后将选择该常数。目前，请注意它是`的递减函数。因此，较小的排列对应较高的权重，反之亦然。回想一下，在我们的模型中，我们做了一个近似值，即我们只能有大小为1的订单。因此，强度的增加表明我们可以发送更大的订单（许多1号订单对应一个大订单）。此类重量取决于开口盖NK`:`∈ {1，…，K}o，在第2.1.1小节中介绍。可以选择几种形式（例如，第一个勾号周围的较薄间隔），在本文中，我们使用以下定义k`：=(` - 1）刻度，min（`刻度，δ∞), ` ∈ {1，…，K}。（2.6）注意，我们可以选择K=1，这将导致唯一区域K=[0，δ∞]. 在这种情况下，所有δ6=mini=1，…，对到货订单强度的预测是相同的，。。。，Nδi.使用较大数量的间隔K，以便根据做市商价差的价值增加处罚。我们将看到，在最佳情况下，由于PnL过程的形式和强度，覆盖对主剂和药剂的PnL都没有影响。备注2.5。方程（2.6）表明，开放覆盖不是扩散向量的动态函数。因此，我们添加了指示符函数1{xi6=x}，以确保坐标x不与权重$+H `关联∈ {1，…，K}，但仅限于美元。除此之外，从数值的角度来看，填充开放覆盖使模型更易于处理。

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2022-6-24 11:35:03

否则，在每个时间-步骤中，应再次计算相应的面积。2.2做市商问题2.2.1代理商的PnL流程首先，我们定义了-做市商做市时的做市商δ∈ A asP Lδ，it：=ZtXj∈{a，b}δi，js{δi，js=δjs}+KX`=1ω`δi，js{δi，js∈K`}！dNjs+ZtQisdSs，t∈ [0，T]。（2.7）第一个积分对应于现金流过程，而另一个积分代表的是-th agent和ω`∈ (0, 1), ` ∈ {1，…，K}是随着`增加而向零递减的权重。当做市商接近最佳价差时，他将从报价中获得越来越多的报酬。当报价的价差偏离最佳价差时，此类报酬会减少。这促使代理商通常报价较低的价差，并表明订单可能会根据代理商在订单簿中的位置在代理商之间进行拆分。这种形式的激励尤其适用于某些市场，因为市场上有数百家做市商，必须通过平台选择市场参与者。一些客户需要这样的选择，他们要求特定数量的做市商，以确保交易所的竞争。此外，良好的外部排名吸引了平台上的新客户。为此，选择标准是做市商提供的价格质量。此外，我们假设代理没有部分执行。因此，如果两个做市商的价差最大，那么他们都是完全执行的，从这个意义上说，他们接受了全部交易。备注2.6。虽然做市商在特定区域进行交易时，与最佳出价-询问相比，会获得部分价差的报酬，但在hid库存流程中不会反映这一点。

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2022-6-24 11:35:06

事实上，ω`δi，jac这一术语仅适用于现金流程：做市商如果没有以最佳出价报价，其库存就不会移动。2.2.2最佳反应函数（2.7）表示在没有交易所合同的情况下，代理人的PnL。按照委托代理法，交易所提出了由金融时报确定的薪酬ξ-每个做市商的可测量随机变量，以及其PnL流程。这些措施旨在通过减少做市商的利差，创造一种激励因素，吸引平台上的流动性。我们将证明可容许契约集的一个表示定理。考虑到他们的合同，代理面临着一场随机差异博弈，因为他们价差的相对排名直接影响到他们的订单是否得到执行。由于我们稍后将寻找这个博弈的纳什均衡，我们认为-做市商是扩散向量δ的函数-i被N- 1其他代理人。所以，在其他做市商的行动下，每个代理都会最大化其PnL，以获得其所谓的最佳反应函数。通过表示γi>0，i的风险厌恶-th做市商，并使用CARA实用程序函数UI（x）：=-e-γix，x∈ R、剩下的最大化问题如下vimm（ξi，δ-i）：=supδi∈Ai（δ-i） EPδiδ-我用户界面ξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt{δi，jt=δjtiδj，-it}+KX`=1ZTω`{δi，jt∈K`}！dNjt+ZTQitdSt,式中Ai（δ-i）：={δ：δiδ-我∈ A} 。为了确保这个量不会退化，因为∈ {1，…，N}，我们假设对于所有δ∈ AEδhexp- γξii<+∞, 对于某些γ>max（γ，…，γN）。（2.8）我们称之为RN-价值英尺-满足（2.8）契约的可测随机变量ξ。

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2022-6-24 11:35:09

可集成性条件确保做市商的问题得到很好的确定（即支持仍然是确定的）。当N个做市商同时做市时，我们正在寻找代理之间相互作用产生的纳什均衡。我们现在提供了此类均衡的适当定义2.2.3纳什均衡马纳什均衡是一组可接受的控制措施，使得每个做市商在委托人提供的合同下没有从其当前头寸中转移的利息。它通过以下定义正式化。定义2.7。对于给定的合同ξ，N个代理的纳什均衡是一组动作^δ（ξ）∈ 尽管如此，我∈ {1，…，N}ViMM（ξi，^δ）-i（ξ））=EP^δ（ξ）“Uiξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt（ξ）{δi，jt（ξ）=δjt（ξ）}+KX`=1ZTω`{δi，jt（ξ）∈K`}！dNjt+ZTQitdSt！#。（2.9）我们为任何契约ξ引入所有相关纳什均衡的集NA（ξ）。这个集合特别重要，因为它将被强制为非空的，以确保至少存在一个纳什均衡。现在我们来谈谈交易所的签约问题。2.3交易所最优合约问题在我们的框架内，对于市场中出现的每个市场订单，交易所都会得到c>0的固定金额的补偿。正如[4]中所述，由于我们的工作时间间隔很短，因此我们采用与资产价格相关的cindependent。交易所的目标是在时间间隔[0，T]内，最大限度地增加NaT+NBT组合市场订单的总数。由于到达强度仅由做市商控制，合同向量ξ旨在增加这些强度，这是利差的递减函数。

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2022-6-24 11:35:12

因此，交易所将在时间T向每个做市商支付该合同，其PnL的形式，使用CARA效用函数，由下式给出- 经验值- ηc（NaT+NbT）- ξ·1N,其中η>0表示本金的风险规避参数。我们现在对交易所提供的一套可接受合同提供了适当的定义。首先，我们需要确保汇率问题不会恶化。因此，我们假设，对于所有δ∈ A和我∈ {1，…，N}。EδhexpηNξii<+∞, 对于某些η>η。（2.10）由于Na和Nbare点过程具有有界强度，该条件与H"older\'sinequality一起确保了交换问题得到了很好的定义。我们还假设做市商只接受其最大效用ViMM（ξi，^δ）的合同ξisuch-i），取纳什均衡^δ∈ NA（ξ）高于阈值Ri<0。该值称为i的保留实用程序-，并导致以下定义。定义2.8。可接受合同集C定义为RN集-价值，英尺-可测随机变量ξ：=（ξ，…，ξN）>，因此对于所有i∈ {1，…，N}，（2.8）和（2.10）保持不变，所有代理的参与约束在NA（ξ）中至少满足一个纳什均衡（然后该均衡自动非空）。我们将在验证定理4.3中看到，在一组可容许合约中，统一可积性类型论证需要这样一个条件，代理的参与约束至少满足ξ生成的一个零平衡。由于我们预计参与约束将对任何最优合同ξ具有约束力，代理在ξ产生的可能不同的纳什均衡之间是不同的。

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可人4

2022-6-24 11:35:15

这意味着我们可以使用与经典委托-代理文献中使用的相同的约定，委托人有足够的议价能力来施加给代理人他希望他们使用的均衡。因此，他的优化问题写为ve：=supξ∈Csup^δ∈NA（ξ）E^δ（ξ）- 经验值- ηc（NaT+NbT）- ξ·1N. （2.11）现在我们已经正确地定义了斯塔克伯格博弈的两个问题，我们可以着手解决做市商问题。在解决这两个步骤的问题之前，我们首先概述了我们采取的方法。2.4 Stackelberg博弈简而言之，每个做市商都有一个优化问题，这取决于N- 1其他代理人，以及委托人提供的合同。因此，解决-代理人的问题是通过搜索每个做市商的最佳反应函数，给定一组动作δ-其他探员。因此，每个代理人所报的利差将取决于委托人给予的激励，以及对手的利差。如前所述，做市商同时确定报价，因此他们必须在反应函数之间达成平衡。为了解决这个问题，我们将利用[5]中给出的纳什均衡的等效定义，并在下一节中回顾。特别是，纳什均衡的存在与多维SDES系统的解之间存在直接联系。关键的一点是，对于（2.1）中特定的权重选择，纳什均衡的存在性和唯一性是直接的，因为有两个重要的事实。首先，指示函数1{δi，j=δj}，和{δi，j6=δj}的使用对代理的哈密顿量起到解耦作用。其次，只有在限制特定形式合同的情况下，才能实现这种效果。此限制将在第3节中解释和评论。

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2022-6-24 11:35:18

目前，请注意，它可以显式计算做市商问题的唯一纳什均衡。考虑到可接受的合约至少产生一个纳什均衡，委托人通过选择给予每个做市商的激励来解决他的优化问题，作为其相关HJBequation的结果。这明确提供了代理的最佳报价，并解决了两步Stackelberggame。3解决做市商问题我们从解决做市商问题开始-面临交易所提出的任意可接受合同的做市商。本节主要介绍定理3.7。首先，我们将委托人提出的某种形式的合同介绍给-th代理。此FT-可测量的随机变量以特定BSDE的终端条件的形式出现，尽管我们不使用此理论来解决问题。然后，我们证明这是唯一可以向市场制造商提出的合同形式。然后，根据这种特定形式，我们得出每个代理的最佳响应，其他操作是固定的。3.1准备工作为了简化符号，让我们定义R：=RN×RN×R，B∞:= [-δ∞, δ∞].定义3.1。修复一些i∈ {1，…，N}。对于任何（di，d-i、 zi，q）∈ B∞×B2（N-1)∞×R×ZN，其中我们有zi：=（zi，j，a）j=1，。。。，N、（zi，j，b）j=1，。。。，N、 zS，i, 和di：=（di，a，di，b），i的哈密顿量-代理人由HI（d）确定-i、 zi，q）：=supdi∈B∞hi（di，d-i、 zi，q），（3.1），其中hi（di，d-i、 zi，q）：=NX`=1Xj∈{a，b}γ-1i1-经验值-γizi，`，j+di，j{di，j=djidj，-i} +KXk=1ωkdi，j{di，j∈Kk}！！！λ′，j（dj，q）。正如在每一个随机控制问题中，这样的数量是特别重要的。它是自然地从It^o的公式应用到e-γiYt，对于i=1。

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2022-6-24 11:35:22

，N其中Y由（3.3）定义。然后，将该数量最大化将得到i-考虑到其他经纪人所报的价差，市场做市商。图的形式（hi）i=1，。。。，n要求（3.1）中的最大化器是d的函数-i、 zi和q。这表明对哈密顿向量的固定点有一个正确的定义高（d-i、 zi，q）i=1，。。。，N、定义3.2。对于每个（z，q）∈ RN×ZNa哈密顿量的不动点由矩阵δ定义？（z，q）∈ MN，2（R），对于任何1≤ 我≤ Nδ？i（z，q）∈ argmaxδi∈B∞hi（δi，δ？-i、 zi，q）。（3.2）对于每个（z，q）∈ RN×ZN，我们用O（z，q）表示所有固定点的集合。我们需要以下长期技术假设。假设3.3。至少存在一个Borel–可测量映射δ？：RN×ZN-→ MN，2（R），因此对于每个（z，q）∈ RN×ZN，δ？（z，q）∈ O（z，q）。相应的地图集由O表示。备注3.4。我们将看到，在特定情况下，zi，j，a=zi，a，和zi，j，b=zi，bfor all（i，j）∈{1，…，N}，对于任何（z，q），O（z，q）中存在唯一的固定点∈ RN×ZN。该规范用于推论3.9，其中明确提供了纳什均衡。我们现在定义了一系列流程，这些流程代表了给代理商的合同形式。定义3.5。给定y∈ RN和R-有值可预测过程Zi：=（Zi，j，a，Zi，j，b，ZS，i）j=1，。。。，N、对于i∈ {1，…，N}，我们引入了RN族-有值过程（Yy，Z，^δ）^δ∈由固定点映射^δ表示∈ O、谁的i-对于i，th坐标由给出∈ {1，…，N}和t∈ [0，T]Yi，y，Z，^δT：=Yi+NXj=1ZtZi，j，ardNj，ar+Zi，j，brdNj，br+ZS，irdSr+γiσ（ZS，ir+Qir）-你好^δ-i（Zr，Qr），Zir，Qr!dr.（3.3）我们说Z：=（Zi）i=1，。。。，如果Yy，Z，δt为（2.8），（2.10）且所有δ∈ A、 Eδ支持∈[0，T]经验- γiYi，y，Z，^δt< +∞.鉴于这种特殊的合同形式，这种条件确保做市商的问题不会恶化。

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2022-6-24 11:35:25

此外，给定系数的可积性条件，过程Yy，Z，^δ^δ∈Oare定义良好，且e-γiYi是Pδ下的一致可积过程，对于每个δ∈ A、而我∈{1，…，N}。链接可容许向量契约ξ∈ C对于（3.3）中定义的流程，我们定义了以下集合。定义3.6。我们将Ξ定义为随机变量集Yy，Z，^δTwhere（y，Z，^δ）范围为RN×Z×O，并且-γiyi≥ Rifor any i公司∈ {1，…，N}。因为通过定义，所有有界可预测过程都包含在Z中，所以它显然是非空的。为了证明这些集合的相等性，我们将问题归结为表示某些（y，Z）的任何合同ξias Yi，y，Z，^δt的问题∈ RN×Z和一些^δ∈ O、按照[17]的方法，我们推导出做市商效用函数的动态规划原则，然后通过确定系数来证明这些集合的相等性。3.2合同表示以下定理为做市商问题提供了解决方案，并对可接受合同集进行了完整描述。定理3.7。任何合同向量ξ=Yy，Z，^δTwith（y，Z，^δ）∈ RN×Z×O导致代理的唯一纳什均衡，如下所示^δ（Zt，Qt）t型∈[0，T]。相反，任何可接受的合同ξ∈ 对于某些（y，Z），C的形式为ξ=Yy，Z，^δt∈ RN×Z和acertain^δ∈ O、在下一个推论中，我们将自己限制在可接受契约的子集上，在该子集下，每个代理都至少拥有自己的保留效用，并且我们可以明确得出他们的最佳响应。为此，我们引入以下集合：=Yy，Z，^δT：（^δ，y，Z）∈O×RN×Z，s.t.适用于所有（i、j、k）∈{1，…，N}×{a，b}，e-γiyi≥Ri，Zi，j，k=：Zk.子集Ξ的主要兴趣是以下结果。引理3.8。假设，对于（z，q）∈ RN×ZN，我们有zi，`，j=zjfor all（i，`）∈ {1，…，N}和j∈ {a，b}。

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能者818

2022-6-24 11:35:29

我们定义Γi，j（z）：=-zj+γilog1+σγik$！，z∈ 注册护士。此类条件用于明确提供推论3.9中代理的最佳响应。定理3.7证明，这种契约至少产生一个均衡。我们还介绍了函数 : RN×ZN-→ MN，2（R）定义人，对于i∈ {1，…，N}，j∈ {a，b}，（z，q）∈ RN×ZNi、 j（z，q）：=(-δ∞) ∨ Γi，j（z）∧ δ∞, 如果Γi，j（z）<，j（z），-q<q<q，对于所有\'6=i(-δ∞) ∨ω\'Γi，j（z）∧ δ∞, 如果ω\'Γi，j（z）∈ K`，-q<q<q，用于`∈ {1，…，K}，0，否则。（3.4）然后，将O（z，q）减少至单吨（z，q）o。证明见附录，并根据哈密顿量（3.1）的标准计算得出。特别地，它导致了（3.1）的最大化子的存在性和唯一性。现在，我们可以以所宣布的推论作为结论。推论3.9。对于任何可接受的合同Yy，Z，^δT∈ Ξ在委托人的影响下，存在一个唯一的平衡，由（Zt、Qt）t型∈[0，T]，其中定义见（3.4）。这一结果表明，在最佳情况下，每个做市商的效用函数对应于其保留效用，也就是说，N个代理接受其合同的数量。此外，它使我们能够明确描述做市商问题的唯一纳什均衡。We在本节末尾对可接受合同的形式发表一些评论（3.5）。3.3关于补偿形状的建议和可收缩变量。在本节中，我们想强调对由（y，Z，^δ）控制的“平滑”合同ξ=（ξ，…，ξN）>的类Ξ和Ξ的一些解释∈ RN×Z×O，其形式为ξi=yi+NXj=1ZTZi，j，ardNj，ar+Zi，j，brdNj，br+ZS，irdSr+γiσ（ZS，ir+Qir）- 你好^δ-i（Zr，Qr），Zir，Qr!dr.注意，这些合同根据交易数量和资产的有效价格编制索引。

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2022-6-24 11:35:33

该平台观察到做市商的利差，但并非可收缩变量，因为依赖做市商的合约在实践中是不现实的，见【4】。从数学上讲，允许合约依赖价差将对应一个最佳问题。为完整起见，我们计算了附录A.7中第一个最佳问题的解决方案，并表明其与此处考虑的问题不同交易所对补偿Yi进行校准，以确保在i的水平Rio内保留效用约束-对于做市商，我们参考第4节了解更多详情termRTZS，Irdsr是向做市商提供的与效率价格有关的补偿术语SRTZI、j、ardNj、ar、andRTZi、j、brdNj、BRA表示对-第j个做市商在询价方或报价方进行的交易数量termRTHi公司^δ-i（Zr，Qr），Zir，Qrdr是i-由他的最大化问题引起的代理。委托人预计代理人将从他的最大化战略中获利。因此，他从代理人的工资中扣除相应的金额。这就是为什么该术语在补偿ξi中出现负号的原因。o术语rtγiσ（ZS，ir+Qir）dr是一种补偿，用于平衡代理人对有效价格和存货的风险规避。从表示的角度来看，子集Ξ意味着我们对-做市商仅在总订单上处理Na和Nb，以及有效价格S。此外，我们将自己限制在可接受合同的子集，其中每个代理的投标和任务到达订单的激励是相等的。因此，我们不会先验地将一个市场制造商与另一个市场制造商进行比较。

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2022-6-24 11:35:37

然而，在市场风险部分，即itdSt，进行了区分∈ {1，…，N}。该假设有效期至本文结束（附录除外）。实际上-代理人仅是其自身库存流程、总订单流量和有效价格的函数。从实践的角度来看，这似乎是合理的，因为这意味着平台不需要监控交叉激励Zi，j，aor Zi，j，bfor j 6=i，这在实践中是很难做到的。除此之外，交易所对受市场接受者发出的市场指令驱动的部分代理给予同样的激励，但在由做市商调整报价的有效价格驱动的部分，可以区分风险规避参数。从技术角度来看，这种简化能够获得哈密顿量的执行点的显式公式，而在一般框架中并非如此。我们还将在下一节中看到，这一限制极大地简化了计算，以明确得出委托人向每个做市商提供的最佳激励。4解决校长的问题∈ {1，…，N}，^yi：=-γilog(-Ri）。根据定理3.7和推论3.9，当交换问题（2.11）仅限于Ξ中的合同时，它就归结为控制问题eve：=supy≥^ysupZ∈ZE公司（Z，Q）- 经验值- ηc（NaT+NbT）- Yy，Z，（Z，Q）T·1N.

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能者818

2022-6-24 11:35:40

（4.1）推论3.9作为控制过程Z的函数，提供了药剂的最佳反应∈ 委托人的Z。给出这样的响应，交换解（2.11），其中ξ∈ Ξ，分两步进行o由于效用函数的形式，关于Y的优化确保满足代理的reservationutility约束。o关于Z的优化∈ Z是通过求解与重新表述的控制问题相关的经典Hamilton–Jacobi–Bellman方程来完成的。它对应于S上的激励指数和第i个做市商的库存过程之和的二次变化，与S进行积分，并通过其风险规避进行加权。在本节中，^δ是来自推论3.9的代理问题的唯一纳什均衡。本节以验证论点结尾，以确保价值函数与（2.11）一致，并对做市商之间的政策转换和结果的物理解释发表了一些评论。4.1效用约束饱和注意，推论3.9中做市商的最优响应不依赖于y。委托人PnL的指数线性框架能够直接说明该目标函数在y的所有坐标中都明显下降，这意味着参与约束下的最大化在^yeVE=eηy·1NsupZ时实现∈ZE公司（Z，Q）”- 经验值- ηc（NaT+NbT）- Yy，Z，（Z，Q）T·1N#.因此，我们剩下一个关于Z的最大化问题∈ Z、这就是一个标准的随机控制问题，状态变量为Q，Na，nb和Yy，Z，（Z，Q）。4.2约化交换问题的HJB方程我们在本节中研究与随机控制问题ve=supZ对应的HJB方程∈ZE公司（Z，Q）- 经验值- ηc（NaT+NbT）- Yy，Z，（Z，Q）T·1N.

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2022-6-24 11:35:44

（4.2）为了简单起见，我们定义了任何映射v:[0，T]×ZN-→ (-∞, 0），任意x∈ R、安义县∈ {1，…，N}，和任意（t，q）∈ [0，T]×ZNv（T，q⊕ix）：=v（t，q，…，qi-1，qi+x，qi+1，qN），v（t，qix）：=v（t，q，…，qi-1，qi-x、 qi+1，qN）。我们还确定了映射V+（t，q）：=v（t，q⊕i1）i=1，。。。，N、和V-（t，q）：=v（t，qi1）i=1，。。。，N、对于（t，q）∈ [0，T]×ZN，以及设置Q：={-qq} 。与（4.2）相关的HJB方程为tv（t，q）+Hq、 V+（t，q），V-（t，q），v（t，q）= 0，（t，q）∈ [0，T）×QN，v（T，q）=-1，q∈ QN，（4.3），其中Hq、 p、m、v:= HS公司q、五+ 血红蛋白q、 p，v+ 哈q、 m，v, with，for any（q，p，`）∈ QN×RN×{a，b}HSq、五= SUPZ公司∈RNvNXi=1ησγizS，i+qi+ησkzSk！，H类`q、 p，v= supz公司`∈RNXi=1λi`:,`（z，q），qeη（新西兰`-c） pi- vL`（z，q）,其中`（z，q）:=1+ηNXi=1γ-1i1-经验值-γiz+i、 `（z，q）1{i、 `（z，q）=i（z，q）}+KXj=1ωji、 `（z，q）1{i、 `（z，q）∈Kj}！！！。我们现在提供与（4.3）的解决方案相对应的最佳激励。引理4.1。假设δ∞足够大，以便验证引理A.5的条件。对于任何（t，q），给出了PDE（4.3）中出现的上确界中的最优值∈ [0，T]×QN，byz？，a（t，q）：=Nc+ηlogv（t，q）Pi∈Gv（t，qi1）+ηlogk$k$+ση卡（G）1+ησNXi=1k$+σγi！！,zb（t，q）：=Nc+ηlogv（t，q）Pi∈Gv（t，q⊕i1）+ηlogk$k$+ση卡（G）1+ησNXi=1k$+σγi！！,zS、 i（q）：=-NXj=1ui，jγjqj，我∈ {1，…，N}，其中为所有（i，j）∈ {1，…，N}ui，j：=-ηκYk∈{1，…，N}\\{i，j}γk，如果i 6=j，ui，i：=κYj公司∈{1，…，N}\\{i}γj+ηXj∈{1，…，N}\\{i}Yk∈{1，…，N}\\{i，j}γk,带κ-1： =NYi=1γi+ηNXj=1Yk∈{1，…，N}\\{j}γk和G：=我∈ {1，…，N}：γi=maxj∈{1，…，N}γj.优化器z？，A和z？，只显示时间函数和代理的库存。

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2022-6-24 11:35:48

此外，它们非常相似，与最优激励z？具有共同的性质？，a、 z呢？，b对于[4]中的单个做市商案例：例如，对于小库存，它们是风险规避参数γi的递减函数。然而，对做市商数量及其风险规避的依赖性由术语ηlogk$k$+σηCard（G）1+ησNXi=1k$+σγi！！表示！！。这是N和$的递增函数，这意味着当我们增加做市商和$的数量时，这一术语会减少平均价差。还请注意，最佳z？，SDE依赖于所有风险规避和代理人库存过程的加权组合。第5节对此进行了详细讨论，我们还将在其中介绍我们的数值结果。4.3变量变化和验证理论取代引理4.1给出的最优解，PDE（4.3）归结为tv（t，q）+v（t，q）CS（q）- v（t，q）CXj∈{a，b}v（t，q）Pi∈Gv（t，qiφ（j））1{φ（j）qi>-q} 哦！k$∑η=0，（t，q）∈ [0，T）×QN，v（T，q）=-1，q∈ QN，（4.4）其中，我们定义C：=经验-kσc1.- $-$ηlogk$k$+ησ卡G1+ησNXi=1k$+σγi！！+$NXi=1γ-1ilog1+σγik$！！！σηk$+ση1+ησNXi=1k$+σγi！，CS（q）：=NXi=1ησγ像质计-NXj=1ui，jγjqj+ησNXi=1NXj=1ui，jγjqj！。引理4.2。（4.4）存在唯一的有界解，也是负的。（4.4）的解将使用下一节中的验证参数链接到值函数（4.2）。请注意，如果代理具有不同的风险规避参数，则一个做市商同时是bestbid和best ask。事实上，当做市商在某个时间同时是单一的最佳出价和最佳出价时，t∈ [0，T），HJB方程简化为以下线性PDE0=tu公司- u（t，q）~CS（q）+~Cu（t，q）⊕i1）1{qi<q}+▄Cu（t，qi1）1{qi>-q} ，其中u：=(-五）-k$∑η、~CS（q）：=（k$）/（ση）CS（q）和~C：=（k$）/（ση）C。

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2022-6-24 11:35:51

由于其他存货在-做市商报价时，我们得到了一个类似于[4]中的三对角矩阵，由qi索引∈ Q、我们强调，这种形式仅在固定时间t有效。我们得出以下验证定理，这导致交易所向每个做市商提出的唯一最优合同的描述。定理4.3。假设δ∞≥ ∞, 如引理A.5所定义，设v为引理4.2给出的（4.4）的唯一解。那么，对于任何我∈ {1，…，N}，i-试剂由ξ？给出？，i： =^yi+ZTZ？，ardNar+Z？，brdNbr+Z？，S、 irdSr+σγi（Z？，S，ir+Qir）- 你好（Z？r，Qr），Z？r、 Qr码!dr，（4.5）其中任何r∈ [0，T]，Z？，Sr：=z？，S（r，Qr-), Zar：=z*a（r，Qr-), Zbr=z？，b（r，Qr-), 我们注意到Z？r:=Zar，Z？，br，Z？，Sr公司. 此外，最优平衡由下式给出（Z？r，Qr）r∈[0，T]，见推论3.9.4.4讨论4.4.1转换政策我们想在交易期开始时确定哪个做市商是最好的做市商。Forany（i，j）∈ {1，…，N}这样i 6=j，i-做市商在泰晤士报有最好的询价∈ [0，T]当且仅当- Zat+γilog1+σγik$！<-Z在+γjlog1+σγjk$！。从γilog开始1+σγik$是γi的递减函数，我们得出以下结论：-当且仅当γi=maxj时，市场制造商排名第一∈{1，…，N}γj，我们有v（t，Qt）Pj∈Gv（t，Qtj1）！k$∑η=v（t，Qt）v（t，Qti1）！千美元∑η。我们现在确定ask端的两个代理何时进行切换。N- 1其他markermakers（回想一下，j 6=i）将把他们的报价放在[0，δ]的公开封面中∞]. 假设i、 a（Z？t，Qt）∈ Ku，对于一些u∈ {1，…，K}。

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可人4

2022-6-24 11:35:55

然后i、 a（Z？t，Qt）>j、 a（Z？t，Qt）<==> -Zat+γilog1+σγik$！>ωu- Z在+γjlog1+σγjk$！！，（4.6）可重写为logu（t，Qt-)u（t，Qt-i1）！>k$σlogk$k$+ση1+ησNXi=1k$+σγi！！+c+kN$ωu（ωu- 1） σγilog1+σγik$+kN$σγj（ωu- 1） log1+σγjk$！。不等式的右侧是$的递增函数和ωuan的递减函数以及波动率σ。这些结果对于投标方来说是完全对称的。下面，前面的方程式表明，当第i个做市商持有充足的负库存时，做市商之间会发生转换。这是因为他愿意吸引投标订单，意味着将库存恢复到零。因此，他建议在出价方降低价差，在询价方提高价差，以阻止询价订单。对称结论对投标方有效。4.4.2关于做市商的数量由于价值函数v通过CS（q）和C隐式地取决于做市商的数量，我们无法直接将其最大化到N。然而，通过使用其他假设并在渐近设置下工作，我们在本节中表明，做市商的最佳数量是有限的。第5节将给出N的数值计算。我们使用N作为下标，以强调函数对做市商数量的依赖性。让我们定义n（0，Q）=c（NaT+NbT）- Yy，Z？，（Z？，Q）T·1N。当做市商的库存均值恢复为零时，研究Qt=0时vn（t，Qt）的行为是合理的。

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