同时进行多空反馈交易的广义框架

2022-6-10 04:00:46

同时长短反馈交易的广义框架Joseph D.O\'Brien、Mark E.Burke和Kevin Burke。摘要我们提出了近期ControlIterature中描述的同时多头空头（SLS）交易策略的一个推广，其中我们允许控制器的短边和长边具有不同的参数；我们将这种新策略称为广义SLS（GSLS）。此外，我们还研究了在确定性股票价格演化和几何布朗运动的GSLS设置中，可以确保正收益的条件。与此领域的现有文献（很少强调SLS策略的实际应用）相比，我们建议基于历史数据选择控制参数的优化程序，并且我们广泛测试了大量实际股价轨迹（总共495条）中的这些程序。我们发现，与优化控制参数相比，这种优化程序的实施极大地提高了性能，而且，实际上，GSLS策略总体上优于Simpler SLS策略。一、简介反馈在控制理论场景中的使用已经在不同领域得到了很好的研究，其使用至少可以追溯到两千年前，在两千年前，水流量被调节以提高水钟的准确性。反馈模型的应用在工业革命期间变得越来越广泛，从那时起，反馈模型的使用在工程系统中变得无处不在【1】。近年来，该方法已应用于股权交易的设置中，其中闭环反馈系统用于调节投资水平I（t），以响应股权价格p（t）的变化。

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2022-6-10 04:00:50

由于这一基本系统对价格变化作出反应，而不是对未来的价格变动作出预测，因此产生的策略通常被描述为“无模型”。我们的出发点是巴米什（Barmish）开发的交易框架，该框架最初只考虑了多头投资[2]，但后来又进行了扩展，以便在股票中同时持有多头和空头头寸，即所谓的“同时多头-空头”（SLS）策略[3]。（前期相关工作见【4】–【8】。）SLS策略的关键特征是，在确定性P（t）（尽管这一假设未知）、持续交易、完美流动性和无交易费用（更多详情请参见[3]）的假设下（潜在限制性）保证所得收益函数g（t）为正。该领域的进一步发展包括考虑利率和抵押品要求[9]–[12]。这项工作在爱尔兰利默里克大学数学与统计系MACSI的Joseph D.OA'ZBrien、Kevin Burke和Mark E.Burke（电子邮件：Joseph）完成。obrien@ul.ie; 凯文。burke@ul.ie;做记号burke@ul.ie).这项工作由爱尔兰科学基金会拨款16/IA/4470（J.D.O\'B.）资助。这为许多未来的研究方向奠定了基础，例如使用具有延迟的控制器【14】、不同的价格过程模型【15】、【16】、时变价格演化参数【17】、具有相关价格的资产【18】，以及使用比例积分（PI）控制器而不是原始LS策略中使用的比例控制器【19】。尽管迄今为止已提出了对SLS框架的各种扩展，但基本的基础模型结构基本保持不变，因为长期和短期投资的初始投资和反馈参数都是相同的。

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2022-6-10 04:00:53

然而，realtrader可能希望以不同的方式调整控制器的这些组件。我们还注意到，在目前的文献中，虽然已经做了大量的理论工作（主要是研究不同周期下的正增益特性），但在实际情况下测试这种SLS策略的能力却非常有限。具体而言，测试通常是在极少数股票价格序列（一个或两个）上进行的，因此，对这些基于控制的策略的总体表现几乎没有什么意义。（有趣的是，尽管只使用了四个市场指数系列，但在[20]中研究了其他各种技术交易策略。）此外，对于如何在实践中选择反馈参数也缺乏指导，显然，在迄今为止的应用中，这种选择是非常随意的。这一观点强调了“最重要的新研究问题……涉及最佳增益选择”，认识到反馈参数“对增益的均值和方差有很大影响”（另见[15]）。

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2022-6-10 04:00:56

在某些应用中，增益水平相当适中（如【17】、【19】中所述），人们想知道，通过更客观的选择过程，例如通过优化一些标准，是否可以获得更大和/或更稳定的增益。本文的目的是通过以下方式解决上一段中提出的问题：a）概括SL，以允许短边和长边的参数不同——我们称之为“广义SLS”（GSL）的策略——从而允许比经典SLS方法更灵活；b）提出了基于历史数据选择控制参数的优化程序，为其选择提供了客观的过程；c）利用我们提出的优化器，在大量（495）真实股票价格轨迹上广泛分析GSL（和SLS）的性能，以确定基于控制的交易概念的实用性。本文的其余部分如下所示。在第三节中，我们介绍了文献[13]中的经典SLS策略，然后在第三节中，我们扩展到我们提出的GSLS策略，得出了一些新的分析结果。第四节就如何在GSL（以及SLS及其其他种类）内客观地选择控制参数提出了建议，然后根据第五节中的历史数据进行测试。最后，我们以第六.II节中的一些讨论作为结论。同时多空（SLS）策略作为惯例，我们假设该策略适用于“理想化市场”的设置，其中主要假设是：（i）连续时间交易是可能的，（ii）股权是完全流动的，因此可以在买卖价格之间没有差距的情况下购买股票，以及（iii）没有交易费用或利率。

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2022-6-10 04:00:59

有关更多详细信息，请参见[3]。我们现在考虑SLS战略的关键组成部分。让p（t）表示时间t的股权价格≥ 此外，设I（t）为t时的投资水平，g（t）为收益函数，即在[0，t]期间的累积交易收益，其中g（t）<0表示总体交易损失；还请注意，根据定义，g（0）=0。在[2]中更简单的长期策略（即，无短期成分）中，投资金额由i（t）=i+K g（t）给出，其中K≥ 0是反馈参数，I>0是初始投资。给定股票的收益是该股票的投资量乘以股票价格的百分比变化，得出增量收益方程d g=d ppI=d pp（I+K g），其解yieldsg（t）=IK(c)q（t）K- 1a，其中q（t）=p（t）/p（0）>0是当前和初始股价的比率，因此，我们看到投资水平是I（t）=Iq（t）K。SLS策略通过同时引入长期和短期投资IL（t）和is（t）以及相关累积收益函数gL（t）和gS（t），扩展了上述内容（但遵循相同的路线）。策略定义为IL（t）=I+K gL（t），is（t）=-我- K gS（t），其中gl（t）=IK(c)q（t）K- 1a，gS（t）=IK(c)q（t）-K- 1a.注意，该策略的总投资由I（t）=IL（t）+is（t）=K{gL（t）给出- gS（t）}，特别是I（0）=0，即同时的多头和空头头寸（当t=0且数量级为I时，其相等且相反）导致初始净零投资头寸。如【3】所示，在理想化市场下，此SLS策略的累积收益t为g（t）=gL（t）+gS（t）=IK(c)q（t）K+q（t）-K- 2a，（1）因此，g（t）>0，前提是q（t）6=1，也就是说，除非p（t）=p（0），否则该策略总是产生效益。三、

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2022-6-10 04:01:02

广义SLS策略如第二节所示，基本SLS策略由简单的长策略和一个短组件组成。特别是，短组件反映了长组件，因为它共享相同的初始投资I和反馈参数K。然而，我们现在认为这是一个更一般框架的有趣特例，其中长组件和短组件具有如下不同的参数：IL（t）=I+K gL（t），IS（t）=-αI- βK gS（t），其中α、β>0，且gl（t）=IK(c)q（t）K- 1a，gS（t）=αIβKnq（t）-βK- 1o。我们将其称为广义SLS（GSLS）策略，其中α=β=1对应于SLS，且总体增益函数为g（t）=IK·q（t）K- 1+αβnq（t）-βK- 1,（2）尽管重要的SLS特例具有保证的正增益特性，但在实践中，这种特定策略无法统一产生最佳增益。我们将在以下部分讨论这一点。III-Aβ=1的GSL在调查GSL策略之前，首先考虑β=1的特殊情况，即长期和短期初始投资不同，但回购参数在两个组成部分中相同的情况，这是有指导意义的。在这种特殊情况下，请注意，增益由g（t）=IKlbq（t）K给出- 1+α(c)q（t）-K- （3）当q（t）=1或q（t）=α1/K时，g（t）=0。此外，作为q（t）的函数，增益函数在两个根之间有一个转折点，即q（t）=α1/（2K）；这是全球最小值-I（α1/2- 1） /K<0。注意，在经典的SLS情况下，其中α=1，这三个点在q（t）=1时重合成为一个单根和全局最小值为零，从而产生相关的正增益特性。假设α<1，因此我们对短成分的投资程度小于对长成分的投资。在这种情况下，如果q（t）6∈ [α1/K，1]。

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2022-6-10 04:01:05

这可以看作是风险和回报之间的权衡。首先考虑经典SLS策略，其中α=1。从理论上讲，如果q（t）6=1，g（t）>0，这是无风险的。另一方面，在选择α<1，因此，在多头方面投资更多时，我们基本上承认一种信念，即股票价格在未来会上涨，即q（t）>1。事实上，当价格上涨（q（t）>1）时，很容易证明gα<1（t）>gα=1（t），因此通过选择α<1，回报会增加–但是，当然，风险也会增加，因为存在g（t）<0的可能性。现在考虑一种更标准的交易策略（即，不基于控制），我们只需做多，即在时间零点买入，在时间点t卖出。在这种情况下，投资是i（t）=i，g（t）=i(c)q（t）- 1a. 与α<1的情况类似，我们预计价格会上涨。然而，如果q（t）<1，我们保证会亏损，而对于GSLS，如果q（t）<α1/K，我们仍然可以盈利。换句话说，与单纯做多相比，我们正在降低风险。此外，尽管使用GSL，风险相对长期而言有所降低，但即使q（t）>1，收益也不会一致降低（对于所有控制参数值），如图1.0.6 0.8 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2所示-0.50.51.5qgα=0.5，β=1，K=1α=0.5，β=1K=3α=β=1，K=1α=β=1，K=3“做多”图1：当交易策略为GSLS（α=0.5，β=1）（蓝色）、SLS（红色）和简单做多（绿色）时，各种q（t）值的收益曲线图。此外，对于GSL和SLS，显示了K=1（实心）和K=3（虚线）情况。上述讨论涉及α<1的情况。当α>1时，如果q（t）6∈[1，α1/K]，而且，当价格下降（q（t）<1）时，我们可以证明gα>1（t）>gα=1（t）。

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nandehutu2022

2022-6-10 04:01:08

因此，一般来说，α=1的选择是次优的，因为如果一个人知道股票价格的可能方向，那么通过选择α6=1可以获得更大的回报。在实际情况下，交易者可能需要对其交易策略进行一些输入，以便GSL比SLS更有吸引力。此外，GSL可能被视为SLS和标准交易之间的一部分，在这种情况下，交易知识可以被纳入标准交易，但风险可以降低，如SLS。有趣的是，由于α1/K→ 1作为K→ ∞, 当α6=1时，正增益的条件很简单，当K较大时，q（t）6=1。这表明，足够大的K值可以克服α选择差的问题；实际上，具有大K的GSL本质上表现为SLS。III-B GSL中的正增益在上一节中，我们讨论了β=1的限制下的GSL。我们现在考虑更一般的场景，其中β不一定等于1。特别是，我们研究了GSL中正增益的条件。定理1。在理想化市场中，GSLS策略带来的收益是积极的K，β，前提是（1- α） ln{q（t）}≥ 证明：首先我们写出增益函数，（2），asg（t）=Iq（t）K- 1K+αIq（t）-βK- 1βK.（4）现在，考虑不等式qx≥ 1+x ln q（5），对于q>0和x∈ R、由于m（x）=qx-1.-x lnq在x=0时与全局最小值为零的凸。然后，从（5）开始，设置x=K yieldsqK- 1公里≥ lnq，（6）设定x=-βK yieldsq-βK- 1βK≥ -因此，结合（4）、（6）和（7），我们得到g（t）≥ I（1- α） ln{q（t）}，由于I>0，我们需要（1-α） ln{q（t）}≥ 0以确保g（t）≥ 0上述结果概括了通过设置α=β=1恢复的SLS的正增益结果。

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2022-6-10 04:01:11

此外，请注意，事实上，结果并不取决于β的值（前提是它是有限的），因此即使短边和长边的反馈参数不同，也可以确保正增益α=1。要求（1-α） ln{q（t）}≥ 0可以解释为：如果我们期望q（t）>1，我们应该设置α<1，如果我们期望q（t）<1，我们应该设置α>1。还值得注意的是，对于大K，g（t）的行为如下所示：g（t）~（Iq（t）Kln{q（t）}，q（t）>1-αIq（t）-βKln{q（t）}，q（t）<1在两种情况下均为阳性。这表明，无论α和β如何，足够大的K值都可以产生正增益。这些结果反映了第三节A的结果，该节A针对β=1的GSL。实际上，β=1的GSL在性质上与一般情况相似。定理2。GSLS增益函数在参数K和β中增加。证明：在这种情况下，我们写出增益函数（2），asg（t）=Iq（t）KL- 1KL+αIq（t）-堪萨斯州- 1KS。（8）其中，KLand Ks分别是长边和短边上的反馈参数，增量增益方程由D g给出=gKLdKL公司+gKSdKS，（9）其中gKL=IqKL（KLln q- 1） +1公斤，gKS=αIq-堪萨斯州(-KSln q- 1） +1KS。将x替换为-乘以qx，我们可以建立另一个不等式，qx（x lnq- 1) + 1 ≥ 0。（10）使用（10）和x=KLand x=-KS分别给出g级/吉隆坡≥ 0和g级/堪萨斯州≥ 因此，每当dKLand dksar为正时，增量algain（9）为正，因此g（t）在KLand-KS中增加，因此在Kand-β中增加（因为KL=K，KS=βK）。虽然上述结果表明交易者可以简单地增加反馈参数以增加利润，但这在实践中可能不可行。

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能者818

2022-6-10 04:01:15

首先，较大的反馈参数将导致控制器（和相关投资）在收益变化（可能很小）时变化很大，这将给系统带来很大程度的可变性。此外，无论是长期投资还是短期投资，其中一项都将变得巨大，当然，所有贸易商的资源都将有限；出于同样的原因，一个人不能简单地增加收入。本节的基本结果可参见图2中的一些特定参数值。III-C布朗运动价格演变下的GSLS我们现在表明，在股票价格演变由几何布朗运动（GBM）决定的情况下，GSLS策略是稳健的，因此d pp=ud t+σdw，其中W代表韦纳过程，u是漂移，σ是波动率[21]，[22]。我们的证明与[13]的证明类似。如【13】所示，长控制器的增益为gl（t）=IKnq（t）Keσ（K-K） t型- 1同样，短控制器的增益isgS（t）=αIβKnq（t）-βKeσ(-βK-（βK））t- 1个-3.-2.-1 1 2 3-4.-2Kgα=0.25，q=0.5α=0.25，q=2α=2，q=0.5α=2，q=2图2：GSLS增益视为K的函数，β=1，I=1。点在K=logq（t）（α）处给出，这是（3）的根。此根位于负Kregion的情况满足以下要求（1- α） ln{q（t）}≥ 在这种情况下，所有K值都可以保证正增益，因为负K值不可行。因此，总增益isg（t）=IKhq（t）Keσ（K-K） t型- 1+αβnq（t）-βKeσ(-βK-（βK））t- 1o,。然后，通过注意对数正态分布随机变量X与log（X）的第k个矩，可以得出预期增益~ N——u-σ、t，σt'由ehxki=e？ku给出-σct+kσt。利用这个结果，可以显示e(c)g（t）a=IKeKut- 1+αβe-βKut- 1'.

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2022-6-10 04:01:18

（11） GBM（11）下的预期收益函数与确定性价格演变（2）下的预期收益函数具有相同的形式，q（t）=eut。因此，定理1紧随其后，因此，当（1- α)u ≥ 同样，定理2也适用于（（11））增加墨迹和β。注意，收益的方差由Var(c)g（t）a=E(c)g（t）a给出-E(c)g（t）a=IKe2KuteσKt- 1'+αβe-βKut·αβe-βKuteβKσt- 1'+2千微特-βKσt- 1', 3/4 （12）很明显，即使对于这个简单的GBM模型，方差的形式也相当复杂。然而，可以从图3中获得一些见解，其中我们将方差视为各种控制参数设置的σ和u的函数（注意，这概括了[15]中的图4和图5）。我们发现，变异性在σ中增加，在u中对称增加（但在SLS情况下是对称的，即α=β=1）。就控制参数而言，方差在K和β中增加，但以更复杂的方式取决于α。这里的关键信息是，E{g（t）}和Var{g（t）}都依赖于控制参数，例如，简单地增加K在实践中并不令人满意，因为它可以产生高度可变的回报（如[13]和[15]所述）。因此，我们建议选择控制参数的实用优化程序应同时考虑增益的均值和方差。5 · 10-20.1 0.15 0.20.40.60.8σVar(c)g（t）α=0.5，β=1，K=1α=0.5，β=1，K=3α=0.5，β=3，K=1α=1，β=1，K=1α=1，β=1，K=3α=1，β=3，K=1（a）u=0.1-0.2-0.1 0.1 0.20.10.20.30.4uVar(c)g（t）a（b）σ=0.1图3：对于α=0.5、β=K=1（蓝色，固体）和α=β=K=1（红色，固体）的GSL，基于GBM模型的Var{g（t）}作为（a）σ（u=0.1）和（b）u（σ=0.1）的函数。通过设置k=3（虚线）和β=3（虚线），这两种基本策略都有所不同。

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2022-6-10 04:01:21

请注意，有两种SLS情况（即，当α=β=1时）。我们注意到，尽管这里考虑了GBM模型，但该特定模型在本文的上下文中并没有发挥主要作用。相反，它是一个示例模型，可以用作产生E{g（t）}和Var{g（t）}的工具，这些数量构成了我们在第四节中建议的参数优化的基础。尽管如此，该GBM模型是我们建议中的一个有用的起点（在实践中是一个流行的模型），但是，例如，在SLS设置中，[17]考虑了具有时变动力学的过程，而[15]考虑了跳跃过程。因此，本文的工作可以扩展到这类过程，或者确实可以使用第VI.IV节中讨论的均值和方差的无模型估计。参数的选择，而前一节中的结果可以深入了解基于反馈的策略的行为（尤其是导致正增益的条件），在实际应用中，他们都没有给出控制参数建议值的实际实现。因此，在本节中，我们将重点讨论可能存在的问题，可以通过优化这些问题来选择GSL（以及SLS）中的控制参数。作为第一步，我们将假设价格演变过程可以由GBM建模，因为该假设产生E(c)g（t）和Var(c)g（t）的显式解，我们建议的标准将基于这些数量；当然，也可以使用其他价格演变模型。现在，让g*t时间点t的一些预定目标收益，并将交易“偏差”定义为偏差(c)g（t）a=E(c)g（t）a- g*t（13），即实现增益g（t）和目标增益g之间的预期差值*t、在GBM假设下，该数量将取决于参数u以及控制参数α、β和K。

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能者818

2022-6-10 04:01:24

因此，作为第一步，可以使用标准推断程序来估计GBM参数【23】，然后，可以通过最小化偏差g（t）a来选择控制参数，即这些是最小化偏差g（t）a和g之间差异的控制参数*t、上述建议没有考虑股票价格的波动性，客观函数不依赖于σ这一事实就证明了这一点。因此，另一个标准将涉及所谓的偏差和收益的可变性，因为后者在III-C中也被认为是重要的。因此，我们提出交易“均方误差”（MSE）asMSE(c)g（t）a=E(c)g（t）- g*ta=lb偏差(c)g（t）a+Var(c)g（t）a（14），除u外，它还取决于σ（通过方差项），并且可以在控制参数方面最小化。此类控制参数可能导致(c)g（t）a<g*t、但如果收益的较低变化正好适合选择，即通过MSE(c)g（t）a选择的控制参数，在任何给定运行中，由于收益的较低变化，往往更接近目标收益。值得强调的是，尽管所提出的优化程序在选择控制参数时考虑了方差，但回想一下，控制器本身仅位于增益函数上；另外包括方差控制器的范围也很有趣，但超出了本文的范围。五、使用优化控制参数测试GSL SV-A仿真研究在实际数据上测试我们提出的方法之前，我们首先进行仿真研究。我们根据GBM模拟股票价格，漂移u=0.1，以及一系列不同的波动率值σ={0.05,0.1,0.2}。

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2022-6-10 04:01:27

由于ISIMPLY发挥了放大和缩小增益的作用，我们f xI=1，并针对控制参数优化（13）和（14），其中GBM参数的已知值在优化之前插入。此外，我们假设，经过一年的交易（超过252天），交易者的目标是获得15%的回报，即：*= 0.15，以便他/她将市场漂移（u=0.1）击败5个百分点。虽然这两个目标函数可以使用标准优化算法进行优化，但由于只有三个参数（K、α、β），我们在参数空间上进行了离散搜索。特别是，我们使用10个等距值来表示k中的每个参数∈ [0,5], α ∈ [0,5]和β∈ [0,5]产生1000个参数组合。对于3个模拟场景中的每一个，我们根据HBIAS和MSE最小化找到最佳控制参数，然后在252个交易日内为1000条模拟的BM轨迹中的每一条应用结果策略。图4显示了基于优化偏差和均方误差的结果，这些偏差和均方误差是根据1000个模拟副本中每个副本上实现的收益的密度图进行的。我们可以从图4（a）中看到，随着波动性的增加，优化偏倚的表现似乎并不好，当σ=0.1和σ=0.2时，大部分概率质量为负收益；然而，有趣的是，高度右倾的偏态分布在很大的正值下也具有合理的质量。相比之下，最小均方误差（见图4（b））会产生更一致的结果，这可以从更高的收益分布中得到证明，并且，尽管更高波动性的分布会转向负收益（就像偏差优化情况一样），但质量负向收益要少得多。

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nandehutu2022

2022-6-10 04:01:30

更紧密的收益分布确实降低了某些潜在更高收益的可能性，但这是经典的均值-方差权衡。这些结果表明，对于除了预期收益外还关心收益变化的交易者来说，使用MSE作为目标的参数选择可能更可取。当然，交易者可以在最小均方误差优化中加权方差贡献，以反映其特定的风险规避水平，或者，实际上，以“有效前沿”的方式优化最大方差下的偏差【24】；我们在这里不考虑这一点。V-B标准普尔500指数股票价格如前所述，在现有文献中，基于反馈的交易策略在真实数据上的测试程度有些有限，即股票价格序列的数量非常少，控制参数的选择显然相当随意。因此，如果真实世界的贸易商确信采用此类战略总体上可以取得成效，就需要进行更广泛的测试。考虑到上述目标，我们考虑了2016年1月至2017年12月两年期间标准普尔500指数（s&P 500）495个成员的每日收盘价（在目前的500个成员中，有5个成员无法获得相关时间段的完整数据，因此被省略）。选择该数据的合理性是基于标准普尔500指数的成员是美国交易量最大的公司这一事实，而合格性是基于一系列因素，包括市值、流动性和公司所在地【25】。

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2022-6-10 04:01:33

因此，这些成员拥有高流动性的股票，因此基于反馈的交易策略可以在现实世界中合理地实施，此外，该指数的成员旨在为整个股票市场提供合理良好的代表性。图5显示了两年内所有495名会员每天计算的MediaAdjusted收盘价，以及2.5%和97.5%的分位数；很明显，大多数股票价格都随着时间的推移而上涨。对于每个股票价格系列，我们将2016年作为使用最大似然法估计GBM参数的培训期【23】，然后，根据估计的GBM参数，我们通过第四节中描述的偏差和MSE优化方法选择GSLS控制参数，目标增益为g*= 每种库存0.15。在第V-A节之后，当优化GSLS控制参数时，我们使用1000个参数组合的网格搜索，每个参数K的10个相等的空格值∈ [0,5], α ∈ [0，5]和β∈ [0,5].然后，在2017年期间，即测试期间，对该股票价格序列应用优化交易策略（偏差和均方误差），在测试期间，实施离散时间版本的策略（见[13]）。虽然上述程序是对每个股票价格系列单独执行的，但我们将通过汇总所有系列的结果来总结结果。注：在我们所有的测试中，我们为每只股票确定I=1，因为这只是衡量收益。在应用任何优化策略之前，我们首先以与之前文献类似的方式测试经典SLS策略，即简单地选择和测试控制参数的值；我们使用K={1，2，3，4，5}。然而，这里的优势在于，我们正在对一个比以前文献更大的priceseries样本进行测试。

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nandehutu2022

2022-6-10 04:01:37

为了使结果与我们进行优化的情况具有可比性，我们仅在2017年对这五种策略进行了测试（因为CEK只是从偏移量中固定的，2016年在参数选择中不起作用）。图6显示了每个交易日的平均收益（平均值是通过495个股票系列计算得出的）。我们可以看到，平均增益随K值的增加而增加，但增益的轨迹随时间变化非常不稳定（正如第III-C节所预期的，我们发现变化随K值增加而增加）；在过去的50天里，大多数的增长看起来像是急剧的跳跃。市值53亿美元或以上。以浮动调整后的市场资本化交易的年度美元价值应大于1，且在评估日期之前的六个月内，股票应至少交易250000股。该公司必须是美国IndexCommittee定义的美国公司。-0.4-0.2 0.0 0.2 0.40 2增益度σ0.050.10.2（a）偏差优化-0.4-0.2 0.0 0.2 0.40 2收益率σ0.050.10.2（b）MSE优化图4：一年内1000个模拟GBM股票价格的收益密度，其中控制参数的选择基于（a）偏差和（b）MSE。此处的目标增益为g*t=0.15，用黑色虚线表示。0 100 200 300 400 5000 50 100 200 300天数收盘价图5:2016年1月至2017年12月期间，标准普尔500指数495个成员的收盘价分位数为2.5%（底部，虚线）、50%（中间，实线）和97.5%（顶部，虚线）。然后，我们将1000个GSLS参数组合中的每一个应用于2017年的所有股票（同样没有使用2016进行优化），并计算了年底所有股票的平均收益；结果如图7所示，以及上一段中提到的五个SLS策略中的五个值。

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大多数88

2022-6-10 04:01:40

有趣的是，有大量的GSL策略导致了损失。这些主要对应于α>1的情况，这并不奇怪，因为如图5所示，大多数股票价格随着时间的推移而平均上涨。还请注意，虽然经典的SLS案例确实优于这些特定的组合，但显然还有许多其他GSLS案例优于SLS。上述测试（SLS和GSL）模仿了之前的文献，即我们简单地设置了0 50 100 150 200 2500.00 0.05 0.10 0.15DaysGainK=1K=2K=3K=4K=5图6：2017年每个交易日SLS策略的平均收益（在所有股票系列上计算），具有不同的K值。2017年初的控制参数，未从历史数据中提取。换言之，参数基本上可以被认为是随机选择的，而不是根据每个股票进行调整。现实世界中的交易者不太可能会采取这样一种他/她完全超然的策略。因此，我们根据2016年的数据（如上所述）对每只股票实施优化方法，并将优化策略应用于2017年的数据。图8显示了每个交易日使用优化策略（偏差和均方误差）的平均收益，最后，我们发现，虽然偏差法在纯收益衡量时表现更好，与MSE方法相比，明显存在更大的变化，MSE方法随着时间的推移而稳定增长（请注意，MSE案例收益率在这里的所有时间点都是正的）。进一步-0.50-0.250.000.250 1 2 3 4 5Kgalpha12345012345bet针对不同的K、β和α图7：1000个GSL策略中的每一个在2017年252天交易后的平均收益（计算所有股票）。点的颜色表示β值，而点的大小表示α值。

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2022-6-10 04:01:43

还显示了五种SLS策略（深色点）。从收益的可变性来看，图9显示了所有股票收益的2.5%和97.5%分位数。不出所料，与偏差优化策略相关的可变性水平明显高于MSE优化策略。显然，在偏倚优化策略中，负收益的可能性更大，但在某些“幸运”的情况下，右偏分布确实实现了高收益。另一方面，最小均方误差优化策略在收益分布更紧密的意义上更为一致，负收益的可能性更小；这符合第V-A.0 50 100 150 200 250节的结论-0.02 0.02 0.04 0.06 0.08天收益表8：优化策略2017年每个交易日的平均收益（计算所有股票）。biasoptimized（红色）和MSE optimized（黑色）策略均基于2016年的数据和g*= 0.15.0 50 100 150 200 250-0.5 0.0 0 0.5 1.0DaysGainMSEBiasFigure 9：偏倚优化（红色，实心）和均方误差优化（黑色，实心）策略的中值增益（在所有股票上计算），以及2.5%和97.5%的分位数（虚线）和g*= 0.15.0 50 100 150 200 2500.00 0.05 0.10 0.15daysgaimsebiasfigure 10:2017年每个交易日优化策略的平均收益（计算所有股票）*= |u| + 0.05. 偏差优化（红色）和MSE优化（黑色）策略均基于2016年的数据。在上面讨论的优化过程中，所有股票的目标收益固定为15%。然而，GBM参数也可用于确定合理的目标收益，例如，15%的目标可能是某些股票无法达到的收益水平，或者，实际上，低估了其他股票的潜在收益。

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2022-6-10 04:01:46

因此，可以考虑逐个股票改变目标。这个方向上的一个简单建议是设置目标增益，对于stocksi=1，。。。，495，at g*t、 i=|^ui |+C，其中^ui是估计的GBMdrift参数，C是一个常数，它描述了我们希望击败价格演变中固有漂移的数量。我们之所以选择漂移的绝对值，是因为在负漂移的情况下，也可以通过做空交易部分进行盈利。图10显示了C=0.05时随时间变化的平均增益。虽然与图8所示相比，MSE优化情况下的平均增益增加了约50%（最终增益从0.042增加到0.065），但偏差优化情况下的平均增益几乎翻了一番（从0.077增加到0.142）。这一发现可能是意料之中的，因为biasoptimization只追求一个目标，而MSE方法也考虑了可变性，即改变目标对偏差优化器有更大的影响。表一总结了以下策略的收益分布（在所有股票中）：优化的GSL（基于具有固定和可变目标的SE和偏差目标）、一些固定K值的SLS（这是迄今为止文献中出现的基本情况）和优化的SLS（其中只对K进行优化，因为α=β=1）。虽然MSE优化的GSLS策略在所有策略中没有最大的平均收益（正如预期的那样，因为它对冲了风险），但它似乎确实产生了很好的平均方差折衷。

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2022-6-10 04:01:49

与其他策略相比，收益的标准偏差相当低。这种减少的可变性也减少了发生大损失的机会（其他策略的可能性很高），中间值为正（大多数策略为负或接近零）；有趣的是，改变每只股票的目标会略微增加可变性，但会提高商品的水平。另一方面，偏倚优化的GSL产生了更大的平均增益，但具有很高的可变性，因此，在25%的情况下，损失低于-0.158. 该策略的性能与K=5的SLS以及tobias优化的SLS非常相似；当然，后两种策略本质上是相同的，因为K的增益增加了。然而，MSE优化的SLS产生的增益几乎为零。综上所述，MSE优化似乎为选择控制参数提供了一个很好的标准，但仅在GSL的情况下。优化经典SLS不会产生有用的策略，因为该方法没有足够的灵活性来同时增加收益，但仅使用单个参数K来减少其变化（并且没有参数选择的经典SLS不是一个令人满意的过程）。附录中包含了不同时间段的类似结果，其中没有平均策略膨胀；然而，MSE优化的GSL确实减少了对非常大损失的暴露。六、讨论GSLS策略扩展了经典的SLS，使得长控制器和短控制器的参数可以不同（即初始投资和反馈参数）。通过允许不同的初始多头和空头投资，例如总体净初始投资为非零，I（0）6=0，GSLS策略可以被视为SLS和更标准的交易策略（例如，简单地做多或做空）之间的一种范例。

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2022-6-10 04:01:53

这提供了一个机会，可以在降低与标准交易策略相关的风险的同时，深入了解交易策略。具有不同长期和短期初始投资（α6=1）的GSL相对于SLS的稳健性减弱，因为理论（预期）收益不再保证为正；有趣的是，如果α=1，具有不同反馈参数（β6=1）的GSL保持鲁棒性。然而，如果交易者掌握一些价格演变的知识，并选择α6=1，则可以获得比SLS更高水平的收益。事实上，正如人们所料，任何已实现收益的主要驱动因素都是股票本身的价格演变——这就是为什么人们可能希望以牺牲一些稳健性为代价来估计其可能的演变。在当前的纸上交易中，“知识”以GBM价格演变假设的形式输入，这在金融文献中很常见【26】、【27】。当然，这是一个简化的假设，在实践中，可以使用更一般的模型，其中可以包括历史价格序列本身所不具备的其他形式的市场知识。使用GBM模型的第二个原因是，它为预期收益和收益方差提供了一个封闭形式的解。在更复杂的模型中，这些量可以通过模拟获得。通过使用E(c)g（t）的一些无模型估计，例如在历史序列{g，g，…，gn}中获得的最后实现增益值，可以完全避免模型假设。另一种选择可能是对这些已实现收益的加权平均值Npnj=1wjgjj，其中权重wj随j增长，以便在最近的观测中放置更多的权重。

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能者818

2022-6-10 04:01:56

无论如何，在我们的实际应用中，尽管存在GBM假设，但这些方法似乎表现良好。据我们所知，文献中以前从未考虑过在某种意义上“最优”的控制参数选择。缺乏此类选择程序是更广泛采用基于反馈的交易策略的主要障碍。为此，我们提出了两种可能性，我们称之为偏差和均方误差优化。偏差优化侧重于预期增益，而均方误差方法额外考虑了增益的变化。在GBM假设下，预期收益与过程漂移有关，而变化包含过程波动性。虽然我们的建议涉及指定目标增益（估计的GBMmodel可以告知合理的值），但我们也可以选择在测试期间选择性能最好的策略。这相当于用一些任意大的目标增益最小化偏差。还请注意，我们的MSE目标函数虽然本身是一个非常自然的量，但在增益的偏差和方差上放置了相等的权重；更一般而言，调整参数可能会控制这两个量之间的权衡。另一种参数选择方法（类似于投资组合优化中所谓的“效率边界”[24]）将基于在固定方差水平下最大化预期收益，或在固定预期收益下最小化方差。

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2022-6-10 04:01:59

我们还可以设想一个优化程序，该程序在整个时间表I中不断更新：2017年底所有股票收益汇总使用不同的策略策略GSLS SLS参数MSE MSE Bias Bias K=1 K=2 K=5 MSE MSE BIASTARGE Fixed VARIZED Fixed VARIZED-----Fixed VARIZED Fixed VARIZED Summary第一个四分位数-0.018-0.018-0.158-0.154-0.029-0.057-0.131 |<0.001 |-0.002-0.083-0.114ofMedian 0.021 0.037-0.006 0.026<0.001-0.002-0.020<0.001<0.001-0.006-0.017GainsMean 0.042 0.065 0.077 0.142 0.026 0.053 0.138 0.007 0.013 0.108 0.1243四分位数0.098 0.126 0.185 0.264 0.060 0 0.115 0.237 0.007 0.011 0.011 128 0.217四分位间距0.116 0.144 0.343 0.418 0.089 0.172 0.368 0.002 0.013 0.211 0.331标准偏差0.082 0.142 0.448 0.455 0.1020.204 0.520 0.026 0.047 0.425 0.461损失概率0.402 0.383 0.513 0.430 0.499 0.503 0.533 0.497 0.497 0.520 0.525“MSE”和“偏差”表示通过基于2016年数据优化每个股票的这些标准来选择参数，其中“固定”表示*= 0.15，“变化”表示g*= |u| + 0.05. 四分位数范围=第三个四分位数- 第一个四分位数。使控制参数动态变化（尽管初始投资从一开始就明显固定）；正如一位匿名评论者所指出的，这可以利用[28]和[29]所做的工作，这些工作考虑了一个多期有效前沿，通过线性反馈控制器结合交易者的收益来分析确定投资组合的最佳权重。然而，如前所述，参数选择在SLS环境中是新颖的。因此，本文中列出的程序提供了一个有用的起点，并且在我们的广泛测试中表现良好。在SLS环境中，K对预期收益E{g（t）}的影响以及风险Var{g（t）}的影响先前已被[13]和[15]注意到。

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2022-6-10 04:02:02

在我们的GSLS设置中，我们强调了将这两个数量纳入控制参数优化的重要性。然而，我们注意到，控制器本身仅放置在返回上。因此，虽然这项工作超越了现有SLS文献，在考虑风险缓解的情况下优化了参数（如前一段所述），但考虑以类似于【28】的方式额外安排一名风险控制人，但同时考虑长短部分；当然，这超出了本文的范围。总体而言，尽管是一个相对较新的研究领域，但基于反馈的交易策略显然具有有趣的理论特性以及在实践中的良好表现。通过将经典的SLS扩展到GSLS，研究参数选择过程，并在大量实际股票价格数据样本中对绩效进行广泛分析，本文有助于更好地理解这些策略的潜力。在这一新兴领域有各种潜在的研究途径（上述讨论中指出了一些），我们建议，未来的发展可以遵循与本文中使用的测试标准类似的测试标准（即许多实际股票价格序列）。致谢作者感谢James Gleeson对本文早期草稿的有益评论。参考文献[1]K.J.Astr"om和P.Kumar，“控制：透视图”，Automatica，第50卷，第1期，第3-43页，2014年。[2] B.R.Barmish，“关于股票交易：稳健控制范式”，IFAC会议记录卷，第41卷，第2期，第1621-16262008页。[3] ——，“基于反馈控制的股票交易策略的绩效限制”，2011年美国控制会议论文集。IEEE，2011，第3874–3879页。[4] T.M.Cover，“通用投资组合”，1991年，第1卷，第1期，第1-29页。[5] N.G.Dokuchaev和A。

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2022-6-10 04:02:05

五、 Savkin，“无市场估计的正平均收益对冲投资策略”，《系统应用中的计算工程》，第2卷，第94–99页，1998年。[6] -，“随机金融市场模型中的渐近套利”，《系统应用中的计算工程》，第2卷，第100–104页，1998年。[7] -，“具有不可观测参数的市场的有界风险策略”，《保险：数学与经济学》，第30卷，第2期，第243–254页，2002年。[8] -，“扩散市场的普遍策略和交感套利的可能性”，《保险：数学和经济学》，第34卷，第3期，第409-4192004页。[9] B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于理想布朗运动股票市场中通过线性反馈进行套利的可能性”，摘自《决策与控制与欧洲控制会议》（CDC-ECC），2011年第50届欧洲控制会议。IEEE，2011，第2889–2894页。[10] ——，“通过线性反馈的市场中性股票交易套利”，美国控制会议（ACC），2012年。IEEE，2012，第3693–3698页。[11] -，“通过反馈控制进行股票交易”，《系统与控制百科全书》，第1357–13642015页。[12] S.Malekpour、J.A.Primbs和B.R.Barmish，“在理想市场中使用PI控制器的股票交易：稳健的正期望特性”，载于决策与控制（CDC），2013年IEEE第52届年度会议。IEEE，2013，第1210–1216页。[13] B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于通过无模型反馈控制器进行股票交易的新范式”，IEEE Transactions On AutomaticControl，vol.61，no.3，pp.662–6762016。[14] S.Malekpour和B.R.Barmish，“关于使用延迟控制器进行股票交易：稳健的正期望特性”，摘自《决策与控制》（DecisionandControl，CDC），2016年IEEE第55届会议。IEEE，2016，第2881-2887页。[15] M.H。

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2022-6-10 04:02:08

Baumann，“当不稳定的股票回报不连续时，通过反馈控制进行股票交易”，《IEEE自动控制交易》，第62卷，第6期，第2987–2992017页。[16] M.H.Baumann和L.Grüne，“同时多空交易不明确和连续时间”，《系统与控制信函》，第99卷，第85–89页，2017年。[17] J.A.Primbs和B.R.Barmish，“关于具有时变价格动态的同时长短股票交易控制的鲁棒性”，IFACPapersOnLine，第50卷，第1期，第12 267–12 272页，2017年。[18] A.Deshpande和B.R.Barmish，“反馈控制下股票交易鲁棒正期望定理的推广”，2018年欧洲控制会议（ECC）。IEEE，2018年，第514-520页。[19] S.Malekpour、J.A.Primbs和B.R.Barmish，“同时多空股票交易对PI控制器的推广”，IEEETransactions on Automatic Control，2018年。[20] 徐宝华（P.-H.Hsu）和关春明（C.-M.Kuan），“用数据窥探检查重新检验技术分析的可行性”，《金融计量经济学杂志》，第3卷，第4期，第606-6282005页。[21]J.C.Hull和S.Basu，期权、期货和其他衍生品。培生教育（印度），2016年。[22]B.Oksendal，“随机微分方程”，随机微分方程。斯普林格，2003年。【23】Y.A"it-Sahalia，“离散采样扩散的最大似然估计：一种封闭形式近似方法”，《计量经济学》，第70卷，第1期，第223–262页，2002年。[24]H.Markowitz，“投资组合选择”，《金融杂志》，第7卷，第1期，第77-911952页。【25】S.全球。（2017）标准普尔500指数评选标准。[在线]。可用：http://us.spindices.com/documents/methodologies/methodology-sp-us-indices.pdf[26]F.Black和M.Scholes，“期权定价和公司责任”，《政治经济学杂志》，第81卷，第3期，第637-6541973页。【27】R.C。

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2022-6-10 04:02:11

默顿，“关于公司债务定价：利率风险结构”，《金融杂志》，第29卷，第2期，第449-4701974页。[28]D.Li和W.-L.Ng，“最优动态投资组合选择：多周期平均方差公式”，《数学金融》，第10卷，第3期，第387–4062000页。[29]X.Y.Zhou和D.Li，“连续时间均值方差组合选择：随机LQ框架”，应用数学与优化，第42卷，第1期，第19-33页，2000年。附录在此，我们考虑与第五节的测试等效，但在2015-2016年期间，股票价格没有如图11所示的总体上升趋势。请注意，由于这段时间内数据的可用性，此测试中使用的库存数量为461（而非495）。0 100 200 300 400 5000 50 100 150 200 250日收盘价图11:2015年1月至2016年12月期间，标准普尔500指数461个成员收盘价的2.5%（底部，虚线）、50%（中间，实线）和97.5%（顶部，虚线）分位数。我们现在根据2015年和2016年的测试估计参数。图12显示了使用固定（g*t=0.15）和变化（g*t=|u|+0.05）目标，各种策略的总结见表二。

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