扩散过程的无偏蒙特卡罗模拟

2022-5-11 07:10:04

扩散过程的无偏蒙特卡罗模拟*Misys+2016年5月摘要由于时间离散化，扩散过程的蒙特卡罗模拟通常会在最终结果中引入偏差。使用辅助泊松过程，可以进行无偏模拟。在这篇文章中，我们提出了这样一个蒙特卡罗格式，它收敛到精确值。我们设法在所有情况下保持模拟方差的有限性，因此强大的数定律保证了收敛性。此外，模拟噪声是泊松过程强度的递减函数。我们的方法处理具有非恒定漂移和非恒定方差矩阵的多维过程。它还包括随机利率。1简介我们考虑抛物线偏微分方程tu+ααu+Cαβαβu=ru（1），在（1+d）维空间中具有终端条件uT（x）=h（x），具有时间和空间变量x，坐标xα，α=1。d、所有系数都可能依赖于t，x.C是一个正的半有限对称矩阵。可以使用Cholesky分解将其重写为C=σ| orCαβ=δabσαaσβb。*定量研究负责人，路易斯。paulot@misys.com+华盛顿街42-44号，法国巴黎75008号。我们使用爱因斯坦求和约定：公式中出现两次指数求和：aαBα=dXα=1AαBα。我们还使用了Kronecker deltaδAb，如果a=b，则为1，如果a=b，则为0。Feynman-Kac定理表明，该偏微分方程的解由预期值u（t，x）=Ehe给出-RTtr（s，Xs）dsh（XT）| XT=xi。（2）在多维扩散过程中，dxt=udt+σdWt。WT是独立标准布朗过程的d维向量。漂移u和波动率σ是依赖于时间t和状态变量x的随机变量。期望值（2）可以使用蒙特卡罗模拟进行数值估计。

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2022-5-11 07:10:08

然而，由于时间的离散化，常见的方案表现出一些偏差。例如，最简单的欧拉格式就是这样。人们通常通过较小的时间步长来控制这种偏差，这会增加计算时间。Bally和Kohatsu Higa（2015）引入的方案没有这种偏差（在r=0的情况下）。这是使用随机时间步实现的，其中时间离散化由独立泊松过程的跳跃时间给出。此外，我们必须将路径贡献乘以一些权重，这些权重是时间离散化和路径的函数。然而，这可能对应于不总是可积的或没有有限方差的可积随机变量，这会导致较差的收敛性。Henry Labord`ere等人（2015年）以两种不同的方式增强了该算法。首先，根据Malliavin权重获得所有扩散过程的权重函数。他们还设法在两种情况下保持综合变量的方差：恒定波动性和相关性（恒定Cαβ）或无漂移的一维过程（α=0）。方差由辅助泊松过程的强度控制，但它不是单调的：当泊松强度变得太小或太高时，方差会增加。特别是，在不增加方差的情况下，将平均时间步数增加到某个值以上是不可能的。我们的第一个贡献是引入了一种不同的蒙特卡罗方案，具有较小的方差。特别是，方差逐渐成为泊松强度的递减函数。作为第二个贡献，我们展示了如何在具有漂移和非恒定波动性的过程的一般情况下，在任何维度上确定方差。我们的第三个贡献是处理贴现率r是随机的情况。我们将在第2节介绍该方案的基本原理。

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2022-5-11 07:10:11

然后，我们在第3节的一维案例中对其进行了详细说明，并在第4节提供了数字证据。在第5.2节无偏模式2中，我们最终解释了随机贴现率的一般多维情况。1泊松过程让我们考虑终端条件为uT（x）=h（x）的抛物型偏微分方程（1）。我们可以将这个PDE重写为啧啧=-Htut其中Htut是椭圆微分算子Ht（x）=-r（t，x）+μα（t，x）α+Cαβ（t，x）αβ.演化算子可以用时间顺序指数表示，T=perthsds，它是有限产品的表示法，T=limn→∞N-1Yk=0eHt+k（T-t） /n（t）-t） n.这允许在终端条件uT（x）=h（x）asut=uT，TuT=uT，Th下写出方程（1）的解。明确变量，这意味着sut（x）=ZUt，T（x，y）h（y）dy。在某些情况下，例如，当随机过程是纯布朗运动或对数正态扩散时，所得的边际概率测度可以明确计算或精确模拟。在极小的时间δt，Ut，t+δt=eHtδ，测试函数φ上的触觉可通过与高斯核的卷积来表示：eHtδtφ（Xt）=e-rδtp（2πδt）d | det（C）| Zd（δX）de-δXδt- u总费用-1.δXδt- uδtφ（Xt+δX）。定义lt=（˙Xt）- ut）TC-1t（˙Xt）- ut）+rtwith˙Xt=tXt=δXδt，该卷积读取eHtδtφ（Xt）=p2π| det（C）|δtZQid（δX（i））e-Ltδtφ（Xt+δX）。因此，在t和t之间的极小时间内积分，UT可以表示为费曼路径积分UT=NZDXse-RTtLsdsh（XT）。积分以适当的归一化因子N覆盖从x开始的所有路径。在其他情况下，我们假设有一个不同的椭圆算子RbHT=-^r+^μαα+^Cαβαβ，选择系数r、u和C，使PDE啧啧=-通过蒙特卡罗模拟可以精确地解决这个问题。我们用but表示演化算子，t=perttbhsds，并将^C分解为^Cαβ=δab^σαa^σβb。

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2022-5-11 07:10:14

这意味着对于任意函数φ（x），我们可以得到但是，tφ（x）是的-Rtt^r（s，Xs）dsφ（Xt）|Xt=xut在随机过程dxt=^udt+^σdWt下。在显式坐标下，该过程遵循方程式dxαt=^α（t，Xt）dt+^σαa（t，Xt）dWat（3），其中wat是独立的标准布朗运动。我们分解原始算子asHt=bHt+用一个改正的术语Ht=-r+uαα+Cαβαβ（4）与r=r- ^ru = u - ^uC=C-^C。使用此拆分，演化运算符变为comesut，T=PeRTt（bHs+Hs）ds。在每个极小时间δt上，我们有一个术语Htδt=1+Htδt=1- δtr+δtuαα+δtCαβαβ. （5）选择具有漂移μ和协方差矩阵μC的过程，以便可以在没有任何偏差的情况下对其进行模拟。但是这个词公式（5）中给出的Htδt应在任何有限时间内进行计算和考虑，这在数值上是不可能的。相反，这一贡献Htδt仅在极小时间δt内保持概率λtδt，由λtδt的因子补偿，以使其预期值不变。换句话说，正如Bally和Kohatsu Higa（2015）和HenryLabord`ere等人（2015）所述，我们考虑强度为λt的泊松过程Nt。如果替换1+Htδt乘以1+δNtHtλt.（6）应用于测试函数φ，泊松过程的期望值给出了我们想要考虑的因子：EP1+δNtHtλtφ=1+λtδtHtλtφ=eHtδtφ。此外，强度λt也可能是一个随机过程，并且依赖于tand Xt。设p为时间tand T和tk之间的泊松跳跃数，k≥ 1跳跃次数。在两次泊松跳跃之间，演化算子对应于扩散过程（3）：bUtk，tk+1=PeRtk+1tkbHsds。过程^u和^Ct可能取决于泊松跳跃时间，也取决于扩散方程（3）给出的Xt值。

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nandehutu2022

2022-5-11 07:10:17

我们的明确选择将在第3节和第5节中描述。对所有时间进行积分，并在泊松过程中取期望值，我们得到了haveut=EPt但是，t1 +Htλt但是，t1 +Htλt······但是-1，tp1 +Htpλtp但是，Th（XT）.运算符BU通过积分作用于函数，可明确表示为T（Xt）=EPtZdXtbUt，t（Xt，Xt）1 +HtλtZdXtbUt，t（Xt，Xt）1 +Htλt···ZdXtpbUtp-1，tp（Xtp-1，Xtp）1 +HtpλtpZdXTbUtp，T（Xtp，XT）h（XT）. （7） 2.2蒙特卡罗模拟在蒙特卡罗模拟中，通过对根据BU给出的定律生成的模拟路径进行平均，来处理Xt、····、Xt和演化运算符BU上的积分。为了得到一个无偏蒙特卡罗方案，我们对泊松跳变时间t进行随机抽样，并根据过程（3）计算这些时间的Xtkat值。这一过程带有漂移μ和协方差矩阵μC，因此可以精确模拟，也就是说，当采样数趋于一致时，Xtk+1的蒙特卡罗分布以速率μr计算，以Xtk为条件，趋于utk，tk+1（Xtk，Xtk+1）。操作员Htkare微分算子作用于公式（7）中的所有因子。第一项取决于差异变量Xtkis in factbUtk，tk+1。如果我们知道这个进化内核的显式形式，我们就可以显式地进行区分。这定义了权重SCWα和CWαβ：XαtkbUtk，tk+1=cWαbUtk，tk+1XαtkXβtkbUtk，tk+1=cWαβbUtk，tk+1。这些权重与Malliavin权重相似，只是这里的kernelbU包含折扣因子。在零贴现率或确定性贴现率的情况下，cWα和cWαβ正是亨利·劳尔德·埃雷特等人（2015）在本文中介绍的马利雅文权重。当贴现因子取决于XTK时，它们也将这些贴现因子的导数合并在一起。然而，在这一步乘以这些权重将导致计算出具有不确定性的数量的预期值。

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2022-5-11 07:10:21

我们将在以下几节中解释这个问题以及如何解决它。其他项可以是Xtkare^u、^C、^r和λ的函数，取决于对这些函数的选择。然而，这些变量的变化不会影响最终结果。为了说明这一点，我们以递归的方式重写了中间泊松跳变时间的公式（7）：utk-1（Xt）=Etk-1.ZdXtkbUtk-1，tk（Xtk-1，Xtk）1 +Htkλtkutk（Xtk）. （8）在这个公式中，HTK通过与Xtkon utk（Xtk）的差异而产生。utkinvolves^u、^C和λ的公式。然而，这些函数和过程（3）只是计算中使用的中间对象：utkdoes的最终值并不取决于为这些函数选择的值。因此，它们的变化对utk的导数没有贡献。以下是操作人员的差异因此，Htkare使用冻结的^u、^C和λ进行计算。为了说明这一点，我们将用X表示*t差异时不应改变的冻结值。2.3在本文中，我们考虑纯布朗过程的简单情况。演化算子是高斯核函数，t（Ws，Wt）=p2π（t- s） e-（沃特-那是什么-Was）2（t-s）。相应的Malliavin权重为a=Us，t瓦苏斯，t=佤tWab=Us，t是WbsUs，t=佤WbT-δab特维斯W=重量- Wsandt=t- s、时间两次跳跃之间的t由密度为λe的泊松定律给出-λt在小范围内表现为O（1）t、作为W=O(√t），Malliavin权重为Wa=O√TWab=OT. 对于一大类扩散过程来说，这仍然是正确的。因此，（7）中的权重scwα和cwαβ的直接相乘将给出有限的方差。这将导致蒙特卡洛收敛性差。

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2022-5-11 07:10:25

为了很好地定义跳跃时间的期望值，并使被积函数具有有限的方差，我们积分的随机变量应为O阶tγγ<，所以它的平方是O阶t2γ2γ<1。为了得到一个变量，当t很小，重量应该乘以O的数量(t）。在等式（7）中，HtkbUtk，tk+1（Xtk，Xtk+1）乘以1+Htk+1λ，除非tkis是最后一个泊松时间（k=p）。让我们先考虑一下这个术语Htk+1。根据其定义（4），它由与r（tk+1，Xtk+1）成比例的项组成- ^r（tk+1，Xtk+1），u（tk+1，Xtk+1）-^u（tk+1，Xtk+1）和C（tk+1，Xtk+1）-^C（tk+1，Xtk+1）。因此，我们的策略是将所有这些订单条款(tk）=O（tk+1- tk）。另一个乘法项是不在O（δt）中的1，它被乘以bybutk+1，tk+2（Xtk+1，Xtk+2）。对于这一术语，我们将利用Butk，tk+1（Xtk，Xtk+1）的特殊形式，将Xtk上的导数转换为Xtk+1上的导数。然后，通过部分积分，将该导数转移到UTK+1，tk+2（Xtk+1，Xtk+2）。最后一件要处理的是最后一个泊松时间，此时权重W必须乘以最终支付。在这种情况下，我们使用了inHenry Labord`ere等人（2015年）所说的对偶抽样来确定O(tp）=O（T- tp）。这样一来，积分的随机变量仍然是O（1）阶，因此在泊松定律下具有有限的方差。

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2022-5-11 07:10:28

然后，强大的数定律适用，蒙特卡罗收敛保持在O√N.现在，我们在第3节中详细介绍了具有确定性贴现率的一维情况，以及在第5.3节中具有随机贴现率的一般多维情况下的一维蒙特卡罗方案。我们首先考虑一维过程ds=u（t，S）dt+σ（t，S）dW的情况。我们采用确定性贴现率r（t），我们希望对到期日为t的欧洲期权进行定价，并支付（ST）。换句话说，我们要解抛物线tut（S）+u（t，S）Sut（S）+σ（t，S）Sut（S）=r（t）ut（S），终端条件ut（S）=h（S）。3.1蒙特卡罗路径我们采用恒定的泊松过程强度λ。从日期t开始，我们在第一个泊松时间t上绘制一个区域。例如，我们绘制一个0到1之间的随机均匀数Q，并反转累积定律：t=t-log（q）λ。因此，在我们得到一个大于T的日期之前，我们可以合理地绘制时间。我们将用T表示T之前的最后一个泊松时间。在两个连续日期tk和tk+1之间，我们将模拟一个具有漂移μ（t，S）和波动率σ（t，S）的过程。更准确地说，我们考虑一个布朗过程，并选择一个函数f（k）(TW）在每个时间tk，使得f（k）（0，0）=0，这取决于tk和Stk。然后我们定义为Stk+f（k）（t）- tk，Wt- Wtk）。（9）这对应于It^o进程=tf（k）+Wf（k）dt+Wf（k）载重吨。用DST=^udt+^σdWtwe定义^u=tf（k）+Wf（k）（10）^σ=Wf（k）。

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nandehutu2022

2022-5-11 07:10:31

（11）我们假设我们可以把f（k）写成幂级数f（k）(T西，吉！J菲吉钛Wj。（依赖于k的fijare系数，但为了简化符号，我们没有明确说明。）那么t=tk+1- 特坎德W=Wtk+1- Wtkwe具有^u（tk+1，Stk+1）=f+fW+f+fW+O(t）（12）^σ（tk+1，Stk+1）=f+fW+O(t）（13）我们在哪里使用W=O(√t）。另一方面，函数的泰勒展开式tk+t、 Stk+f（k）(TW）和σtk+t、 Stk+f（k）(TW）给出u（tk+1，Stk+1）=u（tk，Stk）+Su（tk，Stk）fW+O(t）（14）σ（tk+1，Stk+1）=σ（tk，Stk）+Sσ（tk，Stk）fW+O(t）。（15）我们有σ（tk+1，Stk+1）=σ（tk+1，Stk+1）+O(t）因此C（tk+1，Stk+1）-^C（tk+1，Stk+1）=σ（tk+1，Stk+1）- σ（tk+1，Stk+1）=O(t）当且仅当方程（13）和（15）的系数相等。这意味着sf=σ（tk，Stk）（16）f=Sσ（tk，Stk）f=σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）。（17）同样，我们有u（tk+1，Stk+1）- ^u（tk+1，Stk+1）=O(t）当且仅当iff+f=u（tk，Stk）f+f=Su（tk，Stk）f.使用这些方程的fand fin表达式，这个readsf=u（tk，Stk）-σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）（18）f=σ（tk，Stk）Su（tk，Stk）-f、（19）此外，Stat t=tkin（9）的连续性，相当于f（0，0）=0，给定sf=0。（20）除了表达方式（16）、（17）、（18）、（19）和（20）之外，我们有选择所有其他科学家的自由。一个简单的选择是将它们设置为0:fij=0for（i=0，j）≥ 3），（i=1，j≥ 2）（我）≥ 2). 因此，在tk和tk+1之间，我们选择函数f到bef（k）(TW）=u（tk，Stk）t+σ（tk，Stk）W+σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）(W- t） +σ（tk，Stk）Su（tk，Stk）TW（21）tkwe绘制一个高斯变量Wk=Wtk+1- 带方差的WTKtk=tk+1- 然后递归地得到蒙特卡罗路径Stk+1=Stk+f（k）(tk，工作）。

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2022-5-11 07:10:35

（22）3.2校正项利用方程（10）和（11），我们的选择（21）对应于一个具有漂移和波动性的过程tk+t、 Stk+f（k）(TW）= u（tk，Stk）+σ（tk，Stk）Su（tk，Stk）W^σtk+t、 Stk+f（k）(TW）= σ（tk，Stk）1 + Sσ（tk，Stk）W+Su（tk，Stk）T.由于贴现率r（t）是确定的，我们也取^r（t，St）=r（t）。将这三个函数用于k- 1与tk=tk-1=tk- tk-1和W=工作-1=周- 工作-1根据我们有1个+Htkλ=1+ukλStk+Ckλ斯特奎斯uk=u（tk，Stk）- ^utk-1+ tk-1、Stk-1+f(tk-1.工作-1)Ck=σ（tk，Stk）- ^σtk-1+ tk-1、Stk-1+f(tk-1.工作-1).通过函数f（k）的显式选择，我们得到uk=u（tk，Stk）-u（tk）-1、Stk-1） +σ（tk）-1，Stk）Su（tk-1、Stk-1)工作-1.Ck=σ（tk，Stk）- σ（tk）-1、Stk-1)1 + Sσ（tk）-1、Stk-1)工作-1(23)+Su（tk-1、Stk-1)tk-1..3.2.1中间时间如果tkis不是最后一个泊松时间，即k<p，香港演艺学院onuk（tk，Stk）=ZdStk+1块，tk+1（Stk，Stk+1）1 +Hk+1λutk+1（Stk+1）。（24）更一般地，我们将考虑二阶微分算子ak=1+ASk对该表达式的作用Stk+ASSkStk.为了计算表达式（24）相对于stkWe的导数，考虑变量从（t，S）到（t，W）的变化，如等式（22）所定义：S=S*+ f（k）（t）- tk，W- W*) .和S*= 斯特坎德W*= Wtk。我们介绍*而W*明确表示一旦选择函数f，S*而W*是恒定的，不应被区分。变量的这种变化导致了第一个导数W=(WS）S=Wf（k）（t）- tk，W- Wtk）S=^σS.（25）第二次区分我们的WW=^σS+(W^σ）S=^σS+(Wf（k））s

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2022-5-11 07:10:39

（26）对于函数f，我们的特殊选择是W=^σS+σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）把这些方程倒过来S=^σWS=^σW-W^∑∑因此我们可以用变量WAk=1+ASk^σ（t+k，Wtk）来写W+ASSk^σ（t+k，Wtk）W-W^σ（t+k，Wtk）^σ（t+k，Wtk）W.再次使用^σ（t+k，Wtk）=σ（tk，Stk）W^σ（t+k，Wtk）=σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）。这个becomesAk=1+询问σ（tk，Stk）-混蛋Sσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）W+ASSkσ（tk，Stk）W.（27）变量从（t，S）变为（t，W）后，方程（24）becomesuk（tk，Wtk）=ZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）1 +Hk+1λutk+1（Wtk+1）。（28）由于W是布朗运动，就新变量而言，演化算子bU（W）是贴现因子与高斯核的乘积：bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=e-Rtk+1tkr（s）ds~n（tk+1- tk，Wtk+1- Wtk）带(TW）=√2πte-W2t、（29）我们必须计算微分算子对ukgivenin公式（28）的影响，我们扩展asuk（tk，Wtk）=ZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）utk+1（Wtk+1）+ZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）Hk+1λutk+1（Wtk+1）。（30）当作用于本公式中的第二项时Hk+1λ，Wtkare上的导数替换为Malliavin权重：WtkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=WW(tk，Wk）bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）WtkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=WW W(tk，Wk）bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1），其中高斯核（29）的显式形式给出了ww(tk，（工作）=工作将军澳(tk，（工作）=工作- tk蒂克。对于表达式（30）的第一项相对于Wtk的导数，我们使用高斯核的对称性，因此对于Wtk和Wtk+1，我们使用ofbU（W）的对称性来写入WtkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=-Wtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）。然后我们在（30）的第一项中进行部分积分，得到WtkZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）utk+1（Wtk+1）=ZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）Wtk+1utk+1（Wtk+1）和类似的二阶导数。

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2022-5-11 07:10:42

然后我们从W返回到S变量时间tk+1，使用（25）和（26），在我们的例子中是Wtk+1=σ（tk，Stk）1 + Sσ（tk，Stk）Wk+Su（tk，Stk）tkStk+1Wtk+1=σ（tk，Stk）1 + Sσ（tk，Stk）Wk+Su（tk，Stk）tkStk+1+σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）Stk+1。综合所有术语，我们最终得出AKUK=ZdStk+11 +询问σ（tk，Stk）-混蛋Sσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）工作tk+ASSkσ（tk，Stk）工作- tktk但是，tk+1（Stk，Stk+1）Hk+1λutk+1（Stk+1）+ZdStk+1bUtk，tk+1（Stk，Stk+1）1 +问-混蛋Sσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）1 + Sσ（tk，Stk）Wk+Su（tk，Stk）tkStk+1+ASSk1 + Sσ（tk，Stk）Wk+Su（tk，Stk）tkStk+1+ASSkSσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）Stk+1utk+1（Stk+1）。我们可以用Ak+1=1+ASk+1+1重写asAkuk=ZdStk+1，tk+1（Stk，Stk+1）Ak+1utk+1（Stk+1）Stk+1+ASSk+1Stk+1ASk+1=1+bk问-bkSσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）ASSk+dk(tk，（工作）uk+1λ（31）ASSk+1=1+bkASSk+dk(tk，（工作）Ck+1λ和bk=Sσ（tk，Stk）Wk+Su（tk，Stk）tkdk(TW）=1+询问σ（tk，Stk）-混蛋Sσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）Wt+ASSkσ（tk，Stk）W- Tt、（32）使用公式（31），我们可以递归地累积修正项。我们从t=t时的A=1开始。然后从每个日期开始，通过方程（22）模拟Stk+1，并计算上文定义的Ak+1，直到最后一个泊松时间tp。3.2.2根据最终泊松时间tp，p应采取行动onutp（Stp）=ZdSTbUtp，T（Stp，ST）h（ST），其中h是支付函数。一种幼稚的做法是：。根据方程式（22）中给出的Stp模拟Stp:ST=Stp+f（p）(tp，可湿性粉剂）tp=T- tpandWp=WT- 高斯方差变量tp。然后计算支付（ST），并使用Malliavinweights计算导数。这意味着将贴现支付乘以dp(tp，Wp）给定不等式（32）：PT=dp(tp，Wp）h装货单.然而，这个术语的行为就像O总磷很小t而不是我们想要的O（1）。取而代之的是，我们将在最后一个时间步骤中使用对偶采样，如HenryLabord`ere等人（2015年）所述。

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2022-5-11 07:10:45

更准确地说，我们计算（+）T=Stp+f（p）(tp，Wp）S（0）T=^Etp装货单= Stp+u（tp，Stp）tp（33）S(-)T=Stp+f（p）(tp，-Wp），然后再乘以dp=dp(tp，Wp）hS（+）T+dp(tp，-Wp）hS(-)T+1.-dp(tp，（可湿性粉剂）-dp(tp，-（可湿性粉剂）HS（0）T哪一个简单的例子toPT=dp(tp，Wp）hS（+）T+dp(tp，-Wp）hS(-)T-助理σ（tp、Stp）可湿性粉剂- 总磷tphS（0）T. （34）h中的最后一个术语S（0）T预期值为0，第一项和第二项对期权价格的贡献相反。如果Payoff函数h是光滑的，并且具有泰勒展开式，则可以检查O（1）阶的PTI。对于罢工附近的看涨期权或看跌期权支付，情况并非如此。在这种情况下，我们有PT=O√总磷. 然而，两人之间发生罢工的可能性(-)最后一个时间步测量asO（ptp）。因此，差异仍然有限。我们最终会在所有时间步长上打折。在第一种情况下，当我们采用确定性贴现率时，这一因素被表示为乘以e-RTtr（t）dt。3.3蒙特卡罗方案总结我们现在用确定性贴现因子总结一维情况下的整个蒙特卡罗方案。我们考虑一种到期日为T且付息（ST）的欧式期权。对于每一条路径，我们都要执行以下操作：1。从S=Sat时间t=t开始。定义=0ASS=0.2。在每个日期tk（a）绘制下一个泊松时间tk+1=tk+强度为λ的TKW。例如，画一个0到1之间的随机均匀变量q，然后取tk=-log（q）λ。如果tk+1>T，则设置p=k并转至步骤3。（b）画一个高斯变量有差异的工作蒂克。

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2022-5-11 07:10:48

通过方程（21）和（22）得到Stk+1:Stk+1=Stk+f（k）(tk，工作）。带f（k）(TW）=u（tk，Stk）t+σ（tk，Stk）W+σ（tk，Stk）Sσ（tk，Stk）(W- t） +σ（tk，Stk）Su（tk，Stk）TW（c）计算uK根据等式（23）：uk=u（tk，Stk）-u（tk）-1、Stk-1） +σ（tk）-1，Stk）Su（tk-1、Stk-1)工作-1.Ck=σ（tk，Stk）- σ（tk）-1、Stk-1)1 + Sσ（tk）-1、Stk-1)工作-1+Su（tk-1、Stk-1)tk-1..（d）从等式（31）中的ASk和ASSkas计算ASk+1和ASSk+1:ASk+1=1+bk问- bkSσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）ASSk+dk(tk，（工作）uk+1λASSk+1=1+bkASSk+dk(tk，（工作）Ck+1λ，其中bk=Sσ（tk，Stk）Wk+Su（tk，Stk）tkdk(TW）=1+询问σ（tk，Stk）-混蛋Sσ（tk，Stk）σ（tk，Stk）Wt+ASSkσ（tk，Stk）W- Tt、三,。准时tp（a）绘制一个高斯变量方差分析tp=T- tp。计算（+）T，S（0）和S(-)式（33）中的Tas:S（+）T=Stp+f（p）(tp，Wp）S（0）T=Stp+u（tp，Stp）tpS(-)T=Stp+f（p）(tp，-可湿性粉剂）。（b）获取支付（ST）的未贴现路径贡献（34）：PT=dp(tp，Wp）hS（+）T+dp(tp，-Wp）hS(-)T-助理σ（tp、Stp）可湿性粉剂- 总磷tphS（0）T.4.乘以贴现系数：e-RTtr（t）dtPT。我们最终对所有路径进行平均，以获得期权价格的无偏蒙特卡罗估计。4数值结果4。1收敛为了在数值上检验我们的蒙特卡罗格式，我们采用了一个模型，我们可以用一个闭合公式作为参考值。因此，我们选择BlackScholes模型ds=uSdt+σsdwt，其对应于局部漂移波动率u（t，S）=uSσ（t，S）=σS。该模型已经存在一个无偏蒙特卡罗方案，使用对数作为变量。为了测试的目的，我们忽略了这一点，我们天真地应用了你的方案，并将其与欧拉方案进行了比较。我们考虑现货S=100且波动率σ=50%的标的证券。我们提高利率，漂移率r=u=5%。我们对到期日为T=1年的看跌期权进行定价，行使期为K=80。

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何人来此

2022-5-11 07:10:51

布莱克-斯科尔斯公式给出的期权价格为7.8909。图1显示了λ=3的无偏方案的模拟值与路径数的函数关系。路径数98。587.5200000150000100000理论规则Runbiased500000期权价格图1：无偏方案和Euler方案的模拟期权价格相对于路径数的收敛性。为了进行比较，它还显示了Euler模式的相同收敛图，其平均时间步数n=4。我们看到后一种模式趋向于一个有偏差的值。4.2与Euler和Milstein方案相比，使用Euler方案时，可以使用更多的时间步长来减少偏差。这反过来又增加了计算时间。另一方面，使用无偏方案的代价是增加λ小值的方差。增加λ值会使方差变小，但也会增加计算时间，因为平均时间步长更高。为了评估可实现的性能增益，我们考虑了第4.1节中描述的80%看跌期权，并用两种方案对其定价。由于路径生成与Milstein方案有相似之处，我们还将其与Milstein方案进行了比较。这样可以更好地隔离无偏方案中纠正术语的影响。对于无偏格式，我们使用λ值从.01增加到29。对于Eulerand-Milstein方案，我们将时间步长从1增加到300。在所有情况下，我们绘制N=100万条路径，并用数值计算估计的期权价格、经验标准偏差和计算时间。结果如图2所示。

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2022-5-11 07:10:54

根据对数标度的计算时间，以99%置信区间绘制估计价格。775885995200 2000 20000Option price Computing time（对数标度）TheoreticalerMilsteinnbiased图2：使用无偏方案获得的欧洲看跌期权的模拟价格，与具有相同数量Monte Carlopath的Euler和Milstein方案进行比较。价格以对数比例以99%的置信区间与计算时间绘制。在非常低的泊松强度（λ=0.01）下，无偏格式的蒙特卡罗方差高于Euler和Milstein格式。然而，当λ增大时，它迅速减小。对于λ≥ 0.3甚至比theEuler和Milstein方案的噪声更低。超过λ=1时，蒙特卡罗噪声几乎是平稳的：与支付的基本方差相比，校正项增加了可忽略的方差。对于λ的所有值，我们检查最终估计值是否与理论值一致，直至蒙特卡罗统计误差。就计算时间而言，λ=1似乎是最佳值，对应于1年期间的平均时间步数n=2。相反，当时间步长较小时，欧拉格式表现出较大的偏差。这种偏差随时间线性减小T=T/n。进行加权最小二乘回归，我们估计偏差表现为渐近2。99n。为了使偏差等于欧拉蒙特卡罗标准偏差0。因此，我们需要n~ 230个时间步。这相当于计算时间比λ=1的无偏格式长43倍。Milstein方案具有较小的偏差，渐近-在本例中为0.648。因此，我们需要n=50个时间步才能获得与蒙特卡罗噪声相同大小的偏差。

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2022-5-11 07:10:58

这意味着计算速度比无偏方案慢10倍。5多维过程我们现在考虑一般的多维情况，其中抛物线PDE（1）中的所有参数都可以位于t和X上：tut（Xt）+μα（t，Xt）αut（Xt）+Cαβ（t，Xt）αβut（Xt）=r（t，Xt）ut（Xt）。（35）根据Feynman-Kac定理，它对应于具有随机贴现率r（t，Xt）的多维过程dxαt=μα（t，Xt）dt+σαa（t，Xt）dwat。σ（t，Xt）是一个波动矩阵，使得cαβ（t，Xt）=σαa（t，Xt）σβa（t，Xt），可以通过Cholesky分解得到。它们是独立的标准布朗过程。5.1蒙特卡罗路径我们绘制强度为λ的泊松乘以tkw。在这段时间内，我们模拟了ad维布朗过程Wt。这对应于抛物线偏微分方程tvt（Wt）+δabA.bvt（Wt）=0。（36）在两个泊松时间tk和tk+之间，我们将考虑两个变量的变化：o空间变量。我们使用函数fα（k）从（t，W）到（t，X）(TW）：Xαt=Xαtk+fα（k）（t）- tk，Wt- Wtk）。如果我们将由空间变量和价格构成的总空间视为一个纤维束，这对应于基础空间和纤维上变量的变化纳姆·埃莱尔。

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mingdashike22

2022-5-11 07:11:01

我们使用函数g（k）来改变数值(TW）ut=vteg（k）（t）- tk，Wt- Wtk）。将股份转让给衍生工具的金额变更如下：tvt=e-G啧啧- (tg）e-肠胃avt=e-Gaut- (ag）e-肠胃A.bvt=e-GA.但是- (A.bg）e-内脏+(（德国）(bg）e-肠胃-(ag）e-G但是- (bg）e-G奥特。使用符号a=佤α= Xα我们定义αa=afα和cαab=A.bfα。我们还将使用逆矩阵eaα，定义性质为αaeaβ=Δαβeaαeαb=δab。空间变量的变化导致导数发生以下变换：a=eαaαA.b=eαaeβbαβ+cαabαt | W=t | X+tfαα.根据新变量t、X和ut，PDE（36）因此变为图坦卡蒙αut+^Cαβαβut=^rut（37）带^μα=tfα- (ag）eαa+cαaa^cαβ=eαaeβa（38）^r=甘油三酯+A.银-(（德国）(ag）。我们想找到函数fα（k）(TW）和g（k）(TW）使- ^u，C-^C和r- ^r表现为O(t）很小t、为了简化符号，我们在不需要（k）索引时删除它们。我们假设我们可以把fα（k）和g（k）展开为幂级数t和W:fα（k）(TW）=fα+（fα）aWa+fαt+2！（fα）ab佤Wb+（fα）aTWa+3！（fα）abc佤WbWc+·g（k）(TW）=g+（g）aWa+gt+2！（g） ab佤Wb+（g）aTWa+3！（g） abc佤Wb在这个表达式中，（fαij）abc··或（gij）abc··是在空间指数a、b、c中对称的张量。t=tkis fα（0，0）=0时的连续性约束。它转换为tofα=0。此外，我们选择数值，使得utand和Vt在周期开始时重合，t=tk。数学上这是g（0，W）=0，这表示所有j（g0j）=0。考虑到这些约束条件，方程（38）具有泰勒展开式^μμα=fα+（fα）aWa+（fα）bb+（fα）bbaWa+O(t）（39）^Cαβ=（fα）b（fβ）b+（fα）b（fβ）baWa+（fβ）b（fα）baWa+O(t）（40）^r=g+（g）aWa+O(t）。

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nandehutu2022

2022-5-11 07:11:04

（41）另一方面，PDE（35）参数的泰勒展开式给出了μα=μα（tk，Xtk）+eγa（tk，Wtk）γ-α（tk，Xtk）Wa+O(t）（42）Cαβ=Cαβ（tk，Xtk）+eγa（tk，Wtk）γCαβ（tk，Xtk）Wa+O(t）（43）r=r（tk，Xtk）+eγa（tk，Wtk）γr（tk，Xtk）Wa+O(t）。（44）从定义来看，eγaiseγa=afα=（fγ）a+（fγ）abWb+O(t）。在期初t=0和W=0，这是iseγa（tk，Wtk）=（fγ）a。我们想要得到u- ^u，C-^C和r- ^r消失到O(t）条款。让我们从方程（40）和（43）中的常数项开始。从分解αβ（tk，Xtk）=∑αb（tk，Xtk）σβb（tk，Xtk）得到一个解（fα）b=∑αb（tk，Xtk）。（45）这也给出了αa（tk，Wtk）=σαa（tk，Xtk）。它的逆iseaα（tk，Wtk）=σ（tk，Wtk）-1.aα。将方程（40）和（43）的一阶项相等，我们有eαb（tk，Wtk）（fβ）ba+eβb（tk，Wtk）（fα）ba=eγa（tk，Wtk）γCαβ（tk，Xtk），其中Cαβ在指数α和β中是对称的，而（fβ）在指数a和b中是对称的。我们将这个方程乘以ecα（tk，Wtk）和edβ（tk，Wtk），也使用eaαeαb=δab:fdca+fcda=Cacd（46），其中我们引入了符号sfabc=eaα（tk，Wtk）（fα）bcCabc=eαa（tk，Wtk）ebβ（tk，Wtk）ecγ（tk，Wtk）αCβγ（tk，Xtk）。最后两个指数中对称的fabcand-Cabcare张量。我们为指数的三个循环排列写出方程（46），getfbca+fcba=Cabc（47）fcab+facb=Cbca（48）fabc+fbac=Ccab。

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mingdashike22

2022-5-11 07:11:07

（49）线性组合（49）+（48）-（47）然后给出SFABC=（Ccab+Cbca）- Cabc）。颠倒（fα）bc的fabcin项的定义，我们得到（fα）bc=σαa（tk，Xtk）（Ccab+Cbca）- Cabc）=hσγc（tk，Xtk）ebβ（tk，Xtk）γCαβ（tk，Xtk）+∑βb（tk，Xtk）ecγ（tk，Xtk）βCαγ（tk，Xtk）（50）- ebβ（tk，Xtk）ecγ（tk，Xtk）Cαδ（tk，Xtk）δCβγ（tk，Xtk）i.等式（39）和（42）中的相等项，我们得到fα=μα（tk，Wtk）-（fα）bb（fα）a=σγa（tk，Xtk）γ-α（tk，Wtk）-（fα）bba。使用属性Tr（M）-1.αM）=αlog（det（M））我们重写（fα）bbas（fα）bb=βCαβ（tk，Wtk）-Cαγ（tk，Wtk）γ对数（det（C））（tk，Wtk）和getfα=μα（tk，Wtk）-βCαβ（tk，Wtk）+Cαγ（tk，Wtk）γ测井（det（C））（tk，Wtk）。（51）另外选择fαij=0表示fij=0表示（i=0，j）≥ 3），（i=1，j≥ 2）（我）≥ 2），表示（fα）为（fα）a=σγa（tk，Xtk）γ-α（tk，Wtk）。（52）这就完成了fα（k）作为多项式的定义t和Wfα（k）(TW）=（fα）aWa+fαt+（fα）ab佤Wb+（fα）aTWa的所有系数见等式（45）、（51）、（50）和（52）。最后，将等式（41）和（44）相等，我们得到g=r（tk，Xtk）（53）（g）a=σγa（tk，Xtk）γr（tk，Xtk）。（54）选择所有其他系数为0，我们也得到g（k）作为多项式坦然Wg（k）(TW）=gt+（g）aT哇。利用函数fα（k）和g（k），我们可以通过蒙特卡罗模拟求解偏微分方程（37）。此时，tkwe绘制了d个独立的高斯变量哇，1≥ A.≥ 带方差的数据tk=tk+1- 蒂克。

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2022-5-11 07:11:10

然后我们计算系统在以下日期的值Xαtk+1=Xαtk+fα（k）(tk，工作）。tk和tk+1isD（tk，tk+1）=e之间的（随机）贴现系数-g（k）(tk，Wk）。我们再次使用它，从tto tk+1asDk+1=DkD（tk，tk+1）=Dke获得折扣系数-g（k）(tk，Wk），从D=1.5.2修正项开始，从fα（k）和g（k）的定义，在tkad tk+1之间，我们有α（k）a(TW）=（fα）a+（fα）abWb+（fα）at根据系数的定义，这是iseα（k）a(TW）=∑αa（tk，Xtk）+cα（k）abWb+σγa（tk，Xtk）γ-α（tk，Wtk）t（55）与cα（k）ab=σγb（tk，Xtk）eaβ（tk，Xtk）γCαβ（tk，Xtk）+∑βa（tk，Xtk）ebγ（tk，Xtk）βCαγ（tk，Xtk）- eaβ（tk，Xtk）ebγ（tk，Xtk）Cαδ（tk，Xtk）δCβγ（tk，Xtk）.方程（38）读数为αk(TW）=fα+（fα）bb+（fα）a佤- （g） aeαa(TW）t^Cαβk(TW）=eα（k）a(TW）eβ（k）a(TW）^rk(TW）=g+（g）a佤-（g） a（g）at、使用系数的定义，或者这些量应与μα、Cαβ和r一致，直到O(t）我们可以将其改写为^k(TW）=μα（tk，Xtk）+σβa（tk，Xtk）βα（tk，Xtk）佤- βr（tk，Xtk）eα（k）a(TW）T^Cαβk(TW）=eα（k）a(TW）eβ（k）a(TW）^rk(TW）=r（tk，Xtk）+σαa（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）佤-Cαβ（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）βr（tk，Xtk）t、用这些表达式表示k- 1.我们计算μαk=μα（tk，Xtk）- ^-1(tk-1.工作-1)Cαβk=Cαβ（tk，Xtk）-^Cαβk-1(tk-1.工作-1)rk=r（tk，Xtk）- ^rk-1(tk-1.工作-1）我们得到了1+Hkλ=1-rkλ+αkλXαtk+CαβkλXαtkXβtkExcept上一次tp时，香港演艺学院onuk（tk，Xtk）=ZdXtk+1 BUTK，tk+1（Xtk，Xtk+1）1 +Hk+1λutk+1（Xtk+1）。

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2022-5-11 07:11:14

（56）更一般地，我们将考虑二阶微分算子Ak=Ak+aαk对该表达式的作用Xαtk+AαβkXαtkXβtk。如第3.2.1节所述，e考虑Xt和Wtdefinedbyxαt=Xαtk+fα（k）（t）之间变量的变化- tk，Wt- Wtk）。关于它诱导的衍生品a=eα（k）aα(57)A.b=eα（k）aeβ（k）bαβ+cα（k）abα及其逆关系α=ea（k）αA.αβ=ea（k）αeb（k）βA.B- ea（k）αeb（k）βec（k）γcγ（k）abc、在新变量中，微分算子AkisAk=Ak+Aαkea（k）α（0,0）沃特克-Aαβkea（k）α（0,0）eb（k）β（0,0）ec（k）γ（0,0）cγ（k）abWctk+Aαβkea（k）α（0,0）eb（k）β（0,0）沃特克Wbtk。这个操作符作用于表达式（56）。

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能者818

2022-5-11 07:11:18

在新变量中，进化算子变成了sbu（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=e-g（k）（tk+1）- tk，Wtk+1- Wtk）а（tk+1-tk，Wtk+1-Wtk）（58）式中φ是d维高斯核(TW）=（2π）t） d/2e-佤佤t、在执行中的术语时Hk+1λ，我们对Wtk进行区分，即根据其定义乘以权重scw（k）aandcW（k）abWatkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=cW（k）a(tk，Wk）bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）沃特克WbtkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=cW（k）ab(tk，Wk）bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）。从表达式（58）我们得到了cw（k）a(TW）=佤t+ag（k）(TW）=佤t+σαa（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）tandcW（k）ab(TW）=佤t+ag（k）(TW）Wbt+bg（k）(TW）-δabT- A.bg（k）(TW）=佤t+σαa（tk，Xtk）αr（tk，Xtk）TWbt+σβb（tk，Xtk）βr（tk，Xtk）T-δabt、对于butk，tk+1直接作用于utk+1的术语，我们使用等式（58）中给出的bu（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）仅依赖于Wtk+1的事实-WTK将衍生工具从第一个变量转移到第二个变量：WatkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）=-Watk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）。然后我们在Wtk+1上进行部分积分，将utk+1上的导数转移到ZDWTK+1上WatkbU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）utk+1（Wtk+1）=-ZdWtk+1水+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）utk+1（Wtk+1）=ZdWtk+1bU（W）tk，tk+1（Wtk，Wtk+1）Watk+1utk+1（Wtk+1）和类似的二阶导数。

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2022-5-11 07:11:21

然后，我们使用方程（57）返回tk+1日期的原始变量X。综合所有术语，我们最终得到AKUTK（Xtk）=ZdXtk+1bUtk，tk+1（Xtk，Xtk+1）Ak+1utk+1（Xtk+1），其中我们定义了Ak+1=Ak+1+Aαk+1Xαtk+1+Aαβk+1Xαtk+1Xβtk+1，其中Ak+1=Ak- dk(tk，（工作）rk+1λAαk+1=[Δαγ+bα（k）γ]Aγk- ebβ（tk，Xtk）ecγ（tk，Xtk）cδ（k）bcbα（k）δAγδk+dk(tk，（工作）μαk+1λAαβk+1=[Δαγ+bα（k）γ][Δβδ+bβ（k）δ]Aγδk+1+dk(tk，（工作）Cαβk+1λ。我们用ea（k）γ（0,0）eα（k）a定义bα（k）γ(KWk）=Δαγ+bα（k）γ，在我们的例子中，使用（55）安第斯山脉（k）γ（0，0）=eaγ（tk，Xtk）=σ（tk，Wtk）-1.aγ，给定sbα（k）γ=eaγ（tk，Xtk）cα（k）abWbk+γu（tk，Xtk）蒂克。我们还定义了通过权重乘法asdk进行算子分离的效果(TW）=Ak+Aαkeaα（tk，Xtk）cW（k）A(TW）+Aαβkeaα（tk，Xtk）ebβ（tk，Xtk）hcW（k）ab(TW）- ecγ（tk，Xtk）cγ（k）abcW（k）c(TW）i.最后，在最后一个日期，我们通过第3.2.2节中的反向抽样来保持方差。我们计算α（+）T=Xαtp+fα（p）(tp，Wp）Xα（0）T=^EtpXαT= Xαtp+α（tp，Stp）tpXα(-)T=Xαtp+fα（p）(tp，-Wp）和上一个时间步长d（+）p，T=e的相应折扣系数-g（p）(tp，Wp）D（0）p，T=e-g（p）(tp，0）D(-)p、 T=e-g（p）(tp，-可湿性粉剂）。然后我们可以从路径得到蒙特卡罗估计asPT=Dp的贡献dp(tp，Wp）D（+）p，ThS（+）T+dp(tp，-Wp）D(-)p、 ThS(-)T- d（0）pD（0）p，ThS（0）Td（0）p=hdp(tp，Wp）+dp(tp，-Wp）我-bEtphdp(tp，Wp）i=Aαβpeaα（tk，Xtp）ebβ（tp，Xtp）WapWbp总磷-δab总磷.通过构造d（0）phas得到一个空的期望值。因此，PTI是对期权价格的两个相反贡献的平均值，减去一个零预期值项。最后，所有路径的平均值给出了t（X）的蒙特卡罗估计。

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2022-5-11 07:11:24

如第2.5.3节蒙特卡罗方案总结中所述，在蒙特卡罗模拟中，在每条路径上，我们首先通过等式a=1初始化运算符Aby，并通过1 D=1初始化disccount因子Dby，当路径数达到完整且无任何偏差时，它收敛到它。我们从xt=X开始。我们画泊松乘以tk。在aMonte Carlo路径上从日期TKT到日期tk+1时，我们执行以下操作：1。计算所有系数fαij和gijin，得到函数fα（k）和gij。2.绘制d个独立的高斯变量瓦克维思方差然后得到下一个状态Xtk+1as Xαtk+1=Xαtk+fα（k）(tk，Wk）3。将折扣系数累加为Dk+1=Dke-g（k）(tk，Wk）4。根据上述Akas计算Ak+1。当我们达到到期前的最后一个时间tpt时，我们用tp+1=T执行步骤1和2，然后我们计算上面解释的校正贴现支付。最终值通过对所有蒙特卡罗路径进行平均得到。6最后的评论在这篇文章中，我们介绍了一种蒙特卡罗方案，它在保持有限方差的同时，无任何偏差地收敛到理论值。它适用于多维扩散过程，也可以处理随机利率。它可以减少达到给定精度所需的平均时间步数，从而节省大量计算时间。6.1相关工作我们利用了Henry Labord`ere等人（2015）发表的一些有趣的工作。然而，我们的蒙特卡罗方案在几个方面有所不同。主要区别之一是，在他们的方案中，考虑纠正条款的路径没有考虑基本的支付贡献（ST）。换言之，他们的选择相当于只有在时间t没有跳跃时才保持恒定的单位终端方程（6）。这发生的概率为1- λtδt，这由系数1补偿-λtδt~ eλδt。

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2022-5-11 07:11:28

方程式（6）被（1）取代- δNt）eλtδt+δNtHtλt.在到期日t上没有任何泊松跳跃的概率是e-λT。因此，只有这部分蒙特卡罗路径包含基本支付贡献。这是由eλδ吨的乘积在极小时间内产生的重量eλt补偿的。然而，这增加了总的蒙特卡罗噪声，尤其是泊松强度λ的大值。在这种情况下，e-λ接近于零，几乎没有路径（如果有的话）包括支付贡献h（ST）。此外，所有路径贡献包括一个因子eλt，该因子可能变得非常大。在我们的方案中，所有路径都保留了Payoff贡献，无论它们是否包含纠正项。此外，没有这样的因子eλT。这使得该模式可用于λ的任何值，即使它变大。第二个不同之处是，我们的模拟方案可以同时处理任何维度的零漂和非恒定波动。我们还展示了如何考虑随机利率。6.2可能的改进本文介绍的蒙特卡罗方案可以通过几种方式进行改进。特别是，人们可以对函数fα（k）和g（k）的精确形式做出不同的选择。根据具体的选择，这可以使模拟路径更接近原始流程，因此纠正条件会更小。作为一个简单的例子，我们可以在参数中考虑一些时间依赖性。此外，泊松强度λ可以依赖于时间t和随机变量Xαt。可以在校正项较高的区域增加泊松强度λ，在校正项较小的区域减小泊松强度λ。感谢卡利普索·埃雷拉、军事米利和阿尔诺·里沃伊拉的宝贵意见。参考Bally，V.和Kohatsu Higa，A.（2015）。参数法的概率解释。

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