用于量化定价和定价中信息价值的强健框架

2022-5-11 07:16:42

用于量化信息定价和套期保值价值的稳健框架*Anna Aksamit+，Hou Zhaoxu和Jan Oblój§2018年4月2日摘要我们在金融衍生品定价和对冲的稳健方法背景下研究信息不对称。我们考虑两个代理人，一个只观察股票价格，另一个提供一些额外信息，并调查前者的定价-对冲双重性何时延伸到后者。我们引入一个通用框架来表达信息代理的超级边缘和市场模型价格。我们的主要见解是，知情的代理人可以被视为常规代理人，可以将注意力限制在可能路径的某个子集上。我们使用Hou&Oblój[25]关于稳健方法和信念的结果，为知情代理人建立定价-对冲二元性。我们的结果覆盖了许多场景，包括交易开始前到达的信息，在欧洲期权的静态头寸形成后到达的信息，但在动态交易开始之前，或在到期前的某个点到达的信息。对于后者，我们证明了超边值满足一个合适的动态规划原则，这是独立的利益。关键词：稳健的辅助决策、定价——定价二元性、知情的投资者、信息不对称、过滤扩大、路径限制、动态规划原理、带信念的建模1简介稳健的定价和对冲方法近年来一直是数学金融领域的一个活跃研究领域。在这种方法中，不是选择单一的概率模型，而是考虑在一系列模型下同时超边缘化，或在一组可行轨迹上沿路径超边缘化。通常情况下，股票的动态交易策略和静态交易（即在某些欧洲期权的时间零点）是允许的。

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2022-5-11 07:16:45

霍布森[24]的开创性工作开创了这种设置，他获得了回望期权的稳健定价和对冲界限。其中，考虑了对给定市场期权价格进行校准的所有鞅模型，以及所有正则路径的超边化。类似的方法和设置，包括连续时间和离散时间，被用于研究其他衍生工具和抽象定价——对冲二元性问题，参见[12,16,15,17,1,6,9,21,20,13]和其中的参考文献。其他论文，通常与前一条流交织在一起，关注的是只有在特定条件下才需要进行超边缘处理的情况*根据欧盟第七个框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议，该项目得到了欧洲研究理事会的慷慨支持。作者还感谢牛津曼定量金融研究所的支持。侯昭旭进一步感谢牛津大学巴利奥尔学院和牛津圣约翰学院提供的财政支持。+电子邮件：安娜。aksamit@maths.ox.ac.uk——电子邮件：赵旭。hou@maths.ox.ac.uk§电子邮件：1月。obloj@maths.ox.ac.ukgiven概率测度族，或最近关于给定可行路径集的概率测度族，参见[30,4,32,19,11,25]及其参考文献。到目前为止，文献中主要关注的是当交易策略适应价格过程的自然过滤时的情况。相比之下，我们在本文中的主要兴趣是了解当考虑更大的过滤时会发生什么。其中F指的是对一个不成熟或小的代理人的过滤，G指的是对一个投资于获取额外信息的虚假代理人的过滤。同样，G可能对应于内部人士的过滤。总的来说，这两种过滤模式模拟了代理之间的信息不对称。

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2022-5-11 07:16:48

我们主要感兴趣的是，当附加信息不会带来即时套利机会，但却提供了一种优势时，我们希望在衍生产品的稳健定价和对冲背景下量化这种优势。我们开发了一种路径方法。我们的主要见解是，对于G中包含信息的代理，定价和套期保值问题通常可以简化为只考虑路径空间子集的标准代理的定价和套期保值问题。这使我们能够使用侯和奥布霍伊[25]获得的信念的对偶结果。具体地说，我们认为价格过程是[0，T]上Rd值连续函数空间限制的规范过程。价格流程代表资产、股票或期权，这些资产、股票或期权根据通常的可接受性约束进行持续交易，见下文定义2.3。我们进一步允许在一组已知市场价格P的期权X中进行静态持仓。这些是流动性较低的期权，不被认为在时间零点后交易。附加信息可能在静态交易执行之前和/或之后到达。为了解释这一点，我们在G中增加了一个元素G-1,{, Ohm} G-1. Gand要求静态位置α为G-1-可测量。此类头寸的初始成本为αP（X），因此，对于具有过滤G的管理层，具有支付ξ的衍生工具的超边际成本由vgx，P，Ohm（ξ）（ω）：=infnα（ω）P（X）： G-容许（α，γ）s.t.αX+ZTγudSu≥ ξonOhmo、其中α还包括现金头寸。定价对应方为viaPGX，P，Ohm（ξ）（ω）：=supP∈MGX，P，OhmEP[ξ| G-1] （ω），其中上确界取G-鞅测度，该测度根据期权X的市场价格P进行校准，并且我们取条件期望的合适版本。

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2022-5-11 07:16:51

我们证明了VGX，P，Ohm（ξ）和PGX，P，Ohm（ξ）在G原子上定义良好且恒定-1.我们首先关注初始放大的情况：对于某些FT可测量的随机变量Z，G=σ（Z）。最初，我们处理G-1=Gand表明，在Hou&Oblój[25]中，知情代理人的对偶性与未知情代理人的对偶性相同，其信念形式为{ω：Z（ω）=c}。我们讨论两个例子：一个非常特殊的信息z=supt∈[0，T]| St- 1 |和一个相当模糊的信息Z=11{St∈（a，b）T∈[0，T]}。随后，我们证明了对偶性也扩展到了平凡G的情形-第二，我们关注的是附加信息在某个时间被披露的情况∈ （0，T），即过滤G的形式为：Gt=FTT∈ [0，T）和Gt=Ft∨ σ（Z）堡∈ [T，T]。为了证明定价-套期保值二元性，我们建立了一个动态规划原理。在撰写本文时，我们了解了一篇相关的即将发表的论文[2]，其中也考虑了使用路径限制的信息代理。然而，其中的技术设置与[5]中开发的基于Vovk外部度量的路径方法密切相关，本文在类似于[7]的精神中开发了单调性原理。对于超边缘成本V（ξ）和市场模型价格P（ξ）。即使在F=G的情况下，这些都是独立的。我们注意到，最近[3]中也研究了知情代理的定价问题。然而，其中的重点与我们的非常不同。作者没有研究定价——享乐二元性，而是关注定价方面的PGX，P，Ohm（ξ）用一个微不足道的G-1.它们表明，对极端度量进行优化就足够了，并将其描述为半静态完整性所适用的度量，即。

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kedemingshi

2022-5-11 07:16:54

利用标的资产和静态交易衍生工具对所有适当可积ξ进行套期保值。在一些关于G的进一步假设下，Q下的半静态完备性等价于Q下的F和G重合。在第2节中，我们定义了稳健的定价和Hedging设置。在第3节中，我们定义了知情代理的相关定价和套期保值概念，并通过路径空间限制确定其特征。在第4节中，我们展示了我们关于定价的主要结果——最初扩大过滤条件下的对冲二元性。定理4.6处理即时可用信息的情况，定理4.10处理信息可能不用于构建静态投资组合的情况。在第5节中，我们研究了附加信息在某个时间T到达时的动态情况∈ （0，T）。我们在5.2和5.3中建立了相关的动态规划原则，然后在定理5.5中得到了定价-套期对偶结果。最后，在第5.3节中，我们提出了一种对额外信息进行估值的方法，并讨论了代理人的估值如何随信息到达的时间而变化。2一般设置2。1交易资产我们考虑的是一个基础资产为d+1的金融市场：计分制和d∈ N风险是不可靠的资产。我们在没有摩擦的环境中工作，没有交易成本。价格以计价单位表示，例如银行账户，其价格通常为1。我们假设d风险标的资产的价格属于该空间Ohmd:=C（[0，T]，Rd+），即非负连续函数f从[0，T]到Rd+的空间，使得f=（1，…，1）。我们捐赠Ohmd使用sup范数| | f | | d:=supt≤T | ft |带|ft |：：=sup1≤N≤d | fnt | sothat(Ohmd、 | |·| | d）是一个抛光空间。

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2022-5-11 07:16:58

我们将用FDT表示(Ohmd、 | |·| | d）这是由Ohmd、除了有风险的基础资产外，市场上可能还有衍生产品。其中一些可能具有特别高的流动性——我们将假设它们是动态交易的——而另一些可能流动性较低，只能在初始时间进行交易。我们只考虑可以被视为FdT——可测函数X的欧洲导数：OhmD→ 根据[25]，我们进一步假设所有的payoff X都是有界且一致连续的。假设交易的期权在时间零点有一个由线性算子P给出的明确价格，即P（X）是FdT可测量、有界且一致连续的支付的时间零点的价格。我们假设X=（Xλ）λ∈∧，其中∧是一组任意基数，是可用于静态交易的市场期权收益的向量。我们假设0∈ λ和Xis是数值的单位，X（ω）=1代表每个ω∈ Ohm, 所以P（X）=1。还有更多的K选项，K≥ 0，带非负支付X（c）。。。，X（c）K，它们是动态交易的。我们将其支付标准化，使其初始价格等于1，并通过增加风险资产集来模拟这种情况。我们只考虑可以随时交易的d+K资产，d基础和K期权，路径在扩展路径空间中，Ohmd+K，标准为| | | | | |：=| | | | | | d+K。具体而言，由于到期日T的价格必须与支付一致，只有以下Ohmd+Kis考虑：Ohm :=nω∈ Ohmd+K：ω（d+i）T=X（c）i（ω（1）。。。，ω（d））/P（X（c）i）我≤ 击倒取胜空间Ohm 在[25]中被称为信息空间，因为它编码了有关初始价格和连续交易期权收益的信息。

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2022-5-11 07:17:01

我们注意到(Ohm, || · ||) 是Polishspace，因为它是Polish空间的封闭子集(Ohmd+K，| |·| |）。2.2信息让我们成为Ohm, i、 e.，St（ω）：=ωt。我们引入过滤F:=（Ft）t≤t由S生成，即Ft:=σ（Ss:S≤ t）对于每个t∈ [0，T]。请注意，它不是一个右连续过滤，每个元素Ft，或者更一般地说，Fτ代表一个停止时间τ，是可数生成的，作为波兰空间上的Borelσ场。我们还考虑了扩大的过滤G:=（Gt）t≤定义为Gt的Tde:=英尺∨ 每个人∈ [0，T]，其中H:=（Ht）T≤这是另一种过滤。在文献中，例如[27,28,31]，研究了过滤H的两种特殊情况。首先，过滤H可以取常数，Ht=σ（Z），其中Z是一个随机变量，然后G被称为F与Z的初始放大。第二，过滤H可以取为Ht=σ（11{τ≤s} ：s≤ t）其中τ是一个随机时间（一个非负随机变量），G则称为F随arandom时间τ的渐进放大。在我们的考虑中，重要的是指定附加信息何时到达——一些决定可能必须在获取附加信息之前做出，一些决定可能必须在获取附加信息之后做出。为了模拟这种情况，我们在每个过滤中添加了一个额外的元素G-1与{, Ohm} G-1. G.对于给定的任意过滤，我们用G+过滤表示+-1=Gand G+t=GT代表t∈ [0，T]。类似地，我们用G表示-这种过滤--1= {, Ohm} 和G-t=gtt代表t∈ [0，T]。我们注意到，对于价格过程的自然过滤，唯一的选择是F-1=F={, Ohm}. 最后，我们提出以下假设2.1。

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2022-5-11 07:17:04

所有σ-场Gt，t∈ {-1} ∪ [0，T]，在放大的过滤中，G是可数生成的。2.3交易策略我们现在讨论σ-场的原子概念，并介绍正确的交易策略类别，以期了解一般的过滤。我们参考Dellacherie&Meyer[18，第1章，§9-12]以获取详细信息。对于一个可测量的空间(Ohm, FT）和子σ-场G 我们介绍以下等价关系。定义2.2。设ω和eω为Ohm, 和G FTA应该是一个σ域。然后我们说ω和eω是G等价的，并且写eω~Geω，如果对于每个G∈ 我们有11G（ω）=11G（eω）。我们称G原子为Ohm 关于这种关系。我们用Aω表示包含ω：Aω=T{A:A的原子∈ G、 ω∈ A} 。注意，如果G是可数生成的，G=σ（Bn:n）≥ 1），那么每个原子都是G的一个元素，因为Aω=tncN是一个可数交集，其中Cn=Bnifω∈ bn和Cn=Bcnifω∈ Bcn。此外，从定义2.2检查G的生成器的关系就足够了。最后，我们注意到，在我们的设置中，ω~Fteω当且仅当ωu=eωuf对于每个u≤ Tω~σ（Z）eω当且仅当Z（ω）=Z（eω）。在定义2.3和2.4中，我们将以这样一种方式定义交易，即可以在动态交易的每个Gf原子和Gf的每个原子上分别选择策略-1用于静态交易。特别是，我们不要求这些战略在整体上是可衡量的Ohm 但允许在适当的原子范围内进行测量的fortrading策略。它是通过mappingsU（G）：={M:Ohm → rstω~Geω意味着M（ω）=M（eω）}（1），其中G∈ {G，G-1} ，只要求G原子上的常数。特别是，使用G中包含的信息并不能强制实现可测量性。σ-场G提供的信息可能被视为一个信号，或等效为一个分区Ohm 变成原子。

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kedemingshi

2022-5-11 07:17:07

在接收到一个信号后，一个代理可能会根据U（G）决定使用它，U（G）通常是一组比G-可测映射大得多的动作。我们认为以上是一个重要的观点，我们的方法受到[22]和[23]的启发，在[22]和[23]中，信息集集与σ场不同，前者允许不可数和。我们只考虑变化有限的交易策略。与[21,25]类似，这允许通过部分积分公式简单地定义路径积分：Ztγ（u）dω（u）：=γ（t）ω（t）- γ(0)ω(0) -Ztω（u）dγ（u），ω∈ Ohm.上述整合提供了以下定义的连续交易集合的动态交易。定义2.3。（i）映射γ：Ohm ×[0，T]→ 对于每个ω，Rd+Kis称为（a）cádlágif∈ Ohm, γ（ω）：[0，T]→ 对于g的每个原子Aω，映射γ11Aω是g-适应的。（ii）映射γ：Ohm×[0，T]→ Rd+Kis被称为（G，M）-M可接受∈ U（G），其中U（G）在（1）中定义，如果它是cádláG，G-适应于有限变化的原子，满足ztγ（ω）udSu（ω）≥ -M（ω） T∈ [0，T]，ω∈ Ohm . （2）所有（G，M）-可容许的ST策略的集合表示为AM（G）。所有G-容许策略的集合由a（G）：=[M]定义∈U（G）AM（G）。（3）除了动态交易之外，我们还允许期权X的静态交易，这导致了下文定义的半静态交易。定义2.4。（i）让我∈ U（G）。（G，M）-容许半静态策略是一对（α，γ），其中γ∈ AM（G）和α=（αλ）λ∈对于每个λ∈ Λ, αλ∈ U（G）-1）每一个原子-1，Aω，存在一个有限子集∧ω λ使得每个λ的αλ（ω）=0/∈ Λω.（ii）所有（G，M）可容许半静态策略的集合用AMX（G）表示，所有可容许半静态策略的集合用ax（G）：=[M]表示∈U（G）AMX（G）。（4）设Aω表示G的一个原子-1和（α，γ）是G-容许的交易策略。

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2022-5-11 07:17:10

注意，foreach eω∈ Aω，（α，γ）的初始成本等于α（ω）P（X）=α（eω）P（X）=α（eω）+Xλ∈∧αλ（eω）P（Xλ）=α（eω）+Xλ∈∧ωαλ（eω）P（Xλ）。对于每个ω=（ω（1）。。。，ω（d），ω（d+1）。。。，ω（d+K））∈ Ohm （α，γ）的最终收益由（γ）给出o S） T（ω）+（αX）（ω）=ZTγ（ω）udSu（ω）+Xλ∈∧αλ（ω）Xλ（ω（1）。。。，ω（d））。（5） 3.信息量化的路径空间方法我们现在可以确定感兴趣的主要数量：期权的稳健定价和混合价格。与自然过滤F相比，我们使用一般过滤G，这会导致进一步的困难。我们从超边缘问题开始。定义3.1。让我们 Ohm. A上ξ的G-超边缘成本由vgx，P，A（ξ）（ω）：=inf{α（ω）P（X）给出： (α, γ) ∈ AX（G）使得（γo S） T（eω）+（αX）（eω）≥ ξ（eω）对于每个eω∈ A} ，ω∈ A、（γ）在哪里o S） T+（αX）在（5）中定义。因此，A上ξ的G-超边缘成本是G-容许半静态策略（α，γ）的所有初始成本αP（X）的路径最小值∈ AX（G）在[0，T]上超复制ξ，即αX+（γo S） T≥ 我们有以下明显的不等式：VG+X，P，A（ξ）≤ VGX，P，A（ξ）≤ VG-X，P，A（ξ）≤ VFX，P，A（ξ）。只要G-1不平凡，αP（X）是随机的，因此VGX，P，A（ξ）也是随机的，其可测性在先验上是不明确的。然而，下面的结果表明，在G的原子上，s的涨落成本是恒定的-1.特别是当G-1最多有可数个，例如，由离散随机变量生成，则超边际成本为g-1-可测量。提议3.2。ξon的G超边缘成本Ohm, 定义3.1中定义的是G-1.具体来说，对于任何ω∈ Ohm 我们有vgx，P，Ohm（ξ）（ω）=VGX，P，Ohm（ξ）（ω′）=VGX，P，Aω（ξ）（ω′）ω′∈ Aω，其中Aω表示G-含有ω的1-原子。证明：修正ω∈ Ohm 和ω′∈ ω。

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2022-5-11 07:17:13

它来自于αλ∈ U（G）-1）对于每个λ∈ λα（ω）P（X）=任何G-容许策略（α，γ）的α（ω′）P（X）∈ 在ω上超复制ξ的AX（G）。这又意味着VGX，P，Aω（ξ）（ω）=VGX，P，Aω（ξ）（ω′）。仍然需要争论的是，它们也等于VGX，P，Ohm(ξ)(ω′). 显然，后者只会更大，因为在更大的集合上需要超级对冲。至于逆不等式，请注意，在ω上超级复制ξ的任何G-容许s emi-静态策略（α，γ）都可以扩展为在ω上超级复制ξ的策略（α，γ）Ohm 通过在ω上取α=α，否则取γ=γ11Aω。通过稍微滥用符号，我们将VGX，P，aω（ξ）都写成常数函数，扩展到Ohm, 它的值等于VGX，P，Ohm（ξ） | Aω。现在我们来谈谈定价问题。在经典方法中，使用鞅测度对无套利市场进行建模。我们用概率测度来表示(Ohm, FT）使得S是G-鞅。在给定的时间内∈ FT，我们研究可能的经典市场模型，这些模型根据期权的市场价格进行校准，并在A:MGX，P，A:=nP上得到支持∈ MG:P（A）=1和EP[Xλ| G-1] =P（Xλ）表示所有λ∈ ∧，P-a.s.o.我们强调，任何度量P∈ MGX、P、Ais根据X中期权的初始价格进行校准。特别是对于G的任何原子Aω-1每个λ都有EP[XλAω]=EP[P（Xλ）11Aω]∈ Λ.要考虑定价问题，我们需要看看“supP”∈MGX，P，OhmEP[ξ| G-1] “.但是，除非-1是一个平凡的σ场，条件期望EP[ξ| G-1] 是一个随机变量，它仅由P-a.s.作为集合MGX，P，Ohm我们必须谨慎选择这些条件期望的好版本。引理3.3。让P∈ MGX，P，Ohm.

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2022-5-11 07:17:16

然后，存在一个集合OhmP∈ G-1P(OhmP） =1和P关于G的正则条件al概率的一个版本{Pω}-1对于每个ω∈ OhmP、 Pω∈ MGX，P，Aω，其中Aω是G-含有ω的1-原子。该证明基于正则条件概率的标准存在性结果，见附录。假设现在我们确定了一个代表Ohm针引理3.3适用于每个HP∈ MGX，P，Ohm并用这些定义市场模型价格如下：定义3.4。让我们∈ FT.A上ξ的G市场模型价格由pgx，P，A（ξ）（ω）：=supP定义∈MGX，P，A′EPω[ξ]，ω∈ Ohm,式中，\'EPω[ξ]=EPω[ξ]f或ω∈ OhmPand’EPω[ξ]=-∞ 对于ω∈ Ohm\\OhmP、在哪里OhmPis是引理3.3中的一组。我们注意到以下明显的不等式：PG+X，P，A（ξ）≤ PGX，P，A（ξ）≤ PG公司-X，P，A（ξ）≤ PFX，P，A（ξ）。我们现在证明，就像在超边缘的情况下一样，G原子的模型价格是恒定的-1并且是唯一定义的，无论选择哪种Ohm帕博夫。因此，虽然PGX，P的可测量性，Ohm（ξ）不清楚G是什么时候-1的原子数最多为可数，Ohm（ξ）是G吗-1-可测量。提案3.5。ξon的G市场模型价格Ohm 是独一无二的Ohm 是G的康斯坦顿原子-1.特别是ω∈ Ohm 我们有PGX，P，Ohm（ξ）（ω）=PGX，P，Ohm（ξ）（ω′）=PGX，P，Aω（ξ）（ω′）=supP∈MGX，P，AωEP[ξ]，ω′∈ Aω，其中Aω是G-含有ω的1-原子。证明：注意如果P∈ MGX，P，Aω，然后Aω OhmPand Pω′=P表示所有ω′∈ ω。特别地，PGX，P，Aω（ξ）（ω′）=supP∈所有ω′的MGX，P，AωEP[ξ]∈ Aω，即PGX，P，Aω（ξ）在Aω上定义良好且恒定。此外，明显的夹杂物MGX，P，Aω MGX，P，Ohm与外稃相结合。3.证明了集合MGX，P，Aω由MGX，P中测度的条件概率组成，Ohm.因此，PGX，P，Ohm（ξ）（ω′）=PGX，P，Aω（ξ）（ω′），ω′∈ Aω，按要求。尤其是PGX，P，Ohm（ξ）对原子有很好的定义且恒定不变，不依赖于OhmP或P∈ MGX，P，Ohm.

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2022-5-11 07:17:19

最后，对于ω∈ Ohm, MGX，P，Aω= 那么，无论如何∈ MGX，P，Ohm, OhmP∩ Aω= 定义同意给予MGX，P，Ohm(ω) = -∞.通过稍微滥用符号，我们为常数函数写PGX，P，aω（ξ），扩展到Ohm, 以及它的价值等于∈MGX，P，AωEP[ξ]=PGX，P，Ohm（ξ） | Aω。备注3.6。我们注意到，命题3.5意味着在计算G市场模型价格ξ时Ohm, 或者在某个场景中-1.充分利用G的单原子上支持的度量-1.这些措施不一定是MGX，P，Ohm, [3]中的重点是什么。备注3.7。在本文中，我们对可能影响定价和套期保值的信息感兴趣。其他“无关”信息可以通过扩大可测量空间来建模(Ohm, 以下面的方式。删除Ohm = Ohm × Ohm′在哪里(Ohm′, G）是另一个可测空间，表示eω：=（ω，u）∈ Ohm × Ohm′. 假设附加信息由Z:e提供Ohm → r化Z（eω）=Z（u）。和以前一样，我们可以考虑G=F∨ σ（Z），其中过滤F可以自然地解释为（eOhm, 英尺 G）。那么，G的任何原子A（ω，u）（分别是G-1）等于（分别包含在）Ohm ×{v:Z（v）=Z（u）}。特别是，Z不影响鞅条件，对于任何c，M（G）=M（F）和γF=γG（c）∈ Z(Ohm) 加上Z所携带的信息，定价问题不变。这种情况在Biagini[8]中的Q-准确定简化形式建模中考虑，其中(Ohm′, G） =（[0,1]，B（[0,1]）通过施加eQ={eQ:=Q×U（[0,1]）：Q∈ Q} .4定价——最初扩大的融资条件下的套期保值二元性我们在本文中的第一个贡献，在上述命题3.2和3.5中发展，是用附加信息描述代理的超额成本和定价问题。

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2022-5-11 07:17:22

现在我们来谈谈我们的第二个主要贡献：了解定价时的情况——常规代理的套期保值双重性会延续到知情代理吗？很容易看出一个不等式在一般情况下成立：引理4.1。G超边缘成本VGX，P，Ohm（ξ）以及G-market模型价格PGX，P，Ohm（ξ）关于ξOhm 令人满意的vvgx，P，Ohm(ξ)(ω) ≥ PGX，P，Ohm(ξ)(ω) ω ∈ Ohm .由于第3节的结果，证明是在G原子上进行的-1并在附录中进行了说明。本节的目标是为上述不平等提供充分的平等条件。我们从G是F的初始放大的情况开始，然后，γ是G，当且仅当γ（ω）t=γ（eω）t=eω|[0，t]=eω|[0，t]和ω~Geω.4.1预备课程：定价——用信念对冲二元性我们首先回顾Hou&Oblój[25]的概念和结果。如前所述，我们使用他们的设置和信念来放大知情代理考虑的路径空间部分。为了P∈ FTleteVFX，P，P（ξ）是P上ξ的近似F-超边缘成本，即eVFX，P，P（ξ）：=inf{αP（X）：(α, γ) ∈ AX（F）使得（γo S） T（ω）+（αX）（ω）≥ ξ(ω) ω ∈ P（ε）对于某些ε>0}，其中P（ε）={ω∈ Ohm : infeω∈P | |ω- eω| |≤ ε}. （6）类似地，letePFX，P，P（ξ）是ξ的近似F市场模型价格，即ePFX，P，P（ξ）：=limη0supP∈MF，ηX，P，PEP[ξ]与MF，ηX，P，P:={P∈ MFOhm: P（P（η））>1- η和| EP[Xλ]- 所有λ的P（Xλ）|<η∈ Λ }.下面的假设表示向量X不是太大，动态交易期权的初始价格不是“在无套利区域的边界上”。假设4.2。（i） Lin（X）是C的一个紧子集(Ohm, R），其中LinN（X）由（Xλ）给出∈∧αλXλ：α=（αλ）λ∈Λ∈ R∧具有无穷多个αλ6=0和xλ∈Λ|αλ| ≤ N）。

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2022-5-11 07:17:25

（7）（ii）K=0或存在ε>0，使得对于任何（pk）K≤Kwith | P（X（c）k）- pk|≤ εforall k≤ K、 MFeOhm6= 在哪里Ohm = {ω ∈ Ohm : S（d+i）T（ω）=X（c）i（ω）/pi 我≤ K} 。定理4.3（Hou&Oblój[25]）。假设假设4.2成立。让P∈ Ft应使mf，ηX，P，P6= 对于任何η>0的情况。然后，对于任何一致连续且有界的ξ，近似定价-对冲对偶成立：eVFX，P，P（ξ）=ePFX，P，P（ξ）。让我们考虑一般过滤G，并假设MGX，P，Ohm6= . 以上结果Ohm 无选项（即PGOhm（ξ） =VGOhm（ξ））以与[25]第4.1节和第4.2节完全相同的精神，应用最小–最大类型的参数，扩展到期权静态套期保值的情况。因此，作为[25]中定理4.3证明的推论，我们得到以下结果。推论4.4。设G为任意过滤，使G-1这是一个微不足道的领域。假设假设4.2成立，MGX，P，Ohm6= . 此外，假设没有期权的模型存在定价-享乐二元性，即PGOhm（ξ） =VGOhm（ξ）对于所有一致连续且有界的ξ。然后是EPGx，P，Ohm（ξ） =eVGX，P，Ohm（ξ） =VGX，P，Ohm（ξ）对于所有一致连续且有界的ξ.4.2对偶，在放大滤波中：定理4.3中的G+情况，取P为G中的原子+-1=G，我们可以在扩大的过滤中推导出一个定价——对冲二元。我们分离出以下经常被引用的假设。假设4.5。集合P∈ FTI使得MFX，P，P6=, 对于任何有界一致连续ξ，Pfx，P，P（ξ）=VFX，P，P（ξ）。（8）定理4.6。假设假设4.2成立，设Z为随机变量，G:=F∨ σ（Z）。假设对于每个值c∈ Z(Ohm) {Z=c}满足假设4.5或mfx，P，{Z=c}=.

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2022-5-11 07:17:28

那么，在集合{ω：MFX，P，{Z=Z（ω）}6=}, i、例如，VG+X，P，Ohm（ξ）（ω）=PG+X，P，Ohm（ξ）（ω）适用于任何ω，使得MFX，P，{Z=Z（ω）}6= 以及任意有界连续ξ。证明：在第一步中，我们证明每个值c∈ Z(Ohm) 使得MFX，P，{Z=c}6=我们有pfx，P，{Z=c}（ξ）=PG+X，P，{Z=c}（ξ）≤ VG+X，P，{Z=c}（ξ）=VFX，P，{Z=c}（ξ）。（9）首先，让我们证明最后一个等式。为此，请注意，任何G+渐进可测量过程γ的形式为γ（ω）t=Γ（Z（ω），t，ω），其中对于每个t∈ [0，T]映射Γ：R×[0，T]×Ohm → Rd+K+是B（R）B（[0，t]）Fs是可测量的。因此存在由γF（t，ω）=Γ（c，t，ω）驱动的F-逐步可测过程γF，它等于{Z=c}上的γ，因此（9）中的最后一个等式如下。为了解释第一个等式，必须证明MG+X，P，{Z=c}=MFX，P，{Z=c}。任何P∈MFX，P，{Z=c}和0≤ s≤ T≤ 我们有EP[St | G+s]=EP[St | Fs∨ σ（Z）]=EP[EP[St | FPs]|Fs∨ σ（Z）]=EP[Ss | Fs∨ σ（Z）]=Ss，其中fps是Fs的P-完成，表示P∈ MG+X，P，{Z=c}。相反的情况很明显。最后，引理4.1暗示了（9）中的中间不等式。通过命题3.2和命题3.5中给出的表示，证明是完整的，因为我们得到了VG+X，P，{Z=c}（ξ）=PG+X，P，{Z=c}（ξ）f或任何值c∈ Z(Ohm) 其中MFX，P，{Z=c}6= 以及任意有界一致连续索赔ξ。备注4.7。在假设4.2下，由于定理4.3，我们得到了evfx，P，{Z=c}（ξ）=ePFX，P，{Z=c}（ξ）。（10）将等式（10）与下列一般不等式Pfx，P，{Z=c}（ξ）结合起来≤ VFX，P，{Z=c}（ξ）≤eVFX，P，{Z=c}（ξ）我们得出结论，在定理4.6中，与其假设（8）成立，不如假设pfx，P，{Z=c}（ξ）=ePFX，P，{Z=c}（ξ）。我们现在举两个例子，说明知情代理人对最终日期的定价过程有更多的了解。

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2022-5-11 07:17:31

这对应于两种截然不同的情况：第一种情况是，知情者获得了相当详细的信息，并且原子是连续的；第二种情况是，知情者获得了二进制信息（以及-1只有两个原子）。在这两种情况下，我们只考虑没有静态交易的情况：∧={0}，这样G+中的定价-享乐二元性就成立了。例4.8。考虑一个没有静态或动态tradedoption的一维设置：d=1、K=0和∧={0}。知情代理人获得股票价格过程的详细信息：即她知道股票价格与初始价格在时间间隔[0，T]内的最大偏差。当然，代理人不知道偏差的迹象，因为这会立即进行套利。这种情况对应于Z=supt∈[0，T]| St-1|.对于c>1，市场模型价格PG+{Z=c}（ξ）=-∞ 就像任何鞅测度P一样∈ MG+{Z=c}将使s ATIFY1=Psupt∈[0，T]街≥ 1+c！≤1+c<1，因此鞅测度集MG+{Z=c}必须为空。同样，超级对冲成本vg+{Z=c}（ξ）=-∞ 因为股票中的多头头寸会产生套利。修正c≤ 1.我们的证明类似于[25]中的示例3.12。首先要注意的是，在任何情况下∈ MG+{Z=c}，S是S=SτcP-a.S的一致可积鞅，其中τc:=inf{t:St∈ {1+c，1- c} 哦。对于每个N，存在一个度量PN∈ MF，1/N{Z=c}使得epn[ξ]≥ 晚餐∈MF，1/N{Z=c}EP[ξ]-N.由于PN是S的鞅测度，Doob的鞅不等式意味着：PN（| | S | |>M）≤M、然后，对任意大的M定义τM:=inf{t:St=M}，得到：|EPN[ξ（S）- ξ（SτM）]≤2 | |ξ| M.LetπNbe Sτmt在PN下的分布，对于N∈ N

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2022-5-11 07:17:36

由于每N的πN（[0，M]）=1，这是一个紧密的概率测度族，因此是一个收敛子序列（πNk）kexists。表示（πNk）kbyπ的极限，注意，由于每个度量πNhas的平均值等于一，所以π也等于一。对于每个ε>0，测度的弱收敛性和Portemantau定理意味着π（[1]）- C- ε、 1+c+ε]）≥ 林素福→∞πNk（[1- C- ε、 1+c+ε]=1（11）因为，让UN=1- C-N、 1+c+N]，一个hasPN（SτMT∈ UN）=PN（| | S | |≤ M、圣∈ 联合国）≥ PN（| | S | |≤ c+1街∈ 联合国）≥ 1.-N.它适用于ε>0的每一个，因此π（[1- c、 1+c]）=1。最后，ePF{Z=c}=limN→∞晚餐∈MF，1/N{Z=c}EP[ξ]≤ 画→∞EPN[ξ]+N≤ 林素福→∞晚餐∈MFs。t、 L（ST）=πNkEP[ξ]+2 | |ξ| M≤ 晚餐∈MFs。t、 L（ST）=πEP[ξ]+2 | |ξ| M≤ 晚餐∈MF{Z=c}EP[ξ]+2d | | |ξ| | | m第四个不等式由引理4.4在[25]中成立，第五个不等式在任何P∈ MF{Z=c}STequalsπ的分布。因为M是任意的，所以我们得到了epf{Z=c}≤ PF{Z=c}和定理4.6和备注4.7我们得出结论，G+中不存在对偶间隙。例4.9。假设X=, d=1，K=0。以Z=11{St为例∈（a，b）T∈[0，T]}其中a<1<b。我们使用定理4.6证明定价-对冲对偶在G+中成立。等式PF{Z=0}（ξ）=ePF{Z=0}（ξ）后面跟在上一个例子中使用的参数，以及[25]s中例子3.12的证明，因为集合[0，a]∪ [b，M]对于任何M来说都是紧凑的。唯一的区别在于论证了一个类似于（11）的不等式。

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2022-5-11 07:17:39

这里有π（[0，a+ε]∪ [b]- ε, ∞)) ≥ 林素福→∞πNk（[0，a+ε]∪ [b]- ε, ∞)) = 1sincePN（SτMT）∈ [0，a+1/N]∪ [b]- 1/N，∞)) ≥ PN（ST）∈ [0，a+1/N]∪ [b]- 1/N，∞)) ≥ 1.-N.它适用于每一个ε>0，因此π（[0，a]∪ [b]，∞)) = 1.为了证明PF{Z=1}（ξ）=ePF{Z=1}（ξ），我们首先注意到，在例3.12的证明中，同样的论证类型，对于区间[a，b]，我们有PF{∈[a，b]T∈[0，T]}（ξ）=ePF{St∈[a，b]T∈[0，T]}（ξ）=ePF{Z=1}。因此，为了证明PF{Z=1}（ξ）=ePF{Z=1}（ξ），证明PF{St∈[a，b]T∈[0，T]}（ξ）=PF{Z=1}（ξ）。以P为例∈ MF{St∈[a，b]T∈[0，T]}。每k∈ （0,1）defineskaseskt（ω）：=kωt+（1）- k）对于ω∈ {St∈ [a，b]T∈ [0，T]}。然后o （eSk）-1.∈ MF{ST∈（a，b）}和| eSk（ω）- ω|| ≤ (1 - k） [（b）- 1) ∨ (1 - a） ]。因此| EP[ξ]- EP[ξo[eSk]|≤ eξ（（1）- k） [（b）- 1) ∨ (1 - a） ]并且，由于k是任意的，接近1，因此存在度量序列PN∈ MF{ST∈（a，b）}EP[ξ]=limN→∞EPN[ξ].4.3扩大过滤中的对偶性：G的情况-现在我们来看定价——G中的套期保值二元性-在∧={0}的情况下。我们记得G--1={, Ohm} 它模拟了在获取任何附加信息之前，需要确定Xhas中的静态位置的情况。定理4.10。假设∧={0}。设Z是一个随机变量，使得f或c∈Z(Ohm) 集合{Z=c}满足假设4.5。定义G=F∨ σ（Z）。此外，假设MG-X，P，Ohm6= . 然后定价——对冲二元性在G中成立-:VG-Ohm（ξ） =PG-Ohm(ξ) 有界一致连续ξ。证明：我们将证明以下等式序列vg-Ohm（ξ） =supc∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）=supc∈Z(Ohm)PG+{Z=c}（ξ）=supP∈Sc∈Z(Ohm)MG+{Z=c}EP[ξ]=supP∈镁-OhmEP[ξ]=PG-Ohm. （12）让我们从第一个平等开始。从f到c∈ Z(Ohm), VG+{Z=c}（ξ）≤ VG-Ohm（ξ），我们知道了∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）≤ VG-Ohm(ξ). 为了显示反向不等式，fixε>0。

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2022-5-11 07:17:44

那么，对于eachc∈ Z(Ohm), 存在γc∈ A（G）使得vg+{Z=c}（ξ）+ε+（γco S） T≥ ξ在{Z=c}上。将策略γ定义为γ（ω）=Pc∈Z(Ohm)γc（ω）11{Z（ω）=c}，它属于A（G）和satisfiessupc∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）+ε+（γ）o S） T≥ ξonOhm.然后，从超级套期保值成本的定义出发，我们得出以下结论：∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）+ε≥ VG-Ohm(ξ).由于ε>0是任意的，因此有一个supc∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）≥ VG-Ohm(ξ).根据我们的假设{ω：MF{Z=Z（ω）}6=} = Ohm 定价——套期保值二元性对每个c都适用于{Z=c}∈ Z(Ohm). 因此（12）中的第二个等式如下。而（12）中的第三个和第五个质量由定义决定。为了显示第四个不等式，请注意，一个不等式是直接的，因为对于任何c，MG+{Z=c} 镁-Ohm另一个不等式后面是引理3.3。备注4.11。我们想强调的是，我们在（12）中没有最高代表性，在VG中也没有最高代表性-OhmPG也是如此-Ohm当我们考虑∧6={0}的情况时。静态混合位置在不同的原子上可能有相反的方向，因此不可能进行简单的聚集。类似地，对每个原子分别进行校准比无条件校准更具限制性。5.信息到达的时间、动态规划原则和定价–套期保值双重为了扩展最初的扩张视角，我们现在研究在时间T披露额外信息的情况∈ （0，T），即过滤G的形式为：Gt=FTT∈ [0，T）和Gt=Ft∨ t的σ（Z）∈ [T，T]。我们使用前几节的结果将问题分为两个时间间隔。首先我们来看[T，T]上的定价和套期保值问题，然后是[0，T]。在本节中，我们假设不存在动态交易期权，即K=0。此外，我们假设Z是一种特殊形式，即Z满足Z（ω）=（eZω|[T，T]ωT如果ωT>01，如果ωT=0，则r.v.eZ开启Ohm|[T，T]。

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2022-5-11 07:17:47

（13）该条件编码了这样一种观点，即附加信息仅与时间T之后或之前的价格演变有关。5.1 VGand PG的动态规划原则我们从两个命题开始，在这两个命题中，我们发展了超套期保值成本和市场模型价格的动态规划原则。请注意，情况是Z≡ const和F=G也很有趣，因为它给出了F引理5.1下的动态规划原理。允许Ohm+= {ω ∈ Ohm : ωT>0}。每v∈ Ohm+定义雅芳地图Ohm+× Ohm+有价值的Ohm+byav（ev，ω）：=v |[0，T]vTevTω|[T，T]ω∈ 贝弗|[0，T]evTvTω|[T，T]ω∈ Bvωω/∈ Bv∪ Bev（14），其中λω是ω乘以Ohm 和v |[0，T] λω|[T，T]表示路径等于[0，T]上的v和[T，T]上的λω|。那么，阿维斯·福特这是可衡量的。附录中报告的证据仅利用了avand的定义特性。为了计算超边际成本的动态规划原理，我们自然将定义2.3中关于时间间隔[0，T]的概念扩展为子间隔[T，T][0，T]并设AM（G[T，T]）表示（G[T，T]，M）-容许策略和A（G[T，T]）它们在M上的并∈ ∧（G）。同样，我们定义了一组测量MG、[T，T]浓度的onA∈ fta如下：MG，[T，T]A:={P:S是[T，T]上的G-鞅，P（A）=1}。以下两个结果建立了超边际成本和定价算子的适当正则性和动态规划原理。提议5.2。设Bω表示包含ω的FT原子。

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2022-5-11 07:17:50

然后对于有界一致连续ξ，followin g保持：（i）映射VG[T，T]Ohm(ξ) : Ohm → 定义为asVG[T，T]Ohm（ξ）（ω）：=inf十、∈ R: γ ∈ A（G，[T，T]），使得x+ZTTγtdSt≥ Bω上的ξ是一致连续且可测量的。（ii）动态规划原理的形式为：VG[0，T]Ohm（ξ） =VF[0，T]OhmVG[T，T]Ohm(ξ).提议5.3。设Bω表示包含ω的FT原子，其值为MG[T，T]Bω6= foreachω。对于有界一致连续ξ，以下公式成立。（i） mappin g PG[T，T]Ohm（ξ）定义为PG[T，T]Ohm（ξ）（ω）：=supP∈MG，[T，T]BωEP[ξ]是一致连续的且FT可测的。（ii）动态规划原理的形式为：PG，[0，T]Ohm（ξ） =PF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm(ξ)).备注5.4。命题5.3（ii）中所述的动态规划原理f或P与[33，定理2.3]中研究的条件次线性期望有关。由于在我们的设置中有更多的结构，我们证明它依赖于ξ的一致连续性，而不是一般的解析选择公式。虽然提案5.2和5.3看起来都很自然，但它们的证明比预期的要长，并且需要特定的技术细节。我们在附录中给出了它们。特别是，我们注意到假设（13）在证明中很重要，人们不会期望这样的结果适用于任意的Z。事实上，考虑exmaple Z=|ln ST- ln ST | 11{ST=c}∩{ST>0}，这违反了（13）。很容易看出，在这种情况下，我们不能保证VG[T，T]的均匀连续性Ohm（ξ）或PG[T，T]Ohm（ξ） .5.2定价–套期保值二元性我们现在表明，对于具有信息流G的代理而言，定价套期保值二元性是成立的。这是一个使用与第3节和第4节中的类似参数，并独立处理FT的每个Bω的过程。首先，正如定理4.6 f或相应的G+过滤一样，我们查看与r.v.的每个水平集的相互关系。

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2022-5-11 07:17:53

Z、即在集合Bω处∩{Z=c}构成GT的原子。其次，我们在Z上求和，如定理4.10中对应的G-过滤。所描述的操作将问题简化为[0，T]区间，其中G与F重合，我们根据动态规划原理得出结论。定理5.5。假设没有选项，即∧={0}。设Z是一个随机变量，对于每个c∈ Z(Ohm) 每个FT原子Bω是集合{Z=c}∩ Bω满足假设4。5开[T，T]。此外，假设MGOhm6= 假设4.2成立。然后对于一个双边界一致连续ξVG[T，T]Ohm（ξ）（ω）=PG[T，T]Ohm(ξ)(ω) ω和VGOhm（ξ） =PGOhm(ξ).证明：我们使用上一小节来说明以下等式：VG，[0，T]Ohm（ξ） =VF[0，T]Ohm（VG，[T，T]Ohm（ξ））=VF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm（ξ））=PF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm（ξ））=PG[0，T]Ohm(ξ).在应用命题5.2和命题5.3之后，仍然需要展示第二和第三等式。证明第二个等式PG[T，T]Ohm（ξ） =VG[T，T]Ohm（ξ）首先，我们对第3节进行了一些类比。定义（G+，[T，T]）-超边缘成本VG+，[T，T]AasVG+，[T，T]A:=inf{x∈ GT: γ ∈ A（G，[T，T]），使得x+ZTTγudSu≥ ξ在A}上，类似于命题3.2，我们有VG+，[T，T]Bω（ω′）=VG+，[T，T]Bω∩每个ω和每个ω′的{Z=Z（ω′）}∈ Bω。与命题3.5类似，我们推导出PG+，[T，T]Bω（ω′）=PG+，[T，T]Bω∩每个ω和每个ω′的{Z=Z（ω′）}∈ Bω。然后，通过模仿定理4.10的证明，我们从“G+传递到G”-，并导出vg[T，T]Ohm（ξ）（ω）=PG[T，T]Ohm(ξ)(ω) ω.第三个等式是[0，T]上的一般对偶结果。例5.6。与例4.8类似，让我们看看dynamicset-up中的附加信息，它包含非常详细的知识。我们考虑一个没有静态或动态交易期权的一维设置：d=1、K=0和∧={0}。

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2022-5-11 07:17:56

知情机构在T时要求详细了解formZ=（支持）的股票价格过程∈[T，T]|在街上- ln ST | ST>0 T∈ [T，T]1否则。注意，对于每个c∈ Z(Ohm) 每个FT原子Bω，都有mg，[T，T]{Z=c}∩Bω=MF，[T，T]{Z=c}∩Bω6=其中第一个等式自{Z=c}∩ Bω是GT原子。来表示pf，[T，T]{Z=c}∩Bω=ePF，[T，T]{Z=c}∩Bω我们使用与例4.8相同的参数。因此，假设4.5在[T，T]上没有选项（λ={0}），对于每个集合{Z=c}是满足的∩ Bω。此外，请注意，通过测量参数的串联，MGOhm6= 由于∧={0}，假设4.2也满足。我们现在应用EoREM 5.5来证明G中没有对偶间隙。示例5.7。与例4.9类似，我们考虑二进制类型的dynamicset-up中的附加信息。和之前一样，我们考虑一个没有静态或动态交易选项的一维设置：d=1、K=0和∧={0}。知情代理人及时了解表格Z=11a<StST<b T∈[T，T]其中a<1<b。按照例5.6的思路，应用定理5.5，我们推断不存在二元性缺口G.5.3信息的时间和价值我们现在探索一个代理如何评估Z携带的额外信息，以及这种信息到达的时间是否会产生差异。一方面，考虑到价格上涨，我们的代理人总是考虑最坏的情况来评估信息的附加价值。然而，另一方面，她可以自由考虑任何她希望最好地获取此类附加值的报酬。如上所述，我们的假设（13）编码了这样一种想法，即附加信息仅与时间T之后或之前的价格演变有关。

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kedemingshi

2022-5-11 07:17:59

正如我们在下文中所展示的，代理人能够灵活地构建定制支付，以最好地利用到达的信息，这意味着她不介意信息何时到达，只要信息严格在时间零点之后和时间T之前到达。如果信息在时间t=0时到达，则代理可能没有时间进入合适的位置，以便稍后利用到达的信息，因此可能会将较低的值与此类场景关联。为了使上述讨论正式化，让Z:C（[0,1]）→ R可以是一个随机变量。那么，foreach T∈ [0，T]，定义一个随机变量ZT:C（[0，T]）→ R byZT（ω）=Zωt（t）-T） +TωTT∈[0,1]!.这种情况显然满足了条件（13）。我们用GT表示过滤的相应放大，即GTt=FTT形式的过滤∈ [0，T）和GTt=Ft∨ σ（ZT）堡∈ [T，T]。在对冲收益ξ时，代理人考虑额外信息带来的最小优势：vT（Z；ξ）：=在fω中∈OhmVFOhm(ξ) - VGTOhm(ξ)(ω)T∈ [0，T），（15）其中Ohm 自VGT起，仅对T=0起作用Ohm（ξ）（ω）=VGTOhm（ξ）是T>0的常数。为了评估与信息Z相关的稳健优势，我们需要对支付进行规范化。让Φ表示一致连续的f函数ξ：Ohm → [0, 1].然后，对于超边缘问题，在t时刻接收信息Z的值由vt（Z）：=supξ给出∈ΦvT（Z；ξ），T∈ [0，T）。（16）定理5.8.设Z:C（[0，1]）→ R可以被给出，并假设∧={0}。然后：（i）对于任何T∈ （0，T）和ξ∈ Φ存在ξ∈ Φ使得v（Z；ξ）=vT（Z；eξ），（ii）对于任何T∈ （0，T），T′∈ （0，T）和ξ∈ Φ存在ξ′∈ Φ使得vT（Z；ξ）=vT′（Z；ξ′）。因此，v（Z）≤ vT（Z）=vT′（Z），0<T<T′<T。证明：（i）对于给定的T∈ （0，T）和ξ让我们定义ξbyeξ（ω）：=ξωt（t）-T） /T+TωTT∈[0，T]！，其中=1。

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2022-5-11 07:18:02

然后，根据5.2版Propositi中给出的动态规划原理，VFOhm（eξ）=VF[0，T]OhmVF[T，T]Ohm（eξ）= VF[0，T]OhmVFOhm(ξ)= VFOhm(ξ).通过类似的论证，我们也得到了VGTOhm（eξ）=VG0-Ohm(ξ). 需要注意的是，通过（12），v（ξ）=VFOhm(ξ) - VG0，-Ohm(ξ).（ii）对于给定的T∈ （0，T），T′∈ （0，T）和ξ让我们定义ξ′∈ Φ乘以ξ′（ω）：=ξ（ωκ），其中κ是以下时间变化κ（t）：=tTT′{t∈[0，T′}+T（T- t） +t（t）- T′）T- T′{T∈然后，根据命题5.2和附加信息Z的形式，它认为vT（ξ）=vT′（ξ′）。引理3.3、4.1和5.1以及命题5的证明。2&5.3引理的证明3.3：Pω的存在及其性质都是经典结果，见Stroock&Varadhan[34，第12-16页]。因为，根据假设2.1，G-1=σ（B）-1n，n≥ 1），有一套Ohm-1.∈ G-1.如此(Ohm-1） =1，Pω（Aω）=1∈ Ohm-1.修复t≥ s和G∈ Gs。那么，因为G:={EPω[（St- Ss）11G]>0}∈ G-1，我们得到0=EP[（St- Ss）11G∩G] =EP[EP[（St- Ss）11G | G-1] 11G]=EP[EPω[（St- Ss）11G]11G]，这意味着P-a.s.EPω[（St- Ss）11G]≤ 同样地，我们证明了P-a.s.EPω[（St-Ss）11G]≥ 0.最后，P-a.s.EPω[（St- Ss）11G]=0，因此存在一个集合Ohms、 t，G∈ G-1.如此(Ohms、 t，G）=1和EPω[（St- Ss）11G]=0，每ω∈ Ohms、 t，G.得出存在一个集合的结论OhmM∈ G-1.如此(Ohmm） =1，S是每个ω的（Pω，G）-鞅∈ OhmM使用S和站立组件路径的连续性2.1。最后我们注意到P-a.s。 λ ∈ ∧P（Xλ）=EP[Xλ| G-1] =EPω[Xλ]，因此存在一个集合Ohm十、∈ G-1.如此(Ohm十） =1，对于每个ω∈ Ohm对于每个λ，P（Xλ）=EPω[Xλ]∈ Λ. 为了完成这一证明，只需OhmP=Ohm-1.∩ OhmM∩ Ohm十、引理4.1的证明：使用命题3.2和命题3.5，在σ-场G的每个Aω上分别显示断言的不等式就足够了-1.证明之后是一个经典论点。

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2022-5-11 07:18:05

以任何可容许的超级复制投资组合（α，γ）为例∈ Aω和任意测度P上的AX（G）∈ MGX，P，Aω。设{Pv}表示P相对于G的正则条件概率。因此，通过引理3.3，P-a.s.，Pv∈ mgbv，其中{Bv}是含有v的G原子。注意，{Bv}形成比{Aω}更细的分区。然后，由于P-a.s.，Pv（M≡ const=1和Pv（γ=γ11Bv），其中γ11Bv是可联合测量的，我们推导出epv[ξ]≤ EPvαX+ZTγudSu≤ EPv[αX]P-a.s.asR·γubvdsui是一个从下方有界的G-局部鞅，因此是一个G-超鞅。因为{Pv}是P和P（αλ=αλ（ω））对于每个λ的正则条件概率∈ λ，根据P的期望，我们有ep[ξ]≤ EP[αX]=完成证明的α（ω）P（X）。引理5.1的证明：注意av可以写成asav（ev，ω）：=a（ev，ω）onOhm+× Ohm+\\{（ev，ω）：ω|[0，T]=ev |[0，T]∨ ω|[0，T]=v |[0，T]}a（ω）在{（ev，ω）：ω|[0，T]=ev |[0，T]}a（ev）在{（ev，ω）：ω|[0，T]=v |[0，T]}上∈ {1,2,3}由a（ev，ω）=ω，a（ω）=av（ω，ω）=v|[0，T]给出vTωTω|[T，T]和a（ω）=av（ω，v）=ω|[0，T]ωTvTv |[T，T]。因此，因为集合{（ev，ω）：ω|[0，T]=ev |[0，T]}和{（ev，ω）：ω|[0，T]=v |[0，T]}是FT FT可衡量，现在足以证明每一个环节都是可衡量的。地图是可以测量的，因为它只是一个投影。mappingsa，a：Ohm+→ Ohm+因此是可测量的。实际上，fixω∈ Ohm+考虑eω，使得| | eω- ω|| ≤ δ ≤ωT.然后| | a（ω）- a（eω）| |=supt∈[T，T]vTeωT（ωT- eωt）+vTeωtωt（ωt- eωT）ωT≤2vTωT1+| |ω| |ωTδ、 |a（ω）- a（eω）| |=| |ω- eω| |∨ 监督∈[T，T]vt（ωT）- eωT）≤||v | | vTδ。命题5.2的证明：在pro中，我们表示ξ：=VG[T，T]Ohm(ξ).（i）设v:=（v，…，vd）∈ Ohm 和ev:=（ev，…，evd）∈ Ohm.

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2022-5-11 07:18:08

注意eξ（（v，…，vd））-eξ（（ev，…，evd））≤dXk=1eξ（（ev，…，evk）-1，vk。。，vd）-eξ（（ev，…，evk，vk+1，…，vd））.因此，为了建立eξ的一致连续性，只考虑在一个坐标上不同的v和ev就足够了，并且在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设d=1。考虑一个小的δ>0。假设| | v- ev | |[0，T]≤ δ、 | vT- evT |=D≥ 0、vT>0和vT>0。在第一步中，我们展示了eξ（ev）≤eξ（v）+ε，仅取决于ξ和δ。对于每个η>0，存在一个策略γ，使得eξ（v）+ZTTγtdSt≥ ξ - η在Bv上。设λ=vT/evT∈ (0, ∞) 通过a（ω）：=av（ev，ω）定义路径修正映射a，其中见（14）。注意，a是满足a=a的双射-1.引入一个停止时间eτ（ω）：=τv，ev（ω）：=inf{t>t：ωt- evT≥ evTD-} ∧ Tω∈ Bevinf{t>t：ωt- 及物动词≥ vTD-} ∧ Tω∈ BvTω/∈ Bv∪ 贝弗。（17）表明eξ（ev）≤eξ（v）+ε我们将考虑一个策略λγo a+DevT[T，eτ）。该策略的第二项显然是G适应的。为了证明第一项也是G适应的，足以证明Zo a是σ（Z）-可测的。最后一个是真的，因为o a（ω）=eZa（ω）|[T，T]a（ω）T=简单ω|[T，T]ωT= Z（ω）。然后，我们得到ξ（v）+λZTTγo a（ω）tdSt（ω）+DevT（ωeτ）- evT）=eξ（v）+ZTTγo a（ω）tdSto a（ω）+DevT（ωeτ）- evT）≥ ξ o a（ω）- η+DevT（ωeτ）- evT）第一个平等是由于我们对一体化的定义。在eτ（ω）=T one有devt（ωeτ）的情况下- evT）≥ -DevTevT=-D1/4和andka（ω）- ωk≤ δ ∨ (λ - 1） evT（D）-+ 1) ≤ 2δ1/2. （18）因此，对于eτ（ω）=T，它遵循ξo a（ω）- η+DevT（ωτ）- evT）≥ ξ(ω) - eξ（2δ1/2）- η - D1/4式中，eξ是ξ连续性的最大值。因此，对于eτ（ω）=T，我们推导出ξ（ev）≤eξ（v）+eξ（2δ1/2）+D1/4。在eτ（ω）<T的情况下- evT）=DevTevTD-= D-1/4和ξo a（ω）- η+DevT（ωτ）- evT）≥ -||ξ|| - η+D-1/4对于足够小的D（D≤ (2||ξ||)-4），支配ξ（ω）。

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